Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Urutan bilangan. Perkembangan geometri"
Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.
Alat peraga dan simulator pendidikan di toko online Integral untuk kelas 9
Pangkat dan akar Fungsi dan grafik
Teman-teman, hari ini kita akan berkenalan dengan jenis perkembangan lainnya.
Topik pelajaran hari ini adalah perkembangan geometri.
Kemajuan geometris
Definisi. Barisan bilangan yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan hasil kali suku sebelumnya dan suatu bilangan tetap disebut barisan geometri.Mari kita definisikan barisan kita secara rekursif: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
dimana b dan q adalah bilangan tertentu. Bilangan q disebut penyebut barisan tersebut.
Contoh. 1,2,4,8,16... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan satu, dan $q=2$.
Contoh. 8,8,8,8... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan delapan,
dan $q=1$.
Contoh. 3,-3,3,-3,3... Perkembangan geometri yang suku pertamanya sama dengan tiga,
dan $q=-1$.
Perkembangan geometri mempunyai sifat monoton.
Jika $b_(1)>0$, $q>1$,
maka urutannya semakin meningkat.
Jika $b_(1)>0$, $0 Barisan tersebut biasanya dilambangkan dengan bentuk: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Seperti halnya barisan aritmatika, jika dalam barisan geometri jumlah anggotanya berhingga, maka barisan tersebut disebut barisan geometri berhingga.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Perhatikan bahwa jika suatu barisan merupakan barisan geometri, maka barisan kuadrat suku-sukunya juga merupakan barisan geometri. Pada barisan kedua, suku pertamanya sama dengan $b_(1)^2$, dan penyebutnya sama dengan $q^2$.
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri
Perkembangan geometri juga dapat ditentukan dalam bentuk analitis. Mari kita lihat cara melakukannya:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Kita dengan mudah melihat polanya: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Rumus kita disebut "rumus suku ke-n suatu barisan geometri".
Mari kita kembali ke contoh kita.
Contoh. 1,2,4,8,16... Perkembangan geometri yang suku pertamanya sama dengan satu,
dan $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Contoh. 16,8,4,2,1,1/2… Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan enam belas, dan $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Contoh. 8,8,8,8... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan delapan, dan $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Contoh. 3,-3,3,-3,3... Suatu barisan geometri yang suku pertamanya sama dengan tiga, dan $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Contoh. Diketahui barisan geometri $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Diketahui $b_(1)=6, q=3$. Temukan $b_(5)$.
b) Diketahui $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Temukan n.
c) Diketahui $q=-2, b_(6)=96$. Temukan $b_(1)$.
d) Diketahui $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Temukan q.
Larutan.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, karena $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Contoh. Selisih suku ketujuh dan suku kelima suatu barisan geometri adalah 192, jumlah suku kelima dan keenam barisan tersebut adalah 192. Tentukan suku kesepuluh barisan tersebut.
Larutan.
Kita tahu bahwa: $b_(7)-b_(5)=192$ dan $b_(5)+b_(6)=192$.
Kita juga tahu: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Kemudian:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Kami menerima sistem persamaan:
$\begin(kasus)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(kasus)$.
Menyamakan persamaan kita, kita mendapatkan:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Kami mendapat dua solusi q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Substitusikan secara berurutan ke dalam persamaan kedua:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ tidak ada solusi.
Kita mendapatkan: $b_(1)=4, q=2$.
Mari kita cari suku kesepuluh: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Jumlah barisan geometri berhingga
Mari kita memiliki perkembangan geometri yang terbatas. Mari kita, seperti halnya barisan aritmatika, menghitung jumlah suku-sukunya.Misalkan suatu barisan geometri berhingga diberikan: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Mari kita perkenalkan sebutan untuk jumlah suku-sukunya: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Dalam kasus ketika $q=1$. Semua suku barisan geometri sama dengan suku pertama, maka jelas $S_(n)=n*b_(1)$.
Sekarang mari kita perhatikan kasus $q≠1$.
Kalikan jumlah di atas dengan q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Catatan:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Kita telah memperoleh rumus jumlah barisan geometri berhingga.
Contoh.
Tentukan jumlah tujuh suku pertama suatu barisan geometri yang suku pertamanya 4 dan penyebutnya 3.
Larutan.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Contoh.
Tentukan suku kelima barisan geometri yang diketahui: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Larutan.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Sifat karakteristik perkembangan geometri
Teman-teman, diberikan barisan geometri. Mari kita lihat tiga anggota berturut-turut: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Kita tahu bahwa:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Kemudian:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jika perkembangannya terbatas, maka persamaan ini berlaku untuk semua suku kecuali suku pertama dan terakhir.
Jika tidak diketahui terlebih dahulu bentuk barisan tersebut, namun diketahui: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Maka kita dapat dengan aman mengatakan bahwa ini adalah perkembangan geometri.
Suatu barisan bilangan disebut suatu barisan geometri hanya jika kuadrat setiap anggota barisan tersebut sama dengan hasil kali dua anggota barisan yang berdekatan. Jangan lupa bahwa untuk perkembangan terbatas kondisi ini tidak terpenuhi pada suku pertama dan terakhir.
Mari kita lihat identitas ini: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ disebut mean geometrik dari bilangan a dan b.
Modulus suatu suku suatu barisan geometri sama dengan rata-rata geometri dua suku tetangganya.
Contoh.
Temukan x sedemikian rupa sehingga $x+2; 2x+2; 3x+3$ adalah tiga suku berurutan dari suatu barisan geometri.
Larutan.
Mari kita gunakan properti karakteristik:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ dan $x_(2)=-1$.
Mari kita substitusikan solusi kita secara berurutan ke dalam ekspresi aslinya:
Dengan $x=2$, kita mendapatkan barisan: 4;6;9 – barisan geometri dengan $q=1.5$.
Untuk $x=-1$, kita mendapatkan urutannya: 1;0;0.
Jawaban: $x=2.$
Masalah untuk diselesaikan secara mandiri
1. Tentukan suku pertama kedelapan barisan geometri 16;-8;4;-2….2. Tentukan suku kesepuluh barisan geometri 11,22,44….
3. Diketahui $b_(1)=5, q=3$. Temukan $b_(7)$.
4. Diketahui $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Temukan n.
5. Tentukan jumlah 11 suku pertama barisan geometri 3;12;48….
6. Carilah x sehingga $3x+4; 2x+4; x+5$ adalah tiga suku berurutan suatu barisan geometri.
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.
Konsep perkembangan geometri
Perkembangan geometri dilambangkan dengan b1,b2,b3, …, bn, ….
Perbandingan suatu suku suatu galat geometri dengan suku sebelumnya sama dengan bilangan yang sama, yaitu b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ini mengikuti langsung dari definisi barisan aritmatika. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri. Biasanya penyebut suatu barisan geometri dilambangkan dengan huruf q.
Jumlah barisan geometri tak hingga untuk |q|<1
Salah satu cara untuk menyatakan suatu barisan geometri adalah dengan menentukan suku pertamanya b1 dan penyebut kesalahan geometri q. Misalnya, b1=4, q=-2. Kedua kondisi ini menentukan barisan geometri 4, -8, 16, -32, ….
Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka barisan tersebut merupakan barisan monotonik. Misalnya barisan 2, 4,8,16,32, ... adalah barisan naik monoton (b1=2, q=2).
Jika penyebut suatu galat geometri adalah q=1, maka semua suku barisan geometri tersebut akan sama satu sama lain. Dalam kasus seperti ini, perkembangannya dikatakan sebagai barisan yang konstan.
Agar suatu barisan bilangan (bn) menjadi suatu barisan geometri, setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, harus merupakan rata-rata geometri dari anggota-anggota yang berdekatan. Artinya, persamaan berikut harus dipenuhi
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sembarang n>0, dimana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.
Sekarang mari kita masukkan (Xn) - suatu barisan geometri. Penyebut barisan geometri q, dan |q|∞).
Jika sekarang kita menyatakan dengan S jumlah barisan geometri tak hingga, maka rumus berikut akan berlaku:
S=x1/(1-q).
Mari kita lihat contoh sederhana:
Tentukan jumlah barisan geometri tak hingga 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….
Untuk mencari S, kita menggunakan rumus jumlah barisan aritmatika tak terhingga. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama. Perkembangan geometri dilambangkan dengan b1,b2,b3, …, bn, …
Sifat-sifat perkembangan geometri
Perbandingan suatu suku suatu galat geometri dengan suku sebelumnya sama dengan bilangan yang sama, yaitu b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ini mengikuti langsung dari definisi barisan aritmatika. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri. Biasanya penyebut suatu barisan geometri dilambangkan dengan huruf q.
Salah satu cara untuk menyatakan suatu barisan geometri adalah dengan menentukan suku pertamanya b1 dan penyebut kesalahan geometri q. Misalnya, b1=4, q=-2. Kedua kondisi ini menentukan barisan geometri 4, -8, 16, -32, ….
Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka barisan tersebut merupakan barisan monotonik. Misalnya barisan 2, 4,8,16,32, ... adalah barisan naik monoton (b1=2, q=2).
Jika penyebut suatu galat geometri adalah q=1, maka semua suku barisan geometri tersebut akan sama satu sama lain. Dalam kasus seperti ini, perkembangannya dikatakan sebagai barisan yang konstan.
Rumus suku ke-n dari perkembangan tersebut
Agar suatu barisan bilangan (bn) menjadi suatu barisan geometri, setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, harus merupakan rata-rata geometri dari anggota-anggota yang berdekatan. Artinya, persamaan berikut harus dipenuhi - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sembarang n>0, dimana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.
Rumus suku ke-n suatu barisan geometri adalah:
bn=b1*q^(n-1), di mana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.
Mari kita lihat contoh sederhana:
Pada barisan geometri b1=6, q=3, n=8 carilah bn.
Mari kita gunakan rumus suku ke-n suatu barisan geometri.
Pelajaran tentang topik tersebut “Perkembangan geometri yang menurun tanpa batas”
Tujuan pelajaran: memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - barisan geometri yang menurun tak terhingga.
Tugas:
merumuskan gagasan awal tentang limit suatu barisan bilangan; mengenal cara lain untuk mengubah pecahan periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa menggunakan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga;
pengembangan kualitas intelektual kepribadian anak sekolah seperti berpikir logis, kemampuan melakukan tindakan evaluatif, dan generalisasi;
membina aktivitas, gotong royong, kolektivisme, dan minat terhadap mata pelajaran.
Peralatan: kelas komputer, proyektor, layar.
Jenis pelajaran: pelajaran - mempelajari topik baru.
Selama kelas
SAYA . Organisasi. momen. Nyatakan topik dan tujuan pelajaran.
II . Memperbarui pengetahuan siswa.1. Memeriksa pekerjaan rumah.
1) Memeriksa rumus-rumus dasar yang berkaitan dengan barisan aritmatika dan geometri. Dua siswa sedang menyiapkan catatan rumus di papan tulis.
2) Siswa lainnya melakukannya dikte matematika pada topik “Rumus Penjumlahan”.
Tugas:
№1. Tentukan jumlah lima suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku pertamanya adalah 6 (pilihan pertama), -20 (pilihan kedua), dan suku kelima adalah -6 (pilihan pertama), 20 (pilihan kedua).
№2. Tentukan jumlah lima suku pertama suatu barisan aritmatika jika suku pertamanya -20 (pilihan pertama), 6 (pilihan kedua), dan selisihnya adalah 10 (pilihan pertama), -3 (pilihan kedua).
№3. Tentukan jumlah lima suku pertama suatu barisan geometri jika suku pertamanya sama dengan 1 (pilihan pertama), -1 (pilihan kedua), dan penyebutnya adalah -2 (pilihan pertama), 2 (pilihan kedua).
Di akhir dikte, dua karya siswa diperiksa secara selektif untuk dinilai, sisanya melakukan tes mandiri dengan menggunakan solusi siap pakai yang tertulis di lipatan papan.
Solusi:
Tugas
1. Perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus A N = 7 – 4 N. Menemukan A 10 . (-33)
2. Dalam perkembangan aritmatika A 3 = 7 Dan A 5 = 1 . Menemukan A 4 . (4)
3. Dalam perkembangan aritmatika A 3 = 7 Dan A 5 = 1 . Menemukan A 17 . (-35)
4. Dalam perkembangan aritmatika A 3 = 7 Dan A 5 = 1 . Menemukan S 17 . (-187)
5. Untuk perkembangan geometri 
temukan suku kelima. 
6. Untuk barisan geometri menemukan N anggota ke-th. 
7. Secara eksponensial B 3 = 8 Dan B 5 = 2 . Menemukan B 4 . (4)
8. Secara eksponensial B
3
= 8
Dan B
5
= 2
. Menemukan B
1
Dan
Q
. 
9. Secara eksponensial B 3 = 8 Dan B 5 = 2 . Menemukan S 5 . (62)
AKU AKU AKU . Mempelajari topik baru(demonstrasi presentasi).
Perhatikan sebuah persegi yang sisinya sama dengan 1. Mari kita menggambar persegi lain yang ukuran sisinya setengah dari persegi pertama, lalu persegi lain yang panjang sisinya adalah setengah persegi kedua, lalu persegi berikutnya, dan seterusnya. Setiap kali sisi persegi baru sama dengan setengah sisi persegi sebelumnya.
Hasilnya, kami mendapatkan rangkaian sisi persegi 
membentuk barisan geometri dengan penyebutnya.
Dan, yang sangat penting, semakin banyak kita membuat persegi tersebut, semakin kecil sisi persegi tersebut. Misalnya,
Itu. Dengan bertambahnya jumlah n, suku-suku perkembangannya mendekati nol.
Dengan menggunakan gambar ini, Anda dapat mempertimbangkan urutan lainnya.
Misalnya barisan luas persegi:
. Dan sekali lagi, jika N bertambah tanpa batas, maka luasnya mendekati nol sedekat yang Anda inginkan.
Mari kita lihat contoh lainnya. Segitiga sama sisi dengan panjang sisi sama dengan 1 cm. Mari kita buat segitiga berikut dengan titik sudut di titik tengah sisi-sisi segitiga ke-1, sesuai dengan teorema tentang garis tengah segitiga - sisi ke-2 sama dengan setengah sisi yang pertama, sisi ke-3 sama dengan setengah sisi ke-2, dst. Sekali lagi kita memperoleh barisan panjang sisi-sisi segitiga.
pada 
.
Jika kita perhatikan barisan geometri yang penyebutnya negatif.
Lalu, lagi-lagi dengan jumlah yang semakin bertambah N syarat perkembangannya mendekati nol.
Mari kita perhatikan penyebut barisan tersebut. Di mana-mana nilai absolut penyebutnya kurang dari 1.
Kita dapat menyimpulkan: suatu barisan geometri akan berkurang tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari 1.
Pekerjaan depan.
Definisi:
Suatu barisan geometri dikatakan menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu. 
.
Dengan menggunakan definisi tersebut, Anda dapat memutuskan apakah suatu barisan geometri menurun tak terhingga atau tidak.
Tugas
Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan dengan rumus:
; 
.
Larutan:
. Kami akan menemukannya Q
.
; 
; 
; 
.
perkembangan geometrik ini semakin menurun.
B) barisan ini bukanlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.
Misalkan sebuah persegi dengan sisi sama dengan 1. Bagilah menjadi dua, salah satu bagiannya menjadi dua, dan seterusnya. Luas semua persegi panjang yang dihasilkan membentuk barisan geometri yang semakin menurun: 
Jumlah luas semua persegi panjang yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas persegi pertama dan sama dengan 1. 
Namun di sisi kiri persamaan ini adalah jumlah suku yang tak terhingga banyaknya.
Mari kita perhatikan jumlah n suku pertama. 
Menurut rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri adalah sama dengan 
.
Jika N meningkat tanpa batas, kalau begitu
atau 
. Itu sebabnya 
, yaitu. 
.
Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga ada batas urutannya S 1 , S 2 , S 3 , …, S N , … .
Misalnya untuk kemajuan 
,
Karena 
Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dapat dicari dengan menggunakan rumus 
.
AKU AKU AKU . Pemahaman dan konsolidasi(menyelesaikan tugas).
Tugas No.2. Tentukan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga yang suku pertamanya 3 dan suku kedua 0,3.
Larutan:
Tugas No.3. buku teks, hal.160, No.433(1)
Temukan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga:
Larutan:
Tugas No.4. Tuliskan pecahan desimal periodik tak hingga 0,(5) sebagai pecahan biasa.
metode pertama. Misalkan x=0,(5)= 0,555... / 10 metode ke-2. 0,(5)=0,555…=
Tugas No.5. buku teks, hal.162, No.445(3) (solusi independen)
Tuliskan pecahan desimal periodik tak hingga 0,(12) sebagai pecahan biasa.
Jawaban: 0,(12)= 4/33.
IV . Meringkas.
Urutan apa yang Anda kenali hari ini?
Definisikan barisan geometri yang menurun tak terhingga.
Bagaimana membuktikan bahwa barisan geometri menurun tak terhingga?
Berikan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.
V . Pekerjaan rumah.
Matematika adalah apamanusia mengendalikan alam dan diri mereka sendiri.
Matematikawan Soviet, akademisi A.N. Kolmogorov
Kemajuan geometris.
Selain soal-soal barisan aritmatika, soal-soal yang berkaitan dengan konsep barisan geometri juga sering ditemukan pada ujian masuk matematika. Agar berhasil menyelesaikan soal-soal tersebut, Anda perlu mengetahui sifat-sifat barisan geometri dan memiliki keterampilan yang baik dalam menggunakannya.
Artikel ini dikhususkan untuk pemaparan sifat-sifat dasar barisan geometri. Contoh penyelesaian masalah umum juga disediakan di sini., dipinjam dari tugas-tugas ujian masuk matematika.
Mari kita perhatikan terlebih dahulu sifat-sifat dasar barisan geometri dan mengingat kembali rumus dan pernyataan yang paling penting, terkait dengan konsep ini.
Definisi. Suatu barisan bilangan disebut barisan geometri jika setiap bilangan mulai dari bilangan kedua sama dengan bilangan sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan tersebut disebut penyebut suatu barisan geometri.
Untuk perkembangan geometrirumusnya valid
, (1)
Di mana . Rumus (1) disebut rumus suku umum suatu barisan geometri, dan rumus (2) menyatakan sifat utama suatu barisan geometri: setiap suku barisan tersebut berimpit dengan rata-rata geometri suku-suku tetangganya dan .
Catatan, bahwa justru karena sifat inilah perkembangan yang dimaksud disebut “geometris”.
Rumus (1) dan (2) di atas digeneralisasikan sebagai berikut:
, (3)
Untuk menghitung jumlahnya Pertama anggota barisan geometrirumus berlaku
Jika kita menyatakan , maka
Di mana . Karena , rumus (6) merupakan generalisasi dari rumus (5).
Dalam kasus ketika dan perkembangan geometrimenurun tanpa batas. Untuk menghitung jumlahnyadari semua suku barisan geometri yang menurun tak terhingga, digunakan rumus
. (7)
Misalnya , menggunakan rumus (7) dapat kita tunjukkan, Apa
Di mana . Persamaan tersebut diperoleh dari rumus (7) dengan syarat , (persamaan pertama) dan , (persamaan kedua).
Dalil. Jika kemudian
Bukti. Jika kemudian
Teorema tersebut telah terbukti.
Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah pada topik “Perkembangan Geometri”.
Contoh 1. Diberikan: , dan . Menemukan .
Larutan. Jika kita menerapkan rumus (5), maka
Menjawab: .
Contoh 2. Biarlah. Menemukan .
Larutan. Sejak dan , kita menggunakan rumus (5), (6) dan memperoleh sistem persamaan
Jika persamaan kedua sistem (9) dibagi dengan persamaan pertama, lalu atau . Oleh karena itu . Mari kita pertimbangkan dua kasus.
1. Jika, maka dari persamaan pertama sistem (9) kita punya.
2. Jika , maka .
Contoh 3. Biarkan , dan . Menemukan .
Larutan. Dari rumus (2) berikut ini atau . Sejak , lalu atau .
Dengan syarat. Namun, oleh karena itu. Sejak dan maka di sini kita memiliki sistem persamaan
Jika persamaan kedua sistem dibagi dengan persamaan pertama, maka atau .
Karena persamaan tersebut memiliki akar unik yang cocok. Dalam hal ini, mengikuti persamaan pertama sistem.
Dengan mempertimbangkan rumus (7), kita peroleh.
Menjawab: .
Contoh 4. Diberikan: dan . Menemukan .
Larutan. Dari dulu.
Sejak , lalu atau
Menurut rumus (2) kita punya . Dalam hal ini, dari persamaan (10) kita peroleh atau .
Namun, dengan syarat.
Contoh 5. Diketahui bahwa. Menemukan .
Larutan. Menurut teorema, kita memiliki dua persamaan
Sejak , lalu atau . Karena, kalau begitu.
Menjawab: .
Contoh 6. Diberikan: dan . Menemukan .
Larutan. Dengan mempertimbangkan rumus (5), kita peroleh
Dari dulu. Sejak , dan , lalu .
Contoh 7. Biarlah. Menemukan .
Larutan. Menurut rumus (1) kita dapat menulis
Oleh karena itu, kita mempunyai atau . Diketahui bahwa dan , oleh karena itu dan .
Menjawab: .
Contoh 8. Temukan penyebut barisan geometri menurun tak terhingga jika
Dan .
Larutan. Dari rumus (7) berikut ini Dan . Dari sini dan dari kondisi masalah diperoleh sistem persamaan
Jika persamaan pertama sistem tersebut dikuadratkan, lalu bagi persamaan yang dihasilkan dengan persamaan kedua, lalu kita dapatkan
Atau .
Menjawab: .
Contoh 9. Temukan semua nilai yang barisannya , , merupakan barisan geometri.
Larutan. Biarkan , dan . Menurut rumus (2), yang mendefinisikan sifat dasar suatu barisan geometri, kita dapat menulis atau .
Dari sini kita mendapatkan persamaan kuadrat, yang akarnya Dan .
Mari kita periksa: jika, lalu , dan ; jika , maka , dan .
Dalam kasus pertama yang kita miliki dan , dan yang kedua – dan .
Menjawab: , .
Contoh 10.Selesaikan persamaannya
, (11)
dimana dan .
Larutan. Ruas kiri persamaan (11) adalah jumlah barisan geometri menurun tak terhingga, dimana dan , tunduk pada: dan .
Dari rumus (7) berikut ini, Apa . Dalam hal ini, persamaan (11) mengambil bentuk atau . Akar yang cocok persamaan kuadrat adalah
Menjawab: .
Contoh 11. P barisan bilangan positifmembentuk barisan aritmatika, A – perkembangan geometri, apa hubungannya dengan . Menemukan .
Larutan. Karena barisan aritmatika, Itu (sifat utama perkembangan aritmatika). Karena, lalu atau . Ini menyiratkan, bahwa barisan geometri mempunyai bentuk. Menurut rumus (2), lalu kita tuliskan itu.
Sejak dan , lalu . Dalam hal ini, ekspresi mengambil bentuk atau . Dengan syarat, jadi dari Persamaan.kami memperoleh solusi unik untuk masalah yang sedang dipertimbangkan, yaitu. .
Menjawab: .
Contoh 12. Hitung Jumlah
. (12)
Larutan. Kalikan kedua ruas persamaan (12) dengan 5 dan dapatkan
Jika kita mengurangi (12) dari ekspresi yang dihasilkan, Itu
atau .
Untuk menghitung, kita substitusikan nilainya ke dalam rumus (7) dan dapatkan . Dari dulu.
Menjawab: .
Contoh pemecahan masalah yang diberikan di sini akan berguna bagi pelamar ketika mempersiapkan ujian masuk. Untuk mempelajari lebih dalam tentang metode pemecahan masalah, berkaitan dengan perkembangan geometri, Anda dapat menggunakan tutorial dari daftar literatur yang direkomendasikan.
1. Kumpulan Soal Matematika untuk Pelamar Perguruan Tinggi / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir dan Pendidikan, 2013. – 608 hal.
2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: bagian tambahan dari kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 hal.
3. Medinsky M.M. Kursus matematika dasar lengkap dalam soal dan latihan. Buku 2: Urutan Angka dan Perkembangannya. – M.: Editus, 2015. – 208 hal.
Masih ada pertanyaan?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
