განმარტება 1. თანმიმდევრობა ე.წ მცირდება (არ მზარდი ) თუ ყველასთვის
უთანასწორობა
.

განმარტება 2. თანმიმდევრულობა
დაურეკა იზრდება (არ კლებულობს ) თუ ყველასთვის
უთანასწორობა
.

განმარტება 3. კლებადი, არმზარდი, მზარდი და არკლებადი მიმდევრობები ე.წ. ერთფეროვანი თანმიმდევრობებს, კლებად და მზარდ მიმდევრობებსაც უწოდებენ მკაცრად ერთფეროვანი თანმიმდევრობები.

ცხადია, შეუმცირებელი თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია ქვემოდან, არმზარდი მიმდევრობა შემოსაზღვრულია ზემოდან. ამიტომ, ნებისმიერი მონოტონური თანმიმდევრობა აშკარად შემოსაზღვრულია ერთ მხარეს.

მაგალითი 1. თანმიმდევრულობა
იზრდება და არა კლება
მცირდება
არ იზრდება
არის არაერთფეროვანი თანმიმდევრობა.

მონოტონური მიმდევრობისთვის მნიშვნელოვანი როლიშემდეგ უკრავს

თეორემა 1. თუ ზემოდან (ქვემოდან) შემოსაზღვრულია არაკლებადი (არამზარდი) მიმდევრობა, მაშინ ის იყრის თავს.

მტკიცებულება. დაუშვით თანმიმდევრობა
არ იკლებს და ზემოდან შემოსაზღვრულია, ე.ი.
და ბევრი
შემოიფარგლება ზემოდან. § 2-ის 1-ლი თეორემის მიხედვით, არსებობს
. ეს დავამტკიცოთ
.

Მოდი ავიღოთ
თვითნებურად. Იმდენად, რამდენადაც აარის ზუსტი ზედა ზღვარი, არის რიცხვი ნ ისეთივე როგორც
. ვინაიდან თანმიმდევრობა არ მცირდება, ყველასთვის
გვაქვს, ე.ი.
, Ამიტომაც
ყველასთვის
და ეს იმას ნიშნავს
.

ქვემოდან შემოსაზღვრული არამზარდი მიმდევრობისთვის, მტკიცებულება მსგავსია ( მოსწავლეებს შეუძლიათ დამოუკიდებლად დაამტკიცონ ეს განცხადება სახლში). თეორემა დადასტურდა.

კომენტარი. თეორემა 1 შეიძლება სხვაგვარად ჩამოყალიბდეს.

თეორემა 2. მონოტონური მიმდევრობის კონვერტაციისთვის აუცილებელია და საკმარისია მისი შემოსაზღვრული.

საკმარისობა დადგენილია 1 თეორემაში, აუცილებლობა - მე-5 პუნქტის მე-2 თეორემაში.

ერთფეროვნების პირობა არ არის აუცილებელი თანმიმდევრობის კონვერტაციისთვის, რადგან კონვერგენტული მიმდევრობა არ უნდა იყოს მონოტონური. მაგალითად, თანმიმდევრობა
არ არის მონოტონური, მაგრამ გადადის ნულამდე.

შედეგი. თუ თანმიმდევრობა
იზრდება (მცირდება) და იზღუდება ზემოდან (ქვემოდან), შემდეგ
(
).

მართლაც, თეორემა 1-ით
(
).

განმარტება 4. თუ და
ზე
, მაშინ თანმიმდევრობა ეწოდება წყობილი სეგმენტების კონტრაქტის სისტემა .

თეორემა 3 (ბუდებული სეგმენტების პრინციპი). წყობილი სეგმენტების ყველა კონტრაქტის სისტემას აქვს ერთი წერტილი თან, რომელიც ეკუთვნის ამ სისტემის ყველა სეგმენტს.

მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ ეს აზრი თანარსებობს. Იმდენად, რამდენადაც
, მაშინ
და შესაბამისად თანმიმდევრობა
არ მცირდება, მაგრამ თანმიმდევრობა
არ იზრდება. სადაც
და
შეზღუდულია იმიტომ. შემდეგ თეორემა 1 არსებობს
და
, მაგრამ მას შემდეგ
, მაშინ
=
. ნაპოვნია წერტილი თანმიეკუთვნება სისტემის ყველა სეგმენტს, რადგან თეორემა 1-ის დასკვნის მიხედვით
,
, ე.ი.
ყველა ღირებულებისთვის ნ.

ახლა ვაჩვენოთ, რომ ეს აზრი თან- ერთადერთი. დავუშვათ, რომ არსებობს ორი ასეთი წერტილი: თანდა დდა მოდით გარკვეული
. შემდეგ სეგმენტი
ეკუთვნის ყველა სეგმენტს
, ე.ი.
ყველასთვის ნ, რაც შეუძლებელია იმიტომ
და, შესაბამისად, რაღაც რიცხვიდან დაწყებული,
. თეორემა დადასტურდა.

გაითვალისწინეთ, რომ აქ მნიშვნელოვანია დახურული ინტერვალების გათვალისწინება, ე.ი. სეგმენტები. თუ განვიხილავთ შეკუმშვის ინტერვალების სისტემას, მაშინ პრინციპი, ზოგადად, არასწორია. მაგალითად, ინტერვალები
აშკარად კონტრაქტი პუნქტამდე
, მაგრამ წერტილი
არ მიეკუთვნება ამ სისტემის არცერთ ინტერვალს.

ახლა განვიხილოთ კონვერგენტული მონოტონური მიმდევრობების მაგალითები.

1) ნომერი ე.

ახლა განიხილეთ თანმიმდევრობა
. როგორ იქცევა იგი? ბაზა

ხარისხი
, Ამიტომაც
? Მეორეს მხრივ,
, ა
, Ამიტომაც
? ანუ ლიმიტი არაა?

ამ კითხვებზე პასუხის გასაცემად, განიხილეთ დამხმარე თანმიმდევრობა
. დავამტკიცოთ, რომ ის მცირდება და ქვემოდან შემოსაზღვრულია. ამავე დროს, დაგვჭირდება

ლემა. Თუ
, მაშინ ყველა ბუნებრივი ღირებულებისთვის ნჩვენ გვაქვს

(ბერნულის უტოლობა).

მტკიცებულება. გამოვიყენოთ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი.

Თუ
, მაშინ
, ე.ი. უთანასწორობა მართალია.

დავუშვათ, რომ ეს მართალია
და დაამტკიცეთ მისი მართებულობა
+1.

უფლება
. გავამრავლოთ ეს უტოლობა
:

ამრიგად, . ასე რომ, მათემატიკური ინდუქციის პრინციპის მიხედვით, ბერნულის უტოლობა მართალია ყველა ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის. ნ. ლემა დადასტურებულია.

ვაჩვენოთ, რომ თანმიმდევრობა
მცირდება. Ჩვენ გვაქვს

ბერნულის უთანასწორობა
, რაც ნიშნავს რომ თანმიმდევრობა
მცირდება.

ქვემოდან შეზღუდვა გამომდინარეობს უთანასწორობიდან
ბერნულის უთანასწორობა
ყველა ბუნებრივი ღირებულებისთვის ნ.

თეორემა 1-ის მიხედვით, არსებობს
, რომელიც აღინიშნება ასოთი ე. Ისე
.

ნომერი ეირაციონალური და ტრანსცენდენტული, ე= 2.718281828…. ცნობილია, რომ ის არის ბუნებრივი ლოგარითმების საფუძველი.

შენიშვნები. 1) ამის დასამტკიცებლად შეიძლება გამოვიყენოთ ბერნულის უტოლობა
ზე
. მართლაც, თუ
, მაშინ
. შემდეგ, ბერნულის უტოლობით, ამისთვის
. აქედან ზე
ჩვენ გვაქვს
, ე.ი
ზე
.

2) ზემოთ მოცემულ მაგალითში, ხარისხის საფუძველი მიდრეკილია 1-ისკენ და მაჩვენებლის ნ- მდე , ანუ ფორმის გაურკვევლობაა . ამ სახის გაურკვევლობა, როგორც ავღნიშნეთ, ვლინდება გასაოცარი ლიმიტით
.

2)
(*)

მოდით დავამტკიცოთ, რომ ეს თანმიმდევრობა ერთმანეთს ემთხვევა. ამისათვის ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ იგი შემოსაზღვრულია ქვემოდან და არ იზრდება. ამით ჩვენ ვიყენებთ უთანასწორობას
ყველასთვის
, რაც უთანასწორობის შედეგია
.

Ჩვენ გვაქვს
იხილეთ უთანასწორობა ზემოთ!
, ე.ი. თანმიმდევრობა ქვემოდან შემოსაზღვრულია რიცხვით
.

Უფრო,
იმიტომ

, ე.ი. თანმიმდევრობა არ იზრდება.

თეორემა 1-ის მიხედვით, არსებობს
, რომელსაც ჩვენ აღვნიშნავთ X. ტოლობით (*) ზღვრამდე გადასვლა
, ვიღებთ

, ე.ი.
, სად
(ჩვენ ვიღებთ პლუს ნიშანს, ვინაიდან მიმდევრობის ყველა წევრი დადებითია).

თანმიმდევრობა (*) გამოიყენება გაანგარიშებისას
დაახლოებით. უკან მიიღეთ ნებისმიერი დადებითი რიცხვი. მაგალითად, ვიპოვოთ
. დაე იყოს
. მერე
,. ამრიგად,
.

3)
.

Ჩვენ გვაქვს
. Იმდენად, რამდენადაც
ზე
, არის ნომერი ნ, ისეთი რომ ყველასთვის
უთანასწორობა
. ასე რომ, თანმიმდევრობა
რაღაც რიცხვიდან დაწყებული ნ, მცირდება და ქვემოდან შემოსაზღვრულია, ვინაიდან
ყველა ღირებულებისთვის ნ. აქედან გამომდინარე, თეორემა 1-ით არსებობს
. Იმდენად, რამდენადაც
, ჩვენ გვაქვს
.

Ისე,
.

4)
, მარჯვნივ - ნ ფესვები.

მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით ვაჩვენოთ რომ
ყველა ღირებულებისთვის ნ. Ჩვენ გვაქვს
. დაე იყოს
. შემდეგ, აქედან ვიღებთ განცხადებას მათემატიკური ინდუქციის პრინციპით. ამ ფაქტის გამოყენებით ვხვდებით, ე.ი. შემდგომი მიმდევრობა
იზრდება და ზემოდან შემოსაზღვრულია. მაშასადამე, ის არსებობს იმიტომ
.

ამრიგად,
.

მოყვანილია ვაიერშტრასის თეორემის დადასტურება მონოტონური მიმდევრობის ზღვარზე. განიხილება შემოსაზღვრული და შეუზღუდავი მიმდევრობების შემთხვევები. განხილულია მაგალითი, რომელშიც აუცილებელია ვაიერშტრასის თეორემის გამოყენებით დაამტკიცოთ მიმდევრობის კონვერგენცია და იპოვოთ მისი ზღვარი.

ნებისმიერი მონოტონური შემოსაზღვრული თანმიმდევრობა ( x n )აქვს სასრული ზღვარი, რომელიც ტოლია ზუსტად ზედა ზღვარს, სუპი ( x n)შეუმცირებელი და ზუსტი ქვედა ზღვარი, inf ( x n)არამზარდი თანმიმდევრობისთვის.
ნებისმიერ მონოტონურ შეუზღუდავ მიმდევრობას აქვს უსასრულო ზღვარი, რომელიც ტოლია პლიუს უსასრულობას შეუმცირებელი მიმდევრობისთვის და მინუს უსასრულობა არმზარდი მიმდევრობისთვის.

მტკიცებულება

1) შეუმცირებელი შემოსაზღვრული მიმდევრობა.

(1.1) .

ვინაიდან თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია, მას აქვს ზუსტი ზედა ზღვარი
.
Ეს ნიშნავს, რომ:

• ყველასთვის n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
აქ ჩვენ ასევე გამოვიყენეთ (1.3). (1.2) კომბინაციით, ჩვენ ვპოულობთ:
ზე.
იმიტომ რომ, მაშინ
,
ან
ზე.
დადასტურებულია თეორემის პირველი ნაწილი.

2) ახლა მოდით იყოს თანმიმდევრობა შეუზღუდავი შემოსაზღვრული თანმიმდევრობა:
(2.1) ყველასთვის ნ.

ვინაიდან თანმიმდევრობა შემოსაზღვრულია, მას აქვს ზუსტი ქვედა ზღვარი
.
ეს ნიშნავს შემდეგს:

• ყველა n-სთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:
  (2.2) ;
• ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის არის რიცხვი, რომელიც დამოკიდებულია ε-ზე, რომლისთვისაც
  (2.3) .

.
აქ ჩვენ ასევე გამოვიყენეთ (2.3). (2.2) გათვალისწინებით, ჩვენ ვხვდებით:
ზე.
იმიტომ რომ, მაშინ
,
ან
ზე.
ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი არის მიმდევრობის ზღვარი.
დადასტურებულია თეორემის მეორე ნაწილი.

ახლა განიხილეთ შეუზღუდავი მიმდევრობები.
3) დაე, თანმიმდევრობა იყოს შეუზღუდავი შეუმცირებელი თანმიმდევრობა.

ვინაიდან მიმდევრობა არ არის კლებადი, შემდეგი უტოლობა მოქმედებს ყველა n-ზე:
(3.1) .

ვინაიდან თანმიმდევრობა არ არის კლებადი და შეუზღუდავი, ის შეუზღუდავია მარჯვენა მხარეს. მაშინ ნებისმიერი M რიცხვისთვის არსებობს რიცხვი, რომელიც დამოკიდებულია M-ზე, რომლისთვისაც
(3.2) .

ვინაიდან თანმიმდევრობა არ არის კლებადი, მაშინ ჩვენ გვაქვს:
.
აქ ჩვენ ასევე გამოვიყენეთ (3.2).

.
ეს ნიშნავს, რომ მიმდევრობის ზღვარი არის პლუს უსასრულობა:
.
დადასტურებულია თეორემის მესამე ნაწილი.

4) და ბოლოს, განიხილეთ შემთხვევა, როდესაც შეუზღუდავი, მზარდი თანმიმდევრობა.

როგორც ზემოთ, რადგან თანმიმდევრობა არ არის მზარდი, მაშინ
(4.1) ყველასთვის ნ.

ვინაიდან თანმიმდევრობა არ არის მზარდი და შეუზღუდავი, ის შეუზღუდავია მარცხენა მხარეს. მაშინ ნებისმიერი M რიცხვისთვის არსებობს რიცხვი, რომელიც დამოკიდებულია M-ზე, რომლისთვისაც
(4.2) .

ვინაიდან თანმიმდევრობა არ არის მზარდი, მაშინ ჩვენ გვაქვს:
.

ამრიგად, ნებისმიერი M რიცხვისთვის არსებობს ნატურალური რიცხვი, რომელიც დამოკიდებულია M-ზე, ასე რომ, შემდეგი უტოლობა მოქმედებს ყველა რიცხვზე:
.
ეს ნიშნავს, რომ მიმდევრობის ზღვარი არის მინუს უსასრულობა:
.
თეორემა დადასტურდა.

პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

ვაიერშტრასის თეორემის გამოყენებით დაამტკიცეთ მიმდევრობის კონვერგენცია:
, , . . . , , . . .
შემდეგ იპოვნეთ მისი ზღვარი.

მოდით წარმოვადგინოთ თანმიმდევრობა განმეორებადი ფორმულების სახით:
,
.

დავამტკიცოთ, რომ მოცემული მიმდევრობა ზემოდან შემოსაზღვრულია მნიშვნელობით
(P1) .
მტკიცება ხორციელდება მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით.
.
იყოს . მერე
.
უტოლობა (A1) დადასტურებულია.

დავამტკიცოთ, რომ თანმიმდევრობა მონოტონურად იზრდება.
;
(P2) .
ვინაიდან , მაშინ წილადის მნიშვნელი და მრიცხველის პირველი ფაქტორი დადებითია. ვინაიდან მიმდევრობის ტერმინები შემოსაზღვრულია უტოლობით (P1), მეორე ფაქტორი ასევე დადებითია. Ისე
.
ანუ თანმიმდევრობა მკაცრად იზრდება.

ვინაიდან თანმიმდევრობა იზრდება და შემოსაზღვრულია ზემოდან, ეს არის შემოსაზღვრული მიმდევრობა. მაშასადამე, ვაიერშტრასის თეორემით, მას აქვს ზღვარი.

მოდი ვიპოვოთ ეს ზღვარი. მოდი ავღნიშნოთ:
.
გამოვიყენოთ რა
.
ჩვენ ამას ვიყენებთ (P2) კონვერგენტული მიმდევრობების ზღვრების არითმეტიკული თვისებების გამოყენებით:
.
ფესვი აკმაყოფილებს მდგომარეობას.