სტატიაში მოცემულია სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის კონცეფცია, მოცემულია სწორი ხაზის, სიბრტყის განმარტება, გრაფიკულად ილუსტრირებული და ნაჩვენებია პერპენდიკულარული ხაზების და სიბრტყის აღნიშვნა. ჩამოვაყალიბოთ სიბრტყეზე სწორი ხაზის პერპენდიკულარულობის ნიშანი. განვიხილოთ პირობები, რომლებშიც სწორი ხაზი და სიბრტყე პერპენდიკულარული იქნება მოცემულ განტოლებთან სიბრტყეში და სამგანზომილებიან სივრცეში. ყველაფერი ნაჩვენები იქნება მაგალითებით.

Yandex.RTB R-A-339285-1 განმარტება 1

ხაზი სიბრტყის პერპენდიკულარულიაროდესაც ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე რომელიმე წრფეზე.

მართალია, სიბრტყე წრფის პერპენდიკულარულია, ისევე როგორც სიბრტყის ხაზი.

პერპენდიკულარულობა მითითებულია "⊥"-ით. თუ პირობა განსაზღვრავს, რომ წრფე c სიბრტყის პერპენდიკულარულია γ , მაშინ აღნიშვნა არის c ⊥ γ .

მაგალითად, თუ ხაზი სიბრტყის პერპენდიკულარულია, მაშინ შესაძლებელია მხოლოდ ერთი ხაზის დახატვა, რის გამოც ოთახის ორი მიმდებარე კედელი იკვეთება. ხაზი ითვლება ჭერის სიბრტყის პერპენდიკულურად. სავარჯიშო დარბაზში მდებარე თოკი განიხილება, როგორც სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც პერპენდიკულარულია თვითმფრინავზე, შიგნით ამ საქმესნახევრად.

თუ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული ხაზია, წრფესა და სიბრტყეს შორის კუთხე მართებულად ითვლება, ანუ 90 გრადუსის ტოლია.

სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულურობა - პერპენდიკულარობის ნიშანი და პირობები

პერპენდიკულარობის აღმოჩენის საპოვნელად საჭიროა წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის საკმარისი პირობის გამოყენება. ის იძლევა გარანტიას, რომ ხაზი და სიბრტყე პერპენდიკულარულია. ეს მდგომარეობა საკმარისად ითვლება და ეწოდება წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობის ნიშანს.

თეორემა 1

იმისათვის, რომ მოცემული წრფე იყოს სიბრტყის პერპენდიკულარული, საკმარისია წრფე იყოს პერპენდიკულარული ორი გადამკვეთი წრფის მიმართ, რომლებიც დევს ამ სიბრტყეში.

დეტალური მტკიცებულება მოცემულია მე-10-11 კლასების გეომეტრიის სახელმძღვანელოში. თეორემა გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად, სადაც აუცილებელია წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის დადგენა.

თეორემა 2

იმ პირობით, რომ ერთი წრფე მაინც სიბრტყის პარალელურია, ითვლება, რომ მეორე ხაზიც ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულია.

სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობის ნიშანი სკოლიდან ითვლებოდა, როცა საჭიროა გეომეტრიის ამოცანების ამოხსნა. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ კიდევ ერთი აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომლის დროსაც ხაზი და სიბრტყე პერპენდიკულარული იქნება.

თეორემა 3

იმისათვის, რომ a წრფე იყოს γ სიბრტყის პერპენდიკულარული, აუცილებელი და საკმარისი პირობაა a წრფის მიმართული ვექტორისა და γ სიბრტყის ნორმალური ვექტორის თანასწორობა.

მტკიცებულება

თუ a → = (a x, a y, a z) არის a წრფის ვექტორი, რადგან n → = (n x, n y, n z) არის γ სიბრტყის ნორმალური ვექტორი პერპენდიკულარობის შესასრულებლად, აუცილებელია, რომ წრფე a და სიბრტყე γ ეკუთვნის a → = (a x , a y , a z) და n → = (n x , n y , n z) ვექტორების კოლინარობის პირობის შესრულებას. აქედან გამომდინარე მივიღებთ, რომ a → = t n → ⇔ a x = t n x a y = t n y a z = t n z, t არის რეალური რიცხვი.

ეს დადასტურება ემყარება წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობის აუცილებელ და საკმარის პირობას, წრფის მიმართულ ვექტორს და სიბრტყის ნორმალური ვექტორის.

ეს პირობა გამოიყენება სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის დასამტკიცებლად, რადგან საკმარისია ვიპოვოთ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორის კოორდინატები და ნორმალური ვექტორის კოორდინატები სამგანზომილებიან სივრცეში და შემდეგ შეასრულოთ გამოთვლები. იგი გამოიყენება იმ შემთხვევებში, როდესაც სწორი ხაზი განისაზღვრება სივრცეში სწორი ხაზის განტოლებით, ხოლო სიბრტყე რაიმე სახის სიბრტყის განტოლებით.

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ, რომ მოცემული წრფე x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 2 - 7 სიბრტყის პერპენდიკულარულია x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z .

გადაწყვეტილება

კანონიკური განტოლებების მნიშვნელები არის მოცემული წრფის მიმართულების ვექტორის კოორდინატები. აქედან გამომდინარე გვაქვს, რომ a → = (2 - 1 , 2 , 2 - 7) არის x 2 - 1 = y - 1 2 = z + 2 2 - 7 წრფის მიმართული ვექტორი.

სიბრტყის ზოგად განტოლებაში x, y, z ცვლადების წინ კოეფიციენტები არის მოცემული სიბრტყის ნორმალური ვექტორის კოორდინატები. აქედან გამომდინარეობს, რომ n → = (1 , 2 (2 + 1) , - (5 + 6 2)) არის x + 2 2 + 1 y - (5 + 6 2) z - 4 = 0 სიბრტყის ნორმალური ვექტორი.

აუცილებელია პირობის შესრულების შემოწმება. ჩვენ ამას მივიღებთ

2 - 1 \u003d t 1 2 \u003d t 2 (2 + 1) 2 \u003d t (- (5 + 6 2)) ⇔ t \u003d 2 - 1, შემდეგ ვექტორები a → და n → დაკავშირებულია გამოხატულება a → = ( ​​2 - 1) n → .

ეს არის ვექტორების კოლინარულობა. აქედან გამომდინარეობს, რომ წრფე x 2 - 1 \u003d y - 1 2 \u003d z + 2 2 - 7 სიბრტყის პერპენდიკულარულია x + 2 (2 + 1) y - (5 + 6 2) z - 4 \u003d 0 .

პასუხი:ხაზი და სიბრტყე პერპენდიკულარულია.

მაგალითი 2

დაადგინეთ, არის თუ არა წრფე y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 და სიბრტყე x 1 2 + z - 1 2 = 1 პერპენდიკულარული.

გადაწყვეტილება

პერპენდიკულარულობის კითხვაზე პასუხის გასაცემად აუცილებელია დაკმაყოფილდეს აუცილებელი და საკმარისი პირობა, ანუ ჯერ უნდა მოძებნოთ მოცემული წრფის ვექტორი და სიბრტყის ნორმალური ვექტორი.

სწორი ხაზიდან y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0, ჩანს, რომ მიმართულების ვექტორი a → არის y - 1 = 0 და x + 4 z - 2 სიბრტყის ნორმალური ვექტორების ნამრავლი. = 0.

აქედან გამომდინარე მივიღებთ, რომ a → = i → j → k → 0 1 0 1 0 4 = 4 i → - k →.

a → = (4 , 0 , - 1) ვექტორის კოორდინატები.

სიბრტყის განტოლება სეგმენტებში x 1 2 + z - 1 2 = 1 უდრის სიბრტყის განტოლებას 2 x - 2 z - 1 = 0 , რომლის ნორმალური ვექტორი უდრის n → = (2 , 0 , - 2).

თქვენ უნდა შეამოწმოთ a → = (4 , 0 , - 1) და n → = (2 , 0 , - 2) ვექტორების თანამიმდევრულობა.

ამისათვის ჩვენ ვწერთ:

4 = t 2 0 = t 0 - 1 = t (- 2) ⇔ t = 2 t ∈ R ⇔ t ∈ ∅ t = 1 2

აქედან ვასკვნით, რომ სწორი ხაზის მიმართული ვექტორი არ არის სიბრტყის ნორმალურ ვექტორთან. ასე რომ, y - 1 = 0 x + 4 z - 2 = 0 არის სწორი ხაზი, რომელიც არ არის პერპენდიკულარული x 1 2 + z - 1 2 სიბრტყის მიმართ.

პასუხი:ხაზი და სიბრტყე არ არის პერპენდიკულარული.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

მე-10 კლასში გეომეტრიის გაკვეთილის მონახაზი თემაზე "წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობა"

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო

სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშნის შემოღება;

ჩამოაყალიბონ მოსწავლეთა წარმოდგენები სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობაზე, მათ თვისებებზე;

მოსწავლეებს ჩამოუყალიბდეს თემაზე ტიპიური ამოცანების გადაჭრის უნარი, განცხადებების დამტკიცების უნარი;

განვითარებადი

განავითაროს დამოუკიდებლობა, შემეცნებითი აქტივობა;

ანალიზის, დასკვნების გამოტანის, მიღებული ინფორმაციის სისტემატიზაციის უნარის განვითარება,

განავითაროს ლოგიკური აზროვნება;

სივრცითი წარმოსახვის განვითარება.

საგანმანათლებლო

მოსწავლეთა მეტყველების კულტურის განათლება, გამძლეობა;

მოსწავლეებში ჩაუნერგოს ინტერესი საგნის მიმართ.

გაკვეთილის ტიპი:სწავლის გაკვეთილი და ცოდნის პირველადი კონსოლიდაცია.

სტუდენტური მუშაობის ფორმები:წინა გამოკითხვა.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, პროექტორი, ეკრანი.

ლიტერატურა:„გეომეტრია 10-11“, სახელმძღვანელო. ატანასიანი ლ.ს. და ა.შ.

(2009, 255გვ.)

Გაკვეთილის გეგმა:

საორგანიზაციო მომენტი (1 წუთი);

ცოდნის განახლება (5 წუთი);

ახალი მასალის შესწავლა (15 წთ);

შესწავლილი მასალის პირველადი კონსოლიდაცია (20 წთ);

შეჯამება (2 წუთი);

საშინაო დავალება (2 წუთი).

გაკვეთილების დროს.

საორგანიზაციო მომენტი (1 წუთი)

მივესალმო სტუდენტებს. მოსწავლეთა მზაობის შემოწმება გაკვეთილზე: რვეულების, სახელმძღვანელოების ხელმისაწვდომობის შემოწმება. არყოფნის შემოწმება.

ცოდნის განახლება (5 წუთი)

მასწავლებელი. რომელ წრფეს ეწოდება სიბრტყის პერპენდიკულარული?

Სტუდენტი. ამ სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერი წრფის პერპენდიკულარულ წრფეს ამ სიბრტყის პერპენდიკულარული წრფე ეწოდება.

მასწავლებელი. როგორ ჟღერს ლემა მესამეზე პერპენდიკულარული ორი პარალელური წრფის შესახებ?

Სტუდენტი. თუ ორი პარალელური წრფედან ერთი პერპენდიკულარულია მესამე წრფეზე, მაშინ მეორე წრფე ასევე პერპენდიკულარულია ამ წრფეზე.

მასწავლებელი. თეორემა სიბრტყეზე ორი პარალელური წრფის პერპენდიკულარულობის შესახებ.

Სტუდენტი. თუ ორი პარალელური წრფედან ერთი სიბრტყის პერპენდიკულარულია, მაშინ მეორე წრფეც ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულია.

მასწავლებელი. რა არის ამ თეორემის შებრუნებული?

Სტუდენტი. თუ ორი წრფე პერპენდიკულარულია ერთი და იმავე სიბრტყის მიმართ, მაშინ ისინი პარალელურია.

საშინაო დავალების შემოწმება

საშინაო დავალება მოწმდება, თუ მოსწავლეებს უჭირთ მისი ამოხსნა.

ახალი მასალის შესწავლა (15 წუთი)

მასწავლებელი. მე და შენ ვიცით, რომ თუ წრფე პერპენდიკულარულია სიბრტყეზე, მაშინ ის პერპენდიკულარული იქნება ამ სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერ წრფეზე, მაგრამ განმარტებაში სიბრტყეზე წრფის პერპენდიკულურობა მოცემულია როგორც ფაქტი. პრაქტიკაში ხშირად საჭიროა იმის დადგენა, იქნება თუ არა ხაზი სიბრტყის პერპენდიკულარული თუ არა. ასეთი მაგალითების მოყვანა შეიძლება ცხოვრებიდან: შენობების აგებისას გროვები ამოძრავებულია დედამიწის ზედაპირზე პერპენდიკულარულად, წინააღმდეგ შემთხვევაში კონსტრუქცია შეიძლება დაიშალოს. სიბრტყეზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზის განმარტება ამ შემთხვევაში არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას. რატომ? რამდენი ხაზის დახატვა შეიძლება სიბრტყეში?

Სტუდენტი. სიბრტყეში უსაზღვროდ ბევრი სწორი ხაზის დახატვაა შესაძლებელი.

მასწავლებელი. სწორად. და შეუძლებელია სწორი ხაზის პერპენდიკულარობის შემოწმება თითოეულ ცალკეულ სიბრტყეზე, რადგან ამას უსასრულოდ დიდი დრო დასჭირდება. იმისათვის, რომ გავიგოთ არის თუ არა წრფე სიბრტყის პერპენდიკულარულობაზე, შემოვიღოთ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის ნიშანი. ჩაწერეთ ბლოკნოტში. თუ წრფე პერპენდიკულარულია სიბრტყეში გადამკვეთ ორ წრფეზე, მაშინ ის ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულია.

ნოუთბუქის ჩანაწერი. თუ წრფე პერპენდიკულარულია სიბრტყეში გადამკვეთ ორ წრფეზე, მაშინ ის ამ სიბრტყის პერპენდიკულარულია.

მასწავლებელი. ამრიგად, ჩვენ არ გვჭირდება წრფის პერპენდიკულარობის შემოწმება თითოეული სწორი სიბრტყისთვის, საკმარისია ამ სიბრტყის მხოლოდ ორი ხაზის პერპენდიკულარობის შემოწმება.

მასწავლებელი. დავამტკიცოთ ეს ნიშანი.

მოცემული: გვდა ქ- სწორი, გვ ∩ ქ = ო, ა⊥ გვ, ა⊥ ქ, გვ ϵ α, ქ ϵ α.

დაამტკიცე: ა⊥ α.

მასწავლებელი. და მაინც, დასამტკიცებლად ვიყენებთ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული სწორი ხაზის განმარტებას, როგორ ჟღერს?

Სტუდენტი. თუ წრფე პერპენდიკულარულია სიბრტყეზე, მაშინ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ნებისმიერი წრფის მიმართ.

მასწავლებელი. სწორად. დახაზეთ ნებისმიერი წრფე m α სიბრტყეში. გაავლეთ ხაზი l ║ m O წერტილის გავლით. ხაზზე მონიშნეთ A და B წერტილები ისე, რომ O წერტილი იყოს AB სეგმენტის შუა წერტილი. დავხაზოთ z წრფე ისე, რომ გადაიკვეთოს p, q, l წრფეები, ამ წრფეების გადაკვეთის წერტილები შესაბამისად P, Q, L აღინიშნა. შეაერთეთ AB სეგმენტის ბოლოები P, Q და L წერტილებთან.

მასწავლებელი. რა შეგვიძლია ვთქვათ სამკუთხედებზე ∆APQ და ∆BPQ?

Სტუდენტი. ეს სამკუთხედები ტოლი იქნება (სამკუთხედების ტოლობის მე-3 კრიტერიუმის მიხედვით).

მასწავლებელი. რატომ?

Სტუდენტი. რადგან წრფეები p და q პერპენდიკულარული ბისექტრებია, მაშინ AP = BP , AQ = BQ და გვერდი PQ საერთოა.

მასწავლებელი. სწორად. რა შეგვიძლია ვთქვათ სამკუთხედებზე ∆APL და ∆BPL?

Სტუდენტი. ეს სამკუთხედებიც ტოლი იქნება (სამკუთხედების ტოლობის 1 ნიშნის მიხედვით).

მასწავლებელი. რატომ?

Სტუდენტი. AP = BP, PL- საერთო მხარე APL =  BPL(Δ ტოლობიდან APQდა ∆ BPQ)

მასწავლებელი. სწორად. ასე რომ, AL = BL. რა იქნება ∆ALB?

Სტუდენტი. ასე რომ ∆ALB იქნება ტოლფერდა.

მასწავლებელი. LO არის მედიანა ∆ALB-ში, რა იქნება ის ამ სამკუთხედში?

Სტუდენტი. ასე რომ, LO ასევე იქნება სიმაღლე.

მასწავლებელი. აქედან გამომდინარე სწორი ხაზილხაზის პერპენდიკულარული იქნებაა. და რადგან სწორი ხაზილარის ნებისმიერი ხაზი, რომელიც მიეკუთვნება α სიბრტყეს, შემდეგ განსაზღვრებით წრფესა⊥ ა. ქ.ე.დ.

დადასტურებულია პრეზენტაციით

მასწავლებელი. მაგრამ რა მოხდება, თუ a წრფე არ კვეთს O წერტილს, მაგრამ რჩება p და q წრფეების პერპენდიკულარული? თუ წრფე a კვეთს მოცემული სიბრტყის რომელიმე სხვა წერტილს?

Სტუდენტი. შესაძლებელია ხაზის აგება 1 , რომელიც იქნება a წრფის პარალელური, გადაკვეთს O წერტილს და ლემის მიხედვით ორ პარალელურ წრფეზე, რომელიც მესამეზე პერპენდიკულარულია, შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომა 1 ⊥ გვ, ა 1 ⊥ ქ.

მასწავლებელი. სწორად.

შესწავლილი მასალის პირველადი კონსოლიდაცია (20 წთ)

მასწავლებელი. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაციის მიზნით მოვაგვარებთ რიცხვს 126 წაიკითხეთ დავალება.

Სტუდენტი. ხაზი MB პერპენდიკულარულია ABC სამკუთხედის AB და BC გვერდებზე. განსაზღვრეთ სამკუთხედის ტიპი MBD, სადაც D არის AC სწორი ხაზის თვითნებური წერტილი.

Სურათი.

მოცემულია: ∆ ABC, მბ⊥ BA, მბ⊥ ძვ.წ, დ ϵ AC.

იპოვეთ: ∆ MBD.

გადაწყვეტილება.

მასწავლებელი. შეგიძლიათ დახაზოთ თვითმფრინავი სამკუთხედის წვეროებზე?

Სტუდენტი. Დიახ, შეგიძლია. თვითმფრინავის დახატვა შესაძლებელია სამ წერტილში.

მასწავლებელი. როგორ განლაგდება BA და CB ხაზები ამ თვითმფრინავთან შედარებით?

Სტუდენტი. ეს ხაზები იქნება ამ სიბრტყეში.

მასწავლებელი. გამოდის, რომ ჩვენ გვაქვს თვითმფრინავი და მასში არის ორი გადამკვეთი ხაზი. როგორ უკავშირდება ხაზი MW ამ ხაზებს?

Სტუდენტი. პირდაპირი MV⊥ VA, MV ⊥ ძვ.წ.

წერა დაფაზე და რვეულებში. რადგან MV⊥ VA, MV ⊥ VS

მასწავლებელი. თუ წრფე პერპენდიკულარულია სიბრტყეში მდებარე ორ გადამკვეთ წრფეზე, მაშინ წრფე ამ სიბრტყეს მიეკუთვნება?

Სტუდენტი. სწორი ხაზი MB იქნება ABC სიბრტყის პერპენდიკულარული.

⊥ ABC.

მასწავლებელი. წერტილი D არის თვითნებური წერტილი AC სეგმენტზე, მაშ, როგორ დაუკავშირდება BD წრფე ABC სიბრტყეს?

Სტუდენტი. ასე რომ, BD ეკუთვნის ABC თვითმფრინავს.

წერა დაფაზე და რვეულებში. რადგან BD ϵ ABC

მასწავლებელი. როგორი იქნება MB და BD ხაზები ერთმანეთთან შედარებით?

Სტუდენტი. ეს ხაზები პერპენდიკულარული იქნება სიბრტყეზე პერპენდიკულარული წრფის განმარტებით.

წერა დაფაზე და რვეულებში. ↔ MV⊥ BD

მასწავლებელი. თუ MB პერპენდიკულარულია BD-ზე, მაშინ რა იქნება სამკუთხედი MBD?

Სტუდენტი. სამკუთხედი MBD იქნება მართკუთხა.

წერა დაფაზე და რვეულებში. ↔ ∆MBD – მართკუთხა.

მასწავლებელი. სწორად. ამოხსნათ რიცხვი 127. წაიკითხეთ დავალება.

Სტუდენტი. სამკუთხედშიABCკუთხეების ჯამი ადა ბუდრის 90°-ს. პირდაპირBDსიბრტყეზე პერპენდიკულარულიABC. დაამტკიცე რომ CD⊥ AC.

მოსწავლე მიდის დაფასთან. ხატავს ნახატს.

ჩაწერეთ დაფაზე და რვეულში.

მოცემულია: ∆ ABC,  ა +  ბ= 90°, BD⊥ ABC.

დაამტკიცე: CD⊥ AC.

მტკიცებულება:

მასწავლებელი. რა არის სამკუთხედის კუთხეების ჯამი?

Სტუდენტი. სამკუთხედში კუთხეების ჯამი არის 180°.

მასწავლებელი. რა არის კუთხე C სამკუთხედში ABC?

Სტუდენტი. კუთხე C სამკუთხედში ABC იქნება 90°.

წერა დაფაზე და რვეულებში. C = 180° - A- ბ= 90°

მასწავლებელი. თუ კუთხე C არის 90°, როგორ დევს წრფეები AC და BC ერთმანეთთან შედარებით?

Სტუდენტი. ნიშნავს AC⊥ მზე.

წერა დაფაზე და რვეულებში. ↔ AC⊥ მზე

მასწავლებელი. ხაზი BD არის ABC სიბრტყის პერპენდიკულარული. რა მოჰყვება აქედან?

Სტუდენტი. ასე რომ, BD პერპენდიკულარულია ABC-დან რომელიმე წრფეზე.

BD⊥ ABC ↔ BDნებისმიერი ხაზის პერპენდიკულარულიABC(ა-პრიორიტეტი)

მასწავლებელი. ამის შესაბამისად, როგორ იქნება დაკავშირებული პირდაპირი BD და AC?

Სტუდენტი. ასე რომ, ეს ხაზები პერპენდიკულარულია.

BD⊥ AC

მასწავლებელი. AC არის პერპენდიკულარული ორი გადამკვეთი ხაზის მიმართ, რომლებიც მდებარეობს DBC სიბრტყეში, მაგრამ AC არ გადის გადაკვეთის წერტილში. როგორ გავასწორო?

Სტუდენტი. დახაზეთ ხაზი B წერტილში და პარალელურად AC. ვინაიდან AC არის BC და BD პერპენდიკულარული, მაშინ a ასევე იქნება BC და BD პერპენდიკულარული ლემის მიხედვით.

წერა დაფაზე და რვეულებში. გაავლეთ ხაზი B a ║AC ↔ a წერტილში⊥ ძვ.წდა ⊥ BD

მასწავლებელი. თუ წრფე a არის BC და BD პერპენდიკულარული, მაშინ რა შეიძლება ითქვას a წრფის და BDC სიბრტყის ფარდობით პოზიციაზე?

Სტუდენტი. ეს ნიშნავს, რომ წრფე a იქნება BDC სიბრტყის პერპენდიკულარული და, შესაბამისად, ხაზი AC იქნება BDC-ის პერპენდიკულარული.

წერა დაფაზე და რვეულებში. ↔ ა⊥ bdc↔ AC ⊥ bdc.

მასწავლებელი. თუ AC პერპენდიკულარულია BDC-ზე, მაშინ როგორ განლაგდება ხაზები AC და DC ერთმანეთთან შედარებით?

Სტუდენტი. AC და DC იქნება პერპენდიკულარული სიბრტყეზე პერპენდიკულარული წრფის განმარტებით.

წერა დაფაზე და რვეულებში. რადგან AC⊥ bdc↔ AC ⊥ DC

მასწავლებელი. კარგად გააკეთე. მოვაგვაროთ რიცხვი 129. წაიკითხეთ დავალება.

Სტუდენტი. პირდაპირᲕᲐᲠკვადრატის სიბრტყის პერპენდიკულარულიᲐ Ბ Გ Დ, რომლის დიაგონალები იკვეთება O წერტილში. დაამტკიცეთ, რომ: ა) წრფეBDსიბრტყეზე პერპენდიკულარულიამო; ბ)MO⊥ BD.

მოსწავლე მოდის დაფასთან. ხატავს ნახატს.

ჩაწერეთ დაფაზე და რვეულში.

მოცემული:Ა Ბ Გ Დ- კვადრატი,ᲕᲐᲠ⊥ Ა Ბ Გ Დ, AC ∩ BD = ო

დაამტკიცე:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

მტკიცებულება:

მასწავლებელი. ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომBD⊥ ამო. რა პირობები უნდა დაკმაყოფილდეს, რომ ეს მოხდეს?

Სტუდენტი. აუცილებელია, რომ პირდაპირი BD არის პერპენდიკულარული სიბრტყიდან სულ მცირე ორი გადამკვეთი ხაზის მიმართამო.

მასწავლებელი. პირობა ამას ამბობს BD პერპენდიკულარული ორი გადამკვეთი ხაზის მიმართამო?

Სტუდენტი. არა.

მასწავლებელი. მაგრამ ჩვენ ეს ვიცითᲕᲐᲠ პერპენდიკულარულიᲐ Ბ Გ Დ . რა დასკვნის გაკეთება შეიძლება აქედან?

Სტუდენტი. Რას ნიშნავსᲕᲐᲠ ამ სიბრტყიდან რომელიმე წრფეზე პერპენდიკულარული, ე.ი.ᲕᲐᲠ პერპენდიკულარულიბ.დ.

ᲕᲐᲠ⊥ Ა Ბ Გ Დ ↔ ᲕᲐᲠ⊥ BD(ა-პრიორიტეტი).

მასწავლებელი. ერთი ხაზი პერპენდიკულარულია BD იქ არის. ყურადღება მიაქციეთ კვადრატს, თუ როგორ განლაგდება ხაზები ერთმანეთთან შედარებით AC და BD?

Სტუდენტი. AC პერპენდიკულარული იქნება BD კვადრატის დიაგონალების თვისებით.

ჩაწერეთ დაფაზე და რვეულში. რადგანᲐ Ბ Გ Დ- კვადრატი, მაშინAC⊥ BD(კვადრატის დიაგონალების თვისებით)

მასწავლებელი. ჩვენ ვიპოვეთ სიბრტყეში გადამკვეთი ორი ხაზიამო ხაზის პერპენდიკულარული BD . რა მოჰყვება აქედან?

Სტუდენტი. Რას ნიშნავს BD სიბრტყეზე პერპენდიკულარულიამო.

წერა დაფაზე და რვეულებში. რადგანAC⊥ BDდაᲕᲐᲠ⊥ BD ↔ BD⊥ ამო(ნიშნით)

მასწავლებელი. რომელ წრფეს ეწოდება სიბრტყის პერპენდიკულარულ წრფეს?

Სტუდენტი. წრფე სიბრტყის პერპენდიკულარულია, თუ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის რომელიმე წრფეზე.

მასწავლებელი. როგორ უკავშირდება ხაზები ერთმანეთს? BD და OM?

Სტუდენტი. ნიშნავს BD პერპენდიკულარული OM . ქ.ე.დ.

წერა დაფაზე და რვეულებში. ↔BD⊥ MO(ა-პრიორიტეტი). ქ.ე.დ.

ბრიფინგი (2 წუთი)

მასწავლებელი. დღეს ჩვენ შევისწავლეთ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობის ნიშანი. როგორ ჟღერს?

Სტუდენტი. თუ წრფე პერპენდიკულარულია სიბრტყეში გადამკვეთ ორ წრფეზე, მაშინ ეს წრფე პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის მიმართ.

მასწავლებელი. სწორად. ჩვენ ვისწავლეთ ამ ფუნქციის გამოყენება პრობლემების გადაჭრაში. ვინც დაფაზე უპასუხა და ადგილიდან დაეხმარა, კარგად.

საშინაო დავალება (2 წუთი)

მასწავლებელი. პუნქტი 1, პუნქტები 15-17, ისწავლეთ: ლემა, განმარტება და ყველა თეორემა. No130, 131.

იმისათვის, რომ სივრცეში სწორი ხაზი იყოს  სიბრტყის, აუცილებელია და საკმარისია, რომ დიაგრამაზე სწორი ხაზის ჰორიზონტალური პროექცია იყოს  ჰორიზონტალური პროექციისა, ხოლო შუბლის პროექცია შუბლის პროექციისა. ამ თვითმფრინავის წინა მხარე.

წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის განსაზღვრა(სურ. 19)

1. წერტილიდან ჩამოწიეთ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული (ამისთვის სიბრტყეში

გამართავს h, f);

2. იპოვეთ სწორი ხაზის სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილი (იხ. სურ. 18);

3.იპოვეთ n.v. პერპენდიკულარული სეგმენტი (იხ. ნახ. 7).

მეორე განყოფილება საპროექციო თვითმფრინავების შეცვლის მეთოდი

(დავალებები 5, 6.7)

ეს გეომეტრიული ფიგურა უმოძრაოდ რჩება საპროექციო სიბრტყეების სისტემაში. ახალი საპროექციო სიბრტყეები დაყენებულია ისე, რომ მათზე მიღებული პროგნოზები უზრუნველყოფენ განსახილველი პრობლემის რაციონალურ გადაწყვეტას. უფრო მეტიც, საპროექციო სიბრტყეების ყოველი ახალი სისტემა უნდა იყოს ორთოგონალური სისტემა. სიბრტყეზე ობიექტების დაპროექტების შემდეგ, ისინი გაერთიანებულია ერთში, ატრიალებენ ერთმანეთის პერპენდიკულარული სიბრტყის თითოეული წყვილის საერთო სწორი ხაზების (პროექციის ღერძების) გარშემო.

მაგალითად, წერტილი A დაყენებული იყოს ორი სიბრტყის სისტემაში P 1 და P 2. შევავსოთ სისტემა კიდევ ერთი სიბრტყით P 4 (ნახ. 20), P 1 P 4. მას აქვს საერთო ხაზი X 14 სიბრტყეს P 1-თან. ჩვენ ვაშენებთ პროექციას A 4 P 4-ზე.

AA 1 \u003d A 2 A 12 \u003d A 4 A 14.

ნახ. 21, სადაც P 1, P 2 და P 4 სიბრტყეები მოყვანილია გასწორებაში, ეს ფაქტი განისაზღვრება A 1 A 4 X 14 და A 14 A 4 A 2 A 12 შედეგით.

ახალი წერტილის პროექციის მანძილი ახალ პროექციის ღერძამდე (A 4 A 14) უდრის მანძილს შეცვლილი წერტილის პროექციადან შეცვლილ ღერძამდე (A 2 A 12).

აღწერითი გეომეტრიის მეტრიკული ამოცანების დიდი რაოდენობა წყდება შემდეგი ოთხი ამოცანის საფუძველზე:

1. ზოგადი პოზიციის ხაზის ტრანსფორმაცია დონის ხაზად (ნახ. 22):

ა) P 4 || AB (X-ღერძი 14 || A 1 B 1);

ბ) A 1 A 4 X 14; B 1 B 4 X 14;

გ) A 4 A 14 \u003d A 12 A 2;

V 4 V 14 = V 12 V 2;

A 4 B 4 - დღემდე

2. სწორი ხაზის ტრანსფორმაცია ზოგად პოზიციაში პროექციად (ნახ. 23):

ა) P 4 || AB (X 14 || A 1 B 1);

A 1 A 4 X 14;

B 1 B 4 X 14;

A 14 A 4 \u003d A 12 A 2;

14V 4 = 12V 2;

A 4 B 4 - n.v.;

ბ) P 5 AB (X 45 A 4 V 4);

A 4 A 5 X 45;

B 4 B 5 X 45;

A 45 A 5 \u003d B 45 B 5 \u003d A 14 A 1 \u003d B 14 B 1;

3. ზოგადი პოზიციის სიბრტყის გადაქცევა საპროექციო პოზიციად (ნახ. 24):

თვითმფრინავი შეიძლება მიიყვანონ საპროექციო მდგომარეობაში, თუ თვითმფრინავის ერთი სწორი ხაზი დაპროექტებულია. დავხაზოთ ჰორიზონტალური ხაზი (h 2 ,h 1) ABC სიბრტყეში, რომელიც შეიძლება იყოს პროექციული ერთი ტრანსფორმაციისას. დავხატოთ სიბრტყე P 4 ჰორიზონტალურზე პერპენდიკულარული; ის ამ სიბრტყეზე არის დაპროექტებული წერტილით, ხოლო სამკუთხედის სიბრტყე დაპროექტებულია სწორი ხაზით.

4. ზოგადი სიბრტყის ტრანსფორმაცია დონის სიბრტყეში (ნახ. 25).

გააკეთეთ თვითმფრინავი დონის თვითმფრინავად ორი გარდაქმნის გამოყენებით. პირველ რიგში, თვითმფრინავი უნდა გაკეთდეს პროექციული (იხ. სურ. 25), შემდეგ კი P 5 || A 4 B 4 C 4, ვიღებთ A 5 B 5 C 5 - n.v.

დავალება #5

განსაზღვრეთ მანძილი C წერტილიდან სწორ ხაზამდე ზოგად მდგომარეობაში (სურ. 26).

გამოსავალი მოდის მე-2 მთავარ პრობლემამდე. შემდეგ დიაგრამის გასწვრივ მანძილი განისაზღვრება, როგორც მანძილი ორ წერტილს შორის

A 5  B 5  D 5 და C 5.

პროექცია С 4 D 4 || X 45.

დავალება #6

განსაზღვრეთ მანძილი ()D-დან A, B, C წერტილებით მოცემულ სიბრტყემდე (სურ. 27).

პრობლემა მოგვარებულია მე-2 ძირითადი პრობლემის გამოყენებით. მანძილი (E 4 D 4), () D 4-დან A 4 C 4 B 4 სწორ ხაზამდე, რომელშიც ABC იყო დაპროექტებული სიბრტყე, არის ED სეგმენტის ბუნებრივი მნიშვნელობა.

პროექცია D 1 E 1 || X 14;

E 2 E X12 = E 4 E X14.

შექმენით საკუთარი D 1 E 1.

ააშენეთ საკუთარი D 2 E 2.

დავალება #7

განსაზღვრეთ ABC სამკუთხედის რეალური ზომა (იხ. მე-4 ძირითადი ამოცანის ამოხსნა) (სურ. 25)

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პირადი ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და შეტყობინებების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• საჭიროების შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში ან/და საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე. სამთავრობო სააგენტოებირუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

ქოლგები. სეგმენტი KL განსაზღვრავს ორი მოცემული სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის პროგნოზების მიმართულებას.

2.8 წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობა, ორი სიბრტყე

წრფის და სიბრტყის პერპენდიკულარობის და ორი სიბრტყის პერპენდიკულარობის პირობა დაფუძნებულია სწორი კუთხის პროექციის თეორემაზე. თეორემის ადაპტირება მეტრულ ამოცანების გადასაჭრელად წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის დასადგენად, წერტილიდან სწორ ხაზამდე მანძილის დასადგენად ან მოცემული სიბრტყის პარალელურად ასაგებად გარკვეულ მანძილზე, ვაყალიბებთ პერპენდიკულარობის პირობას. ხაზისა და თვითმფრინავის.

ხაზი l (l1 ,l2 ) სიბრტყის პერპენდიკულარულია , თუ იგი პერპენდიკულარულია მოცემულ სიბრტყეს კუთვნილი ორი გადამკვეთი დონის წრფეზე (მაგალითად, ჰორიზონტალური და ფრონტალური).

ლ 1სთ 1

l 2f 2

განვიხილოთ ტიპიური მეტრული ამოცანების ამოხსნის მაგალითები სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის პირობის გამოყენების შესახებ.

მაგალითი 1. განვსაზღვროთ მანძილი N წერტილიდან Q(mIIn) სიბრტყემდე (სურათი 2.35).

პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:

1. გააანალიზეთ პრობლემის მდგომარეობა. (უმოკლესი მანძილი წერტილიდან ხაზამდე განისაზღვრება N წერტილიდან Q სიბრტყემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულურით.)

2. სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულარობის პირობის შესასრულებლად საჭიროა ჯერ სიბრტყეში ჰორიზონტალური h (h 1, h 2 ) და შუბლის f (f 1 , f 2 ) აგება და შემდეგ ააგეთ წრფე l (l 1 , l 2 ) პერპენდიკულარული Q სიბრტყეზე (სურათი 2.35).

ნახაზი 2.35 - სიბრტყის პერპენდიკულარული ხაზი

3. იპოვეთ პერპენდიკულარულის საფუძველი, ე.ი. აგებული ხაზის გადაკვეთის წერტილი l(l 1 , l 2 ) მოცემული სიბრტყით Q. K წერტილის ასაგებად დავასკვნათ, მაგალითად, l 2 წრფის შუბლის პროექცია Σ შუბლის გამომწვევ სიბრტყეში. ორი სიბრტყის გადაკვეთის წრფის შესაბამისი პროექციით (Q∩∑) განვსაზღვრავთ l წრფის გადაკვეთის პროექციებს. განვსაზღვრავთ K1 და K2 წერტილის პროგნოზების პოზიციას.

4. განსაზღვრეთ NK სეგმენტის რეალური ზომა, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა (სურათი 2.36).

ნახაზი 2.36 - წერტილიდან სიბრტყემდე მანძილის პროგნოზები

მაგალითი 2. განსაზღვრეთ მანძილი A წერტილიდან n წრფემდე. პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:

1. პრობლემის პირობების ანალიზი. პრობლემის მდგომარეობის გაანალიზების შემდეგ ვაცხადებთ, რომ უმოკლეს მანძილი წერტილიდან წრფემდე იზომება A წერტილიდან n წრფემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულურით. ვინაიდან მოცემული ხაზი n (n 1 , n2 ) არის ხაზი ზოგად პოზიციაში, მაშინ პრობლემის გადასაჭრელად საჭიროა დამატებითი კონსტრუქციების შესრულება.

2. A(A) წერტილის პროგნოზების მეშვეობით 1 ,А2 ) ვაშენებთ სიბრტყეს Σ (h ∩ f) n წრფეზე პერპენდიკულარული (n1 , n2 ).

3. განსაზღვრეთ მოცემული n(n) წრფის გადაკვეთის წერტილი 1 , n2 ) სიბრტყით Σ (h ∩ f) და იპოვეთ A1 B1 და A2 B2 წრფის სეგმენტის პროგნოზები A წერტილიდან n წრფემდე მანძილის პროექციებად.

4. ჩვენ ვაშენებთ A წერტილიდან n სწორ ხაზამდე მანძილის ბუნებრივ მნიშვნელობას (სურათი 2.37).

სურათი 2.37 - მანძილი A წერტილიდან n სწორ ხაზამდე

მაგალითი 3. ააგეთ Θ სიბრტყე, Σ სიბრტყის პარალელურად (ΔABC), მისგან 25 მმ მანძილზე.

პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი:

1. პრობლემის პირობების ანალიზი. თვითმფრინავი აშენდება თვითმფრინავიდან Σ (ΔABC) 25 მმ მანძილზე. ამიტომ, თქვენ უნდა ააგოთ თვითმფრინავის პერპენდიკულარული.

2. სიბრტყეზე პერპენდიკულარული წრფის ასაგებად სიბრტყეში დავაყენეთ დონის ხაზები - ჰორიზონტალური h(h 1 , h2 ) და შუბლის f(f1 , f2 ) და ააგეთ ხაზი l(l 1 , l 2 ) სიბრტყის პერპენდიკულარულად Σ (ΔАВС) (სურათი 2.38).

ნახაზი 2.38 - L წერტილის პოზიცია

3. იპოვეთ პერპენდიკულარულის ფუძე, ე.ი. წერტილი K (K1, K2) l (l 1, l 2) წრფის გადაკვეთის Σ სიბრტყესთან (ΔABS).

4. აირჩიეთ ონლაინ l(l 1 , l 2 ) თვითნებური წერტილი N(N1 ,N2 ) და განსაზღვრეთ მანძილი არჩეული წერტილიდან სიბრტყემდე (N1 Kº).

5. ჩვენ ვხვდებით სწორ ხაზზე l(l 1 , l 2 ) წერტილის პოზიცია L(L1 , L2 ) სიბრტყიდან 25 მმ დაშორებით.

6. L(L 1 , L2 ) წერტილის გავლით ვაშენებთ სიბრტყეს Θ(m∩n) მოცემული სიბრტყის Σ (ΔАВС) პარალელურად (სურათი 2.39).

ნახაზი 2.39 - სიბრტყე მოცემულის პარალელურად საჭირო მანძილზე

კითხვები თვითკონტროლისთვის თემაზე 2:

1. როგორია წერტილის პოზიცია სწორი ხაზის მიმართ?

2. როდის მიეკუთვნება წერტილი სწორ ხაზს?

3. როგორ შეიძლება სწორი ხაზების განლაგება ერთმანეთთან შედარებით?

4. რა ქულებს უწოდებენ შეჯიბრს?

5. განაგრძეთ წინადადება: მართი კუთხე დაპროექტებულია შუბლის პროექციის სიბრტყეზე დამახინჯების გარეშე, თუ იგი წარმოიქმნება ორი გადამკვეთი სწორი ხაზით, რომელთაგან ერთი არის სწორი ხაზი ზოგად მდგომარეობაში, ხოლო მეორე ...... ..

6. როგორ განვსაზღვროთ ხაზის სეგმენტის ბუნებრივი ზომა ზოგად პოზიციაში?

7. რა პირობაა სწორი ხაზისა და სიბრტყის პერპენდიკულარული?

8. რა პირობაა, რომ ორი სიბრტყე იყოს პერპენდიკულარული?

9. როდის არის წრფე სიბრტყის პარალელურად?

10. როდის არის ორი სიბრტყე პარალელურად?

11. რა პირობაა სწორი ხაზი მიეკუთვნოს სიბრტყეს?

12. როდის მიეკუთვნება წერტილი სიბრტყეს?

13. როგორია სწორი ხაზის სიბრტყეს გადაკვეთის წერტილის პოვნის ალგორითმი?

14. რა არის შუამავლების დამხმარე სიბრტყეების მეთოდის არსი ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზის პოვნისას?

15. რა არის პროექციის თვითმფრინავი?

3 პროექციის კონვერტაცია

3.1 ნახატის კონვერტაციის არსი და ძირითადი გზები

პოზიციური და მეტრიკული ამოცანების ამოხსნა აღწერილ გეომეტრიაში მნიშვნელოვნად გამარტივებულია, თუ სწორი და ბრტყელი ფიგურები იკავებენ სწორი ხაზების და სიბრტყეების, ან სწორი ხაზების და დონის სიბრტყეების პოზიციას.

პრობლემების გადაჭრის გამარტივებისთვის აუცილებელი პირობაა ახალი დამატებითი პროექციების აგება, რაც შესაძლებელს ხდის ცალკეული ელემენტების დეგენერაციული პროგნოზების მიღებას, ან ამ ელემენტების სრული ზომით. დამატებითი პროგნოზების აგებას ნახაზის ტრანსფორმაცია ეწოდება.

კონვერტაცია შეიძლება განხორციელდეს შემდეგი გზებით:

1. საპროექციო სიბრტყეების შეცვლა (ჩანაცვლება) იმ პირობით, რომ მოცემული ობიექტი ან მისი ელემენტები დაიკავებს ერთ-ერთ კონკრეტულ პოზიციას საპროექციო სიბრტყეების ახალ სისტემასთან მიმართებაში;

2. გეომეტრიული ობიექტების როტაცია სივრცეში პროექციის ღერძის გარშემო ისე, რომ ისინი დაიკავონნებისმიერი კონკრეტული პოზიცია პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში.

3. ობიექტის სიბრტყე-პარალელური მოძრაობა, რომლის დროსაც პროექციის ღერძის ირგვლივ ბრუნვის მეთოდით და ობიექტის მოძრაობით მიიღწევა გადასვლა ზოგადი პოზიციიდან კონკრეტული პოზიციის ობიექტზე;

4. გეომეტრიული ობიექტების ბრუნვა სივრცეში დონის ხაზის გარშემო ისე, რომ მათ დაიკავონ ან დონის ხაზის ან დონის სიბრტყის პოზიცია.

3.2 თეორია და ალგორითმები ძირითადი პოზიციური და მეტრიკული ამოცანების ამოხსნისათვის

საპროექციო სიბრტყეების შეცვლის მეთოდის არსი არის საპროექციო სიბრტყეების მოცემული სისტემიდან ახალზე გადასვლა. ამ შემთხვევაში, ხაზის სეგმენტები და ბრტყელი ფიგურები ინარჩუნებენ თავიანთ პოზიციას, ხოლო მათი ახალი პროგნოზები მიიღება დამატებითი პროექციის სიბრტყეების შემოღებით.

საპროექციო სიბრტყეების შეცვლისას აუცილებლად დაცულია ორი საპროექციო სიბრტყის – ახალი და შეუცვლელი – ურთიერთ პერპენდიკულარულობა.

განვიხილოთ საპროექციო სიბრტყეების შეცვლის მექანიზმი წერტილით გარდაქმნის მაგალითის გამოყენებით (სურათი 3.1.).

სურათი 3.1 - P2 პროგნოზების სიბრტყის P4-მდე შეცვლის მექანიზმი

დიაგრამაზე ეს ტრანსფორმაცია ნაჩვენებია ნახატზე 3.2. ჩვენ ვაყენებთ A წერტილის ორ პროექციას (A1, A2) საპროექციო სიბრტყეების სისტემაში P1 და P2. წარმოგიდგენთ თვითმფრინავის P4 პოზიციას. A წერტილის შეუცვლელი პროექციიდან - A1

ვხატავთ საკომუნიკაციო ხაზს P4 სიბრტყის კვალი ხაზის პერპენდიკულარულად. ვინაიდან წერტილის სიმაღლე არ იცვლება საპროექციო სიბრტყეების P1 - P2 სისტემიდან P1 - P4 სიბრტყეების სისტემაში გადასვლისას, ეს სიმაღლე იზომება P2 ველზე და დეპონირებულია P4 ველზე გადაკვეთის ხაზიდან. თვითმფრინავები ახალი საკომუნიკაციო ხაზის მიმართულებით.

სურათი 3.2 - P1 - P2 სისტემიდან P1 - P4-ზე გადასვლის მექანიზმი დიაგრამაზე

ერთ-ერთი საპროექციო სიბრტყის შეცვლა ყოველთვის არ იწვევს პრობლემის საბოლოო გადაწყვეტას, შესაბამისად, ჩვენ თანმიმდევრულად განვიხილავთ საპროექციო სიბრტყეების სისტემიდან P1 - P2 P1 - P4-ზე, შემდეგ კი P4 - P5-ზე გადასვლის მექანიზმს. (სურათი 3. 3).

A წერტილის პროექციის მისაღებად P5 პროგნოზების სიბრტყეზე აუცილებელია წერტილის თანმიმდევრულად გადატანა ჯერ P4 სიბრტყეზე, შემდეგ კი P5 სიბრტყეზე. კონსტრუქციის შესასრულებლად, თვითმფრინავს P2 ვცვლით თვითმფრინავით P4.

სურათი 3.3 - P1 - P2 სისტემიდან P4 - P5-ზე გადასვლის მექანიზმი დიაგრამაზე

A4 წერტილის პროექცია მიიღება შემდეგნაირად: A1 წერტილის შეუცვლელი პროექციიდან ვხატავთ შეერთების ხაზს P1 - P4 სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზზე პერპენდიკულარულად და მისგან გამოვყოფთ შეცვლილი პროექციიდან გაზომილ მანძილს. წერტილი P1 - P2 სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზამდე. საპროექციო სიბრტყეების სისტემაზე გადასვლისას P4 - P5, თვითმფრინავი P1 იცვლება P5-ით. A4 წერტილის შეუცვლელი პროექციიდან ვხატავთ საკომუნიკაციო ხაზს P4 - P5 სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზთან პერპენდიკულარულად. ამ ხაზიდან ჩვენ გადავდებთ A1 წერტილის შეცვლილი პროექციიდან გაზომილ მანძილს P1 - P4 სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზამდე. შედეგად ვაშენებთ A5 წერტილის პროექციას.

ნახატის გარდაქმნის კიდევ ერთი გზა არის ბრუნვის მეთოდი. ის მდგომარეობს იმაში, რომ საპროექციო სიბრტყეების მოცემული სისტემა რჩება უცვლელი და ფიგურა ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო, სანამ არ დაიკავებს კონკრეტულ პოზიციას საპროექციო სიბრტყესთან მიმართებაში, კერძოდ, იგი პარალელურად ან პერპენდიკულარულად ხდება ერთ-ერთი საპროექციო სიბრტყის მიმართ. .

tions. ბრუნვა ხორციელდება პროექციის სიბრტყეების პერპენდიკულარული ან პარალელურად ღერძების გარშემო.

მოდით ვისაუბროთ პროექციის ღერძის გარშემო წერტილოვანი ბრუნვის მექანიზმზე. მიეცით წერტილი A ბრუნავს ჰორიზონტალურად გამომავალი ღერძის ირგვლივ. ამ შემთხვევაში წერტილი აღწერს წრეს, რომლის ცენტრი გადის i ბრუნვის ღერძზე (i 1 ,i 2 ). ბრუნვისას A წერტილის ტრაექტორია არის წრე, რომლის სიბრტყე პარალელურია ჰორიზონტალური პროექციის სიბრტყის პარალელურად (სურათი 3. 4).

სურათი 3. 4 - როტაცია ჰორიზონტალურად გამომავალი ღერძის გარშემო

დიაგრამაზე, წერტილის ბრუნვის პროცესი გამოსახულია შემდეგნაირად. აირჩიეთ i ბრუნვის ღერძი (i1 , i2 ). პროექციების ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე ეს ღერძი დაპროექტებულია i1 წერტილამდე. i1 ცენტრიდან A1 წერტილის პროექცია აღწერს წრეს, რომელიც ბრუნავს ნებისმიერი კუთხით, სანამ არ დაიკავებს A1 პოზიციებს. A2 წერტილის შუბლის პროექცია შემდეგ ჰორიზონტალური სწორი ხაზის გასწვრივ გადადის A2 წერტილის ახალ პოზიციამდე. .

ამრიგად, ჰორიზონტალურის გარშემო ბრუნვისას

საპროექციო ღერძი, წერტილის ჰორიზონტალური პროექცია მოძრაობს წრის გასწვრივ, ხოლო შუბლის პროექცია მოძრაობს სწორი ხაზის გასწვრივ ბრუნვის ღერძის პროექციის პერპენდიკულარულად (სურათი 3.5).

სურათი 3.5 - ბრუნვის ალგორითმი ჰორიზონტალურად გამომავალი ღერძის გარშემო

როდესაც წერტილი ბრუნავს ფრონტალურად გამომავალი ღერძის გარშემო, წერტილი აღწერს ტრაექტორიას წრის სახით, რომლის სიბრტყე პარალელურია შუბლის პროექციის სიბრტყის პარალელურად (სურათი 3. 6).

სურათი 3.6 - როტაცია წინა საპროექტო ღერძის გარშემო

ფრონტალურად გამოსახული სწორი ხაზის გარშემო ბრუნვისას, წერტილის შუბლის პროექცია აღწერს წრეს, ხოლო ჰორიზონტალური მოძრაობს სწორი ხაზის გასწვრივ ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულად. ფრონტალურად გამომავალი ღერძის გარშემო წერტილის ბრუნვის ალგორითმი ნაჩვენებია სურათზე 3.7.

ნახაზი 3.7 - წინა საპროექტო ღერძის გარშემო ბრუნვის ალგორითმი

3.3. საპროექციო სიბრტყეების შეცვლის მეთოდი. ძირითადი ამოცანების გადაწყვეტა

არ აქვს მნიშვნელობა, თუ როგორ გადაკეთდება ნახაზი, კონვერტაციის ძირითადი ამოცანები შეიძლება შემცირდეს შემდეგზე:

1. ტრანსფორმაცია, რომელშიც ზოგადი სწორი ხაზი ხდება დონის სწორი ხაზი.

2. ტრანსფორმაცია, რომელშიც დონის ხაზი ხდება საპროექციო ხაზი.

3. ტრანსფორმაცია, რომელშიც ზოგადი სიბრტყე ხდება პროექციის სიბრტყე.

4. ტრანსფორმაცია, რომლის დროსაც პროექციის სიბრტყე ხდება დონის სიბრტყე.

განვიხილოთ ნახატის გარდაქმნის ძირითადი ამოცანების ამოხსნა პროექციის სიბრტყეების შეცვლით.

იმისათვის, რომ ზოგადი პოზიციის ხაზი იყოს დონის ხაზი, აუცილებელია შემოიღოთ ახალი საპროექციო სიბრტყე П4, რომელიც იქნება მის პარალელურად. შევცვალოთ, მაგალითად, თვითმფრინავი P2 სიბრტყით P4 (სურათი 3.8).

თვითმფრინავი P4 მდებარეობს A1 B1 სწორი ხაზის სეგმენტის შეუცვლელი პროექციის პარალელურად. A4 B4 ხაზის სეგმენტის შედეგად მიღებული პროექცია არის დონის ხაზი, შესაბამისად, ეს პროექცია არის სეგმენტის ბუნებრივი ზომა. ამ პრობლემის გადაწყვეტა საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ სწორი ხაზის AB სეგმენტის დახრილობის კუთხე ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე -α.

სურათი 3.8 - ზოგადი პოზიციის ხაზის ტრანსფორმაცია დონის ხაზად

იმისთვის, რომ სწორი დონის ხაზი გახდეს პროექციული (ანუ პროექციული სიბრტყეზე წერტილის მიხედვით), ახალი პროექციის სიბრტყე უნდა იყოს მასზე პერპენდიკულარული.

კომპლექსურ ნახაზში პერპენდიკულურობა შენარჩუნებულია მხოლოდ დონის ხაზთან. ამიტომ, ახალი პროექციის სიბრტყე P4 არჩეულია დონის ხაზის შესაბამისი პროექციის პერპენდიკულურად, ე.ი. AB სეგმენტის ბუნებრივ ზომამდე (სურათი 3.9).

სურათი 3.9 - პირდაპირი დონის გადაქცევა საპროექციო დონეზე

იმისათვის, რომ სიბრტყე ზოგად მდგომარეობაში იყოს პროექციული, აუცილებელია, რომ საპროექციო სიბრტყეების ახალი სისტემა იყოს მასზე პერპენდიკულარული. სიბრტყე პერპენდიკულარული იქნება მოცემულ სიბრტყეზე, თუ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყის რომელიმე დონის წრფეზე. ამიტომ ახალი თვითმფრინავის P4-ის პოზიციის ასარჩევად აუცილებელია გადაწყვიტოს რომელი საპროექციო თვითმფრინავი შეიცვლება. მაგალითად, შევცვალოთ P2 სიბრტყე P4 სიბრტყით (სურათი 3.10). ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეში ჰორიზონტალური დაპროექტებულია დამახინჯების გარეშე.

ჰორიზონტალური h1-ის ქოლგის პროექცია, ამიტომ ვაშენებთ თვითმფრინავს P4 მასზე პერპენდიკულურად.

თვითმფრინავ P4-ზე სამკუთხედი ABC იკავებს საპროექციო პოზიციას

სურათი 3.10 - ზოგადი პოზიციის სიბრტყის ტრანსფორმაცია საპროექციო სიბრტყედ

იმისათვის, რომ მოცემული სიბრტყე აღმოჩნდეს დონის სიბრტყე, აუცილებელია P4 სიბრტყის მოთავსება მის პარალელურად (სურათი 3.11).

სურათი 3.11 - საპროექციო სიბრტყის ტრანსფორმაცია დონის სიბრტყეში

ზოგადი პოზიციის სიბრტყე დონის სიბრტყედ გადასაყვანად აუცილებელია ორი გარდაქმნის შესრულება: ჯერ ზოგადი პოზიციის სიბრტყის გადაქცევა საპროექციო სიბრტყედ, შემდეგ კი სხვა სიბრტყის П5 შემოღებით, საპროექტო სიბრტყის გადაქცევა დონის სიბრტყედ. .

3.4 საპროექციო ღერძის გარშემო ბრუნვის მეთოდი. ძირითადი ამოცანების გადაწყვეტა

დავალება 1. ზოგადი პოზიციის ხაზი დონის ხაზად გარდაქმნა

პრობლემის გადასაჭრელად აუცილებელია ბრუნვის ღერძის პოზიციის არჩევა. მოდი, მაგალითად, ბრუნვის ღერძად ავირჩიოთ ჰორიზონტალურად გამომავალი ხაზი. ამ შემთხვევაში, როტაცია განხორციელდება ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეში. სწორი ხაზის ბრუნვის კუთხე განისაზღვრება პრობლემის მდგომარეობით: სწორი ხაზი უნდა შემობრუნდეს დონის ხაზის პოზიციაზე, ამ შემთხვევაში, შუბლის დონის ხაზის პოზიციაზე (სურათი 3.12).

სურათი 3.12 - ზოგადი პოზიციის ხაზის ტრანსფორმაცია დონის ხაზად ბრუნვით

ამოცანა 2. დონის ხაზის გადაქცევა საპროექციო ხაზად.

ბრუნვის შესრულებისას უნდა აირჩიოთ ბრუნის ღერძის პოზიცია. ამ შემთხვევაში ბრუნვის ღერძად უნდა შეირჩეს ჰორიზონტალურად გამომავალი ღერძი და განისაზღვროს სწორი ხაზის ბრუნვის კუთხე. ბრუნვის კუთხე განისაზღვრება პრობლემის მდგომარეობით (სურათი 3.13).

ნახაზი 3.13 - დონის ხაზის გადაქცევა საპროექციო ხაზად ბრუნვის მეთოდით

დავალება 3. ზოგადი პოზიციის სიბრტყის გადაქცევა პროექტად

პრობლემის გადაწყვეტა იწყება ბრუნვის ღერძის არჩევით. მოდი, მაგალითად, ბრუნვის ღერძად ავირჩიოთ ჰორიზონტალურად გამომავალი ხაზი. ამ შემთხვევაში როტაცია უნდა განხორციელდეს ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეში. სამკუთხედის სიბრტყის ბრუნვის კუთხე ჰორიზონტალურად გამომავალი ღერძის ირგვლივ დააყენებს მოცემულ სიბრტყეში მყოფი ჰორიზონტალური პროექციის (სურათი 3.14).

სურათი 3.14 - ზოგადი პოზიციის სიბრტყის გადაქცევა პროექციულ სიბრტყეში ბრუნვის მეთოდით

დავალება 4. საპროექტო სიბრტყის გადაყვანა დონის სიბრტყეზე.

მოდით ავირჩიოთ ბრუნვის ღერძის პოზიცია. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა აირჩიოთ ბრუნვის ჰორიზონტალურად გამოსახული ღერძი. ობიექტის ბრუნვის კუთხე განსაზღვრავს მითითებული სიბრტყის ბრუნვას დონის შუბლის სიბრტყის პოზიციამდე (სურათი 3.15).

სურათი 3.15 - საპროექტო სიბრტყის ტრანსფორმაცია დონის სიბრტყედ ბრუნვის მეთოდით

3.5 სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის მეთოდი

სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის მეთოდი შედგება იმაში, რომ საპროექციო სიბრტყეები რჩება უცვლელი და ობიექტი ბრუნავს საპროექციო ღერძის გარშემო, სანამ არ დაიკავებს კონკრეტულ პოზიციას პროექციის სიბრტყეებთან მიმართებაში და გადაადგილდება. ამოცანების პირობებიდან გამომდინარე, ობიექტი უნდა გარდაიქმნას ისე, რომ იგი განლაგდეს პროექციის სიბრტყეების პერპენდიკულარულად ან პარალელურად.

ამოცანა 1. ზოგადი სიბრტყის გარდაქმნა დონის სიბრტყედ.

ნახაზი 3.16 - სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის მეთოდი

კითხვები თვითკონტროლისთვის 3 თემაზე:

1. რა არის საპროექციო სიბრტყეების შეცვლის მეთოდის არსი?

2. შეიძლება თუ არა ზოგადი ხაზი გარდაიქმნას დონის ხაზად ერთი ტრანსფორმაციის გამოყენებით?

3. როგორ არის არჩეული პროექციის მიმართულება ზოგადი სიბრტყის საპროექციო სიბრტყედ გადასაქცევად?

4. რა განსხვავებაა საპროექციო სიბრტყეების შეცვლის მეთოდსა და სიბრტყე-პარალელური მოძრაობის მეთოდს შორის?

5. რამდენჯერ უნდა შეცვალოს ხაზმა საერთო პოზიციაზე თავისი პოზიცია საპროექციო სიბრტყეებთან П 1 , P2 რომ გახდეს წინაპროექტირების სწორი ხაზი?

6. რა არის საპროექტო ხაზის გარშემო ბრუნვის მეთოდის არსი?

4 პოლიჰედა

4.1 ზოგადი ინფორმაცია პოლიედრების შესახებ. პოლიედრების დაზუსტება მრავალ ნახატში

პოლიედრა, რომელიც წარმოადგენს უმარტივეს გეომეტრიულ ფორმებს, ფუნდამენტურია საინჟინრო სტრუქტურების დიზაინში. მრავალწახნაგოვანი ფორმები ფართოდ გამოიყენება ტექნიკაში მანქანების ნაწილებისა და მექანიზმების დიზაინში, ასევე სხვადასხვა არქიტექტურულ ნაგებობებში.

ყველაზე დიდი პრაქტიკული ინტერესია პრიზმები, პირამიდები და ამოზნექილი ერთგვაროვანი პოლიედრები, რომელთა ყველა სახე არის რეგულარული და თანაბარი მრავალკუთხედი - პლატონის მყარი (ტეტრაედონი - 4, რვააედონი - 8, იკოსაედონი - 20 რეგულარული სამკუთხედი; ჰექსაედონი (კუბი - 6 რეგულარული მართკუთხედი); დოდეკაედონი - 12 რეგულარული ხუთკუთხედი). მრავალედრონს ეწოდება ამოზნექილი, თუ იგი მდებარეობს მისი რომელიმე სახის სიბრტყის ერთ მხარეს.

მრავალკუთხედი არის სხეული, რომელიც შემოსაზღვრულია ბრტყელი მრავალკუთხედებით. ამ მრავალკუთხედებს ე.წკიდეები (სურათი 4.1).

სურათი 4.1 - პოლიედრების მაგალითები

პოლიედრონის ყველა სახის მთლიანობას მის ზედაპირს უწოდებენ

სახეები იკვეთება სწორი ხაზების გასწვრივ, რომელსაც კიდეები ეწოდება. კიდეები იკვეთება წერტილებში, რომელსაც წვეროები ეწოდება.

პოლიედრების ნახატები უნდა იყოს შექცევადი. ამის მიღწევა შესაძლებელია, თუ დაკმაყოფილებულია პროგნოზებში პოლიედრონის კიდეების ადგილმდებარეობის გარკვეული პირობები.

ნახატზე პოლიედრები გამოსახულია მათი წვეროებისა და კიდეების პროექციის სახით. სურათზე 4.2 მოცემულია სწორი ოთხკუთხა პრიზმა ABCDKLMN და სამკუთხა პირამიდა SABC. პრიზმას ეწოდება სწორი, თუ მისი გვერდითი მხარეები და კიდეები ფუძის პერპენდიკულარულია. მართ პრიზმას ეწოდება რეგულარული, თუ მისი ფუძე არის რეგულარული მრავალკუთხედი.

ნახაზი 4.2 - დიაგრამაზე პოლიედრების დაზუსტება

4.2 პოლიედრების გადაკვეთა სიბრტყისა და სწორი ხაზით

პოლიედრონის სიბრტყესთან გადაკვეთის ხაზი არის ბრტყელი მრავალკუთხედი (სურათი 4.3).

ნახაზი 4.3 - პოლიედრონის გადაკვეთა სიბრტყით

სიბრტყით პოლიედრონის მოჭრილი ხაზი შეიძლება აშენდეს ორი გზით.

პირველი გზა. იპოვეთ სასურველი მრავალკუთხედის წვეროები პოლიედონის კიდეების ჭრის სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგად.

მეორე გზა. იპოვეთ სასურველი მრავალკუთხედის გვერდები მრავალწახნაგების კვეთის სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგად.

პირველ შემთხვევაში არაერთხელ უნდა გადაჭრას სიბრტყესთან სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილის აგების პრობლემა, მეორე შემთხვევაში ორი სიბრტყის გადაკვეთის წრფის აგების პრობლემა. იმ შემთხვევებში, როდესაც ჭრის სიბრტყე ან ზედაპირი კონკრეტულ მდგომარეობაშია, ამოცანა მნიშვნელოვნად გამარტივებულია, რადგან ერთ-ერთ საპროექციო სიბრტყეზე მონაკვეთის ხაზის პროექცია დაემთხვევა ან ჭრის სიბრტყის პროექციას (სურათი 4.4), ან პოლიედრონის ზედაპირის დეგენერაციული პროექცია (სურათი 4.5).

სამკუთხა პირამიდის გადაკვეთის ხაზის ასაგებად ფრონტალურად გამომავალი სიბრტყით, საჭიროა ვიპოვოთ SABC პირამიდის ყოველი კიდის გადაკვეთის წერტილები შუბლზე გამომავალი სიბრტყით ∑. კონსტრუქციის შედეგად ვიღებთ სამკუთხედს DFE. თუ ზოგადი ზედაპირი იკვეთება ფრონტალურად გამომავალი სიბრტყით, მაშინ მონაკვეთის ხაზის (სამკუთხედის) შუბლის პროექცია დაემთხვევა საჭრელი სიბრტყის შუბლის პროექციას ∑2. მონაკვეთის ხაზის წვეროების ფრონტალური პროექციები (D2, F2, E2) განისაზღვრება, როგორც პირამიდის თითოეული კიდის კვეთის სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგი. წერტილების, რომლებიც განსაზღვრავენ მონაკვეთის ხაზს პროექციების ჰორიზონტალურ სიბრტყეზე შესაბამისი კიდეების პროგნოზებზე, ვიღებთ სასურველი მონაკვეთის ხაზის ჰორიზონტალურ პროექციას (D1, F1, E1).

სურათი 4.4 - პირამიდის გადაკვეთა პროექციის სიბრტყით

სწორი პრიზმის ABCD მონაკვეთის ასაგებად ზოგადი სიბრტყით Q(a||b), თქვენ უნდა ააგოთ საჭირო მრავალკუთხედის გვერდები.

KLMN მრავალედრონის სახეების Q(a||b) სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგად (სურათი 4.5). ამისათვის ჩვენ ვხატავთ დამხმარე საჭრელ სიბრტყეს Θ B1 C1 სახის პროექციის მეშვეობით. ეს სიბრტყე გადაკვეთს მოცემულ სიბრტყეს Q(a||b) 11, 21 წერტილებზე გამავალი სწორი ხაზის გასწვრივ. ჩვენ ვაშენებთ ორი სიბრტყის მონაკვეთის ხაზის პროექციას პროექციების ფრონტალურ სიბრტყეში (12, 22) და ვპოულობთ ამ სეგმენტის გადაკვეთის წერტილებს B და C - L და M კიდეებთან. ანალოგიურად, ჩვენ ვაშენებთ გადაკვეთის ხაზს. სახე AD სიბრტყით Q - სეგმენტი KN. პროექციების ფრონტალურ სიბრტყეში ვუკავშირდებით K2 L2 M2 N2 მრავალკუთხედის სეგმენტების პროგნოზებს, სახეების ხილვადობის გათვალისწინებით.

– სეგმენტის პროექცია ჩანს, თუ სახე ჩანს მოცემულ პროექციაში, არ ჩანს – თუ სახის პროექცია არ ჩანს. გარდა ამისა, აუცილებელია პრიზმისა და ჭრის სიბრტყის კიდეების ურთიერთხილვადობის დადგენა.

ნახაზი 4.5 - საპროექტო პრიზმის გადაკვეთა ზოგადი პოზიციის სიბრტყით

განვიხილოთ პირამიდის მონაკვეთის აგება ზოგადი პოზიციის სიბრტყით (სურათი 4.6).

სურათი 4.6 - პირამიდის გადაკვეთა სიბრტყით ზოგად პოზიციაზე

გადაკვეთის ხაზის ასაგებად კვეთის წვეროებს განვსაზღვრავთ, როგორც პირამიდის თითოეული კიდის გადაკვეთის შედეგი ∑(a||b) ზოგადი პოზიციის სიბრტყესთან. SA კიდის გადაკვეთის წერტილის ∑(a||b) სიბრტყესთან გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად საჭიროა კიდე ჩავსვათ სეკანტურ სიბრტყეში Q და ვიპოვოთ ორი სიბრტყის გადაკვეთის ხაზი Q და ∑ - სეგმენტი 12. 22 ;11 21 . წვერო K აგებულია SA კიდეების პროექციების შესაბამისი პროექციების და სეგმენტის 1,2 გადაკვეთების შედეგად. L და N წვეროები გვხვდება იგივე ალგორითმის მიხედვით, როგორც SB და SC კიდეების ∑(a||b) სიბრტყესთან გადაკვეთის შედეგები.

ამოცანების განსაზღვრამრავალედრონის სწორ ხაზთან გადაკვეთის წერტილები გადაწყვეტილია დამხმარე ჭრის თვითმფრინავების მეთოდის საფუძველზე. ამ შემთხვევაში, მოცემული სწორი ხაზის ერთ-ერთი პროექცია ჩასმულია პროექციულ სეკანტურ სიბრტყეში. იპოვეთ დამხმარე გადაკვეთის ხაზი

ჭრის თვითმფრინავი პოლიედრონით. სწორი ხაზის პოლიედრონთან გადაკვეთის წერტილების პროექციები გვხვდება აგებული მონაკვეთის ხაზის გადაკვეთის და მოცემული სწორი ხაზის სხვა პროექციის და შემდგომში მათი პოზიციის განსაზღვრის შედეგად ორივე საპროექციო სიბრტყეში. იპოვეთ პირამიდის გადაკვეთის წერტილები სწორ ხაზთან ზოგად მდგომარეობაში (სურათი 4.7).

სურათი 4.7 - სწორი ხაზის გადაკვეთა პირამიდასთან

მოდით დავასკვნათ, მაგალითად, მოცემული l 2 სწორი ხაზის შუბლის პროექცია ფრონტალურად გამომავალ სიბრტყეში Q2 და ავაშენოთ პირამიდის მონაკვეთის ხაზი ამ სიბრტყით. ჩვენ ვაშენებთ პირამიდის გადაკვეთის წერტილებს l წრფესთან, მონაკვეთის სამკუთხედის გადაკვეთის შედეგად ჯერ l 1 - K1 და L1 წრფის ჰორიზონტალური პროექციით, შემდეგ კი ვიღებთ მათ შუბლის პროგნოზებს (K2, L2).

განვსაზღვროთ l (l 1 ,l 2 ) წრფის ურთიერთ ხილვადობა SABC პირამიდასთან. ხაზებთან პოლიედრების გადაკვეთის წერტილების განსაზღვრის ამოცანები გამარტივებულია, თუ რომელიმე ელემენტი კონკრეტულ მდგომარეობაშია.

მაგალითად, პროექციის პრიზმით წრფის გადაკვეთის წერტილების განსაზღვრისას, პრობლემა მცირდება პრიზმის სახეების დეგენერაციული პროექციებით წრფის გადაკვეთის წერტილების განსაზღვრაზე (სურათი 4.8).

სურათი 4.8 - სწორი ხაზის გადაკვეთა სწორ პრიზმასთან

პირამიდის საპროექციო ხაზთან გადაკვეთის წერტილების პოვნისას სწორი ხაზის გადაგვარებულ პროექციაზე დგინდება გადაკვეთის წერტილების ჰორიზონტალური პროექცია (K1, N1), შემდეგ კი მათი შუბლის პროექციები ხაზდება (K2, N2) და დადგენილია მათი ურთიერთ ხილვადობა (სურათი 4.9).

სურათი 4.9 - პირამიდის გადაკვეთა პროექციულ ხაზთან

4.3 პოლიედრების დეველოპერების მშენებლობა

თუ ზედაპირებს ენიჭებათ მოქნილობისა და გაჭიმვის თვისებები, მაშინ ზოგიერთი მათგანი შეიძლება გაერთიანდეს სიბრტყესთან ნაკეცებისა და რღვევების წარმოქმნის გარეშე, ანუ ზედაპირის განვითარების მისაღებად.

პოლიედრონის განვითარება არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც მიიღება პოლიედრონის ყველა სახის გაერთიანებით ერთი სიბრტყით გარკვეული თანმიმდევრობით.

პრიზმის ან პირამიდის განვითარების ასაგებად აუცილებელია მათი კიდეების და ფუძის რეალური ზომის დადგენა და შემდეგ ზედაპირების განვითარების აწყობა (სურათები 4.10 და 4.11).

პირამიდის განვითარების კონსტრუქცია მცირდება სამკუთხედების ბუნებრივი ზომის განმეორებით აგებამდე, რომელიც ზღუდავს მის ზედაპირს.

მოდით ავაშენოთ სამკუთხა პირამიდის სრული განვითარება (სურათი 4.10). ამისათვის ჩვენ განვსაზღვრავთ თითოეული კიდის რეალურ ზომას მართკუთხა სამკუთხედის მეთოდის გამოყენებით. ზღვარი SC არის დონის წინა ხაზი, ამიტომ მისი პროექცია S2 C2 ბუნებრივია. პირამიდის ფუძე არის ჰორიზონტალური დონის სიბრტყე, ამიტომ სამკუთხედის ABC ჰორიზონტალური პროექცია ბუნებრივი მნიშვნელობაა.

სურათი 4.10 - პირამიდის განვითარება

დახრილი პრიზმების სკანირების აგება მცირდება პოლიედრონის სახეების ბუნებრივი მნიშვნელობების აგებამდე. ეს შენობები შეიძლება გაკეთდეს შემდეგი გზით:

1. ნორმალური მონაკვეთის მეთოდი, რომელშიც თითოეული სახის სიგანე განისაზღვრება პრიზმის კიდეებზე პერპენდიკულარული საჭრელი სიბრტყის გამოყენებით;

2. მოძრავი მეთოდი, რომელიც ეფუძნება პრიზმის ყველა სახის სიბრტყეს თანმიმდევრულ კომბინაციას დონის ხაზის გარშემო ბრუნვის გზით;

3. სამკუთხედის მეთოდი, რომელიც დაფუძნებულია რომბების დიაგონალებით სამკუთხედებად დაყოფაზე და სამკუთხედების გვერდების ბუნებრივი მნიშვნელობების განსაზღვრაზე.

მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ ნორმალური მონაკვეთის მეთოდის არსის გათვალისწინებაზე. მოდით დავაყენოთ პრიზმის პოზიცია ისე, რომ მისი კიდეები იყოს, მაგალითად, წინა მხარეების პოზიციაზე (სურათი 4.11).

სურათი 4.11 - პრიზმის სკანირება ნორმალური მონაკვეთის მეთოდით

მოცემული პრიზმა გადავკვეთოთ პრიზმის კიდეებზე პერპენდიკულარულ დამხმარე სიბრტყეს, ე.ი. განსაზღვრეთ პრიზმის თითოეული სახის სიგანე. მოდით განვსაზღვროთ ამ ნორმალური მონაკვეთის ბუნებრივი მნიშვნელობა და ავაშენოთ პრიზმის ზედაპირის განვითარება. დეველოპმენტის კონსტრუქცია იწყება ჰორიზონტალური ხაზის აგებით, რომელზედაც ჩვენ გამოვყოფთ სეგმენტებს, რომლებიც განსაზღვრავენ თითოეული სახის სიგანეს მისი ნორმალური მონაკვეთის გასწვრივ.

წერტილების მეშვეობით, რომლებიც განსაზღვრავენ სეგმენტების სიგრძეს, ვხატავთ მათზე პერპენდიკულარულ ხაზებს, რომლებზეც გამოვსახავთ მონაკვეთის ხაზსა და პრიზმის ფუძეებს შორის ჩასმული ნეკნების მონაკვეთების სიგრძეებს.

პრიზმის გვერდითი ზედაპირის განვითარება მიიღება აგებული სეგმენტების ბოლოების სწორი ხაზებით შეერთების შემდეგ. პრიზმის სრული გაწმენდისთვის აუცილებელია პრიზმის საფუძვლების ბუნებრივი მნიშვნელობების დასრულება.

4.4 პოლიედრების ურთიერთგადაკვეთა

ორი პოლიედრის გადაკვეთის შედეგი არის სამგანზომილებიანი დახურული გატეხილი ხაზი, რომელიც გადის ორივე პოლიედრის გვერდითი ზედაპირის გასწვრივ.

მისი რგოლები განისაზღვრება, როგორც ერთი მრავალწახნაგების სახეების გადაკვეთის შედეგი მეორის სახეებთან, ხოლო წვეროები განისაზღვრება, როგორც თითოეული მრავალწახნაგების კიდეების გადაკვეთის წერტილები მეორის სახეებთან. ამრიგად, ორი პოლიედრის ურთიერთგადაკვეთის ხაზის აგების პრობლემა შეიძლება დაიყვანოს ორი სიბრტყის გადაკვეთის პრობლემის გადაწყვეტამდე, ან სიბრტყესთან წრფის გადაკვეთაზე.

პოლიედრების გადაკვეთის ხაზი შეიძლება დაიყოს ორ ან მეტ ტოტად, რომლებიც შეიძლება იყოს დახურული სივრცითი გატეხილი ხაზები ან ბრტყელი პოლიგონები. გადაკვეთის ხაზი შეიძლება იყოს ორივე გადაკვეთის ზედაპირის პროგნოზების საერთო ნაწილში.

მოდით ავაშენოთ KLMN პრიზმის გადაკვეთის ხაზი SABC პირამიდასთან.

გადაკვეთის ხაზის ასაგებად, ჯერ ვპოულობთ გადაკვეთის წერტილებს, მაგალითად, პრიზმის კიდეებს პირამიდის სახეებთან (სურათი 4.12). ნახაზიდან ჩანს, რომ კიდეები M, N, L არის ორი პოლიედრის გადახურვის არეალის გარეთ, შესაბამისად, ისინი არ იკვეთება პირამიდასთან. ზღვარი K მდებარეობს პირამიდის CSA და CSB პირამიდის ორი სახის პროგნოზების სუპერპოზიციის მიდამოში (განსაზღვრულია C1 S1 A1 და C1 S1 B1 სახეების ჰორიზონტალური პროექციებით და K1 კიდეები), ასე რომ, ჩვენ განვსაზღვრავთ. K კიდის გადაკვეთის წერტილები ამ სახეებთან.

სურათი 4.12 - პრიზმის კიდეების გადაკვეთის წერტილების პოვნა პირამიდის სახეებთან

კონსტრუქციისთვის გამოვიყენებთ დამხმარე სწორ ხაზებს (S1 11 , S1 21 ), რომლებსაც ვხატავთ CSB და CSA სახეებზე K კიდეების გადაკვეთის წერტილების პროგნოზების საშუალებით - 3 და 4 წერტილებთან (პირველ რიგში ვადგენთ მათ. ჰორიზონტალური პროგნოზები 31 და 41). ავაშენოთ მე-3 და მე-4 წერტილების ფრონტალური პროექციები K2 კიდის პროექციების გადაკვეთაზე დამხმარე ხაზების S2 12, S2 22 პროექციებთან.

ჩვენ ვპოულობთ პირამიდის კიდეების გადაკვეთის წერტილებს პრიზმის სახეებთან. ჩვენ დავიწყებთ ამ წერტილების აგებას პროექციების ჰორიზონტალური სიბრტყიდან, რადგან პრიზმა იკავებს ჰორიზონტალურად პროექციის პოზიციას. S1 A1 კიდის პროექცია კვეთს პრიზმის K1 L1 და L1 N1 ორ სახეს 51 და 61 წერტილებზე. მოდით გავაპროექტოთ ეს წერტილები პროგნოზების შუბლის სიბრტყეში S2 B2 კიდის პროექციაზე და ავაშენოთ პროექციები 52 და 62 .

ანალოგიურად კამათით, ჩვენ ვაშენებთ SA და SC კიდეების გადაკვეთის წერტილების პროგნოზებს KL, KN და KM (7,8, 9, 10) პრიზმების სახეებთან (სურათი 4.13).

სურათი 4.13 - პირამიდის კიდეების გადაკვეთის წერტილების პოვნა პრიზმის სახეებთან

თანმიმდევრულად დააკავშირეთ გადაკვეთის წერტილების პროგნოზები სწორი ხაზების სეგმენტებით, რომლებიც ერთდროულად მიეკუთვნებიან პრიზმისა და პირამიდის სახეებს. მაგალითად, 7- 5 - 4 - 9 - 3 - 7 წერტილების პროგნოზები დაკავშირებულია სერიულად, აკავშირებს ორი პოლიედრის გადაკვეთის ხაზის სეგმენტებს შესასვლელში და 8, 6 და 10 წერტილებს გასასვლელში. ორი პოლიედრა.

მშენებლობის ბოლო ეტაპი არის აშენებული გადაკვეთის ხაზის მონაკვეთების ხილვადობის განსაზღვრა. გადაკვეთის ხაზის სეგმენტის პროექცია ითვლება ხილვად, თუ სეგმენტი არის პირამიდის სახისა და პრიზმის სახის ხილულ პროგნოზებში. თუ სახეების ერთ-ერთი პროექცია მაინც არ ჩანს, მაშინ გადაკვეთის ხაზის განხილული მონაკვეთის პროექცია არ ჩანს. მოდით დავაკავშიროთ გადაკვეთის ხაზის მონაკვეთები და გავავლოთ ნახატი, სახეების ხილვადობის გათვალისწინებით (სურათი 4.14).

ნახაზი 4.14 - პოლიედრების ურთიერთგადაკვეთა

კითხვები თვითკონტროლისთვის 4 თემაზე:

1. რა არის პოლიედონი?

2. რა განსაზღვრავს პოლიედრონის ზედაპირს რთულ ნახაზში?

3. რა მეთოდები გამოიყენება სიბრტყით პოლიედრონის მონაკვეთის ასაგებად?

4. როგორ აგებულია შესვლისა და გასასვლელი წერტილები, როდესაც პოლიედონი კვეთს სწორ ხაზს?

5. რაში მდგომარეობს ნორმალური კვეთის მეთოდის არსი პრიზმის გადახვევის აგებისას?

6. რა მეთოდი გამოიყენება პირამიდის გაწმენდის ასაგებად?

5 მოსახვევები და ზედაპირები

5.1 მრუდი ხაზები

მრუდი ხაზები გამოიყენება სხვადასხვა ზედაპირის დიზაინში, მანქანებისა და მექანიზმების თეორიაში, ბიზნესის მოდელირებასა და მარკირებაში, მრავალკომპონენტიანი სისტემების მდგომარეობის დიაგრამების მშენებლობაში.

მრუდი ხაზი არის სივრცეში მოძრავი წერტილის თანმიმდევრული პოზიციების ერთობლიობა.

მრუდე ხაზებს, რომელთა ყველა წერტილს ეკუთვნის ერთი და იგივე სიბრტყე, ეწოდება ბრტყელი, მაგალითად, სწორი ხაზი, წრე, ელიფსი, პარაბოლა, ჰიპერბოლა, სინუსოიდი, ერთი ცვლადის ფუნქციების გრაფიკები, განტოლებების გრაფიკები ორი უცნობი, სხვა მრუდი ხაზები - სივრცითიმაგალითად, სპირალური ხაზები.

თითოეული მრუდი მოიცავს გეომეტრიულ ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მის განმსაზღვრელს, ე.ი. დამოუკიდებელი პირობების ერთობლიობა, რომელიც ცალსახად განსაზღვრავს ამ მრუდს.

მრუდების განსაზღვრის შემდეგი გზები არსებობს:

1. ანალიტიკური - მრუდი მოცემულია მათემატიკური განტოლებით;

2. გრაფიკული - მრუდი დაყენებულია მხოლოდ გრაფიკულად;

3. ტაბულური - მრუდი მითითებულია მისი წერტილების თანმიმდევრული სერიის კოორდინატებით.

ნებისმიერი მრუდი ხაზის მიღება შესაძლებელია სივრცეში წერტილის გადაადგილებით, სიბრტყით მრუდი ზედაპირების გადაკვეთის შედეგად და ზედაპირების ურთიერთგადაკვეთის შედეგად, რომელთაგან ერთი მაინც არის მრუდი.

ბრტყელი მრუდი ხაზის წერტილები იყოფა ჩვეულებრივ (ტანგენსტური წერტილი A) და სპეციალურად (შებრუნების წერტილი B - გადახრის წერტილში, მრუდი ცვლის ნიშანს - დან.

ამ წერტილის ერთ მხარეს, მრუდი ამოზნექილია, მეორეზე - ჩაზნექილი; კუსპები C - 1-ლი სახის კუსპები (ციკლოიდის F წერტილი ეხება 1-ლი სახის კუსპებს), D - მე-2 სახის კუსპები; წერტილი E არის სტროფოიდის ორმაგი წერტილი, ამ დროს მრუდს აქვს ორი განსხვავებული ტანგენსი m1 და m2) (სურათი 5.1).

სურათი 5.1 - მრუდის ჩვეულებრივი და ცალკეული წერტილები

რეგულარული მრუდი ხაზები იყოფა ალგებრულად (წრე, პარაბოლა) და ტრანსცენდენტურად (სინუსოიდი).

ბრტყელი მრუდი ხაზის შესწავლისას ხშირად ხდება მისი რიგის დადგენა. ბრტყელი მრუდი ხაზის რიგი განისაზღვრება სწორ ხაზთან მისი გადაკვეთის წერტილების უდიდესი რაოდენობით ან მისი განტოლების ხარისხით. პირველი რიგის ხაზი არის სწორი ხაზი. მეორე რიგის მრუდი ხაზები - ელიფსი (მისი განსაკუთრებული ფორმაა წრე), პარაბოლა, ჰიპერბოლა.

წრე არის დახურული მრუდი, რომლის ყველა წერტილი ერთსა და იმავე მანძილზეა ამ სიბრტყეში მდებარე რაღაც O წერტილიდან, რომელსაც ცენტრი ეწოდება. წრის განტოლება: x 2 +y 2 =R 2.

ელიფსი არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, მანძილების ჯამი ორ მოცემულ წერტილამდე F1 და F2, რომელსაც ეწოდება კერები, არის მუდმივი მნიშვნელობა (2a). ელიფსის განტოლება: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 =1.

სურათი 5.2 - მეორე რიგის ხაზები: წრე და ელიფსი

პარაბოლა განისაზღვრება განტოლებით y 2 = 2px. პარაბოლას აქვს ერთი არასწორი წერტილი, აქვს ერთი სიმეტრიის ღერძი.

ჰიპერბოლა განისაზღვრება განტოლებით x2 /a2 – y2 /b2 =1. ჰიპერბოლას აქვს ცენტრი და სიმეტრიის ორი ღერძი და აქვს ორი არასწორი წერტილი.

სურათი 5.3 - მეორე რიგის ხაზები: პარაბოლა და ჰიპერბოლა

სივრცითი მრუდი ხაზებიდან ყველაზე დიდი პრაქტიკული ინტერესია ცილინდრული და კონუსური ხვეული ხაზები.

ცილინდრული სპირალი - ეს არის ხაზი, რომელიც აღწერილია წერტილით ერთიანი მოძრაობით სწორი ხაზის გასწვრივ, მისი პარალელურად ღერძის გარშემო ბრუნვის ერთგვაროვანი ბრუნვით.

სურათი 5.4 - სპირალი

სიმაღლეს, რომელზედაც აწევს A წერტილი ერთი სრული ბრუნვისას, ეწოდება სპირალის მოედანი.

ცილინდრული სპირალური ხაზის შუბლის პროექცია არის სინუსოიდი, ჰორიზონტალური პროექცია არის წრე.

5.2 მოხრილი ზედაპირების ფორმირება

მრუდი ზედაპირი არის გარკვეული ხაზის თანმიმდევრული პოზიციების ერთობლიობა, რომელიც მოძრაობს სივრცეში გარკვეული კანონის მიხედვით.

ზედაპირები შეიძლება განისაზღვროს ნახაზში შემდეგი გზით:

1. კინემატიკური - ზედაპირი განიხილება, როგორც გარკვეული კანონის მიხედვით სივრცეში მოძრავი ხაზის პოზიციების უწყვეტი ნაკრები.

მოძრავ ხაზს ზედაპირის გენერატრიქსი და წრფე ეწოდება

რომლის გასწვრივ მოძრაობს გენერატრიქსი, სახელმძღვანელო ეწოდება (სურათი 5.5).

სურათი 5.5 - ზედაპირების განსაზღვრის კინემატიკური გზა

2. Wireframe - თუ შეუძლებელია მათემატიკურად აღწერა, ზედაპირი დგება ამ ზედაპირების კუთვნილი ხაზების საკმარისად მკვრივი ქსელით. ზედაპირის ჩონჩხი შეიძლება შედგებოდეს სამგანზომილებიანი მოსახვევებისგან ან ბრტყელი მონაკვეთების ოჯახებისგან (სურათი 5.6).

სურათი 5.6 - ზედაპირის განსაზღვრა ჩარჩოთი

3. ანალიტიკური - ზედაპირი განიხილება, როგორც წერტილების უწყვეტი ორგანზომილებიანი ნაკრები. ამ ნაკრების წერტილების კოორდინატები აკმაყოფილებს F(x,y,z) = 0 განტოლებას.

4. განმსაზღვრელი არის პირობების ერთობლიობა, რომელიც აუცილებელია და საკმარისია ზედაპირის უნიკალური მინიჭებისთვის. ზედაპირის კვალიფიკატორი

შედგება გეომეტრიული და ალგორითმული ნაწილებისგან D = [G] Λ [A] . მაგალითად, ბრუნვის ცილინდრის ზედაპირი შეიძლება განისაზღვროს ფიქსირებული ღერძის გარშემო a სწორი ხაზის ბრუნვით, განმსაზღვრელი: D = Λ [A]. დეტერმინანტის გეომეტრიული ნაწილი წარმოდგენილია ღერძისა და გენერატრიქსის ფრონტალური პროექციებით. ალგორითმულ ნაწილში უნდა ჩაიწეროს „რევოლუციის ზედაპირი“ (სურათი 5.7).

სურათი 5.7 - ზედაპირის განსაზღვრა განმსაზღვრელით

5. მონახაზი - ზედაპირის ხილული ნაწილის საზღვარი შესაბამის პროექციის სიბრტყეზე. ეს მეთოდი ყველაზე ვიზუალურია აღწერილობითი გეომეტრიის ამოცანების გადაჭრისას. მაგალითად, მარჯვენა წრიული ცილინდრის ზედაპირი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი მისი ჰორიზონტალური და შუბლის კონტურების პროგნოზებით (სურათი 5.8).

სურათი 5.8 - ზედაპირის განსაზღვრა ესკიზით

ზედაპირების მრავალფეროვნება, მათი ფორმირების სხვადასხვა გზები, გეომეტრიული მახასიათებლების სირთულე ქმნის სირთულეებს ზედაპირების კლასიფიკაციის მცდელობებში.

ყველა მრუდი ზედაპირი, გენერატორების ტიპებიდან გამომდინარე, იყოფა მართულ ზედაპირებად, რომლებშიც გენერატრიქსი არის სწორი ხაზი და არამართული, რომელშიც გენერატორი არის მრუდი.

ცალკე მართული ზედაპირები, თუ მათ მიენიჭებათ მოქნილობისა და გაჭიმვის ფიზიკური თვისებები, შეიძლება გაფართოვდეს სიბრტყეს დაემთხვა ნაოჭების ან რღვევის გარეშე. ასეთ ზედაპირებს ე.წ განლაგებადი. იმ ხაზოვან ზედაპირებს, რომლებიც არ აკმაყოფილებენ მითითებულ მოთხოვნებს, ისევე როგორც უმართავ ზედაპირებს, ე.წ. არაგანლაგება.

5.3 ზედაპირები: ბრუნვები, მართული, ხვეული, ციკლური

5.3.1 რევოლუციის ზედაპირები

ბრუნვის ზედაპირი არის ზედაპირი, რომელიც აღწერილია მრუდის (ან სწორი ხაზის) გენერატრიქსით, როდესაც ის ბრუნავს ფიქსირებული ღერძის გარშემო.

გენერატორის თითოეული წერტილი მისი ბრუნვისას აღწერს ღერძზე ორიენტირებულ წრეს. ამ წრეებს პარალელები ეწოდება. უდიდესი რადიუსის პარალელს ეკვატორი ეწოდება, ყველაზე პატარას - ყელი (სურათი 5.9).

ღერძზე გამავალი სიბრტყეების მიერ ბრუნვის სხეულის მონაკვეთში მიღებულ მრუდებს მერიდიანები ეწოდება. შუბლის პროექციის სიბრტყის პარალელურ მერიდიანს მთავარი ეწოდება.

სურათი 5.9 - ბრუნვის ზედაპირი

სწორი ხაზის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი ზედაპირები მოიცავს შემდეგ ზედაპირებს:

1. ბრუნვის ცილინდრი - წარმოიქმნება მის პარალელურად i-ღერძის გარშემო სწორი ხაზის ბრუნვით.

2. ბრუნვის კონუსი - წარმოიქმნება მასთან გადამკვეთი i-ღერძის გარშემო სწორი ხაზის ბრუნვით.

3. რევოლუციის ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი მიიღება მასთან გადაკვეთილი i-ღერძის გარშემო სწორი ხაზის ბრუნვით.

რევოლუციის ჰიპერბოლოიდი ასევე შეიძლება მივიღოთ ჰიპერბოლას მისი წარმოსახვითი ღერძის გარშემო ბრუნვით.

დასახელებული ზედაპირები ასევე ხაზოვანი ზედაპირებია (სურათი 5.10).

სურათი 5.10 - რევოლუციის ზედაპირები: ცილინდრი, კონუსი, ჰიპერბოლოიდი

წრის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილი რევოლუციის ზედაპირები მოიცავს:

1. სფერო - ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება მისი დიამეტრის გარშემო წრის ბრუნვით;

2. ტორუსი - ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ამ წრის სიბრტყეში მდებარე ღერძის გარშემო წრის ბრუნვის შედეგად, მაგრამ არ გადის მის ცენტრში;

3. ბეჭედი - ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება წრის ბრუნვის შედეგად ღერძის გარშემო, რომელიც მდებარეობს წრის გარეთ.

ტორუსი მეოთხე რიგის ზედაპირია.

ნებისმიერი ზედაპირი მიჩნეულია მინიჭებულად, თუ შესაძლებელია მის ზედაპირზე ნებისმიერი წერტილის პოზიციის დადგენა. ზედაპირზე წერტილების ასაგებად

სფეროს ან ტორუსს, აუცილებელია ამ ზედაპირების პარალელების და მერიდიანების გამოყენება (სურათი 5.11).

სურათი 5.11 - რევოლუციის ზედაპირები: სფერო, ტორუსი, რგოლი

ელიფსის, პარაბოლისა და ჰიპერბოლის ბრუნვის შედეგად წარმოქმნილ რევოლუციის ზედაპირებს შესაბამისად უწოდებენ: რევოლუციის ელიფსოიდი, რევოლუციის პარაბოლოიდი, რევოლუციის ერთფურცლიანი ჰიპერბოლოიდი (სურათი 5.12).

სურათი 5.12 - რევოლუციის ზედაპირები: ელიფსოიდი, პარაბოლოიდი, ჰიპერბოლოიდი

5.3.2 მართული ზედაპირები

სწორი ხაზის მოძრაობით წარმოქმნილ ზედაპირს მართული ეწოდება.

მართულ ზედაპირს, რომელიც წარმოიქმნება მართკუთხა გენერატრიქსის მოძრაობით, რომელიც მუდმივად გადის რაღაც S წერტილში და ყველა შემთხვევაში კვეთს რომელიმე სახელმძღვანელო მრუდს, ეწოდება კონუსური.

მართულ ზედაპირს, რომელიც წარმოიქმნება გენერატრიქსის მოძრაობით გარკვეული მიმართულების პარალელურად და კვეთს სახელმძღვანელოს, ეწოდება ცილინდრული ზედაპირი.

მართული ზედაპირები მოიცავს ზედაპირი კუსპით- წარმოიქმნება გარკვეული სივრცითი მრუდის გასწვრივ სწორი ხაზის გადაადგილებით და სწორი ხაზის გენერატრიქსი ყოველ წერტილში რჩება მრუდი წრფის ტანგენტს (სურათი 5.13).

სურათი 5.13 - მართული ზედაპირები: კონუსური, ცილინდრული, ზედაპირი უკანა კიდით

5.3.3 ხვეული ზედაპირი

ხვეული ზედაპირი წარმოიქმნება ზოგიერთი წარმომქმნელი ხაზის ხვეული მოძრაობით (სურათი 5.14).

სპირალურ ზედაპირებს, რომლებსაც აქვთ სწორი ხაზები, ჰელიკოიდები ეწოდება.

ჰელიკოიდს უწოდებენ სწორს, თუ გამომმუშავებელი სწორი ხაზი სწორ კუთხეს ქმნის ზედაპირის z-ღერძთან. სხვა შემთხვევებში, ჰელიკოიდს უწოდებენ oblique ან oblique.

სურათი 5.14 - სწორი და ირიბი ჰელიკოიდები

5.3.4 ციკლური ზედაპირები

ზედაპირს ციკლური ეწოდება, თუ იგი აღწერილია მუდმივი ან ცვლადი რადიუსის წრით მისი თვითნებური მოძრაობისას.

ციკლური ზედაპირის მაგალითი შეიძლება იყოს რევოლუციის ნებისმიერი ზედაპირი. გარდა ამისა, მათში შედის არხი და მილის ზედაპირები.

არხის ზედაპირი იქმნება მრუდი სახელმძღვანელოს გასწვრივ ცვლადი რადიუსის წრის გადაადგილებით.

მილაკოვანი ზედაპირი წარმოიქმნება მუდმივი რადიუსის წრის გადაადგილებით მრუდი გიდის გასწვრივ (სურათი 5.15).

სურათი 5.15 - ციკლური ზედაპირები: არხი და მილაკი

5.4 განზოგადებული პოზიციური პრობლემები

5.4.1 მრუდი ზედაპირების გადაკვეთა სიბრტყით

როდესაც მოხრილი ზედაპირი იკვეთება სიბრტყით, ზოგად შემთხვევაში, სიბრტყე მრუდი (ელიფსი, წრე) მიიღება. მართული ზედაპირების სიბრტყით გადაკვეთისას სწორი ხაზების მიღებაც შესაძლებელია, კონკრეტულ შემთხვევაში, თუ სეკანტური სიბრტყე მიმართულია გენერატორების გასწვრივ ან გადის ერთ წერტილში (ცილინდრი ან კონუსი).

მრუდი ზედაპირის სიბრტყით გადაკვეთის ხაზის ასაგებად გამოიყენება დამხმარე ჭრის თვითმფრინავების მეთოდი. დამხმარე სიბრტყე არჩეულია ისე, რომ მოცემულ სიბრტყეს კვეთს სწორი ხაზის გასწვრივ, ხოლო ზედაპირი გრაფიკულად მარტივი ხაზის გასწვრივ (წრე ან სწორი ხაზი). ამ ხაზების გადაკვეთის წერტილები იქნება ზედაპირისა და ჭრის სიბრტყის კუთვნილი სასურველი წერტილები.

სიბრტყით ზედაპირის მონაკვეთის ხაზის პროექციების აგება მნიშვნელოვნად გამარტივებულია, თუ საჭრელი სიბრტყე იკავებს საპროექტო პოზიციას.

ჟენი. ამ შემთხვევაში, მონაკვეთის ხაზის ერთ-ერთი პროექცია უკვე ნახაზზეა: ის ემთხვევა თვითმფრინავის პროექციას. ამოცანა მცირდება მხოლოდ ამ ხაზის სხვა პროექციის აგებაზე.

განვიხილოთ ცილინდრის მონაკვეთის ხაზის აგება საპროექტო სიბრტყით (სურათი 5. 16).

სურათი 5.16 - ცილინდრის გადაკვეთა საპროექტო სიბრტყით

ცილინდრი იკვეთება Σ სიბრტყით ელიფსის გასწვრივ. მას შემდეგ, რაც ცილინდრი იკავებს ჰორიზონტალურად პროექციულ პოზიციას, ელიფსი გადაგვარდება ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე წრეში, რომელიც ემთხვევა ცილინდრის ჰორიზონტალურ მონახაზს. ვინაიდან საჭრელი სიბრტყე ∑ იკავებს ფრონტალურად პროექციულ პოზიციას, ელიფსის შუბლის პროექცია გადაგვარდება სწორხაზოვან სეგმენტად 12 22 .

განვიხილოთ მარჯვენა წრიული ცილინდრის მონაკვეთის ხაზის აგება სიბრტყით ზოგად მდგომარეობაში (სურათი 5.17).

მშენებლობის ალგორითმი:

1. გაანალიზეთ პრობლემის მდგომარეობა. მას შემდეგ, რაც ცილინდრი იკავებს ჰორიზონტალურად გამოსახულ პოზიციას, მონაკვეთის ელიფსის ჰორიზონტალური პროექცია გადაგვარდება წრეში, ხოლო წინა პროექცია პროეცირდება ელიფსად.

ხედები A და B არის წერტილები, რომლებიც ყოფენ მონაკვეთის ელიფსის შუბლის პროექციას ხილულ და უხილავ ნაწილებად. A2 და B2 პროგნოზები განისაზღვრება დამხმარე სეკანტური სიბრტყის Q გამოყენებით (დონის შუბლის სიბრტყე), რომელიც შედგენილია A1 და B1 პროექციებით.

ახლო და შორეული წერტილები C და D განისაზღვრება შუბლის დონის საჭრელი სიბრტყეების გამოყენებით, რომლებიც შედგენილია C1 და D1 პროექციებით და კვეთს ცილინდრის ახლო და შორს გენერატორების გასწვრივ, ხოლო მოცემული თვითმფრინავი - შესაბამისი ფრონტების გასწვრივ. C2 და D2 წერტილების პროგნოზები გვხვდება ხაზების შესაბამისი პროექციების გადაკვეთაზე.

სურათი 5.17 - ცილინდრის გადაკვეთა ზოგადი პოზიციის სიბრტყით

განყოფილების უმაღლესი და ყველაზე დაბალი წერტილები K და L არის ცილინდრის ღერძის გასწვრივ მოცემული სიბრტყის ჰორიზონტალურზე პერპენდიკულარული დახრის ხაზზე. სეგმენტი KL განსაზღვრავს ელიფსის მთავარი ღერძის პოზიციას.

ელიფსის მცირე ღერძი MN განლაგებულია ძირითადი ღერძის პერპენდიკულარულად, მასზე პერპენდიკულარულად და გადის ცილინდრის ღერძზე.

3. დაადგინეთ შემთხვევითი წერტილების პოზიცია. გაატარეთ შუბლის დონის დამხმარე სეკანტური სიბრტყეები და განსაზღვრეთ შემთხვევითი წერტილების პროგნოზების პოზიცია პროგნოზების ჰორიზონტალურ და შუბლის სიბრტყეებზე.

4. დააყენეთ ელიფსის ხილვადობა შუბლის პროექციის სიბრტყეში. დააყენეთ პროგნოზებში ცილინდრისა და ჭრის სიბრტყის ურთიერთხილვადობა.

AT მარჯვენა წრიული კონუსის სიბრტყეებით გადაკვეთის შედეგად შეიძლება მივიღოთ ხაზები, რომელთა ბუნების პროგნოზირება შესაძლებელია კონუსისა და სეკანტური სიბრტყის მდებარეობიდან გამომდინარე. ეს ხაზები შეიძლება იყოს: წრე, ელიფსი, პარაბოლა, ჰიპერბოლა და თუ საჭრელი სიბრტყე გადის კონუსის თავზე, სწორი ხაზების წყვილი (სურათი 5.18).

ავაშენოთ მარჯვენა წრიული კონუსის მონაკვეთის ხაზი საპროექციო სიბრტყით (სურათი 5.19).

მშენებლობის ალგორითმი:

1. გაანალიზეთ პრობლემის მდგომარეობა.

ჭრის სიბრტყე არის ფრონტალურად პროექციულ მდგომარეობაში, შესაბამისად, მონაკვეთის ელიფსის შუბლის პროექცია გადაგვარდება შუბლის პროექციაში სწორი ხაზის სეგმენტად AB.

2. განსაზღვრეთ საცნობარო წერტილების პოზიცია: A და B განყოფილების ზედა და ქვედა წერტილები განსაზღვრავენ ელიფსის ძირითადი ღერძის პოზიციას. ახლო და შორი წერტილების (C და D) პოზიცია განისაზღვრება ელიფსის მცირე ღერძზე, რომელიც პერპენდიკულარულია ძირითადი ღერძის მიმართ და მდებარეობს AB სეგმენტის შუაში.

3. დაადგინეთ შემთხვევითი წერტილების პოზიცია: K,L და M,N. მათი ასაგებად გამოიყენება დონის დამხმარე საჭრელი თვითმფრინავები, რომლებიც

ჭვავი კვეთს კონუსის ზედაპირს შესაბამისი რადიუსების წრეების გასწვრივ, ხოლო სიბრტყე - ფრონტალურად გამოსახული სწორი ხაზების გასწვრივ.

სურათი 5. 18 - კონუსური სექციები (კონუსები)

ნახაზი 5.19 - კონუსის გადაკვეთა ფრონტალურად გამომავალი სიბრტყით

5.4.2 მოხრილი ზედაპირის გადაკვეთა სწორ ხაზთან

მრუდი ზედაპირის სწორ ხაზთან გადაკვეთის შედეგია წყვილი წერტილი.

მრუდე ზედაპირით სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილების წყვილს პირობითად უწოდებენ შესვლის და გასასვლელ წერტილებს. ამ წერტილების ასაგებად გამოიყენება დამხმარე ჭრის თვითმფრინავების მეთოდი.

მშენებლობის ალგორითმი:

1. მოცემული სწორი ხაზის ნებისმიერი პროექცია ჩასმულია ჭრის სიბრტყეში. (ჩვეულებრივ, დამხმარე სიბრტყედ ირჩევა საპროექტო თვითმფრინავები.)

2. ააგეთ ზედაპირის ხაზის მონაკვეთის პროგნოზები სიბრტყით.

3. განსაზღვრეთ მიღებული წრფის გადაკვეთის წერტილები მოცემული სწორი ხაზით

4. სწორი ხაზისა და ზედაპირის ურთიერთხილვადობის განსაზღვრა. განვიხილოთ მოსახვევების გადაკვეთის წერტილების აგების სხვადასხვა შემთხვევები

სწორი ხაზის ზედაპირები.

პრობლემის გადაჭრა გამარტივებულია, თუ რომელიმე ელემენტი (ხაზი ან ზედაპირი) კონკრეტულ მდგომარეობაშია (სურათი 5.20). ამ შემთხვევაში, ერთ-ერთ პროექციაში განისაზღვრება სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილების პროგნოზების პოზიცია მრუდე ზედაპირთან.

ცილინდრის განყოფილებაში მოცემული სწორი ხაზის ფრონტალური პროექციის ჩასმის გზით ვიღებთ ელიფსს, რომელიც დაპროექტებულია ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეზე ცილინდრის ზედაპირის ჰორიზონტალურ მოხაზულობასთან დამთხვევის სახით. . საპროექციო ცილინდრის სწორ ხაზთან გადაკვეთის წერტილები განისაზღვრება ჰორიზონტალურ საპროექციო სიბრტყეზე ცილინდრის ჰორიზონტალური კონტურის სწორ ხაზთან გადაკვეთაზე. დადგენილია სწორი ხაზისა და ცილინდრის ურთიერთ ხილვადობა.

კონკრეტული პოზიციის ხაზის გადაკვეთის წერტილების პოვნისას კონუსის ზედაპირთან ზოგად პოზიციაზე, შეიძლება გამოყენებულ იქნას გენერატორების კონსტრუქცია, რომლებიც მიეკუთვნება კონუსის ზედაპირს. ააგეთ M და N-ის გადაკვეთის წერტილები და დაადგინეთ წრფისა და კონუსის ურთიერთ ხილვადობა.

სურათი 5.20 - ზედაპირების სწორ ხაზებთან გადაკვეთის განსაკუთრებული შემთხვევები

განვიხილოთ მრუდი ზედაპირის გადაკვეთის ზოგადი შემთხვევა სწორ ხაზთან ზოგად პოზიციაზე კონუსის სწორ ხაზთან გადაკვეთის მაგალითის გამოყენებით (სურათი 5.21). ამ პრობლემას ორი გზით მოვაგვარებთ.

პირველ შემთხვევაში, AB სწორი ხაზის შუბლის პროექცია ჩასმულია კონუსის ზევით გამავალ სიბრტყეში (სიბრტყე ABS). ეს სიბრტყე გადაკვეთს კონუსს S1 და S2 ხაზების გასწვრივ. ამ ხაზების ასაგებად გვხვდება ABS სიბრტყის გადაკვეთის DC ხაზი კონუსის ფუძის სიბრტყესთან და მისი გადაკვეთის 1 და 2 წერტილები კონუსის ფუძის წრესთან. AB წრფის K და N გადაკვეთის წერტილები კონუსის ზედაპირთან გვხვდება CD ხაზის S1 და S2 ხაზებთან გადაკვეთის შედეგად. სწორი ხაზისა და კონუსის ურთიერთხილვადობის განსაზღვრა.

მეორე შემთხვევაში, AB ხაზი ჩასმულია ფრონტალურად გამოსხივებულ სიბრტყეში, რომელიც კვეთს კონუსს ელიფსის სახით. K და N გადაკვეთის წერტილები გვხვდება აგებული ელიფსის სწორ ხაზთან გადაკვეთის შედეგად.

AB და განსაზღვრეთ სწორი ხაზისა და ჭრის სიბრტყის ურთიერთ ხილვადობა.

პრობლემის გადაჭრის პირველი გზა ყველაზე რაციონალურია.

სურათი 5.21 - კონუსის გადაკვეთა სწორ ხაზთან ზოგად მდგომარეობაში

სფეროს სწორ ხაზზე გადაკვეთის წერტილების განსაზღვრის პრობლემის გადასაჭრელად (სურათი 5.22), უფრო რაციონალურია პროექციის სიბრტყეების შეცვლის მეთოდის გამოყენება. ამ შემთხვევაში, მაგალითად, კეთდება მოცემული სწორი ხაზის AB ჰორიზონტალური პროექცია ჰორიზონტალურად გამომავალ სიბრტყეში. ამ სიბრტყით სფეროს მონაკვეთში მიიღება წრე, რომელიც დაპროექტებულია P4 სიბრტყეზე, წრის სახით დამახინჯების გარეშე.

ხოლო ხაზის სეგმენტი A4 B4 - თავისი ბუნებრივი ზომით. გადაკვეთის წერტილები C და D განისაზღვრება წრის და სწორი ხაზის გადაკვეთაზე P4 სიბრტყეში, შემდეგ კი მათი პროგნოზები P1 და P2 სიბრტყეებზე. დააყენეთ სწორი ხაზისა და სფეროს პროგნოზების ხილვადობა აგებული მონაკვეთის ხაზის ხილვადობის შესაბამისად.

სურათი 5.22 - სფეროს გადაკვეთა სწორ ხაზთან ზოგად მდგომარეობაში

5.4.3 მოხრილი ზედაპირების გადაკვეთის ხაზების აგების მეთოდები

ორი მრუდი ზედაპირი იკვეთება საერთო შემთხვევაში სივრცითი მრუდი ხაზის გასწვრივ (სურათი 5.23).

სურათი 5.23 - მრუდე ზედაპირების ურთიერთგადაკვეთა

მის ცალკეულ წერტილებზე აგებულია ორი მრუდი ზედაპირის გადაკვეთის ხაზი. ეს წერტილები განისაზღვრება დამხმარე შუამავალი ზედაპირების დახმარებით. მოცემული ზედაპირების რაიმე დამხმარე ზედაპირთან გადაკვეთისას მიიღება მონაკვეთის ხაზები, რომელთა გადაკვეთაზე პოულობენ წერტილებს, რომლებიც ერთდროულად მიეკუთვნება ორივე ზედაპირს და, შესაბამისად, სასურველ მონაკვეთის ხაზს.

სიბრტყეებს ან სფეროებს ყველაზე ხშირად შუამავალ ზედაპირებად ირჩევენ. ამ ზედაპირების გამოყენება განისაზღვრება მითითებული ზედაპირების ტიპისა და მდებარეობის მიხედვით.

5.4.3.1 დამხმარე ჭრის სიბრტყის მეთოდი

დამხმარე ჭრის სიბრტყეების მეთოდი გამოიყენება, როდესაც ორივე ზედაპირი შეიძლება გადაიკვეთოს გრაფიკულად მარტივი ხაზების გასწვრივ (წრეები ან სწორი ხაზები) საპროექტო სიბრტყეების ან დონის სიბრტყეების გარკვეული ნაკრებით (სურათი 5.24).

სურათი 5.24 - კონუსისა და ცილინდრის გადაკვეთა

განვიხილოთ დონის დამხმარე ჭრის სიბრტყეების მეთოდის გამოყენება ცილინდრისა და კონუსის გადაკვეთის ხაზის აგების პრობლემის მაგალითზე (სურათი 5.25).

სურათი 5.25 - ჭრის სიბრტყის მეთოდი: ცილინდრისა და კონუსის გადაკვეთა

დავიწყოთ მშენებლობა საცნობარო წერტილების (სექციების ზედა, ქვედა, მარჯვენა და მარცხენა წერტილები და ხილვადობის წერტილების) განსაზღვრით. ვინაიდან წრიული ცილინდრის ზედაპირი ფრონტალურად გამოსახულ მდგომარეობაშია, ეს წერტილები განლაგებულია ზედაპირის ფრონტალურ მონახაზზე - წრეზე, რომელშიც ცილინდრი არის დაპროექტებული.

თავად მონაკვეთის ხაზი პროექციების შუბლის სიბრტყეში დაემთხვევა ცილინდრის შუბლის მონახაზს და განისაზღვრება ორი ზედაპირის პროგნოზების სუპერპოზიციის ფართობით.

მონაკვეთის ზედა და ქვედა წერტილების პროგნოზების მშენებლობა დაიწყება მათი შუბლის 12 და 22 პროგნოზების განსაზღვრით. ავაშენოთ ისინი მთებზე

პროგნოზების ქოლგის სიბრტყე მთავარი მერიდიანის პროგნოზებზე და იპოვეთ 11 და 21 წერტილების ჰორიზონტალური პროგნოზები.

მონაკვეთის ყველაზე მარჯვენა და მარცხენა წერტილების ჰორიზონტალური პროგნოზების ასაგებად ჩვენ გამოვიყენებთ დონის სიბრტყეების ჭრის მეთოდს. დამხმარე სიბრტყის პოზიციას ვირჩევთ ისე, რომ იგი ერთდროულად კვეთს ორივე ზედაპირს გრაფიკულად მარტივი ხაზების გასწვრივ - წრეების ან სწორი ხაზების გასწვრივ. დამხმარე ჭრის სიბრტყე - ჰორიზონტალური დონის სიბრტყე - გაივლება მე-3 და მე-4 წერტილების შუბლის პროგნოზებით. ამ შემთხვევაში, მრგვალი ცილინდრის ზედაპირი გადაიკვეთება მის მიერ სწორი ხაზებით, ხოლო წრიული კონუსის ზედაპირი - წრეში. 31-ე და 41-ე წერტილების ჰორიზონტალური პროექციები მიიღება მონაკვეთის ხაზების ჰორიზონტალური პროექციების გადაკვეთაზე.

მე-3 და მე-4 წერტილები ერთდროულად არის მონაკვეთის ხაზის ჰორიზონტალური პროექციის ხედები, ე.ი. გამოყავით ეს პროექცია ხილულ და უხილავ ნაწილებად.

ყველა სხვა წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება მონაკვეთის ხაზს, იქნება დამხმარე და მათი არჩევანი შემთხვევითია. შემთხვევითი წერტილების რაოდენობა განისაზღვრება კონსტრუქციის სიზუსტით: რაც მეტია, მით უფრო ზუსტად კეთდება გამოსავალი.

მოდით ვისაუბროთ შემთხვევითი 5 და 6 წერტილების წყვილის აგებაზე. ამისათვის ვირჩევთ წყვილ კონკურენტ წერტილებს შუბლის პროექციის სიბრტყეში და ვიყენებთ ჰორიზონტალური დონის დამხმარე სეკანტურ სიბრტყეს მათი ჰორიზონტალური პროექციების დასადგენად.

წერტილების აგებული პროექციების გლუვი მრუდი ხაზით დაკავშირება, ვიღებთ ორი ზედაპირის მონაკვეთის ხაზის ჰორიზონტალურ პროექციას. ამ შემთხვევაში ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეში გავითვალისწინებთ ხილვადობის წერტილების პოზიციას. მონაკვეთის ხაზის მონაკვეთი 3 და 4 წერტილების ზემოთ,

ხილული იქნება, ხოლო მათ ქვემოთ - უხილავი. ამ ხაზის შუბლის პროექცია ემთხვევა ცილინდრული ზედაპირის შუბლის მონახაზს და, როგორც სიმეტრიული, ჩანს.

ამრიგად, ზედაპირების გადაკვეთის ხაზის ასაგებად აუცილებელია:

1. დაადგინეთ რომელი ზედაპირები იკვეთება და არის თუ არა გადაკვეთის ხაზის პროექცია პრობლემის მდგომარეობაში.

2. განსაზღვრეთ წამყვანი წერტილების პოზიცია.

3. აირჩიეთ დამხმარე ჭრის თვითმფრინავების პოზიცია.

4. იპოვეთ დანარჩენი საცნობარო და შემთხვევითი წერტილების პოზიცია შერჩეული ჭრის სიბრტყეების გამოყენებით.

5. დახაზეთ სასურველი მონაკვეთის ხაზის პროგნოზები.

6. განსაზღვრეთ ხილვადობა.

ზედაპირების გადაკვეთის ხაზის ასაგებად, რომლებსაც არ აქვთ სიმეტრიის საერთო სიბრტყე, გამოიყენეთ სეკანტური სიბრტყეების მეთოდი (სურათი 5.26). 1 და 2 წერტილების პოზიციის დასადგენად, კონუსის სიმეტრიის ღერძის გავლით ვხატავთ შუბლის დონის სიბრტყეს Σ, რომელიც კვეთს კონუსს - მთავარი მერიდიანის გასწვრივ, ხოლო სფეროს - წრეწირის გასწვრივ. განისაზღვრება 12 და 22 წერტილების შუბლის პროგნოზები, შემდეგ კი 11, 21 პროგნოზები.

უმაღლესი და ყველაზე დაბალი წერტილების პოზიცია (3 და 4) განისაზღვრება სეკანტური სიბრტყის Q გამოყენებით, რომელიც გადის კონუსისა და სფეროს ცენტრებში და არის ორი ზედაპირის სიმეტრიის სიბრტყე. 32, 42 და 31, 41 წერტილების პროექციების დასადგენად გამოყენებული იქნა მიღებული მონაკვეთების (ორივე ზედაპირის მერიდიანების) ბრუნვის მეთოდი კონუსის სიმეტრიის ღერძზე გამავალი ღერძის გარშემო.

სურათი 5.26 - კონუსის და სფეროს გადაკვეთა - სიბრტყეების ჭრის მეთოდი

პროგნოზების ჰორიზონტალური სიბრტყის ხედები (5.6) განისაზღვრება Θ სიბრტყის გამოყენებით, რომელიც დახატულია სფეროს ეკვატორში.

შემთხვევითი წერტილების პოზიცია განისაზღვრება ჰორიზონტალური დონის ჭრის თვითმფრინავების გამოყენებით.

შუბლის პროექციის სიბრტყის ხედები იქნება სფეროს მთავარ მერიდიანზე. თუ სფეროს მთავარ მერიდიანზე დავხაზავთ ჭრის სიბრტყეს, მაშინ სფეროს მონაკვეთში იქნება წრე, ხოლო კონუსის მონაკვეთში - ჰიპერბოლა. მოდით განვსაზღვროთ მათი სავარაუდო პოზიცია

წერტილები ზედაპირების საერთო მონაკვეთის ხაზის აგების შემდეგ.

ჩვენ ვაკავშირებთ აგებული წერტილების პროექციებს შესაბამის საპროექციო სიბრტყეებში ხილვადობის გათვალისწინებით.

5.4.3.2 დამხმარე ჭრის სფეროების მეთოდი

დამხმარე სეკანტური სფეროების მეთოდის გამოყენება ეფუძნება რევოლუციის ზედაპირების თანდაყოლილ თვისებას. იგი შედგება ორი

რევოლუციის ნებისმიერი კოაქსიალური ზედაპირი იკვეთება წრეების გასწვრივ, რომლებიც გადიან ზედაპირების მერიდიანების გადაკვეთის წერტილებს.

ამ შემთხვევაში, მონაკვეთის წრეების სიბრტყეები ბრუნვის ღერძის პერპენდიკულარულია, ხოლო წრეების ცენტრები ამ ღერძს ეკუთვნის. მაშასადამე, თუ ბრუნვის ზედაპირების ღერძი პარალელურია პროგნოზების სიბრტყის პარალელურად, მაშინ ამ სიბრტყეზე მონაკვეთის წრეები დაპროექტებულია სწორი ხაზების სეგმენტებად, პერპენდიკულარული ბრუნვის ზედაპირის ღერძების პროგნოზებზე და სხვა თვითმფრინავი - წრეების სახით.

როგორც რევოლუციის დამხმარე სეკანტური ზედაპირი, მოსახერხებელია გამოიყენოთ სფერული ზედაპირი, რომლის ცენტრი უნდა ეკუთვნოდეს ბრუნვის ზედაპირის ღერძს (სურათი 5.27).

ნახაზი 5.27 - საჭრელი სფეროების თვისება

AT ზედაპირების ფარდობითი პოზიციიდან გამომდინარე, არსებობს პრობლემების გადაჭრის ორი შესაძლო ვარიანტი სეკანტური სფეროების მეთოდის გამოყენებით:

1. ორივე ზედაპირის ღერძი პროექციის სიბრტყის პარალელურია.

2. გადაკვეთის ზედაპირებს აქვთ საერთო სიმბოლო სიბრტყე

AT პირველ შემთხვევაში გამოიყენება კონცენტრული სეკანტური სფეროების მეთოდი (სურათი 5.28), მეორე შემთხვევაში ექსცენტრიული სეკანტური სფეროები.

სურათი 5.28 - კონცენტრული სეკანტური სფეროების მეთოდი: კონუსების გადაკვეთა

მოდით უფრო დეტალურად ვისაუბროთ კონცენტრული სეკანტური სფეროების მეთოდის გამოყენებაზე ორი კონუსის გადაკვეთის ხაზის აგების პრობლემის გადასაჭრელად (სურათი 5.29).

გადაკვეთის ხაზის მშენებლობა იწყება საცნობარო წერტილების პროგნოზების პოზიციის განსაზღვრით. 12, 22 და 32, 42 წერტილების პროგნოზები არის უმაღლესი და ყველაზე დაბალი წერტილები კონუსის ზედაპირების შესვლის არეში და მათი გასასვლელის არეში. მათი ჰორიზონტალური პროექციები 11, 21, 31, 41 მიიღება ჰორიზონტალურ პროექციის სიბრტყეში სიმეტრიის ღერძზე პროექციით.

ზედაპირების გადაკვეთის ხაზის დარჩენილი წერტილების მისაღებად გამოიყენება კონცენტრული სეკანტური სფეროების მეთოდი. სეკანტური სფეროების ცენტრი არჩეულია ზედაპირების სიმეტრიის ღერძების გადაკვეთაზე შუბლის პროექციის სიბრტყეში. კონსტრუქცია იწყება სეკანტური სფეროს მინიმალური რადიუსის განსაზღვრით - ორი პერპენდიკულარის უფრო დიდის მნიშვნელობით, დაშვებული სფეროების ცენტრიდან კონუსების გენერატრიქსის ზედაპირებამდე.

სურათი 5.29 - კონცენტრული ჭრის სფეროების მეთოდი

ავაშენოთ ზედაპირების გადაკვეთის ხაზს მიკუთვნებული წერტილები ორი აკორდის გადაკვეთის შედეგად (სივრცის წრეები, რომლებზეც დამხმარე სფერო კვეთს კონუსებს).

ავაშენოთ გადაკვეთის ხაზს მიკუთვნებული შემთხვევითი წერტილები - წერტილები 5 და 6, სეკანტური სფეროს გამოყენებით, რომლის რადიუსი არჩეულია დიაპაზონიდან: მინიმუმზე მეტი და მაქსიმუმზე ნაკლები (ცენტრიდან 22 წერტილის პროექციამდე) .

ჩვენ ვაკავშირებთ მონაკვეთის ხაზის პროგნოზებს, მათი ხილვადობის გათვალისწინებით შესაბამის პროგნოზებში.

განვიხილოთ ექსცენტრიული ჭრის სიბრტყეების მეთოდის გამოყენება კონუსისა და სფეროს გადაკვეთის განსაზღვრის პრობლემის გადასაჭრელად, რომლებსაც აქვთ სიმეტრიის საერთო სიბრტყე (სურათი 5.30).

სურათი 5.30 - კოაქსიალური კონუსი და სფერო

ჩვენ ვიწყებთ გადაკვეთის ხაზის მშენებლობას მონაკვეთის (12, 22) ზედა და ქვედა წერტილების პოზიციის განსაზღვრით ზედაპირების შუბლის ესკიზების გადაკვეთაზე და განვსაზღვრავთ მათ ჰორიზონტალურ პროგნოზებს 11 და 21 (სურათი 5.31). დარჩენილი წერტილები განისაზღვრება კონუსის სიმეტრიის ღერძზე მდებარე ერთი ან სხვადასხვა ცენტრიდან გამოყვანილი სეკანტური სფეროების გამოყენებით.

სურათი 5.31 - კონუსის და სფეროს გადაკვეთა - სფეროების გზა

3.4 და 5.6 წერტილების წყვილები პირველ რიგში განისაზღვრება პროგნოზების შუბლის სიბრტყეში მოცემული ზედაპირების დამხმარე სფეროს შესაბამისი მონაკვეთებიდან აკორდების გადაკვეთაზე. შემდეგ ისინი აშენებენ თავიანთ ჰორიზონტალურ პროგნოზებს. გადაკვეთის ხაზის ხილვადობა განისაზღვრება პროგნოზების ჰორიზონტალურ სიბრტყეში, სფეროს ეკვატორში გამავალი ჭრის სიბრტყის გამოყენებით. შუბლის პროექციის სიბრტყეში, მონაკვეთის ხაზი, როგორც სიმეტრიული, დაპროექტებულია ხილულ გლუვ მრუდში.

ექსცენტრიული სეკანტური სფეროების მეთოდი გამოიყენება ღია ტორუსისა და შეკვეცილი კონუსის გადაკვეთის ხაზის აგებისას (სურათი 5.32). A და B განყოფილების ზედა და ქვედა წერტილები ორივე ზედაპირის მთავარი მერიდიანის სიბრტყეშია და, შესაბამისად, განისაზღვრება მათი ფრონტალური პროექციებით ზედაპირების კონტურების გადაკვეთაზე. შემდეგ აგებულია მათი ჰორიზონტალური პროგნოზები A1 და B1.

სურათი 5.32 - ექსცენტრიული სფეროების მეთოდი: ტორუსის და კონუსის გადაკვეთა

დარჩენილი წერტილები აგებულია სეკანტური სფეროების გამოყენებით, რომლებიც კვეთენ რგოლის ზედაპირს მისი მერიდიალური წრეების გასწვრივ. სეკანტური სფეროების ცენტრების საპოვნელად, ხაზგასმულია სეკანტური სიბრტყეები, რომლებიც გადის რგოლის ცენტრში. ამ სიბრტყის გადაკვეთის წერტილისა და ტორუსის ღერძის მეშვეობით იხაზება ტანგენსი, სანამ ის არ გადაიკვეთება კონუსის ღერძთან - ეს წერტილი იქნება სეკანტური სფეროს ცენტრი, რომელიც საერთოა როგორც ტორისთვის, ასევე კონისთვის. C2 და D2 წერტილის პროექციები განისაზღვრება აკორდების (სივრცის წრეების) გადაკვეთაზე ტორუსისა და კონუსის ზედაპირებზე. განსაზღვრულია გენერატორების პოზიცია და C1 და D1 პროგნოზები აგებულია ტორუსის გენერატორების შესაბამის პროგნოზებზე.

მონაკვეთის ხაზის ჰორიზონტალური პროექციის ხედები განისაზღვრება პროექციების ფრონტალურ სიბრტყეში შეკვეცილი კონუსის სიმეტრიის ღერძზე (დახაზულია ჰორიზონტალური დონის სიბრტყე) და განისაზღვრა ხედების ჰორიზონტალური პროექციები (L1 და N1). . შუბლის პროექციის სიბრტყეში, ხაზი დაპროექტებულია ხილული მრუდის სახით.

5.5 ტანგენტი ხაზები და სიბრტყეები ზედაპირებზე

მრუდის იმავე სიბრტყეში მდებარე სწორ ხაზს შეუძლია გადაკვეთოს ის ორ ან მეტ წერტილში. ასეთ ხაზს სეკანტი ეწოდება. თუ სეკანტი გადაინაცვლებს ისე, რომ რკალის სიგრძე AB ორ გადაკვეთის წერტილს შორის ნულს უახლოვდება, მაშინ ზღვრულ მდგომარეობაში სეკანტი დაიკავებს t პოზიციას და დაერქმევა ტანგენსი (სურათი 5.33).

ტანგენსი მიუთითებს მოძრაობის მიმართულებას მრუდის გასწვრივ თითოეულ ტანგენტის წერტილში.

ზედაპირის სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილი ამ ზედაპირთან, სწორი ხაზი ან ბრტყელი მრუდი ხაზი. თვითმფრინავს შეუძლია ერთ ადგილზე შეეხოს ზედაპირს და მეორე ადგილზე გადაკვეთოს. კონტაქტის ხაზი ერთდროულად შეიძლება იყოს ზედაპირის გადაკვეთის ხაზი თვითმფრინავთან.

სურათი 5.33 - მრუდის ტანგენტი

ზოგადად, ზედაპირზე ტანგენსი სიბრტყე არის სწორი ხაზების ერთობლიობა, რომელიც მიეკუთვნება ნებისმიერ მრუდს.

ზედაპირის დაჭერა და ამ ზედაპირის მოცემულ წერტილში გავლა.

ნებისმიერი ზედაპირის ტანგენტის სიბრტყის დასაყენებლად საკმარისია ზედაპირის კუთვნილი მრუდები დავხატოთ ზედაპირზე მოცემული წერტილის მეშვეობით და ავაგოთ ტანგენტის ხაზი თითოეულ მათგანზე, რომელიც გადის ერთ წერტილში. ეს სწორი ხაზები განსაზღვრავს ტანგენტის სიბრტყეს. ზედაპირზე ტანგენსი სიბრტყე არის სეკანტური სიბრტყის შემზღუდველი პოზიცია.

სწორ ხაზს, რომელიც გადის ტანგენტის წერტილში და პერპენდიკულარულია ტანგენტის სიბრტყეზე, ამ წერტილში ნორმალური ზედაპირი ეწოდება. მოცემულ წერტილში ნორმალური ზედაპირი განსაზღვრავს სიბრტყის მიმართულებას ზედაპირის მიმართ ამ წერტილში (სურათი 5.34).

შეუძლებელია ტანგენტური სიბრტყის აგება ზედაპირის ყველა წერტილში. ზოგიერთ წერტილში, ტანგენტის სიბრტყე არ შეიძლება განისაზღვროს ან არ არის უნიკალური. ასეთ წერტილებს უწოდებენ ზედაპირების სპეციალურ წერტილებს, მაგალითად, ტორსის ზედაპირის დაბრუნების კიდის წერტილებს, კონუსური ზედაპირის წვეროს, ბრუნვის ზედაპირის წერტილებს, სადაც მერიდიანი და ღერძი არ არის. იკვეთება სწორი კუთხით და ა.შ.

ნახაზი 5.34 - ტანგენტის სიბრტყე

ზედაპირზე მოცემულ წერტილში გამავალი ტანგენტური სიბრტყეების აგების ამოცანა მცირდება შემდეგზე:

1. ნებისმიერი ორი სკანტი დახატულია მრუდი ზედაპირის წერტილში

თვითმფრინავები.

2. იპოვეთ ზედაპირის მონაკვეთის ხაზები ამ სიბრტყეების მიხედვით.

3. ააგეთ ტანგენტები მოცემულ წერტილში მონაკვეთის ხაზებზე.

ორი ტანგენტი განსაზღვრავს სასურველ სიბრტყეს. ჭრის თვითმფრინავების არჩევისას, ისინი მიდრეკილნი არიან მიიღონ უმარტივესი სახის მონაკვეთი - სწორი ხაზი ან წრე.

განვიხილოთ ტანგენტური სიბრტყის აგების შემთხვევა A წერტილის გავლით, რომელიც მიეკუთვნება ბრუნვის კონუსის ზედაპირს (სურათი 5.35).

ორი აუცილებელი მონაკვეთის ასაგებად, ერთი საჭრელი სიბრტყე იხაზება მოცემული A წერტილისა და კონუსის ზევით. ეს სიბრტყე გადაკვეთს კონუსის ზედაპირს გენერატრიქსის გასწვრივ, რომელიც ემსახურება ტანგენციის ხაზს და, შესაბამისად, არის ერთ-ერთი სწორი ხაზი, რომელიც განსაზღვრავს ტანგენტის სიბრტყეს. მეორე სწორი ხაზი m, კონუსის მონაკვეთის გარშემოწერილობაზე A წერტილის გავლით დახატული ჰორიზონტალური დონის სიბრტყით. ტანგენსი ასევე შეიძლება დახაზული იყოს კონუსის ფუძის გარშემოწერილობაზე.

სურათი 5.35 - კონუსის ზედაპირის ტანგენტი

5.6 ზედაპირული განვითარება

ზედაპირის განვითარება არის ბრტყელი ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ზედაპირის სიბრტყესთან შერწყმით.

ზედაპირის ელემენტების გეომეტრიული თვისებებიდან, რომლებიც შენარჩუნებულია გაშლის დროს, შეიძლება აღინიშნოს, რომ ზედაპირის ხაზი გადადის გაშლილ ხაზში და რომ ხაზების სიგრძე, სიბრტყის კუთხეების მნიშვნელობები და დახურული ხაზებით შემოსაზღვრული უბნები უცვლელი რჩება.

ყველა ზედაპირის ზუსტად გაბრტყელება არ შეიძლება. აქედან გამომდინარე, ზედაპირები იყოფა განვითარებად და განუვითარებლად. განვითარებადი ზედაპირები მოიცავს მართულ ზედაპირებს: ცილინდრებს, კონუსებს და ტორსებს, ვინაიდან მიმდებარე გენერატორები პარალელურია ან იკვეთება, ე.ი. ჩამოაყალიბეთ თვითმფრინავი.

მარჯვენა წრიული ცილინდრის ასაგებად, თქვენ უნდა ააგოთ მართკუთხედი 2πR ფუძით, სადაც R არის საბაზისო წრის რადიუსი. მართკუთხედის სიმაღლე ტოლია ცილინდრის სიმაღლეზე (სურათი 5.36).

2. რა ხაზები მიიღება, როდესაც თვითმფრინავები კვეთენ რევოლუციის ცილინდრს?

3. რა მრუდები მიიღება, როდესაც თვითმფრინავები კვეთენ რევოლუციის კონუსს?

4. რა არის მრუდი მონაკვეთის ხაზის უკიდურესი წერტილები?

5. რა შემთხვევაშია რეკომენდებული დამხმარე ჭრის სიბრტყეების ან დამხმარე ჭრის სფეროების მეთოდის გამოყენება ორი მოხრილი ზედაპირის გადაკვეთის ხაზის ასაგებად?

6 კომპიუტერული გრაფიკა

6.1 კომპიუტერული გრაფიკა და მისი ადგილი კომპიუტერულ დიზაინში

კომპიუტერული გრაფიკა სწავლობს გამოსახულების შექმნისა და დამუშავების მეთოდებსა და საშუალებებს პროგრამული და აპარატურის სისტემების გამოყენებით.

კომპიუტერული გრაფიკა მოიცავს სხვადასხვა პროგრამული ინსტრუმენტების კომპლექსს, რომელიც გამოიყენება ინფორმაციის ფორმირებისთვის, კონვერტაციისთვის და ჩვენების მოწყობილობებზე ვიზუალური სახით გამოსატანად (დისპლეები, გრაფიკული პლოტერები).

ტექნიკას შორისაა სპეციალიზებული მოწყობილობებიდა ზოგადი დანიშნულების მოწყობილობები.

პირველი არის ისეთი საშუალებები, როგორიცაა მსუბუქი კალამი, ციფრული ტაბლეტებიდა გამომავალი საშუალებები - პლოტერები(სურათი 6.1).

სურათი 6.1 - სპეციალიზებული მოწყობილობები

მეორემდე - შეყვანის მოწყობილობები- "მაუსის" და "ჯოისტიკის" მანიპულატორები და გამომავალი მოწყობილობები-bitmap გრაფიკული დისპლეები, პრინტერები, კლავიატურები(სურათი 6.2).

პროგრამული უზრუნველყოფა ორიენტირებულია შემდეგზე გრაფიკის ძირითადი ტიპები: ბიზნესი, საილუსტრაციო, სამეცნიერო, დიზაინი (CAD-ისთვის), კარტოგრაფიული (არქიტექტურული და მიწის მენეჯმენტი CAD), სახვითი ხელოვნება და რეკლამა.

კომპიუტერული გრაფიკა შემუშავებული კომპიუტერული ტექნოლოგიებისა და პროგრამული უზრუნველყოფის ზოგადი განვითარების შესაბამისად. თავდაპირველად, პროგრამები შეიქმნა გრაფიკების ჩვენებისთვის, როგორც აპლიკაციის პაკეტების ნაწილი, როგორც მაღალი დონის ენების ნაწილი. მაგალითად, GRAFOR პაკეტი შეიქმნა, როგორც FORTRAN ენის აპლიკაციის პაკეტების ნაწილი.

სურათი 6.2 - ზოგადი დანიშნულების მოწყობილობები

AT შემდგომში, გრაფიკული პროგრამების შექმნა გამოირჩეოდა როგორც პროგრამული უზრუნველყოფის დამოუკიდებელი მიმართულება.

AT გამოსახულების ფორმირების მეთოდიდან გამომდინარე, კომპიუტერული გრაფიკა იყოფა:

∙ რასტრული გრაფიკა;

∙ ვექტორული გრაფიკა;

∙ ფრაქტალური გრაფიკა.

გამოსახულების ელემენტი რასტრულ რედაქტორებში არის წერტილი. წერტილს შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე პარამეტრი: კოორდინატები, ფერი, ტონი, გამჭვირვალობა. გამოსახულება კეთდება წერტილების სისტემატიზაციით. ამ შემთხვევაში, არსებობს გამოსახულების გარჩევადობის მაჩვენებელი - წერტილების რაოდენობა გამოსახულების ერთეულ ფართობზე. თანამედროვე საინჟინრო გრაფიკული ხელსაწყოები საშუალებას გაძლევთ შექმნათ სურათები 2540 dpi (წერტილი ინჩზე) ან მეტი გარჩევადობით. თითოეული წერტილი მოითხოვს მისამართს მედიაზე შესანახად. დამუშავებული მონაცემების მნიშვნელოვანი რაოდენობა, ისევე როგორც სურათების შესანახად საჭირო მონაცემები, რასტრული გრაფიკის მნიშვნელოვანი ნაკლია.

რასტრული რედაქტორების საერთო მინუსი არის ის, რომ გამოსახულების მასშტაბირებისას წერტილები შესაბამისად იზრდება, ამიტომ სურათის გადიდებისას იკარგება მისი გარჩევადობა და, შედეგად, სიზუსტე; ელემენტებთან მუშაობის უუნარობა (გადიდებული სურათები) - პიქსელაცია.

ვინაიდან გამოსახულების ელემენტი არის წერტილი, ხაზი უკვე მოითხოვს წერტილების სისტემატიზაციას. აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ორგანზომილებიანი და სამგანზომილებიანი ობიექტების შექმნა მნიშვნელოვნად ართულებს გამოსახულების აღწერას, ზრდის დამუშავებული და შენახული მონაცემების რაოდენობას.

რასტერული რედაქტორები მოიცავს Paint, Adobe Photoshop და ა.შ. ისინი შექმნილია ისეთი სურათების შესაქმნელად, როგორიცაა მხატვრული ნახატები, ილუსტრაციები, გრაფიკა (სურათი 6.3).

სურათი 6.3 - რასტრული გრაფიკის გამოყენების მაგალითები

ვექტორულ გრაფიკაში ძირითადი ელემენტია ხაზი. ხაზი მათემატიკურად აღწერილია, როგორც ერთი ობიექტი და, შესაბამისად, ვექტორულ გრაფიკაში ობიექტის ჩვენების მონაცემების რაოდენობა მნიშვნელოვნად დაბალია, ვიდრე რასტრულ გრაფიკაში.

ყველა განხილული გრაფიკული რედაქტორი არის ან უმარტივესი რედაქტორი, მაგალითად, Paint, ან რედაქტორების ფართო სპექტრი.

სამი ძირითადი ბლოკი: სიმულატორი, გაანგარიშების ბლოკი და საექსპერტო სისტემა - ასრულებს ყველა ძირითად პროცედურას, რომელიც შეიძლება საჭირო გახდეს საპროექტო სამუშაოების დროს.

საანგარიშო ბლოკს შეუძლია შეასრულოს ნებისმიერი პროგრამა აპლიკაციის პაკეტიდან, რომელიც შეიცავს ყველა საჭირო პროგრამას, რომელსაც იყენებენ დეველოპერები. კონკრეტული პროგრამის გამოძახება ხორციელდება სიმულატორის მოთხოვნით ან საექსპერტო სისტემა, ან თავად კონსტრუქტორი.

Მონაცემთა ბაზა

დავალების ფორმირების ბლოკი

მომხმარებელი

სურათი 6.5 - CAD B-ის ტიპიური დიაგრამა დავალების ფორმირების ბლოკიდიზაინერი აცნობს ტექნიკურ

დიზაინის ბრიფინგი, რომელიც განსაზღვრავს დიზაინში მისაღწევ ყველა მიზანს და ყველა შეზღუდვას, რომელიც არ შეიძლება დაირღვეს.

ტექნიკური დოკუმენტაციის მომზადების განყოფილება დიზაინერს საშუალებას აძლევს მოამზადოს საჭირო დოკუმენტები ახალი პროდუქტების შექმნის ბოლო ორი ეტაპისთვის.

სპეციფიკურმა სისტემებმა შეიძლება გადაუხვიოს ამ ტიპიური სქემიდან.

განვიხილოთ CAD და საინჟინრო გრაფიკული რედაქტორების და CAD / CAM / CAE სისტემების კონკრეტული მაგალითები

6.3 2D-3D მოდელირების მოდულების ფუნქციონირება

AutoCAD გრაფიკული სისტემა არის დე ფაქტო სტანდარტი საინჟინრო გრაფიკულ სისტემებში. AutoCAD-ის უახლესი ვერსიები არის თანამედროვე 32-ბიტიანი Windows აპლიკაციები ინჟინრებისთვის და CAD მომხმარებლებისთვის. AutoCAD უზრუნველყოფს ეფექტურ სამუშაო გარემოს და ამით დიზაინერებს საშუალებას აძლევს მეტი კონცენტრირება მოახდინონ პროექტებზე და დახარჯონ ნაკლები დრო კლავიატურიდან პარამეტრების შეყვანაში.

ისეთი ფუნქციები, როგორიცაა მრავალჯერადი დიზაინის გარემო, AutoCAD DesignCenter, Intellimouse მხარდაჭერა და სხვა, მხარს უჭერს ბუნებრივ, ინტუიციურ, ეფექტურ სამუშაო გარემოს.

SOLIDCAM არის შპს CADTECH-ის პროდუქტი. - ძლიერი

ინსტრუმენტი CNC მანქანებისთვის საკონტროლო პროგრამების მისაღებად კომპლექსის შემცველი ნაწილების დამუშავებისას

ზედაპირი ან მყარი გეომეტრია. SOLIDCAM უზრუნველყოფს 2.5 და 3 ღერძიანი ფრეზს გარანტიით

დაღლილი არარსებობა "undercuts", გარდამტეხი

რევოლუციის ორგანოები, ჭრის პროცესის ვიზუალიზაცია მასალის ამოღების იმიტაციით.

სურათი 6.6 - პროგრამის გამოყენება SOLIDCAM წარმოებაშია

bCAD სისტემა შეიქმნა აპლიკაციების ფართო სპექტრისთვის, ამიტომ მისი ფუნქციონირება საკმაოდ მრავალმხრივია (სურათი 6.7).

bCAD სისტემა შექმნილია და განვითარებულია, როგორც უნივერსალური დიზაინერის სამუშაო სადგური, რომელიც საშუალებას გაძლევთ განახორციელოთ სამუშაოების ფართო სპექტრი "ბოლოდან ბოლომდე" რეჟიმში - ნახატიდან სამგანზომილებიან მოდელამდე ან, პირიქით, სამგანზომილებიან მოდელამდე. - განზომილებიანი წარმოდგენა ბრტყელ პროგნოზებზე. ამავდროულად, შესაძლებელია ტექნიკური დოკუმენტაციის წარმოება სტანდარტების მოთხოვნების შესაბამისად, რეალისტური გამოსახულების მიღება და მონაცემების მომზადება გაანგარიშების სისტემებისთვის.

სურათი 6.7 - bCAD სისტემის ფანჯარა

bCAD-ში მომზადებული რასტერული გამოსახულებები შეიძლება დაიწეროს GIF, TGA, BMP, JPG, TIFF ან PCX ფორმატებში და გამოიყენონ საგამომცემლო ან ილუსტრაციულ პაკეტებში.

ბოლო დროს, ტექნიკური უნივერსიტეტების სასწავლო პროცესში საპროექტო დოკუმენტაციის შემუშავებისას, ფართოდ გამოიყენება რუსული კომპანია ASCON-ის მიერ შემუშავებული KOMPAS-3D სისტემა.

ნახატის და დიზაინის რედაქტორი KOMPAS-3D შეიცავს საკმარის სახატავ ხელსაწყოებს ნებისმიერი სირთულის ნახატების შესაქმნელად რუსული სტანდარტების სრული მხარდაჭერით. ამ პროგრამის მარტივი და გასაგები ინტერფეისი წარმატებით არის შერწყმული პროფესიონალური სისტემის მოქნილობასთან ნახაზის ობიექტების აგების, შერჩევის, წაშლის, GOST-ის მიხედვით აკრეფის, ყველა ტიპის ზომების დაყენების, ფორმის ტოლერანტობისა და ზედაპირების, პოზიციების, ბაზების და ა.შ. .

KOMPAS-3D შექმნილია სპეციალურად MS Windows-ის ოპერაციული გარემოსთვის და სრულად იყენებს მის ყველა მახასიათებელს და უპირატესობას, რაც მომხმარებელს აძლევს მუშაობის მაქსიმალურ ეფექტურობასა და კომფორტს.

შემდეგი გრაფიკული ობიექტები მხარდაჭერილია KOMPAS-3D-ში.

გეომეტრიული ობიექტები:						სწორი ხაზის სეგმენტი
	წრიული რკალი,				პოლიგონი,		გატეხილი ხაზი,
ბეზიერის მრუდი,		NURBS მრუდი,		გამოჩეკვა,		თანაბარი მანძილის მრუდი,
მაკროელემენტი.
		ხაზოვანი ზომა,			კუთხის ზომა,		რადიალური ზომა
	დიამეტრული ზომა,			სიმაღლის ზომა.
სპეციალური და ტექნოლოგიური აღნიშვნები:							მრავალხაზოვანი

ტექსტის წარწერა, ბაზის აღნიშვნა, ფორმისა და მდებარეობის ტოლერანტობა,

ნახატის დიზაინის ობიექტები: ტექნიკური მოთხოვნები, მთავარი წარწერა (შტამპი), დაუზუსტებელი ზედაპირების უხეშობის აღნიშვნა.

KOMPAS-3D სისტემაში ძირითადი დოკუმენტებია:

ნახატი, ფრაგმენტი, ტექსტური დოკუმენტი, სპეციფიკაცია, აწყობა და დეტალი.

ნებისმიერი ნახაზის სისტემის დახმარებით გადაჭრილი მთავარი ამოცანაა სხვადასხვა გრაფიკული დოკუმენტაციის შექმნა და გამოშვება (სურათი 6.10).

სურათი 6.10 - დეტალური ნახაზის ფრაგმენტი KOMPAS-3D-ში

აგების უმარტივესი და გასაგები გზაა კურსორის საშუალებით წერტილების პირდაპირი მითითება შეყვანის ველზე. მაგალითად, სეგმენტის შექმნისას თანმიმდევრულად ფიქსირდება მისი საწყისი წერტილი, შემდეგ კი საბოლოო წერტილი.

კიდევ ერთი გზა არის კოორდინატების ზუსტი მნიშვნელობების დაზუსტება სასურველ წერტილში გადასასვლელად და შემდეგ მისი დაფიქსირება. კოორდინატების საჩვენებლად და შესაყვანად მოწოდებულია სპეციალური X და Y ველები, რომლებიც ნაჩვენებია მიმდინარე სტატუსის ზოლის მარჯვენა მხარეს.

და ბოლოს, ობიექტის პარამეტრების ზოლი საშუალებას გაძლევთ განახორციელოთ ნახაზის ობიექტების მართვის ყველაზე ფართო შესაძლებლობები.

შეგიძლიათ ნახატის ან ფრაგმენტული ობიექტების გადატანა მაუსის გამოყენებით ან მენიუს ბრძანებების გამოყენებით.

მუშაობის ძირითადი მეთოდებია: ობიექტების გადატანა მაუსით; ობიექტების კოპირება მაუსით; გრაფიკული ობიექტების მარტივი მოცილება; ობიექტების დამახასიათებელი წერტილების რედაქტირება; ობიექტის პარამეტრების რედაქტირება.

KOMPAS-3D სისტემას შეუძლია შექმნას ნაწილის სამგანზომილებიანი მოდელები, რათა გადაიტანოს გეომეტრია სხვადასხვა დიზაინის პარამეტრებზე ან პაკეტებზე CNC აღჭურვილობის კონტროლის პროგრამების შემუშავებისთვის, ასევე შექმნას დიზაინის დოკუმენტაცია შემუშავებული ნაწილებისთვის (სურათი 6.11). ).

ნახაზი 6.11 KOMPAS-3D-ში მუშაობის მაგალითი

ძირითადი ამოცანები, რომლებსაც KOMPAS-3D წყვეტს, არის ნაწილის სამგანზომილებიანი მოდელის ფორმირება, რათა გადაიტანოს გეომეტრია სხვადასხვა საანგარიშო პაკეტებზე ან პაკეტებზე საკონტროლო პროგრამების შემუშავებისთვის.

CNC ruding, ასევე შემუშავებული ნაწილების საპროექტო დოკუმენტაციის შექმნა.

ხისტი სხეულის მოდელირების საყოველთაოდ მიღებული პროცედურაა ლოგიკური მოქმედებების (კავშირი, გამოკლება და გადაკვეთა) თანმიმდევრული შესრულება მყარ ელემენტებზე (სფეროები, პრიზმები, ცილინდრები, კონუსები, პირამიდები და ა.შ.). ასეთი ოპერაციების მაგალითი ნაჩვენებია ნახაზზე 6.12.

სურათი 6.12 - ლოგიკური ოპერაციების შესრულების მაგალითი

ლოგიკური მოქმედებები მყარ ელემენტებზე: ა) ცილინდრი; ბ) ცილინდრისა და პრიზმის კომბინაცია; გ) პრიზმის გამოკლება; დ) ცილინდრის გამოკლება.

KOMPAS-3D-ში, სამგანზომილებიანი ელემენტების ფორმის დასაყენებლად, შესრულებულია ბრტყელი ფიგურის ისეთი გადაადგილება სივრცეში, რომლის კვალი განსაზღვრავს ელემენტის ფორმას (მაგალითად, წრიული რკალის ბრუნვა ღერძის გარშემო. ქმნის სფეროს ან ტორუსს, მრავალკუთხედის გადაადგილებას – პრიზმას და სხვ.). მოცულობითი ელემენტების ფორმირება: ა) პრიზმა, ბ) ტორუსი, გ) კინემატიკური ელემენტი (სურათი 6.12).

სურათი 6.12 - მოცულობითი ელემენტების ფორმირება

ბრტყელ ფიგურას, რომლის საფუძველზეც იქმნება სხეული, ეწოდება ჩანახატი, ხოლო ესკიზის ფორმირების მოძრაობას - ოპერაცია.

კითხვები თვითკონტროლისთვის მე-6 თემაზე:

1. რას მოიცავს ტერმინი "კომპიუტერული გრაფიკა"?

2. რა ეკუთვნის კომპიუტერული გრაფიკის აპარატურას?

3. ჩამოთვალეთ გრაფიკის ძირითადი ტიპები.

4. გამოსახულების ფორმირების მეთოდის მიხედვით კომპიუტერული გრაფიკა იყოფა ……….. რა განსხვავებაა მათ შორის?

5. რა არის ფრაქტალური გრაფიკის ძირითადი ელემენტი?

6. რა არის ვექტორული გრაფიკის ძირითადი ელემენტი?

7. რა არის ტიპიური CAD სისტემის ელემენტები?

8. დაასახელეთ თქვენთვის ცნობილი საინჟინრო გრაფიკული სისტემები.

9. რა ოპერაციები გამოიყენება ხისტი სხეულის მოდელირებისთვის?

ბიბლიოგრაფია

1. რინინი ნ.ა. აღწერილობითი გეომეტრია. ორთოგონალური პროგნოზები. პეტროგრადი, 1918.- 334 გვ.

2. გორდონ V.O. აღწერითი გეომეტრიის კურსი / V.O. გორდონი, მ.ა. სემენცოვი-ოგიევსკი. - M: "მეცნიერება", 2002. - 382გვ.

3. ვინიცკი ი.გ. აღწერილობითი გეომეტრია. სახელმძღვანელო უმაღლესი სკოლებისთვის. - მ .: "უმაღლესი სკოლა", 1975.- 280 ს., ილუსტრაციებით.

4. პორსინი იუ.ა. მანქანათმშენებლობის ნაწილების აქსონომეტრიული გამოსახულებები.მე-2 გამოცემა, შესწორებული. და დაუმატეთ.-ლ .: „ინჟინერია“, 1976.- 232გვ., ავად.

5. ვინოგრადოვი ვ.ნ. აღწერილობითი გეომეტრია. მინსკი, „უმაღლესი. სკოლა“, 1977 წ.-308წ., ავად.

6. ბუბენნიკოვი A.V. აღწერილობითი გეომეტრია. სახელმძღვანელო უნივერსიტეტებისთვის. - M .:

უმაღლესი სკოლა, 1985.-288წ., ილ.

7. არუსტამოვი ხ.ა. დავალებების კრებული აღწერილ გეომეტრიაზე

/ ჰ.ა. არუსტამოვი. - მ: "ინჟინერია", 1981. - 446წ.

8. საინჟინრო გრაფიკა: ზოგადი კურსი: სახელმძღვანელო / რედ. ნ.გ. ივანცივსკაია და ვ.გ. ბუროვა - ედ.მე-2, შესწორებული. და დაამატე.-მ.: ლოგოსი, 2004.- 232გვ.: ილ.

9. პეკლიჩ ვ.ა. აღწერითი გეომეტრია / საგანმანათლებლო გამოცემა.-მ .: სამშენებლო უნივერსიტეტების ასოციაციის გამომცემლობა, 2007.-272წ., ილუსტრაციებით.