បានផ្តល់ឱ្យរាងជាកោណរាងជារង្វង់ជាមួយ vertex m. សិក្សាទ្រឹស្តីនៃផ្នែកសាជី

អត្ថបទពន្យល់ពីមេរៀន៖

យើងបន្តសិក្សាផ្នែកនៃធរណីមាត្ររឹង "រាងកាយនៃបដិវត្តន៍" ។

សាកសពនៃបដិវត្តរួមមាន: ស៊ីឡាំង, កោណ, បាល់។

ចូរយើងចងចាំនិយមន័យ។

កម្ពស់គឺជាចំងាយពីកំពូលនៃតួរលេខ ឬតួទៅមូលដ្ឋាននៃរូប (តួ)។ បើមិនដូច្នោះទេផ្នែកដែលភ្ជាប់ផ្នែកខាងលើនិងខាងក្រោមនៃតួលេខហើយកាត់កែងទៅវា។

សូមចាំថា ដើម្បីស្វែងរកផ្ទៃនៃរង្វង់មួយ គុណ pi ដោយការ៉េនៃកាំ។

តំបន់នៃរង្វង់គឺស្មើគ្នា។

រំលឹកឡើងវិញពីរបៀបស្វែងរកតំបន់រង្វង់ដោយដឹងពីអង្កត់ផ្ចិត? ដោយសារតែ

ចូរយើងដាក់វានៅក្នុងរូបមន្ត៖

កោណក៏ជាតួនៃបដិវត្តន៍ដែរ។

កោណ (ច្បាស់ជាងនេះទៅទៀត កោណរាងជារង្វង់) គឺជាតួដែលមានរង្វង់មួយ - មូលដ្ឋាននៃកោណ ចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនៃរង្វង់នេះ - ផ្នែកខាងលើនៃកោណ និងផ្នែកទាំងអស់ដែលតភ្ជាប់ផ្នែកខាងលើនៃ កោណជាមួយនឹងចំណុចនៃមូលដ្ឋាន។

ចូរយើងស្គាល់រូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកបរិមាណនៃកោណ។

ទ្រឹស្តីបទ។ បរិមាណនៃកោណគឺស្មើនឹងមួយភាគបីនៃផ្ទៃមូលដ្ឋានគុណនឹងកម្ពស់។

ចូរយើងបង្ហាញទ្រឹស្តីបទនេះ។

ដែលបានផ្តល់ឱ្យ: កោណ S គឺជាតំបន់នៃមូលដ្ឋានរបស់វា

h គឺជាកម្ពស់នៃកោណ

បញ្ជាក់៖ V=

ភ័ស្តុតាង៖ ពិចារណាកោណដែលមានបរិមាណ V, កាំមូលដ្ឋាន R, កម្ពស់ h, និងកំពូលនៅចំណុច O ។

ចូរយើងណែនាំអ័ក្ស Ox តាមរយៈ OM ដែលជាអ័ក្សនៃកោណ។ ផ្នែកបំពាននៃកោណដោយយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស x គឺជារង្វង់ដែលស្ថិតនៅចំកណ្តាលចំណុច

M1 - ចំណុចប្រសព្វនៃយន្តហោះនេះជាមួយអ័ក្ស Ox ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់កាំនៃរង្វង់នេះជា R1 និងផ្ទៃកាត់ជា S(x) ដែល x គឺជា abscissa នៃចំនុច M1 ។

ពីភាពស្រដៀងគ្នានៃត្រីកោណមុំខាងស្តាំ OM1A1 និង OMA (ے OM1A1 = ے OMA - បន្ទាត់ត្រង់ ےMOA-ទូទៅ ដែលមានន័យថា ត្រីកោណគឺស្រដៀងគ្នាក្នុងមុំពីរ) វាដូចខាងក្រោម។

តួលេខបង្ហាញថា OM1=x, OM=h

ឬពីណាដោយទ្រព្យសម្បត្តិនៃសមាមាត្រយើងរកឃើញ R1 = .

ដោយសារផ្នែកគឺជារង្វង់បន្ទាប់មក S (x) \u003d πR12 យើងជំនួសកន្សោមមុនជំនួសឱ្យ R1 ផ្ទៃផ្នែកគឺស្មើនឹងសមាមាត្រនៃផលិតផលនៃ pi er ការ៉េដោយការ៉េ x ទៅការ៉េនៃកម្ពស់:

តោះអនុវត្តរូបមន្តមូលដ្ឋាន

ការគណនាបរិមាណនៃអង្គធាតុដោយ a=0, b=h យើងទទួលបានកន្សោម (1)

ដោយសារមូលដ្ឋាននៃកោណគឺជារង្វង់ ផ្ទៃ S នៃមូលដ្ឋាននៃកោណនឹងស្មើនឹង pi er square

នៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់គណនាបរិមាណនៃតួមួយ យើងជំនួសតម្លៃនៃ pi er square ដោយផ្ទៃនៃមូលដ្ឋាន ហើយយើងទទួលបានថាបរិមាណនៃកោណគឺស្មើនឹងមួយភាគបីនៃផលិតផលនៃផ្ទៃ។ នៃ​មូលដ្ឋាន​និង​កម្ពស់

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

Corollary នៃទ្រឹស្តីបទ (រូបមន្តសម្រាប់បរិមាណនៃកោណកាត់)

បរិមាណ V នៃកោណកាត់ដែលកម្ពស់ h និងតំបន់នៃមូលដ្ឋាន S និង S1 ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត

វ៉េគឺស្មើនឹងមួយភាគបីនៃផេះ គុណនឹងផលបូកនៃតំបន់នៃមូលដ្ឋាន និងឫសការ៉េនៃផលិតផលនៃតំបន់នៃមូលដ្ឋាន។

ដោះស្រាយបញ្ហា

ត្រីកោណកែងដែលមានជើង 3 សង់ទីម៉ែត្រ និង 4 សង់ទីម៉ែត្រ បង្វិលជុំវិញអ៊ីប៉ូតេនុស។ កំណត់បរិមាណនៃរាងកាយលទ្ធផល។

នៅពេលដែលត្រីកោណបង្វិលជុំវិញអ៊ីប៉ូតេនុស យើងទទួលបានកោណមួយ។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហានេះ ចាំបាច់ត្រូវយល់ថា ករណីពីរគឺអាចធ្វើទៅបាន។ នៅក្នុងពួកវានីមួយៗយើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការស្វែងរកបរិមាណនៃកោណ: បរិមាណនៃកោណគឺស្មើនឹងមួយភាគបីនៃផលិតផលនៃមូលដ្ឋាននិងកម្ពស់។

ក្នុងករណីដំបូងគំនូរនឹងមើលទៅដូចនេះ: កោណត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ សូមឱ្យកាំ r = 4, កម្ពស់ h = 3

ផ្ទៃនៃមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងផលគុណនៃπដងការ៉េនៃកាំ

បន្ទាប់មកបរិមាណនៃកោណគឺស្មើនឹងមួយភាគបីនៃផលិតផលនៃπដងការ៉េនៃកាំដងនៃកម្ពស់។

ជំនួសតម្លៃនៅក្នុងរូបមន្តវាប្រែថាបរិមាណនៃកោណគឺ 16π ។

ក្នុងករណីទីពីរដូចនេះ: បានផ្តល់កោណ។ សូមឱ្យកាំ r = 3 កម្ពស់ h = 4

បរិមាណនៃកោណគឺស្មើនឹងមួយភាគបីនៃផ្ទៃមូលដ្ឋានគុណនឹងកម្ពស់៖

ផ្ទៃនៃមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងផលគុណនៃπគុណនឹងការេនៃកាំ៖

បន្ទាប់មកបរិមាណនៃកោណគឺស្មើនឹងមួយភាគបីនៃផលិតផលនៃπដងការ៉េនៃកាំគុណនឹងកម្ពស់:

ជំនួសតម្លៃនៅក្នុងរូបមន្តវាប្រែថាបរិមាណនៃកោណគឺ 12π។

ចម្លើយ៖ បរិមាណនៃកោណ V គឺ 16 π ឬ 12 π

បញ្ហា 2. បានផ្តល់កោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំដែលមានកាំ 6 សង់ទីម៉ែត្រ មុំ BCO = 45 ។

ស្វែងរកបរិមាណនៃកោណ។

ដំណោះស្រាយ៖ គំនូរដែលត្រៀមរួចជាស្រេចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យសម្រាប់កិច្ចការនេះ។

ចូរយើងសរសេររូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកបរិមាណនៃកោណ៖

យើងបង្ហាញវាតាមកាំនៃមូលដ្ឋាន R:

យើងរកឃើញ h \u003d BO ដោយសំណង់ - ចតុកោណកែង មុំ BOC = 90 (ផលបូកនៃមុំនៃត្រីកោណមួយ) មុំនៅមូលដ្ឋានគឺស្មើគ្នាដូច្នេះត្រីកោណ ΔBOC គឺជា isosceles និង BO = OC = 6 សង់ទីម៉ែត្រ។

ស៊ីឡាំង V \u003d S មេ។ h

ឧទាហរណ៍ ២បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​រាង​ជា​រង្វង់​ខាង​ស្ដាំ ABC ស្មើ​គ្នា BO = 10 ។ ស្វែងរកបរិមាណនៃកោណ។

ដំណោះស្រាយ

ស្វែងរកកាំនៃមូលដ្ឋាននៃកោណ។ C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

អនុញ្ញាតឱ្យ OS = កបន្ទាប់មក BC = 2 ក. យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទពីថាហ្គ័រ៖

ចម្លើយ៖ .

ឧទាហរណ៍ ៣. គណនាបរិមាណនៃតួលេខដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃតំបន់ដែលចងដោយបន្ទាត់ដែលបានបញ្ជាក់។

y2=4x; y=0; x=4 ។

ដែនកំណត់នៃការរួមបញ្ចូល a = 0, b = 4 ។

វី= | =32π


ភារកិច្ច

ជម្រើសទី 1

1. ផ្នែកអ័ក្សនៃស៊ីឡាំងគឺជាការ៉េដែលអង្កត់ទ្រូងគឺ 4 dm ។ ស្វែងរកបរិមាណស៊ីឡាំង។

2. អង្កត់ផ្ចិតខាងក្រៅនៃប្រហោងប្រហោងគឺ 18 សង់ទីម៉ែត្រ កំរាស់ជញ្ជាំង 3 សង់ទីម៉ែត្រ រកបរិមាណជញ្ជាំងនៃស្វ៊ែរ។

X រូបដែលចងដោយបន្ទាត់ y 2 =x, y=0, x=1, x=2 ។

ជម្រើសទី 2

1. កាំនៃបាល់បីគឺ 6 សង់ទីម៉ែត្រ, 8 សង់ទីម៉ែត្រ, 10 សង់ទីម៉ែត្រ កំណត់កាំនៃបាល់ដែលបរិមាណស្មើនឹងផលបូកនៃបរិមាណនៃបាល់ទាំងនេះ។

2. ផ្ទៃនៃមូលដ្ឋាននៃកោណគឺ 9 សង់ទីម៉ែត្រ 2 ផ្ទៃដីសរុបរបស់វាគឺ 24 សង់ទីម៉ែត្រ 2 ។ ស្វែងរកបរិមាណនៃកោណ។

3. គណនាបរិមាណនៃរាងកាយដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលជុំវិញអ័ក្ស O Xរូបដែលចងដោយបន្ទាត់ y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4 ។

សំណួរសាកល្បង៖

1. សរសេរលក្ខណៈសម្បត្តិនៃបរិមាណនៃសាកសព។

2. សរសេររូបមន្តសម្រាប់គណនាបរិមាណនៃតួនៃបដិវត្តជុំវិញអ័ក្ស Oy ។

ការងារ​វិនិច្ឆ័យ​មាន​ពីរ​ផ្នែក រួម​ទាំង​កិច្ចការ ១៩។ ផ្នែកទី 1 មានភារកិច្ចចំនួន 8 នៃកម្រិតមូលដ្ឋាននៃភាពស្មុគស្មាញជាមួយនឹងចម្លើយខ្លីមួយ។ ផ្នែកទី 2 មានភារកិច្ចចំនួន 4 នៃកម្រិតនៃភាពស្មុគស្មាញដែលកើនឡើងជាមួយនឹងចម្លើយខ្លី និង 7 ភារកិច្ចនៃការកើនឡើង និងកម្រិតខ្ពស់នៃភាពស្មុគស្មាញជាមួយនឹងចម្លើយលម្អិត។
3 ម៉ោង 55 នាទី (235 នាទី) ត្រូវបានបែងចែកដើម្បីអនុវត្តការងារវិនិច្ឆ័យក្នុងគណិតវិទ្យា។
ចម្លើយចំពោះកិច្ចការ 1-12 ត្រូវបានសរសេរជាចំនួនគត់ ឬប្រភាគទសភាគចុងក្រោយ។ សរសេរលេខនៅក្នុងវាលចម្លើយនៅក្នុងអត្ថបទនៃការងារ ហើយបន្ទាប់មកផ្ទេរពួកវាទៅសន្លឹកចម្លើយលេខ 1 ។ នៅពេលបញ្ចប់កិច្ចការទី 13-19 អ្នកត្រូវសរសេរដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយទៅក្នុងសន្លឹកចម្លើយនោះទេ។ ២.
ទម្រង់ទាំងអស់ត្រូវបានបំពេញដោយទឹកខ្មៅភ្លឺ។ ការប្រើប្រាស់ជែល, capillary ឬប៊ិច fountain ត្រូវបានអនុញ្ញាត។
នៅពេលបំពេញកិច្ចការ អ្នកអាចប្រើសេចក្តីព្រាង។ ធាតុព្រាងមិនរាប់បញ្ចូលក្នុងការវាយតម្លៃការងារនោះទេ។
ពិន្ទុដែលអ្នកទទួលបានសម្រាប់កិច្ចការដែលបានបញ្ចប់ត្រូវបានសង្ខេប។
យើងសូមជូនពរឱ្យអ្នកទទួលបានជោគជ័យ!

លក្ខខណ្ឌការងារ


  1. ស្វែងរកប្រសិនបើ
  2. ដើម្បីទទួលបានរូបភាពពង្រីកនៃអំពូលភ្លើងនៅលើអេក្រង់នៅក្នុងមន្ទីរពិសោធន៍ កែវភ្ជាប់ដែលមានប្រវែងប្រសព្វចម្បង = 30 សង់ទីម៉ែត្រត្រូវបានប្រើ។ ចម្ងាយពីកញ្ចក់ទៅអំពូលអាចប្រែប្រួលពី 40 ទៅ 65 សង់ទីម៉ែត្រ និងចម្ងាយ ពីកញ្ចក់ទៅអេក្រង់ - ក្នុងចន្លោះពី 75 ទៅ 100 សង់ទីម៉ែត្រ រូបភាពនៅលើអេក្រង់នឹងច្បាស់ប្រសិនបើសមាមាត្រត្រូវបានបំពេញ។ បញ្ជាក់ចម្ងាយដ៏ធំបំផុតពីកែវថត ដែលអំពូលភ្លើងអាចដាក់បាន ដើម្បីឱ្យរូបភាពរបស់វានៅលើអេក្រង់ច្បាស់។ បង្ហាញចម្លើយរបស់អ្នកជាសង់ទីម៉ែត្រ។
  3. កប៉ាល់ឆ្លងកាត់តាមដងទន្លេទៅកាន់គោលដៅចម្ងាយ 300 គីឡូម៉ែត្រ ហើយបន្ទាប់ពីចតរថយន្តត្រឡប់ទៅចំណុចចេញដំណើរវិញ។ ស្វែងរកល្បឿននៃចរន្ត ប្រសិនបើល្បឿននៃកប៉ាល់ក្នុងទឹកនៅតែមានល្បឿន 15 គីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង ការចតមានរយៈពេល 5 ម៉ោង ហើយកប៉ាល់ត្រឡប់ទៅចំណុចនៃការចាកចេញវិញ 50 ម៉ោងបន្ទាប់ពីចាកចេញពីវា។ ផ្តល់ចម្លើយរបស់អ្នកជាគីឡូម៉ែត្រក្នុងមួយម៉ោង។
  4. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកមួយ។
  5. ក) ដោះស្រាយសមីការ ខ) ស្វែងរកឫសគល់ទាំងអស់នៃសមីការនេះ ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក
  6. បានផ្តល់ឱ្យកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំជាមួយនឹងចំនុចកំពូល ម. ផ្នែកអ័ក្សនៃកោណ - ត្រីកោណដែលមានមុំ 120 °នៅកំពូល ម. ម៉ាស៊ីនបង្កើតកោណគឺ។ តាមរយៈចំណុច មផ្នែកមួយនៃកោណត្រូវបានគូរកាត់កែងទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងមួយ។
    ក) បង្ហាញថា ត្រីកោណលទ្ធផល គឺជាត្រីកោណកែង។
    ខ) រកចំងាយពីកណ្តាល អូមូលដ្ឋាននៃកោណទៅនឹងយន្តហោះនៃផ្នែក។
  7. ដោះស្រាយសមីការ
  8. រង្វង់ជាមួយកណ្តាល អូប៉ះចំហៀង ABត្រីកោណ isosceles abc,ផ្នែកបន្ថែមចំហៀង ACនិងការបន្តនៃគ្រឹះ ព្រះអាទិត្យនៅចំណុច ន. ចំណុច ម- កណ្តាលនៃមូលដ្ឋាន ព្រះអាទិត្យ។
    ក) បញ្ជាក់ MN=AC។
    ខ) ស្វែងរក ប្រព័ន្ធប្រតិបត្តិការប្រសិនបើជ្រុងនៃត្រីកោណ ABCគឺ ៥, ៥ និង ៨។
  9. គម្រោងអាជីវកម្ម "A" សន្មតថាមានការកើនឡើងនៃចំនួនទឹកប្រាក់ដែលបានវិនិយោគនៅក្នុងវា 34.56% ជារៀងរាល់ឆ្នាំក្នុងអំឡុងពេលពីរឆ្នាំដំបូង និង 44% ជារៀងរាល់ឆ្នាំក្នុងរយៈពេលពីរឆ្នាំបន្ទាប់។ គម្រោង B សន្មតថាកំណើនដោយចំនួនគត់ថេរ នភាគរយប្រចាំឆ្នាំ។ ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត។ នក្រោមនោះសម្រាប់រយៈពេលបួនឆ្នាំដំបូង គម្រោង "ខ" នឹងទទួលបានផលចំណេញច្រើនជាងគម្រោង "ក" ។
  10. ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ , , សម្រាប់គ្នាដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការ មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់
  11. Anya លេងហ្គេម៖ លេខធម្មជាតិពីរផ្សេងគ្នាត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារ ហើយទាំងពីរគឺតិចជាង 1000។ ប្រសិនបើទាំងពីរជាលេខធម្មជាតិ នោះ Anya ធ្វើចលនាមួយ - នាងជំនួសលេខមុនដោយលេខទាំងពីរនេះ។ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លេខមួយក្នុងចំណោមលេខទាំងនេះមិនមែនជាលេខធម្មជាតិ នោះហ្គេមនឹងបញ្ចប់។
    ក) តើហ្គេមអាចបន្តសម្រាប់ចលនាបីយ៉ាងបានទេ?
    ខ) តើ​មាន​លេខ​ដំបូង​ចំនួន​ពីរ​ដែល​ហ្គេម​នឹង​មាន​ចលនា​យ៉ាង​ហោច​ណាស់ 9?
    គ) Anya បានធ្វើចលនាដំបូងនៅក្នុងហ្គេម។ ស្វែងរកសមាមាត្រធំបំផុតដែលអាចធ្វើបាននៃផលិតផលនៃចំនួនពីរដែលទទួលបានទៅនឹងផលិតផល

សេចក្តីផ្តើម

ភាពពាក់ព័ន្ធនៃប្រធានបទស្រាវជ្រាវ។ផ្នែកសាជីត្រូវបានគេស្គាល់រួចទៅហើយចំពោះគណិតវិទូនៃប្រទេសក្រិកបុរាណ (ឧទាហរណ៍ Menechmus, សតវត្សទី 4 មុនគ។ ដោយមានជំនួយពីខ្សែកោងទាំងនេះ បញ្ហាសំណង់មួយចំនួនត្រូវបានដោះស្រាយ (ការកើនឡើងទ្វេដងនៃគូប។ នៅក្នុងការសិក្សាដំបូងដែលបានចុះមកយើង ធរណីមាត្រក្រិកទទួលបានផ្នែករាងសាជី ដោយគូរប្លង់កាត់កាត់កែងទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងមួយ ខណៈអាស្រ័យលើមុំបើកនៅផ្នែកខាងលើនៃកោណ (ឧទាហរណ៍ មុំធំបំផុតរវាងម៉ាស៊ីនភ្លើង។ នៃបែហោងធ្មែញមួយ) បន្ទាត់ប្រសព្វប្រែទៅជារាងពងក្រពើ ប្រសិនបើមុំនេះគឺស្រួច វាជាប៉ារ៉ាបូឡា ប្រសិនបើវាជាមុំខាងស្តាំ និងអ៊ីពែបូឡាប្រសិនបើវាជារាងពងក្រពើ។ ការងារពេញលេញបំផុតដែលត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ខ្សែកោងទាំងនេះគឺ "ផ្នែកសាជី" នៃ Apollonius នៃ Perga (ប្រហែល 200 មុនគ។ ភាពជឿនលឿនបន្ថែមទៀតនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃផ្នែកសាជីត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការបង្កើតនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ។ វិធីសាស្រ្តធរណីមាត្រថ្មី៖ ការព្យាករ (គណិតវិទូជនជាតិបារាំង J. Desargues, B. Pascal) និងជាពិសេសសម្របសម្រួល (គណិតវិទូបារាំង R. Descartes, P. Fermat) ។

ចំណាប់អារម្មណ៍លើផ្នែករាងសាជីតែងតែត្រូវបានគាំទ្រដោយការពិតដែលថាខ្សែកោងទាំងនេះត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងបាតុភូតធម្មជាតិផ្សេងៗនិងនៅក្នុងសកម្មភាពរបស់មនុស្ស។ នៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ ផ្នែករាងសាជីទទួលបានសារៈសំខាន់ពិសេស បន្ទាប់ពីតារាវិទូអាឡឺម៉ង់ I. Kepler បានរកឃើញពីការសង្កេត ហើយអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអង់គ្លេស I. Newton បានអះអាងទ្រឹស្តីច្បាប់នៃចលនារបស់ភព ដែលមួយក្នុងចំណោមនោះចែងថា ភព និងផ្កាយដុះកន្ទុយនៃប្រព័ន្ធព្រះអាទិត្យផ្លាស់ទីតាមរាងសាជី។ ផ្នែកមួយពី foci ដែលជាព្រះអាទិត្យ។ ឧទាហរណ៍ខាងក្រោមសំដៅទៅលើប្រភេទមួយចំនួននៃផ្នែករាងសាជី៖ កាំជ្រួច ឬដុំថ្មដែលបោះចោលទៅជើងមេឃពណ៌នាអំពីប៉ារ៉ាបូឡា (រូបរាងត្រឹមត្រូវនៃខ្សែកោងត្រូវបានបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយខ្លះដោយធន់នឹងខ្យល់); នៅក្នុងយន្តការមួយចំនួន ឧបករណ៍ពងក្រពើត្រូវបានប្រើ ("ឧបករណ៍រាងអេលីប"); អ៊ីពែបូឡា ដើរតួជាក្រាហ្វនៃសមាមាត្របញ្ច្រាស ដែលជារឿយៗត្រូវបានគេសង្កេតឃើញនៅក្នុងធម្មជាតិ (ឧទាហរណ៍ ច្បាប់ Boyle-Mariotte)។

គោលបំណង៖

ការសិក្សាទ្រឹស្តីនៃផ្នែកសាជី។

ប្រធានបទស្រាវជ្រាវ៖

ផ្នែកសាជី។

គោលបំណងនៃការសិក្សា៖

សិក្សាទ្រឹស្តីអំពីលក្ខណៈពិសេសនៃផ្នែកសាជី។

កម្មវត្ថុនៃការសិក្សា៖

ផ្នែកសាជី។

មុខវិជ្ជាសិក្សា៖

ការអភិវឌ្ឍន៍ប្រវត្តិសាស្ត្រនៃផ្នែកសាជី។

1. ការបង្កើតផ្នែកសាជី និងប្រភេទរបស់វា។

ផ្នែកសាជីគឺជាបន្ទាត់ដែលបង្កើតនៅក្នុងផ្នែកនៃកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំដែលមានប្លង់ផ្សេងៗគ្នា។

ចំណាំថាផ្ទៃរាងសាជីគឺជាផ្ទៃដែលបង្កើតឡើងដោយចលនានៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលឆ្លងកាត់គ្រប់ពេលវេលាតាមរយៈចំណុចថេរមួយ (ផ្នែកខាងលើនៃកោណ) ហើយប្រសព្វគ្រប់ពេលវេលា ខ្សែកោងថេរ - មគ្គុទ្ទេសក៍ (ក្នុងករណីរបស់យើង រង្វង់ )

ការចាត់ថ្នាក់បន្ទាត់ទាំងនេះយោងទៅតាមលក្ខណៈនៃទីតាំងនៃយន្តហោះ secant ដែលទាក់ទងទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងនៃកោណ ខ្សែកោងបីប្រភេទត្រូវបានទទួល៖

I. ខ្សែកោងដែលបង្កើតឡើងដោយផ្នែកនៃកោណដោយយន្តហោះមិនស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងណាមួយឡើយ។ ខ្សែកោងបែបនេះនឹងជារង្វង់ផ្សេងៗ និងរាងពងក្រពើ។ ខ្សែកោងទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងរាងអេលីប។

II. ខ្សែកោងដែលបង្កើតឡើងដោយផ្នែកមួយនៃកោណដោយយន្តហោះដែលនីមួយៗស្របទៅនឹងហ្សែនមួយនៃកោណ (រូបភាពទី 1 ខ) ។ មានតែប៉ារ៉ាបូឡាទេដែលនឹងក្លាយជាខ្សែកោងបែបនេះ។

III. ខ្សែកោងដែលបង្កើតឡើងដោយផ្នែកនៃកោណដោយយន្តហោះដែលនីមួយៗស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងពីរមួយចំនួន (រូបភាព 1c) ។ ខ្សែកោងបែបនេះនឹងជាអ៊ីពែបូឡា។

មិនអាចមានខ្សែកោងប្រភេទ IV ទៀតទេ ព្រោះមិនអាចមានយន្តហោះស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងបីនៃកោណក្នុងពេលតែមួយបានទេ ព្រោះថាមិនមានម៉ាស៊ីនភ្លើងបីនៃកោណខ្លួនឯងស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ។

ចំណាំថាកោណអាចត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះហើយដូច្នេះបន្ទាត់ត្រង់ពីរត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែក។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ ប្លង់សេកុងត្រូវតែគូសតាមផ្នែកខាងលើនៃកោណ។

2. រាងពងក្រពើ

ទ្រឹស្តីបទពីរមានសារៈសំខាន់សម្រាប់សិក្សាពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជី៖

ទ្រឹស្តីបទ 1. សូមអោយកោណរាងជារង្វង់ត្រង់ដែលត្រូវបានកាត់ដោយយន្តហោះ b 1, b 2, b 3 កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សរបស់វា។ បន្ទាប់មកផ្នែកទាំងអស់នៃម៉ាស៊ីនបង្កើតកោណរវាងគូនៃរង្វង់ណាមួយ (ទទួលបាននៅក្នុងផ្នែកជាមួយយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ) គឺស្មើគ្នាទៅវិញទៅមកពោលគឺឧ។ A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d ។ល។ និង B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d ។ល។ ទ្រឹស្តីបទ 2. ប្រសិនបើផ្ទៃស្វ៊ែរមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយចំនុច S ខ្លះស្ថិតនៅខាងក្រៅវា នោះផ្នែកនៃតង់សង់ដែលទាញចេញពីចំនុច S ទៅកាន់ផ្ទៃស្វ៊ែរនឹងស្មើគ្នាទៅវិញទៅមក ពោលគឺឧ។ SA 1 = SA 2 = SA 3 ។ល។

2.1 លក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃរាងពងក្រពើ

យើងកាត់កោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំជាមួយនឹងយន្តហោះប្រសព្វគ្នារវាងម៉ាស៊ីនភ្លើងទាំងអស់របស់វា។ នៅក្នុងផ្នែក យើងទទួលបានរាងពងក្រពើ។ ចូរយើងគូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះតាមអ័ក្សនៃកោណ។

យើង​ចារឹក​បាល់​ពីរ​ទៅក្នុង​កោណ ដូច្នេះ​ដោយ​ស្ថិត​នៅ​សងខាង​នៃ​យន្តហោះ និង​ប៉ះ​ផ្ទៃ​រាង​សាជី ពួកវា​នីមួយៗ​ប៉ះ​យន្តហោះ​នៅ​ចំណុច​ណាមួយ។

ឱ្យបាល់មួយប៉ះលើយន្តហោះនៅចំណុច F 1 ហើយប៉ះកោណតាមបណ្តោយរង្វង់ C 1 និងមួយទៀតនៅចំណុច F 2 ហើយប៉ះកោណតាមបណ្តោយរង្វង់ C 2 ។

យកចំនុច P តាមអំពើចិត្តនៅលើរាងពងក្រពើ។

នេះមានន័យថាការសន្និដ្ឋានទាំងអស់ដែលបានធ្វើឡើងអំពីវានឹងមានសុពលភាពសម្រាប់ចំណុចណាមួយនៃរាងពងក្រពើ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងគូរ generatrix នៃ OR នៃកោណ ហើយសម្គាល់ចំណុច R 1 និង R 2 ដែលវាប៉ះបាល់ដែលបានសាងសង់។

ភ្ជាប់ចំណុច P ជាមួយចំណុច F 1 និង F 2 ។ បន្ទាប់មក PF 1 = PR 1 និង PF 2 = PR 2 ចាប់តាំងពី PF 1, PR 1 គឺជាតង់ហ្សង់ដែលទាញពីចំនុច P ទៅបាល់មួយ ហើយ PF 2, PR 2 គឺជាតង់ហ្សង់ដែលទាញពីចំនុច P ទៅបាល់មួយទៀត (ទ្រឹស្តីបទ 2) . ការបន្ថែមសមភាពទាំងពីរតាមពាក្យ យើងរកឃើញ

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

ទំនាក់ទំនងនេះបង្ហាញថាផលបូកនៃចម្ងាយ (РF 1 និង РF 2) នៃចំណុចបំពាន P នៃរាងពងក្រពើទៅពីរចំណុច F 1 និង F 2 គឺជាតម្លៃថេរសម្រាប់ពងក្រពើនេះ (នោះគឺវាមិនអាស្រ័យលើទីតាំងទេ។ នៃចំណុច P នៅលើរាងពងក្រពើ) ។

ចំណុច F 1 និង F 2 ត្រូវបានគេហៅថា foci នៃរាងពងក្រពើ។ ចំនុចដែលបន្ទាត់ F 1 F 2 ប្រសព្វនឹងរាងពងក្រពើត្រូវបានគេហៅថា ចំនុចកំពូលនៃរាងពងក្រពើ។ ផ្នែករវាងចំនុចកំពូលត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សសំខាន់នៃពងក្រពើ។

ផ្នែកនៃ generatrix R 1 R 2 មានប្រវែងស្មើគ្នាទៅនឹងអ័ក្សសំខាន់នៃរាងពងក្រពើ។ បន្ទាប់មកទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃពងក្រពើត្រូវបានបង្កើតដូចខាងក្រោម: ផលបូកនៃចម្ងាយនៃចំណុចបំពាន P នៃរាងពងក្រពើទៅ foci របស់វា F 1 និង F 2 គឺជាតម្លៃថេរសម្រាប់រាងពងក្រពើនេះ ស្មើនឹងប្រវែងនៃអ័ក្សសំខាន់របស់វា។

ចំណាំថាប្រសិនបើ foci នៃរាងពងក្រពើស្របគ្នានោះ ពងក្រពើគឺជារង្វង់ ពោលគឺឧ។ រង្វង់គឺជាករណីពិសេសនៃរាងពងក្រពើ។

2.2 សមីការរាងពងក្រពើ

ដើម្បីសរសេរសមីការនៃពងក្រពើ យើងត្រូវចាត់ទុកពងក្រពើជាទីតាំងនៃចំនុចដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនដែលកំណត់លក្ខណៈនៃទីតាំងនេះ។ ចូរ​យក​លក្ខណៈ​សំខាន់​នៃ​រាង​ពង​ក្រពើ​ជា​និយមន័យ​របស់​វា​៖ រាង​អេលីប​ជា​ទីតាំង​នៃ​ចំណុច​ក្នុង​យន្តហោះ​ដែល​ផលបូក​នៃ​ចម្ងាយ​ទៅ​ចំណុច​ថេរ​ពីរ F 1 និង F 2 នៃ​យន្តហោះ​នេះ​គេ​ហៅ​ថា foci ជា​តម្លៃ​ថេរ​ស្មើ​នឹង ប្រវែងនៃអ័ក្សសំខាន់របស់វា។

សូមឱ្យប្រវែងនៃផ្នែក F 1 F 2 \u003d 2c ហើយប្រវែងនៃអ័ក្សសំខាន់គឺ 2a ។ ដើម្បីទទួលបានសមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ យើងជ្រើសរើសប្រភពដើម O នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian នៅកណ្តាលផ្នែក F 1 F 2 ហើយដឹកនាំអ័ក្ស Ox និង Oy ដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 5 ។ (ប្រសិនបើ foci ស្របគ្នា នោះ O ស្របគ្នានឹង F 1 និង F 2 ហើយលើសពីអ័ក្ស Ox អាចត្រូវបានគេយកជាអ័ក្សណាមួយដែលឆ្លងកាត់ O) ។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដែលបានជ្រើសរើសចំណុច F 1 (c, 0) និង F 2 (-c, 0) ។ ជាក់ស្តែង 2a > 2c, i.e. a> គ។ អនុញ្ញាតឱ្យ M(x, y) ជាចំណុចនៃយន្តហោះដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ពងក្រពើ។ អនុញ្ញាតឱ្យ МF 1 = r 1 , МF 2 = r 2 ។ យោងតាមនិយមន័យនៃរាងពងក្រពើសមភាព

r 1 +r 2 =2a (2) គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ទីតាំងនៃចំណុច M (x, y) នៅលើពងក្រពើដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរយើងទទួលបាន

r 1 =, r 2 = ។ ចូរយើងត្រលប់ទៅសមភាព (២)៖

ចូររំកិលឫសមួយទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាព ហើយដាក់ការ៉េវា៖

ការកាត់បន្ថយយើងទទួលបាន៖

យើងផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា កាត់បន្ថយ 4 និងដាច់ដោយឡែកពីរ៉ាឌីកាល់:

យើងការ៉េ

បើកតង្កៀបហើយខ្លីទៅ៖

ពីកន្លែងដែលយើងទទួលបាន៖

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2) ។ (3)

ចំណាំថា a 2 -c 2 > 0 ។ ជាការពិតណាស់ r 1 + r 2 គឺជាផលបូកនៃជ្រុងទាំងពីរនៃត្រីកោណ F 1 MF 2 ហើយ F 1 F 2 គឺជាផ្នែកទីបីរបស់វា។ ដូច្នេះ r 1 + r 2 > F 1 F 2 ឬ 2а> 2с, i.e. a> គ។ សម្គាល់ a 2 -c 2 \u003d b 2 ។ សមីការ (3) នឹងមើលទៅដូច៖ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ។ ចូរអនុវត្តការបំប្លែងដែលនាំសមីការពងក្រពើទៅជាទម្រង់ Canonical (ព្យញ្ជនៈ៖ យកជាគំរូ) ពោលគឺ យើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 2 ខ 2៖

(4) - សមីការ Canonical នៃរាងពងក្រពើ។

ដោយសារសមីការ (4) គឺជាលទ្ធផលពិជគណិតនៃសមីការ (2*) បន្ទាប់មក កូអរដោនេ x និង y នៃចំណុច M ណាមួយនៃពងក្រពើក៏នឹងបំពេញសមីការ (4) ផងដែរ។ ដោយសារ "ឫសបន្ថែម" អាចលេចឡើងកំឡុងពេលបំប្លែងពិជគណិតដែលទាក់ទងនឹងការកម្ចាត់រ៉ាឌីកាល់ វាចាំបាច់ត្រូវប្រាកដថាចំណុចណាមួយ M ដែលសំរបសំរួលបំពេញសមីការ (4) មានទីតាំងនៅលើរាងពងក្រពើនេះ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាបរិមាណ r 1 និង r 2 សម្រាប់ចំណុចនីមួយៗបំពេញទំនាក់ទំនង (2) ។ ដូច្នេះសូមឱ្យ x និង y កូអរដោនេនៃចំនុច M បំពេញសមីការ (4) ។ ការជំនួសតម្លៃនៃ y 2 ពី (4) ទៅជាកន្សោម r 1 បន្ទាប់ពីការបំលែងសាមញ្ញយើងរកឃើញថា r 1 = ។ ចាប់តាំងពីពេលនោះមក r 1 = ។ ស្រដៀងគ្នាដែរ យើងឃើញថា r 2 = ។ ដូច្នេះសម្រាប់ចំណុចដែលបានពិចារណា M r 1 =, r 2 =, i.e. r 1 + r 2 \u003d 2a ដូច្នេះចំនុច M ស្ថិតនៅលើរាងពងក្រពើ។ បរិមាណ a និង b ត្រូវបានគេហៅថា semiaxes ធំ និងតូចនៃរាងពងក្រពើរៀងគ្នា។

2.3 ការសិក្សាអំពីរាងពងក្រពើតាមសមីការរបស់វា។

ចូរបង្កើតរូបរាងពងក្រពើដោយប្រើសមីការ Canonical របស់វា។

1. សមីការ (4) មាន x និង y តែនៅក្នុងអំណាចគូ ដូច្នេះប្រសិនបើចំនុច (x, y) ជារបស់ពងក្រពើ នោះចំនុច (x, - y), (-x, y), (-x, - យ) វាធ្វើតាមដែលពងក្រពើគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស Ox និង Oy និងអំពីចំណុច O (0,0) ដែលត្រូវបានគេហៅថាកណ្តាលនៃពងក្រពើ។

2. រកចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ ដោយដាក់ y \u003d 0 យើងរកឃើញពីរចំណុច A 1 (a, 0) និង A 2 (-a, 0) ដែលអ័ក្សអុកកាត់ពងក្រពើ។ ការដាក់ x = 0 ក្នុងសមីការ (4) យើងរកឃើញចំនុចប្រសព្វនៃពងក្រពើជាមួយអ័ក្ស Oy: B 1 (0, b) និង។ B 2 (0, - b) ចំណុច A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ត្រូវបានគេហៅថា បន្ទាត់រាងពងក្រពើ។

3. ពីសមីការ (4) វាដូចខាងក្រោមថាពាក្យនីមួយៗនៅខាងឆ្វេងមិនលើសពីការរួបរួម, i.e. មានវិសមភាព និង ឬ និង។ ដូច្នេះចំនុចទាំងអស់នៃពងក្រពើស្ថិតនៅខាងក្នុងចតុកោណកែងដែលបង្កើតឡើងដោយបន្ទាត់ត្រង់។

4. នៅក្នុងសមីការ (4) ផលបូកនៃពាក្យមិនអវិជ្ជមាន និងស្មើនឹងមួយ។ ដូច្នេះនៅពេលដែលពាក្យមួយកើនឡើង មួយទៀតនឹងថយចុះ i.e. ប្រសិនបើ x កើនឡើង នោះ y ថយចុះ ហើយច្រាសមកវិញ។

ពីអ្វីដែលបាននិយាយ វាដូចខាងក្រោមថាពងក្រពើមានរាងដូចបង្ហាញក្នុងរូប។ 6 (ខ្សែកោងបិទរាងពងក្រពើ) ។

ចំណាំថាប្រសិនបើ a = b នោះសមីការ (4) នឹងយកទម្រង់ x 2 + y 2 = a 2 ។ នេះគឺជាសមីការរង្វង់។ រាងពងក្រពើអាចទទួលបានពីរង្វង់ដែលមានកាំ a ប្រសិនបើវាត្រូវបានបង្ហាប់ម្តងតាមអ័ក្ស Oy ។ ជាមួយនឹងការកន្ត្រាក់បែបនេះចំនុច (x; y) នឹងទៅចំណុច (x; y 1) ដែលជាកន្លែងដែល។ ការជំនួសរង្វង់ទៅក្នុងសមីការ យើងទទួលបានសមីការពងក្រពើ៖ .

ចូរយើងណែនាំបរិមាណមួយបន្ថែមទៀតដែលកំណត់លក្ខណៈនៃរាងពងក្រពើ។

ភាពប្លែកនៃរាងពងក្រពើ គឺជាសមាមាត្រនៃប្រវែងប្រសព្វ 2c ទៅប្រវែង 2a នៃអ័ក្សសំខាន់របស់វា។

Eccentricity ជាធម្មតាត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយ e: e = Since c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

ពីសមភាពចុងក្រោយវាងាយស្រួលក្នុងការទទួលបានការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃ eccentricity នៃរាងពងក្រពើ។ សម្រាប់លេខតូចបំផុត a និង b គឺស្ទើរតែស្មើគ្នា ពោលគឺ ពងក្រពើនៅជិតរង្វង់មួយ។ ប្រសិនបើវានៅជិតការរួបរួម នោះលេខ b គឺតូចណាស់បើប្រៀបធៀបទៅនឹងលេខ a ហើយពងក្រពើត្រូវបានពន្លូតយ៉ាងខ្លាំងតាមអ័ក្សធំ។ ដូច្នេះ ភាពប្លែកនៃរាងពងក្រពើកំណត់លក្ខណៈរង្វាស់នៃការពន្លូតរាងពងក្រពើ។

3. Hyperbole

3.1 ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា

ការរុករកអ៊ីពែបូឡា ដោយមានជំនួយពីសំណង់ដែលស្រដៀងនឹងសំណង់ដែលបានអនុវត្តសម្រាប់ការសិក្សាពងក្រពើ យើងឃើញថាអ៊ីពែបូឡាមានលក្ខណៈសម្បត្តិស្រដៀងទៅនឹងរាងពងក្រពើ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងកាត់កោណរាងជារង្វង់ត្រង់ដោយយន្តហោះ b ប្រសព្វគ្នានៃយន្តហោះទាំងពីររបស់វា i.e. ស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងពីររបស់វា។ ផ្នែកឆ្លងកាត់គឺជាអ៊ីពែបូឡា។ ចូរយើងគូរតាមអ័ក្ស ST នៃកោណនៃយន្តហោះ ASB កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ខ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរបាល់ពីរចូលទៅក្នុងកោណ - មួយចូលទៅក្នុងបែហោងធ្មែញរបស់វាហើយមួយទៀតចូលទៅក្នុងមួយទៀតដើម្បីឱ្យពួកវានីមួយៗប៉ះលើផ្ទៃរាងសាជីនិងយន្តហោះដែលបំបែក។ អនុញ្ញាតឱ្យបាល់ទីមួយប៉ះយន្តហោះ b នៅចំណុច F 1 ហើយប៉ះផ្ទៃរាងសាជីតាមរង្វង់UґVґ។ អនុញ្ញាតឱ្យបាល់ទីពីរប៉ះយន្តហោះ b នៅចំណុច F 2 ហើយប៉ះផ្ទៃរាងសាជីតាមរង្វង់ UV ។

យើងជ្រើសរើសចំណុចដែលបំពាន M នៅលើអ៊ីពែបូឡា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងគូរ generatrix នៃកោណ MS តាមរយៈវា ហើយសម្គាល់ចំណុច d និង D ដែលវាប៉ះបាល់ទីមួយ និងទីពីរ។ យើងភ្ជាប់ចំណុច M ជាមួយចំណុច F 1 , F 2 ដែលយើងនឹងហៅថាការផ្តោតអារម្មណ៍នៃអ៊ីពែបូឡា។ បន្ទាប់មក MF 1 =Md ចាប់តាំងពីផ្នែកទាំងពីរគឺតង់សង់ទៅបាល់ទីមួយ ដែលដកចេញពីចំណុច M. ស្រដៀងគ្នាដែរ MF 2 =MD ។ ដកពាក្យដោយពាក្យពីសមភាពទីមួយ ទីពីរ យើងរកឃើញ

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

ដែល dD គឺជាតម្លៃថេរ (ជា generatrix នៃកោណដែលមានមូលដ្ឋាន UґVґ និង UV) ដោយឯករាជ្យពីជម្រើសនៃចំណុច M នៅលើអ៊ីពែបូឡា។ សម្គាល់ដោយ P និង Q ចំណុចដែលបន្ទាត់ F 1 F 2 កាត់អ៊ីពែបូឡា។ ចំណុចទាំងនេះ P និង Q ត្រូវបានគេហៅថា កំពូលនៃអ៊ីពែបូឡា។ ផ្នែក PQ ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា។ នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃធរណីមាត្របឋមវាត្រូវបានបង្ហាញថា dD = PQ ។ ដូច្នេះ MF 1 -MF 2 = PQ ។

ប្រសិនបើចំនុច M នឹងស្ថិតនៅលើសាខានៃអ៊ីពែបូឡានោះ ដែលនៅជិតការផ្តោតអារម្មណ៍ F 1 នោះ MF 2 -MF 1 =PQ ។ បន្ទាប់មកទីបំផុតយើងទទួលបាន МF 1 -MF 2 = PQ ។

ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នារវាងចម្ងាយនៃចំណុចបំពាន M នៃអ៊ីពែបូឡាពី foci របស់វា F 1 និង F 2 គឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹងប្រវែងអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា។

៣.២ សមីការនៃអ៊ីពែបូឡា

ចូរយកលក្ខណៈសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡាជានិយមន័យរបស់វា៖ អ៊ីពែបូឡាគឺជាទីតាំងនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរ F 1 និង F 2 នៃយន្តហោះនេះហៅថា foci គឺជាថេរ។ តម្លៃស្មើនឹងប្រវែងអ័ក្សពិតរបស់វា។

សូមឱ្យប្រវែងនៃផ្នែក F 1 F 2 \u003d 2c ហើយប្រវែងនៃអ័ក្សពិតគឺ 2a ។ ដើម្បីទាញយកសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា យើងជ្រើសរើសប្រភពដើម O នៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian នៅកណ្តាលផ្នែក F 1 F 2 ហើយដឹកនាំអ័ក្ស Ox និង Oy ដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 5។ បន្ទាប់មកនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេដែលបានជ្រើសរើស។ ចំនុច F 1 (c, 0) និង F 2 ( -s, 0) ។ ជាក់ស្តែង ២ ក<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ទីតាំងនៃចំណុច M (x, y) នៅលើអ៊ីពែបូឡានេះ។ ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរយើងទទួលបាន

r 1 =, r 2 = ។ ចូរយើងត្រលប់ទៅសមភាព (៥)៖

ចូរ​ធ្វើ​ការ៉េ​ទាំង​សងខាង​នៃ​សមីការ

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

ការកាត់បន្ថយយើងទទួលបាន៖

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

ចំណាំថា c 2 -a 2 > 0 ។ កំណត់សម្គាល់ c 2 -a 2 = b 2 ។ សមីការ (6) នឹងមើលទៅដូច៖ b 2 x 2 -a 2 y 2 = a 2 b 2 ។ យើងអនុវត្តការបំប្លែងដែលនាំសមីការអ៊ីពែបូឡាទៅជាទម្រង់ Canonical ពោលគឺយើងបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ 2 ខ 2៖ (7) - សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡា បរិមាណ a និង b រៀងគ្នា ជា semiaxes ពិត និងការស្រមើលស្រមៃនៃអ៊ីពែបូឡា។

យើងត្រូវតែប្រាកដថាសមីការ (7) ដែលទទួលបានដោយការបំប្លែងពិជគណិតនៃសមីការ (5*) មិនទាន់ទទួលបានឫសថ្មីទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាសម្រាប់ចំណុចនីមួយៗ M កូអរដោនេ x និង y ដែលបំពេញសមីការ (7) តម្លៃ r 1 និង r 2 បំពេញទំនាក់ទំនង (5) ។ ការ​អនុវត្ត​អាគុយម៉ង់​ស្រដៀង​នឹង​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​នៅ​ពេល​ទាញ​យក​រូបមន្ត​រាង​ពង​ក្រពើ យើង​រក​ឃើញ​កន្សោម​ខាងក្រោម​សម្រាប់ r 1 និង r 2 ៖

ដូច្នេះសម្រាប់ចំណុចដែលបានពិចារណា M យើងមាន r 1 -r 2 = 2a ហើយដូច្នេះវាមានទីតាំងនៅលើអ៊ីពែបូឡា។

៣.៣ ការសិក្សាអំពីសមីការអ៊ីពែបូឡា

ឥឡូវនេះ ចូរយើងសាកល្បងដោយផ្អែកលើការពិចារណានៃសមីការ (7) ដើម្បីទទួលបានគំនិតនៃទីតាំងនៃអ៊ីពែបូឡា។
1. ជាដំបូង សមីការ (7) បង្ហាញថាអ៊ីពែបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សទាំងពីរ។ នេះត្រូវបានពន្យល់ដោយការពិតដែលថាសូម្បីតែដឺក្រេនៃកូអរដោណេត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការនៃខ្សែកោង។ 2. ឥឡូវនេះយើងសម្គាល់តំបន់នៃយន្តហោះដែលខ្សែកោងនឹងស្ថិតនៅ។ សមីការនៃអ៊ីពែបូឡា ដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយ y មានទម្រង់៖

វាបង្ហាញថា y តែងតែមាននៅពេលដែល x 2? a 2 ។ នេះមានន័យថាសម្រាប់ x? a និងសម្រាប់ x? - ហើយ y-ordinate នឹងពិតប្រាកដ ហើយសម្រាប់ - a

លើសពីនេះ ជាមួយនឹងការកើនឡើង x (និងធំជាង a) y-ordinate ក៏នឹងកើនឡើងគ្រប់ពេលផងដែរ (ជាពិសេស វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា ខ្សែកោងមិនអាចមានរលកទេ ពោលគឺជាមួយនឹងការលូតលាស់នៃ abscissa នៃ x, y-ordinate កើនឡើងឬថយចុះ) ។

3. ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា គឺជាចំណុចដែលទាក់ទងទៅនឹងចំណុចនីមួយៗនៃអ៊ីពែបូឡាមានចំនុចមួយនៅលើវាស៊ីមេទ្រី។ ចំណុច O(0,0) ប្រភពដើម ដូចជារាងពងក្រពើ គឺជាចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡាដែលផ្តល់ដោយសមីការ Canonical ។ នេះមានន័យថាចំណុចនីមួយៗនៃអ៊ីពែបូឡាមានចំណុចស៊ីមេទ្រីនៅលើអ៊ីពែបូឡាដោយគោរពទៅនឹងចំណុច O. វាធ្វើតាមពីស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡាដោយគោរពតាមអ័ក្ស Ox និង Oy ។ អង្កត់ធ្នូណាមួយនៃអ៊ីពែបូឡាឆ្លងកាត់កណ្តាលរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាអង្កត់ផ្ចិតនៃអ៊ីពែបូឡា។

4. ចំនុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាជាមួយនឹងបន្ទាត់ដែល foci របស់វាត្រូវបានគេហៅថា កំពូលនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយផ្នែករវាងពួកវាត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា។ ក្នុងករណីនេះអ័ក្សពិតគឺជាអ័ក្ស x ។ ចំណាំថាអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់ទាំងផ្នែក 2a និងបន្ទាត់ត្រង់ខ្លួនវា (អ័ក្សអុក) ដែលវាស្ថិតនៅ។

ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡាជាមួយនឹងអ័ក្ស Oy ។ សមីការអ័ក្ស y គឺ x = 0 ។ ការជំនួស x = 0 ទៅក្នុងសមីការ (7) យើងទទួលបានថាអ៊ីពែបូឡាមិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស Oy ទេ។ នេះអាចយល់បាន ដោយសារមិនមានចំណុចអ៊ីពែបូឡានៅក្នុងបន្ទះទទឹង 2a ដែលគ្របដណ្ដប់លើអ័ក្សអូយ។

បន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយឆ្លងកាត់កណ្តាលរបស់វាត្រូវបានគេហៅថា អ័ក្សស្រមៃនៃអ៊ីពែបូឡា។ ក្នុងករណីនេះវាស្របគ្នានឹងអ័ក្ស y ។ ដូច្នេះ ក្នុងភាគបែងនៃពាក្យដែលមាន x 2 និង y 2 ក្នុងសមីការអ៊ីពែបូឡា (7) គឺជាការ៉េនៃ semiaxes ពិត និងស្រមើលស្រមៃនៃអ៊ីពែបូឡា។

5. អ៊ីពែបូឡាប្រសព្វបន្ទាត់ y = kx សម្រាប់ k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

ភស្តុតាង

ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃអ៊ីពែបូឡា និងបន្ទាត់ត្រង់ y = kx វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

ការលុបបំបាត់ y យើងទទួលបាន

ឬសម្រាប់ b 2 -k 2 a 2 0 នោះគឺសម្រាប់ k សមីការលទ្ធផល ហើយដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយមិនមានទេ។

បន្ទាត់ត្រង់ដែលមានសមីការ y= និង y= - ត្រូវបានគេហៅថា asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា។

សម្រាប់ b 2 -k 2 a 2 > 0 នោះគឺសម្រាប់ k< система имеет два решения:

ដូច្នេះ បន្ទាត់ត្រង់នីមួយៗឆ្លងកាត់ប្រភពដើមដោយមានជម្រាល k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. លក្ខណៈសម្បត្តិអុបទិកនៃអ៊ីពែបូឡា៖ កាំរស្មីអុបទិកដែលបញ្ចេញចេញពីការផ្តោតអារម្មណ៍មួយនៃអ៊ីពែបូឡា ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីវា ហាក់ដូចជាកំពុងបញ្ចេញចេញពីការផ្តោតអារម្មណ៍ទីពីរ។

ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺជាសមាមាត្រនៃប្រវែងប្រសព្វ 2c ទៅប្រវែង 2a នៃអ័ក្សពិតរបស់វា?
ទាំងនោះ។ ពីចំហៀងនៃ concavity របស់វា។

3.4 បង្រួបបង្រួមអ៊ីពែបូឡា

រួមជាមួយនឹងអ៊ីពែបូឡា (៧) អ្វីដែលគេហៅថា អ៊ីពែបូឡា រួមជាមួយនឹងវាត្រូវបានពិចារណា។ អ៊ីពែបូឡា conjugate ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ Canonical ។

នៅលើរូបភព។ 10 បង្ហាញអ៊ីពែបូឡា (7) និងអ៊ីពែបូឡារួមរបស់វា។ អ៊ីពែបូឡារួមមាន asymtotes ដូចអ្វីដែលបានផ្តល់ឱ្យ ប៉ុន្តែ F 1 (0, c)

4. ប៉ារ៉ាបូឡា

4.1 ទ្រព្យសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប៉ារ៉ាបូឡា

ចូរយើងបង្កើតលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃប៉ារ៉ាបូឡា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកាត់កោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំជាមួយ vertex S ដោយយន្តហោះស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងមួយរបស់វា។ នៅក្នុងផ្នែកយើងទទួលបានប៉ារ៉ាបូឡា។ ចូរយើងគូរតាមអ័ក្ស ST នៃកោណនៃយន្តហោះ ASB កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ (រូបភាពទី 11)។ generatrix SA ដែលស្ថិតនៅក្នុងវានឹងស្របទៅនឹងយន្តហោះ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរនៅក្នុងកោណ តង់សង់ផ្ទៃរាងស្វ៊ែរទៅកោណតាមបណ្តោយរង្វង់កាំរស្មី UV និងតង់សង់ទៅយន្តហោះនៅចំណុច F. គូរបន្ទាត់កាត់ចំនុច F ស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើង SA ។ យើងសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វរបស់វាជាមួយ generatrix SB ដោយ P. ចំនុច F ត្រូវបានគេហៅថាការផ្តោតអារម្មណ៍នៃប៉ារ៉ាបូឡា ចំនុច P គឺជាចំនុចកំពូលរបស់វា ហើយបន្ទាត់ PF ឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូល និងការផ្តោត (និងស្របទៅនឹង generatrix SA ) ត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ប៉ារ៉ាបូឡានឹងមិនមានចំនុចកំពូលទីពីរទេ - ចំនុចប្រសព្វនៃអ័ក្ស PF ជាមួយ generatrix SA៖ ចំនុចនេះ "ទៅគ្មានដែនកំណត់" ។ ចូរហៅ directrix (នៅក្នុងការបកប្រែមានន័យថា "ណែនាំ") បន្ទាត់ q 1 q 2 នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះជាមួយនឹងយន្តហោះដែលរង្វង់ UV ស្ថិតនៅ។ យកចំនុចដែលបំពាន M នៅលើប៉ារ៉ាបូឡា ហើយភ្ជាប់វាទៅនឹងចំនុចកំពូលនៃកោណ S. បន្ទាត់ MS ប៉ះបាល់នៅចំណុច D ដែលដេកលើរង្វង់កាំរស្មីយូវី។ យើងភ្ជាប់ចំណុច M ជាមួយនឹងការផ្តោត F ហើយទម្លាក់កាត់កែង MK ពីចំណុច M ទៅ directrix ។ បន្ទាប់មកវាប្រែថាចម្ងាយនៃចំណុចបំពាន M នៃប៉ារ៉ាបូឡាទៅការផ្តោតអារម្មណ៍ (MF) និងទៅ directrix (MK) គឺស្មើនឹងគ្នាទៅវិញទៅមក (ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប៉ារ៉ាបូឡា) ពោលគឺឧ។ MF = MK ។

ភស្តុតាង៖ МF=MD (ជាតង់ហ្សង់ទៅបាល់ពីចំណុចមួយ)។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងកំណត់មុំរវាង generatrix ណាមួយនៃកោណ និងអ័ក្ស ST ជា q ។ ចូរយើងធ្វើគម្រោងផ្នែក MD និង MK ទៅលើអ័ក្ស ST ។ ផ្នែក MD បង្កើតការព្យាករលើអ័ក្ស ST ស្មើនឹង MDcosc ចាប់តាំងពី MD ស្ថិតនៅលើ generatrix នៃកោណ។ ផ្នែក MK បង្កើតការព្យាករលើអ័ក្ស ST ស្មើនឹង MKsoc ចាប់តាំងពីផ្នែក MK គឺស្របទៅនឹង generatrix SA ។ (ជាការពិត directrix q 1 q 1 គឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ASB។ ដូច្នេះហើយ បន្ទាត់ PF កាត់ directrix ត្រង់ចំនុច L នៅមុំខាងស្តាំមួយ។ ប៉ុន្តែបន្ទាត់ MK និង PF ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយ MK ក៏កាត់កែងផងដែរ។ ទៅ directrix) ។ ការព្យាករនៃផ្នែកទាំងពីរ MK និង MD ទៅលើអ័ក្ស ST គឺស្មើគ្នាទៅវិញទៅមក ចាប់តាំងពីចុងម្ខាងរបស់ពួកគេ - ចំនុច M - គឺជារឿងធម្មតា ហើយ D និង K ពីរផ្សេងទៀតស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស ST (រូបភាពទី 2) ។ ) បន្ទាប់មក МDcosц= MKsоsц ឬ MD= MK ។ ដូច្នេះ MF = MK ។

ទ្រព្យ ១.(ទ្រព្យសម្បត្តិសំខាន់នៃប៉ារ៉ាបូឡា) ។

ចម្ងាយពីចំណុចណាមួយនៃប៉ារ៉ាបូឡាទៅពាក់កណ្តាលនៃអង្កត់ធ្នូសំខាន់គឺស្មើនឹងចម្ងាយរបស់វាទៅ directrix ។

ភស្តុតាង។

ចំណុច F - ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ QR និងអង្កត់ធ្នូសំខាន់។ ចំណុចនេះស្ថិតនៅលើអ័ក្សស៊ីមេទ្រី Oy ។ ជាការពិតណាស់ ត្រីកោណ RNQ និង ROF គឺស្របគ្នា ដូចជាត្រីកោណមុំខាងស្តាំ

ត្រីកោណដែលមានជើងដើម (NQ=OF, OR=RN)។ ដូច្នេះហើយ មិនថាចំនុចណាដែល N យើងយកនោះទេ បន្ទាត់ QR ដែលសង់តាមបណ្តោយវានឹងកាត់អង្កត់ធ្នូសំខាន់នៅកណ្តាល F. ឥឡូវនេះវាច្បាស់ណាស់ថាត្រីកោណ FMQ គឺជា isosceles ។ ជាការពិតណាស់ ផ្នែក MR គឺទាំងមធ្យម និងកម្ពស់នៃត្រីកោណនេះ។ នេះមានន័យថា MF = MQ ។

ទ្រព្យ ២.(លក្ខណៈសម្បត្តិអុបទិកនៃប៉ារ៉ាបូឡា) ។

តង់សង់ណាមួយទៅប៉ារ៉ាបូឡាធ្វើឱ្យមុំស្មើគ្នាជាមួយនឹងកាំប្រសព្វដែលទាញទៅចំណុចតង់សង់ ហើយកាំរស្មីដែលមកពីចំណុចតង់សង់ និងដឹកនាំរួមគ្នាជាមួយអ័ក្ស (ឬ កាំរស្មីដែលចេញពីការផ្តោតតែមួយ ឆ្លុះបញ្ចាំងពីប៉ារ៉ាបូឡានឹងទៅ ស្របទៅនឹងអ័ក្ស) ។

ភស្តុតាង។ សម្រាប់ចំណុច N ដែលដេកលើប៉ារ៉ាបូឡាខ្លួនឯង សមភាព |FN|=|NH| គឺពិត ហើយសម្រាប់ចំណុច N" ដែលស្ថិតនៅផ្នែកខាងក្នុងនៃប៉ារ៉ាបូឡា, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"| នោះគឺចំនុច M" ស្ថិតនៅតំបន់ខាងក្រៅនៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ទាំងមូល l លើកលែងតែចំណុច M ស្ថិតនៅតំបន់ខាងក្រៅ ពោលគឺតំបន់ខាងក្នុងនៃប៉ារ៉ាបូឡាស្ថិតនៅម្ខាងនៃ l ដែលមានន័យថា l គឺតង់សង់ទៅប៉ារ៉ាបូឡា។ នេះផ្តល់នូវភស្តុតាងនៃទ្រព្យសម្បត្តិអុបទិករបស់ប៉ារ៉ាបូឡា៖ មុំ 1 គឺស្មើនឹងមុំ 2 ចាប់តាំងពី l គឺជាផ្នែកនៃមុំ FMK ។

៤.២ សមីការនៃប៉ារ៉ាបូឡា

ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់នៃប៉ារ៉ាបូឡា យើងបង្កើតនិយមន័យរបស់វា៖ ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះ ដែលនីមួយៗស្ថិតនៅចម្ងាយស្មើគ្នាពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថាការផ្តោត និងបន្ទាត់ត្រង់ដែលហៅថា directrix . ចម្ងាយពីការផ្តោតអារម្មណ៍ F ទៅ directrix ត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃ parabola និងត្រូវបានតំណាងដោយ p (p> 0) ។

ដើម្បីទទួលបានសមីការប៉ារ៉ាបូឡា យើងជ្រើសរើសប្រព័ន្ធសំរបសំរួល Oxy ដើម្បីឱ្យអ័ក្ស Ox ឆ្លងកាត់ការផ្តោត F កាត់កែងទៅ directrix ក្នុងទិសដៅពី directrix ទៅ F ហើយប្រភពដើម O ស្ថិតនៅចំកណ្តាលរវាងចំនុចផ្តោត និង directrix (រូបទី 12) ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលបានជ្រើសរើស ការផ្តោតអារម្មណ៍គឺ F(, 0) ហើយសមីការ directrix មានទម្រង់ x=-, ឬ x+=0 ។ អនុញ្ញាតឱ្យ m (x, y) ជាចំណុចបំពាននៃប៉ារ៉ាបូឡា។ ភ្ជាប់ចំណុច M ជាមួយ F. គូរផ្នែក MH កាត់កែងទៅនឹង directrix ។ យោងតាមនិយមន័យនៃប៉ារ៉ាបូឡា MF = MH ។ ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់ចម្ងាយរវាងចំណុចពីរ យើងរកឃើញ៖

ដូច្នេះ squaring ភាគីទាំងពីរនៃសមីការ យើងទទួលបាន

ទាំងនោះ។ (8) សមីការ (8) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ canonical នៃ parabola មួយ។

៤.៣ ការសិក្សាអំពីទម្រង់នៃប៉ារ៉ាបូឡា តាមសមីការរបស់វា។

1. នៅក្នុងសមីការ (8) អថេរ y ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងដឺក្រេគូ ដែលមានន័យថា ប៉ារ៉ាបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សអុក។ អ័ក្ស x គឺជាអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា។

2. ចាប់តាំងពី c> 0 វាធ្វើតាមពី (8) ដែល x> 0 ។ ដូច្នេះប៉ារ៉ាបូឡាមានទីតាំងនៅខាងស្តាំអ័ក្ស y ។

3. អនុញ្ញាតឱ្យ x \u003d 0 បន្ទាប់មក y \u003d 0 ។ ដូច្នេះ ប៉ារ៉ាបូឡាឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

4. ជាមួយនឹងការកើនឡើងគ្មានដែនកំណត់ក្នុង x ម៉ូឌុល y ក៏កើនឡើងដោយគ្មានកំណត់។ ប៉ារ៉ាបូឡា y 2 \u003d 2 px មានទម្រង់ (រូបរាង) បង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 13 ។ ចំណុច O (0; 0) ត្រូវបានគេហៅថា vertex នៃ parabola ផ្នែក FM \u003d r ត្រូវបានគេហៅថា កាំប្រសព្វនៃចំនុច M .សមីការ y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) ក៏កំណត់ប៉ារ៉ាបូឡាផងដែរ។

១.៥. ទ្រព្យសម្បត្តិថតនៃផ្នែកសាជី .

នៅទីនេះយើងបង្ហាញថារាល់ផ្នែកសាជីដែលមិនមានរាងជារង្វង់ (មិនខូចទ្រង់ទ្រាយ) អាចត្រូវបានកំណត់ជាសំណុំនៃចំណុច M សមាមាត្រនៃចម្ងាយ MF ដែលពីចំណុចថេរ F ទៅចម្ងាយ MP ពីបន្ទាត់ថេរ d មិនឆ្លងកាត់។ ចំនុច F គឺស្មើនឹងតម្លៃថេរ e: ដែល F - ការផ្តោតអារម្មណ៍នៃផ្នែកសាជី បន្ទាត់ត្រង់ d គឺជា directrix ហើយសមាមាត្រ e គឺជា eccentricity ។ (ប្រសិនបើចំនុច F ជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ d នោះលក្ខខណ្ឌកំណត់សំណុំនៃចំនុច ដែលជាគូនៃបន្ទាត់ ឧ. ផ្នែកសាជីដែលខូច; សម្រាប់ e = 1 បន្ទាត់គូនេះបញ្ចូលទៅក្នុងបន្ទាត់មួយ។ នេះពិចារណាកោណដែលបង្កើតឡើងដោយការបង្វិលនៃបន្ទាត់ l ជុំវិញប្រសព្វវានៅចំណុច O នៃបន្ទាត់ត្រង់ p ដែលបង្កើតជាមួយ l មុំ b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

ចូរយើងចារឹកបាល់ K ក្នុងកោណប៉ះនឹងយន្តហោះ p ត្រង់ចំនុច F ហើយប៉ះកោណតាមរង្វង់ S. យើងសម្គាល់បន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះ p ជាមួយយន្តហោះ y នៃរង្វង់ S ដោយ d ។

ឥឡូវនេះអនុញ្ញាតឱ្យយើងភ្ជាប់ចំណុចបំពាន M ដោយដេកលើបន្ទាត់ A នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ p និងកោណជាមួយនឹងកំពូល O នៃកោណនិងជាមួយចំនុច F ហើយទម្លាក់ MP កាត់កែងពី M ទៅបន្ទាត់ d; ក៏បញ្ជាក់ដោយ E ចំណុចប្រសព្វនៃម៉ាស៊ីនភ្លើង MO នៃកោណជាមួយរង្វង់ S ។

លើសពីនេះទៅទៀត MF = ME ដែលជាផ្នែកនៃតង់ហ្សង់ពីរនៃបាល់ K ដែលដកចេញពីចំនុចមួយ M ។

លើសពីនេះទៀតផ្នែក ME បង្កើតជាមួយអ័ក្ស p នៃកោណថេរ (ឧទាហរណ៍ដោយឯករាជ្យនៃជម្រើសនៃចំណុច M) មុំ 6 ហើយផ្នែក MP បង្កើតជាមុំថេរ β; ដូច្នេះការព្យាករនៃផ្នែកទាំងពីរនេះទៅលើអ័ក្ស p រៀងគ្នាស្មើនឹង ME cos b និង MP cos c ។

ប៉ុន្តែការព្យាករណ៍ទាំងនេះស្របគ្នា ចាប់តាំងពីផ្នែក ME និង MP មានប្រភពដើម M ហើយចុងបញ្ចប់របស់ពួកគេស្ថិតនៅលើយន្តហោះ y ដែលកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សទំ។

ដូច្នេះ ME cos b = MP cos c ឬ ចាប់តាំងពី ME = MF, MF cos b = MP cos c, មកពីណា

វាក៏ងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាប្រសិនបើចំនុច M នៃយន្តហោះ p មិនមែនជារបស់កោណទេនោះ ដូច្នេះផ្នែកនីមួយៗនៃកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំអាចត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះ។ ម៉្យាងទៀតដោយការផ្លាស់ប្តូរតម្លៃនៃមុំ b និង c យើងអាចផ្តល់ឱ្យ eccentricity តម្លៃណាមួយ e > 0; លើសពីនេះទៀតពីការពិចារណានៃភាពស្រដៀងគ្នាវាមិនពិបាកក្នុងការយល់ថាចម្ងាយ FQ ពីការផ្តោតអារម្មណ៍ទៅ directrix គឺសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងកាំ r នៃបាល់ K (ឬចម្ងាយ d នៃយន្តហោះ p ពីចំនុចកំពូល O នៃ កោណ) ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាដូច្នេះដោយជ្រើសរើសចម្ងាយ d ឱ្យបានត្រឹមត្រូវយើងអាចផ្តល់ឱ្យចម្ងាយ FQ តម្លៃណាមួយ។ ដូច្នេះសំណុំនីមួយៗនៃចំណុច M ដែលសមាមាត្រនៃចម្ងាយពី M ទៅចំណុចថេរ F និងទៅបន្ទាត់ថេរ d មានតម្លៃថេរ អាចត្រូវបានពិពណ៌នាថាជាខ្សែកោងដែលទទួលបាននៅក្នុងផ្នែកនៃកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំដោយ យន្តហោះ។ នេះបង្ហាញថាផ្នែកសាជី (មិនខូចទ្រង់ទ្រាយ) ក៏អាចត្រូវបានកំណត់ដោយទ្រព្យសម្បត្តិដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែករងនេះផងដែរ។

ទ្រព្យសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជីនេះត្រូវបានគេហៅថាពួកវា ទ្រព្យសម្បត្តិថត. វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើ c > b បន្ទាប់មក e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. ម៉្យាងទៀត វាងាយមើលឃើញថា ប្រសិនបើ s > 6 នោះយន្តហោះ p កាត់កោណតាមខ្សែបន្ទាត់បិទជិត។ ប្រសិនបើ c = b នោះយន្តហោះ p កាត់កោណតាមបន្ទាត់គ្មានព្រំដែន។ ប្រសិនបើនៅក្នុង< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

ផ្នែកសាជីដែល e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 ត្រូវបានគេហៅថា hyperbole ។ ពងក្រពើក៏រួមបញ្ចូលរង្វង់ផងដែរ ដែលមិនអាចបញ្ជាក់ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិថត។ ចាប់តាំងពីសម្រាប់រង្វង់សមាមាត្រប្រែទៅជា 0 (ដោយសារតែក្នុងករណីនេះ β \u003d 90º) វាត្រូវបានពិចារណាតាមលក្ខខណ្ឌថារង្វង់គឺជាផ្នែករាងសាជីដែលមាន eccentricity នៃ 0 ។

6. រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា ជាផ្នែករាងសាជី

ផ្នែករាងសាជី អ៊ីពែបូឡា

គណិតវិទូក្រិកបុរាណ Menechmus ដែលបានរកឃើញរាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា បានកំណត់ពួកវាជាផ្នែកនៃកោណរាងជារង្វង់ដោយយន្តហោះកាត់កែងទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងមួយ។ គាត់បានហៅផ្នែកកោងលទ្ធផលនៃកោណរាងចតុកោណកែង និងរាងពងក្រពើ អាស្រ័យលើមុំអ័ក្សនៃកោណ។ ទីមួយ ដូចដែលយើងនឹងឃើញខាងក្រោមគឺជាពងក្រពើ ទីពីរគឺប៉ារ៉ាបូឡា ទីបីគឺជាសាខាមួយនៃអ៊ីពែបូឡា។ ឈ្មោះ "ពងក្រពើ", "hyperbola" និង "parabola" ត្រូវបានណែនាំដោយ Apollonius ។ ស្ទើរតែទាំងស្រុង (7 ក្នុងចំណោម 8 សៀវភៅ) ការងាររបស់ Apollonius "On Conic Sections" បានចុះមករកយើង។ នៅក្នុងការងារនេះ Apollonius ពិចារណាជាន់ទាំងពីរនៃកោណហើយប្រសព្វកោណជាមួយនឹងយន្តហោះដែលមិនចាំបាច់កាត់កែងទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងមួយ។

ទ្រឹស្តីបទ។ផ្នែកនៃកោណរាងជារង្វង់ត្រង់ណាមួយដោយយន្តហោះ (មិនឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូលរបស់វា) កំណត់ខ្សែកោងដែលអាចត្រឹមតែជាអ៊ីពែបូឡា (រូបភាពទី 4) ប៉ារ៉ាបូឡា (រូបភាពទី 5) ឬរាងពងក្រពើ (រូបភាព 6) ។ លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើយន្តហោះប្រសព្វគ្នាតែមួយប្លង់នៃកោណ និងតាមបណ្តោយខ្សែកោងបិទជិត នោះខ្សែកោងនេះគឺជារាងពងក្រពើ។ ប្រសិនបើយន្តហោះប្រសព្វគ្នាតែមួយ តាមបណ្តោយខ្សែកោងបើកចំហ នោះខ្សែកោងនេះគឺជាប៉ារ៉ាបូឡា។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់កាត់ប្លង់ទាំងពីរនៃកោណ នោះអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងផ្នែក។

ភ័ស្តុតាងដ៏ឆើតឆាយនៃទ្រឹស្តីបទនេះត្រូវបានស្នើឡើងនៅឆ្នាំ 1822 ដោយ Dandelin ដោយប្រើស្វ៊ែរ ដែលឥឡូវនេះត្រូវបានគេហៅថា Dandelin spheres ។ សូមក្រឡេកមើលភស្តុតាងនេះ។

ចូរ​យើង​ចារឹក​ក្នុង​កោណ​មួយ​ដែល​មាន​រង្វង់​ពីរ​ប៉ះ​នឹង​យន្តហោះ​នៃ​ផ្នែក П ពី​ភាគី​ផ្សេង​គ្នា។ សម្គាល់ដោយ F1 និង F2 ចំណុចទំនាក់ទំនងរវាងយន្តហោះនេះ និងស្វ៊ែរ។ ចូរយើងយកចំណុចបំពាន M នៅលើបន្ទាត់ផ្នែកនៃកោណដោយយន្តហោះ P. នៅលើ generatrix នៃកោណឆ្លងកាត់ M យើងសម្គាល់ចំណុច P1 និង P2 ដែលស្ថិតនៅលើរង្វង់ k1 និង k2 តាមបណ្តោយដែលរង្វង់ប៉ះ។ កោណ។

វាច្បាស់ណាស់ថា MF1=MP1 ជាផ្នែកនៃតង់សង់ពីរទៅស្វ៊ែរទីមួយដែលចេញពី M ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ MF2 = MP2 ។ ដូច្នេះ MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = P1P2 ។ ប្រវែងនៃផ្នែក P1P2 គឺដូចគ្នាសម្រាប់ចំណុចទាំងអស់ M នៃផ្នែករបស់យើង៖ វាគឺជា generatrix នៃកោណកាត់ដែលចងដោយប្លង់ស្របគ្នា 1 និង 11 ដែលរង្វង់ k1 និង k2 ស្ថិតនៅ។ ដូច្នេះបន្ទាត់ផ្នែកនៃកោណដោយយន្តហោះ P គឺជារាងពងក្រពើដែលមាន foci F1 និង F2 ។ សុពលភាពនៃទ្រឹស្តីបទនេះក៏អាចត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃទីតាំងទូទៅដែលចំនុចប្រសព្វនៃផ្ទៃលំដាប់ទីពីរដោយយន្តហោះគឺជាបន្ទាត់លំដាប់ទីពីរ។

អក្សរសាស្ត្រ

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. ធរណីមាត្រ។ ក្នុងរយៈពេល 2 ម៉ោង វគ្គ 1. សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់និស្សិតរូបវិទ្យា និងគណិតវិទ្យា។ ped ។ in-comrade-M.: Enlightenment, 1986 ។

2. Bazylev V.T. ធរណីមាត្រ។ ប្រូក ប្រាក់ឧបត្ថម្ភសម្រាប់និស្សិតឆ្នាំទី 1 នៃរូបវិទ្យា។ - កម្រាល។ ការពិត ped ។ នៅក្នុង - សមមិត្ត - អិមៈការអប់រំឆ្នាំ ១៩៧៤ ។

3. Pogorelov A.V. ធរណីមាត្រ។ ប្រូក សម្រាប់កោសិកា 7-11 ។ មធ្យម សាលា - ទី 4 ed.-M.: ការត្រាស់ដឹង, 1993 ។

4. ប្រវត្តិគណិតវិទ្យាពីបុរាណរហូតដល់ដើមសតវត្សទី 19 ។ Yushkevich A.P. - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧០។

5. Boltyansky V.G. លក្ខណៈសម្បត្តិអុបទិកនៃពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា។ // កង់ទិច។ - 1975. - លេខ 12 ។ - ជាមួយ។ ១៩​-​២៣.

6. Efremov N.V. វគ្គសិក្សាខ្លីក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ។ - M: Nauka, 6th edition, 1967. - 267 ទំ។


ឯកសារស្រដៀងគ្នា

    គំនិតនៃផ្នែកសាជី។ ផ្នែកសាជី - ចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះនិងកោណ។ ប្រភេទនៃផ្នែកសាជី។ ការសាងសង់ផ្នែកសាជី។ ផ្នែកសាជីគឺជាទីតាំងនៃចំណុចដែលបំពេញសមីការលំដាប់ទីពីរ។

    អរូបីបន្ថែម ០៥.១០.២០០៨

    "ផ្នែកសាជី" នៃ Apollonius ។ ដេរីវេនៃសមីការខ្សែកោងសម្រាប់ផ្នែកមួយនៃកោណចតុកោណនៃបដិវត្តន៍។ ដេរីវេនៃសមីការសម្រាប់ប៉ារ៉ាបូឡា សម្រាប់ពងក្រពើ និងអ៊ីពែបូឡា។ ភាពប្រែប្រួលនៃផ្នែកសាជី។ ការអភិវឌ្ឍបន្ថែមទៀតនៃទ្រឹស្តីនៃផ្នែកសាជីនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ Apollonius ។

    អរូបីបន្ថែម ០២/០៤/២០១០

    គំនិតនិងព័ត៌មានប្រវត្តិសាស្ត្រអំពីកោណលក្ខណៈនៃធាតុរបស់វា។ លក្ខណៈពិសេសនៃការបង្កើតកោណនិងប្រភេទនៃផ្នែកសាជី។ ការសាងសង់លំហ Dandelin និងប៉ារ៉ាម៉ែត្ររបស់វា។ ការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជី។ ការគណនាតំបន់នៃផ្ទៃនៃកោណ។

    បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 04/08/2012

    គំនិតគណិតវិទ្យានៃខ្សែកោង។ សមីការទូទៅនៃខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ។ សមីការរង្វង់ ពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា។ អ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡា។ ការសិក្សាអំពីរូបរាងរបស់ប៉ារ៉ាបូឡា។ ខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីបីនិងទីបួន។ Anjesi curl, សន្លឹក Cartesian ។

    និក្ខេបបទបន្ថែម 10/14/2011

    ពិនិត្យ និងកំណត់លក្ខណៈនៃវិធីសាស្រ្តផ្សេងៗសម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែកនៃ polyhedra ការកំណត់ភាពខ្លាំង និងចំណុចខ្សោយរបស់ពួកគេ។ វិធីសាស្រ្តនៃផ្នែកជំនួយជាវិធីសាស្រ្តសកលសម្រាប់ការសាងសង់ផ្នែកនៃ polyhedra ។ ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាលើប្រធានបទស្រាវជ្រាវ។

    បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 01/19/2014

    សមីការទូទៅនៃខ្សែកោងនៃលំដាប់ទីពីរ។ គូរសមីការនៃពងក្រពើ រង្វង់ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា។ ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡា។ ការផ្តោតអារម្មណ៍ និង directrix នៃ parabola ។ ការផ្លាស់ប្តូរសមីការទូទៅទៅជាទម្រង់ Canonical ។ ភាពអាស្រ័យនៃប្រភេទនៃខ្សែកោងនៅលើ invariants ។

    បទបង្ហាញ, បានបន្ថែម 11/10/2014

    ធាតុនៃធរណីមាត្រត្រីកោណ៖ ការភ្ជាប់អ៊ីសូតូម និងអ៊ីសូតូម ចំណុច និងបន្ទាត់គួរឱ្យកត់សម្គាល់។ សាជីដែលភ្ជាប់ជាមួយត្រីកោណ: លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផ្នែកសាជី; សាជី​គូសរង្វង់​អំពី​ត្រីកោណ​មួយ និង​ចារឹក​នៅ​ក្នុង​វា; ការអនុវត្តក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

    ក្រដាសពាក្យបន្ថែមថ្ងៃទី 06/17/2012

    រាងពងក្រពើ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា ជាខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ ដែលប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ គោលគំនិតនៃខ្សែកោងលំដាប់ទីពីរ គឺជាបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ ដែលនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian មួយចំនួនត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ។ ទ្រឹស្តីបទ Pascaml និងទ្រឹស្តីបទ Brianchon ។

    អរូបីបន្ថែម ០១/២៦/២០១១

    នៅលើប្រភពដើមនៃបញ្ហានៃការបង្កើនទ្វេដងគូប (បញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាដ៏ល្បីល្បាញទាំងប្រាំនៃវត្ថុបុរាណ) ។ ការប៉ុនប៉ងដែលគេស្គាល់ជាលើកដំបូងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ដំណោះស្រាយរបស់ Archit of Tarentum ។ ការដោះស្រាយបញ្ហានៅប្រទេសក្រិកបុរាណបន្ទាប់ពី Archytas ។ ដំណោះស្រាយដោយប្រើផ្នែកសាជីនៃ Menechmus និង Eratosthenes ។

    អរូបី, បានបន្ថែម 04/13/2014

    ប្រភេទសំខាន់ៗនៃផ្នែកនៃកោណ។ ផ្នែកដែលបង្កើតឡើងដោយយន្តហោះឆ្លងកាត់អ័ក្សនៃកោណ (អ័ក្ស) និងកាត់តាមកំពូលរបស់វា (ត្រីកោណ) ។ ការបង្កើតផ្នែកដោយយន្តហោះស្របគ្នា (ប៉ារ៉ាបូឡា) កាត់កែង (រង្វង់) និងមិនកាត់កែង (ពងក្រពើ) ទៅអ័ក្ស។

អនុញ្ញាតឱ្យស៊ីឡាំងរាងជារង្វង់ត្រឹមត្រូវ ប្លង់ផ្ដេកនៃការព្យាករគឺស្របទៅនឹងមូលដ្ឋានរបស់វា។ នៅពេលដែលស៊ីឡាំងត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះនៅក្នុងទីតាំងទូទៅ (យើងសន្មត់ថាយន្តហោះមិនប្រសព្វនឹងមូលដ្ឋានរបស់ស៊ីឡាំងទេ) បន្ទាត់ប្រសព្វគឺជារាងពងក្រពើ ផ្នែកខ្លួនវាមានរាងពងក្រពើ ការព្យាករណ៍ផ្ដេករបស់វាស្របគ្នានឹង ការព្យាករនៃមូលដ្ឋាននៃស៊ីឡាំង ហើយផ្នែកខាងមុខក៏មានរាងពងក្រពើផងដែរ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយន្តហោះកាត់បង្កើតមុំស្មើ 45 °ជាមួយនឹងអ័ក្សស៊ីឡាំង នោះផ្នែកដែលមានរាងពងក្រពើត្រូវបានព្យាករដោយរង្វង់នៅលើយន្តហោះនៃការព្យាករដែលផ្នែកមានទំនោរដូចគ្នា។ មុំ។

ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់កាត់ផ្ទៃចំហៀងនៃស៊ីឡាំង និងមូលដ្ឋានមួយរបស់វា (រូបភាព 8.6) នោះបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វមានរូបរាងពងក្រពើមិនពេញលេញ (ផ្នែកនៃរាងពងក្រពើ)។ ការព្យាករណ៍ផ្ដេកនៃផ្នែកក្នុងករណីនេះគឺជាផ្នែកមួយនៃរង្វង់ (ការព្យាករណ៍នៃមូលដ្ឋាន) ហើយផ្នែកខាងមុខគឺជាផ្នែកនៃពងក្រពើ។ យន្តហោះអាចមានទីតាំងនៅកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះព្យាករណាមួយ បន្ទាប់មកផ្នែកនឹងត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះព្យាករនេះដោយបន្ទាត់ត្រង់មួយ (ផ្នែកនៃដាននៃយន្តហោះ secant) ។

ប្រសិនបើស៊ីឡាំងត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះស្របទៅនឹង generatrix នោះបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វជាមួយផ្ទៃក្រោយគឺត្រង់ ហើយផ្នែកខ្លួនវាមានរាងចតុកោណកែង ប្រសិនបើស៊ីឡាំងត្រង់ ឬប៉ារ៉ាឡែលប្រសិនបើស៊ីឡាំងមានទំនោរ។

ដូចដែលអ្នកបានដឹងហើយថាទាំងស៊ីឡាំងនិងកោណត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយផ្ទៃដែលបានគ្រប់គ្រង។

បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វ (បន្ទាត់កាត់) នៃផ្ទៃដែលបានគ្រប់គ្រង និងប្លង់នៅក្នុងករណីទូទៅគឺជាខ្សែកោងជាក់លាក់មួយ ដែលត្រូវបានសាងសង់ពីចំនុចប្រសព្វនៃម៉ាស៊ីនភ្លើងជាមួយនឹងយន្តហោះ secant ។

អនុញ្ញាតឱ្យវាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ កោណរាងជារង្វង់ត្រង់។នៅពេលឆ្លងកាត់វាជាមួយនឹងយន្តហោះ បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វអាចយកទម្រង់ជា: ត្រីកោណ រាងពងក្រពើ រង្វង់ ប៉ារ៉ាបូឡា អ៊ីពែបូឡា (រូបភាព 8.7) អាស្រ័យលើទីតាំងរបស់យន្តហោះ។

ត្រីកោណមួយត្រូវបានទទួលនៅពេលដែលយន្តហោះកាត់ កាត់កោណ ឆ្លងកាត់ចំនុចកំពូលរបស់វា។ ក្នុងករណីនេះ បន្ទាត់ប្រសព្វជាមួយផ្ទៃក្រោយ គឺជាបន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វគ្នានៅផ្នែកខាងលើនៃកោណ ដែលរួមជាមួយនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វនៃមូលដ្ឋាន បង្កើតជាត្រីកោណដែលដាក់លើប្លង់ព្យាករជាមួយនឹងការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់អ័ក្សនៃកោណ នោះត្រីកោណមួយត្រូវបានទទួលនៅក្នុងផ្នែក ដែលមុំជាមួយចំនុចកំពូលស្របគ្នានឹងចំនុចកំពូលនៃកោណនឹងមានអតិបរមាសម្រាប់ផ្នែកត្រីកោណនៃកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ក្នុងករណីនេះ ផ្នែកត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះព្យាករផ្តេក (វាស្របទៅនឹងមូលដ្ឋានរបស់វា) ដោយផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់។

បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនៃយន្តហោះ និងកោណនឹងជារាងអេលីប ប្រសិនបើយន្តហោះមិនស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងណាមួយនៃកោណ។ នេះគឺស្មើនឹងការពិតដែលថាយន្តហោះប្រសព្វគ្នារវាងម៉ាស៊ីនភ្លើងទាំងអស់ (ផ្ទៃចំហៀងទាំងមូលនៃកោណ)។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់គឺស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃកោណ នោះបន្ទាត់ប្រសព្វគឺជារង្វង់មួយ ផ្នែកខ្លួនវាត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះព្យាករផ្តេកដោយមិនមានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយ និងនៅលើយន្តហោះខាងមុខ - ជាផ្នែកបន្ទាត់ត្រង់។

បន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វនឹងជាប៉ារ៉ាបូឡា នៅពេលដែលយន្តហោះ secant គឺស្របទៅនឹង generatrix តែមួយនៃកោណ។ ប្រសិនបើយន្តហោះកាត់គឺស្របទៅនឹងម៉ាស៊ីនភ្លើងពីរក្នុងពេលតែមួយ នោះបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វគឺជាអ៊ីពែបូឡា។

កោណកាត់ត្រូវបានទទួល ប្រសិនបើកោណរាងជារង្វង់ខាងស្តាំត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាន និងកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្សនៃកោណ ហើយផ្នែកខាងលើត្រូវបានបោះបង់ចោល ក្នុងករណីនៅពេលដែលយន្តហោះព្យាករផ្តេកគឺស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃកោណដែលកាត់ឱ្យខ្លី មូលដ្ឋានទាំងនេះត្រូវបានព្យាករលើយន្តហោះព្យាករផ្តេកដោយគ្មានការបង្ខូចទ្រង់ទ្រាយដោយរង្វង់ប្រមូលផ្តុំ ហើយការព្យាករផ្នែកខាងមុខគឺជារាងចតុកោណ។ នៅពេលដែលកោណកាត់ត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយយន្តហោះ អាស្រ័យលើទីតាំងរបស់វា បន្ទាត់កាត់អាចនឹងមានទម្រង់ជារាងចតុកោណ រាងពងក្រពើ រង្វង់ ប៉ារ៉ាបូឡា អ៊ីពែបូឡា ឬផ្នែកមួយនៃខ្សែកោងទាំងនេះ ចុងបញ្ចប់ត្រូវបានតភ្ជាប់ដោយ បន្ទាត់ត្រង់។

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង