ექსპონენტი გამოიყენება იმისათვის, რომ გაადვილდეს რიცხვის თავისთავად გამრავლების მოქმედების ჩაწერა. მაგალითად, წერის ნაცვლად შეგიძლიათ დაწეროთ 4 5 (\displaystyle 4^(5))(ასეთი გადასვლის ახსნა მოცემულია ამ სტატიის პირველ ნაწილში). ძალები აადვილებს გრძელი ან რთული გამონათქვამების ან განტოლებების დაწერას; ასევე, ძალები ადვილად ემატება და აკლდება, რაც იწვევს გამოხატვის ან განტოლების გამარტივებას (მაგალითად, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Შენიშვნა:თუ ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა გჭირდებათ (ასეთ განტოლებაში უცნობია მაჩვენებელში), წაიკითხეთ.

ნაბიჯები

მარტივი პრობლემების გადაჭრა ძალაუფლებით

გაამრავლეთ მაჩვენებლის ფუძე თავის თავზე რამდენჯერმე მაჩვენებლის ტოლი.თუ მაჩვენებლების პრობლემის გადაჭრა გჭირდებათ ხელით, გადაწერეთ მაჩვენებლის გამრავლების ოპერაცია, სადაც მაჩვენებლის საფუძველი თავისთავად მრავლდება. მაგალითად, ხარისხის გათვალისწინებით 3 4 (\displaystyle 3^(4)). ამ შემთხვევაში, მე-3 ხარისხის საფუძველი უნდა გამრავლდეს თავისთავად 4-ჯერ: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). აქ არის სხვა მაგალითები:

პირველი, გაამრავლეთ პირველი ორი რიცხვი.Მაგალითად, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). არ ინერვიულოთ - გაანგარიშების პროცესი არც ისე რთულია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. ჯერ გაამრავლეთ პირველი ორი ოთხჯერ და შემდეგ შეცვალეთ ისინი შედეგით. Ამგვარად:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. გაამრავლეთ შედეგი (ჩვენს მაგალითში 16) მომდევნო რიცხვზე.ყოველი მომდევნო შედეგი პროპორციულად გაიზრდება. ჩვენს მაგალითში გავამრავლოთ 16 4-ზე. ასე:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • გააგრძელეთ პირველი ორი რიცხვის გამრავლების შედეგი მომდევნო რიცხვზე, სანამ საბოლოო პასუხს არ მიიღებთ. ამისათვის გაამრავლეთ პირველი ორი რიცხვი და შემდეგ გაამრავლეთ შედეგი მომდევნო რიცხვზე თანმიმდევრობით. ეს მეთოდი მოქმედებს ნებისმიერი ხარისხისთვის. ჩვენს მაგალითში თქვენ უნდა მიიღოთ: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. მოაგვარეთ შემდეგი პრობლემები.შეამოწმეთ თქვენი პასუხი კალკულატორით.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. კალკულატორზე მოძებნეთ გასაღები წარწერით "exp" ან " x n (\displaystyle x^(n))", ან "^".ამ კლავიშის საშუალებით თქვენ ასწევთ რიცხვს ხარისხზე. პრაქტიკულად შეუძლებელია ხარისხის ხელით გამოთვლა დიდი მაჩვენებლით (მაგალითად, ხარისხი 9 15 (\displaystyle 9^(15))), მაგრამ კალკულატორი ადვილად უმკლავდება ამ ამოცანას. Windows 7-ში სტანდარტული კალკულატორი შეიძლება გადავიდეს საინჟინრო რეჟიმში; ამისათვის დააჭირეთ "ნახვა" -\u003e "ინჟინერია". ნორმალურ რეჟიმში გადასასვლელად დააჭირეთ ღილაკს "ნახვა" -\u003e "ნორმალური".

   • შეამოწმეთ მიღებული პასუხი საძიებო სისტემის გამოყენებით (Google ან Yandex). კომპიუტერის კლავიატურაზე „^“ ღილაკის გამოყენებით შეიყვანეთ გამონათქვამი საძიებო სისტემაში, რომელიც მყისიერად აჩვენებს სწორ პასუხს (და შესაძლოა შემოგთავაზოთ მსგავსი გამონათქვამები შესასწავლად).

   ძალაუფლების შეკრება, გამოკლება, გამრავლება

   1. თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ და გამოკლოთ ძალა მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათ აქვთ იგივე საფუძველი.თუ თქვენ გჭირდებათ ძალაუფლების დამატება იმავე ფუძეებით და მაჩვენებლებით, მაშინ შეგიძლიათ შეცვალოთ შეკრების ოპერაცია გამრავლების ოპერაციით. მაგალითად, მოცემული გამოხატულება 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). გახსოვდეთ, რომ ხარისხი 4 5 (\displaystyle 4^(5))შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); ამრიგად, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(სადაც 1 +1 =2). ანუ დათვალეთ მსგავსი გრადუსების რაოდენობა და შემდეგ გაამრავლეთ ასეთი ხარისხი და ეს რიცხვი. ჩვენს მაგალითში აწიეთ 4 მეხუთე ხარისხამდე და შემდეგ გაამრავლეთ შედეგი 2-ზე. გახსოვდეთ, რომ შეკრების ოპერაცია შეიძლება შეიცვალოს გამრავლების ოპერაციით, მაგალითად, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). აქ არის სხვა მაგალითები:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. ერთსა და იმავე ფუძეზე ძალების გამრავლებისას მათი მაჩვენებლები ემატება ერთმანეთს (ფუძე არ იცვლება).მაგალითად, მოცემული გამოხატულება x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). ამ შემთხვევაში, თქვენ უბრალოდ უნდა დაამატოთ ინდიკატორები, დატოვოთ ბაზა უცვლელი. ამრიგად, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). აქ მოცემულია ამ წესის ვიზუალური ახსნა:

      სიმძლავრის ხარისხზე აყვანისას, მაჩვენებლები მრავლდება.მაგალითად, მიენიჭა ხარისხი. ვინაიდან მაჩვენებლები მრავლდება, მაშინ (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). ამ წესის მნიშვნელობა არის ის, რომ თქვენ გაამრავლებთ ძალას (x 2) (\displaystyle (x^(2)))თავის თავზე ხუთჯერ. Ამგვარად:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • ვინაიდან საფუძველი იგივეა, მაჩვენებლები უბრალოდ იკრიბება: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. უარყოფითი მაჩვენებლის მქონე მაჩვენებელი უნდა გარდაიქმნას წილადად (შებრუნებულ ხარისხში).არ აქვს მნიშვნელობა, თუ არ იცი რა არის საპასუხო. თუ თქვენ მოგეცემათ ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით, მაგალითად, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), ჩაწერეთ ეს სიმძლავრე წილადის მნიშვნელში (ჩადეთ მრიცხველში 1) და გააკეთეთ მაჩვენებლის დადებითი. ჩვენს მაგალითში: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). აქ არის სხვა მაგალითები:

      ძალაუფლების ერთიდაიგივე ფუძით გაყოფისას, მათ მაჩვენებლებს აკლებენ (ფუძე არ იცვლება).გაყოფის ოპერაცია გამრავლების ოპერაციის საპირისპიროა. მაგალითად, მოცემული გამოხატულება 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). გამოვაკლოთ მნიშვნელობის მაჩვენებელს მრიცხველის მაჩვენებელს (ძირს ნუ შეცვლით). ამრიგად, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • ხარისხი მნიშვნელში შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). გახსოვდეთ, რომ წილადი არის რიცხვი (ძალა, გამოხატულება) უარყოფითი მაჩვენებლით.

   4. ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე გამოთქმა, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ, როგორ გადაჭრათ დენის პრობლემები.ზემოაღნიშნული გამონათქვამები მოიცავს ამ ნაწილში წარმოდგენილ მასალას. პასუხის სანახავად, უბრალოდ მონიშნეთ ცარიელი ადგილი ტოლობის ნიშნის შემდეგ.

   ამოცანების ამოხსნა წილადის მაჩვენებლებით

   ხარისხი წილადის მაჩვენებლით (მაგალითად, ) გარდაიქმნება ფესვის ამოღების ოპერაციად.ჩვენს მაგალითში: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). არ აქვს მნიშვნელობა რა რიცხვია წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელში. Მაგალითად, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))არის "x"-ის მეოთხე ფესვი x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. თუ მაჩვენებელი არის არასწორი წილადი, მაშინ ასეთი მაჩვენებლის დაშლა შეიძლება ორ ხარისხად, რათა გაამარტივოს პრობლემის გადაჭრა. ამაში არაფერია რთული - უბრალოდ გახსოვდეთ ძალაუფლების გამრავლების წესი. მაგალითად, მიენიჭა ხარისხი. გადააქციეთ ეს მაჩვენებელი ფესვად, რომლის მაჩვენებელი ტოლია წილადის მაჩვენებლის მნიშვნელის და შემდეგ აწიეთ ეს ფესვი წილადის მაჩვენებლის მრიცხველის მრიცხველამდე. ამისათვის გახსოვდეთ ეს 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). ჩვენს მაგალითში:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. ზოგიერთ კალკულატორს აქვს ღილაკი მაჩვენებლების გამოსათვლელად (ჯერ უნდა შეიყვანოთ ბაზა, შემდეგ დააჭიროთ ღილაკს და შემდეგ შეიყვანოთ მაჩვენებლები). იგი აღინიშნება როგორც ^ ან x^y.
   3. გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი თავის თავს უდრის პირველ ხარისხს, მაგალითად, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)უფრო მეტიც, ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ან გაყოფილი ერთზე უდრის თავის თავს, მაგალითად, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)და 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. იცოდე, რომ 0 0 ხარისხი არ არსებობს (ასეთ ხარისხს არ აქვს ამოხსნა). როდესაც ცდილობთ ასეთი ხარისხის ამოხსნას კალკულატორზე ან კომპიუტერზე, მიიღებთ შეცდომას. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი რიცხვი ნულის ხარისხზე უდრის 1-ს, მაგალითად, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. უმაღლეს მათემატიკაში, რომელიც მოქმედებს წარმოსახვითი რიცხვებით: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), სად i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e არის მუდმივი დაახლოებით 2,7-ის ტოლი; a არის თვითნებური მუდმივი. ამ თანასწორობის დამადასტურებელი საბუთი შეგიძლიათ ნახოთ უმაღლესი მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში.

   გაფრთხილებები

   • მაჩვენებლის ზრდასთან ერთად, მისი ღირებულება მნიშვნელოვნად იზრდება. ამიტომ, თუ პასუხი არასწორად მოგეჩვენებათ, სინამდვილეში ის შეიძლება სიმართლე აღმოჩნდეს. ამის შემოწმება შეგიძლიათ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის გამოსახვით, როგორიცაა 2 x.

ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის რიცხვის ხარისხი ზოგადად. ახლა ჩვენ უნდა გავიგოთ, როგორ სწორად გამოვთვალოთ ის, ე.ი. აწიეთ რიცხვები ძალაუფლებამდე. ამ მასალაში გავაანალიზებთ ხარისხის გამოთვლის ძირითად წესებს მთელი რიცხვის, ბუნებრივი, წილადი, რაციონალური და ირაციონალური მაჩვენებლის შემთხვევაში. ყველა განმარტება იქნება ილუსტრირებული მაგალითებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ექსპონენტაციის კონცეფცია

დავიწყოთ ძირითადი განმარტებების ფორმულირებით.

განმარტება 1

ექსპონენტაციაარის რომელიმე რიცხვის სიმძლავრის მნიშვნელობის გამოთვლა.

ანუ სიტყვები „ხარისხის ღირებულების გამოთვლა“ და „გამდიდრება“ ერთსა და იმავეს ნიშნავს. ასე რომ, თუ დავალება არის "აწიეთ რიცხვი 0, 5 მეხუთე ხარისხამდე", ეს უნდა გავიგოთ, როგორც "გამოთვალეთ სიმძლავრის მნიშვნელობა (0, 5) 5 .

ახლა ჩვენ ვაძლევთ ძირითად წესებს, რომლებიც უნდა დაიცვან ასეთ გამოთვლებში.

გაიხსენეთ რა არის რიცხვის ხარისხში ბუნებრივი მაჩვენებლით. სიმძლავრისთვის a ბაზისით და n მაჩვენებლით, ეს იქნება n-ე რაოდენობის ფაქტორების ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული უდრის a-ს. ეს შეიძლება დაიწეროს ასე:

ხარისხის მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა შეასრულოთ გამრავლების ოპერაცია, ანუ გაამრავლოთ ხარისხის საფუძვლები მითითებულ რაოდენობაზე. ხარისხის კონცეფცია ბუნებრივი მაჩვენებლით ემყარება სწრაფად გამრავლების უნარს. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი 1

მდგომარეობა: აწევა - 2 4-ის ხარისხზე.

გადაწყვეტილება

ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით ვწერთ: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . შემდეგი, ჩვენ უბრალოდ უნდა მივყვეთ ამ ნაბიჯებს და მივიღოთ 16.

ავიღოთ უფრო რთული მაგალითი.

მაგალითი 2

გამოთვალეთ მნიშვნელობა 3 2 7 2

გადაწყვეტილება

ეს ჩანაწერი შეიძლება გადაიწეროს როგორც 3 2 7 · 3 2 7 . ადრე ჩვენ განვიხილეთ, თუ როგორ სწორად გავამრავლოთ პირობითში აღნიშნული შერეული რიცხვები.

შეასრულეთ ეს ნაბიჯები და მიიღეთ პასუხი: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

თუ დავალება მიუთითებს ირაციონალური რიცხვების ბუნებრივ ხარისხზე აყვანის აუცილებლობაზე, ჩვენ დაგვჭირდება ჯერ მათი ფუძეების დამრგვალება ციფრამდე, რომელიც მოგვცემს სასურველ სიზუსტის პასუხს. ავიღოთ მაგალითი.

მაგალითი 3

შეასრულეთ π რიცხვის კვადრატი.

გადაწყვეტილება

ჯერ დავამრგვალოთ მეასედამდე. შემდეგ π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. თუ π ≈ 3 . 14159, მაშინ მივიღებთ უფრო ზუსტ შედეგს: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

გაითვალისწინეთ, რომ ირაციონალური რიცხვების სიმძლავრის გამოთვლის აუცილებლობა პრაქტიკაში შედარებით იშვიათად ჩნდება. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ პასუხი როგორც თავად სიმძლავრე (ln 6) 3 ან გადავიყვანოთ, თუ ეს შესაძლებელია: 5 7 = 125 5 .

ცალკე უნდა მიეთითოს რა არის რიცხვის პირველი ხარისხი. აქ შეგიძლიათ უბრალოდ გახსოვდეთ, რომ პირველ ხარისხზე ამაღლებული ნებისმიერი რიცხვი თავისთავად დარჩება:

ეს ირკვევა ჩანაწერიდან. .

ეს არ არის დამოკიდებული ხარისხზე.

მაგალითი 4

ასე რომ, (− 9) 1 = − 9 , და 7 3 ამაღლებული პირველ ხარისხზე რჩება 7 3-ის ტოლი.

მოხერხებულობისთვის ცალ-ცალკე გავაანალიზებთ სამ შემთხვევას: თუ მაჩვენებელი დადებითი მთელი რიცხვია, თუ არის ნული და თუ არის უარყოფითი მთელი რიცხვი.

პირველ შემთხვევაში, ეს იგივეა, რაც ბუნებრივ ხარისხზე აწევა: ბოლოს და ბოლოს, დადებითი მთელი რიცხვები მიეკუთვნება ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს. ჩვენ უკვე აღვწერეთ, თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ ასეთ ხარისხებთან ზემოთ.

ახლა ვნახოთ, როგორ სწორად ავწიოთ ნულოვანი სიმძლავრე. ბაზით, რომელიც არ არის ნულოვანი, ეს გაანგარიშება ყოველთვის აწარმოებს გამომავალს 1-ს. ჩვენ ადრე ავუხსენით, რომ a-ს 0-ე ხარისხი შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი და a 0 = 1.

მაგალითი 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - არ არის განსაზღვრული.

ჩვენ დაგვრჩენია მხოლოდ გრადუსის შემთხვევა უარყოფითი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ, რომ ასეთი გრადუსები შეიძლება დაიწეროს წილადად 1 a z, სადაც a არის ნებისმიერი რიცხვი, ხოლო z არის უარყოფითი მთელი რიცხვი. ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ წილადის მნიშვნელი სხვა არაფერია, თუ არა ჩვეულებრივი ხარისხი დადებითი მთელი რიცხვით და უკვე ვისწავლეთ მისი გამოთვლა. მოდით მივცეთ დავალებების მაგალითები.

მაგალითი 6

აწიეთ 3 -2 სიმძლავრემდე.

გადაწყვეტილება

ზემოთ მოცემული განმარტების გამოყენებით ჩვენ ვწერთ: 2 - 3 = 1 2 3

ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ წილადის მნიშვნელს და ვიღებთ 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

მაშინ პასუხია: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

მაგალითი 7

გაზარდეთ 1, 43 -2 სიმძლავრემდე.

გადაწყვეტილება

ხელახლა ფორმულირება: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

ჩვენ ვიანგარიშებთ კვადრატს მნიშვნელში: 1,43 1,43. ათწილადები შეიძლება გამრავლდეს ამ გზით:

შედეგად მივიღეთ (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . ჩვენთვის რჩება ეს შედეგი ჩვეულებრივი წილადის სახით დავწეროთ, რისთვისაც აუცილებელია მისი 10 ათასზე გამრავლება (იხილეთ მასალა წილადების გარდაქმნის შესახებ).

პასუხი: (1, 43) - 2 = 10000 20449

ცალკე შემთხვევა არის რიცხვის აწევა მინუს პირველ ხარისხზე. ასეთი ხარისხის მნიშვნელობა უდრის ფუძის ორიგინალური მნიშვნელობის საპირისპირო რიცხვს: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

მაგალითი 8

მაგალითი: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

როგორ გავზარდოთ რიცხვი წილადის ხარისხამდე

ასეთი ოპერაციის შესასრულებლად, ჩვენ უნდა გავიხსენოთ ხარისხის ძირითადი განმარტება წილადის მაჩვენებლით: a m n \u003d a m n ნებისმიერი დადებითი a, მთელი რიცხვი m და ბუნებრივი n.

განმარტება 2

ამრიგად, წილადი ხარისხის გამოთვლა უნდა განხორციელდეს ორ ეტაპად: აწევა მთელ რიცხვამდე და n-ე ხარისხის ფესვის პოვნა.

გვაქვს ტოლობა a m n = a m n, რომელიც ფესვების თვისებების გათვალისწინებით, ჩვეულებრივ გამოიყენება ამოცანების ამოსახსნელად m n = a n m სახით. ეს ნიშნავს, რომ თუ რიცხვს ავწევთ a წილადის ხარისხზე m/n, მაშინ ჯერ გამოვყავით n-ე ხარისხის ფესვი a-დან, შემდეგ მივიღებთ შედეგს ხარისხამდე, რომელსაც აქვს მთელი რიცხვი მაჩვენებლით.

ილუსტრირებას მოდი მაგალითით.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ 8 - 2 3 .

გადაწყვეტილება

მეთოდი 1. ძირითადი განმარტების მიხედვით, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ეს, როგორც: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

ახლა მოდით გამოვთვალოთ ხარისხი ფესვის ქვეშ და გამოვყოთ მესამე ფესვი შედეგიდან: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

მეთოდი 2. გადავცვალოთ ძირითადი ტოლობა: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

ამის შემდეგ გამოვყავით ფესვი 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 და კვადრატში გამოვყავით შედეგი: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

ჩვენ ვხედავთ, რომ გადაწყვეტილებები იდენტურია. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი გზა, რომელიც მოგწონთ.

არის შემთხვევები, როცა ხარისხს აქვს შერეული რიცხვის ან ათობითი წილადის სახით გამოხატული ინდიკატორი. გაანგარიშების სიმარტივისთვის, უმჯობესია შეცვალოთ იგი ჩვეულებრივი წილადით და დათვალოთ, როგორც ზემოთ არის მითითებული.

მაგალითი 10

აწიეთ 44,89 2,5 ხარისხამდე.

გადაწყვეტილება

გადავიყვანოთ ინდიკატორის მნიშვნელობა ჩვეულებრივ წილადად - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

და ახლა ჩვენ ვასრულებთ ზემოთ მითითებულ ყველა მოქმედებას თანმიმდევრობით: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 11 501 = 20 13 501, 25107

პასუხი: 13501, 25107.

თუ წილადი მაჩვენებლის მრიცხველსა და მნიშვნელში დიდი რიცხვია, მაშინ რაციონალური მაჩვენებლებით ასეთი მაჩვენებლების გამოთვლა საკმაოდ რთული სამუშაოა. ეს ჩვეულებრივ მოითხოვს კომპიუტერულ ტექნოლოგიას.

ცალკე, ჩვენ ვცხოვრობთ ხარისხზე ნულოვანი ფუძით და წილადის მაჩვენებლით. 0 m n ფორმის გამოხატულებას შეიძლება მივცეთ შემდეგი მნიშვნელობა: თუ m n > 0, მაშინ 0 m n = 0 m n = 0 ; თუ მ ნ< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

როგორ ავიყვანოთ რიცხვი ირაციონალურ ძალამდე

იმ ხარისხის მნიშვნელობის გამოთვლის საჭიროება, რომლის ინდიკატორში არის ირაციონალური რიცხვი, არც ისე ხშირად ჩნდება. პრაქტიკაში, ამოცანა ჩვეულებრივ შემოიფარგლება მიახლოებითი მნიშვნელობის გამოთვლით (ათწილადების გარკვეულ რაოდენობამდე). ეს ჩვეულებრივ გამოითვლება კომპიუტერზე ასეთი გამოთვლების სირთულის გამო, ამიტომ ჩვენ ამაზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, მხოლოდ მთავარ დებულებებს მივუთითებთ.

თუ a ხარისხის სიდიდე უნდა გამოვთვალოთ a ირაციონალური მაჩვენებლით, მაშინ ავიღებთ მაჩვენებლის ათობითი მიახლოებას და ვითვლით მისგან. შედეგი იქნება სავარაუდო პასუხი. რაც უფრო ზუსტია ათობითი მიახლოება, მით უფრო ზუსტი იქნება პასუხი. მაგალითით ვაჩვენოთ:

მაგალითი 11

გამოთვალეთ 21-ის მიახლოებითი მნიშვნელობა 174367 ....

გადაწყვეტილება

ჩვენ შემოვიფარგლებით ათწილადის მიახლოებით a n = 1, 17. მოდით გამოთვლები გავაკეთოთ ამ რიცხვის გამოყენებით: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . თუ ავიღებთ, მაგალითად, მიახლოებას a n = 1, 1743, მაშინ პასუხი ცოტა უფრო ზუსტი იქნება: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

პირველი დონე

ხარისხი და მისი თვისებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

რატომ არის საჭირო ხარისხები? სად გჭირდებათ ისინი? რატომ გჭირდებათ დროის დახარჯვა მათ შესწავლაზე?

იმისათვის, რომ გაიგოთ ყველაფერი ხარისხების შესახებ, რისთვის არიან ისინი, როგორ გამოიყენოთ თქვენი ცოდნა ყოველდღიურ ცხოვრებაში, წაიკითხეთ ეს სტატია.

და, რა თქმა უნდა, ხარისხების ცოდნა მოგაახლოებთ OGE ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებასა და თქვენი ოცნების უნივერსიტეტში შესვლას.

მოდი წავიდეთ... (წავიდეთ!)

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი! თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ სისულელეს, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. ამისათვის დააჭირეთ CTRL+F5 (Windows-ზე) ან Cmd+R (Mac-ზე).

პირველი დონე

გაძლიერება არის იგივე მათემატიკური ოპერაცია, როგორც შეკრება, გამოკლება, გამრავლება ან გაყოფა.

ახლა ყველაფერს ადამიანურ ენაზე ავხსნი ძალიან მარტივი მაგალითებით. Ყურადღებით. მაგალითები ელემენტარულია, მაგრამ ახსნით მნიშვნელოვან საკითხებს.

დავიწყოთ დამატებით.

აქ ასახსნელი არაფერია. თქვენ უკვე ყველაფერი იცით: ჩვენ რვა ვართ. თითოეულს აქვს ორი ბოთლი კოლა. რამდენი კოლა? მართალია - 16 ბოთლი.

ახლა გამრავლება.

იგივე მაგალითი კოლასთან შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს: . მათემატიკოსები ცბიერი და ზარმაცი ხალხია. ისინი ჯერ ამჩნევენ ზოგიერთ შაბლონს, შემდეგ კი იგონებენ მათ უფრო სწრაფად „დათვლას“. ჩვენს შემთხვევაში, მათ შენიშნეს, რომ რვა ადამიანიდან თითოეულს ჰქონდა იგივე რაოდენობის ბოთლი კოლას და გამოიგონეს ტექნიკა, რომელსაც გამრავლება ჰქვია. ვეთანხმები, ითვლება უფრო ადვილი და სწრაფი ვიდრე.

ასე რომ, უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე დათვლა, უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ გამრავლების ცხრილი. რა თქმა უნდა, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი ნელა, რთულად და შეცდომებით! მაგრამ…

აქ არის გამრავლების ცხრილი. გაიმეორეთ.

და კიდევ ერთი, უფრო ლამაზი:

და რა სხვა სახიფათო ხრიკები მოიგონეს ზარმაცი მათემატიკოსებმა? სწორად - რიცხვის ძალამდე აყვანა.

რიცხვის ძლიერებამდე აწევა

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხუთჯერ გამრავლება, მაშინ მათემატიკოსები ამბობენ, რომ ეს რიცხვი მეხუთე ხარისხამდე უნდა აწიოთ. Მაგალითად, . მათემატიკოსებს ახსოვთ, რომ ორი მეხუთე ხარისხამდე არის. და ისინი გონებაში წყვეტენ ასეთ პრობლემებს - უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე.

ამისათვის საჭიროა მხოლოდ დაიმახსოვრე რა არის ხაზგასმული ფერით რიცხვების ხარისხების ცხრილში. დამიჯერე, ეს ბევრად გაგიადვილებს ცხოვრებას.

სხვათა შორის, რატომ ჰქვია მეორე ხარისხს კვადრატინომრები და მესამე კუბი? Რას ნიშნავს? ძალიან კარგი კითხვა. ახლა გექნებათ კვადრატებიც და კუბებიც.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #1

დავიწყოთ რიცხვის კვადრატით ან მეორე ხარისხით.

წარმოიდგინეთ კვადრატული აუზი, რომელიც ზომავს მეტრებს. აუზი თქვენს ეზოშია. ცხელა და ძალიან მინდა ბანაობა. მაგრამ ... აუზი ფსკერის გარეშე! აუზის ფსკერის დაფარვა აუცილებელია ფილებით. რამდენი ფილა გჭირდებათ? ამის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ აუზის ფსკერის ფართობი.

თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ თითის დაჭერით დათვალოთ, რომ აუზის ფსკერი მეტრი მეტრზე კუბურებისგან შედგება. თუ თქვენი ფილები მეტრზე მეტრია, დაგჭირდებათ ნაჭრები. ადვილია... მაგრამ სად ნახე ასეთი ფილა? კრამიტი უფრო სმ-სმ იქნება, მერე კი „თითით დათვლა“ დაგატანჯავთ. მაშინ უნდა გაამრავლო. ასე რომ, აუზის ფსკერის ერთ მხარეს მოვათავსებთ ფილებს (ნაჭრებს), ხოლო მეორეზე ასევე ფილებს. გამრავლებით მიიღებთ ფილებს ().

შენიშნეთ, რომ ერთი და იგივე რიცხვი თავისთავად გავამრავლეთ აუზის ფსკერის ფართობის დასადგენად? Რას ნიშნავს? ვინაიდან ერთი და იგივე რიცხვი მრავლდება, შეგვიძლია გამოვიყენოთ გაძლიერების ტექნიკა. (რა თქმა უნდა, როდესაც თქვენ გაქვთ მხოლოდ ორი რიცხვი, თქვენ მაინც გჭირდებათ მათი გამრავლება ან ხარისხზე აწევა. მაგრამ თუ ბევრი გაქვთ, მაშინ ხარისხზე აწევა ბევრად უფრო ადვილია და ასევე ნაკლებია შეცდომები გამოთვლებში. გამოცდისთვის ეს ძალიან მნიშვნელოვანია).
ასე რომ, ოცდაათი მეორე ხარისხი იქნება (). ან შეიძლება ითქვას, რომ ოცდაათი კვადრატი იქნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვის მეორე ხარისხი ყოველთვის შეიძლება იყოს კვადრატის სახით. და პირიქით, თუ ხედავთ კვადრატს, ის ყოველთვის არის რომელიმე რიცხვის მეორე ხარისხში. კვადრატი არის რიცხვის მეორე ხარისხის გამოსახულება.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #2

აქ არის დავალება თქვენთვის, დათვალეთ რამდენი კვადრატია ჭადრაკის დაფაზე რიცხვის კვადრატის გამოყენებით ... უჯრედების ერთ მხარეს და მეორეზეც. მათი რიცხვის დასათვლელად საჭიროა რვა გაამრავლოთ რვაზე, ან ... თუ შეამჩნევთ, რომ ჭადრაკის დაფა არის კვადრატი გვერდით, მაშინ შეგიძლიათ რვა კვადრატში. მიიღეთ უჯრედები. () Ისე?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #3

ახლა კუბი ან რიცხვის მესამე ხარისხი. იგივე აუზი. მაგრამ ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი წყალი უნდა ჩაასხათ ამ აუზში. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოცულობა. (მოცულობები და სითხეები, სხვათა შორის, იზომება კუბ. აუზი.

უბრალოდ აწიეთ თითი და დაითვალეთ! ერთი, ორი, სამი, ოთხი… ოცდაორი, ოცდასამი… რამდენი გამოვიდა? არ დაიკარგა? რთულია თითით დათვლა? Ამიტომ! აიღეთ მაგალითი მათემატიკოსებისგან. ისინი ზარმაცები არიან, ამიტომ შენიშნეს, რომ აუზის მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ერთმანეთზე გაამრავლოთ. ჩვენს შემთხვევაში აუზის მოცულობა კუბების ტოლი იქნება... უფრო ადვილია, არა?

ახლა წარმოიდგინეთ, რა ზარმაცი და ეშმაკნი არიან მათემატიკოსები, თუ ამას ძალიან აადვილებენ. ყველაფერი ერთ მოქმედებამდე შეამცირა. მათ შენიშნეს, რომ სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ტოლია და ერთი და იგივე რიცხვი თავისთავად მრავლდება... და რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხარისხი. ასე რომ, რასაც ერთხელ თითით დათვალეთ, ისინი აკეთებენ ერთ მოქმედებას: კუბში სამი ტოლია. ასე წერია:

რჩება მხოლოდ დაიმახსოვრეთ გრადუსების ცხრილი. თუ, რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებივით ზარმაცი და მზაკვარი არ ხართ. თუ გიყვართ შრომა და შეცდომების დაშვება, შეგიძლიათ თითით დათვლა განაგრძოთ.

ისე, იმისთვის, რომ საბოლოოდ დაგარწმუნოთ, რომ ხარისხები ლოფერებმა და ეშმაკმა ადამიანებმა გამოიგონეს, რომ გადაჭრან თავიანთი ცხოვრებისეული პრობლემები და არა პრობლემები შეგიქმნან, აი, კიდევ ორიოდე მაგალითი ცხოვრებიდან.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #4

თქვენ გაქვთ მილიონი რუბლი. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე კიდევ მილიონს გამოიმუშავებთ. ანუ, ყოველი თქვენი მილიონი ყოველი წლის დასაწყისში გაორმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წლების განმავლობაში? თუ ახლა ზიხარ და "თითით ითვლი", მაშინ ძალიან შრომისმოყვარე და... სულელი ხარ. მაგრამ დიდი ალბათობით რამდენიმე წამში გაგცემთ პასუხს, რადგან ჭკვიანი ხართ! ასე რომ, პირველ წელს - ორჯერ ორი ... მეორე წელს - რა მოხდა, კიდევ ორი, მესამე წელს ... გაჩერდი! თქვენ შენიშნეთ, რომ რიცხვი თავისთავად მრავლდება ერთხელ. ასე რომ, ორი მეხუთე ხარისხამდე არის მილიონი! ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ კონკურსი და ვინც უფრო სწრაფად ითვლის, მიიღებს ამ მილიონებს... ღირს თუ არა დაიმახსოვროთ რიცხვების ხარისხი, რას ფიქრობთ?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #5

მილიონი გაქვს. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე ორს გამოიმუშავებთ. მშვენიერია არა? ყოველი მილიონი გასამმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წელიწადში? დავთვალოთ. პირველი წელი - გაამრავლე, მერე შედეგი მეორეზე... ეს უკვე მოსაწყენია, რადგან უკვე ყველაფერი გაიგე: სამი თავისთავად მრავლდება ჯერ. ასე რომ, მეოთხე ძალა არის მილიონი. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ სამიდან მეოთხე ხარისხში არის ან.

ახლა თქვენ იცით, რომ რიცხვის ძლიერებამდე აყვანით, ბევრად გაგიადვილებთ ცხოვრებას. მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ, რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ხარისხებით და რა უნდა იცოდეთ მათ შესახებ.

ტერმინები და ცნებები... ისე რომ არ აგერიოთ

ასე რომ, პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ცნებები. Რას ფიქრობ, რა არის მაჩვენებელი? ეს ძალიან მარტივია – ეს ის რიცხვია, რომელიც რიცხვის სიმძლავრის „ზედაზეა“. არა მეცნიერული, მაგრამ გასაგები და ადვილად დასამახსოვრებელი ...

აბა, ამავდროულად, რა ხარისხის ასეთი ბაზა? კიდევ უფრო მარტივია რიცხვი, რომელიც არის ბოლოში, ძირში.

აი სურათი რომ დარწმუნდეთ.

ისე, ზოგადად, იმისათვის, რომ განვაზოგადოთ და უკეთ დავიმახსოვროთ ... ხარისხი ფუძით "" და ინდიკატორი "" იკითხება როგორც "ხარისხში" და იწერება შემდეგნაირად:

რიცხვის სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით

თქვენ ალბათ უკვე მიხვდით: რადგან მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია. კი მაგრამ რა არის ბუნებრივი რიცხვი? ელემენტარული! ნატურალური რიცხვებია ის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება დათვლაში ერთეულების ჩამოთვლისას: ერთი, ორი, სამი... როდესაც ვითვლით ერთეულებს, არ ვამბობთ: "მინუს ხუთი", "მინუს ექვსი", "მინუს შვიდი". არც „ერთ მესამედს“ და არც „ნულ ქულას ხუთი მეათედი“ არ ვამბობთ. ეს არ არის ბუნებრივი რიცხვები. როგორ ფიქრობთ, რა არის ეს რიცხვები?

რიცხვები, როგორიცაა "მინუს ხუთი", "მინუს ექვსი", "მინუს შვიდი" ეხება მთელი რიცხვები.ზოგადად, მთელი რიცხვები მოიცავს ყველა ნატურალურ რიცხვს, ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვებს (ანუ აღებული მინუს ნიშნით) და რიცხვს. ნული ადვილი გასაგებია - ეს მაშინ, როცა არაფერია. და რას ნიშნავს უარყოფითი ("მინუს") რიცხვები? მაგრამ ისინი გამოიგონეს, პირველ რიგში, ვალების აღსანიშნავად: თუ თქვენს ტელეფონზე გაქვთ ბალანსი რუბლებში, ეს ნიშნავს, რომ ოპერატორის რუბლები გაქვთ.

ყველა წილადი რაციონალური რიცხვია. როგორ გაჩნდნენ, როგორ ფიქრობთ? Ძალიან მარტივი. რამდენიმე ათასი წლის წინ ჩვენმა წინაპრებმა აღმოაჩინეს, რომ მათ არ ჰქონდათ საკმარისი ბუნებრივი რიცხვები სიგრძის, წონის, ფართობის გასაზომად და ა.შ. და გამოვიდნენ რაციონალური რიცხვი... საინტერესოა, არა?

არის ირაციონალური რიცხვებიც. რა არის ეს რიცხვები? მოკლედ, უსასრულო ათობითი წილადი. მაგალითად, თუ წრის გარშემოწერილობას გაყოფთ მის დიამეტრზე, მაშინ მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს.

Შემაჯამებელი:

განვსაზღვროთ ხარისხის ცნება, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).

1. ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს:
2. რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავის თავზე გამრავლებას:
3. რიცხვის კუბირება ნიშნავს მის სამჯერ გამრავლებას:

განმარტება.რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:
.

ხარისხის თვისებები

საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? ახლავე გაჩვენებ.

ვნახოთ რა არის და ?

ა-პრიორიტეტი:

რამდენი მულტიპლიკატორია სულ?

ეს ძალიან მარტივია: ჩვენ ფაქტორებს დავამატეთ ფაქტორები და შედეგი არის ფაქტორები.

მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხი მაჩვენებლით, ანუ: , რომელიც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება.

გადაწყვეტილება:

მაგალითი:გამოხატვის გამარტივება.

გადაწყვეტილება:მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე მიზეზი უნდა იყოს!
მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:

მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დაწეროთ ეს.

2. ანუ - რიცხვის ხარისხში

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის მე-თე ხარისხი:

სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა?

მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ნამდვილად.

ხარისხი უარყოფითი ბაზით

ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, თუ რა უნდა იყოს მაჩვენებელი.

მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი?

გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელისაფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი. მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი.

მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ? პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთი, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ გამოდის.

თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

მოახერხე?

აი პასუხები: პირველ ოთხ მაგალითში იმედი მაქვს ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

მე-5 მაგალითში, ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი არის თანაბარი, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება.

კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) ასე მარტივი აღარ არის!

6 პრაქტიკის მაგალითი

ამოხსნის ანალიზი 6 მაგალითი

თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა! ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი გაცვლიან, ეს წესი შეიძლება მოქმედებდეს.

მაგრამ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.

ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები.

მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

მთლიანივასახელებთ ნატურალურ რიცხვებს, მათ საპირისპიროებს (ანუ აღებულს "" ნიშნით) და რიცხვს.

დადებითი მთელი რიცხვიდა ის არაფრით განსხვავდება ბუნებრივისგან, მაშინ ყველაფერი ზუსტად ისე გამოიყურება, როგორც წინა განყოფილებაში.

ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:

როგორც ყოველთვის, საკუთარ თავს ვეკითხებით: რატომ არის ასე?

განვიხილოთ გარკვეული სიმძლავრე ფუძით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:

ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ რიცხვი და მივიღეთ იგივე, რაც იყო -. რა რიცხვზე უნდა გავამრავლოთ, რომ არაფერი შეიცვალოს? მართალია, ჩართულია. ნიშნავს.

იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:

გავიმეოროთ წესი:

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.

მაგრამ არსებობს გამონაკლისები მრავალი წესისგან. და აქ არის ისიც - ეს არის რიცხვი (როგორც საფუძველი).

ერთის მხრივ, ის უნდა იყოს ნებისმიერი ხარისხის ტოლი - რაც არ უნდა გაამრავლო ნული თავის თავზე, მაინც მიიღებ ნულს, ეს გასაგებია. მაგრამ მეორეს მხრივ, როგორც ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი ხარისხით, ის უნდა იყოს ტოლი. მაშ, რა არის ამის სიმართლე? მათემატიკოსებმა გადაწყვიტეს არ ჩაერთონ და უარი განაცხადეს ნულის ნულოვან ხარისხზე აყვანაზე. ანუ, ახლა ჩვენ შეგვიძლია არა მარტო გავყოთ ნულზე, არამედ ავიყვანოთ ის ნულოვან სიმძლავრემდე.

მოდით წავიდეთ უფრო შორს. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელ რიცხვებში შედის უარყოფითი რიცხვები. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ხარისხი, მოდით გავაკეთოთ იგივე, რაც წინა ჯერზე: ჩვენ გავამრავლებთ ზოგიერთ ნორმალურ რიცხვს იმავეზე უარყოფით ხარისხში:

აქედან უკვე ადვილია სასურველის გამოხატვა:

ახლა ჩვენ ვაფართოებთ შედეგად წესს თვითნებურ ხარისხზე:

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:

რიცხვი უარყოფით ხარისხზე არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხზე. Მაგრამ ამავდროულად ბაზა არ შეიძლება იყოს ნულოვანი:(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

შევაჯამოთ:

I. გამოთქმა არ არის განსაზღვრული შემთხვევაში. თუ, მაშინ.

II. ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის: .

III. რიცხვი, რომელიც არ უდრის ნულის უარყოფით ხარისხს, არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხი: .

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მაგალითები:

ამოცანების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ვიცი, ვიცი, ციფრები საშინელია, მაგრამ გამოცდაზე ყველაფრისთვის მზად უნდა იყო! ამოხსენით ეს მაგალითები ან გააანალიზეთ მათი ამოხსნა, თუ ვერ გადაჭრით და გაიგებთ, თუ როგორ მარტივად გაუმკლავდეთ მათ გამოცდაზე!

მოდით გავაგრძელოთ მაჩვენებლის სახით „შესაფერისი“ რიცხვების დიაპაზონის გაფართოება.

ახლა განიხილეთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?

პასუხი: ყველაფერი, რაც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები, უფრო მეტიც.

იმის გასაგებად რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განვიხილოთ წილადი:

მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:

ახლა დაიმახსოვრე წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":

რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?

ეს ფორმულირება არის მე-6 ხარისხის ფესვის განმარტება.

შეგახსენებთ: რიცხვის () მეათე ხარისხის ფესვი არის რიცხვი, რომელიც ხარისხზე აყვანისას ტოლია.

ანუ, th ხარისხის ფესვი არის შებრუნებული მოქმედების სიძლიერე: .

თურმე. ცხადია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება გაგრძელდეს: .

ახლა დაამატეთ მრიცხველი: რა არის ეს? პასუხის მიღება მარტივია ძალაუფლება-ძალაში წესით:

მაგრამ შეიძლება თუ არა საფუძველი იყოს ნებისმიერი რიცხვი? ყოველივე ამის შემდეგ, ფესვის ამოღება შეუძლებელია ყველა რიცხვიდან.

არცერთი!

დაიმახსოვრე წესი: ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ლუწი ხარისხზეა გაზრდილი, დადებითი რიცხვია. ანუ უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ხარისხის ფესვების ამოღება შეუძლებელია!

და ეს ნიშნავს, რომ ასეთი რიცხვები არ შეიძლება გაიზარდოს წილადის ხარისხამდე ლუწი მნიშვნელით, ანუ გამოხატვას აზრი არ აქვს.

რაც შეეხება გამოხატვას?

მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.

რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა, შემცირებული წილადების სახით, მაგალითად, ან.

და გამოდის, რომ ის არსებობს, მაგრამ არ არსებობს, და ეს არის მხოლოდ ორი განსხვავებული ჩანაწერი ერთი და იგივე ნომრით.

ან კიდევ ერთი მაგალითი: ერთხელ, მაშინ შეგიძლია ჩაწერო. მაგრამ როგორც კი ინდიკატორს სხვანაირად ვწერთ, ისევ გვიჭირს: (ანუ მივიღეთ სრულიად განსხვავებული შედეგი!).

ასეთი პარადოქსების თავიდან ასაცილებლად, გაითვალისწინეთ მხოლოდ დადებითი ბაზის მაჩვენებლები წილადის მაჩვენებლით.

ასე რომ, თუ:

• - ნატურალური რიცხვი;
• არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ძალები ძალიან სასარგებლოა ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, მაგალითად:

5 პრაქტიკის მაგალითი

ტრენინგის 5 მაგალითის ანალიზი

კარგი, ახლა - ყველაზე რთული. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხებისთვის, გარდა

მართლაც, განმარტებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ, ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით.

მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე;

...ნულოვანი სიმძლავრე- ეს არის, თითქოს, თავისთავად ერთხელ გამრავლებული რიცხვი, ანუ ის ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული ”მომზადება ნომერი“, კერძოდ ნომერი;

...უარყოფითი მთელი რიცხვი- თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის.

მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

სადაც ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ წახვალ! (თუ ისწავლით ასეთი მაგალითების ამოხსნას :))

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

გადაწყვეტილებების ანალიზი:

1. დავიწყოთ ხარისხზე ამაღლების უკვე ჩვეულებრივი წესით:

ახლა შეხედე ქულას. ის რამეს გახსენებს? გავიხსენებთ კვადრატების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულას:

AT ამ საქმეს,

გამოდის, რომ:

პასუხი: .

2. წილადები მაჩვენებლებში ერთსა და იმავე ფორმაზე მივყავართ: ორივე ათწილადი ან ორივე ჩვეულებრივი. ჩვენ ვიღებთ, მაგალითად:

პასუხი: 16

3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

გაფართოებული დონე

ხარისხის განსაზღვრა

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

• — ხარისხის საფუძველი;
• - ექსპონენტი.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)

რიცხვის აწევა ბუნებრივ ხარისხამდე n ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:

სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)

თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:

ერექცია ნულოვანი სიმძლავრისკენ:

გამოთქმა განუსაზღვრელია, რადგან, ერთის მხრივ, ნებისმიერი ხარისხით არის ეს, ხოლო მეორე მხრივ, ნებისმიერი რიცხვი მე-ე ხარისხის არის ეს.

თუ მაჩვენებელი არის მთელი უარყოფითინომერი:

(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

კიდევ ერთხელ ნულის შესახებ: გამოთქმა არ არის განსაზღვრული საქმეში. თუ, მაშინ.

მაგალითები:

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

• - ნატურალური რიცხვი;
• არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

ხარისხის თვისებები

პრობლემების გადაჭრის გასაადვილებლად, შევეცადოთ გავიგოთ: საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? მოდით დავამტკიცოთ ისინი.

ვნახოთ: რა არის და?

ა-პრიორიტეტი:

ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს მიიღება შემდეგი პროდუქტი:

მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:

ქ.ე.დ.

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გადაწყვეტილება : .

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გადაწყვეტილება : მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე საფუძველი უნდა ჰქონდეს. მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ეს წესი - მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დავწერო ეს.

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

მოდით გადავაწყოთ ასე:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის --ე ხარისხი:

სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:!

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა? მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ნამდვილად.

სიმძლავრე უარყოფითი ბაზით.

ამ დრომდე ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის, რაც უნდა იყოს მაჩვენებელიხარისხი. მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი? გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი .

მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი. მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ?

პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთი, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ (), მივიღებთ -.

და ასე შემდეგ უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით, ნიშანი შეიცვლება. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ ეს მარტივი წესები:

1. თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
2. უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
3. ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
4. ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.

თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

მოახერხე? აქ არის პასუხები:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

პირველ ოთხ მაგალითში, იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

მაგალით 5-ში, ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი არის თანაბარი, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება. კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ გახსოვთ, ირკვევა, რომ ეს ნიშნავს, რომ ბაზა ნულზე ნაკლებია. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.

და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:

ყველაფერი ჩვეულებრივად არის - ჩვენ ვწერთ ხარისხების განმარტებას და ვყოფთ მათ ერთმანეთში, ვყოფთ წყვილებად და ვიღებთ:

სანამ ბოლო წესს გავაანალიზებთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.

გამოთვალეთ გამონათქვამების მნიშვნელობები:

გადაწყვეტილებები :

თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა!

ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი შეცვლილი იქნებოდა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას წესი 3. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.

თუ გაამრავლებ, არაფერი იცვლება, არა? მაგრამ ახლა ასე გამოიყურება:

ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები. მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!მისი შეცვლა შეუძლებელია ჩვენთვის მხოლოდ ერთი უსიამოვნო მინუსის შეცვლით!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

ახლა ბოლო წესი:

როგორ ვაპირებთ ამის დამტკიცებას? რა თქმა უნდა, როგორც ყოველთვის: მოდით გავაფართოვოთ ხარისხის კონცეფცია და გავამარტივოთ:

აბა, ახლა გავხსნათ ფრჩხილები. რამდენი ასო იქნება? ჯერ გამრავლებით - როგორ გამოიყურება? ეს სხვა არაფერია, თუ არა ოპერაციის განმარტება გამრავლება: სულ იყო მულტიპლიკატორები. ანუ, ეს არის, განსაზღვრებით, რიცხვის ძალა მაჩვენებლით:

მაგალითი:

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

საშუალო დონის ხარისხების შესახებ ინფორმაციის გარდა, ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხს ირაციონალური მაჩვენებლით. გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისი - ბოლოს და ბოლოს, განსაზღვრებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით. მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე; რიცხვი ნულოვანი ხარისხით არის, თითქოს, ერთჯერადად გამრავლებული რიცხვი, ანუ ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული „რიცხვის მომზადება“, კერძოდ რიცხვი; ხარისხი უარყოფითი მთელი რიცხვით - თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

უკიდურესად რთულია ხარისხის წარმოდგენა ირაციონალური მაჩვენებლით (ისევე, როგორც რთულია 4 განზომილებიანი სივრცის წარმოდგენა). პირიქით, ეს არის წმინდა მათემატიკური ობიექტი, რომელიც მათემატიკოსებმა შექმნეს, რათა გააფართოვონ გრადუსის კონცეფცია რიცხვების მთელ სივრცეში.

სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის. მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

რა ვქნათ, თუ ირაციონალურ მაჩვენებელს დავინახავთ? ყველანაირად ვცდილობთ თავი დავაღწიოთ! :)

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

1)

2)

3)

პასუხები:

1. გახსოვდეთ კვადრატების ფორმულის განსხვავება. პასუხი:.
2. წილადებს მივყავართ ერთნაირი ფორმით: ან ორივე ათწილადი, ან ორივე ჩვეულებრივი. ვიღებთ, მაგალითად: .
3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

ნაწილის შეჯამება და ძირითადი ფორმულა

ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

მაჩვენებელი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.

ხარისხის თვისებები

ხარისხების მახასიათებლები.

• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
• ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
• ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
• ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.

ახლა შენ გაქვს სიტყვა...

როგორ მოგწონთ სტატია? შემატყობინეთ ქვემოთ მოცემულ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.

გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ დენის თვისებებთან დაკავშირებით.

ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.

დაწერეთ კომენტარებში.

და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებში!

ერთ-ერთ წინა სტატიაში უკვე აღვნიშნეთ რიცხვის ხარისხი. დღეს ჩვენ შევეცდებით ნავიგაციას მისი მნიშვნელობის პოვნის პროცესში. მეცნიერულად რომ ვთქვათ, ჩვენ გავარკვევთ, თუ როგორ უნდა გამოვყოთ სწორად. ჩვენ გავიგებთ, როგორ მიმდინარეობს ეს პროცესი, ამავდროულად შევეხებით ყველა შესაძლო მაჩვენებელს: ბუნებრივ, ირაციონალურ, რაციონალურ, მთლიანობას.

მაშ ასე, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მაგალითების გადაწყვეტილებებს და გავარკვიოთ რას ნიშნავს ეს:

1. კონცეფციის განმარტება.
2. ამაღლება ნეგატიურ ხელოვნებამდე.
3. მთელი ქულა.
4. რიცხვის ამაღლება ირაციონალურ ძალამდე.

აქ არის განმარტება, რომელიც ზუსტად ასახავს მნიშვნელობას: „სიმაღლეზე აწევა არის რიცხვის ხარისხის მნიშვნელობის განსაზღვრა“.

შესაბამისად, ნომრის აგება ხელოვნებაში. r და r მაჩვენებლით a ხარისხის მნიშვნელობის პოვნის პროცესი იდენტური ცნებებია. მაგალითად, თუ დავალება არის გამოთვალოთ ხარისხის (0.6) 6 ″ მნიშვნელობის გამოთვლა, მაშინ ის შეიძლება გამარტივდეს გამოთქმით "აწიეთ რიცხვი 0.6 6-ის ხარისხზე".

ამის შემდეგ, შეგიძლიათ პირდაპირ გააგრძელოთ მშენებლობის წესები.

ამაღლება უარყოფით ძალამდე

სიცხადისთვის, ყურადღება უნდა მიაქციოთ გამონათქვამების შემდეგ ჯაჭვს:

110 \u003d 0.1 \u003d 1 * 10 მინუს 1 ქ.,

1100 \u003d 0.01 \u003d 1 * 10 მინუს 2 ნაბიჯში.,

11000 \u003d 0.0001 \u003d 1 * 10 გამოკლებული 3 ქ.,

110000=0.00001=1*10 მინუს 4 გრადუსამდე.

ამ მაგალითების წყალობით, თქვენ ნათლად ხედავთ 10-ის მყისიერად გამოთვლას ნებისმიერ უარყოფით ძალაზე. ამ მიზნით, საკმარისია უბრალოდ გადაიტანოთ ათობითი კომპონენტი:

• 10-დან -1 გრადუსამდე - ერთეული 1 ნულამდე;
• -3-ში - სამი ნული ერთამდე;
• -9 არის 9 ნული და ასე შემდეგ.

ასევე ადვილი გასაგებია ამ სქემის მიხედვით რამდენი იქნება 10 გამოკლებული 5 ს/კ. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი ბუნებრივ ხარისხზე

განმარტების გახსენებისას გავითვალისწინებთ, რომ ნატურალური რიცხვი a ხელოვნებაში. n უდრის n ფაქტორის ნამრავლს, რომელთაგან თითოეული უდრის a. მოვიყვანოთ ილუსტრირება: (a * a * ... a) n, სადაც n არის გამრავლებული რიცხვების რაოდენობა. შესაბამისად, a n-მდე ასაყვანად საჭიროა გამოვთვალოთ შემდეგი ფორმის ნამრავლი: a * a * ... და გავყოთ n-ზე.

აქედან ცხადი ხდება, რომ ერექცია ბუნებრივ ხელოვნებაში. ეყრდნობა გამრავლების უნარს(ეს მასალა გაშუქებულია რეალური რიცხვების გამრავლების განყოფილებაში). მოდით შევხედოთ პრობლემას:

გაზარდეთ -2 მე-4 ს.კ.

ბუნებრივ მაჩვენებელთან გვაქვს საქმე. შესაბამისად, გადაწყვეტილების მსვლელობა შემდეგი იქნება: (-2) მუხ. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). ახლა რჩება მხოლოდ მთელი რიცხვების გამრავლების განხორციელება: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). ვიღებთ 16-ს.

პასუხი დავალებაზე:

(-2) ხელოვნებაში. 4=16.

მაგალითი:

გამოთვალეთ მნიშვნელობა: სამი წერტილი ორი მეშვიდე კვადრატში.

ეს მაგალითი უდრის შემდეგ ნამრავლს: სამი წერტილი ორი მეშვიდე გამრავლებული სამი წერტილი ორი მეშვიდე. გავიხსენოთ, თუ როგორ ხდება შერეული რიცხვების გამრავლება, ჩვენ ვასრულებთ მშენებლობას:

• 3 მთელი 2 მეშვიდე გამრავლებული თავის თავზე;
• უდრის 23 მეშვიდედ გამრავლებული 23 მეშვიდედს;
• უდრის 529 ორმოცდამეცხრედს;
• ვამცირებთ და ვიღებთ 10 ოცდაცხრა ორმოცდამეცხრედს.

პასუხი: 10 39/49

რაც შეეხება ირაციონალურ ინდიკატორზე ამაღლების საკითხს, უნდა აღინიშნოს, რომ გამოთვლები იწყება ხარისხის საფუძვლის წინასწარი დამრგვალების დასრულების შემდეგ გარკვეულ წოდებაზე, რაც საშუალებას მოგცემთ მიიღოთ მოცემული მნიშვნელობა. სიზუსტე. მაგალითად, ჩვენ უნდა გავაფორმოთ რიცხვი P (pi).

ჩვენ ვიწყებთ P მეასედების დამრგვალებით და ვიღებთ:

P კვადრატი \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596. თუმცა, თუ P-ს ათ-ათათასეულამდე შევამცირებთ, მივიღებთ P = 3,14159. შემდეგ კვადრატი იღებს სრულიად განსხვავებულ რიცხვს: 9.8695877281.

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ბევრ პრობლემაში არ არის საჭირო ირაციონალური რიცხვების ხარისხზე აყვანა. როგორც წესი, პასუხი შეყვანილია ან, ფაქტობრივად, ხარისხის სახით, მაგალითად, 6-ის ფესვი 3-ის ხარისხზე, ან, თუ გამოხატულება საშუალებას იძლევა, მისი ტრანსფორმაცია ხორციელდება: ფესვი 5-ის 7 გრადუსამდე \u003d 5-ის 125 ფესვი.

როგორ გავზარდოთ რიცხვი მთელ რიცხვამდე

ეს ალგებრული მანიპულირება შესაბამისია გაითვალისწინეთ შემდეგი შემთხვევები:

• მთელი რიცხვებისთვის;
• ნულოვანი მაჩვენებლისთვის;
• დადებითი მთელი რიცხვისთვის.

ვინაიდან თითქმის ყველა დადებითი რიცხვი ემთხვევა ნატურალური რიცხვების მასას, მისი დაყენება დადებით მთელ რიცხვზე იგივე პროცესია, რაც არტში. ბუნებრივი. ჩვენ აღვწერეთ ეს პროცესი წინა პუნქტში.

ახლა მოდით ვისაუბროთ ხელოვნების გაანგარიშებაზე. null. ზემოთ უკვე გავარკვიეთ, რომ a რიცხვის ნულოვანი სიმძლავრე შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი არანულოვანი a (რეალურისთვის), ხოლო a-ში ქ. 0 იქნება 1-ის ტოლი.

შესაბამისად, ნებისმიერი რეალური რიცხვის აგება ნულამდე ხელოვნება. მისცემს ერთს.

მაგალითად, 10 st.0=1-ში, (-3.65)0=1 და 0 st. 0-ის დადგენა შეუძლებელია.

იმისათვის, რომ დავასრულოთ სიძლიერე მთელ რიცხვზე, რჩება გადაწყვეტილების მიღება უარყოფითი მთელი მნიშვნელობების ვარიანტების შესახებ. ჩვენ გვახსოვს ის ხელოვნება. a-დან მთელი რიცხვის მაჩვენებლით -z განისაზღვრება წილადად. წილადის მნიშვნელში არის ხელოვნება. დადებითი მთელი მნიშვნელობით, რომლის მნიშვნელობის პოვნა უკვე ვისწავლეთ. ახლა რჩება მხოლოდ მშენებლობის მაგალითის განხილვა.

მაგალითი:

გამოთვალეთ რიცხვი 2 კუბური უარყოფითი მთელი რიცხვით.

გადაწყვეტის პროცესი:

უარყოფითი ინდიკატორის მქონე ხარისხის განსაზღვრის მიხედვით აღვნიშნავთ: ორს მინუს 3 ს/კ. უდრის ერთიდან ორ მესამე ხარისხს.

მნიშვნელი გამოითვლება უბრალოდ: ორი კუბი;

3 = 2*2*2=8.

პასუხი: ორი მინუს მე-3 ს.კ. = ერთი მერვე.

პირველი დონე

ხარისხი და მისი თვისებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)

რატომ არის საჭირო ხარისხები? სად გჭირდებათ ისინი? რატომ გჭირდებათ დროის დახარჯვა მათ შესწავლაზე?

იმისათვის, რომ გაიგოთ ყველაფერი ხარისხების შესახებ, რისთვის არიან ისინი, როგორ გამოიყენოთ თქვენი ცოდნა ყოველდღიურ ცხოვრებაში, წაიკითხეთ ეს სტატია.

და, რა თქმა უნდა, ხარისხების ცოდნა მოგაახლოებთ OGE ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებასა და თქვენი ოცნების უნივერსიტეტში შესვლას.

მოდი წავიდეთ... (წავიდეთ!)

Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი! თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ სისულელეს, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. ამისათვის დააჭირეთ CTRL+F5 (Windows-ზე) ან Cmd+R (Mac-ზე).

პირველი დონე

გაძლიერება არის იგივე მათემატიკური ოპერაცია, როგორც შეკრება, გამოკლება, გამრავლება ან გაყოფა.

ახლა ყველაფერს ადამიანურ ენაზე ავხსნი ძალიან მარტივი მაგალითებით. Ყურადღებით. მაგალითები ელემენტარულია, მაგრამ ახსნით მნიშვნელოვან საკითხებს.

დავიწყოთ დამატებით.

აქ ასახსნელი არაფერია. თქვენ უკვე ყველაფერი იცით: ჩვენ რვა ვართ. თითოეულს აქვს ორი ბოთლი კოლა. რამდენი კოლა? მართალია - 16 ბოთლი.

ახლა გამრავლება.

იგივე მაგალითი კოლასთან შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს: . მათემატიკოსები ცბიერი და ზარმაცი ხალხია. ისინი ჯერ ამჩნევენ ზოგიერთ შაბლონს, შემდეგ კი იგონებენ მათ უფრო სწრაფად „დათვლას“. ჩვენს შემთხვევაში, მათ შენიშნეს, რომ რვა ადამიანიდან თითოეულს ჰქონდა იგივე რაოდენობის ბოთლი კოლას და გამოიგონეს ტექნიკა, რომელსაც გამრავლება ჰქვია. ვეთანხმები, ითვლება უფრო ადვილი და სწრაფი ვიდრე.

ასე რომ, უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე დათვლა, უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ გამრავლების ცხრილი. რა თქმა უნდა, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი ნელა, რთულად და შეცდომებით! მაგრამ…

აქ არის გამრავლების ცხრილი. გაიმეორეთ.

და კიდევ ერთი, უფრო ლამაზი:

და რა სხვა სახიფათო ხრიკები მოიგონეს ზარმაცი მათემატიკოსებმა? სწორად - რიცხვის ძალამდე აყვანა.

რიცხვის ძლიერებამდე აწევა

თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხუთჯერ გამრავლება, მაშინ მათემატიკოსები ამბობენ, რომ ეს რიცხვი მეხუთე ხარისხამდე უნდა აწიოთ. Მაგალითად, . მათემატიკოსებს ახსოვთ, რომ ორი მეხუთე ხარისხამდე არის. და ისინი გონებაში წყვეტენ ასეთ პრობლემებს - უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე.

ამისათვის საჭიროა მხოლოდ დაიმახსოვრე რა არის ხაზგასმული ფერით რიცხვების ხარისხების ცხრილში. დამიჯერე, ეს ბევრად გაგიადვილებს ცხოვრებას.

სხვათა შორის, რატომ ჰქვია მეორე ხარისხს კვადრატინომრები და მესამე კუბი? Რას ნიშნავს? ძალიან კარგი კითხვა. ახლა გექნებათ კვადრატებიც და კუბებიც.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #1

დავიწყოთ რიცხვის კვადრატით ან მეორე ხარისხით.

წარმოიდგინეთ კვადრატული აუზი, რომელიც ზომავს მეტრებს. აუზი თქვენს ეზოშია. ცხელა და ძალიან მინდა ბანაობა. მაგრამ ... აუზი ფსკერის გარეშე! აუზის ფსკერის დაფარვა აუცილებელია ფილებით. რამდენი ფილა გჭირდებათ? ამის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ აუზის ფსკერის ფართობი.

თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ თითის დაჭერით დათვალოთ, რომ აუზის ფსკერი მეტრი მეტრზე კუბურებისგან შედგება. თუ თქვენი ფილები მეტრზე მეტრია, დაგჭირდებათ ნაჭრები. ადვილია... მაგრამ სად ნახე ასეთი ფილა? კრამიტი უფრო სმ-სმ იქნება, მერე კი „თითით დათვლა“ დაგატანჯავთ. მაშინ უნდა გაამრავლო. ასე რომ, აუზის ფსკერის ერთ მხარეს მოვათავსებთ ფილებს (ნაჭრებს), ხოლო მეორეზე ასევე ფილებს. გამრავლებით მიიღებთ ფილებს ().

შენიშნეთ, რომ ერთი და იგივე რიცხვი თავისთავად გავამრავლეთ აუზის ფსკერის ფართობის დასადგენად? Რას ნიშნავს? ვინაიდან ერთი და იგივე რიცხვი მრავლდება, შეგვიძლია გამოვიყენოთ გაძლიერების ტექნიკა. (რა თქმა უნდა, როდესაც თქვენ გაქვთ მხოლოდ ორი რიცხვი, თქვენ მაინც გჭირდებათ მათი გამრავლება ან ხარისხზე აწევა. მაგრამ თუ ბევრი გაქვთ, მაშინ ხარისხზე აწევა ბევრად უფრო ადვილია და ასევე ნაკლებია შეცდომები გამოთვლებში. გამოცდისთვის ეს ძალიან მნიშვნელოვანია).
ასე რომ, ოცდაათი მეორე ხარისხი იქნება (). ან შეიძლება ითქვას, რომ ოცდაათი კვადრატი იქნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვის მეორე ხარისხი ყოველთვის შეიძლება იყოს კვადრატის სახით. და პირიქით, თუ ხედავთ კვადრატს, ის ყოველთვის არის რომელიმე რიცხვის მეორე ხარისხში. კვადრატი არის რიცხვის მეორე ხარისხის გამოსახულება.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #2

აქ არის დავალება თქვენთვის, დათვალეთ რამდენი კვადრატია ჭადრაკის დაფაზე რიცხვის კვადრატის გამოყენებით ... უჯრედების ერთ მხარეს და მეორეზეც. მათი რიცხვის დასათვლელად საჭიროა რვა გაამრავლოთ რვაზე, ან ... თუ შეამჩნევთ, რომ ჭადრაკის დაფა არის კვადრატი გვერდით, მაშინ შეგიძლიათ რვა კვადრატში. მიიღეთ უჯრედები. () Ისე?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #3

ახლა კუბი ან რიცხვის მესამე ხარისხი. იგივე აუზი. მაგრამ ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი წყალი უნდა ჩაასხათ ამ აუზში. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოცულობა. (მოცულობები და სითხეები, სხვათა შორის, იზომება კუბ. აუზი.

უბრალოდ აწიეთ თითი და დაითვალეთ! ერთი, ორი, სამი, ოთხი… ოცდაორი, ოცდასამი… რამდენი გამოვიდა? არ დაიკარგა? რთულია თითით დათვლა? Ამიტომ! აიღეთ მაგალითი მათემატიკოსებისგან. ისინი ზარმაცები არიან, ამიტომ შენიშნეს, რომ აუზის მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ერთმანეთზე გაამრავლოთ. ჩვენს შემთხვევაში აუზის მოცულობა კუბების ტოლი იქნება... უფრო ადვილია, არა?

ახლა წარმოიდგინეთ, რა ზარმაცი და ეშმაკნი არიან მათემატიკოსები, თუ ამას ძალიან აადვილებენ. ყველაფერი ერთ მოქმედებამდე შეამცირა. მათ შენიშნეს, რომ სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ტოლია და ერთი და იგივე რიცხვი თავისთავად მრავლდება... და რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხარისხი. ასე რომ, რასაც ერთხელ თითით დათვალეთ, ისინი აკეთებენ ერთ მოქმედებას: კუბში სამი ტოლია. ასე წერია:

რჩება მხოლოდ დაიმახსოვრეთ გრადუსების ცხრილი. თუ, რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებივით ზარმაცი და მზაკვარი არ ხართ. თუ გიყვართ შრომა და შეცდომების დაშვება, შეგიძლიათ თითით დათვლა განაგრძოთ.

ისე, იმისთვის, რომ საბოლოოდ დაგარწმუნოთ, რომ ხარისხები ლოფერებმა და ეშმაკმა ადამიანებმა გამოიგონეს, რომ გადაჭრან თავიანთი ცხოვრებისეული პრობლემები და არა პრობლემები შეგიქმნან, აი, კიდევ ორიოდე მაგალითი ცხოვრებიდან.

რეალური ცხოვრების მაგალითი #4

თქვენ გაქვთ მილიონი რუბლი. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე კიდევ მილიონს გამოიმუშავებთ. ანუ, ყოველი თქვენი მილიონი ყოველი წლის დასაწყისში გაორმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წლების განმავლობაში? თუ ახლა ზიხარ და "თითით ითვლი", მაშინ ძალიან შრომისმოყვარე და... სულელი ხარ. მაგრამ დიდი ალბათობით რამდენიმე წამში გაგცემთ პასუხს, რადგან ჭკვიანი ხართ! ასე რომ, პირველ წელს - ორჯერ ორი ... მეორე წელს - რა მოხდა, კიდევ ორი, მესამე წელს ... გაჩერდი! თქვენ შენიშნეთ, რომ რიცხვი თავისთავად მრავლდება ერთხელ. ასე რომ, ორი მეხუთე ხარისხამდე არის მილიონი! ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ კონკურსი და ვინც უფრო სწრაფად ითვლის, მიიღებს ამ მილიონებს... ღირს თუ არა დაიმახსოვროთ რიცხვების ხარისხი, რას ფიქრობთ?

რეალური ცხოვრების მაგალითი #5

მილიონი გაქვს. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე ორს გამოიმუშავებთ. მშვენიერია არა? ყოველი მილიონი გასამმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წელიწადში? დავთვალოთ. პირველი წელი - გაამრავლე, მერე შედეგი მეორეზე... ეს უკვე მოსაწყენია, რადგან უკვე ყველაფერი გაიგე: სამი თავისთავად მრავლდება ჯერ. ასე რომ, მეოთხე ძალა არის მილიონი. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ სამიდან მეოთხე ხარისხში არის ან.

ახლა თქვენ იცით, რომ რიცხვის ძლიერებამდე აყვანით, ბევრად გაგიადვილებთ ცხოვრებას. მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ, რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ხარისხებით და რა უნდა იცოდეთ მათ შესახებ.

ტერმინები და ცნებები... ისე რომ არ აგერიოთ

ასე რომ, პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ცნებები. Რას ფიქრობ, რა არის მაჩვენებელი? ეს ძალიან მარტივია – ეს ის რიცხვია, რომელიც რიცხვის სიმძლავრის „ზედაზეა“. არა მეცნიერული, მაგრამ გასაგები და ადვილად დასამახსოვრებელი ...

აბა, ამავდროულად, რა ხარისხის ასეთი ბაზა? კიდევ უფრო მარტივია რიცხვი, რომელიც არის ბოლოში, ძირში.

აი სურათი რომ დარწმუნდეთ.

ისე, ზოგადად, იმისათვის, რომ განვაზოგადოთ და უკეთ დავიმახსოვროთ ... ხარისხი ფუძით "" და ინდიკატორი "" იკითხება როგორც "ხარისხში" და იწერება შემდეგნაირად:

რიცხვის სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით

თქვენ ალბათ უკვე მიხვდით: რადგან მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია. კი მაგრამ რა არის ბუნებრივი რიცხვი? ელემენტარული! ნატურალური რიცხვებია ის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება დათვლაში ერთეულების ჩამოთვლისას: ერთი, ორი, სამი... როდესაც ვითვლით ერთეულებს, არ ვამბობთ: "მინუს ხუთი", "მინუს ექვსი", "მინუს შვიდი". არც „ერთ მესამედს“ და არც „ნულ ქულას ხუთი მეათედი“ არ ვამბობთ. ეს არ არის ბუნებრივი რიცხვები. როგორ ფიქრობთ, რა არის ეს რიცხვები?

რიცხვები, როგორიცაა "მინუს ხუთი", "მინუს ექვსი", "მინუს შვიდი" ეხება მთელი რიცხვები.ზოგადად, მთელი რიცხვები მოიცავს ყველა ნატურალურ რიცხვს, ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვებს (ანუ აღებული მინუს ნიშნით) და რიცხვს. ნული ადვილი გასაგებია - ეს მაშინ, როცა არაფერია. და რას ნიშნავს უარყოფითი ("მინუს") რიცხვები? მაგრამ ისინი გამოიგონეს, პირველ რიგში, ვალების აღსანიშნავად: თუ თქვენს ტელეფონზე გაქვთ ბალანსი რუბლებში, ეს ნიშნავს, რომ ოპერატორის რუბლები გაქვთ.

ყველა წილადი რაციონალური რიცხვია. როგორ გაჩნდნენ, როგორ ფიქრობთ? Ძალიან მარტივი. რამდენიმე ათასი წლის წინ ჩვენმა წინაპრებმა აღმოაჩინეს, რომ მათ არ ჰქონდათ საკმარისი ბუნებრივი რიცხვები სიგრძის, წონის, ფართობის გასაზომად და ა.შ. და გამოვიდნენ რაციონალური რიცხვი... საინტერესოა, არა?

არის ირაციონალური რიცხვებიც. რა არის ეს რიცხვები? მოკლედ, უსასრულო ათობითი წილადი. მაგალითად, თუ წრის გარშემოწერილობას გაყოფთ მის დიამეტრზე, მაშინ მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს.

Შემაჯამებელი:

განვსაზღვროთ ხარისხის ცნება, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).

1. ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს:
2. რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავის თავზე გამრავლებას:
3. რიცხვის კუბირება ნიშნავს მის სამჯერ გამრავლებას:

განმარტება.რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:
.

ხარისხის თვისებები

საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? ახლავე გაჩვენებ.

ვნახოთ რა არის და ?

ა-პრიორიტეტი:

რამდენი მულტიპლიკატორია სულ?

ეს ძალიან მარტივია: ჩვენ ფაქტორებს დავამატეთ ფაქტორები და შედეგი არის ფაქტორები.

მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხი მაჩვენებლით, ანუ: , რომელიც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება.

გადაწყვეტილება:

მაგალითი:გამოხატვის გამარტივება.

გადაწყვეტილება:მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე მიზეზი უნდა იყოს!
მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:

მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დაწეროთ ეს.

2. ანუ - რიცხვის ხარისხში

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის მე-თე ხარისხი:

სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა?

მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ნამდვილად.

ხარისხი უარყოფითი ბაზით

ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, თუ რა უნდა იყოს მაჩვენებელი.

მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი?

გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელისაფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი. მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი.

მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ? პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთი, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ გამოდის.

თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

მოახერხე?

აი პასუხები: პირველ ოთხ მაგალითში იმედი მაქვს ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

მე-5 მაგალითში, ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი არის თანაბარი, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება.

კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) ასე მარტივი აღარ არის!

6 პრაქტიკის მაგალითი

ამოხსნის ანალიზი 6 მაგალითი

თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა! ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი გაცვლიან, ეს წესი შეიძლება მოქმედებდეს.

მაგრამ როგორ უნდა გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.

ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები.

მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

მთლიანივასახელებთ ნატურალურ რიცხვებს, მათ საპირისპიროებს (ანუ აღებულს "" ნიშნით) და რიცხვს.

დადებითი მთელი რიცხვიდა ის არაფრით განსხვავდება ბუნებრივისგან, მაშინ ყველაფერი ზუსტად ისე გამოიყურება, როგორც წინა განყოფილებაში.

ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:

როგორც ყოველთვის, საკუთარ თავს ვეკითხებით: რატომ არის ასე?

განვიხილოთ გარკვეული სიმძლავრე ფუძით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:

ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ რიცხვი და მივიღეთ იგივე, რაც იყო -. რა რიცხვზე უნდა გავამრავლოთ, რომ არაფერი შეიცვალოს? მართალია, ჩართულია. ნიშნავს.

იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:

გავიმეოროთ წესი:

ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.

მაგრამ არსებობს გამონაკლისები მრავალი წესისგან. და აქ არის ისიც - ეს არის რიცხვი (როგორც საფუძველი).

ერთის მხრივ, ის უნდა იყოს ნებისმიერი ხარისხის ტოლი - რაც არ უნდა გაამრავლო ნული თავის თავზე, მაინც მიიღებ ნულს, ეს გასაგებია. მაგრამ მეორეს მხრივ, როგორც ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი ხარისხით, ის უნდა იყოს ტოლი. მაშ, რა არის ამის სიმართლე? მათემატიკოსებმა გადაწყვიტეს არ ჩაერთონ და უარი განაცხადეს ნულის ნულოვან ხარისხზე აყვანაზე. ანუ, ახლა ჩვენ შეგვიძლია არა მარტო გავყოთ ნულზე, არამედ ავიყვანოთ ის ნულოვან სიმძლავრემდე.

მოდით წავიდეთ უფრო შორს. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელ რიცხვებში შედის უარყოფითი რიცხვები. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ხარისხი, მოდით გავაკეთოთ იგივე, რაც წინა ჯერზე: ჩვენ გავამრავლებთ ზოგიერთ ნორმალურ რიცხვს იმავეზე უარყოფით ხარისხში:

აქედან უკვე ადვილია სასურველის გამოხატვა:

ახლა ჩვენ ვაფართოებთ შედეგად წესს თვითნებურ ხარისხზე:

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:

რიცხვი უარყოფით ხარისხზე არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხზე. Მაგრამ ამავდროულად ბაზა არ შეიძლება იყოს ნულოვანი:(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

შევაჯამოთ:

I. გამოთქმა არ არის განსაზღვრული შემთხვევაში. თუ, მაშინ.

II. ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის: .

III. რიცხვი, რომელიც არ უდრის ნულის უარყოფით ხარისხს, არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხი: .

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მაგალითები:

ამოცანების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

ვიცი, ვიცი, ციფრები საშინელია, მაგრამ გამოცდაზე ყველაფრისთვის მზად უნდა იყო! ამოხსენით ეს მაგალითები ან გააანალიზეთ მათი ამოხსნა, თუ ვერ გადაჭრით და გაიგებთ, თუ როგორ მარტივად გაუმკლავდეთ მათ გამოცდაზე!

მოდით გავაგრძელოთ მაჩვენებლის სახით „შესაფერისი“ რიცხვების დიაპაზონის გაფართოება.

ახლა განიხილეთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?

პასუხი: ყველაფერი, რაც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები, უფრო მეტიც.

იმის გასაგებად რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განვიხილოთ წილადი:

მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:

ახლა დაიმახსოვრე წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":

რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?

ეს ფორმულირება არის მე-6 ხარისხის ფესვის განმარტება.

შეგახსენებთ: რიცხვის () მეათე ხარისხის ფესვი არის რიცხვი, რომელიც ხარისხზე აყვანისას ტოლია.

ანუ, th ხარისხის ფესვი არის შებრუნებული მოქმედების სიძლიერე: .

თურმე. ცხადია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება გაგრძელდეს: .

ახლა დაამატეთ მრიცხველი: რა არის ეს? პასუხის მიღება მარტივია ძალაუფლება-ძალაში წესით:

მაგრამ შეიძლება თუ არა საფუძველი იყოს ნებისმიერი რიცხვი? ყოველივე ამის შემდეგ, ფესვის ამოღება შეუძლებელია ყველა რიცხვიდან.

არცერთი!

დაიმახსოვრე წესი: ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ლუწი ხარისხზეა გაზრდილი, დადებითი რიცხვია. ანუ უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ხარისხის ფესვების ამოღება შეუძლებელია!

და ეს ნიშნავს, რომ ასეთი რიცხვები არ შეიძლება გაიზარდოს წილადის ხარისხამდე ლუწი მნიშვნელით, ანუ გამოხატვას აზრი არ აქვს.

რაც შეეხება გამოხატვას?

მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.

რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა, შემცირებული წილადების სახით, მაგალითად, ან.

და გამოდის, რომ ის არსებობს, მაგრამ არ არსებობს, და ეს არის მხოლოდ ორი განსხვავებული ჩანაწერი ერთი და იგივე ნომრით.

ან კიდევ ერთი მაგალითი: ერთხელ, მაშინ შეგიძლია ჩაწერო. მაგრამ როგორც კი ინდიკატორს სხვანაირად ვწერთ, ისევ გვიჭირს: (ანუ მივიღეთ სრულიად განსხვავებული შედეგი!).

ასეთი პარადოქსების თავიდან ასაცილებლად, გაითვალისწინეთ მხოლოდ დადებითი ბაზის მაჩვენებლები წილადის მაჩვენებლით.

ასე რომ, თუ:

• - ნატურალური რიცხვი;
• არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ძალები ძალიან სასარგებლოა ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, მაგალითად:

5 პრაქტიკის მაგალითი

ტრენინგის 5 მაგალითის ანალიზი

კარგი, ახლა - ყველაზე რთული. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.

გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხებისთვის, გარდა

მართლაც, განმარტებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ, ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით.

მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე;

...ნულოვანი სიმძლავრე- ეს არის, თითქოს, თავისთავად ერთხელ გამრავლებული რიცხვი, ანუ ის ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული ”მომზადება ნომერი“, კერძოდ ნომერი;

...უარყოფითი მთელი რიცხვი- თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის.

მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

სადაც ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ წახვალ! (თუ ისწავლით ასეთი მაგალითების ამოხსნას :))

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

გადაწყვეტილებების ანალიზი:

1. დავიწყოთ ხარისხზე ამაღლების უკვე ჩვეულებრივი წესით:

ახლა შეხედე ქულას. ის რამეს გახსენებს? გავიხსენებთ კვადრატების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულას:

Ამ შემთხვევაში,

გამოდის, რომ:

პასუხი: .

2. წილადები მაჩვენებლებში ერთსა და იმავე ფორმაზე მივყავართ: ორივე ათწილადი ან ორივე ჩვეულებრივი. ჩვენ ვიღებთ, მაგალითად:

პასუხი: 16

3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

გაფართოებული დონე

ხარისხის განსაზღვრა

ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

• — ხარისხის საფუძველი;
• - ექსპონენტი.

ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)

რიცხვის აწევა ბუნებრივ ხარისხამდე n ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:

სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)

თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:

ერექცია ნულოვანი სიმძლავრისკენ:

გამოთქმა განუსაზღვრელია, რადგან, ერთის მხრივ, ნებისმიერი ხარისხით არის ეს, ხოლო მეორე მხრივ, ნებისმიერი რიცხვი მე-ე ხარისხის არის ეს.

თუ მაჩვენებელი არის მთელი უარყოფითინომერი:

(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).

კიდევ ერთხელ ნულის შესახებ: გამოთქმა არ არის განსაზღვრული საქმეში. თუ, მაშინ.

მაგალითები:

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

• - ნატურალური რიცხვი;
• არის მთელი რიცხვი;

მაგალითები:

ხარისხის თვისებები

პრობლემების გადაჭრის გასაადვილებლად, შევეცადოთ გავიგოთ: საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? მოდით დავამტკიცოთ ისინი.

ვნახოთ: რა არის და?

ა-პრიორიტეტი:

ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს მიიღება შემდეგი პროდუქტი:

მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:

ქ.ე.დ.

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გადაწყვეტილება : .

მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.

გადაწყვეტილება : მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე საფუძველი უნდა ჰქონდეს. მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ეს წესი - მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!

არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დავწერო ეს.

ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:

მოდით გადავაწყოთ ასე:

გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის --ე ხარისხი:

სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:!

გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა? მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ნამდვილად.

სიმძლავრე უარყოფითი ბაზით.

ამ დრომდე ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის, რაც უნდა იყოს მაჩვენებელიხარისხი. მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი? გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი .

მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი. მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?

მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ?

პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთი, შედეგი დადებითი იქნება.

მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ (), მივიღებთ -.

და ასე შემდეგ უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით, ნიშანი შეიცვლება. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ ეს მარტივი წესები:

1. თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
2. უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
3. ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
4. ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.

თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

მოახერხე? აქ არის პასუხები:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

პირველ ოთხ მაგალითში, იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.

მაგალით 5-ში, ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი არის თანაბარი, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება. კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).

მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ გახსოვთ, ირკვევა, რომ ეს ნიშნავს, რომ ბაზა ნულზე ნაკლებია. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.

და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:

ყველაფერი ჩვეულებრივად არის - ჩვენ ვწერთ ხარისხების განმარტებას და ვყოფთ მათ ერთმანეთში, ვყოფთ წყვილებად და ვიღებთ:

სანამ ბოლო წესს გავაანალიზებთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.

გამოთვალეთ გამონათქვამების მნიშვნელობები:

გადაწყვეტილებები :

თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა!

ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი შეცვლილი იქნებოდა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას წესი 3. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.

თუ გაამრავლებ, არაფერი იცვლება, არა? მაგრამ ახლა ასე გამოიყურება:

ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები. მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!მისი შეცვლა შეუძლებელია ჩვენთვის მხოლოდ ერთი უსიამოვნო მინუსის შეცვლით!

დავუბრუნდეთ მაგალითს:

და ისევ ფორმულა:

ახლა ბოლო წესი:

როგორ ვაპირებთ ამის დამტკიცებას? რა თქმა უნდა, როგორც ყოველთვის: მოდით გავაფართოვოთ ხარისხის კონცეფცია და გავამარტივოთ:

აბა, ახლა გავხსნათ ფრჩხილები. რამდენი ასო იქნება? ჯერ გამრავლებით - როგორ გამოიყურება? ეს სხვა არაფერია, თუ არა ოპერაციის განმარტება გამრავლება: სულ იყო მულტიპლიკატორები. ანუ, ეს არის, განსაზღვრებით, რიცხვის ძალა მაჩვენებლით:

მაგალითი:

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

საშუალო დონის ხარისხების შესახებ ინფორმაციის გარდა, ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხს ირაციონალური მაჩვენებლით. გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისი - ბოლოს და ბოლოს, განსაზღვრებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).

ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით. მაგალითად, ბუნებრივი მაჩვენებლი არის რიცხვი, რომელიც გამრავლებულია თავის თავზე რამდენჯერმე; რიცხვი ნულოვანი ხარისხით არის, თითქოს, ერთჯერადად გამრავლებული რიცხვი, ანუ ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული „რიცხვის მომზადება“, კერძოდ რიცხვი; ხარისხი უარყოფითი მთელი რიცხვით - თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.

უკიდურესად რთულია ხარისხის წარმოდგენა ირაციონალური მაჩვენებლით (ისევე, როგორც რთულია 4 განზომილებიანი სივრცის წარმოდგენა). პირიქით, ეს არის წმინდა მათემატიკური ობიექტი, რომელიც მათემატიკოსებმა შექმნეს, რათა გააფართოვონ გრადუსის კონცეფცია რიცხვების მთელ სივრცეში.

სხვათა შორის, მეცნიერება ხშირად იყენებს ხარისხს რთული მაჩვენებლით, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის. მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.

რა ვქნათ, თუ ირაციონალურ მაჩვენებელს დავინახავთ? ყველანაირად ვცდილობთ თავი დავაღწიოთ! :)

Მაგალითად:

თავად გადაწყვიტე:

1)

2)

3)

პასუხები:

1. გახსოვდეთ კვადრატების ფორმულის განსხვავება. პასუხი:.
2. წილადებს მივყავართ ერთნაირი ფორმით: ან ორივე ათწილადი, ან ორივე ჩვეულებრივი. ვიღებთ, მაგალითად: .
3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:

ნაწილის შეჯამება და ძირითადი ფორმულა

ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:

ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).

ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით

ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.

ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით

მაჩვენებელი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.

ხარისხის თვისებები

ხარისხების მახასიათებლები.

• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
• უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
• ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
• ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
• ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.

ახლა შენ გაქვს სიტყვა...

როგორ მოგწონთ სტატია? შემატყობინეთ ქვემოთ მოცემულ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.

გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ დენის თვისებებთან დაკავშირებით.

ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.

დაწერეთ კომენტარებში.

და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებში!