Konsep suatu fungsi Cara-cara mendefinisikan suatu fungsi Contoh-contoh fungsi Definisi analitis suatu fungsi Cara grafis mendefinisikan suatu fungsi Batas suatu fungsi pada suatu titik Cara tabel mendefinisikan suatu fungsi Teorema limit Keunikan suatu limit Keterbatasan suatu fungsi yang memiliki limit Melewati suatu limit pada pertidaksamaan Batas suatu fungsi pada tak hingga Fungsi tak hingga Sifat-sifat fungsi tak terhingga

Konsep fungsi adalah dasar dan asli, seperti halnya konsep himpunan. Misalkan X suatu himpunan bilangan real x. Jika suatu bilangan real tertentu y diberikan untuk setiap x X menurut beberapa hukum, maka mereka mengatakan bahwa suatu fungsi diberikan pada himpunan X dan tulislah. Fungsi yang diperkenalkan dengan cara ini disebut fungsi numerik. Dalam hal ini, himpunan X disebut domain dari definisi fungsi, dan variabel bebas x disebut argumen. Untuk menunjukkan suatu fungsi, kadang-kadang hanya simbol yang digunakan, yang menunjukkan hukum korespondensi, yaitu alih-alih f (x) n dan jester, hanya /. Dengan demikian, fungsi diberikan jika 1) domain definisi ditentukan 2) aturan /, yang menetapkan untuk setiap nilai a: € X angka tertentu y \u003d / (x) - nilai fungsi yang sesuai dengan nilai ini dari argumen x. Fungsi / dan g disebut sama jika domain definisinya bertepatan dan persamaan f(x) = g(x) benar untuk setiap nilai argumen x dari domain bersamanya. Jadi, fungsi y tidak sama; mereka sama hanya pada interval [O, I]. Contoh fungsi. 1. Barisan (o„) adalah fungsi dari argumen bilangan bulat, yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli, sehingga f(n) = an (n = 1,2,...). 2. Fungsi y = n? (baca "en-faktorial"). Diberikan pada himpunan bilangan asli: setiap bilangan asli n dikaitkan dengan produk dari semua bilangan asli dari 1 hingga n inklusif: apalagi, 0! = 1. Tanda penunjukan berasal dari kata latin signum – sebuah tanda. Fungsi ini didefinisikan pada seluruh garis bilangan; himpunan nilainya terdiri dari tiga angka -1.0, I (Gbr. 1). y = |x), di mana (x) menyatakan bagian bilangan bulat dari bilangan real x, yaitu [x| - bilangan bulat terbesar tidak melebihi Dibaca: - permainan sama dengan antie x ”(fr. entier). Fungsi ini diatur pada seluruh sumbu angka, dan himpunan semua nilainya terdiri dari bilangan bulat (Gbr. 2). Metode untuk Menentukan Fungsi Analitik Menentukan Fungsi Fungsi y = f(x) dikatakan terspesifikasi secara analitis jika didefinisikan menggunakan rumus yang menentukan operasi apa yang harus dilakukan pada setiap nilai x untuk mendapatkan nilai yang sesuai dari y. Misalnya, fungsi diberikan secara analitik. Dalam hal ini, domain fungsi (jika tidak ditentukan sebelumnya) dipahami sebagai himpunan semua nilai nyata dari argumen x, di mana ekspresi analitik yang mendefinisikan fungsi hanya mengambil nilai nyata dan akhir. Dalam pengertian ini, domain suatu fungsi juga disebut domain keberadaannya. Untuk fungsi, domain definisi adalah segmen. Untuk fungsi y - sin x, domain definisi adalah seluruh sumbu numerik. Perhatikan bahwa tidak setiap rumus mendefinisikan suatu fungsi. Misalnya, rumus tidak mendefinisikan fungsi apa pun, karena tidak ada nilai riil tunggal x yang kedua akarnya yang ditulis di atas akan memiliki nilai riil. Penetapan analitis suatu fungsi dapat terlihat agak rumit. Secara khusus, suatu fungsi dapat didefinisikan dengan rumus yang berbeda pada bagian yang berbeda dari domain definisinya. Misalnya, suatu fungsi dapat didefinisikan seperti ini: 1.2. Cara grafis untuk menentukan suatu fungsi Fungsi y = f(x) disebut ditentukan secara grafis jika jadwalnya ditentukan, mis. satu set titik (xy/(x)) pada bidang xOy, yang absisnya termasuk dalam domain definisi fungsi, dan ordinatnya sama dengan nilai fungsi yang sesuai (Gbr. 4). Tidak untuk setiap fungsi, grafiknya dapat digambarkan pada gambar. Misalnya, fungsi Dirichlet jika x rasional, jika x irasional, ZX \o, tidak memungkinkan representasi seperti itu. Fungsi R(x) diberikan pada seluruh sumbu numerik, dan himpunan nilainya terdiri dari dua angka 0 dan 1. 1.3. Cara tabular untuk menentukan suatu fungsi Suatu fungsi dikatakan terspesifikasi tabular jika disediakan tabel yang berisi nilai numerik dari fungsi untuk beberapa nilai argumen. Ketika suatu fungsi didefinisikan dalam sebuah tabel, domain definisinya hanya terdiri dari nilai x\t x2i..., xn yang tercantum dalam tabel. 2. Batas suatu fungsi pada suatu titik Konsep limit suatu fungsi merupakan inti dari analisis matematis. Biarkan fungsi f(x) didefinisikan di beberapa lingkungan Q dari titik xq, kecuali, mungkin, untuk titik ekstensi (Cauchy) itu sendiri. Bilangan A disebut limit fungsi f(x) di titik x0 jika untuk sembarang bilangan e > 0, yang dapat menjadi kecil sembarang, terdapat bilangan<5 > 0, sehingga untuk semua iGH.i^ x0 yang memenuhi syarat, pertidaksamaan benar Definisi suatu fungsi Cara-cara mendefinisikan suatu fungsi Contoh-contoh fungsi Definisi analitis suatu fungsi Cara grafis mendefinisikan suatu fungsi Batas suatu fungsi pada suatu titik Cara tabel pendefinisian suatu fungsi Teorema limit Keunikan suatu limit Keterbatasan suatu fungsi yang memiliki limit Transisi ke limit dalam pertidaksamaan Batas suatu fungsi pada tak hingga Fungsi tak terhingga Sifat-sifat fungsi sangat kecil Notasi: Dengan bantuan simbol logika, definisi ini diekspresikan sebagai berikut.Contoh. 1. Dengan menggunakan definisi limit suatu fungsi di suatu titik, tunjukkan bahwa Fungsi terdefinisi di mana-mana, termasuk titik zo = 1: /(1) = 5. Ambil sembarang. Agar pertidaksamaan |(2x + 3) - 5| terjadi, perlu untuk memenuhi ketidaksetaraan berikut Oleh karena itu, jika kita mengambil kita akan memiliki. Artinya, bilangan 5 adalah limit fungsi: di titik 2. Dengan menggunakan definisi limit suatu fungsi, tunjukkan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisi pada titik xo = 2. Perhatikan /(x) di beberapa lingkungan dari titik-Xq = 2, misalnya, pada interval ( 1, 5) yang tidak memuat titik x = 0, di mana fungsi /(x) juga tidak terdefinisi. Ambil bilangan arbitrer c > 0 dan ubah ekspresi |/(x) - 2| untuk x f 2 sebagai berikut Untuk x b (1, 5) kita mendapatkan pertidaksamaan Dari sini jelas bahwa jika kita mengambil 6 \u003d c, maka untuk semua x € (1,5) tunduk pada kondisi pertidaksamaan akan benar Ini berarti bilangan A - 2 adalah limit suatu fungsi di suatu titik Mari kita berikan penjelasan geometrik tentang konsep limit suatu fungsi di suatu titik, dengan mengacu pada grafiknya (Gbr. 5). Untuk x, nilai fungsi /(x) ditentukan oleh ordinat titik-titik kurva M \ M, untuk x > ho - oleh ordinat titik-titik kurva MM2. Nilai /(x0) ditentukan oleh ordinat titik N. Grafik fungsi ini diperoleh jika kita mengambil kurva "baik" M\MMg dan mengganti titik M(x0, A) pada kurva dengan titik jV. Mari kita tunjukkan bahwa pada titik x0 fungsi /(x) memiliki limit yang sama dengan bilangan A (ordinat titik M). Ambil sembarang (kecil sewenang-wenang) nomor e > 0. Tandai titik-titik sumbu Oy dengan ordinat A, A - e, A + e. Dilambangkan dengan P dan Q titik-titik perpotongan grafik fungsi y \u003d / (x ) dengan garis y \u003d A - enu = A + e. Biarkan absis dari titik-titik ini masing-masing menjadi x0 - hx0 + hi (ht > 0, /12 > 0). Dapat dilihat dari gambar bahwa untuk sembarang x x0 dari interval (x0 - h\, x0 + hi) nilai fungsi f(x) berada di antara. untuk semua x x0 yang memenuhi kondisi, pertidaksamaan benar Kami atur Kemudian interval akan terkandung dalam interval dan, oleh karena itu, pertidaksamaan atau, yang juga akan dipenuhi untuk semua x yang memenuhi kondisi Ini membuktikan bahwa Jadi, fungsi y = /(x) memiliki limit A pada titik x0 jika, tidak peduli seberapa sempit e-strip antara garis y = A - eny = A + e, ada "5 > 0, sehingga untuk semua x dari lingkungan tertusuk titik x0 dari titik grafik fungsi y = / (x) berada di dalam e-band yang ditunjukkan. Keterangan 1. Besaran b bergantung pada e: 6 = 6(e). Catatan 2. Dalam definisi limit suatu fungsi di titik Xq, titik x0 itu sendiri dikecualikan dari pertimbangan. Dengan demikian, nilai fungsi pada titik Ho ns tidak mempengaruhi limit fungsi pada titik tersebut. Selain itu, fungsi tersebut bahkan mungkin tidak terdefinisi pada titik Xq. Oleh karena itu, dua fungsi yang sama di sekitar titik Xq, tidak termasuk, mungkin, titik x0 itu sendiri (mereka mungkin memiliki nilai yang berbeda, salah satunya atau keduanya mungkin tidak ditentukan), memiliki batas yang sama untuk x - Xq, atau keduanya tidak memiliki batas. Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa untuk menemukan limit suatu pecahan di titik xo, sah untuk mereduksi pecahan ini dengan persamaan yang hilang di x = Xq. Contoh 1. Tentukan Fungsi /(x) = j untuk semua x 0 sama dengan satu, dan pada titik x = 0 tidak terdefinisi. Mengganti f(x) dengan fungsi q(x) = 1 sama dengan itu di x 0, kita memperoleh konsep fungsi Cara mendefinisikan fungsi Contoh fungsi Definisi analitis fungsi Cara grafis mendefinisikan fungsi Batas a fungsi pada suatu titik Cara tabular untuk mendefinisikan suatu fungsi Teorema limit Keunikan suatu limit Keterbatasan suatu fungsi yang memiliki transisi limit ke limit dalam pertidaksamaan Batas suatu fungsi di tak hingga Fungsi-fungsi kecil tak hingga Properti fungsi-fungsi kecil tak hingga x = 0 limit sama ke nol: lim q(x) = 0 (tunjukkan!). Oleh karena itu, lim /(x) = 0. Soal. Rumuskan dengan bantuan pertidaksamaan (dalam bahasa e -6), yang berarti Biarkan fungsi /(n) didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik x0, kecuali, mungkin, titik x0 itu sendiri. Definisi (Hein). Bilangan A disebut limit fungsi /(x) di titik x0, jika untuk sembarang barisan (xn) nilai argumen x 6 P, zn / x0) konvergen ke titik x0, barisan yang bersesuaian nilai fungsi (/(xn)) konvergen ke bilangan A. Lebih mudah menggunakan definisi di atas ketika perlu untuk menetapkan bahwa fungsi /(x) tidak memiliki batas pada titik x0. Untuk melakukannya, cukup dengan mencari barisan (/(xn)) yang tidak memiliki limit, atau menunjukkan dua barisan (/(xn)) dan (/(x "n)) yang memiliki limit yang berbeda. tunjukkan, misalnya, bahwa fungsi iiya / (x) = sin j (Gbr. 7), didefinisikan DI MANA SAJA, kecuali TITIK X = O, Gambar 7 tidak memiliki limit pada titik x = 0. Pertimbangkan dua barisan (, konvergen ke titik x = 0. Nilai barisan yang sesuai dari fungsi /(x) konvergen ke batas yang berbeda: barisan (sinnTr) konvergen ke nol, dan barisan (sin(5 +) konvergen ke satu . Ini berarti bahwa fungsi f(x) = sin j pada titik x = 0 tidak memiliki limit. Komentar. Kedua definisi limit suatu fungsi pada suatu titik (definisi Cauchy dan definisi Heine) adalah setara. 3. Teorema limit Teorema 1 (keunikan limit). Jika fungsi f(x) memiliki limit di xo, maka limit ini unik. A Misalkan lim f(x) = A. Mari kita tunjukkan bahwa tidak ada bilangan B A yang dapat menjadi limit x-x0 dari fungsi f(x) di titik x0. Fakta bahwa lim /(x) Dengan bantuan simbol logika XO dirumuskan sebagai berikut: Dengan menggunakan pertidaksamaan yang kita peroleh, Ambil e = > 0. Karena lim /(x) = A, untuk e yang dipilih > 0 ada 6 > 0 sehingga Dari relasi (1) untuk nilai-nilai yang ditunjukkan dari x yang kita miliki Jadi, telah ditemukan bahwa, tidak peduli seberapa kecil, ada x xQ, sedemikian rupa sehingga dan pada saat yang sama ^ e Oleh karena itu Definisi. Suatu fungsi /(x) dikatakan terbatas pada lingkungan titik x0 jika terdapat bilangan M > 0 dan 6 > 0 sehingga Teorema 2 (keterbatasan suatu fungsi memiliki limit). Jika fungsi f(x) didefinisikan dalam lingkungan titik x0 dan memiliki limit berhingga di titik x0, maka fungsi tersebut dibatasi di beberapa lingkungan titik ini. m Membiarkan Kemudian untuk setiap contoh, untuk e = 1, ada 6 > 0 sehingga untuk semua x x0 memenuhi kondisi, pertidaksamaan akan benar Perhatikan bahwa kita selalu mendapatkan Let. Kemudian pada setiap titik x dari interval kita memiliki Ini berarti, menurut definisi, bahwa fungsi f(x) terbatas di lingkungan. Misalnya, fungsi /(x) = sin dibatasi di sekitar titik tetapi tidak memiliki limit di titik x = 0. Mari kita rumuskan dua teorema lagi, yang arti geometrisnya cukup jelas. Teorema 3 (melewati batas pertidaksamaan). Jika /(x) ip(x) untuk semua x di beberapa lingkungan dari titik x0, kecuali mungkin untuk titik x0 itu sendiri, dan masing-masing fungsi /(x) dan ip(x) pada titik x0 memiliki limit , maka Perhatikan bahwa pertidaksamaan ketat untuk fungsi tidak selalu menyiratkan pertidaksamaan ketat untuk batasnya. Jika limit-limit ini ada, maka kita hanya dapat menyatakan bahwa Jadi, misalnya, pertidaksamaan while benar untuk fungsi Teorema 4 (batas fungsi antara). Jika untuk semua x di beberapa lingkungan titik Xq, kecuali, mungkin, titik x0 itu sendiri (Gbr. 9), dan fungsi f(x) dan ip(x) pada titik xo memiliki limit A yang sama, maka fungsi f (x) di titik x0 memiliki limit yang sama dengan nilai A. 4. Limit fungsi di tak hingga Biarkan fungsi /(x) didefinisikan baik pada seluruh sumbu real atau setidaknya untuk semua x memenuhi kondisi jx| > K untuk beberapa K > 0. Definisi. Bilangan A disebut limit fungsi f(x) karena x cenderung tak hingga, dan mereka menulis jika untuk sembarang e > 0 terdapat bilangan jV > 0 sedemikian sehingga untuk semua x yang memenuhi syarat |x| > X, pertidaksamaan benar Dengan mengganti kondisi dalam definisi ini, kita memperoleh definisi Dari definisi ini, maka jika dan hanya jika secara bersamaan Fakta itu, secara geometris berarti sebagai berikut: tidak peduli seberapa sempit e-strip antara garis y \ u003d A- euy \u003d A + e, ada garis lurus x = N > 0 sehingga ke kanan membawa grafik fungsi y = /(x) seluruhnya terdapat dalam e-strip yang ditunjukkan (Gbr. 10 ). Dalam hal ini, mereka mengatakan bahwa untuk x + oo, grafik fungsi y \u003d / (x) secara asimtotik mendekati garis lurus y \u003d A. Contoh, Fungsi / (x) \u003d jtjj- didefinisikan pada seluruh sumbu nyata dan merupakan pecahan yang pembilangnya konstan , dan penyebutnya bertambah tanpa batas sebagai |x| + oo. Wajar untuk mengharapkan bahwa lim /(x)=0. Mari kita tunjukkan. Ambil sembarang e > 0, dengan syarat Agar relasi terjadi, pertidaksamaan c atau harus dipenuhi, yang sama dengan dimana Jadi. jika kita mengambil kita akan memiliki. Ini berarti bahwa bilangan adalah limit dari fungsi ini di Perhatikan bahwa ekspresi radikal hanya untuk t ^ 1. Dalam kasus ketika, pertidaksamaan c dipenuhi secara otomatis untuk semua Grafik fungsi genap y = - mendekati garis lurus secara asimtotik Rumuskan menggunakan pertidaksamaan, yang berarti 5. Fungsi-Fungsi Kecil Tak Berhingga Biarkan fungsi a(x) didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik x0, kecuali mungkin untuk titik x0 itu sendiri. Definisi. Fungsi a(x) disebut fungsi sangat kecil (disingkat b.m.f.) karena x cenderung ke x0 jika dalam keunikan batas-batas suatu fungsi yang memiliki transisi batas ke batas dalam pertidaksamaan. Fungsi tak hingga Sifat fungsi tak hingga Misalnya, fungsi a(x) = x - 1 adalah b. m.f. di x 1, karena lim (x-l) \u003d 0. Grafik fungsi y \u003d x-1 1-1 ditunjukkan pada gambar. II. Secara umum, fungsi a(x)=x-x0 adalah contoh paling sederhana dari b. m.f. di x-»ho. Dengan memperhatikan definisi limit suatu fungsi di suatu titik, maka definisi b. m.f. dapat diformulasikan seperti ini. Definisi. Suatu fungsi a(x) dikatakan sangat kecil untuk x - * xo jika untuk sembarang t > 0 terdapat "5 > 0 sedemikian sehingga untuk semua x yang memenuhi syarat, pertidaksamaan adalah fungsi sejati pada Definisi. Fungsi a(x) disebut sangat kecil untuk x -» oo, jika kemudian fungsi a(x) disebut sangat kecil, berturut-turut, untuk atau untuk Misalnya, fungsi sangat kecil untuk x -» oo, karena lim j = 0. Fungsi a (x ) = e~x adalah fungsi yang sangat kecil tak hingga sebagai x - * + oo, karena berikut ini, sebagai aturan, kita akan mempertimbangkan semua konsep dan teorema yang terkait dengan limit fungsi hanya dalam kaitannya dengan kasus limit fungsi pada suatu titik, meninggalkan pembaca untuk merumuskan konsep yang sesuai untuk dirinya sendiri dan membuktikan teorema serupa kasus hari ketika Properti fungsi sangat kecil Teorema 5. Jika a(x) dan P(x) - b. m.f. untuk x - * xo, maka jumlah mereka a(x) + P(x) juga a b.m. f. di x -» ho. 4 Ambil sembarang e > 0. Karena a(x) adalah b.m.f. untuk x -* xo, maka ada "51 > 0 sehingga untuk semua x xo yang memenuhi syarat pertidaksamaan benar. Dengan syarat P(x) juga b.m.f. untuk x ho, sehingga untuk semua ho yang memenuhi syarat, pertidaksamaan benar Mari kita tentukan 6 = min(«5j, 62). Maka untuk semua x ho yang memenuhi syarat, pertidaksamaan (1) dan (2) akan benar secara simultan. Oleh karena itu Ini berarti bahwa jumlah a(x) +/3(x) adalah a b.m.f. untuk xxq. Komentar. Teorema tetap berlaku untuk jumlah dari sejumlah fungsi berhingga, b. m. di x zo. Teorema 6 (produk a b.m.f. dengan fungsi terbatas). Jika fungsi a(x) adalah b. m.f. untuk x -* x0, dan fungsi f(x) dibatasi di sekitar titik Xo, maka hasil kali a(x)/(x) adalah 6. m.f. untuk x -» x0. Dengan asumsi, fungsi f(x) dibatasi di sekitar titik x0. Artinya ada bilangan 0 dan M > 0 sehingga Misalkan sembarang e > 0. Karena dengan syarat ada 62 > 0 sehingga untuk semua x x0 yang memenuhi syarat |x - xol, pertidaksamaan akan benar Misalkan i dari semua x f x0 memenuhi kondisi |x - x0|, pertidaksamaan akan menjadi benar secara simultan Oleh karena itu Ini berarti bahwa produk a(x)/(x) adalah b. m.f. dengan Contoh. Fungsi y \u003d xsin - (Gbr. 12) dapat dianggap sebagai produk dari fungsi a (ar) \u003d x dan f (x) \u003d sin j. Fungsi a(a) adalah b. m.f. untuk x - 0, dan fungsi f menunjukkan bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi x. Dengan kata lain, jika x = r + q, di mana r adalah bilangan bulat (mungkin negatif) dan q termasuk dalam interval = r. Fungsi E(x) = [x] adalah konstan pada interval = r.

Contoh 2: fungsi y = (x) - bagian pecahan dari suatu bilangan. Lebih tepatnya, y =(x) = x - [x], di mana [x] adalah bagian bilangan bulat dari bilangan x. Fungsi ini didefinisikan untuk semua x. Jika x adalah bilangan arbitrer, maka dinyatakan sebagai x = r + q (r = [x]), di mana r adalah bilangan bulat dan q terletak pada interval

Sekarang semuanya seperti yang seharusnya. Triple tidak termasuk dalam jawaban, karena ketidaksetaraan asli ketat. Dan enam menyala, karena dan fungsi di enam ada, dan kondisi pertidaksamaan dipenuhi. Kami telah berhasil memecahkan ketidaksetaraan yang (dalam bentuk biasa) tidak ada...

Ini adalah bagaimana beberapa pengetahuan dan logika dasar disimpan dalam kasus non-standar.)

Definisi analitis dari suatu fungsi

Fungsi %%y = f(x), x \in X%% diberikan dengan cara analitis yang eksplisit, jika diberikan rumus yang menunjukkan urutan operasi matematika yang harus dilakukan dengan argumen %%x%% untuk mendapatkan nilai %%f(x)%% dari fungsi ini.

Contoh

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Jadi, misalnya, dalam fisika, dengan gerak lurus yang dipercepat secara seragam, kecepatan suatu benda ditentukan oleh rumus t%% ditulis sebagai: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2 )%%.

Fungsi yang Ditetapkan Sepotong

Terkadang fungsi yang dipertimbangkan dapat didefinisikan oleh beberapa rumus yang beroperasi di bagian berbeda dari domain definisinya, di mana argumen fungsi berubah. Contoh: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Fungsi semacam ini kadang-kadang disebut unsur atau sepotong demi sepotong. Contoh dari fungsi tersebut adalah %%y = |x|%%

Lingkup fungsi

Jika suatu fungsi ditentukan dengan cara analitis eksplisit menggunakan rumus, tetapi cakupan fungsi dalam bentuk himpunan %%D%% tidak ditentukan, maka dengan %%D%% kita akan selalu berarti himpunan nilai dari argumen %%x%% yang membuat rumus ini masuk akal . Jadi untuk fungsi %%y = x^2%%, domain definisi adalah himpunan %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, karena argumen %%x% % dapat mengambil nilai apa pun pada nomor baris. Dan untuk fungsi %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, domain definisi adalah himpunan nilai %%x%% yang memenuhi pertidaksamaan %%1 - x^2 > 0%%, m.e. %%D = (-1, 1)%%.

Manfaat Definisi Fungsi Analitik Eksplisit

Perhatikan bahwa cara analitis eksplisit untuk mendefinisikan suatu fungsi cukup ringkas (rumus, sebagai aturan, membutuhkan sedikit ruang), mudah direproduksi (rumus mudah ditulis), dan paling disesuaikan untuk melakukan operasi dan transformasi matematika pada fungsi.

Beberapa dari operasi ini - aljabar (penjumlahan, perkalian, dll.) - sudah dikenal dari kursus matematika sekolah, yang lain (diferensiasi, integrasi) akan dipelajari di masa depan. Namun, metode ini tidak selalu jelas, karena sifat ketergantungan fungsi pada argumen tidak selalu jelas, dan terkadang perhitungan rumit diperlukan untuk menemukan nilai fungsi (jika perlu).

Spesifikasi fungsi implisit

Fungsi %%y = f(x)%% didefinisikan dengan cara analitis implisit, jika relasi $$F(x,y) = 0 diberikan, ~~~~~~~~~~(1)$$ menghubungkan nilai fungsi %%y%% dan argumen %% x%%. Jika diberikan nilai argumen, maka untuk menemukan nilai %%y%% yang sesuai dengan nilai tertentu %%x%%, perlu untuk menyelesaikan persamaan %%(1)%% sehubungan dengan %%y%% pada nilai tertentu %%x%%.

Diberikan nilai %%x%%, persamaan %%(1)%% mungkin tidak memiliki solusi atau lebih dari satu solusi. Dalam kasus pertama, nilai yang ditentukan %%x%% tidak dalam cakupan fungsi implisit, dan dalam kasus kedua ditentukan fungsi multinilai, yang memiliki lebih dari satu nilai untuk nilai argumen yang diberikan.

Perhatikan bahwa jika persamaan %%(1)%% dapat diselesaikan secara eksplisit sehubungan dengan %%y = f(x)%%, maka kita memperoleh fungsi yang sama, tetapi sudah didefinisikan dengan cara analitis eksplisit. Jadi, persamaan %%x + y^5 - 1 = 0%%

dan persamaan %%y = \sqrt(1 - x)%% mendefinisikan fungsi yang sama.

Definisi fungsi parametrik

Ketika ketergantungan %%y%% pada %%x%% tidak diberikan secara langsung, melainkan ketergantungan dari kedua variabel %%x%% dan %%y%% pada beberapa variabel tambahan ketiga %%t%% diberikan dalam bentuk

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$mereka membicarakan parametrik metode pengaturan fungsi;

maka variabel bantu %%t%% disebut parameter.

Jika memungkinkan untuk mengecualikan parameter %%t%% dari persamaan %%(2)%%, maka parameter tersebut menjadi fungsi yang diberikan oleh ketergantungan analitis eksplisit atau implisit dari %%y%% pada %%x%% . Misalnya, dari relasi $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ kecuali untuk parameter % %t%% kita mendapatkan ketergantungan %%y = 2 x + 2%%, yang menetapkan garis lurus pada bidang %%xOy%%.

cara grafis

Contoh definisi grafis dari suatu fungsi

Contoh di atas menunjukkan bahwa cara analitis untuk mendefinisikan suatu fungsi sesuai dengan gambar grafis, yang dapat dianggap sebagai bentuk yang nyaman dan visual untuk menggambarkan suatu fungsi. Terkadang digunakan cara grafis mendefinisikan fungsi ketika ketergantungan %%y%% pada %%x%% diberikan oleh garis pada bidang %%xOy%%. Namun, untuk semua kejelasannya, ia kehilangan akurasi, karena nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai hanya dapat diperoleh dari grafik secara kira-kira. Kesalahan yang dihasilkan tergantung pada skala dan akurasi pengukuran absis dan ordinat titik individu grafik. Di masa depan, kami akan menetapkan peran grafik fungsi hanya untuk menggambarkan perilaku fungsi, dan oleh karena itu kami akan membatasi diri pada konstruksi "sketsa" grafik yang mencerminkan fitur utama fungsi.

Cara tabel

Catatan cara tabel penetapan fungsi, ketika beberapa nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai ditempatkan dalam tabel dalam urutan tertentu. Ini adalah bagaimana tabel terkenal fungsi trigonometri, tabel logaritma, dll dibangun. Dalam bentuk tabel, hubungan antara besaran yang diukur dalam studi eksperimental, pengamatan, dan tes biasanya disajikan.

Kerugian dari metode ini adalah ketidakmungkinan untuk secara langsung menentukan nilai fungsi untuk nilai argumen yang tidak termasuk dalam tabel. Jika ada keyakinan bahwa nilai argumen yang tidak disajikan dalam tabel termasuk dalam domain fungsi yang dipertimbangkan, maka nilai fungsi yang sesuai dapat dihitung kira-kira menggunakan interpolasi dan ekstrapolasi.

Contoh

Cara algoritmik dan verbal untuk menentukan fungsi

Fungsinya bisa diatur algoritmik(atau terprogram) dengan cara yang banyak digunakan dalam perhitungan komputer.

Akhirnya, dapat dicatat deskriptif(atau lisan) cara menentukan suatu fungsi, ketika aturan untuk mencocokkan nilai-nilai fungsi dengan nilai-nilai argumen dinyatakan dalam kata-kata.

Misalnya, fungsi %%[x] = m~\forall (x \in )