გაკვეთილი #30 (ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი, კლასი 11)
გაკვეთილის თემა: ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით.
გაკვეთილის მიზანი: 1 . გააფართოვეთ ხარისხის ცნება, მიეცით ხარისხის ცნება რაციონალური მაჩვენებლით; ასწავლოს თუ როგორ თარგმნოს ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით ძირში და პირიქით; სიმძლავრეების გამოთვლა რაციონალური მაჩვენებლით.
2. მეხსიერების, აზროვნების განვითარება.
3. საქმიანობის ფორმირება.
„მოდით ვინმემ სცადოს გადაკვეთა
მათემატიკის ხარისხიდან და ნახავს
მათ გარეშე შორს ვერ წახვალ." M.V. ლომონოსოვი
გაკვეთილების დროს.
I. გაკვეთილის თემისა და მიზნის კომუნიკაცია.
II. დაფარული მასალის გამეორება და კონსოლიდაცია.
1. გადაუჭრელი სახლის მაგალითების ანალიზი.
2. დამოუკიდებელი მუშაობის კონტროლი:
ვარიანტი 1.
1. ამოხსენით განტოლება: √(2x - 1) = 3x - 12
2. ამოხსენით უტოლობა: √(3x - 2) ≥ 4 - x
ვარიანტი 2.
1. ამოხსენით განტოლება: 3 - 2x \u003d √ (7x + 32)
2. ამოხსენით უტოლობა: √(3x + 1) ≥ x - 1
III. ახალი მასალის სწავლა.
1 . გავიხსენოთ რიცხვების ცნების გაფართოება: N є Z є Q є R.
ეს საუკეთესოდ არის წარმოდგენილი, როგორც ქვემოთ მოცემული დიაგრამა:
ბუნებრივი (N)
Ნული
არაუარყოფითი რიცხვები
უარყოფითი რიცხვები
წილადი რიცხვები
მთელი რიცხვები (Z)
ირაციონალური
რაციონალური (Q)
რეალური რიცხვები
2. ქვედა კლასებში განისაზღვრა რიცხვის ხარისხის ცნება მთელი რიცხვის მაჩვენებლით. ა) გავიხსენოთ ა) ხარისხის განმარტება ნატურალური, ბ) უარყოფითი მთელი რიცხვით, გ) ნულოვანი მაჩვენებლით.ხაზი გაუსვით, რომ გამოთქმა ან აზრი აქვს n-ს ყველა რიცხვს და a-ს ნებისმიერ მნიშვნელობას, გარდა a=0 და n≤0.
ბ) ჩამოთვალეთ გრადუსების თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.
3 . ზეპირი სამუშაო.
ერთი). გამოთვალეთ: 1 -5 ; 4-3; (-100; (-5) -2; (1/2) -4 ; (3/7) -1.
2). დაწერეთ უარყოფითი მაჩვენებლის სახით:
1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7; 1/a 9 .
3).შეადარე ერთეულთან: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .
4 . ახლა თქვენ უნდა გესმოდეთ გამონათქვამების მნიშვნელობა 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 და ა.შ. ამისათვის აუცილებელია ხარისხის ცნების განზოგადება ისე, რომ ხარისხების ყველა ჩამოთვლილი თვისება დაკმაყოფილდეს. განვიხილოთ თანასწორობა (ა m/n ) n = a m . მაშინ, n-ე ფესვის განმარტებით, გონივრული იქნება ვივარაუდოთ, რომ ამ/ნ იქნება ა-ის n-ე ფესვიმ . მოცემულია ხარისხის განმარტება რაციონალური მაჩვენებლით.
5. განვიხილოთ მაგალითები 1 და 2 სახელმძღვანელოდან.
6. მოდით გავაკეთოთ მთელი რიგი შენიშვნები რაციონალური მაჩვენებლით ხარისხის ცნებასთან დაკავშირებით.
შენიშვნა 1 : ნებისმიერი a>0 და რაციონალური რიცხვისთვის r, რიცხვი a r>0
შენიშვნა 2 : წილადების ძირითადი თვისებით რაციონალური რიცხვი m/n შეიძლება ჩაიწეროს mk/nk ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის k. მერეხარისხის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული რაციონალური რიცხვის ჩაწერის ფორმაზე,ვინაიდან mk/nk = = nk √ a mk = n √ a m = a m/n
შენიშვნა 3: Როდესაც ავხსნათ ეს მაგალითით. განვიხილოთ (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. მეორეს მხრივ: 1/3 = 2/6 და შემდეგ (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. ჩვენ ვიღებთ წინააღმდეგობას.
მათემატიკის მასწავლებელი: ნაშკენოვა ა.ნ. მაიბალიკის საშუალო სკოლა გაკვეთილის მონახაზი თემაზე "ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით"
(ალგებრა, კლასი 11)
გაკვეთილის მიზნები:
მოსწავლეთა ცოდნის გაფართოება და გაღრმავება რიცხვის ხარისხის შესახებ; სტუდენტების გაცნობა ხარისხის ცნების რაციონალური ინდიკატორის და მათი თვისებების შესახებ;
გამოთვალეთ გამონათქვამების მნიშვნელობების თვისებების გამოყენებით ცოდნის, უნარებისა და უნარების გამომუშავება;
გააგრძელეთ მუშაობა ანალიზის, შედარების, მთავარის გამოკვეთის, ცნებების განსაზღვრისა და ახსნის უნარების გამომუშავებაზე;
კომუნიკაციური კომპეტენციების ჩამოყალიბება, მათი ქმედებების კამათის უნარი, დამოუკიდებლობის გამომუშავება, შრომისმოყვარეობა.
აღჭურვილობა: სახელმძღვანელო, დარიგების ბარათები, ლეპტოპი,საპრეზენტაციო მასალაპოვერ პოინტი ;
გაკვეთილის ტიპი: სწავლის გაკვეთილი და ახალი ცოდნის პირველადი კონსოლიდაცია.
Გაკვეთილის გეგმა:
1.ორგ. მომენტი. - 1 წუთი.
2.გაკვეთილის მოტივაცია.-2 წუთი
3. საბაზისო ცოდნის აქტუალიზაცია. - 5 წუთი.
4. ახალი მასალის შესწავლა. - 15 წუთი.
5. ფიზიკური აღზრდის წუთი - 1 წთ.
6. შესწავლილი მასალის პირველადი კონსოლიდაცია - 10 წთ
7. დამოუკიდებელი მუშაობა. - 7 წთ.
8. საშინაო დავალება. - 2 წუთი.
9. რეფლექსია - 1 წთ.
10. გაკვეთილის შედეგი. - 1 წუთი.
გაკვეთილების დროს
1. საორგანიზაციო მომენტი
ემოციური განწყობა გაკვეთილზე.
მინდა ვიმუშაო, მინდა
მუშაობა,
წარმატებებს გისურვებ დღეს.
ყოველივე ამის შემდეგ, მომავალში ეს ყველაფერი თქვენთვისაა
გამოდგება.
და მომავალში უფრო ადვილი იქნება თქვენთვის
სწავლა(სლაიდი #1)
2. გაკვეთილის მოტივაცია
სიმძლავრის აწევისა და ფესვის ამოღების ოპერაციები, ოთხი არითმეტიკული მოქმედების მსგავსად, პრაქტიკული საჭიროების შედეგად გაჩნდა. ასე რომ, კვადრატის ფართობის გამოთვლის ამოცანასთან ერთად, გვერდია რაც ცნობილია, იყო შებრუნებული ამოცანა: „რა სიგრძე უნდა ჰქონდეს კვადრატის გვერდს, რომ მისი ფართობი ტოლი იყოსin. 14-15 საუკუნეებში დასავლეთ ევროპაში გაჩნდა ბანკები, რომლებიც ფულს პროცენტით აძლევდნენ მთავრებს და ვაჭრებს, აფინანსებდნენ შორ მანძილზე მოგზაურობებსა და დაპყრობებს მაღალი პროცენტით. რთული პროცენტის გაანგარიშების გასაადვილებლად, ჩვენ შევადგინეთ ცხრილები, რომლითაც შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაიგოთ, რამდენის გადახდა გჭირდებათ.პ წლები, თუ თანხა იყო ნასესხებია onR % წლიური. გადახდილი თანხა გამოიხატება ფორმულით: ს = a (1 + ) პ .ზოგჯერ ფულს ისესხავდნენ არა მთელი რიცხვით წლების განმავლობაში, არამედ მაგალითად, 2 წლით 6 თვის განმავლობაში. თუ 2,5 წლის შემდეგ თანხაა მიმართეთ აკ , შემდეგ მომდევნო 2,5 წელიწადში კიდევ გაიზრდებაქ ჯერ და თანაბარი ხდებააკ 2 . 5 წლის შემდეგ:a=(1 + 5 , ამიტომაც ქ 2 = (1 + 5 და ნიშნავს ქ =
(სლაიდი 2) .
ამრიგად, დაიბადა წილადის მაჩვენებლით ხარისხის იდეა.
3. საბაზისო ცოდნის აქტუალიზაცია.
კითხვები:
1. რას ნიშნავს ჩანაწერი;ა პ
2. რა არის ა ?
3. რა არის პ ?
4. ა -პ =?
5. ჩაწერეთ რვეულში ხარისხის თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლით.
6. რა რიცხვებია ნატურალური, მთელი, რაციონალური? დახაზეთ ისინი ეილერის წრეების გამოყენებით.(სლაიდი 3)
პასუხები: 1. ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით
2. ა-ბაზა
3. P- ექსპონენტი
4. ა -პ =
5. ხარისხის თვისებები მთელი რიცხვის მაჩვენებლით:
ა მ *ა ნ = ა (მ+ნ) ;
ა მ : ა ნ = ა (მ-ნ) ( ზე ა არა ტოლია ნული );
(ა მ ) ნ = ა (მ*ნ) ;
(a*b) ნ = ა ნ *ბ ნ ;
(ა/ბ) ნ = (ა ნ )/(ბ ნ ) (ზე ბ არ არის ნულის ტოლი);
ა 1 = a;
ა 0 = 1 (როდესაც ა არ არის ნულის ტოლი);
ეს თვისებები მოქმედი იქნება ნებისმიერი a, b და ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის m და n.
6.1,2,3, …- დადებითი რიცხვები – ნატურალური რიცხვების სიმრავლე –ნ
0,-1,-2,-3,.. რიცხვი O და უარყოფითი რიცხვები - მთელი რიცხვების სიმრავლე -ზ
ქ , - წილადი რიცხვები (უარყოფითი და დადებითი) - რაციონალური რიცხვების ნაკრები -ქ ზნ
ეილერის წრეები (სლაიდი 4)
4. ახალი მასალის შესწავლა.
დაე. ა - არაუარყოფითი რიცხვი და გსურთ მისი აწევა წილადის ხარისხზე . იცით განტოლებაა მ ) ნ = ა მ ნ (სლაიდი 4) , ე.ი. ძალაუფლების ძალაუფლებაზე აყვანის წესი. ზემოხსენებულ განტოლებაში დავუშვათ, რომ m =, მაშინ მივიღებთ: (ა ) პ = ა =ა (სლაიდი 4)
აქედან შეიძლება დავასკვნათ, რომ არისა ფესვი პ - რიცხვიდან th ხარისხია , ე.ი. ა = . აქედან გამომდინარეობს, რომ (ა პ ) = პ =ა (სლაიდი 4).
შესაბამისად ა = (ა ) მ = (ა მ ) = მ . ( სლაიდი 4 ).
ამრიგად, შემდეგი თანასწორობა მოქმედებს:ა = მ (სლაიდი 4)
განმარტება: არაუარყოფითი რიცხვის ხარისხი ა რაციონალურთან ერთად , სად - შეუქცევადი წილადი, რიცხვიდან n-ე ხარისხის ფესვის მნიშვნელობა ეწოდება ა ტ .
ამიტომ, განსაზღვრებით ა = მ (სლაიდი 5)
მოდით შევხედოთ მაგალითს 1 : დაწერეთ მაჩვენებლის რაციონალური მაჩვენებლით n-ე ფესვი:
1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (სლაიდი 6) გამოსავალი: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( სლაიდი 7) გამრავლება, გაყოფა, სიმძლავრე და ფესვის ამოღება შეიძლება შესრულდეს რაციონალური მაჩვენებლის მქონე სიმძლავრეებზე იმავე წესების მიხედვით, როგორც მთელი რიცხვების მაჩვენებლებით და იგივე ფუძეების მქონე ხარისხებით:ა = ა + ა = ა - (ა ) = ა * (a*b) = ა *ში ) = ა / in სადაც p, ქ ნატურალური რიცხვებია, m, p მთელი რიცხვებია. (სლაიდი 8) 5. ფიზიკური აღზრდის ოქმიგადაატრიალეთ მზერა მარჯვნივ
გადაატრიალეთ მზერა მარცხნივ
ჭერს დახედა
ყველანი წინ ვიყურებოდით.
ერთი - მოხრილი - მოღუნვა,
ორი ─ მოხრა - გაჭიმვა
სამი - სამი ტაშის ხელში,
სამი თავი დაუქნია.
ხუთი და ექვსი ჩუმად სხედან.
და ისევ გზაზე! (სლაიდი 9)
6. შესწავლილი მასალის პირველადი კონსოლიდაცია:
გვერდი 51, No 90, No 91 - თავად შეავსეთ რვეულში,
დაფის შემოწმებით
7. დამოუკიდებელი მუშაობა
ვარიანტი 1
(სლაიდი 10)
ვარიანტი 1
(სლაიდი 11)
შეასრულეთ დამოუკიდებელი სამუშაო თანატოლების მიმოხილვით.
პასუხები:
ვარიანტი 1
(სლაიდი 12)
ასე რომ, დღეს გაკვეთილზე გავეცანით ხარისხის კონცეფციას რაციონალური მაჩვენებლით და ვისწავლეთ როგორ დავწეროთ იგი ფესვების სახით, გამოვიყენოთ გრადუსების ძირითადი თვისებები რიცხვითი გამონათქვამების მნიშვნელობების პოვნისას.8. საშინაო დავალება: No92, No93 ინფორმაცია საშინაო დავალების შესახებ
9. ანარეკლი
(სლაიდი 13)
10. გაკვეთილის შეჯამება:
რა მსგავსება და განსხვავებაა ხარისხს მთელი რიცხვის მაჩვენებლითა და ხარისხს შორის წილადის მაჩვენებლით? (მსგავსება: მთელი რიცხვის მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ყველა თვისება ასევე მოქმედებს რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხზე;
განსხვავება: გრადუსი)
ჩამოთვალეთ ხარისხის თვისებები რაციონალური მაჩვენებლით
გაკვეთილი დასრულდა დღეს
მეგობრებს ვერ პოულობ.
მაგრამ ყველამ უნდა იცოდეს:
ცოდნა, შეუპოვრობა, შრომა
იწვევენ წინსვლას ცხოვრებაში.
გმადლობთ გაკვეთილისთვის!
(სლაიდი 14)
გამონათქვამები, გამოხატვის გარდაქმნა
ძალაუფლების გამონათქვამები (გამოხატვები ძალებით) და მათი ტრანსფორმაცია
ამ სტატიაში ვისაუბრებთ გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნაზე. პირველ რიგში, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ტრანსფორმაციებზე, რომლებიც შესრულებულია ნებისმიერი სახის გამონათქვამებით, მათ შორის ძალის გამონათქვამებით, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა, მსგავსი ტერმინების შემცირება. შემდეგ ჩვენ გავაანალიზებთ გარდაქმნებს, რომლებიც თან ახლავს კონკრეტულად გამონათქვამებს გრადუსით: მუშაობა ფუძესთან და ექსპონენტთან, ხარისხების თვისებების გამოყენებით და ა.შ.
გვერდის ნავიგაცია.
რა არის ძალის გამონათქვამები?
ტერმინი "ძალაუფლების გამონათქვამები" პრაქტიკულად არ გვხვდება მათემატიკის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, მაგრამ ის ხშირად გვხვდება ამოცანების კრებულებში, განსაკუთრებით შექმნილია ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის და OGE-სთვის მოსამზადებლად, მაგალითად,. ამოცანების გაანალიზების შემდეგ, რომლებშიც საჭიროა რაიმე მოქმედების შესრულება ძალის გამონათქვამებით, ცხადი ხდება, რომ ძალაუფლების გამონათქვამები გაგებულია, როგორც გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ხარისხს მათ ჩანაწერებში. ამიტომ, თქვენთვის, შეგიძლიათ მიიღოთ შემდეგი განმარტება:
განმარტება.
ძალის გამონათქვამებიარის გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს ძალაუფლებას.
მოვიყვანოთ ძალაუფლების გამოხატვის მაგალითები. უფრო მეტიც, ჩვენ წარმოვადგენთ მათ იმის მიხედვით, თუ როგორ ხდება შეხედულებების განვითარება ბუნებრივი ინდიკატორის ხარისხიდან რეალური ინდიკატორის ხარისხამდე.
მოგეხსენებათ, ჯერ გაეცნობით რიცხვის ხარისხს ბუნებრივი მაჩვენებლით, ამ ეტაპზე 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ტიპის პირველი უმარტივესი სიმძლავრის გამოსახულებები. ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 და ა.შ.
ცოტა მოგვიანებით, შესწავლილია რიცხვის სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით, რაც იწვევს უარყოფითი მთელი ძალებით გამოსახულებების გამოჩენას, როგორიცაა: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 + c 2 .
უფროს კლასებში ისევ უბრუნდებიან ხარისხს. იქ შემოღებულია ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით, რაც იწვევს შესაბამისი სიმძლავრის გამონათქვამების გამოჩენას: 
, , 
და ა.შ. და ბოლოს, განიხილება ირაციონალური მაჩვენებლებით და მათ შემცველი გამონათქვამები: , .
საკითხი არ შემოიფარგლება ჩამოთვლილი სიმძლავრის გამოსახულებებით: შემდგომში ცვლადი აღწევს მაჩვენებელში და არის, მაგალითად, ასეთი გამონათქვამები 2 x 2 +1 ან 
. და გაცნობის შემდეგ იწყება გამონათქვამები ძალებითა და ლოგარითმებით, მაგალითად, x 2 lgx −5 x lgx.
ასე რომ, ჩვენ გავარკვიეთ კითხვა, რა არის ძალაუფლების გამოხატულება. შემდეგი, ჩვენ ვისწავლით როგორ გარდაქმნას ისინი.
ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნების ძირითადი ტიპები
ძალაუფლების გამონათქვამებით, შეგიძლიათ შეასრულოთ ნებისმიერი ძირითადი გამონათქვამების იდენტური გარდაქმნები. მაგალითად, შეგიძლიათ გააფართოვოთ ფრჩხილები, შეცვალოთ რიცხვითი გამონათქვამები მათი მნიშვნელობებით, დაამატოთ მსგავსი ტერმინები და ა.შ. ბუნებრივია, ამ შემთხვევაში აუცილებელია მიღებულის დაცვა მოქმედებების თანმიმდევრობა. მოვიყვანოთ მაგალითები.
მაგალითი.
გამოთვალეთ სიმძლავრის გამოხატვის მნიშვნელობა 2 3 ·(4 2 −12) .
გამოსავალი.
მოქმედებების თანმიმდევრობის მიხედვით, პირველ რიგში ვასრულებთ მოქმედებებს ფრჩხილებში. იქ ჯერ 4 2-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 16 (იხ. საჭიროების შემთხვევაში) და მეორეც, ვიანგარიშებთ სხვაობას 16−12=4 . Ჩვენ გვაქვს 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.
მიღებულ გამონათქვამში 2 3-ის სიმძლავრეს ვცვლით მისი მნიშვნელობით 8, რის შემდეგაც გამოვთვლით ნამრავლს 8·4=32. ეს არის სასურველი მნიშვნელობა.
Ისე, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.
პასუხი:
2 3 (4 2 −12)=32 .
მაგალითი.
ძალაუფლების გამონათქვამების გამარტივება 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
გამოსავალი.
ცხადია, ეს გამოთქმა შეიცავს ტერმინების მსგავსად 3 a 4 b −7 და 2 a 4 b −7 და შეგვიძლია შევამციროთ ისინი: .
პასუხი:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
მაგალითი.
გამოხატეთ გამოხატულება ძალებით, როგორც პროდუქტი.
გამოსავალი.
ამოცანის შესასრულებლად საშუალებას იძლევა 9 რიცხვის წარმოდგენა 3 2-ის ხარისხად და შემდგომ გამოყენებაში შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიკვადრატების განსხვავება: 
პასუხი:
ასევე არსებობს მთელი რიგი იდენტური გარდაქმნები, რომლებიც თან ახლავს ძალაუფლების გამონათქვამებს. შემდეგი, ჩვენ გავაანალიზებთ მათ.
ბაზისთან და ექსპონენტთან მუშაობა
არის ხარისხები, რომელთა საფუძველში და/ან ინდიკატორში არის არა მხოლოდ რიცხვები ან ცვლადები, არამედ ზოგიერთი გამონათქვამი. მაგალითად, დავწეროთ (2+0.3 7) 5−3.7 და (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .
მსგავს გამონათქვამებთან მუშაობისას, როგორც ხარისხის ფუძის გამოხატულება, ასევე გამოხატულება ექსპონენტში შეიძლება შეიცვალოს იდენტური თანაბარი გამოსახულებით. ოძმისი ცვლადები. ანუ ჩვენთვის ცნობილი წესების მიხედვით შეგვიძლია ცალ-ცალკე გადავიყვანოთ ხარისხის საფუძველი, ცალკე კი - ინდიკატორი. ცხადია, რომ ამ ტრანსფორმაციის შედეგად მიიღება გამონათქვამი, რომელიც იდენტურად უტოლდება თავდაპირველს.
ასეთი გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ გამოთქმები ძალებით ან მივაღწიოთ სხვა მიზნებს, რაც გვჭირდება. მაგალითად, ზემოხსენებულ 5−3.7 დენის გამოხატულებაში (2+0.3 7) შეგიძლიათ შეასრულოთ მოქმედებები ძირში და მაჩვენებელში მოცემული რიცხვებით, რაც საშუალებას მოგცემთ გადახვიდეთ 4.1 1.3 ხარისხზე. და ფრჩხილების გახსნის და (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) ხარისხის ფუძეში მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ მივიღებთ 2·(x+1) უფრო მარტივი ფორმის სიმძლავრის გამოხატვას. ) .
დენის თვისებების გამოყენება
გამონათქვამების ძალებით გარდაქმნის ერთ-ერთი მთავარი ინსტრუმენტი არის თანასწორობა, რომელიც ასახავს . გავიხსენოთ ძირითადი. ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის a და b და თვითნებური რეალური რიცხვებისთვის r და s, ძალაშია შემდეგი თვისებები:
- a r a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (ა ბ) r = a r b r;
- (ა:ბ) რ =ა რ:ბ რ ;
- (a r) s =a r s .
გაითვალისწინეთ, რომ ბუნებრივი, მთელი და დადებითი მაჩვენებლებისთვის, a და b რიცხვებზე შეზღუდვები შეიძლება არც ისე მკაცრი იყოს. მაგალითად, m და n ნატურალური რიცხვებისთვის ტოლობა a m ·a n =a m+n მართალია არა მხოლოდ დადებითი a , არამედ უარყოფითი და a=0 .
სკოლაში ძალაუფლების გამონათქვამების ტრანსფორმაციისას მთავარი ყურადღება გამახვილებულია სწორედ შესაბამისი თვისების არჩევისა და მისი სწორად გამოყენების უნარზე. ამ შემთხვევაში, გრადუსების საფუძვლები, როგორც წესი, დადებითია, რაც საშუალებას გაძლევთ გამოიყენოთ ხარისხების თვისებები შეზღუდვების გარეშე. იგივე ეხება ცვლადების შემცველი გამონათქვამების ტრანსფორმაციას გრადუსების საფუძვლებში - ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი ჩვეულებრივ ისეთია, რომ ფუძეები მასზე მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს იღებენ, რაც საშუალებას გაძლევთ თავისუფლად გამოიყენოთ თვისებები. ხარისხების. ზოგადად, თქვენ მუდმივად უნდა ჰკითხოთ საკუთარ თავს, შესაძლებელია თუ არა ამ შემთხვევაში ხარისხების რაიმე თვისების გამოყენება, რადგან თვისებების არაზუსტმა გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს ODZ-ის შევიწროება და სხვა პრობლემები. ეს პუნქტები დეტალურად და მაგალითებით არის განხილული სტატიაში. გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით. აქ შემოვიფარგლებით რამდენიმე მარტივი მაგალითით.
მაგალითი.
გამოთქვით a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 გამოთქმა ხარისხად a ფუძით.
გამოსავალი.
პირველი, ჩვენ გარდაქმნით მეორე ფაქტორს (a 2) −3 სიმძლავრის ხარისხზე აყვანის თვისებით: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. ამ შემთხვევაში საწყისი სიმძლავრის გამოხატულება მიიღებს ფორმას a 2.5 ·a −6:a −5.5 . ცხადია, რჩება ძალაუფლების გამრავლებისა და გაყოფის თვისებების გამოყენება იმავე ფუძით, გვაქვს
a 2.5 a -6: a -5.5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
პასუხი:
a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.
სიმძლავრის თვისებები გამოიყენება ძალაუფლების გამონათქვამების გარდაქმნისას როგორც მარცხნიდან მარჯვნივ, ასევე მარჯვნიდან მარცხნივ.
მაგალითი.
იპოვეთ ძალა გამოხატვის მნიშვნელობა.
გამოსავალი.
ტოლობა (a·b) r =a r ·b r, გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ, საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ორიგინალური გამოხატულებიდან ფორმის ნამრავლზე და შემდგომში. და იმავე ფუძით ძალების გამრავლებისას, ინდიკატორები ემატება: 
.
შესაძლებელი იყო ორიგინალური გამოხატვის ტრანსფორმაციის სხვა გზით შესრულება: 
პასუხი:
.
მაგალითი.
1.5 −a 0.5 −6 სიმძლავრის გამოსახულების გათვალისწინებით, შეიყვანეთ ახალი ცვლადი t=a 0.5.
გამოსავალი.
a 1.5 ხარისხი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 0.5 3 და შემდგომში ხარისხის თვისების საფუძველზე (a r) s =a r s, რომელიც გამოიყენება მარჯვნიდან მარცხნივ, გადაიყვანეთ იგი ფორმაში (a 0.5) 3. Ამგვარად, a 1.5 -a 0.5 -6=(a 0.5) 3 -a 0.5 -6. ახლა ადვილია ახალი ცვლადის შემოღება t=a 0.5 , მივიღებთ t 3 −t−6 .
პასუხი:
t 3 −t−6 .
სიმძლავრის შემცველი წილადების გადაქცევა
სიმძლავრის გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს წილადებს ხარისხებით ან წარმოადგენენ ასეთ წილადებს. ასეთ წილადებს რომელიმე ძირითადი წილადის გარდაქმნები, რომლებიც თანდაყოლილია ნებისმიერი სახის ფრაქციებში. ანუ წილადები, რომლებიც შეიცავენ ხარისხს, შეიძლება შემცირდეს, შემცირდეს ახალ მნიშვნელამდე, იმუშაოს ცალ-ცალკე მათ მრიცხველთან და ცალ-ცალკე მნიშვნელთან და ა.შ. ზემოთ მოყვანილი სიტყვების საილუსტრაციოდ, განიხილეთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნები.
მაგალითი.
ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება 
.
გამოსავალი.
ეს სიმძლავრის გამოხატულება არის წილადი. ვიმუშაოთ მის მრიცხველთან და მნიშვნელთან. მრიცხველში ვხსნით ფრჩხილებს და ვამარტივებთ ამის შემდეგ მიღებულ გამონათქვამს ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით, ხოლო მნიშვნელში წარმოვადგენთ მსგავს ტერმინებს: 
ჩვენ ასევე ვცვლით მნიშვნელის ნიშანს წილადის წინ მინუსის დაყენებით: 
.
პასუხი:
.
ძალაუფლების შემცველი წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება ხდება ისევე, როგორც რაციონალური წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება. ამავდროულად, მოიძებნება დამატებითი ფაქტორიც და მასზე მრავლდება წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ მოქმედების შესრულებისას უნდა გვახსოვდეს, რომ ახალ მნიშვნელზე შემცირებამ შეიძლება გამოიწვიოს DPV-ის შევიწროება. ამის თავიდან ასაცილებლად, აუცილებელია, რომ დამატებითი ფაქტორი არ გაქრეს ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობისთვის ODZ ცვლადებიდან ორიგინალური გამოსახულებისთვის.
მაგალითი.
მიიტანეთ წილადები ახალ მნიშვნელზე: ა) მნიშვნელზე a, ბ) 
მნიშვნელისკენ.
გამოსავალი.
ა) ამ შემთხვევაში საკმაოდ მარტივია იმის გარკვევა, თუ რა დამატებითი ფაქტორი უწყობს ხელს სასურველი შედეგის მიღწევას. ეს არის მულტიპლიკატორი 0.3-ზე, ვინაიდან 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a . გაითვალისწინეთ, რომ a ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში (ეს არის ყველა დადებითი რეალური რიცხვის სიმრავლე), a 0.3 ხარისხი არ ქრება, შესაბამისად, ჩვენ გვაქვს უფლება გავამრავლოთ მოცემული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი. ამ დამატებითი ფაქტორით: 
ბ) მნიშვნელს უფრო ყურადღებით დავაკვირდებით, ვხვდებით, რომ 
და ამ გამონათქვამის გამრავლება მივიღებთ კუბების ჯამს და, ანუ . და ეს არის ახალი მნიშვნელი, რომელსაც უნდა მივიყვანოთ საწყისი წილადი.
ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ დამატებითი ფაქტორი. გამოთქმა არ ქრება x და y ცვლადების მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონში, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი მასზე: 
პასუხი:
ა) 
, ბ) 
.
ასევე არაფერია ახალი გრადუსების შემცველი წილადების შემცირებაში: მრიცხველი და მნიშვნელი წარმოდგენილია ფაქტორების გარკვეული რაოდენობის სახით, ხოლო მრიცხველისა და მნიშვნელის იგივე ფაქტორები მცირდება.
მაგალითი.
შეამცირე წილადი: ა) 
, ბ).
გამოსავალი.
ა) ჯერ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიძლება შემცირდეს 30 და 45 რიცხვებით, რაც უდრის 15-ს. ასევე, ცხადია, შეგიძლიათ შეამციროთ x 0,5 +1-ით და 
. აი რა გვაქვს: 
ბ) ამ შემთხვევაში მრიცხველსა და მნიშვნელში ერთი და იგივე ფაქტორები მაშინვე არ ჩანს. მათი მისაღებად, თქვენ უნდა შეასრულოთ წინასწარი გარდაქმნები. ამ შემთხვევაში, ისინი მოიცავს მნიშვნელის ფაქტორებად დაშლას კვადრატების ფორმულის სხვაობის მიხედვით: 
პასუხი:
ა) 
ბ) 
.
წილადების ახალ მნიშვნელამდე შემცირება და წილადების შემცირება ძირითადად გამოიყენება წილადებზე მოქმედებების შესასრულებლად. მოქმედებები შესრულებულია ცნობილი წესების მიხედვით. წილადების შეკრებისას (გამოკლებისას) ისინი მცირდება საერთო მნიშვნელამდე, რის შემდეგაც მრიცხველები ემატება (აკლდება) და მნიშვნელი იგივე რჩება. შედეგი არის წილადი, რომლის მრიცხველი არის მრიცხველების ნამრავლი, ხოლო მნიშვნელი არის მნიშვნელების ნამრავლი. წილადზე გაყოფა არის გამრავლება მის ორმხრივად.
მაგალითი.
მიჰყევით ნაბიჯებს 
.
გამოსავალი.
ჯერ ფრჩხილებში გამოვაკლებთ წილადებს. ამისათვის ჩვენ მათ საერთო მნიშვნელამდე მივყავართ, რაც არის 
, შემდეგ გამოაკელი მრიცხველები: 
ახლა ვამრავლებთ წილადებს: 
ცხადია, შესაძლებელია x 1/2 სიმძლავრის შემცირება, რის შემდეგაც გვაქვს 
.
თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაამარტივოთ სიმძლავრის გამოხატულება მნიშვნელში კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით: 
.
პასუხი:
მაგალითი.
ძალაუფლების გამოხატვის გამარტივება 
.
გამოსავალი.
ცხადია, ეს წილადი შეიძლება შემცირდეს (x 2.7 +1) 2-ით, ეს იძლევა წილადს 
. გასაგებია, რომ x-ის ძალებით სხვა რამის გაკეთებაა საჭირო. ამისთვის მიღებულ წილადს პროდუქტად ვაქცევთ. ეს გვაძლევს შესაძლებლობას გამოვიყენოთ ძალაუფლების გამყოფი თვისება იგივე საფუძვლებით: 
. პროცესის ბოლოს კი ბოლო პროდუქტიდან ფრაქციაზე გადავდივართ.
პასუხი:
.
და ვამატებთ, რომ შესაძლებელია და ხშირ შემთხვევაში სასურველია უარყოფითი მაჩვენებლების მქონე ფაქტორების გადატანა მრიცხველიდან მნიშვნელზე ან მნიშვნელიდან მრიცხველზე მაჩვენებლის ნიშნის შეცვლით. ასეთი გარდაქმნები ხშირად ამარტივებს შემდგომ მოქმედებებს. მაგალითად, დენის გამოხატულება შეიძლება შეიცვალოს .
გამონათქვამების კონვერტაცია ფესვებითა და ძალებით
ხშირად გამონათქვამებში, რომლებშიც საჭიროა გარკვეული გარდაქმნები, წილადებთან ერთად ხარისხებთან ერთად, არის ფესვებიც. ასეთი გამონათქვამის სასურველ ფორმაში გადასაყვანად, უმეტეს შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ ფესვებზე გადასვლა ან მხოლოდ ძალებზე გადასვლა. მაგრამ რადგან უფრო მოსახერხებელია ხარისხებთან მუშაობა, ისინი ჩვეულებრივ გადადიან ფესვებიდან გრადუსამდე. თუმცა, მიზანშეწონილია განახორციელოთ ასეთი გადასვლა, როდესაც ცვლადების ODZ ორიგინალური გამოსახულებისთვის საშუალებას გაძლევთ შეცვალოთ ფესვები გრადუსით მოდულზე წვდომის აუცილებლობის გარეშე ან ODZ-ს რამდენიმე ინტერვალებად გაყოფა (ეს დეტალურად განვიხილეთ სტატია, ფესვებიდან ძალაზე გადასვლა და პირიქით, რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხის გაცნობის შემდეგ შემოღებულია ირაციონალური ინდიკატორის ხარისხი, რაც შესაძლებელს ხდის ხარისხზე საუბარი თვითნებური რეალური მაჩვენებლით. ამ ეტაპზე, სკოლა იწყებს სწავლას ექსპონენციალური ფუნქცია, რომელიც ანალიტიკურად მოცემულია ხარისხით, რომლის საფუძველზეც არის რიცხვი, ხოლო ინდიკატორში - ცვლადი. ასე რომ, ჩვენ წინაშე ვდგავართ ხარისხობრივი გამონათქვამების შემცველი რიცხვების შემცველობით, ხოლო ექსპონენტში - გამოსახულებებს ცვლადებით და ბუნებრივია ჩნდება ასეთი გამონათქვამების გარდაქმნების საჭიროება.
უნდა ითქვას, რომ მითითებული ტიპის გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ჩვეულებრივ უნდა განხორციელდეს ამოხსნისას ექსპონენციალური განტოლებებიდა ექსპონენციური უტოლობებიდა ეს გარდაქმნები საკმაოდ მარტივია. უმეტეს შემთხვევაში, ისინი ეფუძნება ხარისხის თვისებებს და ძირითადად მიმართულია მომავალში ახალი ცვლადის დანერგვაზე. განტოლება საშუალებას მოგვცემს ვაჩვენოთ ისინი 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
პირველ რიგში, მაჩვენებლები, რომელთა მაჩვენებლებშიც არის ნაპოვნი ზოგიერთი ცვლადის (ან ცვლადის გამოსახულებების) ჯამი და რიცხვი, იცვლება პროდუქტებით. ეს ეხება მარცხენა მხარეს გამოთქმის პირველ და ბოლო ტერმინებს:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
შემდეგი, თანასწორობის ორივე მხარე იყოფა გამოსახულებით 7 2 x, რომელიც იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს ODZ ცვლადზე x ორიგინალური განტოლებისთვის (ეს არის სტანდარტული ტექნიკა ამ ტიპის განტოლებების გადასაჭრელად, ჩვენ არ ვსაუბრობთ ახლა, ასე რომ, ფოკუსირება მოახდინეთ გამონათქვამების შემდგომ გარდაქმნებზე ძალებით): 
ახლა ძალაუფლების მქონე ფრაქციები გაუქმებულია, რაც იძლევა 
.
საბოლოოდ, თანაფარდობა ერთი და იგივე მაჩვენებლებით იცვლება თანაფარდობის ხარისხებით, რაც იწვევს განტოლებას 
, რაც უდრის 
. განხორციელებული გარდაქმნები საშუალებას გვაძლევს შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, რომელიც ამცირებს საწყისი ექსპონენციალური განტოლების ამონახს კვადრატულ განტოლებამდე
