Untuk mencari domain definisi fungsi-fungsi persekutuan, pada pelajaran ini kita akan menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan satu variabel.
Juga akan ada tugas yang harus Anda selesaikan sendiri, dan Anda dapat melihat jawabannya.
Apa domain definisi suatu fungsi? Mari kita lihat grafik fungsi pada gambar. Setiap titik pada grafik suatu fungsi berhubungan dengan nilai tertentu dari "x" - argumen dari fungsi tersebut dan nilai tertentu dari "y" - dari fungsi itu sendiri. Dari argumen - "x" - "y" - nilai fungsi - dihitung. Domain definisi suatu fungsi adalah himpunan semua nilai "x" yang "y" - nilai fungsinya - ada, sehingga dapat dihitung. Dengan kata lain, himpunan nilai argumen tempat “fungsi bekerja”. Sebagian besar fungsi ditentukan oleh rumus. Oleh karena itu, domain suatu fungsi juga merupakan himpunan terbesar yang rumusnya masuk akal.
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi. Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol, karena tidak dapat dibagi dengan nol. Oleh karena itu, dengan menyamakan penyebutnya dengan nol, kita memperoleh nilai yang tidak termasuk dalam domain definisi fungsi: 1. Dan domain definisi fungsi adalah semua nilai “x” dari minus tak terhingga hingga satu dan dari satu hingga plus tak terhingga. Hal ini terlihat jelas pada grafik
Contoh 0. Bagaimana mencari domain definisi fungsi i sama dengan akar kuadrat dari x dikurangi lima (ekspresi radikal x dikurangi lima) ()? Anda hanya perlu menyelesaikan pertidaksamaan tersebut
X - 5 ≥ 0 ,
karena agar kita mendapatkan nilai sebenarnya dari permainan tersebut, ekspresi radikal harus lebih besar dari atau sama dengan nol. Kita mendapatkan solusinya: domain definisi fungsi adalah semua nilai x lebih besar dari atau sama dengan lima (atau x termasuk dalam interval dari lima inklusif hingga plus tak terhingga).
Pada gambar di atas merupakan penggalan sumbu bilangan. Di atasnya, wilayah definisi fungsi yang dipertimbangkan diarsir, sedangkan pada arah “plus” penetasan berlanjut tanpa batas seiring dengan sumbu itu sendiri.
Domain definisi konstanta
Konstan (konstan) didefinisikan untuk nilai riil apa pun X R bilangan real. Dapat juga ditulis seperti ini: domain definisi fungsi ini adalah seluruh garis bilangan ]- ∞; + ∞[ .
Contoh 1. Temukan domain suatu fungsi kamu = 2 .
Larutan. Daerah definisi suatu fungsi tidak dicantumkan, artinya berdasarkan definisi di atas yang dimaksud adalah daerah definisi alami. Ekspresi F(X) = 2 ditentukan untuk nilai riil apa pun X, oleh karena itu, fungsi ini didefinisikan pada keseluruhan himpunan R bilangan real.
Oleh karena itu, pada gambar di atas, garis bilangan diarsir mulai dari minus tak terhingga hingga plus tak terhingga.
Area definisi akar N gelar ke-th
Dalam kasus ketika fungsi diberikan oleh rumus dan N- bilangan asli:
Contoh 2. Temukan domain suatu fungsi .
Larutan. Sebagai berikut dari definisinya, akar derajat genap masuk akal jika ekspresi radikalnya non-negatif, yaitu jika - 1 ≤ X≤ 1. Oleh karena itu, domain definisi fungsi ini adalah [- 1; 1] .
Daerah garis bilangan yang diarsir pada gambar di atas merupakan daerah definisi fungsi tersebut.
Domain fungsi kekuasaan
Domain fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat
Jika A- positif, maka daerah definisi fungsinya adalah himpunan semua bilangan real, yaitu ]- ∞; + ∞[ ;
Jika A- negatif, maka domain definisi fungsinya adalah himpunan ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , yaitu seluruh garis bilangan kecuali nol.
Pada gambar yang sesuai di atas, seluruh garis bilangan diarsir, dan titik yang sesuai dengan nol dilubangi (tidak termasuk dalam domain definisi fungsi).
Contoh 3. Temukan domain suatu fungsi .
Larutan. Suku pertama adalah pangkat bilangan bulat x sama dengan 3, dan pangkat x pada suku kedua dapat direpresentasikan sebagai satu - juga bilangan bulat. Oleh karena itu, domain definisi fungsi ini adalah seluruh garis bilangan, yaitu ]- ∞; + ∞[ .
Domain fungsi pangkat dengan eksponen pecahan
Dalam hal fungsi diberikan dengan rumus:
jika positif, maka daerah definisi fungsinya adalah himpunan 0; + ∞[ .
Contoh 4. Temukan domain suatu fungsi .
Larutan. Kedua suku dalam ekspresi fungsi tersebut merupakan fungsi pangkat dengan eksponen pecahan positif. Oleh karena itu, domain definisi fungsi ini adalah himpunan - ∞; + ∞[ .
Domain fungsi eksponensial dan logaritma
Domain fungsi eksponensial
Dalam hal suatu fungsi diberikan suatu rumus, daerah definisi fungsi tersebut adalah seluruh garis bilangan, yaitu ] - ∞; + ∞[ .
Domain fungsi logaritma
Fungsi logaritma didefinisikan asalkan argumennya positif, yaitu domain definisinya adalah himpunan ]0; + ∞[ .
Temukan sendiri domain fungsinya, lalu lihat solusinya
Domain fungsi trigonometri
Domain Fungsi kamu= karena( X) - juga banyak R bilangan real.
Domain Fungsi kamu=tg( X) - sekelompok R
bilangan real selain bilangan 
.
Domain Fungsi kamu= ctg( X) - sekelompok R bilangan real, kecuali bilangan.
Contoh 8. Temukan domain suatu fungsi .
Larutan. Fungsi eksternal adalah logaritma desimal dan domain definisinya tunduk pada ketentuan domain definisi fungsi logaritma secara umum. Artinya, argumennya harus positif. Argumennya di sini adalah sinus dari "x". Memutar kompas imajiner mengelilingi lingkaran, kita melihat bahwa kondisinya berdosa X> 0 dilanggar jika “x” sama dengan nol, “pi”, dua, dikalikan dengan “pi” dan umumnya sama dengan hasil kali “pi” dan bilangan bulat genap atau ganjil.
Jadi, domain definisi fungsi ini diberikan oleh ekspresi
,
Di mana k- bilangan bulat.
Domain definisi fungsi trigonometri terbalik
Domain Fungsi kamu= busursin( X) - atur [-1; 1] .
Domain Fungsi kamu= arccos( X) - juga himpunan [-1; 1] .
Domain Fungsi kamu= arctan( X) - sekelompok R bilangan real.
Domain Fungsi kamu= arcctg( X) - juga banyak R bilangan real.
Contoh 9. Temukan domain suatu fungsi .
Larutan. Mari selesaikan pertidaksamaan:
Jadi, kita memperoleh domain definisi fungsi ini - segmen [- 4; 4] .
Contoh 10. Temukan domain suatu fungsi
.
Larutan. Mari selesaikan dua pertidaksamaan:
Penyelesaian pertidaksamaan pertama:
Penyelesaian pertidaksamaan kedua:
Jadi, kita memperoleh domain definisi fungsi ini - segmen.
Ruang lingkup pecahan
Jika suatu fungsi diberikan oleh ekspresi pecahan yang variabelnya berada pada penyebut pecahan, maka daerah definisi fungsi tersebut adalah himpunan R bilangan real, kecuali ini X, yang penyebut pecahannya menjadi nol.
Contoh 11. Temukan domain suatu fungsi .
Larutan. Dengan menyelesaikan persamaan penyebut pecahan dengan nol, kita menemukan domain definisi fungsi ini - himpunan ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .
Contoh 12. Temukan domain suatu fungsi .
Larutan. Mari selesaikan persamaannya:
Jadi, kita memperoleh domain definisi fungsi ini - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .
Pertama, mari kita pelajari cara menemukannya domain definisi jumlah fungsi. Jelas bahwa fungsi seperti itu masuk akal untuk semua nilai variabel yang semua fungsi yang membentuk penjumlahannya masuk akal. Oleh karena itu, tidak ada keraguan mengenai keabsahan pernyataan berikut:
Jika fungsi f adalah jumlah dari n fungsi f 1, f 2, …, f n, maka fungsi f diberikan dengan rumus y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), maka domain definisi fungsi f adalah perpotongan domain definisi fungsi f 1, f 2, ..., f n. Mari kita tulis ini sebagai .
Mari kita sepakat untuk terus menggunakan entri yang mirip dengan yang terakhir, yang kami maksudkan ditulis di dalam kurung kurawal, atau pemenuhan kondisi apa pun secara bersamaan. Hal ini nyaman dan secara alami selaras dengan makna sistem.
Contoh.
Fungsi y=x 7 +x+5+tgx diberikan, dan kita perlu mencari domain definisinya.
Larutan.
Fungsi f diwakili oleh jumlah empat fungsi: f 1 - fungsi pangkat dengan eksponen 7, f 2 - fungsi pangkat dengan eksponen 1, f 3 - fungsi konstan dan f 4 - fungsi tangen.
Melihat tabel domain definisi fungsi dasar dasar, kita menemukan bahwa D(f 1)=(−∞, +∞), D(f 2)=(−∞, +∞), D(f 3)= (−∞, +∞), dan daerah definisi garis singgung adalah himpunan semua bilangan real kecuali bilangan tersebut 
.
Daerah definisi fungsi f merupakan perpotongan daerah definisi fungsi f 1, f 2, f 3 dan f 4. Jelas sekali bahwa ini adalah himpunan semua bilangan real, kecuali bilangan .
Menjawab:
himpunan semua bilangan real kecuali .
Mari kita beralih ke pencarian domain definisi produk fungsi. Untuk kasus ini, aturan serupa berlaku:
Jika fungsi f adalah hasil kali n fungsi f 1, f 2, ..., f n, maka fungsi f diberikan oleh rumus kamu=f 1 (x) f 2 (x)… fn (x), maka domain definisi fungsi f adalah perpotongan domain definisi fungsi f 1, f 2, ..., f n. Jadi, .
Hal ini dapat dimengerti, di area yang ditunjukkan semua fungsi produk didefinisikan, dan karenanya fungsi f itu sendiri.
Contoh.
Y=3·arctgx·lnx .
Larutan.
Struktur ruas kanan rumus yang mendefinisikan fungsi tersebut dapat dianggap sebagai f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), dengan f 1 adalah fungsi konstan, f 2 adalah fungsi arctangent, dan f 3 adalah fungsi logaritma dengan basis e.
Kita tahu bahwa D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) dan D(f 3)=(0, +∞) . Kemudian 
.
Menjawab:
Daerah asal fungsi y=3·arctgx·lnx adalah himpunan semua bilangan real positif.
Mari kita secara terpisah fokus mencari domain definisi suatu fungsi yang ditentukan oleh rumus y=C·f(x), di mana C adalah suatu bilangan real. Mudah untuk menunjukkan bahwa domain definisi fungsi ini dan domain definisi fungsi f bertepatan. Memang benar, fungsi y=C·f(x) adalah hasil kali fungsi konstan dan fungsi f. Domain suatu fungsi konstanta adalah himpunan semua bilangan real, dan domain suatu fungsi f adalah D(f) . Maka daerah definisi fungsi y=C f(x) adalah 
, itulah yang perlu ditampilkan.
Jadi, daerah definisi fungsi y=f(x) dan y=C·f(x), di mana C adalah suatu bilangan real, berhimpitan. Misalnya, domain dari akar adalah , maka menjadi jelas bahwa D(f) adalah himpunan semua x dari domain fungsi f 2 yang mana f 2 (x) termasuk dalam domain fungsi f 1 .
Dengan demikian, domain definisi fungsi kompleks y=f 1 (f 2 (x)) adalah perpotongan dua himpunan: himpunan semua x sedemikian sehingga x∈D(f 2) dan himpunan semua x yang f 2 (x)∈D(f 1) . Artinya, dalam notasi yang kami adopsi 
(ini pada dasarnya adalah sistem ketidaksetaraan).
Mari kita lihat beberapa contoh solusi. Kami tidak akan menjelaskan prosesnya secara detail, karena ini berada di luar cakupan artikel ini.
Contoh.
Tentukan domain definisi fungsi y=lnx 2 .
Larutan.
Fungsi aslinya dapat direpresentasikan sebagai y=f 1 (f 2 (x)), dengan f 1 adalah logaritma dengan basis e, dan f 2 adalah fungsi pangkat dengan eksponen 2.
Beralih ke domain definisi fungsi dasar utama yang diketahui, kita memiliki D(f 1)=(0, +∞) dan D(f 2)=(−∞, +∞) .
Kemudian 
Jadi kami menemukan domain definisi fungsi yang kami butuhkan, yaitu himpunan semua bilangan real kecuali nol.
Menjawab:
(−∞, 0)∪(0, +∞) .
Contoh.
Apa domain suatu fungsi 
?
Larutan.
Fungsi ini kompleks, dapat dianggap sebagai y=f 1 (f 2 (x)), di mana f 1 adalah fungsi pangkat dengan eksponen, dan f 2 adalah fungsi busur, dan kita perlu mencari domain definisinya.
Mari kita lihat apa yang kita ketahui: D(f 1)=(0, +∞) dan D(f 2)=[−1, 1] . Tetap mencari perpotongan himpunan nilai x sedemikian rupa sehingga x∈D(f 2) dan f 2 (x)∈D(f 1) : 
Untuk arcsinx>0, ingat properti fungsi arcsine. Sinus busur bertambah di seluruh domain definisi [−1, 1] dan menjadi nol pada x=0, oleh karena itu, arcsinx>0 untuk sembarang x dari interval (0, 1] .
Mari kita kembali ke sistem: 
Jadi, domain definisi fungsi yang diperlukan adalah setengah interval (0, 1].
Menjawab:
(0, 1] .
Sekarang mari kita beralih ke fungsi kompleks dari bentuk umum y=f 1 (f 2 (...f n (x)))). Domain definisi fungsi f dalam hal ini ditemukan sebagai 
.
Contoh.
Temukan domain suatu fungsi 
.
Larutan.
Suatu fungsi kompleks tertentu dapat ditulis sebagai y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), dengan f 1 – sin, f 2 – akar fungsi derajat keempat, f 3 – log.
Kita tahu bahwa D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=∪∪∪/Mode akses: Bahan dari situs www.fipi.ru, www.eg
Lampiran 1
Kerja Praktek “ODZ: kapan, mengapa dan bagaimana?”
|
Pilihan 1 |
pilihan 2 |
|
│x+14│= 2 - 2x |
|
|
│3x│=1 - 3x |
Lampiran 2
Jawaban tugas kerja praktek “ODZ: kapan, mengapa dan bagaimana?”
|
Pilihan 1 |
pilihan 2 |
|
Jawaban: tidak ada akar |
Jawaban: x-bilangan apa pun kecuali x=5 |
|
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Jawaban: tidak ada akar |
ODZ: x=-3, x=5. Jawaban: -3;5. |
|
kamu= -menurun, kamu= -meningkat Artinya persamaan tersebut mempunyai paling banyak satu akar. Jawaban: x=6. |
ODZ: → →х≥5 Jawaban: x≥5, x≤-6. |
|
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 bukan milik ODZ |
Berkurang, bertambah Persamaan tersebut mempunyai paling banyak satu akar. Jawaban: tidak ada akar. |
|
0, ODZ: x≥3, x≤2 Jawaban: x≥3, x≤2 |
8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Jawaban: tidak ada akar. |
|
x=7, x=1. Jawaban: tidak ada solusi |
Meningkat - menurun Jawaban: x=2. |
|
0 ODZ: x≠15 Jawaban: x adalah bilangan apa pun kecuali x=15. |
│3-х│=1-3х, ODZ: 1-3х≥0, x≤ x=-1, x=1 bukan milik ODZ. Jawaban: x=-1. |
Persamaan pecahan. ODZ.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Kami terus menguasai persamaannya. Kita sudah mengetahui cara mengerjakan persamaan linier dan kuadrat. Tampilan terakhir tersisa - persamaan pecahan. Atau mereka juga disebut dengan lebih terhormat - persamaan rasional pecahan. Sama.
Persamaan pecahan.
Sesuai dengan namanya, persamaan tersebut tentu mengandung pecahan. Namun bukan hanya pecahan saja, melainkan pecahan yang ada tidak diketahui penyebutnya. Setidaknya dalam satu. Misalnya:
Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa jika hanya ada penyebutnya angka, ini adalah persamaan linier.
Bagaimana cara memutuskan persamaan pecahan? Pertama-tama, hilangkan pecahan! Setelah itu, persamaan tersebut paling sering berubah menjadi linier atau kuadrat. Dan kemudian kita tahu apa yang harus dilakukan... Dalam beberapa kasus, ini bisa berubah menjadi identitas, seperti 5=5 atau ekspresi yang salah, seperti 7=2. Namun hal ini jarang terjadi. Saya akan menyebutkannya di bawah.
Tapi bagaimana cara menghilangkan pecahan!? Sangat sederhana. Menerapkan transformasi identik yang sama.
Kita perlu mengalikan seluruh persamaan dengan persamaan yang sama. Sehingga semua penyebutnya berkurang! Semuanya akan segera menjadi lebih mudah. Izinkan saya menjelaskan dengan sebuah contoh. Mari kita selesaikan persamaannya:
Bagaimana cara Anda diajar di sekolah dasar? Kami memindahkan semuanya ke satu sisi, membawanya ke penyebut yang sama, dll. Lupakan saja seperti mimpi buruk! Inilah yang perlu Anda lakukan saat menjumlahkan atau mengurangkan pecahan. Atau Anda bekerja dengan ketidaksetaraan. Dan dalam persamaan, kita segera mengalikan kedua ruas dengan ekspresi yang akan memberi kita kesempatan untuk mengurangi semua penyebutnya (yaitu, pada dasarnya, dengan penyebut yang sama). Dan apa ungkapan ini?
Di sisi kiri, pengurangan penyebutnya perlu dikalikan dengan x+2. Dan di sebelah kanan, diperlukan perkalian dengan 2. Artinya persamaan tersebut harus dikalikan 2(x+2). Berkembang biak:
Ini adalah perkalian pecahan yang umum, namun saya akan menjelaskannya secara detail:
Harap dicatat bahwa saya belum membuka braket (x + 2)! Jadi, secara keseluruhan, saya menulisnya:
Di sisi kiri, ia berkontraksi seluruhnya (x+2), dan di sebelah kanan 2. Itulah yang diperlukan! Setelah pengurangan kita dapatkan linier persamaan:
Dan semua orang bisa menyelesaikan persamaan ini! x = 2.
Mari kita selesaikan contoh lain, yang sedikit lebih rumit:
Jika kita ingat bahwa 3 = 3/1, dan 2x = 2x/ 1, kita dapat menulis:
Dan sekali lagi kita menyingkirkan apa yang tidak kita sukai - pecahan.
Kita melihat bahwa untuk mengurangi penyebutnya dengan X, kita perlu mengalikan pecahannya dengan (x – 2). Dan beberapa bukanlah halangan bagi kami. Baiklah, mari kita perbanyak. Semua sisi kiri dan semua sisi kanan:
Tanda kurung lagi (x – 2) Saya tidak mengungkapkannya. Saya bekerja dengan braket secara keseluruhan seolah-olah itu adalah satu nomor! Hal ini harus selalu dilakukan, jika tidak maka tidak akan ada pengurangan.
Dengan perasaan puas yang mendalam kita menguranginya (x – 2) dan kita mendapatkan persamaan tanpa pecahan, dengan penggaris!
Sekarang mari kita buka tanda kurung:
Kami membawa yang serupa, memindahkan semuanya ke sisi kiri dan mendapatkan:
Namun sebelum itu kita akan belajar memecahkan masalah lain. Sesuai minat. Omong-omong, itu adalah penggaruk!
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Ada banyak sekali fungsi dalam matematika. Dan masing-masing memiliki karakternya sendiri.) Untuk bekerja dengan berbagai macam fungsi yang Anda perlukan lajang pendekatan. Kalau tidak, matematika macam apa ini?!) Dan ada pendekatan seperti itu!
Saat bekerja dengan fungsi apa pun, kami menyajikannya dengan serangkaian pertanyaan standar. Dan pertanyaan pertama yang paling penting adalah domain definisi fungsi. Terkadang area ini disebut himpunan nilai argumen yang valid, area di mana suatu fungsi ditentukan, dll.
Apa domain suatu fungsi? Bagaimana cara menemukannya? Pertanyaan-pertanyaan ini sering kali tampak rumit dan tidak dapat dipahami... Meskipun, pada kenyataannya, semuanya sangat sederhana. Anda dapat melihatnya sendiri dengan membaca halaman ini. Pergi?)
Nah, apa yang bisa saya katakan... Hormati saja.) Ya! Domain natural suatu fungsi (yang dibahas di sini) cocok dengan ekspresi ODZ yang disertakan dalam fungsi. Oleh karena itu, mereka digeledah menurut aturan yang sama.
Sekarang mari kita lihat domain definisi yang tidak sepenuhnya alami.)
Pembatasan tambahan pada cakupan suatu fungsi.
Di sini kita akan berbicara tentang batasan yang dikenakan oleh tugas tersebut. Itu. Tugas tersebut berisi beberapa ketentuan tambahan yang dibuat oleh kompiler. Atau pembatasan muncul dari metode pendefinisian fungsi itu sendiri.
Adapun batasan tugas, semuanya sederhana. Biasanya tidak perlu mencari apa-apa, semuanya sudah disebutkan di tugas. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa batasan yang ditulis oleh penulis tugas tidak dapat dibatalkan keterbatasan mendasar matematika. Anda hanya perlu ingat untuk mempertimbangkan kondisi tugas.
Misalnya, tugas ini:
Temukan domain suatu fungsi:
pada himpunan bilangan positif.
Kami menemukan domain alami definisi fungsi ini di atas. Area ini:
D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪
Dalam metode verbal dalam menentukan suatu fungsi, Anda perlu membaca kondisi dengan cermat dan menemukan batasan pada X di sana. Kadang mata mencari rumus, tapi kata bersiul melewati kesadaran ya...) Contoh pelajaran sebelumnya:
Fungsi tersebut ditentukan dengan syarat: setiap nilai argumen natural x dikaitkan dengan jumlah digit yang membentuk nilai x.
Perlu dicatat di sini bahwa kita sedang berbicara hanya tentang nilai alami X. Kemudian D(f) langsung direkam:
D(P): x ∈ N
Seperti yang Anda lihat, domain suatu fungsi bukanlah konsep yang rumit. Menemukan wilayah ini berarti memeriksa fungsinya, menulis sistem pertidaksamaan, dan menyelesaikan sistem tersebut. Tentu saja, ada berbagai macam sistem, sederhana dan kompleks. Tetapi...
Aku akan memberitahumu sebuah rahasia kecil. Terkadang fungsi yang Anda perlukan untuk menemukan domain definisinya terlihat menakutkan. Saya ingin menjadi pucat dan menangis.) Tetapi begitu saya menuliskan sistem pertidaksamaan... Dan, tiba-tiba, sistem tersebut menjadi dasar! Terlebih lagi, seringkali, semakin buruk fungsinya, semakin sederhana sistemnya...
Moral: mata takut, kepala memutuskan!)
