ამ თემაში განვიხილავთ მატრიცის ცნებას, ასევე მატრიცების ტიპებს. ვინაიდან ამ თემაში ბევრი ტერმინია, მასალაში ნავიგაციის გასაადვილებლად რეზიუმეს დავამატებ.

მატრიცის და მისი ელემენტის განმარტება. აღნიშვნა.

მატრიცაარის ცხრილი $m$ რიგებით და $n$ სვეტებით. მატრიცის ელემენტები შეიძლება იყოს სრულიად მრავალფეროვანი ხასიათის ობიექტები: რიცხვები, ცვლადები ან, მაგალითად, სხვა მატრიცები. მაგალითად, $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ მატრიცას აქვს 3 მწკრივი და 2 სვეტი; მისი ელემენტები მთელი რიცხვებია. მატრიცა $\left(\begin(მასივი) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(მასივი) \მარჯვნივ)$ შეიცავს 2 რიგს და 4 სვეტს.

მატრიცების დაწერის სხვადასხვა ხერხი: ჩვენება/დამალვა

მატრიცა შეიძლება დაიწეროს არა მხოლოდ მრგვალ ფრჩხილებში, არამედ კვადრატული ან ორმაგი სწორი ფრჩხილებით. ანუ, ქვემოთ მოცემული ჩანაწერები ნიშნავს იგივე მატრიცას:

$$ \left(\begin(მასივი) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ);\;\; \left[ \begin(მაივი) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ]; \;\; \ მარცხენა \ Vert \ დასაწყისი (მასივი) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end (მასივი) \მარჯვნივ \ Vert $$

პროდუქტს $m\ჯერ n$ ეწოდება მატრიცის ზომა. მაგალითად, თუ მატრიცა შეიცავს 5 სტრიქონს და 3 სვეტს, მაშინ საუბარია $5\ჯერ 3$ მატრიცაზე. მატრიცას $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(მასივი)\right)$ აქვს ზომა $3 \ჯერ 2$.

მატრიცები ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით: $A$, $B$, $C$ და ა.შ. მაგალითად, $B=\left(\begin(მასივი) (cccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$. ხაზების ნუმერაცია მიდის ზემოდან ქვემოდან; სვეტები - მარცხნიდან მარჯვნივ. მაგალითად, $B$ მატრიცის პირველი მწკრივი შეიცავს ელემენტებს 5 და 3, ხოლო მეორე სვეტი შეიცავს ელემენტებს 3, -87, 0.

მატრიცების ელემენტები ჩვეულებრივ აღინიშნება პატარა ასოებით. მაგალითად, $A$ მატრიცის ელემენტები აღინიშნება $a_(ij)$-ით. ორმაგი ინდექსი $ij$ შეიცავს ინფორმაციას მატრიცაში ელემენტის პოზიციის შესახებ. რიცხვი $i$ არის მწკრივის რიცხვი, ხოლო რიცხვი $j$ არის სვეტის ნომერი, რომლის გადაკვეთაზე მდებარეობს ელემენტი $a_(ij)$. მაგალითად, მატრიცის მეორე რიგისა და მეხუთე სვეტის გადაკვეთაზე $A=\left(\begin(მასივი) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ ელემენტი $ a_(25) = $59:

ანალოგიურად, პირველი მწკრივისა და პირველი სვეტის გადაკვეთაზე გვაქვს ელემენტი $a_(11)=51$; მესამე რიგისა და მეორე სვეტის გადაკვეთაზე - ელემენტი $a_(32)=-15$ და ა.შ. გაითვალისწინეთ, რომ $a_(32)$ იკითხება როგორც "სამი ორი", მაგრამ არა "ა ოცდათორმეტი".

$A$ მატრიცის შემოკლებული აღნიშვნისთვის, რომლის ზომა უდრის $m\ჯერ n$-ს, გამოიყენება აღნიშვნა $A_(m\ჯერ n)$. შეგიძლიათ დაწეროთ ცოტა უფრო დეტალურად:

$$ A_(m\ჯერ n)=(a_(ij)) $$

სადაც აღნიშვნა $(a_(ij))$ აღნიშნავს $A$ მატრიცის ელემენტებს. სრულად გაფართოებული ფორმით, მატრიცა $A_(m\ჯერ n)=(a_(ij))$ შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ A_(m\ჯერ n)=\მარცხნივ(\ დასაწყისი(მასივი)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end (მასივი) \მარჯვნივ) $$

შემოვიღოთ კიდევ ერთი ტერმინი - თანაბარი მატრიცები.

ორი იგივე ზომის $A_(m\ჯერ n)=(a_(ij))$ და $B_(m\ჯერ n)=(b_(ij))$ ეწოდება თანაბარითუ მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია, ე.ი. $a_(ij)=b_(ij)$ ყველა $i=\overline(1,m)$ და $j=\overline(1,n)$.

$i=\overline(1,m)$ ჩანაწერის ახსნა: show\hide

ჩანაწერი "$i=\overline(1,m)$" ნიშნავს, რომ პარამეტრი $i$ იცვლება 1-დან m-მდე. მაგალითად, ჩანაწერი $i=\overline(1,5)$ ამბობს, რომ $i$ პარამეტრი იღებს მნიშვნელობებს 1, 2, 3, 4, 5.

ასე რომ, მატრიცების ტოლობისთვის საჭიროა ორი პირობა: ზომის დამთხვევა და შესაბამისი ელემენტების ტოლობა. მაგალითად, მატრიცა $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(მაივი)\right)$ არ არის მატრიცის ტოლი $B=\left(\ დასაწყისი(მასივი)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(მაივი)\right)$ რადგან $A$ მატრიცა არის $3\ჯერ 2$ და მატრიცა $B$ არის $2\ჯერ 2$. ასევე მატრიცა $A$ არ უდრის მატრიცას $C=\left(\begin(მასივი)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & ​​0\end(მასივი)\right) $ რადგან $a_( 21)\neq c_(21)$ (ანუ $0\neq 98$). მაგრამ $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​0\end(მასივი)\right)$ მატრიცისთვის, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ დავწეროთ $A =F$ რადგან $A$ და $F$ მატრიცების ზომები და შესაბამისი ელემენტები ემთხვევა ერთმანეთს.

მაგალითი #1

განსაზღვრეთ მატრიცის ზომა $A=\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \ 4 & 0 & -10 \\ \ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ)$. მიუთითეთ რის ტოლია ელემენტები $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

ეს მატრიცა შეიცავს 5 მწკრივს და 3 სვეტს, ამიტომ მისი ზომა არის $5\ჯერ 3$. აღნიშვნა $A_(5\ჯერ 3)$ ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ მატრიცისთვის.

ელემენტი $a_(12)$ არის პირველი მწკრივისა და მეორე სვეტის გადაკვეთაზე, ამიტომ $a_(12)=-2$. ელემენტი $a_(33)$ არის მესამე მწკრივისა და მესამე სვეტის გადაკვეთაზე, ამიტომ $a_(33)=23$. ელემენტი $a_(43)$ არის მეოთხე მწკრივისა და მესამე სვეტის გადაკვეთაზე, ამიტომ $a_(43)=-5$.

უპასუხე: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

მატრიცების ტიპები მათი ზომის მიხედვით. ძირითადი და გვერდითი დიაგონალები. მატრიცული კვალი.

მოდით, იყოს $A_(m\ჯერ n)$ მატრიცა. თუ $m=1$ (მატრიცა შედგება ერთი მწკრივისაგან), მაშინ მოცემული მატრიცა ე.წ. მატრიცა-სტრიქონი. თუ $n=1$ (მატრიცა შედგება ერთი სვეტისგან), მაშინ ასეთი მატრიცა ეწოდება სვეტის მატრიცა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(მასივი) \right)$ არის მწკრივის მატრიცა, ხოლო $\left(\begin(მაივი ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end (მასივი) \right)$ - სვეტის მატრიცა.

თუ პირობა $m\neq n$ მართალია $A_(m\ჯერ n)$ მატრიცისთვის (ანუ მწკრივების რაოდენობა არ უდრის სვეტების რაოდენობას), მაშინ ხშირად ამბობენ, რომ $A$ არის მართკუთხა მატრიცა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ მატრიცას აქვს ზომა $2\ჯერ 4. $, ეს. შეიცავს 2 რიგს და 4 სვეტს. ვინაიდან მწკრივების რაოდენობა არ არის სვეტების რაოდენობის ტოლი, ეს მატრიცა მართკუთხაა.

თუ პირობა $m=n$ მართებულია $A_(m\ჯერ n)$ მატრიცისთვის (ანუ, სტრიქონების რაოდენობა უდრის სვეტების რაოდენობას), მაშინ $A$ ნათქვამია, რომ არის კვადრატული მატრიცა შეუკვეთეთ $n$. მაგალითად, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ არის მეორე რიგის კვადრატული მატრიცა; $\left(\begin(მასივი) (cccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ არის მე-3 რიგის კვადრატული მატრიცა. ზოგადად, კვადრატული მატრიცა $A_(n\ჯერ n)$ შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ A_(n\ჯერ n)=\მარცხნივ(\ დასაწყისი(მასივი)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end (მასივი) \მარჯვნივ) $$

ელემენტები $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ ნათქვამია, რომ ჩართულია მთავარი დიაგონალიმატრიცები $A_(n\ჯერ n)$. ამ ელემენტებს ე.წ ძირითადი დიაგონალური ელემენტები(ან უბრალოდ დიაგონალური ელემენტები). ელემენტები $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ ჩართულია გვერდითი (მეორადი) დიაგონალი; მათ ეძახიან მეორადი დიაგონალური ელემენტები. მაგალითად, მატრიცისთვის $C=\left(\begin(მასივი)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1&0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( მასივი) \right)$ გვაქვს:

ელემენტები $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ ძირითადი დიაგონალური ელემენტებია; ელემენტები $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ არის მეორადი დიაგონალური ელემენტები.

ძირითადი დიაგონალური ელემენტების ჯამი ეწოდება მოჰყვება მატრიცადა აღინიშნება $\Tr A$ (ან $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

მაგალითად, $C=\left(\begin(მაივი) (cccc) მატრიცისთვის 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(მასივი)\right)$ გვაქვს:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

დიაგონალური ელემენტების კონცეფცია ასევე გამოიყენება არაკვადრატული მატრიცებისთვის. მაგალითად, $B=\left(\begin(მასივი) (ccccc) მატრიცისთვის 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(მასივი) \right)$ მთავარი დიაგონალური ელემენტები იქნება $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

მატრიცების ტიპები დამოკიდებულია მათი ელემენტების მნიშვნელობებზე.

თუ $A_(m\ჯერ n)$ მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი მატრიცა ე.წ. nullდა ჩვეულებრივ აღინიშნება ასო $O$-ით. მაგალითად, $\left(\begin(მაივი) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$, $\left(\begin(მაივი) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ არის ნულოვანი მატრიცები.

მოდით მატრიცა $A_(m\ჯერ n)$ ასე გამოიყურებოდეს:

შემდეგ ამ მატრიცას ეძახიან ტრაპეციული. ის შეიძლება არ შეიცავდეს ნულოვან რიგებს, მაგრამ თუ ისინი არიან, ისინი განლაგებულია მატრიცის ბოლოში. უფრო ზოგადი ფორმით, ტრაპეციული მატრიცა შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ისევ და ისევ, ნულოვანი სტრიქონების შემდგომი არჩევა. იმათ. ფორმალურად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შემდეგი პირობები ტრაპეციული მატრიცისთვის:

1. მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ყველა ელემენტი ნულის ტოლია.
2. ყველა ელემენტი $a_(11)$-დან $a_(rr)$-მდე, რომლებიც მდებარეობს მთავარ დიაგონალზე, არ არის ნულის ტოლი: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. ან ბოლო $m-r$ მწკრივების ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, ან $m=r$ (ანუ ნულოვანი რიგები საერთოდ არ არის).

ტრაპეციული მატრიცების მაგალითები:

მოდით გადავიდეთ შემდეგ განმარტებაზე. $A_(m\ჯერ n)$ მატრიცას ეწოდება გადააბიჯათუ ის აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:

მაგალითად, საფეხურების მატრიცები იქნება:

შედარებისთვის, მატრიცა $\left(\begin(მასივი) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ არ არის გადადგმული, რადგან მესამე სტრიქონს აქვს იგივე ნულოვანი ნაწილი, რაც მეორე მწკრივს. ანუ ირღვევა პრინციპი „რაც უფრო დაბალია ხაზი – მით მეტია ნულოვანი ნაწილი“. დავამატებ, რომ ტრაპეციული მატრიცა არის საფეხურიანი მატრიცის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მოდით გადავიდეთ შემდეგ განმარტებაზე. თუ ძირითადი დიაგონალის ქვეშ მდებარე კვადრატული მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი მატრიცა ე.წ. ზედა სამკუთხა მატრიცა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(მასივი) \right)$ - ზედა სამკუთხა მატრიცა. გაითვალისწინეთ, რომ ზედა სამკუთხა მატრიცის განმარტება არაფერს ამბობს ძირითადი დიაგონალის ზემოთ ან მთავარ დიაგონალზე მდებარე ელემენტების მნიშვნელობებზე. ისინი შეიძლება იყოს ან არ იყოს ნულოვანი, არ აქვს მნიშვნელობა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ ასევე არის ზედა სამკუთხა მატრიცა.

თუ მთავარი დიაგონალის ზემოთ მდებარე კვადრატული მატრიცის ყველა ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ასეთი მატრიცა ე.წ. ქვედა სამკუთხა მატრიცა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ ბოლოს (მასივი) \right)$ - ქვედა სამკუთხა მატრიცა. გაითვალისწინეთ, რომ ქვედა სამკუთხა მატრიცის განმარტება არაფერს ამბობს ქვემოთ ან მთავარ დიაგონალზე ელემენტების მნიშვნელობებზე. ისინი შეიძლება იყოს ან არ იყოს ნული, არ აქვს მნიშვნელობა. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ და $\left(\ დასაწყისი (მასივი) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(მასივი) \მარჯვნივ)$ ასევე ქვედა სამკუთხა მატრიცებია.

კვადრატული მატრიცა ეწოდება დიაგონალითუ ამ მატრიცის ყველა ელემენტი, რომელიც არ არის მთავარ დიაგონალზე, ნულის ტოლია. მაგალითი: $\left(\begin(მასივი) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ დასასრული(მასივი)\მარჯვნივ)$. მთავარ დიაგონალზე ელემენტები შეიძლება იყოს ნებისმიერი (ტოლი ნულისა თუ არა) - ეს არ არის აუცილებელი.

დიაგონალური მატრიცა ეწოდება მარტოხელათუ ამ მატრიცის ყველა ელემენტი, რომელიც მდებარეობს მთავარ დიაგონალზე, უდრის 1-ს. მაგალითად, $\left(\begin(მასივი) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(მასივი)\right)$ - მე-4 რიგის იდენტიფიკაციის მატრიცა; $\left(\begin(მასივი) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(მასივი)\right)$ არის მეორე რიგის საიდენტიფიკაციო მატრიცა.

ოპერაციები მატრიცებზე და მათ თვისებებზე.

მეორე და მესამე რიგის განმსაზღვრელი ცნება.დეტერმინანტების თვისებები და მათი გამოთვლა.

3. დავალების ზოგადი აღწერა.

4. დავალებების შესრულება.

5. ანგარიშის შედგენა ლაბორატორიული მუშაობის შესახებ.

ლექსიკონი

ისწავლეთ შემდეგი განმარტებები ვადები:

განზომილებამატრიცა არის ორი რიცხვის ერთობლიობა, რომელიც შედგება მისი მწკრივების რაოდენობისა და n სვეტების რაოდენობისგან.

თუ m=n, მაშინ მატრიცა ეწოდება კვადრატირიგის მატრიცა n.

მატრიცული ოპერაციები: მატრიცის გადატანა, მატრიცის გამრავლება (გაყოფა) რიცხვზე, შეკრება და გამოკლება, მატრიცის გამრავლება მატრიცზე.

A მატრიციდან A m მატრიცაზე გადასვლა, რომლის რიგები არის სვეტები, ხოლო სვეტები A მატრიცის რიგები, ე.წ. ტრანსპოზიციამატრიცები A.

მაგალითი: A= , A t = .

რომ გავამრავლოთ მატრიცა რიცხვზე, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მატრიცის თითოეული ელემენტი ამ რიცხვზე.

მაგალითი: 2A= 2 = .

ჯამი (განსხვავება)ერთი და იგივე განზომილების A და B მატრიცას ეწოდება მატრიცა C \u003d A B, რომლის ელემენტები ტოლია ij-ით = a ij b ijყველასთვის მედა ჯ.

მაგალითი: A = ; B = . A+B= = .

მუშაობა A m n მატრიცას B n k მატრიცას უწოდებენ C m k მატრიცას, რომლის თითოეული ელემენტი c ij უდრის A მატრიცის i-ე მწკრივის ელემენტებისა და j-ე სვეტის შესაბამისი ელემენტის ნამრავლების ჯამს. მატრიცა B:

c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +…+ a in b nj .

იმისათვის, რომ შეძლოთ მატრიცის მატრიცზე გამრავლება, ისინი უნდა იყვნენ დათანხმდაგამრავლებისთვის, ანუ სვეტების რაოდენობაპირველ მატრიცაში უნდა იყოს ტოლი ხაზების რაოდენობამეორე მატრიცაში.

მაგალითი: A= და B=.

A·B - შეუძლებელია, რადგან ისინი არათანმიმდევრულია.

В·А= . = = .

მატრიცის გამრავლების ოპერაციის თვისებები.

1. თუ A მატრიცას აქვს განზომილება წთ,და მატრიცა B არის განზომილება ნკ, მაშინ პროდუქტი A · B არსებობს.

პროდუქტი B A შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როდესაც m=k.

2. მატრიცული გამრავლება არ არის კომუტაციური, ე.ი. A · B ყოველთვის არ არის B · A-ს ტოლი, მაშინაც კი, თუ ორივე პროდუქტი განსაზღვრულია. თუმცა, თუ A B = B A მიმართება დაკმაყოფილებულია, მაშინ A და B მატრიცებს უწოდებენ პერმუტაციური.

მაგალითი. გამოთვალეთ.

მცირეწლოვანიელემენტი არის რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი, რომელიც მიიღება --ე სვეტის --ე მწკრივის წაშლით.

ალგებრული დამატებაელემენტს ეწოდება.

ლაპლასის გაფართოების თეორემა:

კვადრატული მატრიცის განმსაზღვრელი უდრის ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტებისა და მათი ალგებრული დანამატების ნამრავლების ჯამს.

მაგალითი. გამოთვალეთ.

გამოსავალი. .

n-ე რიგის დეტერმინანტების თვისებები:

1) განმსაზღვრელი მნიშვნელობა არ შეიცვლება, თუ რიგები და სვეტები ერთმანეთს ენაცვლება.

2) თუ განმსაზღვრელი შეიცავს მხოლოდ ნულების მწკრივს (სვეტს), მაშინ ის ნულის ტოლია.

3) როდესაც ორი მწკრივი (სვეტი) ერთმანეთს ცვლის, განმსაზღვრელი ცვლის ნიშანს.

4) ორი იდენტური მწკრივის (სვეტის) მქონე განმსაზღვრელი ნულის ტოლია.

5) ნებისმიერი მწკრივის (სვეტის) ელემენტების საერთო კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნას განმსაზღვრელი ნიშნიდან.

6) თუ გარკვეული მწკრივის (სვეტის) თითოეული ელემენტი არის ორი წევრის ჯამი, მაშინ განმსაზღვრელი უდრის ორი განმსაზღვრელი ჯამის, რომელთაგან თითოეულში ყველა მწკრივი (სვეტი), გარდა აღნიშნულისა, ერთნაირია. როგორც მოცემულ განმსაზღვრელში, ასევე პირველი განმსაზღვრელი აღნიშნულ მწკრივში (სვეტში) არის პირველი ტერმინები, მეორე - მეორე.

7) თუ ორი მწკრივი (სვეტი) პროპორციულია განმსაზღვრელში, მაშინ ის ნულის ტოლია.

8) განმსაზღვრელი არ შეიცვლება, თუ გარკვეული მწკრივის (სვეტის) ელემენტები დაემატება მეორე რიგის (სვეტის) შესაბამის ელემენტებს, გამრავლებულს იმავე რიცხვზე.

9) სამკუთხა და დიაგონალური მატრიცების განმსაზღვრელი ტოლია მთავარი დიაგონალის ელემენტების ნამრავლის.

დეტერმინანტების გამოსათვლელად ნულების დაგროვების მეთოდი ეფუძნება დეტერმინანტების თვისებებს.

მაგალითი. გამოთვალეთ.

გამოსავალი. პირველ რიგში გამოვაკლებთ გაორმაგებულ მესამედს, შემდეგ ვიყენებთ გაფართოების თეორემას პირველ სვეტში.

~ .

ტესტის კითხვები(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :

1. რას ჰქვია მეორე რიგის განმსაზღვრელი?

2. რა არის დეტერმინანტების ძირითადი თვისებები?

3. რა არის ელემენტის მინორი?

4. რა ჰქვია განმსაზღვრელი ელემენტის ალგებრულ კომპლიმენტს?

5. როგორ გავაფართოვოთ მესამე რიგის განმსაზღვრელი რომელიმე მწკრივის (სვეტის) ელემენტებით?

6. რა არის რომელიმე მწკრივის (ან სვეტის) ელემენტების ნამრავლების ჯამი, განმსაზღვრელი სხვა რიგის (ან სვეტის) შესაბამისი ელემენტების ალგებრული შევსებით?

7. როგორია სამკუთხედების წესი?

8. როგორ გამოითვლება უმაღლესი რიგის დეტერმინანტები შეკვეთის შემცირებით

10. რა მატრიცას ეწოდება კვადრატი? ნული? რა არის მატრიცა-სტრიქონი, მატრიცა-სვეტი?

11. რომელ მატრიცებს უწოდებენ ტოლს?

12. მიეცით შეკრების, მატრიცის გამრავლების, რიცხვზე მატრიცის გამრავლების მოქმედებების განმარტებები.

13. რა პირობები უნდა აკმაყოფილებდეს მატრიცების ზომას შეკრების, გამრავლების დროს?

14. რა თვისებები ახასიათებს ალგებრულ მოქმედებებს: კომუტატიულობა, ასოციაციურობა, განაწილება? რომელი მათგანი შესრულებულია მატრიცებისთვის შეკრების, გამრავლების დროს და რომელი არა?

15. რა არის შებრუნებული მატრიცა? რომელი მატრიცებისთვის არის განსაზღვრული?

16. ჩამოაყალიბეთ თეორემა შებრუნებული მატრიცის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ.

17. ჩამოაყალიბეთ ლემა მატრიცების ნამრავლის ტრანსპოზიციაზე.

ზოგადი პრაქტიკული დავალებები(OK-1, OK-2, OK-11, PC-1) :

No1. იპოვეთ A და B მატრიცების ჯამი და სხვაობა :

ა)

ბ)

in)

No2. Მიყევი ამ ნაბიჯებს :

გ) Z \u003d -11A + 7B-4C + D

თუ

ნომერი 3. Მიყევი ამ ნაბიჯებს :

in)

No4. კვადრატული მატრიცის დეტერმინანტის გამოთვლის ოთხი მეთოდის გამოყენებით იპოვეთ შემდეგი მატრიცების განმსაზღვრელი :

No5. იპოვნეთ n-ე რიგის განმსაზღვრელი, სვეტის (მწკრივის) ელემენტებით :

ა) ბ)

No6. იპოვეთ მატრიცის განმსაზღვრელი დეტერმინანტების თვისებების გამოყენებით:

ა) ბ)

ეს სახელმძღვანელო დაგეხმარებათ გაიგოთ როგორ მატრიცული ოპერაციები: მატრიცების შეკრება (გამოკლება), მატრიცის ტრანსპოზიცია, მატრიცების გამრავლება, მატრიცის ინვერსიის პოვნა. ყველა მასალა წარმოდგენილია მარტივი და ხელმისაწვდომი ფორმით, მოყვანილია შესაბამისი მაგალითები, ასე რომ, მოუმზადებელ ადამიანსაც კი შეუძლია ისწავლოს მატრიცებით მოქმედებების შესრულება. თვითკონტროლისთვის და თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ ჩამოტვირთოთ მატრიცის კალკულატორი უფასოდ >>>.

ვეცდები მინიმუმამდე დავიყვანო თეორიული გამოთვლები, ზოგან შესაძლებელია ახსნა-განმარტებები „თითებზე“ და არამეცნიერული ტერმინების გამოყენება. მყარი თეორიის მოყვარულებო, გთხოვთ ნუ ჩაერთვებით კრიტიკაში, ჩვენი ამოცანაა ისწავლეთ მატრიცებთან მუშაობა.

SUPER-FAST მომზადებისთვის თემაზე (ვინ "იწვის") არის ინტენსიური pdf კურსი. მატრიცა, განმსაზღვრელი და ოფსეტი!

მატრიცა ზოგიერთის მართკუთხა ცხრილია ელემენტები. როგორც ელემენტებიგანვიხილავთ რიცხვებს, ანუ რიცხვობრივ მატრიცებს. ელემენტიარის ტერმინი. სასურველია გავიხსენოთ ტერმინი, ის ხშირად მოხდება, შემთხვევითი არ არის, რომ ხაზგასმით გამოვიყენე თამამი.

Დანიშნულება:მატრიცები ჩვეულებრივ აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით

მაგალითი:განვიხილოთ ორი-სამი მატრიცა:

ეს მატრიცა შედგება ექვსისგან ელემენტები:

მატრიცის შიგნით ყველა რიცხვი (ელემენტი) თავისთავად არსებობს, ანუ რაიმე გამოკლების საკითხი არ დგას:

ეს უბრალოდ რიცხვების ცხრილი (კომპლექტია)!

ჩვენც შევთანხმდებით არ გადააწყოთნომერი, თუ ახსნა-განმარტებაში სხვა რამ არ არის მითითებული. თითოეულ ნომერს აქვს თავისი ადგილმდებარეობა და თქვენ არ შეგიძლიათ მათი არევა!

განსახილველ მატრიცას აქვს ორი სტრიქონი:

და სამი სვეტი:

სტანდარტი: როდესაც ვსაუბრობთ მატრიცის ზომებზე, მაშინ პირველიმიუთითეთ რიგების რაოდენობა და მხოლოდ ამის შემდეგ - სვეტების რაოდენობა. ჩვენ ახლახან დავშალეთ მატრიცა ორ-სამზე.

თუ მატრიცის სტრიქონების და სვეტების რაოდენობა იგივეა, მაშინ მატრიცა ე.წ. კვადრატი, მაგალითად: არის სამ-სამ მატრიცა.

თუ მატრიცას აქვს ერთი სვეტი ან ერთი მწკრივი, მაშინ ასეთ მატრიცებსაც უწოდებენ ვექტორები.

სინამდვილეში, ჩვენ ვიცით მატრიცის კონცეფცია სკოლიდან, განვიხილოთ, მაგალითად, წერტილი კოორდინატებით "x" და "y": . არსებითად, წერტილის კოორდინატები იწერება ერთი-ორ მატრიცაში. სხვათა შორის, აქ არის მაგალითი თქვენთვის, თუ რატომ აქვს მნიშვნელობა რიცხვების თანმიმდევრობას: და ეს არის სიბრტყის ორი სრულიად განსხვავებული წერტილი.

ახლა გადავიდეთ შესწავლაზე. მატრიცული ოპერაციები:

1) მოქმედება პირველი. მინუსის ამოღება მატრიციდან (მინუსის შეყვანა მატრიცაში).

დაუბრუნდით ჩვენს მატრიცას . როგორც ალბათ შენიშნეთ, ამ მატრიცაში ძალიან ბევრი უარყოფითი რიცხვია. ეს ძალიან მოუხერხებელია მატრიცით სხვადასხვა მოქმედებების შესრულების კუთხით, მოუხერხებელია ამდენი მინუსის დაწერა და უბრალოდ მახინჯი ჩანს დიზაინში.

გადავიტანოთ მინუსი მატრიცის გარეთ მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:

ნულზე, როგორც გესმით, ნიშანი არ იცვლება, ნული - აფრიკაშიც ნულია.

საპირისპირო მაგალითი: . მახინჯი გამოიყურება.

მატრიცაში მინუსს ვნერგავთ მატრიცის თითოეული ელემენტის ნიშნის შეცვლით:

ისე, ბევრად უფრო ლამაზია. და რაც მთავარია, მატრიცით ნებისმიერი მოქმედების შესრულება უფრო ადვილი იქნება. რადგან არსებობს ასეთი მათემატიკური ხალხური ნიშანი: რაც მეტი მინუსი - მით მეტი დაბნეულობა და შეცდომები.

2) მოქმედება მეორე. მატრიცის გამრავლება რიცხვზე.

მაგალითი:

ეს მარტივია, იმისათვის, რომ მატრიცა გავამრავლოთ რიცხვზე, გჭირდებათ თითოეულიგავამრავლოთ მატრიცის ელემენტი მოცემულ რიცხვზე. ამ შემთხვევაში სამი.

კიდევ ერთი სასარგებლო მაგალითი:

- მატრიცის გამრავლება წილადზე

ჯერ ვნახოთ რა უნდა გავაკეთოთ ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐ:

არ არის აუცილებელი მატრიცაში წილადის შეყვანა, ჯერ ერთი, ეს მხოლოდ ართულებს მატრიცის შემდგომ მოქმედებებს და მეორეც, მასწავლებელს ურთულებს ამოხსნის შემოწმებას (განსაკუთრებით თუ - დავალების საბოლოო პასუხი).

Და განსაკუთრებით, ᲐᲠ ᲐᲠᲘᲡ ᲡᲐᲭᲘᲠᲝᲔᲑᲐგაყავით მატრიცის თითოეული ელემენტი მინუს შვიდზე:

სტატიიდან მათემატიკა დუმებისთვის ან სად უნდა დაიწყოსჩვენ გვახსოვს, რომ ათწილადი წილადები მძიმით უმაღლეს მათემატიკაში ყველანაირად ცდილობენ თავიდან აიცილონ თავი.

ერთადერთი რამ სასურველიაამ მაგალითში მინუსის ჩასმა მატრიცაშია:

Მაგრამ თუ ყველამატრიცის ელემენტები იყოფა 7-ზე უკვალოდ, მაშინ შესაძლებელი იქნებოდა (და აუცილებელიც!) გაყოფა.

მაგალითი:

ამ შემთხვევაში შეგიძლიათ საჭიროებაგავამრავლოთ მატრიცის ყველა ელემენტი, რადგან მატრიცის ყველა რიცხვი იყოფა 2-ზე უკვალოდ.

შენიშვნა: უმაღლესი მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს „გაყოფის“ სასკოლო ცნება. ფრაზის ნაცვლად "ეს იყოფა ამაზე", ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ "ეს მრავლდება წილადზე". ანუ გაყოფა გამრავლების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

3) მოქმედება მესამე. მატრიცის ტრანსპოზიცია.

მატრიცის გადასატანად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ მისი რიგები ტრანსპონირებული მატრიცის სვეტებში.

მაგალითი:

მატრიცას ტრანსპოზირება

აქ მხოლოდ ერთი სტრიქონია და წესის მიხედვით, სვეტში უნდა ჩაიწეროს:

არის ტრანსპონირებული მატრიცა.

ტრანსპონირებული მატრიცა, როგორც წესი, აღინიშნება ზემოწერით ან შტრიხით ზედა მარჯვენა მხარეს.

ნაბიჯ ნაბიჯ მაგალითი:

მატრიცას ტრანსპოზირება

პირველ რიგში, ჩვენ გადავიწერთ პირველ სტრიქონს პირველ სვეტში:

შემდეგ ჩვენ მეორე რიგს მეორე სვეტში ვწერთ:

და ბოლოს, ჩვენ გადავიწერთ მესამე რიგს მესამე სვეტში:

მზადაა. უხეშად რომ ვთქვათ, ტრანსპოზირება ნიშნავს მატრიცის თავის მხარეს გადატრიალებას.

4) მოქმედება მეოთხე. მატრიცების ჯამი (განსხვავება)..

მატრიცების ჯამი მარტივი ოპერაციაა.
ყველა მატრიქსის დაკეცვა არ შეიძლება. მატრიცების შეკრების (გამოკლების) შესასრულებლად აუცილებელია, რომ ისინი იყოს იგივე ზომის.

მაგალითად, თუ მოცემულია ორი-ორ მატრიცა, მაშინ ის შეიძლება მხოლოდ ორ-ორ მატრიცას დაემატოს და სხვა არა!

მაგალითი:

დაამატეთ მატრიცები და

მატრიცების დასამატებლად საჭიროა მათი შესაბამისი ელემენტების დამატება:

მატრიცების განსხვავებისთვის, წესი მსგავსია, აუცილებელია შესაბამისი ელემენტების სხვაობის პოვნა.

მაგალითი:

იპოვნეთ მატრიცების განსხვავება ,

და როგორ მოვაგვაროთ ეს მაგალითი უფრო მარტივად, რომ არ დაიბნეთ? მიზანშეწონილია თავი დააღწიოთ არასაჭირო მინუსებს, ამისათვის ჩვენ დავამატებთ მინუსს მატრიცას:

შენიშვნა: უმაღლესი მათემატიკის თეორიაში არ არსებობს „გამოკლების“ სასკოლო ცნება. ფრაზის ნაცვლად "გამოაკლოთ ამას", ყოველთვის შეგიძლიათ თქვათ "ამას დაუმატეთ უარყოფითი რიცხვი". ანუ გამოკლება შეკრების განსაკუთრებული შემთხვევაა.

5) მოქმედება მეხუთე. მატრიცული გამრავლება.

რა მატრიცები შეიძლება გამრავლდეს?

იმისათვის, რომ მატრიცა გამრავლდეს მატრიცზე, ისე, რომ მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მატრიცის რიგების რაოდენობას.

მაგალითი:
შესაძლებელია თუ არა მატრიცის მატრიცზე გამრავლება?

ასე რომ, შეგიძლიათ გაამრავლოთ მატრიცის მონაცემები.

მაგრამ თუ მატრიცები გადანაწილებულია, მაშინ, ამ შემთხვევაში, გამრავლება აღარ არის შესაძლებელი!

ამიტომ გამრავლება შეუძლებელია:

არცთუ იშვიათია ილეთებით ამოცანები, როდესაც მოსწავლეს სთხოვენ მატრიცების გამრავლებას, რომელთა გამრავლება აშკარად შეუძლებელია.

უნდა აღინიშნოს, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მატრიცების გამრავლება ორივე გზით.
მაგალითად, მატრიცებისთვის და შესაძლებელია გამრავლებაც და გამრავლებაც

განმარტება 1. მატრიცა A ზომამ ნარის m რიგებისა და n სვეტის მართკუთხა ცხრილი, რომელიც შედგება რიცხვებისგან ან სხვა მათემატიკური გამონათქვამებისგან (ე.წ. მატრიცის ელემენტები), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, ან

განმარტება 2. ორი მატრიცა
და
იგივე ზომას უწოდებენ თანაბარი, თუ ისინი ემთხვევა ელემენტად ელემენტს, ე.ი. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

მატრიცების დახმარებით ადვილია ზოგიერთი ეკონომიკური დამოკიდებულების ჩამოწერა, მაგალითად, ეკონომიკის გარკვეული სექტორებისთვის რესურსების განაწილების ცხრილები.

განმარტება 3. თუ მატრიცის სტრიქონების რაოდენობა ემთხვევა მისი სვეტების რაოდენობას, ე.ი. m = n, მაშინ მატრიცა ეწოდება კვადრატული შეკვეთან, წინააღმდეგ შემთხვევაში მართკუთხა.

განმარტება 4. გადასვლას A მატრიციდან A m მატრიცაზე, რომელშიც რიგები და სვეტები იცვლება წესრიგის შენარჩუნებით, ე.წ. ტრანსპოზიციამატრიცები.

მატრიცების ტიპები: კვადრატი (ზომა 33) -
,

მართკუთხა (ზომა 25) -
,

დიაგონალი -
, მარტოხელა -
, ნული -
,

მატრიცის მწკრივი -
, მატრიცა-სვეტი -.

განმარტება 5. n რიგის კვადრატული მატრიცის ელემენტებს იგივე ინდექსებით ეწოდება მთავარი დიაგონალის ელემენტები, ე.ი. ეს არის ელემენტები:
.

განმარტება 6. n რიგის კვადრატული მატრიცის ელემენტებს ეწოდება მეორადი დიაგონალური ელემენტები, თუ მათი ინდექსების ჯამი უდრის n + 1-ს, ე.ი. ეს ელემენტებია: .

1.2. ოპერაციები მატრიცებზე.

1 0 . ჯამი ორი მატრიცა
და
იგივე ზომის მატრიცას ეწოდება С = (с ij), რომლის ელემენტები განისაზღვრება ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2) ტოლობით. ,3,…,n).

მატრიცის შეკრების მოქმედების თვისებები.

ნებისმიერი მატრიცისთვის A, B, C იგივე ზომის, შემდეგი ტოლობები მოქმედებს:

1) A + B = B + A (კომუტატიულობა),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (ასოციაციურობა).

2 0 . მუშაობა მატრიცები
თითო რიცხვზე  მატრიცას უწოდებენ
იგივე ზომა, როგორც A მატრიცა და b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

მატრიცის რიცხვზე გამრავლების მოქმედების თვისებები.

(А) = ()А (გამრავლების ასოციაციურობა);

(А+В) = А+В (გამრავლების განაწილება მატრიცის შეკრების მიმართ);

(+)A = A+A (გამრავლების განაწილება რიცხვების შეკრების მიმართ).

განმარტება 7. მატრიცების ხაზოვანი კომბინაცია
და
იგივე ზომის ეწოდება A + B ფორმის გამოხატულება, სადაც  და  არის თვითნებური რიცხვები.

3 0 . პროდუქტი A  მატრიცებში A და B, შესაბამისად, mn და nk ზომებს, ეწოდება mk ზომის C მატრიცა, რომ ელემენტი ij-ით უდრის i-ე რიგის ელემენტების ნამრავლების ჯამს. A მატრიცის და B მატრიცის j-ე სვეტი, ე.ი. ერთად ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

პროდუქტი AB არსებობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A მატრიცის სვეტების რაოდენობა იგივეა, რაც B მატრიცის მწკრივების რაოდენობა.

მატრიცის გამრავლების მოქმედების თვისებები:

(АВ)С = А(ВС) (ასოციაციურობა);

(А+В)С = АС+ВС (განაწილება მატრიცის შეკრების მიმართ);

А(В+С) = АВ+АС (განაწილება მატრიცის შეკრების მიმართ);

АВ  ВА (არა კომუტატიურობა).

განმარტება 8. მატრიცები A და B, რომლებისთვისაც AB = BA, ეწოდება commuting ან permuting.

ნებისმიერი რიგის კვადრატული მატრიცის გამრავლება შესაბამის იდენტობის მატრიცზე არ ცვლის მატრიცას.

განმარტება 9. ელემენტარული გარდაქმნებიმატრიცებს ეწოდება შემდეგი ოპერაციები:

შეცვალეთ ორი მწკრივი (სვეტი).

გაამრავლეთ მწკრივის (სვეტის) თითოეული ელემენტი არანულოვანი რიცხვით.

ერთი რიგის (სვეტის) ელემენტებს მეორე რიგის (სვეტის) შესაბამისი ელემენტების დამატება.

განმარტება 10. ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით A მატრიციდან მიღებულ B მატრიცას ე.წ ექვივალენტი(აღნიშნავს BA).

მაგალითი 1.1.იპოვეთ მატრიცების წრფივი კომბინაცია 2A–3B თუ

,
.

,
,

.

მაგალითი 1.2. იპოვნეთ მატრიცების ნამრავლი
, თუ

.

გამოსავალი: რადგან პირველი მატრიცის სვეტების რაოდენობა იგივეა, რაც მეორე მატრიცის რიგების რაოდენობა, მაშინ მატრიცის პროდუქტი არსებობს. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ახალ მატრიცას
, სად

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ
.

ლექცია 2. დეტერმინანტები. მეორე, მესამე რიგის დეტერმინანტების გამოთვლა. კვალიფიკატორის თვისებებინ- ბრძანება.

ODA. მართკუთხა მაგიდასთან ერთად ტხაზები და პნამდვილი რიცხვების სვეტები ეწოდება მატრიცაზომა t×n. მატრიცები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით: A, B, ..., ხოლო რიცხვების მასივი გამოირჩევა მრგვალი ან კვადრატული ფრჩხილებით.

ცხრილში შეტანილ რიცხვებს ეწოდება მატრიცული ელემენტები და აღინიშნება პატარა ლათინური ასოებით ორმაგი ინდექსით, სადაც მე- ხაზის ნომერი ჯ- სვეტის ნომერი, რომლის გადაკვეთაზეც მდებარეობს ელემენტი. ზოგადად, მატრიცა იწერება შემდეგნაირად:

განიხილება ორი მატრიცა თანაბარითუ მათი შესაბამისი ელემენტები ტოლია.

თუ მატრიცის რიგების რაოდენობა ტმისი სვეტების რაოდენობის ტოლია პ, მაშინ მატრიცა ეწოდება კვადრატი(სხვა შემთხვევაში მართკუთხა).

ზომის მატრიცა
ეწოდება მწკრივის მატრიცა. ზომის მატრიცა

ეწოდება სვეტის მატრიცა.

მატრიცის ელემენტები თანაბარი ინდექსებით (
და ა.შ.), ფორმა მთავარი დიაგონალიმატრიცები. მეორე დიაგონალს გვერდითი დიაგონალი ეწოდება.

კვადრატული მატრიცა ეწოდება დიაგონალითუ მისი ყველა ელემენტი, რომელიც მდებარეობს მთავარი დიაგონალის გარეთ, ნულის ტოლია.

დიაგონალური მატრიცა, რომლის დიაგონალური ჩანაწერები ერთის ტოლია, ეწოდება მარტოხელამატრიცა და აქვს სტანდარტული აღნიშვნა E:

თუ მატრიცის ყველა ელემენტი, რომელიც მდებარეობს მთავარი დიაგონალის ზემოთ (ან ქვემოთ) ნულის ტოლია, მატრიცას სამკუთხა ფორმა აქვს:

§2. მატრიცული ოპერაციები

1. მატრიცის ტრანსპოზიცია - ტრანსფორმაცია, რომლის დროსაც მატრიცის სტრიქონები იწერება სვეტებად მათი წესრიგის შენარჩუნებით. კვადრატული მატრიცისთვის, ეს ტრანსფორმაცია უდრის სიმეტრიულ რუკს მთავარ დიაგონალთან მიმართებაში:

.

2. ერთი და იგივე განზომილების მატრიცები შეიძლება შეჯამდეს (გამოკლდეს). მატრიცების ჯამი (განსხვავება) არის იგივე განზომილების მატრიცა, რომლის თითოეული ელემენტი უდრის ორიგინალური მატრიცების შესაბამისი ელემენტების ჯამს (განსხვავებას):

3. ნებისმიერი მატრიცა შეიძლება გამრავლდეს რიცხვზე. მატრიცის ნამრავლი რიცხვით არის ერთი და იმავე რიგის მატრიცა, რომლის თითოეული ელემენტი უდრის ორიგინალური მატრიცის შესაბამისი ელემენტის ნამრავლს ამ რიცხვით:

.

4. თუ ერთი მატრიცის სვეტების რაოდენობა უდრის მეორის რიგების რაოდენობას, მაშინ შეგიძლიათ პირველი მატრიცა გაამრავლოთ მეორეზე. ასეთი მატრიცების ნამრავლი არის მატრიცა, რომლის თითოეული ელემენტი უდრის პირველი მატრიცის შესაბამისი მწკრივის ელემენტებისა და მეორე მატრიცის შესაბამისი სვეტის ელემენტების წყვილი ნამრავლების ჯამს.

შედეგი. მატრიცის ექსპონენტაცია რომ>1 არის A მატრიცის ნამრავლი რომერთხელ. განსაზღვრულია მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვის.

მაგალითი.

მატრიცებზე მოქმედებების თვისებები.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T =kA T;

   (A + B) T \u003d A T + B T;

   (AB) T =B T A T;

ზემოთ ჩამოთვლილი თვისებები ჰგავს რიცხვებზე მოქმედებების თვისებებს. ასევე არსებობს მატრიცების სპეციფიკური თვისებები. ეს მოიცავს, მაგალითად, მატრიცის გამრავლების განმასხვავებელ თვისებას. თუ პროდუქტი AB არსებობს, მაშინ პროდუქტი BA

შეიძლება არ არსებობდეს

შეიძლება განსხვავდებოდეს AB-სგან.

მაგალითი. კომპანია აწარმოებს ორი ტიპის A და B პროდუქციას და იყენებს სამი სახის ნედლეულს S 1 , S 2 და S 3 . ნედლეულის მოხმარების მაჩვენებლები მოცემულია N= მატრიცით
, სად ნ იჯ- ნედლეულის რაოდენობა ჯდახარჯული პროდუქციის ერთეულის წარმოებაზე მე. წარმოების გეგმა მოცემულია მატრიცით C = (100 200), ხოლო ნედლეულის თითოეული ტიპის ერთეულის ღირებულება მოცემულია მატრიცით. . განსაზღვრეთ ნედლეულის ღირებულება დაგეგმილი გამომუშავებისთვის და ნედლეულის მთლიანი ღირებულება.

გამოსავალი. ნედლეულის ღირებულება განისაზღვრება, როგორც C და N მატრიცების პროდუქტი:

ჩვენ ვიანგარიშებთ ნედლეულის ჯამურ ღირებულებას S და P-ის პროდუქტის სახით.