KETIMPANGAN LOGARITMI DALAM PENGGUNAAN
Sechin Mikhail Alexandrovich
Akademi Ilmu Pengetahuan Kecil untuk Siswa Republik Kazakhstan "Pencari"
MBOU "Sekolah menengah Soviet No. 1", kelas 11, kota. Distrik Soviet Soviet
Gunko Lyudmila Dmitrievna, guru MBOU "sekolah menengah Soviet No. 1"
Distrik Sovietsky
Objektif: studi tentang mekanisme untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritma C3 menggunakan metode non-standar, mengungkapkan fakta menarik tentang logaritma.
Subyek studi:
3) Belajar memecahkan pertidaksamaan logaritmik C3 spesifik menggunakan metode non-standar.
Hasil:
Isi
Pendahuluan……………………………………………………………………………….4
Bab 1. Latar Belakang……………………………………………………….5
Bab 2. Kumpulan Pertidaksamaan Logaritma ………………………… 7
2.1. Transisi ekuivalen dan metode umum interval…………… 7
2.2. Metode rasionalisasi ………………………………………………… 15
2.3. Substitusi non-standar…………………………………………………………………………………………………. ..... 22
2.4. Tugas dengan jebakan …………………………………………………… 27
Kesimpulan……………………………………………………………………… 30
Literatur……………………………………………………………………. 31
pengantar
Saya di kelas 11 dan saya berencana untuk masuk universitas di mana matematika adalah mata pelajaran inti. Dan itulah mengapa saya banyak mengerjakan tugas bagian C. Dalam tugas C3, Anda perlu menyelesaikan ketidaksetaraan non-standar atau sistem pertidaksamaan, biasanya terkait dengan logaritma. Saat mempersiapkan ujian, saya mengalami masalah kurangnya metode dan teknik untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik ujian yang ditawarkan di C3. Metode yang dipelajari dalam kurikulum sekolah tentang topik ini tidak memberikan dasar untuk menyelesaikan tugas C3. Guru matematika menyarankan agar saya mengerjakan tugas C3 sendiri di bawah bimbingannya. Selain itu, saya tertarik dengan pertanyaan: apakah ada logaritma dalam hidup kita?
Dengan pertimbangan ini, tema dipilih:
"Persamaan logaritma dalam ujian"
Objektif: studi tentang mekanisme untuk memecahkan masalah C3 menggunakan metode non-standar, mengungkapkan fakta menarik tentang logaritma.
Subyek studi:
1) Temukan informasi yang diperlukan tentang metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.
2) Temukan informasi tambahan tentang logaritma.
3) Belajar memecahkan masalah C3 tertentu menggunakan metode non-standar.
Hasil:
Signifikansi praktis terletak pada perluasan peralatan untuk memecahkan masalah C3. Materi ini dapat digunakan dalam beberapa pelajaran, untuk melakukan lingkaran, kelas opsional dalam matematika.
Produk proyek akan menjadi kumpulan "Pertidaksamaan logaritmik C3 dengan solusi".
Bab 1. Latar Belakang
Selama abad ke-16, jumlah perkiraan perhitungan meningkat pesat, terutama dalam astronomi. Peningkatan instrumen, studi tentang pergerakan planet, dan pekerjaan lain membutuhkan perhitungan yang sangat besar, terkadang bertahun-tahun. Astronomi berada dalam bahaya nyata tenggelam dalam perhitungan yang tidak terpenuhi. Kesulitan juga muncul di bidang lain, misalnya dalam bisnis asuransi, diperlukan tabel bunga majemuk untuk berbagai nilai persentase. Kesulitan utama adalah perkalian, pembagian angka multi-digit, terutama jumlah trigonometri.
Penemuan logaritma didasarkan pada sifat-sifat progresi yang terkenal pada akhir abad ke-16. Archimedes berbicara tentang hubungan antara anggota deret geometri q, q2, q3, ... dan deret aritmatika indikator mereka 1, 2, 3, ... di Psalmite. Prasyarat lainnya adalah perluasan konsep derajat ke pangkat negatif dan pecahan. Banyak penulis telah menunjukkan bahwa perkalian, pembagian, kenaikan pangkat, dan ekstraksi akar secara eksponensial sesuai dalam aritmatika - dalam urutan yang sama - penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.
Berikut adalah ide logaritma sebagai eksponen.
Dalam sejarah perkembangan doktrin logaritma, beberapa tahapan telah dilalui.
Tahap 1
Logaritma ditemukan paling lambat 1594 secara independen oleh baron Skotlandia Napier (1550-1617) dan sepuluh tahun kemudian oleh mekanik Swiss Burgi (1552-1632). Keduanya ingin memberikan cara baru yang nyaman untuk perhitungan aritmatika, meskipun mereka mendekati masalah ini dengan cara yang berbeda. Napier secara kinematis mengekspresikan fungsi logaritmik dan dengan demikian memasuki bidang teori fungsi baru. Bürgi tetap atas dasar pertimbangan progresi diskrit. Namun, definisi logaritma untuk keduanya tidak sama dengan definisi modern. Istilah "logaritma" (logaritmus) milik Napier. Itu muncul dari kombinasi kata Yunani: logos - "hubungan" dan ariqmo - "angka", yang berarti "jumlah hubungan". Awalnya, Napier menggunakan istilah yang berbeda: numeri artificiales - "bilangan buatan", sebagai lawan dari numeri naturalts - "bilangan asli".
Pada tahun 1615, dalam percakapan dengan Henry Briggs (1561-1631), seorang profesor matematika di Gresh College di London, Napier menyarankan untuk mengambil nol untuk logaritma satu, dan 100 untuk logaritma sepuluh, atau, berapa jumlah yang sama , hanya 1. Beginilah cara logaritma desimal dan Tabel logaritma pertama dicetak. Kemudian, tabel Briggs dilengkapi oleh penjual buku dan matematikawan Belanda Andrian Flakk (1600-1667). Napier dan Briggs, meskipun mereka datang ke logaritma sebelum orang lain, menerbitkan tabel mereka lebih lambat dari yang lain - pada tahun 1620. Tanda-tanda log dan Log diperkenalkan pada tahun 1624 oleh I. Kepler. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Mengoli pada tahun 1659, diikuti oleh N. Mercator pada tahun 1668, dan guru London John Spadel menerbitkan tabel-tabel logaritma bilangan asli dari 1 hingga 1000 dengan nama "logaritma baru".
Di Rusia, tabel logaritmik pertama diterbitkan pada 1703. Namun di semua tabel logaritmik, terjadi kesalahan dalam perhitungan. Tabel bebas kesalahan pertama diterbitkan pada tahun 1857 di Berlin dalam pemrosesan matematikawan Jerman K. Bremiker (1804-1877).
Tahap 2
Pengembangan lebih lanjut dari teori logaritma dikaitkan dengan aplikasi geometri analitik yang lebih luas dan kalkulus yang sangat kecil. Pada saat itu, hubungan antara kuadratur hiperbola sama sisi dan logaritma natural telah dibuat. Teori logaritma periode ini dikaitkan dengan nama sejumlah matematikawan.
Ahli matematika, astronom, dan insinyur Jerman Nikolaus Mercator dalam esainya
"Logarithmotechnics" (1668) memberikan deret yang memberikan ekspansi ln(x + 1) dalam bentuk
kekuatan x:
Ungkapan ini sesuai persis dengan jalan pikirannya, meskipun, tentu saja, dia tidak menggunakan tanda d, ..., tetapi simbol yang lebih rumit. Dengan ditemukannya deret logaritma, teknik penghitungan logaritma berubah: mulai ditentukan menggunakan deret tak hingga. Dalam kuliahnya "Matematika dasar dari sudut pandang yang lebih tinggi", yang dibaca pada tahun 1907-1908, F. Klein menyarankan penggunaan rumus sebagai titik awal untuk membangun teori logaritma.
Tahap 3
Definisi fungsi logaritma sebagai fungsi invers
eksponensial, logaritma sebagai eksponen dari basis yang diberikan
tidak segera dirumuskan. Karya Leonhard Euler (1707-1783)
"Pengantar analisis infinitesimals" (1748) berfungsi sebagai lebih lanjut
pengembangan teori fungsi logaritma. Lewat sini,
134 tahun telah berlalu sejak logaritma pertama kali diperkenalkan
(dihitung dari 1614) sebelum matematikawan menemukan definisi
konsep logaritma, yang sekarang menjadi dasar kursus sekolah.
Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma
2.1. Transisi ekuivalen dan metode umum interval.
Transisi yang setara
jika a > 1
jika 0 <
а <
1
Metode interval umum
Metode ini adalah yang paling universal dalam memecahkan ketidaksetaraan dari hampir semua jenis. Skema solusi terlihat seperti ini:
1. Bawa pertidaksamaan ke bentuk seperti itu, di mana fungsinya terletak di sisi kiri 
, dan 0 di sebelah kanan.
2. Temukan ruang lingkup fungsi .
3. Temukan nol dari suatu fungsi , yaitu, selesaikan persamaan 
(dan menyelesaikan persamaan biasanya lebih mudah daripada menyelesaikan pertidaksamaan).
4. Gambarkan domain definisi dan nol dari fungsi tersebut pada garis nyata.
5. Tentukan tanda-tanda fungsi pada interval yang diterima.
6. Pilih interval di mana fungsi mengambil nilai yang diperlukan, dan tuliskan jawabannya.
Contoh 1
Larutan:
Terapkan metode interval
di mana
Untuk nilai-nilai ini, semua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif.
Menjawab:
Contoh 2
Larutan:
1 cara . ODZ ditentukan oleh pertidaksamaan x> 3. Mengambil logaritma untuk itu x di basis 10, kita dapatkan
Pertidaksamaan terakhir dapat diselesaikan dengan menerapkan aturan dekomposisi, yaitu membandingkan faktor dengan nol. Namun, dalam hal ini mudah untuk menentukan interval kekonstanan fungsi
sehingga metode interval dapat diterapkan.
Fungsi f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ kontinu untuk x> 3 dan menghilang di titik x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Jadi, kami menentukan interval keteguhan fungsi f(x):
Menjawab:
cara ke-2 . Mari kita terapkan ide-ide metode interval langsung ke pertidaksamaan asli.
Untuk ini, kita ingat bahwa ekspresi sebuah b- sebuah c dan ( sebuah - 1)(b- 1) memiliki satu tanda. Maka pertidaksamaan kita untuk x> 3 setara dengan pertidaksamaan
atau
Pertidaksamaan terakhir diselesaikan dengan metode interval
Menjawab:
Contoh 3
Larutan:
Terapkan metode interval
Menjawab:
Contoh 4
Larutan:
Sejak 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 untuk semua nyata x, kemudian
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kedua, kami menggunakan metode interval
Pada pertidaksamaan pertama, kita buat perubahannya
maka kita sampai pada pertidaksamaan 2y 2 - kamu - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те kamu, yang memenuhi pertidaksamaan -0,5< kamu < 1.
Dari mana, karena
kita mendapatkan ketidaksetaraan
yang dilakukan dengan x, untuk 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Sekarang, dengan mempertimbangkan solusi dari ketidaksetaraan kedua dari sistem, kami akhirnya mendapatkan
Menjawab:
Contoh 5
Larutan:
Ketimpangan setara dengan seperangkat sistem
atau
Terapkan metode interval atau
Menjawab:
Contoh 6
Larutan:
Ketimpangan sama saja dengan sebuah sistem
Membiarkan
kemudian kamu > 0,
dan pertidaksamaan pertama
sistem mengambil bentuk
atau, memperluas
trinomial kuadrat untuk faktor,
Menerapkan metode interval ke pertidaksamaan terakhir,
kita melihat bahwa solusinya memenuhi kondisi kamu> 0 akan menjadi segalanya kamu > 4.
Jadi, pertidaksamaan asli ekuivalen dengan sistem:
Jadi, solusi dari pertidaksamaan adalah semua
2.2. metode rasionalisasi.
Sebelumnya, metode rasionalisasi ketidaksetaraan tidak diselesaikan, tidak diketahui. Ini adalah "metode baru yang efektif dan modern untuk memecahkan ketidaksetaraan eksponensial dan logaritmik" (dikutip dari buku oleh Kolesnikova S.I.)
Dan bahkan jika guru mengenalnya, ada ketakutan - tetapi apakah ahli USE mengenalnya, dan mengapa dia tidak diberikan di sekolah? Ada situasi ketika guru berkata kepada siswa: "Di mana kamu mendapatkannya? Duduklah - 2."
Sekarang metode ini sedang dipromosikan di mana-mana. Dan untuk para ahli, ada pedoman yang terkait dengan metode ini, dan dalam "Edisi paling lengkap dari opsi standar ..." dalam solusi C3, metode ini digunakan.
METODENYA BAGUS!
"Meja Ajaib"
Di sumber lain
jika a >1 dan b >1, lalu log a b >0 dan (a -1)(b -1)>0;
jika a >1 dan 0 jika 0<sebuah<1 и b
>1, lalu log a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
jika 0<sebuah<1 и 00 dan (a -1)(b -1)>0. Alasan di atas sederhana, tetapi sangat menyederhanakan solusi pertidaksamaan logaritmik. Contoh 4
log x (x 2 -3)<0
Larutan:
Contoh 5
log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x ) Larutan: Contoh 6
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita tulis (x-1-1) (x-1) sebagai ganti penyebut, dan hasil kali (x-1) (x-3-9 + x) sebagai ganti pembilang. Contoh 7
Contoh 8
2.3. Substitusi non-standar. Contoh 1
Contoh 2
Contoh 3
Contoh 4
Contoh 5
Contoh 6
Contoh 7
log 4 (3 x -1) log 0,25 Mari kita buat substitusi y=3 x -1; maka pertidaksamaan ini berbentuk log 4 log 0,25 Karena log 0.25 Mari kita buat penggantian t =log 4 y dan dapatkan pertidaksamaan t 2 -2t +≥0, solusinya adalah interval - Jadi, untuk menemukan nilai y, kami memiliki dua pertidaksamaan paling sederhana Oleh karena itu, pertidaksamaan asli ekuivalen dengan himpunan dua pertidaksamaan eksponensial, Solusi dari pertidaksamaan pertama dari himpunan ini adalah interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Contoh 8
Larutan:
Ketimpangan sama saja dengan sebuah sistem Solusi dari pertidaksamaan kedua, yang menentukan ODZ, adalah himpunan dari pertidaksamaan tersebut x,
untuk itu x > 0.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, kita buat perubahannya Maka kita mendapatkan pertidaksamaan atau Himpunan solusi dari pertidaksamaan terakhir ditemukan dengan metode interval: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, kita mendapatkan atau Banyak dari mereka x, yang memenuhi pertidaksamaan terakhir milik ODZ ( x> 0), oleh karena itu, adalah solusi untuk sistem, dan karenanya ketidaksetaraan asli. Menjawab: 2.4. Tugas dengan perangkap. Contoh 1
Larutan. ODZ dari pertidaksamaan adalah semua x yang memenuhi kondisi 0 Contoh 2
log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.
Menjawab. (0; 0,5) U .
Menjawab :
(3;6)
.
= -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , maka pertidaksamaan terakhir kita tulis ulang menjadi 2log 4 y -log 4 2 y .
Solusi dari himpunan ini adalah interval 0<у≤2 и 8≤у<+.
yaitu agregat 
. Jadi, pertidaksamaan asli berlaku untuk semua nilai x dari interval 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
. Oleh karena itu, semua x dari interval 0
Kesimpulan
Tidak mudah untuk menemukan metode khusus untuk memecahkan masalah C3 dari berbagai macam sumber pendidikan yang berbeda. Selama pekerjaan yang dilakukan, saya dapat mempelajari metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik yang kompleks. Ini adalah: transisi setara dan metode interval umum, metode rasionalisasi , substitusi non-standar , tugas dengan jebakan di ODZ. Metode-metode ini tidak ada dalam kurikulum sekolah.
Dengan menggunakan metode yang berbeda, saya memecahkan 27 ketidaksetaraan yang ditawarkan pada ujian di bagian C, yaitu C3. Ketidaksetaraan dengan solusi dengan metode ini membentuk dasar dari kumpulan "Ketidaksetaraan Logaritmik C3 dengan Solusi", yang menjadi produk proyek dari aktivitas saya. Hipotesis yang saya kemukakan di awal proyek terbukti: masalah C3 dapat diselesaikan secara efektif jika metode ini diketahui.
Selain itu, saya menemukan fakta menarik tentang logaritma. Itu menarik bagi saya untuk melakukannya. Produk proyek saya akan berguna bagi siswa dan guru.
Kesimpulan:
Dengan demikian, tujuan proyek tercapai, masalahnya terpecahkan. Dan saya mendapatkan pengalaman paling lengkap dan serbaguna dalam aktivitas proyek di semua tahap pekerjaan. Selama mengerjakan proyek, dampak perkembangan utama saya adalah pada kompetensi mental, kegiatan yang berkaitan dengan operasi mental logis, pengembangan kompetensi kreatif, inisiatif pribadi, tanggung jawab, ketekunan, dan aktivitas.
Jaminan keberhasilan saat membuat proyek penelitian untuk Saya telah menjadi: pengalaman sekolah yang signifikan, kemampuan untuk mengekstrak informasi dari berbagai sumber, memeriksa keandalannya, memberi peringkat menurut signifikansinya.
Selain pengetahuan mata pelajaran matematika secara langsung, ia memperluas keterampilan praktisnya di bidang ilmu komputer, memperoleh pengetahuan dan pengalaman baru di bidang psikologi, menjalin kontak dengan teman sekelas, dan belajar bekerja sama dengan orang dewasa. Selama kegiatan proyek, keterampilan dan kemampuan pendidikan umum organisasi, intelektual dan komunikatif dikembangkan.
literatur
1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistem ketidaksetaraan dengan satu variabel (tugas khas C3).
2. Malkova A. G. Mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dalam Matematika.
3. S. S. Samarova, Solusi pertidaksamaan logaritmik.
4. Matematika. Kumpulan karya pelatihan yang diedit oleh A.L. Semyonov dan I.V. Yaschenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 hal.-
Saat memutuskan pertidaksamaan logaritmik kami mengambil sebagai dasar sifat-sifat fungsi logaritma. Yaitu, bahwa fungsi pada= log sebuah x pada sebuah> 1 akan meningkat secara monoton, dan pada 0< sebuah< 1 - монотонно убывающей.
Mari kita analisis transformasi diperlukan untuk menyelesaikan pertidaksamaan
log 1/5 (x - l) > - 2.
Pertama, Anda perlu menyeimbangkan dasar logaritma, dalam hal ini, tunjukkan sisi kanan dalam bentuk logaritma dengan yang diperlukan dasar. Mari bertransformasi -2=-2 log 1/5 1/5= log 1/5 1/5 -2 = log 1/5 25, maka kami menunjukkan ketidaksetaraan yang dipilih dalam bentuk:
log 1/5 (x-l) > log 1/5 25.
Fungsi pada= log 1/5 x akan menurun secara monoton. Ternyata nilai yang lebih besar dari fungsi ini sesuai dengan nilai argumen yang lebih kecil. Dan karenanya kita memiliki X—1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство X- 1 > 0 sesuai dengan fakta bahwa di bawah tanda logaritma hanya bisa positif. Ternyata pertidaksamaan ini identik dengan sistem dua pertidaksamaan linier. Mengingat bahwa basis logaritma kurang dari satu, dalam sistem yang identik, tanda pertidaksamaan dibalik:
Pemecahan yang kita lihat bahwa:
1 < х < 26.
Sangat penting untuk tidak melupakan kondisi x-1 > 0, jika tidak, kesimpulannya tidak akan benar: x< 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.
Dengan mereka berada di dalam logaritma.
Contoh:
\(\log_3x≥\log_39\)
\(\log_3 ((x^2-3))< \log_3{(2x)}\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2((x+1))+10≤11 \lg((x+1))\)
Cara menyelesaikan pertidaksamaan logaritma:
Setiap pertidaksamaan logaritma harus direduksi menjadi bentuk \(\log_a(f(x)) ˅ \log_a(g(x))\) (simbol \(˅\) berarti salah satu dari ). Formulir ini memungkinkan kita untuk menyingkirkan logaritma dan basisnya dengan meneruskan ke ketidaksetaraan ekspresi di bawah logaritma, yaitu ke bentuk \(f(x) g(x)\).
Tetapi ketika melakukan transisi ini, ada satu kehalusan yang sangat penting:
\(-\) jika - angka dan lebih besar dari 1 - tanda pertidaksamaan tetap sama selama transisi,
\(-\) jika basisnya adalah bilangan yang lebih besar dari 0 tetapi kurang dari 1 (antara nol dan satu), maka tanda pertidaksamaan harus dibalik, mis.
|
\(\log_2((8-x))<1\) Larutan: |
\(\log\)\(_(0.5)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) \(((x+ satu)))\) Larutan: |
Sangat penting! Dalam pertidaksamaan apa pun, transisi dari bentuk \(\log_a(f(x)) \log_a(g(x))\) ke persamaan perbandingan di bawah logaritma hanya dapat dilakukan jika:
Contoh . Selesaikan pertidaksamaan: \(\log\)\(≤-1\)
Larutan:
|
\(\catatan\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Mari kita tuliskan ODZ-nya. |
|
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Kami membuka tanda kurung, berikan . |
|
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
Kami mengalikan pertidaksamaan dengan \(-1\), dengan mengingat untuk membalikkan tanda perbandingan. |
|
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Mari kita buat garis bilangan dan tandai titik \(\frac(7)(3)\) dan \(\frac(3)(2)\) di atasnya. Perhatikan bahwa titik dari penyebut ditusuk, meskipun fakta bahwa ketidaksetaraan tidak ketat. Faktanya adalah titik ini tidak akan menjadi solusi, karena ketika disubstitusikan ke dalam pertidaksamaan, itu akan membawa kita ke pembagian dengan nol. |
|
|
Sekarang kami memplot ODZ pada sumbu numerik yang sama dan menuliskan sebagai respons interval yang jatuh ke ODZ. |
|
|
Tuliskan jawaban akhir. |
Contoh . Selesaikan pertidaksamaan: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Larutan:
|
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Mari kita tuliskan ODZ-nya. |
|
ODZ: \(x>0\) |
Mari kita ke keputusan. |
|
Solusi: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Di depan kita adalah pertidaksamaan kuadrat-logaritmik yang khas. Kami melakukannya. |
|
\(t=\log_3x\) |
Perluas ruas kiri pertidaksamaan menjadi . |
|
\(D=1+8=9\) |
|
|
Sekarang Anda harus kembali ke variabel asli - x. Untuk melakukan ini, kami meneruskan ke , yang memiliki solusi yang sama, dan membuat substitusi terbalik. |
|
|
\(\kiri[ \begin(berkumpul) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2 \\ \log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Transformasikan \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
|
\(\left[ \begin(berkumpul) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Mari kita beralih ke membandingkan argumen. Basis logaritma lebih besar dari \(1\), sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah. |
|
\(\kiri[ \begin(berkumpul) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Mari gabungkan solusi pertidaksamaan dan ODZ dalam satu gambar. |
|
|
Ayo tuliskan jawabannya. |
Saat mempelajari fungsi logaritmik, kami terutama mempertimbangkan ketidaksetaraan bentuk
log a x< b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.
Selesaikan pertidaksamaan lg (x + 1) 2 (1).
Larutan.
1) Sisi kanan pertidaksamaan yang dipertimbangkan masuk akal untuk semua nilai x, dan sisi kiri - untuk x + 1 > 0, mis. untuk x > -1.
2) Interval x\u003e -1 disebut domain definisi pertidaksamaan (1). Fungsi logaritma dengan basis 10 meningkat, oleh karena itu, dalam kondisi x + 1 > 0, pertidaksamaan (1) dipenuhi jika x + 1 100 (karena 2 = lg 100). Jadi, pertidaksamaan (1) dan sistem pertidaksamaan
(x > -1, (2)
(x + 1 100,
ekivalen, dengan kata lain, himpunan penyelesaian pertidaksamaan (1) dan sistem pertidaksamaan (2) adalah sama.
3) Sistem pemecahan (2), kami menemukan -1< х ≤ 99.
Menjawab. -satu< х ≤ 99.
Selesaikan pertidaksamaan log 2 (x - 3) + log 2 (x - 2) 1 (3).
Larutan.
1) Domain dari fungsi logaritma yang dipertimbangkan adalah himpunan nilai positif dari argumen, oleh karena itu sisi kiri pertidaksamaan masuk akal untuk x - 3 > 0 dan x - 2 > 0.
Oleh karena itu, domain pertidaksamaan ini adalah interval x > 3.
2) Menurut sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan (3) untuk > 3 ekuivalen dengan pertidaksamaan log 2 (х – 3)(х – 2) log 2 (4).
3) Fungsi logaritma basis 2 meningkat. Oleh karena itu, untuk > 3, pertidaksamaan (4) terpenuhi jika (х – 3)(х – 2) 2.
4) Jadi, pertidaksamaan asli (3) ekuivalen dengan sistem pertidaksamaan
((x - 3)(x - 2) 2,
(x > 3.
Memecahkan pertidaksamaan pertama dari sistem ini, kita mendapatkan x 2 - 5x + 4 0, dari mana 1 x 4. Menggabungkan segmen ini dengan interval x > 3, kita mendapatkan 3< х ≤ 4.
Menjawab. 3< х ≤ 4.
Selesaikan log pertidaksamaan 1/2 (x 2 + 2x - 8) -4. (5)
Larutan.
1) Domain definisi pertidaksamaan diperoleh dari kondisi x 2 + 2x - 8 > 0.
2) Ketimpangan (5) dapat ditulis sebagai: 
log 1/2 (x 2 + 2x - 8) log 1/2 16.
3) Karena fungsi logaritma dengan basis menurun, maka untuk semua x dari seluruh domain pertidaksamaan diperoleh:
x 2 + 2x - 8 16.
Dengan demikian, persamaan asli (5) setara dengan sistem ketidaksetaraan
(x 2 + 2x - 8 > 0, atau (x 2 + 2x - 8 > 0,
(x 2 + 2x - 8 16, (x 2 + 2x - 24 0.
Memecahkan pertidaksamaan kuadrat pertama, kita mendapatkan x< -4, х >2. Memecahkan pertidaksamaan kuadrat kedua, kita mendapatkan -6 x 4. Oleh karena itu, kedua pertidaksamaan sistem terpenuhi secara bersamaan pada -6 x< -4 и при 2 < х ≤ 4.
Menjawab. -6 x< -4; 2 < х ≤ 4.
situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.
Apakah Anda pikir masih ada waktu sebelum ujian, dan Anda akan punya waktu untuk bersiap? Mungkin begitu. Tetapi bagaimanapun juga, semakin dini siswa memulai pelatihan, semakin berhasil ia lulus ujian. Hari ini kami memutuskan untuk mendedikasikan sebuah artikel untuk ketidaksetaraan logaritmik. Ini adalah salah satu tugas, yang berarti kesempatan untuk mendapatkan poin tambahan.
Apakah Anda sudah tahu apa itu logaritma (log)? Kami sangat berharap demikian. Tetapi bahkan jika Anda tidak memiliki jawaban untuk pertanyaan ini, itu tidak masalah. Sangat mudah untuk memahami apa itu logaritma.
Kenapa tepatnya 4? Anda perlu menaikkan angka 3 menjadi kekuatan seperti itu untuk mendapatkan 81. Ketika Anda memahami prinsipnya, Anda dapat melanjutkan ke perhitungan yang lebih kompleks.
Anda melewati ketidaksetaraan beberapa tahun yang lalu. Dan sejak itu, Anda terus-menerus bertemu dengan mereka dalam matematika. Jika Anda mengalami kesulitan memecahkan ketidaksetaraan, lihat bagian yang sesuai.
Sekarang, setelah kita berkenalan dengan konsep-konsep secara terpisah, kita akan beralih ke pertimbangan mereka secara umum.
Pertidaksamaan logaritma paling sederhana.
Pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana tidak terbatas pada contoh ini, ada tiga lagi, hanya dengan tanda yang berbeda. Mengapa ini dibutuhkan? Untuk lebih memahami cara menyelesaikan pertidaksamaan dengan logaritma. Sekarang kami memberikan contoh yang lebih dapat diterapkan, masih cukup sederhana, kami meninggalkan pertidaksamaan logaritmik yang kompleks untuk nanti.
Bagaimana cara mengatasinya? Semuanya dimulai dengan ODZ. Anda harus tahu lebih banyak tentangnya jika Anda ingin selalu menyelesaikan ketidaksetaraan dengan mudah.
Apa itu ODZ? DPV untuk pertidaksamaan logaritmik
Singkatan singkatan dari rentang nilai yang valid. Dalam tugas untuk ujian, kata-kata ini sering muncul. DPV berguna bagi Anda tidak hanya dalam kasus pertidaksamaan logaritmik.
Perhatikan kembali contoh di atas. Kami akan mempertimbangkan ODZ berdasarkan itu, sehingga Anda memahami prinsipnya, dan solusi pertidaksamaan logaritmik tidak menimbulkan pertanyaan. Ini mengikuti dari definisi logaritma bahwa 2x+4 harus lebih besar dari nol. Dalam kasus kami, ini berarti sebagai berikut.
Angka ini harus positif menurut definisi. Selesaikan pertidaksamaan yang disajikan di atas. Ini bahkan dapat dilakukan secara lisan, di sini jelas bahwa X tidak boleh kurang dari 2. Penyelesaian pertidaksamaan akan menjadi definisi kisaran nilai yang dapat diterima.
Sekarang mari kita beralih ke penyelesaian pertidaksamaan logaritma yang paling sederhana.
Kami membuang logaritma itu sendiri dari kedua bagian pertidaksamaan. Apa yang tersisa untuk kita sebagai hasilnya? ketidaksetaraan sederhana.
Sangat mudah untuk memecahkan. X harus lebih besar dari -0,5. Sekarang kita gabungkan kedua nilai yang diperoleh ke dalam sistem. Lewat sini,
Ini akan menjadi wilayah nilai yang dapat diterima untuk pertidaksamaan logaritmik yang dipertimbangkan.
Mengapa ODZ dibutuhkan sama sekali? Ini adalah kesempatan untuk menyingkirkan jawaban yang salah dan tidak mungkin. Jika jawabannya tidak dalam kisaran nilai yang dapat diterima, maka jawabannya tidak masuk akal. Ini perlu diingat untuk waktu yang lama, karena dalam ujian sering ada kebutuhan untuk mencari ODZ, dan ini tidak hanya menyangkut ketidaksetaraan logaritmik.
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma
Solusinya terdiri dari beberapa langkah. Pertama, perlu untuk menemukan kisaran nilai yang dapat diterima. Akan ada dua nilai di ODZ, kami mempertimbangkan ini di atas. Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan pertidaksamaan itu sendiri. Cara penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
- metode penggantian pengganda;
- penguraian;
- metode rasionalisasi.
Tergantung pada situasinya, salah satu metode di atas harus digunakan. Langsung saja kita ke solusinya. Kami akan mengungkapkan metode paling populer yang cocok untuk menyelesaikan tugas USE di hampir semua kasus. Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan metode dekomposisi. Ini dapat membantu jika Anda menemukan ketidaksetaraan yang "rumit". Jadi, algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.
Contoh solusi :
Tidak sia-sia bahwa kami mengambil ketidaksetaraan seperti itu! Perhatikan pangkalan. Ingat: jika lebih besar dari satu, tandanya tetap sama ketika menemukan rentang nilai yang valid; jika tidak, tanda pertidaksamaan harus diubah.
Akibatnya, kita mendapatkan ketidaksetaraan:
Sekarang kita bawa ruas kiri ke bentuk persamaan sama dengan nol. Alih-alih tanda "kurang dari", kami menempatkan "sama", kami menyelesaikan persamaan. Dengan demikian, kita akan menemukan ODZ. Kami harap Anda tidak akan mengalami masalah dalam menyelesaikan persamaan sederhana seperti itu. Jawabannya adalah -4 dan -2. Itu tidak semua. Anda perlu menampilkan titik-titik ini pada grafik, tempatkan "+" dan "-". Apa yang perlu dilakukan untuk ini? Substitusikan bilangan dari interval ke dalam ekspresi. Di mana nilainya positif, kami menempatkan "+" di sana.
Menjawab: x tidak boleh lebih besar dari -4 dan kurang dari -2.
Kami menemukan rentang nilai yang valid hanya untuk sisi kiri, sekarang kami perlu menemukan rentang nilai yang valid untuk sisi kanan. Ini sama sekali tidak mudah. Jawaban: -2. Kami memotong kedua area yang diterima.
Dan baru sekarang kita mulai menyelesaikan ketidaksetaraan itu sendiri.
Mari kita sederhanakan sebanyak mungkin untuk membuatnya lebih mudah untuk memutuskan.
Kami kembali menggunakan metode interval dalam solusi. Mari kita lewati perhitungan, dengan dia semuanya sudah jelas dari contoh sebelumnya. Menjawab.
Tetapi metode ini cocok jika pertidaksamaan logaritmik memiliki basis yang sama.
Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik dengan basis yang berbeda melibatkan pengurangan awal menjadi satu basis. Kemudian gunakan cara di atas. Tetapi ada juga kasus yang lebih rumit. Pertimbangkan salah satu jenis pertidaksamaan logaritmik yang paling kompleks.
Pertidaksamaan logaritmik dengan basis variabel
Bagaimana memecahkan ketidaksetaraan dengan karakteristik seperti itu? Ya, dan itu bisa ditemukan dalam ujian. Memecahkan ketidaksetaraan dengan cara berikut juga akan memiliki efek menguntungkan pada proses pendidikan Anda. Mari kita lihat masalah ini secara detail. Mari kita kesampingkan teori dan langsung praktik. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik, cukup membiasakan diri dengan contoh.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma dari bentuk yang disajikan, perlu untuk mengurangi sisi kanan ke logaritma dengan basis yang sama. Prinsipnya menyerupai transisi yang setara. Akibatnya, ketidaksetaraan akan terlihat seperti ini.
Sebenarnya, tetap menciptakan sistem pertidaksamaan tanpa logaritma. Dengan menggunakan metode rasionalisasi, kita beralih ke sistem pertidaksamaan yang ekuivalen. Anda akan memahami aturan itu sendiri ketika Anda mengganti nilai yang sesuai dan mengikuti perubahannya. Sistem akan memiliki ketidaksetaraan berikut.
Dengan menggunakan metode rasionalisasi, saat menyelesaikan pertidaksamaan, Anda perlu mengingat hal berikut: Anda perlu mengurangi satu dari basis, x, menurut definisi logaritma, dikurangi dari kedua bagian pertidaksamaan (kanan dari kiri), dua ekspresi dikalikan dan diatur di bawah tanda asli relatif terhadap nol.
Solusi lebih lanjut dilakukan dengan metode interval, semuanya sederhana di sini. Penting bagi Anda untuk memahami perbedaan dalam metode solusi, maka semuanya akan mulai bekerja dengan mudah.
Ada banyak nuansa dalam pertidaksamaan logaritmik. Yang paling sederhana dari mereka cukup mudah untuk dipecahkan. Bagaimana membuatnya sehingga menyelesaikan masing-masing tanpa masalah? Anda telah menerima semua jawaban di artikel ini. Sekarang Anda memiliki latihan panjang di depan Anda. Terus berlatih memecahkan berbagai masalah dalam ujian dan Anda akan bisa mendapatkan nilai tertinggi. Semoga berhasil dalam pekerjaan sulit Anda!
