Persamaan dengan parameter: metode solusi grafis

8-9 nilai

Artikel ini membahas metode grafis untuk menyelesaikan beberapa persamaan dengan parameter, yang sangat efektif ketika Anda perlu menentukan berapa banyak akar persamaan yang bergantung pada parameter sebuah.

Soal 1. Berapa banyak akar persamaan tersebut? | | x | – 2 | = sebuah tergantung pada parameter sebuah?

Larutan. Dalam sistem koordinat (x; y), kami memplot grafik fungsi y = | | x | – 2 | dan y= sebuah. Grafik fungsi y = | | x | – 2 | ditunjukkan pada gambar.

Grafik fungsi y = a adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu Ox atau bertepatan dengannya (untuk sebuah = 0).

Dari gambar tersebut terlihat bahwa:

Jika sebuah sebuah= 0, maka garis y = sebuah bertepatan dengan sumbu Ox dan memiliki grafik fungsi y = | | x | – 2 | dua poin umum; ini berarti bahwa persamaan asli memiliki dua akar (dalam hal ini, akar dapat ditemukan: x 1.2 \u003d q 2).
Jika 0< sebuah < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Jika sebuah sebuah= 2, maka garis y = 2 memiliki tiga titik yang sama dengan grafik fungsi. Maka persamaan asli memiliki tiga akar.
Jika sebuah sebuah> 2, maka garis y = sebuah akan memiliki dua titik dengan grafik fungsi asli, yaitu, persamaan ini akan memiliki dua akar.

jika sebuah < 0, то корней нет;
jika sebuah = 0, sebuah> 2, lalu dua akar;
jika sebuah= 2, lalu tiga akar;
jika 0< sebuah < 2, то четыре корня.

Soal 2. Berapa banyak akar persamaan? | x 2 – 2| x | – 3 | = sebuah tergantung pada parameter sebuah?

Larutan. Dalam sistem koordinat (x; y), kami memplot grafik fungsi y = | x 2 – 2| x | – 3 | dan y= sebuah.

Grafik fungsi y = | x 2 – 2| x | – 3 | ditunjukkan pada gambar. Grafik fungsi y = a adalah garis lurus yang sejajar dengan Sapi atau bertepatan dengannya (bila sebuah = 0).

Dari gambar Anda dapat melihat:

Jika sebuah sebuah= 0, maka garis y = sebuah bertepatan dengan sumbu Ox dan memiliki grafik fungsi y = | x2-2| x | – 3 | dua titik yang sama, serta garis y = sebuah akan memiliki dengan grafik fungsi y = | x 2 – 2| x | – 3 | dua poin umum sebuah> 4. Oleh karena itu, untuk sebuah= 0 dan sebuah> 4 persamaan awal memiliki dua akar.
Jika 0< sebuah < 3, то прямая y = sebuah memiliki dengan grafik fungsi y = | x 2 – 2| x | – 3 | empat titik umum, serta garis y= sebuah akan memiliki empat titik yang sama dengan grafik fungsi yang dibangun di sebuah= 4. Oleh karena itu, pada 0< sebuah < 3, sebuah= 4 persamaan asli memiliki empat akar.
Jika sebuah sebuah= 3, maka garis y = sebuah memotong grafik fungsi di lima titik; oleh karena itu, persamaan memiliki lima akar.
Jika 3< sebuah < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Jika sebuah sebuah < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

jika sebuah < 0, то корней нет;
jika sebuah = 0, sebuah> 4, lalu dua akar;
jika 0< sebuah < 3, sebuah= 4, lalu empat akar;
jika sebuah= 3, lalu lima akar;
jika 3< sebuah < 4, то шесть корней.

Soal 3. Berapa banyak akar persamaan tersebut?

tergantung pada parameter sebuah?

Larutan. Kami membangun dalam sistem koordinat (x; y) grafik fungsi tapi pertama-tama mari kita masukkan ke dalam bentuk:

Garis x = 1, y = 1 adalah asimtot dari grafik fungsi. Grafik fungsi y = | x | + sebuah diperoleh dari grafik fungsi y = | x | diimbangi oleh satuan sepanjang sumbu Oy.

Grafik Fungsi berpotongan di satu titik di sebuah> – 1; karenanya, persamaan (1) untuk nilai parameter ini memiliki satu solusi.

Pada sebuah = – 1, sebuah= – 2 grafik berpotongan di dua titik; karenanya, untuk nilai parameter ini, persamaan (1) memiliki dua akar.
Di - 2< sebuah < – 1, sebuah < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

jika sebuah> – 1, lalu satu solusi;
jika sebuah = – 1, sebuah= – 2, maka dua solusi;
jika - 2< sebuah < – 1, sebuah < – 1, то три решения.

Komentar. Saat memecahkan persamaan (1) dari masalah 3, perhatian khusus harus diberikan pada kasus ketika: sebuah= - 2, karena titik (- 1; - 1) tidak termasuk dalam grafik fungsi tetapi termasuk dalam grafik fungsi y = | x | + sebuah.

Mari kita beralih ke pemecahan masalah lain.

Soal 4. Berapa banyak akar persamaan tersebut?

x + 2 = sebuah| x – 1 | (2)

tergantung pada parameter sebuah?

Larutan. Perhatikan bahwa x = 1 bukan akar dari persamaan ini, karena persamaan 3 = sebuah 0 tidak bisa benar untuk nilai parameter apa pun sebuah. Kami membagi kedua sisi persamaan dengan | x – 1 |(| x – 1 | No. 0), maka persamaan (2) akan berbentuk Dalam sistem koordinat xOy, kami memplot fungsi

Grafik fungsi ini ditunjukkan pada gambar. Grafik fungsi y = sebuah adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu Ox atau bertepatan dengannya (untuk sebuah = 0).

jika sebuah J - 1, maka tidak ada akar;
jika - 1< sebuah 1, lalu satu akar;
jika sebuah> 1, maka ada dua akar.

Pertimbangkan persamaan yang paling kompleks.

Tugas 5. Untuk apa nilai parameternya? sebuah persamaan

sebuah x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

memiliki tiga solusi?

Larutan. 1. Nilai kontrol parameter untuk persamaan ini adalah angka sebuah= 0, di mana persamaan (3) berbentuk 0 + | x – 1 | = 0, dimana x = 1. Oleh karena itu, untuk sebuah= 0 persamaan (3) memiliki satu akar, yang tidak memenuhi kondisi masalah.

2. Pertimbangkan kasus ketika sebuah № 0.

Mari kita tulis ulang persamaan (3) dalam bentuk berikut: sebuah x 2 = - | x – 1 |. Perhatikan bahwa persamaan hanya akan memiliki solusi untuk sebuah < 0.

Dalam sistem koordinat xOy, kami memplot grafik fungsi y = | x – 1 | dan y= sebuah x 2 . Grafik fungsi y = | x – 1 | ditunjukkan pada gambar. Grafik fungsi y = sebuah x 2 adalah parabola yang cabang-cabangnya mengarah ke bawah, karena sebuah < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

Persamaan (3) akan memiliki tiga solusi hanya jika garis y = – x + 1 bersinggungan dengan grafik fungsi y= sebuah x 2 .

Biarkan x 0 menjadi absis titik kontak dengan garis y = - x + 1 dengan parabola y = sebuah x 2 . Persamaan tangen memiliki bentuk

y \u003d y (x 0) + y "(x 0) (x - x 0).

Mari kita tuliskan kondisi sentuh:

Persamaan ini dapat diselesaikan tanpa menggunakan konsep turunan.

Mari kita pertimbangkan cara lain. Kami menggunakan fakta bahwa jika garis y = kx + b memiliki satu titik persekutuan dengan parabola y = sebuah x 2 + px + q, maka persamaannya sebuah x 2 + px + q = kx + b harus memiliki solusi unik, yaitu diskriminannya adalah nol. Dalam kasus kami, kami memiliki persamaan sebuah x 2 \u003d - x + 1 ( sebuah Nomor 0). Diskriminan persamaan

Tugas untuk solusi independen

6. Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan tergantung pada parameternya? sebuah?

1)| | x | – 3 | = sebuah;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = sebuah;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = sebuah;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = sebuah.

1) jika sebuah<0, то корней нет; если sebuah=0, sebuah>3, lalu dua akar; jika sebuah=3, lalu tiga akar; jika 0<sebuah<3, то четыре корня;
2) jika sebuah<1, то корней нет; если sebuah=1, maka himpunan solusi tak terhingga dari segmen [– 2; - satu]; jika sebuah> 1, lalu dua solusi;
3) jika sebuah<0, то корней нет; если sebuah=0, sebuah<3, то четыре корня; если 0<sebuah<1, то восемь корней; если sebuah=1, lalu enam akar; jika sebuah=3, lalu tiga solusi; jika sebuah>3, lalu dua solusi;
4) jika sebuah<0, то корней нет; если sebuah=0, 4<sebuah<5, то четыре корня; если 0<sebuah< 4, то восемь корней; если sebuah=4, lalu enam akar; jika sebuah=5, lalu tiga akar; jika sebuah>5, lalu dua akar.

7. Berapa banyak akar persamaan | x + 1 | = sebuah(x – 1) tergantung pada parameter sebuah?

Petunjuk. Karena x = 1 bukan akar persamaan, persamaan ini dapat direduksi menjadi bentuk .

Jawaban: jika sebuah J -1, sebuah > 1, sebuah=0, lalu satu akar; jika - 1<sebuah<0, то два корня; если 0<sebuah 1, maka tidak ada akar.

8. Berapa banyak akar persamaan x + 1 = sebuah| x – 1 | tergantung pada parameter sebuah?

Buat grafik (lihat gambar).

Jawaban: jika sebuah-1, maka tidak ada akar; jika - 1<sebuah 1, lalu satu akar; jika sebuah>1, maka ada dua akar.

9. Berapa banyak akar persamaan tersebut?

2| x | – 1 = a(x – 1)

tergantung pada parameter sebuah?

Petunjuk. Ubah persamaan menjadi bentuk

Jawaban: jika sebuah J -2, sebuah>2, sebuah=1, lalu satu akar; jika -2<sebuah<1, то два корня; если 1<sebuah 2, maka tidak ada akar.

10. Berapa banyak akar persamaan tersebut?

tergantung pada parameter sebuah?

Jawaban: jika sebuahЈ 0, sebuah i 2, lalu satu akar; jika 0<sebuah<2, то два корня.

11. Berapa nilai parameternya? sebuah persamaan

x 2 + sebuah| x – 2 | = 0

memiliki tiga solusi?

Petunjuk. Ubah persamaan menjadi bentuk x 2 = - sebuah| x - 2 |.

Jawaban: kapan sebuah-8.

12. Berapa nilai parameternya? sebuah persamaan

sebuah x 2 + | x + 1 | = 0

memiliki tiga solusi?

Petunjuk. Gunakan masalah 5. Persamaan ini memiliki tiga solusi hanya jika persamaan sebuah x 2 + x + 1 = 0 memiliki satu solusi, dan kasus sebuah= 0 tidak memenuhi kondisi masalah, yaitu kasus tetap jika

13. Berapa banyak akar persamaan tersebut?

x | x – 2 | = 1 - sebuah

tergantung pada parameter sebuah?

Petunjuk. Bentuk persamaan menjadi –x |x – 2| + 1 = sebuah

tergantung pada parameter sebuah?

Petunjuk. Buatlah grafik bagian kiri dan kanan persamaan ini.

Jawaban: jika sebuah<0, sebuah>2, lalu dua akar; jika 0Ј sebuah 2, lalu satu akar.

16. Berapa banyak akar persamaan tersebut?

tergantung pada parameter sebuah?

Petunjuk. Buatlah grafik bagian kiri dan kanan persamaan ini. Untuk memplot fungsi temukan interval keteguhan dari ekspresi x + 2 dan x:

Jawaban: jika sebuah>– 1, lalu satu solusi; jika sebuah= – 1, maka dua solusi; jika - 3<sebuah<–1, то четыре решения; если sebuah–3, lalu tiga solusi.

Ke tugas dengan parameter termasuk, misalnya, pencarian solusi untuk persamaan linier dan kuadrat dalam bentuk umum, studi persamaan untuk jumlah akar yang tersedia, tergantung pada nilai parameter.

Tanpa memberikan definisi rinci, pertimbangkan persamaan berikut sebagai contoh:

y = kx, di mana x, y adalah variabel, k adalah parameter;

y = kx + b, di mana x, y adalah variabel, k dan b adalah parameter;

ax 2 + bx + c = 0, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah parameter.

Menyelesaikan persamaan (pertidaksamaan, sistem) dengan parameter berarti, sebagai suatu peraturan, menyelesaikan serangkaian persamaan tak terbatas (pertidaksamaan, sistem).

Tugas dengan parameter dapat secara kondisional dibagi menjadi dua jenis:

sebuah) kondisinya mengatakan: selesaikan persamaan (ketidaksamaan, sistem) - ini berarti, untuk semua nilai parameter, temukan semua solusi. Jika setidaknya satu kasus tetap belum diselidiki, solusi seperti itu tidak dapat dianggap memuaskan.

b) diperlukan untuk menunjukkan nilai yang mungkin dari parameter yang persamaan (ketidaksamaan, sistem) memiliki sifat tertentu. Misalnya, ia memiliki satu solusi, tidak memiliki solusi, memiliki solusi yang termasuk dalam interval, dll. Dalam tugas seperti itu, perlu untuk secara jelas menunjukkan pada nilai parameter apa kondisi yang diperlukan terpenuhi.

Parameter, sebagai nomor tetap yang tidak diketahui, seolah-olah memiliki dualitas khusus. Pertama-tama, harus diperhitungkan bahwa dugaan ketenaran menunjukkan bahwa parameter harus dianggap sebagai angka. Kedua, kebebasan untuk menangani parameter dibatasi oleh yang tidak diketahui. Jadi, misalnya, operasi pembagian dengan ekspresi di mana ada parameter atau mengekstraksi akar derajat genap dari ekspresi serupa memerlukan penelitian pendahuluan. Oleh karena itu, harus berhati-hati dalam menangani parameter.

Misalnya, untuk membandingkan dua angka -6a dan 3a, tiga kasus perlu dipertimbangkan:

1) -6a akan lebih besar dari 3a jika a adalah bilangan negatif;

2) -6a = 3a dalam kasus ketika a = 0;

3) -6a akan lebih kecil dari 3a jika a adalah bilangan positif 0.

Keputusan akan menjadi jawabannya.

Misalkan persamaan kx = b diberikan. Persamaan ini adalah singkatan untuk himpunan persamaan tak hingga dalam satu variabel.

Saat memecahkan persamaan seperti itu, mungkin ada kasus:

1. Misalkan k adalah sembarang bilangan real bukan nol dan b sembarang bilangan dari R, maka x = b/k.

2. Misalkan k = 0 dan b 0, persamaan aslinya akan berbentuk 0 · x = b. Jelas, persamaan ini tidak memiliki solusi.

3. Misalkan k dan b adalah bilangan yang sama dengan nol, maka persamaannya adalah 0 · x = 0. Penyelesaiannya adalah bilangan real apa pun.

Algoritma untuk memecahkan persamaan jenis ini:

1. Tentukan nilai "kontrol" dari parameter.

2. Selesaikan persamaan asli untuk x dengan nilai parameter yang ditentukan pada paragraf pertama.

3. Selesaikan persamaan asli untuk x dengan nilai parameter yang berbeda dari yang dipilih pada paragraf pertama.

4. Anda dapat menuliskan jawabannya pada form berikut:

1) ketika ... (nilai parameter), persamaan memiliki akar ...;

2) ketika ... (nilai parameter), tidak ada akar dalam persamaan.

Contoh 1

Selesaikan persamaan dengan parameter |6 – x| = a.

Larutan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa di sini a 0.

Dengan aturan modulo 6 – x = ±a, kita nyatakan x:

Jawaban: x = 6 ± a, dimana a 0.

Contoh 2

Selesaikan persamaan a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 terhadap variabel x.

Larutan.

Mari kita buka tanda kurung: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Mari kita tulis persamaan dalam bentuk standar: x(a + 2) = a + 2.

Jika ekspresi a + 2 bukan nol, yaitu jika a -2, kami memiliki solusi x = (a + 2) / (a ​​+ 2), yaitu. x = 1.

Jika a + 2 sama dengan nol, mis. a \u003d -2, maka kita memiliki persamaan yang benar 0 x \u003d 0, oleh karena itu x adalah bilangan real apa pun.

Jawaban: x \u003d 1 untuk -2 dan x € R untuk \u003d -2.

Contoh 3

Selesaikan persamaan x/a + 1 = a + x terhadap variabel x.

Larutan.

Jika a \u003d 0, maka kami mengubah persamaan menjadi bentuk a + x \u003d a 2 + ax atau (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Persamaan terakhir untuk a = 1 memiliki bentuk 0 · x = 0, oleh karena itu, x adalah bilangan apa saja.

Jika a 1, maka persamaan terakhir akan berbentuk x = -a.

Solusi ini dapat diilustrasikan pada garis koordinat (Gbr. 1)

Jawaban: tidak ada solusi untuk a = 0; x - angka apa pun di a = 1; x \u003d -a dengan 0 dan a 1.

Metode grafis

Pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter - grafis. Cara ini cukup sering digunakan.

Contoh 4

Berapa banyak akar, tergantung pada parameter a, persamaan ||x| – 2| = sebuah?

Larutan.

Untuk menyelesaikan dengan metode grafis, kita membuat grafik fungsi y = ||x| – 2| dan y = a (Gbr. 2).

Gambar dengan jelas menunjukkan kemungkinan kasus lokasi garis y = a dan jumlah akar di masing-masingnya.

Jawaban: persamaan tidak akan memiliki akar jika a< 0; два корня будет в случае, если a >2 dan a = 0; persamaan akan memiliki tiga akar dalam kasus a = 2; empat akar - pada 0< a < 2.

Contoh 5

Dimana a persamaan 2|x| + |x – 1| = a memiliki akar tunggal?

Larutan.

Mari menggambar grafik fungsi y = 2|x| + |x – 1| dan y = a. Untuk y = 2|x| + |x - 1|, memperluas modul dengan metode gap, kita mendapatkan:

(-3x + 1, pada x< 0,

y = (x + 1, untuk 0 x 1,

(3x – 1, untuk x > 1.

di Gambar 3 jelas terlihat bahwa persamaan akan memiliki akar unik hanya jika a = 1.

Jawab: a = 1.

Contoh 6

Tentukan jumlah solusi persamaan |x + 1| + |x + 2| = a tergantung pada parameter a?

Larutan.

Grafik fungsi y = |x + 1| + |x + 2| akan menjadi garis putus-putus. Simpulnya akan terletak di titik (-2; 1) dan (-1; 1) (gambar 4).

Jawaban: jika parameter a kurang dari satu, maka persamaan tidak memiliki akar; jika a = 1, maka solusi persamaan tersebut adalah himpunan bilangan tak hingga dari interval [-2; -satu]; jika nilai parameter a lebih besar dari satu, maka persamaan akan memiliki dua akar.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan dengan parameter?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Persamaan dengan parameter dianggap sebagai salah satu tugas tersulit dalam pelajaran matematika sekolah. Tugas-tugas inilah yang jatuh dari tahun ke tahun dalam daftar tugas tipe B dan C pada ujian negara bagian Unified State Examination. Namun, di antara sejumlah besar persamaan dengan parameter, ada yang dapat dengan mudah diselesaikan secara grafis. Mari kita pertimbangkan metode ini pada contoh pemecahan beberapa masalah.

Temukan jumlah nilai bilangan bulat dari persamaan |x 2 – 2x – 3| = a memiliki empat akar.

Larutan.

Untuk menjawab pertanyaan masalah, kami membuat grafik fungsi pada satu bidang koordinat

y = |x 2 – 2x – 3| dan y = a.

Grafik fungsi pertama y = |x 2 – 2x – 3| akan diperoleh grafik parabola y = x 2 - 2x - 3 dengan menampilkan secara simetris terhadap sumbu absis bagian grafik yang berada di bawah sumbu Ox. Bagian dari grafik di atas sumbu x akan tetap tidak berubah.

Mari kita lakukan langkah demi langkah. Grafik fungsi y \u003d x 2 - 2x - 3 adalah parabola, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas. Untuk membangun grafiknya, kami menemukan koordinat titik. Ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus x 0 = -b / 2a. Jadi, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Untuk menemukan koordinat puncak parabola di sepanjang sumbu y, kami mengganti nilai yang diperoleh untuk x 0 ke dalam persamaan fungsi yang sedang dipertimbangkan. Kami mendapatkan bahwa y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Oleh karena itu, simpul parabola memiliki koordinat (1; -4).

Selanjutnya, Anda perlu menemukan titik perpotongan cabang parabola dengan sumbu koordinat. Pada titik potong cabang parabola dengan sumbu absis, nilai fungsinya adalah nol. Oleh karena itu, kami memecahkan persamaan kuadrat x 2 - 2x - 3 \u003d 0. Akarnya akan menjadi titik yang diinginkan. Dengan teorema Vieta, kita memiliki x 1 = -1, x 2 = 3.

Pada titik perpotongan cabang parabola dengan sumbu y, nilai argumennya adalah nol. Jadi, titik y = -3 adalah titik potong cabang parabola dengan sumbu y. Grafik yang dihasilkan ditunjukkan pada Gambar 1.

Untuk mendapatkan grafik fungsi y = |x 2 - 2x - 3|, kita akan menampilkan bagian grafik yang berada di bawah sumbu x, secara simetris terhadap sumbu x. Grafik yang dihasilkan ditunjukkan pada Gambar 2.

Grafik fungsi y = a adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x. Hal ini ditunjukkan pada Gambar 3. Menggunakan gambar dan kami menemukan bahwa grafik memiliki empat titik yang sama (dan persamaan memiliki empat akar) jika a termasuk dalam interval (0; 4).

Nilai bilangan bulat dari angka a dari interval yang diterima: 1; 2; 3. Untuk menjawab pertanyaan soal, mari kita cari jumlah angka-angka ini: 1 + 2 + 3 = 6.

Jawaban: 6.

Temukan rata-rata aritmatika dari nilai bilangan bulat dari bilangan a, yang persamaannya |x 2 – 4|x| – 1| = a memiliki enam akar.

Mari kita mulai dengan memplot fungsi y = |x 2 – 4|x| – 1|. Untuk melakukan ini, kami menggunakan persamaan a 2 = |a| 2 dan pilih kotak penuh dalam ekspresi submodul yang ditulis di sisi kanan fungsi:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Maka fungsi aslinya akan terlihat seperti y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Untuk membangun grafik fungsi ini, kami membangun grafik fungsi berturut-turut:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - parabola dengan titik di titik dengan koordinat (2; -5); (Gbr. 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - bagian parabola yang dibangun pada paragraf 1, yang terletak di sebelah kanan sumbu ordinat, ditampilkan secara simetris di sebelah kiri sumbu Oy; (Gbr. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - bagian grafik yang dibangun pada paragraf 2, yang berada di bawah sumbu x, ditampilkan secara simetris terhadap sumbu absis ke atas. (Gbr. 3).

Pertimbangkan gambar yang dihasilkan:

Grafik fungsi y = a adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x.

Dengan menggunakan gambar tersebut, kami menyimpulkan bahwa grafik fungsi memiliki enam titik yang sama (persamaan memiliki enam akar) jika a termasuk dalam interval (1; 5).

Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut:

Temukan rata-rata aritmatika dari nilai integer dari parameter a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Jawaban: 3.

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

8. PENERAPAN TEORI PROBABILITAS TERHADAP STATISTIK.

2. Penentuan parameter distribusi yang tidak diketahui.

Dengan bantuan histogram, kira-kira kita dapat membuat grafik densitas distribusi dari variabel acak. Kemunculan grafik ini seringkali memungkinkan untuk membuat asumsi tentang densitas distribusi probabilitas dari suatu variabel acak. Ekspresi untuk densitas distribusi ini biasanya mencakup beberapa parameter yang perlu ditentukan dari data eksperimen.
Mari kita membahas kasus khusus ketika densitas distribusi bergantung pada dua parameter.
Jadi mari x 1 , x 2 , ..., x n adalah nilai yang diamati dari variabel acak kontinu , dan biarkan kepadatan distribusi probabilitasnya bergantung pada dua parameter yang tidak diketahui SEBUAH dan B, yaitu seperti . Salah satu metode untuk menemukan parameter yang tidak diketahui SEBUAH dan B adalah bahwa mereka dipilih sedemikian rupa sehingga ekspektasi matematis dan varians dari distribusi teoretis bertepatan dengan mean dan varians sampel:

(66)

di mana

(67)

Dari dua persamaan yang diperoleh ( ) temukan parameter yang tidak diketahui SEBUAH dan B. Jadi, misalnya, jika variabel acak mematuhi hukum distribusi probabilitas normal, maka kepadatan distribusi probabilitasnya

tergantung pada dua parameter sebuah dan . Parameter-parameter ini, seperti yang kita ketahui, berturut-turut adalah ekspektasi matematis dan simpangan baku variabel acak ; jadi equals() akan ditulis seperti ini:

(68)

Oleh karena itu, densitas distribusi probabilitas memiliki bentuk

Catatan 1. Kami telah memecahkan masalah ini di . Hasil pengukuran adalah variabel acak yang mengikuti hukum distribusi normal dengan parameter sebuah dan . Untuk perkiraan sebuah kami memilih nilai , dan untuk nilai perkiraan - nilai .

Catatan 2. Dengan sejumlah besar eksperimen, menemukan nilai dan menggunakan rumus () dikaitkan dengan perhitungan yang rumit. Oleh karena itu, mereka bertindak sebagai berikut: masing-masing nilai yang diamati dari kuantitas , yang jatuh ke dalam saya-interval ke-th ] X i-1 , X i [ seri statistik, dianggap kira-kira sama dengan tengah c saya interval ini, yaitu c i \u003d (X i-1 + X i) / 2. Pertimbangkan interval pertama ] X 0, X 1 [. Dia tertembak m 1 nilai yang diamati dari variabel acak , yang masing-masing kita ganti dengan angka dari 1. Oleh karena itu, jumlah nilai-nilai ini kira-kira sama dengan m 1 s 1. Demikian pula, jumlah nilai yang jatuh ke dalam interval kedua kira-kira sama dengan m 2 s 2 dll. Itu sebabnya

Dengan cara yang sama, kita memperoleh persamaan perkiraan

Jadi mari kita tunjukkan itu

(71)

Betulkah,