Sudut trapesium sama kaki. Halo! Artikel ini akan fokus pada penyelesaian masalah dengan trapesium. Kelompok tugas ini adalah bagian dari ujian; soalnya sederhana. Kita akan menghitung sudut trapesium, alas dan tinggi. Memecahkan sejumlah masalah berarti menyelesaikan, seperti yang mereka katakan: di mana kita tanpa teorema Pythagoras?

Kami akan bekerja dengan trapesium sama kaki. Ia mempunyai sisi dan sudut yang sama besar pada alasnya. Ada artikel tentang trapesium di blog.

Mari kita perhatikan nuansa kecil dan penting, yang tidak akan kita uraikan secara rinci dalam proses penyelesaian tugas itu sendiri. Lihat, jika kita diberi dua alas, maka alas yang lebih besar dengan ketinggian yang diturunkan ke dalamnya dibagi menjadi tiga segmen - satu sama dengan alas yang lebih kecil (ini adalah sisi-sisi yang berlawanan dari persegi panjang), dua lainnya sama besarnya. lainnya (ini adalah kaki-kaki segitiga siku-siku yang sama):

Contoh sederhana: diberikan dua alas trapesium sama kaki 25 dan 65. Alas yang lebih besar dibagi menjadi beberapa segmen sebagai berikut:

*Dan selanjutnya! Simbol huruf tidak termasuk dalam soal. Hal ini dilakukan dengan sengaja agar tidak membebani solusi dengan penyempurnaan aljabar. Saya setuju bahwa ini buta huruf secara matematis, namun tujuannya adalah untuk menyampaikan maksudnya. Dan Anda selalu dapat membuat sendiri sebutan untuk simpul dan elemen lainnya dan menuliskan solusi yang benar secara matematis.

Mari kita pertimbangkan tugasnya:

27439. Alas trapesium sama kaki adalah 51 dan 65. Sisi-sisinya adalah 25. Tentukan sinus sudut lancip trapesium tersebut.

Untuk mencari sudut, Anda perlu menentukan ketinggiannya. Dalam sketsa kami menunjukkan data dalam kondisi kuantitas. Basis bawah adalah 65, dengan ketinggian dibagi menjadi segmen 7, 51 dan 7:

Pada segitiga siku-siku, kita mengetahui sisi miring dan kaki, kita dapat mencari kaki kedua (tinggi trapesium) lalu menghitung sinus sudutnya.

Menurut teorema Pythagoras, kaki yang ditunjukkan sama dengan:

Dengan demikian:

Jawaban: 0,96

27440. Alas trapesium sama kaki adalah 43 dan 73. Kosinus sudut lancip trapesium adalah 5/7. Temukan sisinya.

Mari kita buat ketinggiannya dan catat datanya dalam kondisi besarnya; alas bawah dibagi menjadi segmen 15, 43 dan 15:

27441. Alas lebih besar trapesium sama kaki adalah 34. Sisinya 14. Sinus sudut lancip adalah (2√10)/7. Temukan basis yang lebih kecil.

Mari kita membangun ketinggian. Untuk mencari alas yang lebih kecil, kita perlu mencari berapa ruas kaki segitiga siku-siku (ditunjukkan dengan warna biru):

Kita dapat menghitung tinggi trapesium dan kemudian mencari kakinya:

Dengan menggunakan teorema Pythagoras kita menghitung kaki:

Jadi basis yang lebih kecil adalah:

27442. Alas trapesium sama kaki adalah 7 dan 51. Garis singgung sudut lancip adalah 5/11. Temukan tinggi trapesium tersebut.

Mari kita buat ketinggiannya dan tandai datanya dalam kondisi magnitudo. Basis bawah dibagi menjadi beberapa segmen:

Apa yang harus dilakukan? Kami menyatakan garis singgung sudut yang kami ketahui di alas dalam segitiga siku-siku:

27443. Alas trapesium sama kaki yang lebih kecil adalah 23. Tinggi trapesium adalah 39. Garis singgung sudut lancip adalah 13/8. Temukan basis yang lebih besar.

Kami membangun ketinggian dan menghitung berapa kakinya:

Jadi basis yang lebih besar akan sama dengan:

27444. Alas trapesium sama kaki adalah 17 dan 87. Tinggi trapesium tersebut adalah 14. Tentukan garis singgung sudut lancip.

Kami membangun ketinggian dan menandai nilai yang diketahui pada sketsa. Basis bawah dibagi menjadi segmen 35, 17, 35:

Menurut definisi garis singgung:

77152. Alas trapesium sama kaki adalah 6 dan 12. Sinus sudut lancip trapesium adalah 0,8. Temukan sisinya.

Mari membuat sketsa, membuat ketinggian, dan menandai nilai yang diketahui, alas yang lebih besar dibagi menjadi segmen 3, 6 dan 3:

Mari kita nyatakan sisi miring, yang dilambangkan dengan x, melalui kosinus:

Dari identitas trigonometri utama kita menemukan cosα

Dengan demikian:

27818. Berapa besar sudut trapesium sama kaki jika diketahui selisih sudut-sudut yang berhadapan adalah 50 0? Berikan jawaban Anda dalam derajat.

Dari pelajaran geometri kita mengetahui bahwa jika kita mempunyai dua garis sejajar dan sebuah garis transversal, maka jumlah sudut dalam satu sisi adalah 180 0. Dalam kasus kami, memang demikian

Syaratnya adalah selisih sudut-sudut yang berhadapan sama dengan 50 0, yaitu

Pada artikel ini kami akan mencoba mencerminkan sifat-sifat trapesium semaksimal mungkin. Secara khusus, kita akan membahas tentang ciri-ciri umum dan sifat-sifat trapesium, serta sifat-sifat trapesium bertulisan dan lingkaran pada trapesium. Kita juga akan membahas sifat-sifat trapesium sama kaki dan persegi panjang.

Contoh penyelesaian masalah menggunakan properti yang dibahas akan membantu Anda mengurutkannya ke dalam pikiran Anda dan mengingat materi dengan lebih baik.

Trapeze dan semua-semua-semua

Untuk memulainya, mari kita ingat secara singkat apa itu trapesium dan konsep lain apa yang terkait dengannya.

Jadi, trapesium adalah bangun datar segi empat yang dua sisinya sejajar satu sama lain (inilah alasnya). Dan keduanya tidak sejajar - ini adalah sisinya.

Dalam trapesium, tingginya dapat diturunkan - tegak lurus dengan alasnya. Garis tengah dan diagonal digambar. Dimungkinkan juga untuk menggambar garis bagi dari sudut mana pun pada trapesium.

Sekarang kita akan membahas berbagai properti yang terkait dengan semua elemen ini dan kombinasinya.

Sifat-sifat diagonal trapesium

Agar lebih jelas, saat Anda membaca, buat sketsa ACME trapesium di selembar kertas dan gambar diagonal di dalamnya.

1. Jika Anda menemukan titik tengah masing-masing diagonal (sebut saja titik ini X dan T) dan menghubungkannya, Anda mendapatkan sebuah segmen. Salah satu sifat diagonal trapesium adalah ruas HT terletak pada garis tengah. Dan panjangnya dapat diperoleh dengan membagi selisih alasnya dengan dua: ХТ = (a – b)/2.
2. Di depan kita ada ACME trapesium yang sama. Diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O. Perhatikan segitiga AOE dan MOK yang dibentuk oleh ruas-ruas diagonalnya bersama dengan alas trapesium. Segitiga-segitiga ini sebangun. Koefisien kemiripan k segitiga dinyatakan melalui perbandingan alas trapesium: k = AE/KM.
   Perbandingan luas segitiga AOE dan MOK dijelaskan dengan koefisien k 2 .
3. Trapesium yang sama, diagonal-diagonal yang sama berpotongan di titik O. Hanya saja kali ini kita akan membahas segitiga-segitiga yang dibentuk oleh ruas-ruas diagonalnya bersama dengan sisi-sisi trapesium tersebut. Luas segitiga AKO dan EMO sama besar – luasnya sama.
4. Properti lain dari trapesium melibatkan konstruksi diagonal. Jadi, jika sisi AK dan ME diteruskan ke arah alas yang lebih kecil, maka cepat atau lambat keduanya akan berpotongan di titik tertentu. Selanjutnya, tarik garis lurus melalui bagian tengah alas trapesium. Ini memotong pangkalan di titik X dan T.
   Jika garis XT dipanjangkan sekarang, maka garis tersebut akan menghubungkan titik potong diagonal-diagonal trapesium O, titik potong perpanjangan sisi-sisi dan titik tengah alas X dan T.
5. Melalui titik potong diagonal-diagonalnya kita menggambar sebuah ruas yang menghubungkan alas-alas trapesium (T terletak pada alas KM yang lebih kecil, X pada alas AE yang lebih besar). Titik potong diagonal-diagonalnya membagi ruas tersebut dengan perbandingan sebagai berikut: KE/SAPI = KM/AE.
6. Sekarang, melalui titik potong diagonalnya, kita akan menggambar ruas yang sejajar dengan alas trapesium (a dan b). Titik potong tersebut akan membaginya menjadi dua bagian yang sama besar. Anda dapat mencari panjang ruas menggunakan rumus 2ab/(a + b).

Sifat-sifat garis tengah trapesium

Gambarlah garis tengah trapesium sejajar dengan alasnya.

1. Panjang garis tengah trapesium dapat dihitung dengan menjumlahkan panjang alasnya dan membaginya menjadi dua: m = (a + b)/2.
2. Jika Anda menggambar suatu ruas (tinggi, misalnya) melalui kedua alas trapesium, garis tengah akan membaginya menjadi dua bagian yang sama besar.

Sifat garis bagi trapesium

Pilih sudut mana pun dari trapesium dan gambar garis bagi. Mari kita ambil contoh, sudut KAE dari trapesium ACME kita. Setelah menyelesaikan konstruksinya sendiri, Anda dapat dengan mudah memverifikasi bahwa garis bagi memotong dari alasnya (atau kelanjutannya pada garis lurus di luar gambar itu sendiri) suatu segmen yang panjangnya sama dengan sisinya.

Sifat-sifat sudut trapesium

1. Manakah dari dua pasang sudut yang berdekatan dengan sisi yang Anda pilih, jumlah sudut pada pasangan tersebut selalu 180 0: α + β = 180 0 dan γ + δ = 180 0.
2. Mari kita hubungkan titik tengah alas trapesium dengan ruas TX. Sekarang mari kita lihat sudut alas trapesium. Jika jumlah sudut salah satu sudutnya adalah 90 0, panjang ruas TX dapat dengan mudah dihitung berdasarkan selisih panjang alasnya, dibagi dua: TX = (AE – KM)/2.
3. Jika garis sejajar ditarik melalui sisi-sisi sudut trapesium, garis-garis tersebut akan membagi sisi-sisi sudut tersebut menjadi segmen-segmen yang sebanding.

Sifat-sifat trapesium sama kaki (sama sisi).

1. Pada trapesium sama kaki, sudut pada setiap alasnya sama besar.
2. Sekarang buatlah trapesium lagi agar lebih mudah membayangkan apa yang sedang kita bicarakan. Perhatikan baik-baik alas AE - titik sudut alas M yang berlawanan diproyeksikan ke suatu titik tertentu pada garis yang memuat AE. Jarak titik proyeksi A ke titik proyeksi titik M dan garis tengah trapesium sama kaki adalah sama.
3. Sedikit penjelasan tentang sifat diagonal trapesium sama kaki - panjangnya sama. Dan juga sudut kemiringan diagonal-diagonal tersebut terhadap alas trapesium adalah sama.
4. Hanya di sekitar trapesium sama kaki sebuah lingkaran dapat digambarkan, karena jumlah sudut yang berhadapan pada suatu segiempat adalah 180 0 - prasyarat untuk ini.
5. Sifat trapesium sama kaki mengikuti paragraf sebelumnya - jika sebuah lingkaran dapat digambarkan di dekat trapesium, maka lingkaran tersebut adalah sama kaki.
6. Dari ciri-ciri trapesium sama kaki berikut sifat-sifat tinggi trapesium: jika diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus, maka panjang tingginya sama dengan setengah jumlah alasnya: jam = (a + b)/2.
7. Sekali lagi, tarik segmen TX melalui titik tengah alas trapesium - pada trapesium sama kaki, segmen tersebut tegak lurus terhadap alasnya. Dan pada saat yang sama TX adalah sumbu simetri trapesium sama kaki.
8. Kali ini, turunkan tinggi dari titik sudut berlawanan trapesium ke alas yang lebih besar (sebut saja a). Anda akan mendapatkan dua segmen. Panjang satu dapat dicari jika panjang alasnya dijumlahkan dan dibagi dua: (a + b)/2. Kita mendapatkan bilangan kedua dengan mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan pokok yang lebih besar dan membagi selisih yang dihasilkan dengan dua: (a – b)/2.

Sifat-sifat trapesium yang tertulis dalam lingkaran

Karena kita sudah berbicara tentang trapesium yang tertulis dalam lingkaran, mari kita bahas masalah ini lebih terinci. Khususnya, letak pusat lingkaran terhadap trapesium. Di sini juga disarankan agar Anda meluangkan waktu untuk mengambil pensil dan menggambar apa yang akan dibahas di bawah ini. Dengan cara ini Anda akan memahami lebih cepat dan mengingat lebih baik.

1. Letak pusat lingkaran ditentukan oleh sudut kemiringan diagonal trapesium terhadap sisinya. Misalnya, diagonal dapat memanjang dari atas trapesium tegak lurus ke samping. Dalam hal ini, alas yang lebih besar memotong pusat lingkaran tepat di tengahnya (R = ½AE).
2. Diagonal dan sisinya juga dapat bertemu pada sudut lancip - maka pusat lingkaran berada di dalam trapesium.
3. Pusat lingkaran yang dibatasi mungkin berada di luar trapesium, di luar alasnya yang lebih besar, jika terdapat sudut tumpul antara diagonal trapesium dan sisinya.
4. Sudut yang dibentuk oleh diagonal dan alas besar trapesium ACME (sudut tertulis) adalah setengah sudut pusat yang bersesuaian dengannya: MAE = ½MOE.
5. Secara singkat tentang dua cara mencari jari-jari lingkaran yang dibatasi. Metode satu: perhatikan baik-baik gambar Anda - apa yang Anda lihat? Anda dapat dengan mudah melihat bahwa diagonal membagi trapesium menjadi dua segitiga. Jari-jari dapat dicari dengan perbandingan sisi-sisi segitiga dengan sinus sudut yang berhadapan, dikalikan dua. Misalnya, R = AE/2*sinAME. Dengan cara serupa, rumus dapat ditulis untuk salah satu sisi kedua segitiga.
6. Cara kedua: mencari jari-jari lingkaran yang dibatasi melalui luas segitiga yang dibentuk oleh diagonal, sisi, dan alas trapesium: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Sifat-sifat trapesium yang dibatasi pada lingkaran

Anda dapat memasukkan lingkaran ke dalam trapesium jika salah satu syaratnya terpenuhi. Baca lebih lanjut tentangnya di bawah. Dan jika digabungkan, kombinasi angka-angka ini memiliki sejumlah sifat menarik.

1. Jika sebuah lingkaran terdapat pada trapesium, panjang garis tengahnya dapat dengan mudah dicari dengan menjumlahkan panjang sisi-sisinya dan membagi hasilnya menjadi dua: m = (c + d)/2.
2. Untuk ACME trapesium yang dibatasi pada lingkaran, jumlah panjang alasnya sama dengan jumlah panjang sisinya: AK + SAYA = KM + AE.
3. Dari sifat alas trapesium ini, pernyataan kebalikannya sebagai berikut: sebuah lingkaran dapat dimasukkan ke dalam trapesium yang jumlah alasnya sama dengan jumlah sisi-sisinya.
4. Titik singgung lingkaran berjari-jari r pada trapesium membagi sisinya menjadi dua segmen, sebut saja a dan b. Jari-jari lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus: r = √ab.
5. Dan satu properti lagi. Untuk menghindari kebingungan, gambarlah sendiri contoh ini juga. Kami memiliki ACME trapesium tua yang bagus, digambarkan dalam lingkaran. Berisi diagonal-diagonal yang berpotongan di titik O. Segitiga AOK dan EOM dibentuk oleh ruas-ruas diagonal dan sisi-sisi lateralnya berbentuk persegi panjang.
   Ketinggian segitiga-segitiga ini, diturunkan ke sisi miring (yaitu, sisi lateral trapesium), bertepatan dengan jari-jari lingkaran yang tertulis. Dan tinggi trapesium tersebut bertepatan dengan diameter lingkaran yang tertulis.

Sifat-sifat trapesium persegi panjang

Trapesium disebut persegi panjang jika salah satu sudutnya siku-siku. Dan sifat-sifatnya berasal dari keadaan ini.

1. Trapesium berbentuk persegi panjang yang salah satu sisinya tegak lurus dengan alasnya.
2. Tinggi dan sisi trapesium yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sama. Ini memungkinkan Anda menghitung luas trapesium persegi panjang (rumus umum S = (a + b) * jam/2) tidak hanya melalui tingginya, tetapi juga melalui sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku.
3. Untuk trapesium persegi panjang, sifat-sifat umum diagonal trapesium yang telah dijelaskan di atas adalah relevan.

Bukti beberapa sifat trapesium

Persamaan sudut pada alas trapesium sama kaki:

• Anda mungkin sudah menebak bahwa di sini kita memerlukan trapesium AKME lagi - gambar trapesium sama kaki. Tariklah garis lurus MT dari titik sudut M, sejajar dengan sisi AK (MT || AK).

AKMT segi empat yang dihasilkan berupa jajar genjang (AK || MT, KM || AT). Karena ME = KA = MT, ∆ MTE sama kaki dan MET = MTE.

AK || MT, maka MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Dimana AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Sekarang, berdasarkan sifat trapesium sama kaki (persamaan diagonal), kita buktikan trapesium ACME adalah sama kaki:

• Pertama kita menggambar garis lurus MX – MX || KE. Kita memperoleh jajar genjang KMHE (basis – MX || KE dan KM || EX).

∆AMX adalah sama kaki, karena AM = KE = MX, dan MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, maka MAE = MXE.

Ternyata segitiga AKE dan EMA sama besar, karena AM = KE dan AE adalah sisi persekutuan kedua segitiga tersebut. Dan juga MAE = MXE. Dapat disimpulkan bahwa AK = SAYA, sehingga AKME trapesium adalah sama kaki.

Tinjau tugas

Alas trapesium ACME berukuran 9 cm dan 21 cm, sisi KA sama dengan 8 cm membentuk sudut 150 0 dengan alas yang lebih kecil. Anda perlu mencari luas trapesium.

Penyelesaian: Dari titik sudut K kita turunkan tingginya ke alas trapesium yang lebih besar. Dan mari kita mulai melihat sudut-sudut trapesium.

Sudut AEM dan KAN bersisi satu. Artinya totalnya mereka memberi 180 0. Jadi KAN = 30 0 (berdasarkan sifat sudut trapesium).

Sekarang mari kita perhatikan ∆ANC persegi panjang (Saya yakin poin ini jelas bagi pembaca tanpa bukti tambahan). Dari sana kita akan menemukan tinggi trapesium KH - dalam sebuah segitiga itu adalah kaki yang terletak di seberang sudut 30 0. Jadi KN = ½AB = 4 cm.

Kita mencari luas trapesium dengan rumus: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Kata penutup

Jika Anda mempelajari artikel ini dengan cermat dan penuh pertimbangan, tidak terlalu malas menggambar trapesium untuk semua properti yang diberikan dengan pensil di tangan Anda dan menganalisisnya dalam praktik, Anda seharusnya sudah menguasai materi dengan baik.

Tentu saja, ada banyak informasi di sini, bervariasi dan kadang-kadang bahkan membingungkan: tidak begitu sulit untuk mengacaukan sifat-sifat trapesium yang dijelaskan dengan sifat-sifat yang tertulis. Namun Anda sendiri telah melihat bahwa perbedaannya sangat besar.

Sekarang Anda memiliki gambaran rinci tentang semua sifat umum trapesium. Serta sifat dan ciri khusus trapesium sama kaki dan persegi panjang. Sangat nyaman digunakan untuk mempersiapkan ujian dan ujian. Cobalah sendiri dan bagikan tautannya dengan teman-teman Anda!

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Trapesium adalah bangun datar empat persegi, yang kedua sisi berhadapannya sejajar. Mereka disebut pangkalan trapesium, dan dua sisi lainnya adalah sisi lateral trapesium.

instruksi

Masalah menemukan sudut sembarang trapesium memerlukan data tambahan dalam jumlah yang cukup. Perhatikan contoh di mana dua sudut alas diketahui trapesium. Diketahui sudut &ang-BAD dan &ang-CDA, mari kita cari sudut &ang-ABC dan &ang-BCD. Trapesium mempunyai sifat jumlah sudut pada setiap sisinya adalah 180°. Maka &ang-ABC = 180°--&ang-BAD, dan &ang-BCD = 180°--&ang-CDA.

trapesium" class="lightbx" data-lightbox="artikel-gambar">

Masalah lain mungkin menunjukkan persamaan sisi trapesium dan beberapa sudut tambahan. Misalnya seperti pada gambar, diketahui sisi-sisi AB, BC, dan CD sama panjang, dan diagonalnya membentuk sudut &ang-CAD = α- dengan alas bawah persegi ABC sama kaki karena AB = BC. Maka &ang-BAC = &ang-BCA. Mari kita nyatakan x agar singkatnya, dan &ang-ABC - y. Jumlah sudut ketiganya persegi a sama dengan 180°-, maka 2x + y = 180°-, maka y = 180°- - 2x. Pada saat yang sama, dari properti trapesium: y + x + α- = 180°- dan karenanya 180°- - 2x + x + α- = 180°-. Jadi x = α-. Kami menemukan dua sudut trapesium: &ang-BAC = 2x = 2α- dan &ang-ABC = y = 180°- - 2α-. Karena AB = CD dengan syarat maka trapesium tersebut adalah sama kaki atau sama kaki. Cara,