អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារ $z=f(x,y)$ ត្រូវបានកំណត់ និងបន្តនៅក្នុងដែនបិទជិតមួយចំនួន $D$។ អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យមានដេរីវេនៃផ្នែកកំណត់នៃលំដាប់ទីមួយនៅក្នុងតំបន់នេះ (ជាមួយករណីលើកលែងដែលអាចមាននៃចំនួនកំណត់នៃពិន្ទុ)។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារនៃអថេរពីរនៅក្នុងតំបន់បិទជិតដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ បីជំហាននៃក្បួនដោះស្រាយសាមញ្ញមួយត្រូវបានទាមទារ។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$ នៅក្នុងដែនបិទ $D$។
ស្វែងរកចំណុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$ ដែលជារបស់តំបន់ $D$។ គណនាតម្លៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់។
ស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃអនុគមន៍ $z=f(x,y)$ នៅលើព្រំដែននៃតំបន់ $D$ ដោយស្វែងរកចំណុចនៃតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមាដែលអាចធ្វើបាន។ គណនាតម្លៃអនុគមន៍នៅចំនុចដែលទទួលបាន។
ពីតម្លៃមុខងារដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌពីរមុន សូមជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុត។
តើចំណុចសំខាន់អ្វីខ្លះ? បង្ហាញ/លាក់
នៅក្រោម ចំណុចសំខាន់ បញ្ជាក់ចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីមួយទាំងពីរស្មើនឹងសូន្យ (ឧ. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ និង $\frac(\partial z)(\partial y)=0$) ឬ យ៉ាងហោចណាស់ដេរីវេផ្នែកមួយមិនមាន។
ជាញឹកញាប់ចំណុចដែលនិស្សន្ទវត្ថុភាគលំដាប់ទីមួយស្មើនឹងសូន្យត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចស្ថានី . ដូច្នេះ ចំណុចស្ថានី គឺជាសំណុំរងនៃចំណុចសំខាន់។
ឧទាហរណ៍ #1
ស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z=x^2+2xy-y^2-4x$ នៅក្នុងតំបន់បិទជិត ដែលកំណត់ដោយបន្ទាត់ $x=3$, $y=0$ និង $y=x +1$។
យើងនឹងធ្វើតាមចំណុចខាងលើ ប៉ុន្តែជាដំបូងយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយនឹងការគូរផ្ទៃដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដែលយើងនឹងបញ្ជាក់ដោយអក្សរ $D$ ។ យើងត្រូវបានផ្តល់សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ចំនួនបី ដែលកំណត់តំបន់នេះ។ បន្ទាត់ត្រង់ $x=3$ ឆ្លងកាត់ចំនុច $(3;0)$ ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y (អ័ក្ស Oy)។ បន្ទាត់ត្រង់ $y=0$ គឺជាសមីការនៃអ័ក្ស abscissa (អ័ក្សអុក)។ ជាការប្រសើរណាស់ ដើម្បីសង់បន្ទាត់ត្រង់ $y=x+1$ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចពីរដែលយើងគូសបន្ទាត់ត្រង់នេះ។ ជាការពិត អ្នកអាចជំនួសតម្លៃបំពានពីរបីជាជាង $x$ ។ ឧទាហរណ៍ ការជំនួស $x=10$ យើងទទួលបាន៖ $y=x+1=10+1=11$។ យើងបានរកឃើញចំណុច $(10;11)$ ដែលស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ $y=x+1$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាជាការប្រសើរក្នុងការស្វែងរកចំណុចទាំងនោះ ដែលបន្ទាត់ $y=x+1$ ប្រសព្វជាមួយបន្ទាត់ $x=3$ និង $y=0$។ ហេតុអ្វីបានជាវាប្រសើរជាង? ដោយសារតែយើងនឹងដាក់សត្វស្លាបពីរបីក្បាលដោយថ្មមួយ៖ យើងនឹងទទួលបានពីរពិន្ទុសម្រាប់ការសាងសង់បន្ទាត់ត្រង់ $ y = x + 1$ ហើយក្នុងពេលតែមួយស្វែងយល់ថាតើចំនុចណាដែលបន្ទាត់ត្រង់នេះប្រសព្វនឹងបន្ទាត់ផ្សេងទៀតដែលចងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ តំបន់។ បន្ទាត់ $y=x+1$ កាត់បន្ទាត់ $x=3$ ត្រង់ចំនុច $(3;4)$ ហើយបន្ទាត់ $y=0$ - នៅចំនុច $(-1;0)$ ។ ដើម្បីកុំឱ្យពង្រាយដំណើរនៃដំណោះស្រាយជាមួយនឹងការពន្យល់បន្ថែម ខ្ញុំនឹងដាក់សំណួរនៃការទទួលបានចំណុចទាំងពីរនេះនៅក្នុងកំណត់ចំណាំមួយ។
តើពិន្ទុ $(3;4)$ និង $(-1;0)$ ទទួលបានដោយរបៀបណា? បង្ហាញ/លាក់
ចូរចាប់ផ្តើមពីចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ $y=x+1$ និង $x=3$។ កូអរដោនេនៃចំណុចដែលចង់បានជារបស់ទាំងបន្ទាត់ទីមួយ និងទីពីរ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរកកូអរដោនេដែលមិនស្គាល់ អ្នកត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$
ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបែបនេះគឺតូចតាច៖ ការជំនួស $x=3$ ទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងនឹងមាន៖ $y=3+1=4$។ ចំនុច $(3;4)$ គឺជាចំនុចប្រសព្វដែលចង់បាននៃបន្ទាត់ $y=x+1$ និង $x=3$។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ $y=x+1$ និង $y=0$។ ជាថ្មីម្តងទៀត យើងតែង និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ៖
$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$
ការជំនួស $y=0$ ទៅក្នុងសមីការទីមួយ យើងទទួលបាន៖ $0=x+1$, $x=-1$ ។ ចំនុច $(-1;0)$ គឺជាចំនុចប្រសព្វដែលចង់បាននៃបន្ទាត់ $y=x+1$ និង $y=0$ (អ័ក្ស abscissa)។
អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺត្រៀមខ្លួនជាស្រេចដើម្បីបង្កើតគំនូរដែលនឹងមើលទៅដូចនេះ:
សំណួរនៃចំណាំហាក់ដូចជាច្បាស់ណាស់ព្រោះអ្វីគ្រប់យ៉ាងអាចមើលឃើញពីរូប។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គួរចងចាំថា គំនូរមិនអាចធ្វើជាភស្តុតាងបានទេ។ រូបនេះគ្រាន់តែជាការបង្ហាញឲ្យឃើញច្បាស់ប៉ុណ្ណោះ។
តំបន់របស់យើងត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើសមីការនៃបន្ទាត់ដែលកំណត់វា។ វាច្បាស់ណាស់ថាបន្ទាត់ទាំងនេះកំណត់ត្រីកោណមួយមែនទេ? ឬមិនច្បាស់? ឬប្រហែលជាយើងត្រូវបានផ្តល់តំបន់ផ្សេងគ្នា កំណត់ដោយបន្ទាត់ដូចគ្នា៖
ជាការពិតណាស់លក្ខខណ្ឌនិយាយថាតំបន់នេះត្រូវបានបិទដូច្នេះរូបភាពដែលបានបង្ហាញគឺខុស។ ប៉ុន្តែដើម្បីជៀសវាងភាពមិនច្បាស់លាស់បែបនេះ វាជាការប្រសើរក្នុងការកំណត់តំបន់ដោយវិសមភាព។ យើងចាប់អារម្មណ៍លើផ្នែកនៃយន្តហោះដែលមានទីតាំងនៅក្រោមបន្ទាត់ $y=x+1$? យល់ព្រម ដូច្នេះ $y ≤ x+1$ ។ តំបន់របស់យើងគួរតែស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ $y=0$? ល្អណាស់ $y ≥ 0$ ។ ដោយវិធីនេះ វិសមភាពពីរចុងក្រោយត្រូវបានរួមបញ្ចូលគ្នាយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាមួយ: $0 ≤ y ≤ x+1$ ។
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$
វិសមភាពទាំងនេះកំណត់ដែន $D$ ហើយកំណត់វាដោយឡែក ដោយគ្មានភាពមិនច្បាស់លាស់ណាមួយឡើយ។ ប៉ុន្តែ តើនេះជួយយើងយ៉ាងណាក្នុងសំណួរនៅដើមលេខយោង? វាក៏នឹងជួយផងដែរ :) យើងត្រូវពិនិត្យមើលថាតើចំនុច $M_1(1;1)$ ជារបស់តំបន់ $D$ ដែរឬទេ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងជំនួស $x=1$ និង $y=1$ ទៅក្នុងប្រព័ន្ធនៃវិសមភាពដែលកំណត់តំបន់នេះ។ ប្រសិនបើវិសមភាពទាំងពីរត្រូវបានពេញចិត្ត នោះចំណុចស្ថិតនៅក្នុងតំបន់។ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វិសមភាពមួយក្នុងចំណោមវិសមភាពមិនពេញចិត្ត នោះចំណុចមិនមែនជារបស់តំបន់ទេ។ ដូច្នេះ៖
$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(តម្រឹម) \\right.$$
វិសមភាពទាំងពីរគឺជាការពិត។ ចំណុច $M_1(1;1)$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ $D$។
ឥឡូវនេះវាគឺជាវេនដើម្បីស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃមុខងារនៅលើព្រំដែននៃដែន, i.e. ទៅ។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយបន្ទាត់ត្រង់ $y=0$ ។
បន្ទាត់ត្រង់ $y=0$ (អ័ក្ស abscissa) កំណត់តំបន់ $D$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ជំនួស $y=0$ ទៅក្នុងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$។ មុខងារជំនួសលទ្ធផលនៃអថេរ $x$ នឹងត្រូវបានតំណាងថា $f_1(x)$:
$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x ។ $$
ឥឡូវនេះសម្រាប់មុខងារ $f_1(x)$ យើងត្រូវស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៅចន្លោះ $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖
$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \\; x=2. $$
តម្លៃ $x=2$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក $-1 ≤ x ≤ 3$ ដូច្នេះយើងក៏បន្ថែម $M_2(2;0)$ ទៅក្នុងបញ្ជីពិន្ទុផងដែរ។ លើសពីនេះទៀតយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. នៅចំនុច $M_3(-1;0)$ និង $M_4(3;0)$ ។ ដោយវិធីនេះ ប្រសិនបើចំនុច $M_2$ មិនមែនជារបស់ផ្នែកដែលកំពុងពិចារណានោះ ពិតណាស់ វាមិនចាំបាច់គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅក្នុងវាទេ។
ដូច្នេះ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅចំនុច $M_2$, $M_3$, $M_4$ ។ ជាការពិតណាស់ អ្នកអាចជំនួសកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងនេះនៅក្នុងកន្សោមដើម $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ។ ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ចំណុច $M_2$ យើងទទួលបាន៖
$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ការគណនាអាចត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញបន្តិច។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះត្រូវចងចាំថានៅលើផ្នែក $M_3M_4$ យើងមាន $z(x,y)=f_1(x)$ ។ ខ្ញុំនឹងសរសេរវាឱ្យលម្អិត៖
\begin(aligned) &z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3។ \end(តម្រឹម)
ជាការពិតណាស់ ជាធម្មតាមិនចាំបាច់មានធាតុលម្អិតបែបនេះទេ ហើយនៅពេលអនាគត យើងនឹងចាប់ផ្តើមសរសេរការគណនាទាំងអស់តាមរបៀបខ្លីជាងនេះ៖
$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$
ឥឡូវយើងងាកទៅបន្ទាត់ត្រង់ $x=3$ ។ បន្ទាត់នេះចង $D$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $0 ≤ y ≤ 4$ ។ ជំនួស $x=3$ ទៅក្នុងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ $z$ ។ ជាលទ្ធផលនៃការជំនួសបែបនេះ យើងទទួលបានមុខងារ $f_2(y)$:
$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3។ $$
សម្រាប់មុខងារ $f_2(y)$ អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៅចន្លោះ $0 ≤ y ≤ 4$ ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖
$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \\; y=3. $$
តម្លៃ $y=3$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក $0 ≤ y ≤ 4$ ដូច្នេះយើងបន្ថែម $M_5(3;3)$ ទៅចំណុចដែលបានរកឃើញមុន។ លើសពីនេះទៀតវាចាំបាច់ក្នុងការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅចំនុចនៅចុងផ្នែក $0 ≤ y ≤ 4$ i.e. នៅចំនុច $M_4(3;0)$ និង $M_6(3;4)$។ នៅចំណុច $M_4(3;0)$ យើងបានគណនាតម្លៃ $z$ រួចហើយ។ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅចំនុច $M_5$ និង $M_6$ ។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា នៅលើផ្នែក $M_4M_6$ យើងមាន $z(x,y)=f_2(y)$ ដូច្នេះ៖
\begin(តម្រឹម) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5 ។ \end(តម្រឹម)
ហើយជាចុងក្រោយ ពិចារណាព្រំដែនចុងក្រោយនៃ $D$, i.e. បន្ទាត់ $y=x+1$។ បន្ទាត់នេះកំណត់តំបន់ $D$ ក្រោមលក្ខខណ្ឌ $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ការជំនួស $y=x+1$ ទៅក្នុងមុខងារ $z$ យើងនឹងមាន៖
$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1។ $$
ជាថ្មីម្តងទៀតយើងមានមុខងារនៃអថេរមួយ $x$ ។ ហើយម្តងទៀត អ្នកត្រូវស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍នេះនៅលើផ្នែក $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f_(3)(x)$ ហើយយកវាទៅសូន្យ៖
$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \\ x=1. $$
តម្លៃ $x=1$ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល $-1 ≤ x ≤ 3$ ។ ប្រសិនបើ $x=1$ នោះ $y=x+1=2$។ ចូរយើងបន្ថែម $M_7(1;2)$ ទៅក្នុងបញ្ជីពិន្ទុ ហើយរកមើលថាតើតម្លៃនៃមុខងារ $z$ ត្រង់ចំណុចនេះគឺជាអ្វី។ ចំនុចនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. ចំណុច $M_3(-1;0)$ និង $M_6(3;4)$ ត្រូវបានពិចារណាមុននេះ យើងបានរកឃើញតម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងពួកវារួចហើយ។
$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$
ជំហានទីពីរនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានបញ្ចប់។ យើងទទួលបានតម្លៃប្រាំពីរ៖
$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$
ចូរយើងងាកទៅ។ ការជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតពីលេខទាំងនោះដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌទីបី យើងនឹងមាន៖
$$z_(នាទី)=-4; \; z_(អតិបរមា)=6.$$
បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ វានៅសល់តែសរសេរចម្លើយប៉ុណ្ណោះ។
ចម្លើយ ៖ $z_(នាទី)=-4; \; z_(អតិបរមា)=6$។
ឧទាហរណ៍ #2
ស្វែងរកតម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $z=x^2+y^2-12x+16y$ ក្នុងតំបន់ $x^2+y^2 ≤ 25$។
ចូរយើងបង្កើតគំនូរជាមុនសិន។ សមីការ $x^2+y^2=25$ (នេះជាបន្ទាត់ព្រំដែននៃតំបន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ) កំណត់រង្វង់មួយដែលមានចំណុចកណ្តាលនៅដើម (ឧ. នៅចំណុច $(0;0)$) និងកាំនៃ 5. វិសមភាព $x^2 +y^2 ≤ 25$ បំពេញគ្រប់ចំណុចទាំងខាងក្នុង និងនៅលើរង្វង់ដែលបានរៀបរាប់។
យើងនឹងធ្វើសកម្មភាព។ ចូរយើងស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុដោយផ្នែក និងស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗ។
$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16។ $$
មិនមានចំណុចណាដែលនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែកដែលរកឃើញមិនមានទេ។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើចំណុចណាខ្លះដែលដេរីវេភាគទាំងពីរត្រូវគ្នាដំណាលគ្នានឹងសូន្យ ពោលគឺឧ។ ស្វែងរកចំណុចស្ថានី។
$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(តម្រឹម) \\right.$$
យើងទទួលបានពិន្ទុថេរ $(6;-8)$។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំណុចដែលបានរកឃើញមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិរបស់តំបន់ $D$ ទេ។ នេះគឺជាការងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញដោយមិនសូម្បីតែងាកទៅរកការគូរ។ សូមពិនិត្យមើលថាតើវិសមភាព $x^2+y^2 ≤ 25$ ដែលកំណត់ដែន $D$ របស់យើងកាន់កាប់ឬអត់។ ប្រសិនបើ $x=6$, $y=-8$, បន្ទាប់មក $x^2+y^2=36+64=100$, i.e. វិសមភាព $x^2+y^2 ≤ 25$ មិនពេញចិត្តទេ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ចំនុច $(6;-8)$ មិនមែនជារបស់តំបន់ $D$ ទេ។
ដូច្នេះ គ្មានចំណុចសំខាន់ណាមួយនៅក្នុង $D$ ទេ។ តោះបន្តទៅ។ យើងត្រូវស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃមុខងារនៅលើព្រំដែននៃតំបន់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ, i.e. នៅលើរង្វង់ $x^2+y^2=25$ ។ ជាការពិតណាស់ អ្នកអាចបង្ហាញ $y$ ក្នុងលក្ខខណ្ឌ $x$ ហើយបន្ទាប់មកជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងមុខងារ $z$ របស់យើង។ ពីសមីការរង្វង់យើងទទួលបាន៖ $y=\sqrt(25-x^2)$ ឬ $y=-\sqrt(25-x^2)$ ។ ការជំនួសឧទាហរណ៍ $y=\sqrt(25-x^2)$ ទៅក្នុងមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងនឹងមាន៖
$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; −5≤ x ≤ 5. $$
ដំណោះស្រាយបន្ថែមទៀតនឹងដូចគ្នាទាំងស្រុងចំពោះការសិក្សាអំពីឥរិយាបថនៃអនុគមន៍នៅលើព្រំប្រទល់នៃតំបន់ក្នុងឧទាហរណ៍មុនលេខ ១។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ វាហាក់ដូចជាខ្ញុំសមហេតុផលជាងក្នុងស្ថានភាពនេះដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Lagrange ។ យើងចាប់អារម្មណ៍តែផ្នែកដំបូងនៃវិធីសាស្រ្តនេះប៉ុណ្ណោះ។ បន្ទាប់ពីអនុវត្តផ្នែកដំបូងនៃវិធីសាស្ត្រ Lagrange យើងនឹងទទួលបានពិន្ទុ ហើយពិនិត្យមើលមុខងារ $z$ សម្រាប់តម្លៃអប្បបរមា និងអតិបរមា។
យើងបង្កើតមុខងារ Lagrange៖
$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -២៥). $$
យើងរកឃើញដេរីវេនៃផ្នែកនៃមុខងារ Lagrange និងបង្កើតប្រព័ន្ធសមីការដែលត្រូវគ្នា៖
$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \(\begin (តម្រឹម) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(តម្រឹម) \\ ស្តាំ។ \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( តម្រឹម)\right.$$
ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះ សូមបញ្ជាក់ភ្លាមៗថា $\lambda\neq -1$ ។ ហេតុអ្វី $\lambda\neq -1$? តោះព្យាយាមជំនួស $\lambda=-1$ ទៅក្នុងសមីការទីមួយ៖
$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6 ។ $$
លទ្ធផលផ្ទុយ $0=6$ និយាយថាតម្លៃ $\lambda=-1$ មិនត្រឹមត្រូវទេ។ លទ្ធផល៖ $\lambda\neq -1$ ។ ចូរបង្ហាញពី $x$ និង $y$ នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ $\lambda$:
\begin(តម្រឹម) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda)។ \\ & y + \\ lambda y = -8; \\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda)។ \end(តម្រឹម)
ខ្ញុំជឿថាវាច្បាស់នៅទីនេះថាហេតុអ្វីបានជាយើងកំណត់លក្ខខណ្ឌ $\lambda\neq -1$ យ៉ាងជាក់លាក់។ នេះត្រូវបានធ្វើដើម្បីឱ្យសមនឹងកន្សោម $1+\lambda$ ទៅក្នុងភាគបែងដោយគ្មានការជ្រៀតជ្រែក។ នោះគឺ ដើម្បីប្រាកដថា ភាគបែងគឺ $1+\lambda\neq 0$។
ចូរយើងជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានសម្រាប់ $x$ និង $y$ ទៅក្នុងសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ i.e. ក្នុង $x^2+y^2=25$៖
$$ \left(\frac(6)(1+\lambda)\right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda)\right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4។ $$
វាធ្វើតាមសមភាពលទ្ធផលដែល $1+\lambda=2$ ឬ $1+\lambda=-2$ ។ ដូច្នេះហើយ យើងមានតម្លៃពីរនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ $\lambda$ គឺ៖ $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$ ។ ដូច្នោះហើយ យើងទទួលបានតម្លៃពីរគូ $x$ និង $y$:
\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(តម្រឹម)
ដូច្នេះ យើងទទួលបានពីរចំណុចនៃភាពជ្រុលនិយមតាមលក្ខខណ្ឌដែលអាចមាន ពោលគឺឧ។ $M_1(3;-4)$ និង $M_2(-3;4)$ ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃអនុគមន៍ $z$ នៅចំនុច $M_1$ និង $M_2$៖
\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125។ \end(តម្រឹម)
យើងគួរតែជ្រើសរើសតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតពីតម្លៃដែលយើងទទួលបានក្នុងជំហានទីមួយ និងទីពីរ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុង ករណីនេះ ជម្រើសគឺតូច :) យើងមាន:
$$z_(នាទី)=-75; \; z_(អតិបរមា)=125 ។ $$
ចម្លើយ ៖ $z_(នាទី)=-75; \; z_(អតិបរមា)=125$។
ដំណើរការនៃការស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃមុខងារនៅលើផ្នែកមួយ គឺនឹកឃើញពីការហោះហើរដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ជុំវិញវត្ថុមួយ (ក្រាហ្វនៃមុខងារ) នៅលើឧទ្ធម្ភាគចក្រជាមួយនឹងការបាញ់ចេញពីកាណុងរយៈចម្ងាយឆ្ងាយនៅចំណុចជាក់លាក់មួយ ហើយជ្រើសរើសពី ចំណុចទាំងនេះ ចំណុចពិសេសសម្រាប់ការគ្រប់គ្រងការបាញ់ប្រហារ។ ពិន្ទុត្រូវបានជ្រើសរើសតាមរបៀបជាក់លាក់មួយ និងយោងទៅតាមច្បាប់ជាក់លាក់។ តាមច្បាប់អ្វី? យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះបន្ថែមទៀត។
ប្រសិនបើមុខងារ y = f (x )
ក , ខ ] បន្ទាប់មកវាឈានដល់ផ្នែកនេះ។ យ៉ាងហោចណាស់
តម្លៃខ្ពស់បំផុត
ចំណុចខ្លាំង ឬនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។ ដូច្នេះដើម្បីស្វែងរក យ៉ាងហោចណាស់
តម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារ
ក , ខ ] អ្នកត្រូវគណនាតម្លៃរបស់វាទាំងអស់។ ចំណុចសំខាន់ ហើយនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក ហើយបន្ទាប់មកជ្រើសរើសផ្នែកតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃពួកគេ។
អនុញ្ញាតឱ្យឧទាហរណ៍ វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីកំណត់តម្លៃអតិបរមានៃមុខងារ f (x ) នៅលើផ្នែក [ ក , ខ ]។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ សូមស្វែងរកចំណុចសំខាន់ៗទាំងអស់របស់វា ដែលស្ថិតនៅលើ [ ក , ខ ]
.
ចំណុចសំខាន់
មុខងារដែលបានកំណត់ និងនាង ដេរីវេ គឺសូន្យ ឬមិនមាន។ បន្ទាប់មកអ្នកគួរតែគណនាតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់ៗ។ ហើយជាចុងក្រោយ គេគួរតែប្រៀបធៀបតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចសំខាន់ៗ និងនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក ( f (ក ) និង f (ខ )) ធំបំផុតនៃចំនួនទាំងនេះនឹងមាន តម្លៃធំបំផុតនៃមុខងារនៅលើផ្នែក
ក , ខ ]
.
បញ្ហានៃការស្វែងរក តម្លៃតូចបំផុតនៃមុខងារ
យើងកំពុងស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃមុខងាររួមគ្នា
ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក [-1, 2]
.
ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ។ ស្មើដេរីវេទៅសូន្យ () ហើយទទួលបានចំណុចសំខាន់ពីរ៖ និង . ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគណនាតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុច ដោយសារចំនុចមិនមែនជារបស់ផ្នែក [-1, ២]។ តម្លៃមុខងារទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម៖ , , . វាធ្វើតាមនោះ។ តម្លៃមុខងារតូចបំផុត។ (សម្គាល់ជាពណ៌ក្រហមនៅលើក្រាហ្វខាងក្រោម) ស្មើនឹង -7 ត្រូវបានទៅដល់ចុងខាងស្តាំនៃផ្នែក - នៅចំណុច និង អស្ចារ្យបំផុត។ (ពណ៌ក្រហមនៅលើក្រាហ្វ) ស្មើនឹង 9 - នៅចំណុចសំខាន់។
ប្រសិនបើមុខងារបន្តក្នុងចន្លោះពេលជាក់លាក់មួយ ហើយចន្លោះពេលនេះមិនមែនជាផ្នែកមួយ (ប៉ុន្តែជាឧទាហរណ៍ ចន្លោះពេល ភាពខុសគ្នារវាងចន្លោះពេល និងផ្នែកមួយ៖ ចំនុចព្រំដែននៃចន្លោះពេលមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលនោះទេ ប៉ុន្តែ ចំណុចព្រំដែននៃផ្នែកត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងផ្នែក) បន្ទាប់មកក្នុងចំណោមតម្លៃនៃអនុគមន៍ ប្រហែលជាមិនមានតូចបំផុត និងធំបំផុតនោះទេ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ មុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោមគឺបន្តនៅលើ ]-∞, +∞[ ហើយមិនមានតម្លៃធំបំផុតនោះទេ។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សម្រាប់ចន្លោះពេលណាមួយ (បិទ បើក ឬគ្មានកំណត់) ទ្រព្យសម្បត្តិខាងក្រោមនៃមុខងារបន្តមាន។
ឧទាហរណ៍ 4. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក [-1, 3]
.
ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃអនុគមន៍នេះជាដេរីវេនៃកូតានិក៖
យើងយកនិស្សន្ទវត្ថុទៅសូន្យ ដែលផ្តល់ឱ្យយើងនូវចំណុចសំខាន់មួយ៖ . វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះ [-1, 3] ។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ៖
ចូរយើងប្រៀបធៀបតម្លៃទាំងនេះ។ សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ ស្មើនឹង -៥/១៣ នៅចំណុច និង តម្លៃធំបំផុត ស្មើនឹង 1 នៅចំណុច។
យើងបន្តស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃមុខងាររួមគ្នា
មានគ្រូបង្រៀនដែលលើប្រធានបទនៃការស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ មិនបានផ្តល់ឧទាហរណ៍ដល់សិស្សដែលស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលទើបតែបានពិចារណានោះទេ ពោលគឺអ្នកដែលនៅក្នុងអនុគមន៍ជាពហុធា ឬប្រភាគ ភាគយក និងភាគបែងដែលជាពហុនាម។ ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនដាក់កម្រិតខ្លួនយើងចំពោះឧទាហរណ៍បែបនេះទេ ព្រោះក្នុងចំណោមគ្រូមានអ្នកចូលចិត្តធ្វើឱ្យសិស្សគិតពេញលេញ (តារាងនិស្សន្ទវត្ថុ)។ ដូច្នេះ លោការីត និងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនឹងត្រូវបានប្រើ។
ឧទាហរណ៍ 6. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក
.
ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះជា ដេរីវេនៃផលិតផល :
យើងយកនិស្សន្ទវត្ថុទៅសូន្យ ដែលផ្តល់ចំណុចសំខាន់មួយ៖ . វាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ៖
លទ្ធផលនៃសកម្មភាពទាំងអស់៖ មុខងារឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វា។ ស្មើ 0 នៅចំណុចមួយ និងនៅចំណុចមួយ និង តម្លៃធំបំផុត ស្មើនឹង អ៊ី ² នៅចំណុច។
ឧទាហរណ៍ 7. ស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍មួយ។ នៅលើផ្នែក .
ដំណោះស្រាយ។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ៖
ស្មើនិស្សន្ទវត្ថុទៅសូន្យ៖
ចំណុចសំខាន់តែមួយគត់ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុតនៃអនុគមន៍នៅលើផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ យើងរកឃើញតម្លៃរបស់វានៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក និងនៅចំណុចសំខាន់ដែលបានរកឃើញ៖
សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ មុខងារឈានដល់តម្លៃអប្បបរមារបស់វា។ , ស្មើនឹង , នៅចំណុច និង តម្លៃធំបំផុត , ស្មើនឹង , នៅចំណុច .
នៅក្នុងបញ្ហាធ្ងន់ធ្ងរដែលបានអនុវត្ត ការស្វែងរកតម្លៃតូចបំផុត (ធំបំផុត) នៃមុខងារមួយ ជាក្បួនមកចុះដល់ការស្វែងរកអប្បបរមា (អតិបរមា)។ ប៉ុន្តែវាមិនមែនជា minima ឬ maxima ខ្លួនឯងដែលមានចំណាប់អារម្មណ៍ជាក់ស្តែងខ្លាំងជាងនោះទេ ប៉ុន្តែជាតម្លៃនៃអាគុយម៉ង់ដែលពួកគេត្រូវបានសម្រេច។ នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្ត ការលំបាកបន្ថែមកើតឡើង - ការចងក្រងមុខងារដែលពិពណ៌នាអំពីបាតុភូត ឬដំណើរការដែលកំពុងពិចារណា។
ឧទាហរណ៍ ៨ ធុងដែលមានសមត្ថភាព 4 ដែលមានរាងដូចប៉ារ៉ាឡែលភីពជាមួយមូលដ្ឋានការ៉េ ហើយបើកនៅផ្នែកខាងលើ ត្រូវតែត្រូវបានសំណប៉ាហាំង។ តើធុងគួរមានទំហំប៉ុនណា ដើម្បីគ្របដណ្ដប់ដោយសម្ភារៈតិចបំផុត?
ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ x - ផ្នែកមូលដ្ឋាន ម៉ោង - កម្ពស់ធុង, ស - ផ្ទៃរបស់វាដោយគ្មានគម្រប វ - កម្រិតសំឡេងរបស់វា។ ផ្ទៃនៃធុងត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្ត , i.e. គឺជាមុខងារនៃអថេរពីរ។ ដើម្បីបង្ហាញ ស ជាមុខងារនៃអថេរមួយ យើងប្រើការពិតថា មកពីណា។ ការជំនួសកន្សោមដែលបានរកឃើញ ម៉ោង ចូលទៅក្នុងរូបមន្តសម្រាប់ ស :
ចូរយើងពិនិត្យមើលមុខងារនេះសម្រាប់កម្រិតខ្លាំង។ វាត្រូវបានកំណត់ និងអាចខុសគ្នាគ្រប់ទីកន្លែងក្នុង ]0, +∞[ , និង
យើងយកនិស្សន្ទវត្ថុទៅសូន្យ () ហើយរកចំណុចសំខាន់។ លើសពីនេះទៀត នៅ , ដេរីវេមិនមានទេ ប៉ុន្តែតម្លៃនេះមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងដែននៃនិយមន័យទេ ដូច្នេះហើយមិនអាចជាចំណុចខ្លាំងបានទេ។ ដូច្នេះ - ចំណុចសំខាន់តែមួយគត់។ ចូរយើងពិនិត្យមើលវាសម្រាប់វត្តមាននៃភាពជ្រុលនិយមដោយប្រើសញ្ញាទីពីរគ្រប់គ្រាន់។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទីពីរ។ នៅពេលដែលដេរីវេទី 2 ធំជាងសូន្យ ()។ នេះមានន័យថានៅពេលដែលមុខងារឈានដល់អប្បបរមា អប្បបរមា - អតិបរមាតែមួយគត់នៃមុខងារនេះ វាគឺជាតម្លៃតូចបំផុតរបស់វា។ . ដូច្នេះផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃធុងគួរតែស្មើនឹង 2 ម៉ែត្រនិងកម្ពស់របស់វា។
ឧទាហរណ៍ ៩ ពីកថាខណ្ឌ ក ដែលមានទីតាំងនៅលើផ្លូវរថភ្លើងរហូតដល់ចំណុច ពី នៅចម្ងាយពីវា។ លីត្រ , ទំនិញត្រូវតែដឹកជញ្ជូន។ តម្លៃនៃការដឹកជញ្ជូនឯកតាទម្ងន់ក្នុងមួយឯកតាចម្ងាយផ្លូវដែកគឺស្មើនឹង ហើយដោយផ្លូវហាយវេវាស្មើនឹង . ដល់ចំណុចណា ម ខ្សែផ្លូវដែកគួរតែត្រូវបានរៀបចំជាផ្លូវហាយវេដើម្បីដឹកជញ្ជូនទំនិញពី ប៉ុន្តែ ក្នុង ពី គឺសន្សំសំចៃបំផុត។ AB ផ្លូវដែកត្រូវបានសន្មត់ថាត្រង់)?
តម្លៃធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃអនុគមន៍ គឺជាតម្លៃដែលទទួលយកបានធំបំផុត (តូចបំផុត) នៃការចាត់តាំងក្នុងចន្លោះពេលដែលបានពិចារណា។
ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុតនៃអនុគមន៍ អ្នកត្រូវ៖
ពិនិត្យមើលចំណុចស្ថានីណាមួយដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក និងនៅចំណុចស្ថានីចាប់ពីជំហានទី 3
ជ្រើសរើសពីលទ្ធផលដែលទទួលបានតម្លៃធំបំផុត ឬតូចបំផុត។
ដើម្បីស្វែងរកពិន្ទុអតិបរមា ឬអប្បបរមា អ្នកត្រូវ៖
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f"(x)$
ស្វែងរកចំណុចស្ថានីដោយដោះស្រាយសមីការ $f"(x)=0$
កំណត់កត្តាដេរីវេនៃអនុគមន៍។
គូរបន្ទាត់សំរបសំរួល ដាក់ចំនុចស្ថានីលើវា ហើយកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេក្នុងចន្លោះពេលដែលទទួលបាន ដោយប្រើសញ្ញាណនៃប្រការ 3 ។
ស្វែងរកពិន្ទុអតិបរមា ឬអប្បបរមា យោងទៅតាមច្បាប់៖ ប្រសិនបើនៅចំណុចមួយ ការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពីបូកទៅដក នោះវានឹងជាចំណុចអតិបរមា (ប្រសិនបើពីដកទៅបូក នោះវានឹងជាចំណុចអប្បបរមា)។ នៅក្នុងការអនុវត្ត វាងាយស្រួលប្រើរូបភាពនៃព្រួញនៅលើចន្លោះពេល៖ នៅចន្លោះពេលដែលនិស្សន្ទវត្ថុវិជ្ជមាន ព្រួញត្រូវបានទាញឡើងលើ និងច្រាសមកវិញ។
តារាងដេរីវេនៃអនុគមន៍បឋមមួយចំនួន៖
មុខងារ
ដេរីវេ
$c$
$0$
$x$
$1$
$x^n, n∈N$
$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$
$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$
$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$
$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$
$cosx$
$cosx$
$-sinx$
$tgx$
$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$
$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$
$-sin2x$
$sin^2x$
$sin2x$
$e^x$
$e^x$
$a^x$
$a^xlna$
$lnx$
$(1)/(x)$
$log_(a)x$
$(1)/(xlna)$
ច្បាប់ជាមូលដ្ឋាននៃភាពខុសគ្នា
1. ដេរីវេនៃផលបូកនិងភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃពាក្យនីមួយៗ
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
ដេរីវេនៃផលបូកនិងភាពខុសគ្នាគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃពាក្យនីមួយៗ
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+(1)/(x))”=15x^4+ sinx-(1)/(x^2)$
2. ដេរីវេនៃផលិតផល។
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
ស្វែងរកដេរីវេ $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. ដេរីវេនៃកូតា
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
ស្វែងរកដេរីវេ $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. ដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្រៅ និងដេរីវេនៃអនុគមន៍ខាងក្នុង
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
ស្វែងរកចំណុចអប្បបរមានៃអនុគមន៍ $y=2x-ln(x+11)+4$
1. ស្វែងរក ODZ នៃអនុគមន៍៖ $x+11>0; x>-11$
2. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. ស្វែងរកចំនុចស្ថានីដោយសមីការដេរីវេទៅសូន្យ
$(2x+21)/(x+11)=0$
ប្រភាគគឺសូន្យ បើភាគយកជាសូន្យ ហើយភាគបែងមិនមែនជាសូន្យ
$2x+21=0; x≠-11$
4. គូរបន្ទាត់កូអរដោណេ ដាក់ចំនុចស្ថានីលើវា និងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេក្នុងចន្លោះដែលទទួលបាន។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងជំនួសទៅក្នុងលេខដេរីវេពីតំបន់ខាងស្ដាំខ្លាំង ឧទាហរណ៍ សូន្យ។
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. នៅចំណុចអប្បបរមា និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក ដូច្នេះចំនុច $-10.5$ គឺជាចំណុចអប្បបរមា។
ចម្លើយ៖ $-10.5$
ស្វែងរកតម្លៃអតិបរមានៃអនុគមន៍ $y=6x^5-90x^3-5$ នៅលើផ្នែក $[-5;1]$
1. ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍ $y′=30x^4-270x^2$
2. ស្មើដេរីវេទៅសូន្យ ហើយស្វែងរកចំនុចស្ថានី
$30x^4-270x^2=0$
ចូរយកកត្តាទូទៅ $30x^2$ ចេញពីតង្កៀប
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(x-3)(x+3)=0$
កំណត់កត្តានីមួយៗស្មើនឹងសូន្យ
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. ជ្រើសរើសចំណុចស្ថានីដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកដែលបានផ្តល់ឱ្យ $[-5;1]$
ចំណុចស្ថានី $x=0$ និង $x=-3$ គឺសមរម្យសម្រាប់យើង
4. គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចុងផ្នែក និងនៅចំណុចស្ថានីពីធាតុទី 3
ជាមួយនឹងសេវាកម្មនេះ អ្នកអាចធ្វើបាន ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារមួយ។ អថេរមួយ f(x) ជាមួយនឹងការរចនានៃដំណោះស្រាយនៅក្នុង Word ។ ប្រសិនបើអនុគមន៍ f(x,y) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ដូច្នេះ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍នៃអថេរពីរ។ អ្នកក៏អាចរកឃើញចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងបន្ថយមុខងារ។
ច្បាប់ចូលមុខងារ :
លក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់មុខងារខ្លាំងបំផុតនៃអថេរមួយ។ សមីការ f "0 (x *) \u003d 0 គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់សម្រាប់ភាពខ្លាំងនៃមុខងារនៃអថេរមួយ ពោលគឺនៅចំណុច x * ដេរីវេដំបូងនៃអនុគមន៍ត្រូវតែបាត់។ វាជ្រើសរើសចំនុចស្ថានី x c ដែលអនុគមន៍ មិនកើនឡើងនិងមិនថយចុះ។ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់មុខងារខ្លាំងបំផុតនៃអថេរមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យ f 0 (x) ខុសគ្នាពីរដងដោយគោរពទៅនឹង x ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំ D ។ ប្រសិនបើនៅចំណុច x * លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ៖ F" 0 (x *) = 0
បន្ទាប់មកចំនុច x * គឺជាចំនុចនៃមូលដ្ឋាន (សកល) អប្បបរមានៃអនុគមន៍។
ប្រសិនបើនៅចំណុច x * លក្ខខណ្ឌត្រូវបានបំពេញ៖
F" 0 (x *) = 0
ចំនុច x * គឺជាអតិបរមាក្នុងស្រុក (សកល) ។
ឧទាហរណ៍ #1 ។ ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃមុខងារ៖ នៅលើផ្នែក .
ឧទាហរណ៍ #2 ។ ដោយប្រើនិស្សន្ទវត្ថុលំដាប់ខ្ពស់ រកចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ y=x-2sin(x) ។
ឧទាហរណ៍ #3 ។ ស៊ើបអង្កេតមុខងារខ្លាំងនៅក្នុងសង្កាត់នៃចំនុច x=0។
នៅលើផ្នែក។ 
នៅលើផ្នែក [-1, 2]
.
.
នៅលើផ្នែក .
.
. ដោយសារតែនេះ។ អប្បបរមា - អតិបរមាតែមួយគត់នៃមុខងារនេះ វាគឺជាតម្លៃតូចបំផុតរបស់វា។. ដូច្នេះផ្នែកម្ខាងនៃមូលដ្ឋាននៃធុងគួរតែស្មើនឹង 2 ម៉ែត្រនិងកម្ពស់របស់វា។
, ដូច្នេះ x=- π / 3 +2πk, k∈Z គឺជាចំណុចអតិបរមានៃអនុគមន៍។
