យើងរាយបញ្ជីអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍បឋម ដែលជួនកាលត្រូវបានគេហៅថាតារាង៖

រូបមន្តណាមួយខាងលើអាចបញ្ជាក់បានដោយយកដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំ (ជាលទ្ធផល អាំងតេក្រាលនឹងត្រូវបានទទួល)។

វិធីសាស្រ្តរួមបញ្ចូលគ្នា

ចូរយើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃការរួមបញ្ចូល។ ទាំងនេះ​រួម​បញ្ចូល​ទាំង:

1. វិធីសាស្រ្តបំបែក(ការរួមបញ្ចូលដោយផ្ទាល់).

វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើការអនុវត្តផ្ទាល់នៃអាំងតេក្រាលតារាង ក៏ដូចជាលើការអនុវត្តលក្ខណៈសម្បត្តិ 4 និង 5 នៃអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ (ឧទាហរណ៍ យកកត្តាថេរចេញពីតង្កៀប និង/ឬតំណាងឱ្យអាំងតេក្រាលជាផលបូកនៃអនុគមន៍ - ពង្រីក​ការ​រួម​បញ្ចូល​ទៅ​ជា​ពាក្យ​) ។

ឧទាហរណ៍ ១ឧទាហរណ៍ ដើម្បីស្វែងរក (dx/x 4) អ្នកអាចប្រើអាំងតេក្រាលតារាងដោយផ្ទាល់សម្រាប់ x n dx ។ ពិតហើយ (dx/x 4) = x −4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C ។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត។

ឧទាហរណ៍ ២ដើម្បីស្វែងរក យើងប្រើអាំងតេក្រាលដូចគ្នា៖

ឧទាហរណ៍ ៣ដើម្បីស្វែងរកអ្នកត្រូវយក

ឧទាហរណ៍ 4ដើម្បីស្វែងរក យើងតំណាងឱ្យអាំងតេក្រាលក្នុងទម្រង់ ហើយប្រើអាំងតេក្រាលតារាងសម្រាប់អនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល៖

ពិចារណាអំពីការប្រើប្រាស់តង្កៀបកត្តាថេរ។

ឧទាហរណ៍ ៥ចូរយើងស្វែងរកឧទាហរណ៍ . ពិចារណាថាយើងទទួលបាន

ឧទាហរណ៍ ៦ចូរយើងស្វែងរក។ ដរាបណា យើងប្រើអាំងតេក្រាលតារាង ទទួលបាន

អ្នកក៏អាចប្រើវង់ក្រចក និងអាំងតេក្រាលតារាងក្នុងឧទាហរណ៍ពីរខាងក្រោម៖

ឧទាហរណ៍ ៧

(យើងប្រើនិង );

ឧទាហរណ៍ ៨

(យើង​ប្រើ និង ).

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតដែលប្រើអាំងតេក្រាលផលបូក។

ឧទាហរណ៍ ៩ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរក
. ដើម្បីអនុវត្តវិធីសាស្ត្រពង្រីកក្នុងភាគយក យើងប្រើរូបមន្តគូបបូក  ហើយបន្ទាប់មកបែងចែកលទ្ធផលពហុធាតាមពាក្យដោយភាគបែង។

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ C ថេរធម្មតាមួយត្រូវបានសរសេរ (ហើយមិនដាច់ដោយឡែកពីគ្នានៅពេលបញ្ចូលពាក្យនីមួយៗ) ។ នៅពេលអនាគត វាក៏ត្រូវបានស្នើឱ្យលុបចោលថេរពីការរួមបញ្ចូលនៃពាក្យបុគ្គលនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយ ដរាបណាកន្សោមមានអាំងតេក្រាលមិនកំណត់យ៉ាងហោចណាស់មួយ (យើងនឹងសរសេរថេរមួយនៅចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ)។

ឧទាហរណ៍ 10ចូរយើងស្វែងរក . ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះ យើងធ្វើកត្តាភាគយក (បន្ទាប់ពីនោះ យើងអាចកាត់បន្ថយភាគបែងបាន)។

ឧទាហរណ៍ 11 ។ចូរយើងស្វែងរក។ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានប្រើនៅទីនេះ។

ពេលខ្លះ ដើម្បីបំបែកកន្សោមទៅជាពាក្យ អ្នកត្រូវប្រើបច្ចេកទេសស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។

ឧទាហរណ៍ 12 ។ចូរយើងស្វែងរក . នៅក្នុងអាំងតេក្រាល យើងជ្រើសរើសផ្នែកចំនួនគត់នៃប្រភាគ . បន្ទាប់មក

ឧទាហរណ៍ 13ចូរយើងស្វែងរក

2. វិធីសាស្ត្រជំនួសអថេរ (វិធីសាស្ត្រជំនួស)

វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើរូបមន្តខាងក្រោម៖ f(x)dx=f((t))`(t)dt ដែល x =(t) គឺជាអនុគមន៍ដែលអាចបែងចែកតាមចន្លោះពេលពិចារណា។

ភស្តុតាង។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេដែលទាក់ទងនឹងអថេរ t ពីផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃរូបមន្ត។

ចំណាំថានៅផ្នែកខាងឆ្វេងមានមុខងារស្មុគស្មាញដែលអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមគឺ x = (t) ។ ដូច្នេះ ដើម្បីបែងចែកវាដោយគោរពតាម t ដំបូងយើងបែងចែកអាំងតេក្រាលដោយគោរពទៅនឹង x ហើយបន្ទាប់មកយើងយកដេរីវេនៃអាគុយម៉ង់កម្រិតមធ្យមដោយគោរពទៅ t ។

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x * x` t = f(x) `(t)

ដេរីវេនៃផ្នែកខាងស្តាំ៖

(f((t))`(t)dt)`t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

ដោយសារនិស្សន្ទវត្ថុទាំងនេះស្មើគ្នា ដោយការរួមផ្សំនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Lagrange ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃរូបមន្តត្រូវបានបង្ហាញខុសគ្នាដោយថេរមួយចំនួន។ ដោយសារអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ខ្លួនឯងត្រូវបានកំណត់រហូតដល់ពាក្យថេរមិនកំណត់ ថេរនេះអាចត្រូវបានលុបចោលនៅក្នុងសញ្ញាណចុងក្រោយ។ បញ្ជាក់។

ការផ្លាស់ប្តូរអថេរដោយជោគជ័យអនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្រួលអាំងតេក្រាលដើម ហើយក្នុងករណីសាមញ្ញបំផុតកាត់បន្ថយវាទៅជាតារាងមួយ។ នៅក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនេះ វិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសលីនេអ៊ែរ និងមិនមែនលីនេអ៊ែរ ត្រូវបានសម្គាល់។

ក) វិធីសាស្រ្តជំនួសលីនេអ៊ែរសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១
. Lett = 1 – 2x បន្ទាប់មក

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាអថេរថ្មីមិនចាំបាច់សរសេរច្បាស់លាស់ទេ។ ក្នុង​ករណី​បែប​នេះ គេ​និយាយ​អំពី​ការ​បំប្លែង​មុខងារ​មួយ​ក្រោម​សញ្ញា​នៃ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល ឬ​ការ​ណែនាំ​នៃ​ថេរ និង​អថេរ​ក្រោម​សញ្ញា​នៃ​ឌីផេរ៉ង់ស្យែល i.e. អំពី ការជំនួសអថេរដោយចេតនា.

ឧទាហរណ៍ ២ឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរក cos(3x + 2)dx ។ ដោយលក្ខណៈសម្បត្តិនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែល dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2) បន្ទាប់មកcos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2) d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានពិចារណាទាំងពីរ ការជំនួសលីនេអ៊ែរ t=kx+b(k0) ត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកអាំងតេក្រាល។

នៅក្នុងករណីទូទៅ ទ្រឹស្តីបទខាងក្រោមមាន។

ទ្រឹស្តីបទជំនួសលីនេអ៊ែរ. អនុញ្ញាតឱ្យ F(x) ជាអ្នកប្រឆាំងមួយចំនួនសម្រាប់មុខងារ f(x) ។ បន្ទាប់មកf(kx+b)dx=(1/k)F(kx+b)+C ដែល k និង b ជាចំនួនថេរ k0 ។

ភស្តុតាង។

តាមនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល f(kx+b)d(kx+b)=F(kx+b)+C ។ Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx ។ យើងដកកត្តាថេរ k សម្រាប់សញ្ញាអាំងតេក្រាល៖ kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C ។ ឥឡូវនេះ យើងអាចបែងចែកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមភាពដោយ k ហើយទទួលបាននូវការអះអាងដែលត្រូវបានបង្ហាញរហូតដល់សញ្ញាណនៃពាក្យថេរមួយ។

ទ្រឹស្តីបទនេះចែងថា ប្រសិនបើកន្សោម (kx+b) ត្រូវបានជំនួសក្នុងនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាល f(x)dx= F(x) + C នោះវានឹងនាំទៅដល់ការលេចចេញនូវកត្តាបន្ថែម 1/k នៅខាងមុខ។ នៃ antiderivative ។

ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទដែលបានបញ្ជាក់ យើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ៣

ចូរយើងស្វែងរក . នៅទីនេះ kx+b=3 –x, i.e. k= -1,b=3. បន្ទាប់មក

ឧទាហរណ៍ 4

ចូរយើងស្វែងរក។ នៅទីនេះ kx+b=4x+3, i.e. k=4,b=3. បន្ទាប់មក

ឧទាហរណ៍ ៥

ចូរយើងស្វែងរក . នៅទីនេះ kx+b= -2x+ 7, i.e. k= -2,b= 7. បន្ទាប់មក

.

ឧទាហរណ៍ ៦ចូរយើងស្វែងរក
. នៅទីនេះ kx+b= 2x+ 0, i.e. k= 2,b= 0 ។

.

ចូរយើងប្រៀបធៀបលទ្ធផលដែលទទួលបានជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ទី 8 ដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្ត decomposition ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាដូចគ្នាដោយវិធីសាស្រ្តមួយផ្សេងទៀតយើងទទួលបានចម្លើយ
. តោះប្រៀបធៀបលទ្ធផល៖ ដូច្នេះ កន្សោមទាំងនេះខុសគ្នាពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយពាក្យថេរ , i.e. ការឆ្លើយតបដែលទទួលបានមិនផ្ទុយគ្នាទេ។

ឧទាហរណ៍ ៧ចូរយើងស្វែងរក
. យើងជ្រើសរើសការ៉េពេញក្នុងភាគបែង។

ក្នុងករណីខ្លះ ការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរមិនកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលដោយផ្ទាល់ទៅតារាងមួយទេ ប៉ុន្តែវាអាចសម្រួលដំណោះស្រាយដោយធ្វើឱ្យវាអាចអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ decomposition នៅជំហានបន្ទាប់។

ឧទាហរណ៍ ៨ជាឧទាហរណ៍ ចូរយើងស្វែងរក . ជំនួស t=x+2 បន្ទាប់មក dt=d(x+2) =dx។ បន្ទាប់មក

,

ដែល C \u003d C 1 - 6 (នៅពេលជំនួស t កន្សោម (x + 2) ជំនួសឱ្យពាក្យពីរដំបូងយើងទទួលបាន ½x 2 -2x - 6) ។

ឧទាហរណ៍ ៩ចូរយើងស្វែងរក
. អនុញ្ញាតឱ្យ t = 2x+ 1 បន្ទាប់មក dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t– 1)/2 ។

យើងជំនួសកន្សោម (2x + 1) ជំនួសឱ្យ t បើកតង្កៀបហើយផ្តល់ឱ្យស្រដៀងគ្នា។

ចំណាំថានៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរយើងបានឆ្លងទៅពាក្យថេរមួយផ្សេងទៀតដោយសារតែ ក្រុមនៃពាក្យថេរនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរអាចត្រូវបានលុបចោល។

ខ) វិធីសាស្រ្តនៃការជំនួសមិនមែនលីនេអ៊ែរសូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍ ១
. អនុញ្ញាតឱ្យ t = −x 2 ។ លើសពីនេះ គេអាចបង្ហាញ x ក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃ t បន្ទាប់មកស្វែងរកកន្សោមសម្រាប់ dx និងអនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនៅក្នុងអាំងតេក្រាលដែលត្រូវការ។ ប៉ុន្តែក្នុងករណីនេះវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការធ្វើបើមិនដូច្នេះទេ។ រក dt=d(-x 2)=-2xdx ។ ចំណាំថាកន្សោម xdx គឺជាកត្តានៃអាំងតេក្រាលនៃអាំងតេក្រាលដែលចង់បាន។ យើងបង្ហាញវាពីសមភាពលទ្ធផល xdx= - ½dt ។ បន្ទាប់មក

រូបមន្តមូលដ្ឋាន និងវិធីសាស្រ្តនៃការរួមបញ្ចូល។ ច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូលផលបូក ឬភាពខុសគ្នា។ ការដកថេរចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។ វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ។ រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។ ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយបញ្ហា។

វិធីសាស្រ្តសមាហរណកម្មសំខាន់ៗចំនួនបួនត្រូវបានរាយខាងក្រោម។

1) ច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូលផលបូក ឬភាពខុសគ្នា។
.
នៅទីនេះ និងខាងក្រោម u, v, w គឺជាមុខងារនៃអថេររួមបញ្ចូល x ។

2) ការដកថេរចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។
អនុញ្ញាតឱ្យ c ជាថេរឯករាជ្យនៃ x ។ បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

3) វិធីសាស្រ្តជំនួសអថេរ។
ពិចារណាលើអាំងតេក្រាលមិនកំណត់។
ប្រសិនបើអាចជ្រើសរើសមុខងារបែបនេះ φ (x)ពី x ដូច្នេះ
,
បន្ទាប់មកបន្ទាប់ពីផ្លាស់ប្តូរអថេរ t = φ(x) យើងមាន
.

4) រូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។
,
ដែល u និង v គឺជាមុខងារនៃអថេររួមបញ្ចូល។

គោលដៅចុងក្រោយនៃការគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់គឺតាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរ ដើម្បីនាំយកអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុត ដែលត្រូវបានគេហៅថាអាំងតេក្រាលតារាង។ អាំងតេក្រាលតារាងត្រូវបានបង្ហាញក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍បឋមដោយប្រើរូបមន្តល្បី។
សូមមើលតារាងអាំងតេក្រាល >>>

ឧទាហរណ៍

គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ការសម្រេចចិត្ត

ចំណាំថា អាំងតេក្រាល គឺជាផលបូក និងភាពខុសគ្នានៃពាក្យបី៖
, និង .
យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត 1 .

លើសពីនេះ យើងកត់សំគាល់ថា អាំងតេក្រាលនៃអាំងតេក្រាលថ្មីត្រូវបានគុណនឹងចំនួនថេរ។ 5, 4, និង 2 រៀងគ្នា។ យើងអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត 2 .

នៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលយើងរកឃើញរូបមន្ត
.
ការកំណត់ n = 2 យើងរកឃើញអាំងតេក្រាលទីមួយ។

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអាំងតេក្រាលទីពីរក្នុងទម្រង់
.
យើងកត់សំគាល់នោះ។ បន្ទាប់មក

តោះប្រើវិធីទីបី។ យើងធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ t = φ (x) = កំណត់ហេតុ x.
.
នៅក្នុងតារាងនៃអាំងតេក្រាលយើងរកឃើញរូបមន្ត

ចាប់តាំងពីអថេរនៃការរួមបញ្ចូលអាចត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរណាមួយបន្ទាប់មក

ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវអាំងតេក្រាលទីបីក្នុងទម្រង់
.
យើងអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ការរួមបញ្ចូលដោយផ្នែក។
អនុញ្ញាតឱ្យ។
បន្ទាប់មក
;
;

;
;
.

នៅលើទំព័រនេះអ្នកនឹងឃើញ៖

1. តាមពិតតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ - វាអាចត្រូវបានទាញយកជាទម្រង់ PDF និងបោះពុម្ព។

2. វីដេអូអំពីរបៀបប្រើតារាងនេះ;

3. បណ្តុំនៃឧទាហរណ៍នៃការគណនាប្រឆាំងដេរីវេពីសៀវភៅសិក្សា និងការធ្វើតេស្តផ្សេងៗ។

នៅក្នុងវីដេអូខ្លួនយើងផ្ទាល់ យើងនឹងវិភាគបញ្ហាជាច្រើនដែលអ្នកត្រូវគណនាមុខងារប្រឆាំងដេរីវេ ដែលជារឿយៗស្មុគស្មាញ ប៉ុន្តែសំខាន់បំផុតនោះ ពួកគេមិនមែនជាច្បាប់អំណាចទេ។ មុខងារទាំងអស់ដែលបានសង្ខេបនៅក្នុងតារាងដែលបានស្នើឡើងខាងលើត្រូវតែដឹងដោយបេះដូង ដូចជានិស្សន្ទវត្ថុ។ បើគ្មានពួកគេទេ ការសិក្សាបន្ថែមអំពីអាំងតេក្រាល និងការអនុវត្តរបស់ពួកគេដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងគឺមិនអាចទៅរួចទេ។

ថ្ងៃនេះយើងបន្តដោះស្រាយជាមួយបុព្វហេតុ ហើយបន្តទៅប្រធានបទដ៏ស្មុគស្មាញបន្តិច។ ប្រសិនបើកាលពីលើកមុន យើងបានពិចារណាពីអង្គបដិប្រាណដែលមកពីមុខងារថាមពល និងរចនាសម្ព័ន្ធស្មុគស្មាញបន្តិច ថ្ងៃនេះយើងនឹងវិភាគត្រីកោណមាត្រ និងច្រើនទៀត។

ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយនៅក្នុងមេរៀនចុងក្រោយ សារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ មិនដូចនិស្សន្ទវត្ថុ គឺមិនដែលត្រូវបានដោះស្រាយ "ទទេ" ដោយប្រើច្បាប់ស្តង់ដារណាមួយឡើយ។ ជាងនេះទៅទៀត ដំណឹងអាក្រក់គឺថា មិនដូចដេរីវេទីវទេ សារធាតុប្រឆាំងដេរីវេអាចមិនត្រូវបានគេពិចារណាទាល់តែសោះ។ ប្រសិនបើយើងសរសេរអនុគមន៍ចៃដន្យទាំងស្រុង ហើយព្យាយាមស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុរបស់វា នោះយើងនឹងជោគជ័យជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេខ្ពស់ ប៉ុន្តែអង្គបដិប្រាណនឹងស្ទើរតែមិនត្រូវបានគណនាក្នុងករណីនេះ។ ប៉ុន្តែ​មាន​ដំណឹង​ល្អ៖ មាន​ថ្នាក់​ធំ​គួរសម​នៃ​មុខងារ​ដែល​ហៅ​ថា អនុគមន៍​បឋម ដែល​ជា​អង្គ​បដិវត្តន៍​ដែល​ងាយ​ស្រួល​ក្នុង​ការ​គណនា។ ហើយសំណង់ស្មុគ្រស្មាញផ្សេងទៀតទាំងអស់ដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅឯការគ្រប់គ្រងផ្សេងៗ ឯករាជ្យ និងការប្រឡងតាមការពិតត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយមុខងារបឋមទាំងនេះដោយការបន្ថែម ដក និងសកម្មភាពសាមញ្ញផ្សេងទៀត។ antiderivatives នៃមុខងារបែបនេះត្រូវបានគណនា និងសង្ខេបជាយូរមកហើយនៅក្នុងតារាងពិសេស។ វាគឺជាមួយនឹងមុខងារ និងតារាងបែបនេះដែលយើងនឹងធ្វើការនៅថ្ងៃនេះ។

ប៉ុន្តែយើងនឹងចាប់ផ្តើមដូចរាល់ដង ដោយពាក្យដដែលៗ៖ ចងចាំថាតើវត្ថុប្រឆាំងគឺជាអ្វី ហេតុអ្វីបានជាមានចំនួនមិនកំណត់ និងរបៀបកំណត់ទម្រង់ទូទៅរបស់វា។ ដើម្បី​ធ្វើ​ដូច្នេះ ខ្ញុំ​បាន​លើក​យក​កិច្ចការ​សាមញ្ញ​ចំនួន​ពីរ។

ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ងាយស្រួល

ឧទាហរណ៍ #1

ចំណាំភ្លាមៗថា $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ និងវត្តមានរបស់ $\text( )\!\!\pi\!\! \text( )$ ប្រាប់យើងភ្លាមៗថា អង់ទីឌីវ័រនៃអនុគមន៍ដែលត្រូវការគឺទាក់ទងនឹងត្រីកោណមាត្រ។ ហើយជាការពិត ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលតារាង យើងឃើញថា $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ គឺគ្មានអ្វីក្រៅពី $\text(arctg)x$ ។ ដូច្នេះសូមសរសេរ៖

ដើម្បីស្វែងរក អ្នកត្រូវសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\\[\frac(\pi)(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text())(6)=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text()) (3)+C\]

ឧទាហរណ៍ #2

នៅទីនេះផងដែរ។ យើងកំពុងនិយាយអំពីអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលតារាងនោះ វានឹងប្រែជាដូចនេះ៖

យើងត្រូវស្វែងរកក្នុងចំណោមសំណុំទាំងមូលនៃ antiderivatives ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានបញ្ជាក់៖

\[\text()\!\!\pi\!\!\text()=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text()\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

ចុងក្រោយ ចូរយើងសរសេរវាចុះ៖

វាសាមញ្ញណាស់។ បញ្ហាតែមួយគត់គឺថាដើម្បីរាប់ antiderivatives នៃមុខងារសាមញ្ញ អ្នកត្រូវរៀនតារាង antiderivatives ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បន្ទាប់ពីបានរៀនតារាងដេរីវេសម្រាប់អ្នក ខ្ញុំគិតថានេះនឹងមិនមានបញ្ហាទេ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាដែលមានអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល

ចូរចាប់ផ្តើមដោយសរសេររូបមន្តខាងក្រោម៖

\[(((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

សូមមើលពីរបៀបដែលទាំងអស់នេះដំណើរការនៅក្នុងការអនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ #1

ប្រសិនបើយើងក្រឡេកមើលខ្លឹមសារនៃតង្កៀបនោះ យើងនឹងសម្គាល់ឃើញថា នៅក្នុងតារាងនៃអង្គបដិប្រាណ មិនមានកន្សោមដែល $((e)^(x))$ ស្ថិតនៅក្នុងការេទេ ដូច្នេះការ៉េនេះត្រូវតែបើក។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងប្រើរូបមន្តគុណអក្សរកាត់៖

ចូរយើងស្វែងរក antiderivative សម្រាប់ពាក្យនីមួយៗ៖

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2))\right))^(x))\to \frac((((\left((e))^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2))))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \\right))^(x))\to \frac((((\left(((e) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2))))=\frac(1)(-2((e)^(2x)))) \]

ហើយឥឡូវនេះ យើងប្រមូលពាក្យទាំងអស់នៅក្នុងកន្សោមតែមួយ ហើយទទួលបាន antiderivative ទូទៅ៖

ឧទាហរណ៍ #2

លើកនេះ និទស្សន្តគឺធំជាងរួចហើយ ដូច្នេះរូបមន្តគុណដែលសង្ខេបនឹងមានភាពស្មុគស្មាញណាស់។ តោះពង្រីកតង្កៀប៖

ឥឡូវ​យើង​ព្យាយាម​យក​រូបមន្ត​ប្រឆាំង​នឹង​រូបមន្ត​របស់​យើង​ពី​ការ​សាង​សង់​នេះ៖

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញ និងអរូបីនៅក្នុងអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលនោះទេ។ មួយទាំងអស់ត្រូវបានគណនាតាមតារាង ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សិស្សដែលយកចិត្តទុកដាក់នឹងច្បាស់ជាកត់សំគាល់ថា antiderivative $((e)^(2x))$ គឺកាន់តែខិតទៅជិត $((e)^(x))$ ជាង $((a )^(x))$។ ដូច្នេះ ប្រហែល​ជា​មាន​ច្បាប់​ពិសេស​មួយ​ចំនួន​ទៀត​ដែល​អនុញ្ញាត​ឱ្យ​ដឹង​ពី​ការ​ប្រឆាំង​នឹង $((e)^(x))$ ដើម្បី​ស្វែងរក $((e)^(2x))$? បាទ មានច្បាប់បែបនេះ។ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត វាគឺជាផ្នែកសំខាន់មួយនៃការធ្វើការជាមួយតារាងនៃ antiderivatives ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគវាដោយប្រើកន្សោមដូចគ្នាដែលយើងទើបតែបានធ្វើការជាឧទាហរណ៍។

ច្បាប់សម្រាប់ធ្វើការជាមួយតារាងប្រឆាំងដេរីវេ

ចូរយើងសរសេរមុខងាររបស់យើងឡើងវិញ៖

ក្នុងករណីមុន យើងប្រើរូបមន្តខាងក្រោមដើម្បីដោះស្រាយ៖

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

ប៉ុន្តែ​ឥឡូវ​នេះ ចូរ​ធ្វើ​អ្វី​មួយ​ផ្សេង​ទៀត៖ ចាំ​ពី​មូលដ្ឋាន​អ្វី $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ ។ ដូចដែលបាននិយាយរួចមកហើយ ពីព្រោះដេរីវេនៃ $((e)^(x))$ គឺគ្មានអ្វីក្រៅពី $((e)^(x))$ ដូច្នេះ antiderivative របស់វានឹងស្មើនឹង $((e) ^( x))$ ។ ប៉ុន្តែបញ្ហាគឺថាយើងមាន $((e)^(2x))$ និង $((e)^(-2x))$ ។ ឥឡូវ​យើង​ព្យាយាម​ស្វែង​រក​ដេរីវេ $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x\right)))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

ចូរ​សរសេរ​សំណង់​របស់​យើង​ម្ដង​ទៀត៖

\[((\left(((e)^(2x)) \\right))^(\prime))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x))))(2)\right))^(\prime ))\]

ហើយនេះមានន័យថានៅពេលរកឃើញ antiderivative $((e)^(2x))$ យើងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ យើងទទួលបានលទ្ធផលដូចពីមុន ប៉ុន្តែយើងមិនបានប្រើរូបមន្តដើម្បីស្វែងរក $((a)^(x))$ ទេ។ ឥឡូវនេះវាហាក់ដូចជាល្ងង់៖ ហេតុអ្វីបានជាការគណនាស្មុគស្មាញនៅពេលមានរូបមន្តស្តង់ដារ? ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងកន្សោមស្មុគស្មាញបន្តិចអ្នកនឹងឃើញថាបច្ចេកទេសនេះមានប្រសិទ្ធភាពណាស់ i.e. ដោយប្រើនិស្សន្ទវត្ថុដើម្បីស្វែងរកសារធាតុប្រឆាំង។

ចូរយើងស្វែងរកការប្រឆាំងនៃ $((e)^(2x))$ ក្នុងវិធីស្រដៀងគ្នានេះ៖

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot ឆ្វេង(-2\right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x))))(-2) \right))^(\prime))\]

នៅពេលគណនាការសាងសង់របស់យើងនឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

យើង​ទទួល​បាន​លទ្ធផល​ដូចគ្នា ប៉ុន្តែ​បាន​ទៅ​ផ្លូវ​ផ្សេង។ វា​ជា​វិធី​នេះ ដែល​ឥឡូវ​នេះ​ហាក់​ដូច​ជា​យើង​ស្មុគ​ស្មាញ​បន្តិច ហើយ​នៅពេល​អនាគត​នឹង​មាន​ប្រសិទ្ធភាព​កាន់​តែ​ច្រើន​សម្រាប់​ការ​គណនា​សារធាតុ​ប្រឆាំង​និស្សន្ទវត្ថុ​ដែល​ស្មុគស្មាញ​ជាង​មុន និង​ការ​ប្រើ​តារាង។

ចំណាំ! នេះគឺជាចំណុចសំខាន់ណាស់៖ សារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ដូចជានិស្សន្ទវត្ថុអាចរាប់បានតាមវិធីផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយប្រសិនបើការគណនានិងការគណនាទាំងអស់ស្មើគ្នានោះចម្លើយនឹងដូចគ្នា។ យើងគ្រាន់តែធ្វើឱ្យប្រាកដថានេះនៅក្នុងឧទាហរណ៍នៃ $((e)^(-2x))$ - នៅលើដៃមួយ យើងបានគណនា antiderivative នេះ "ពេញមួយ" ដោយប្រើនិយមន័យ និងគណនាវាដោយមានជំនួយពីការបំលែង។ ម្យ៉ាងវិញទៀត យើងចាំបានថា $((e)^(-2x))$ អាចត្រូវបានតំណាងជា $((\left(((e)^(-2))) \right))^(x))$ ហើយបន្ទាប់មក ប្រើ antiderivative សម្រាប់អនុគមន៍ $((a)^(x))$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ លទ្ធផលគឺដូចគ្នាទៅនឹងការរំពឹងទុក។

ហើយ​ឥឡូវ​នេះ​ដែល​យើង​យល់​ពី​រឿង​ទាំង​អស់​នេះ វា​ដល់​ពេល​ត្រូវ​បន្ត​ទៅ​កាន់​អ្វី​ដែល​សំខាន់​ជាង​នេះ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគសំណង់សាមញ្ញចំនួនពីរទោះជាយ៉ាងណា បច្ចេកទេសដែលនឹងត្រូវដាក់នៅពេលដោះស្រាយវាជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពល និងមានប្រយោជន៍ជាង "ការរត់" ដ៏សាមញ្ញមួយរវាងវត្ថុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុជិតខាងពីតារាង។

ការដោះស្រាយបញ្ហា៖ ស្វែងរកអង្គបដិប្រាណនៃមុខងារមួយ។

ឧទាហរណ៍ #1

ផ្តល់ចំនួនដែលមាននៅក្នុងភាគយក បំបែកទៅជាប្រភាគបីដាច់ដោយឡែកពីគ្នា៖

នេះគឺជាការផ្លាស់ប្តូរធម្មជាតិ និងអាចយល់បាន - សិស្សភាគច្រើនមិនមានបញ្ហាជាមួយវាទេ។ ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវកន្សោមរបស់យើងដូចខាងក្រោម៖

ឥឡូវនេះសូមចងចាំរូបមន្តនេះ៖

ក្នុងករណីរបស់យើង យើងនឹងទទួលបានដូចខាងក្រោម៖

ដើម្បីកម្ចាត់ប្រភាគបីជាន់នេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យធ្វើដូចខាងក្រោមៈ

ឧទាហរណ៍ #2

មិនដូចប្រភាគមុនទេ ភាគបែងមិនមែនជាផលិតផលទេ ប៉ុន្តែជាផលបូក។ ក្នុងករណីនេះ យើងមិនអាចបែងចែកប្រភាគរបស់យើងដោយផលបូកនៃប្រភាគសាមញ្ញមួយចំនួនទៀតទេ ប៉ុន្តែយើងត្រូវព្យាយាមធ្វើយ៉ាងណាឱ្យប្រាកដថា ភាគយកមានកន្សោមប្រហាក់ប្រហែលនឹងភាគបែង។ ក្នុងករណីនេះវាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការធ្វើ៖

សញ្ញាណបែបនេះ ដែលក្នុងភាសាគណិតវិទ្យាហៅថា "បូកសូន្យ" នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងបែងចែកប្រភាគជាពីរផ្នែកម្តងទៀត៖

ឥឡូវនេះ ចូរយើងស្វែងរកអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរក៖

នោះហើយជាការគណនាទាំងអស់។ ទោះបីជាមានភាពស្មុគ្រស្មាញខ្លាំងជាងបញ្ហាមុនក៏ដោយ បរិមាណនៃការគណនាបានប្រែទៅជាតូចជាង។

Nuances នៃដំណោះស្រាយ

ហើយនេះគឺជាកន្លែងដែលការលំបាកចម្បងនៃការធ្វើការជាមួយតារាងបឋមស្ថិតនៅ នេះគឺជាការកត់សម្គាល់ជាពិសេសនៅក្នុងកិច្ចការទីពីរ។ ការពិតគឺថា ដើម្បីជ្រើសរើសធាតុមួយចំនួនដែលងាយស្រួលរាប់តាមតារាង យើងត្រូវដឹងពីអ្វីដែលយើងកំពុងស្វែងរកពិតប្រាកដ ហើយវាគឺនៅក្នុងការស្វែងរកធាតុទាំងនេះដែលការគណនាទាំងមូលនៃ antiderivatives មាន។

ម៉្យាងទៀត វាមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ គ្រាន់តែទន្ទេញចាំតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ - អ្នកត្រូវអាចមើលឃើញអ្វីមួយដែលមិនទាន់មាន ប៉ុន្តែតើអ្នកនិពន្ធនិងអ្នកចងក្រងនៃបញ្ហានេះមានន័យយ៉ាងណា។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលគណិតវិទូ គ្រូបង្រៀន និងសាស្រ្តាចារ្យជាច្រើនតែងតែជជែកគ្នាឥតឈប់ឈរ៖ "តើអ្វីទៅដែលទទួលយកសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ឬសមាហរណកម្ម - វាគ្រាន់តែជាឧបករណ៍ ឬវាជាសិល្បៈពិត?" តាមពិតតាមគំនិតផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ខ្ញុំ ការរួមបញ្ចូលមិនមែនជាសិល្បៈទាល់តែសោះ - មិនមានអ្វីអស្ចារ្យនៅក្នុងវាទេ វាគ្រាន់តែជាការអនុវត្ត ហើយអនុវត្តម្តងទៀត។ ហើយដើម្បីអនុវត្ត ចូរយើងដោះស្រាយឧទាហរណ៍ដ៏ធ្ងន់ធ្ងរបីបន្ថែមទៀត។

អនុវត្តសមាហរណកម្មក្នុងការអនុវត្ត

កិច្ចការទី 1

ចូរយើងសរសេររូបមន្តខាងក្រោម៖

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

ចូរយើងសរសេរដូចខាងក្រោម៖

កិច្ចការទី ២

ចូរយើងសរសេរវាឡើងវិញដូចតទៅ៖

ការប្រឆាំងដេរីវេសរុបនឹងស្មើនឹង៖

កិច្ចការទី ៣

ភាពស្មុគស្មាញនៃកិច្ចការនេះស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថាមិនដូចមុខងារមុនទេ មិនមានអថេរ $x$ ខាងលើទេ i.e. វាមិនច្បាស់សម្រាប់យើងនូវអ្វីដែលត្រូវបន្ថែម ដក ដើម្បីទទួលបានយ៉ាងហោចណាស់អ្វីមួយដែលស្រដៀងនឹងអ្វីដែលមានខាងក្រោម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយតាមពិត កន្សោមនេះត្រូវបានគេចាត់ទុកថាសាមញ្ញជាងកន្សោមណាមួយពីការស្ថាបនាមុនៗ ព្រោះមុខងារនេះអាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

ឥឡូវនេះអ្នកអាចសួរថា: ហេតុអ្វីបានជាមុខងារទាំងនេះស្មើគ្នា? តោះពិនិត្យ៖

តោះសរសេរម្តងទៀត៖

តោះផ្លាស់ប្តូរកន្សោមរបស់យើងបន្តិច៖

ហើយនៅពេលដែលខ្ញុំពន្យល់ទាំងអស់នេះដល់សិស្សរបស់ខ្ញុំ បញ្ហាដូចគ្នានេះតែងតែកើតឡើង៖ ជាមួយនឹងមុខងារទីមួយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់ជាង ឬតិច ជាមួយនឹងទីពីរ អ្នកក៏អាចដោះស្រាយវាដោយសំណាង ឬការអនុវត្ត ប៉ុន្តែតើប្រភេទមនសិការជំនួសធ្វើអ្វី? អ្នកត្រូវមានដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍ទីបី? តាមពិតកុំខ្លាចអី។ បច្ចេកទេសដែលយើងបានប្រើនៅពេលគណនាអង្គបដិប្រាណចុងក្រោយត្រូវបានគេហៅថា "ការបំប្លែងមុខងារទៅជាសាមញ្ញបំផុត" ហើយនេះគឺជាបច្ចេកទេសដ៏ធ្ងន់ធ្ងរមួយ ហើយមេរៀនវីដេអូដាច់ដោយឡែកមួយនឹងត្រូវបានយកចិត្តទុកដាក់ចំពោះវា។

ក្នុងពេលនេះ ខ្ញុំស្នើឱ្យត្រឡប់ទៅអ្វីដែលយើងទើបតែបានសិក្សា ពោលគឺចំពោះមុខងារអិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងធ្វើឱ្យកិច្ចការស្មុគស្មាញខ្លះជាមួយនឹងខ្លឹមសាររបស់វា។

បញ្ហាស្មុគ្រស្មាញបន្ថែមទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលប្រឆាំងដេរីវេ

កិច្ចការទី 1

ចំណាំដូចខាងក្រោម:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5\right))^(x))=((10)^(x) )\]

ដើម្បីស្វែងរក antiderivative នៃកន្សោមនេះ គ្រាន់តែប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ ។

ក្នុងករណីរបស់យើងបុព្វកាលនឹងមានដូចនេះ៖

ជាការពិតណាស់ប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃការសាងសង់ដែលយើងទើបតែបានដោះស្រាយនេះមើលទៅសាមញ្ញជាង។

កិច្ចការទី ២

ជាថ្មីម្តងទៀតវាងាយស្រួលក្នុងការឃើញថាមុខងារនេះងាយស្រួលក្នុងការបែងចែកជាពីរឃ្លាដាច់ដោយឡែក - ប្រភាគពីរដាច់ដោយឡែក។ តោះសរសេរឡើងវិញ៖

វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរក antiderivative នៃពាក្យនីមួយៗនេះដោយយោងតាមរូបមន្តខាងលើ៖

ទោះបីជាមានភាពស្មុគស្មាញកាន់តែច្រើនជាក់ស្តែងនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែលធៀបនឹងអនុគមន៍ថាមពលក៏ដោយ ក៏ចំនួនសរុបនៃការគណនា និងការគណនាបានប្រែទៅជាសាមញ្ញជាង។

ជាការពិតណាស់ សម្រាប់សិស្សដែលមានចំណេះដឹង អ្វីដែលយើងទើបតែបានដោះស្រាយ (ជាពិសេសប្រឆាំងនឹងផ្ទៃខាងក្រោយនៃអ្វីដែលយើងបានដោះស្រាយពីមុន) អាចហាក់ដូចជាការបង្ហាញបឋម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការជ្រើសរើសកិច្ចការទាំងពីរនេះសម្រាប់ការបង្រៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ ខ្ញុំមិនបានកំណត់គោលដៅក្នុងការប្រាប់អ្នកអំពីល្បិចដ៏ស្មុគស្មាញ និងប្លែកមួយទៀតនោះទេ - អ្វីដែលខ្ញុំចង់បង្ហាញអ្នកនោះគឺថា អ្នកមិនគួរភ័យខ្លាចក្នុងការប្រើប្រាស់ល្បិចពិជគណិតស្តង់ដារដើម្បីបំប្លែងមុខងារដើមនោះទេ។ .

ដោយប្រើបច្ចេកទេស "សម្ងាត់"

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់វិភាគបច្ចេកទេសដ៏គួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយទៀត ដែលនៅលើដៃម្ខាង វាហួសពីអ្វីដែលយើងបានវិភាគជាចម្បងនៅថ្ងៃនេះ ប៉ុន្តែផ្ទុយទៅវិញ ទីមួយ វាមិនស្មុគស្មាញទេ ពោលគឺ។ សូម្បីតែសិស្សថ្មីថ្មោងក៏អាចធ្វើជាម្ចាស់វាដែរ ហើយទីពីរ វាត្រូវបានរកឃើញជាញឹកញាប់នៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃការគ្រប់គ្រង និងការងារឯករាជ្យ i.e. ការដឹងថាវានឹងមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ បន្ថែមពីលើការដឹងពីតារាងថ្នាំប្រឆាំងមេរោគ។

កិច្ចការទី 1

ជាក់ស្តែងយើងមានអ្វីមួយស្រដៀងទៅនឹងមុខងារថាមពល។ តើ​យើង​គួរ​បន្ត​យ៉ាង​ណា​ក្នុង​ករណី​នេះ? ចូរយើងគិតអំពីវា៖ $x-5$ ខុសពី $x$ មិនច្រើនទេ - គ្រាន់តែបន្ថែម $-5$ ។ តោះសរសេរដូចនេះ៖

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5)\right))^(\prime))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

តោះព្យាយាមស្វែងរកដេរីវេនៃ $((\left(x-5\right))^(5))$:

\[((\left((((\left(x-5\right))^(5))\right))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5\right))) ^(4))\cdot ((\left(x-5\right)))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5\right))^(4))\]

នេះ​បញ្ជាក់​ថា​:

\[((\left(x-5\right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5\right))))^(5)))(5) \ ត្រូវ))^(\prime))\]

មិនមានតម្លៃបែបនេះនៅក្នុងតារាងទេ ដូច្នេះហើយឥឡូវនេះ យើងបានទាញយករូបមន្តនេះដោយខ្លួនឯង ដោយប្រើរូបមន្ត antiderivative ស្តង់ដារសម្រាប់មុខងារថាមពល។ ចូរសរសេរចម្លើយដូចនេះ៖

កិច្ចការទី ២

ចំពោះសិស្សជាច្រើនដែលមើលដំណោះស្រាយដំបូង វាហាក់ដូចជាថាអ្វីៗទាំងអស់គឺសាមញ្ញណាស់៖ វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការជំនួស $x$ នៅក្នុងមុខងារថាមពលដោយប្រើកន្សោមលីនេអ៊ែរ ហើយអ្វីៗនឹងធ្លាក់ចូល។ ជាអកុសលអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺមិនសាមញ្ញទេហើយឥឡូវនេះយើងនឹងឃើញរឿងនេះ។

ដោយការប្រៀបធៀបជាមួយកន្សោមទីមួយ យើងសរសេរដូចខាងក្រោម៖

\[((x)^(៩))\to \frac(((x)^(១០)))(១០)\]

\[(((\left((((\left(4-3x\right)))^(10))\right))^(\prime))=10\cdot ((\left(4-3x\right))) ^(9))\cdot ((\left(4-3x\right))^(\prime))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3\right)=-30\cdot ((\left(4-3x\right))) ^(9))\]

ត្រលប់ទៅនិស្សន្ទវត្ថុរបស់យើង យើងអាចសរសេរ៖

\[(((\left((((\left(4-3x\right)))^(10))\right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x\right)) )^(៩))\]

\[((\left(4-3x\right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x\right))))^(10)))(-30) \right))^(\prime))\]

ពីទីនេះវាភ្លាមៗដូចខាងក្រោមៈ

Nuances នៃដំណោះស្រាយ

សូមចំណាំ៖ ប្រសិនបើកាលពីលើកមុនគ្មានអ្វីផ្លាស់ប្តូរសំខាន់ទេ នោះនៅក្នុងករណីទីពីរ $-30$ បានបង្ហាញខ្លួនជំនួសឱ្យ $-10$ ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាង $-10$ និង $-30$? ជាក់ស្តែងដោយកត្តានៃ $-3$ ។ សំណួរ៖ តើវាមកពីណា? ក្រឡេកមើលឱ្យជិត អ្នកអាចមើលឃើញថាវាត្រូវបានគេយកជាលទ្ធផលនៃការគណនាដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ - មេគុណដែលឈរនៅ $x$ បង្ហាញនៅក្នុង antiderivative ខាងក្រោម។ នេះជាច្បាប់សំខាន់ណាស់ ដែលដំបូងឡើយខ្ញុំមិនមានគម្រោងវិភាគទាល់តែសោះក្នុងការបង្រៀនវីដេអូថ្ងៃនេះ ប៉ុន្តែបើគ្មានវាទេ ការបង្ហាញអំពីថ្នាំប្រឆាំងដេរីវេទីប នឹងមិនពេញលេញទេ។

ដូច្នេះសូមធ្វើវាម្តងទៀត។ សូមឱ្យមានមុខងារថាមពលចម្បងរបស់យើង:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

ហើយឥឡូវនេះជំនួសឱ្យ $x$ ចូរយើងជំនួសកន្សោម $kx+b$ ។ តើនឹងមានអ្វីកើតឡើងនៅពេលនោះ? យើងត្រូវស្វែងរកដូចខាងក្រោមៈ

\[((\left(kx+b\right))^(n))\to \frac((((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1) \\ ស្តាំ) \\ cdot k) \\]

តើ​យើង​អះអាង​នេះ​ដោយ​ផ្អែក​លើ​មូលដ្ឋាន​អ្វី? សាមញ្ញ​ណាស់។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃសំណង់ដែលបានសរសេរខាងលើ៖

\[((\left(\frac(((\left(kx+b\right)))^(n+1)))(\left(n+1\right)\cdot k)\right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1\right)\cdot k)\cdot \left(n+1\right)\cdot ((\left(kx+b\right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b\right))^(n))\]

នេះ​គឺ​ជា​ការ​បញ្ចេញ​មតិ​ដូច​គ្នា​នឹង​ដើម​។ ដូច្នេះរូបមន្តនេះក៏ត្រឹមត្រូវដែរ ហើយវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបំពេញបន្ថែមតារាងនៃសារធាតុប្រឆាំងនិស្សន្ទវត្ថុ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការចងចាំតារាងទាំងមូល។

សេចក្តីសន្និដ្ឋានពី "អាថ៌កំបាំង៖ ការទទួលភ្ញៀវ៖

• មុខងារទាំងពីរដែលយើងទើបតែបានពិចារណា ជាការពិត អាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជា antiderivatives ដែលបានបង្ហាញក្នុងតារាងដោយការបើកដឺក្រេ ប៉ុន្តែប្រសិនបើយើងអាចច្រើន ឬតិចអាចទប់ទល់នឹងសញ្ញាប័ត្រទីបួន នោះខ្ញុំនឹងមិនធ្វើដឺក្រេទីប្រាំបួនទាល់តែសោះ។ បើកបង្ហាញ។
• ប្រសិនបើយើងរកឃើញដឺក្រេ នោះយើងនឹងទទួលបានបរិមាណនៃការគណនាដែលកិច្ចការសាមញ្ញនឹងធ្វើឱ្យយើងចំណាយពេលមិនគ្រប់គ្រាន់។
• នោះហើយជាមូលហេតុដែលភារកិច្ចបែបនេះដែលនៅខាងក្នុងមានកន្សោមលីនេអ៊ែរមិនចាំបាច់ត្រូវបានដោះស្រាយ "ទទេ" ទេ។ ដរាបណាអ្នកជួបនឹងសារធាតុប្រឆាំងដេរីវេទីវ័រ ដែលខុសពីមួយក្នុងតារាងដោយវត្តមានកន្សោម $kx+b$ នៅខាងក្នុង សូមចងចាំភ្លាមៗនូវរូបមន្តដែលបានសរសេរខាងលើ ជំនួសវាទៅក្នុងតារាង antiderivative របស់អ្នក ហើយអ្វីៗនឹងប្រែជាខ្លាំង។ លឿន និងងាយស្រួលជាង។

ដោយធម្មជាតិ ដោយសារភាពស្មុគស្មាញ និងធ្ងន់ធ្ងរនៃបច្ចេកទេសនេះ យើងនឹងត្រលប់ទៅការពិចារណារបស់វាដដែលៗនៅក្នុងការបង្រៀនវីដេអូនាពេលអនាគត ប៉ុន្តែសម្រាប់ថ្ងៃនេះ ខ្ញុំមានអ្វីៗគ្រប់យ៉ាង។ ខ្ញុំសង្ឃឹមថាមេរៀននេះពិតជាអាចជួយសិស្សទាំងនោះដែលចង់យល់អំពីវត្ថុបុរាណ និងការរួមបញ្ចូល។

ការរៀនរួមបញ្ចូលមិនពិបាកទេ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន អ្នកគ្រាន់តែត្រូវរៀនច្បាប់មួយចំនួនតូច និងបង្កើតនូវភាពប៉ិនប្រសប់មួយប្រភេទ។ ជាការពិតណាស់ វាងាយស្រួលក្នុងការរៀនច្បាប់ និងរូបមន្ត ប៉ុន្តែវាពិតជាលំបាកណាស់ក្នុងការយល់ដឹងពីទីកន្លែង និងពេលណាដែលត្រូវអនុវត្តនេះ ឬច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូល ឬភាពខុសគ្នានោះ។ តាមពិតនេះគឺជាសមត្ថភាពក្នុងការរួមបញ្ចូល។

1. Antiderivative ។ អាំងតេក្រាលមិនកំណត់។

វាត្រូវបានសន្មត់ថានៅពេលអានអត្ថបទនេះ អ្នកអានមានជំនាញខុសគ្នាមួយចំនួន (ឧ. ការស្វែងរកនិស្សន្ទវត្ថុ)។

និយមន័យ ១.១៖អនុគមន៍មួយត្រូវបានគេហៅថា antiderivative ប្រសិនបើសមភាពមាន៖

មតិយោបល់៖> ភាពតានតឹងនៅក្នុងពាក្យ "បឋម" អាចត្រូវបានដាក់តាមពីរវិធី៖ អំពីរំខានឬដើម កដឹង។

អចលនទ្រព្យ 1:ប្រសិនបើអនុគមន៍គឺជាអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ នោះអនុគមន៍ក៏ជាអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍ផងដែរ។

ភស្តុតាង៖ចូរយើងបង្ហាញវាពីនិយមន័យនៃ antiderivative មួយ។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេនៃមុខងារ៖

រយៈពេលដំបូងនៅក្នុង និយមន័យ ១.១ស្មើ ហើយពាក្យទីពីរ គឺជាដេរីវេនៃថេរ ដែលស្មើនឹង 0 ។

.

សង្ខេប។ ចូរយើងសរសេរការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់នៃខ្សែសង្វាក់នៃសមភាព៖

ដូច្នេះ ដេរីវេនៃអនុគមន៍គឺស្មើគ្នា ដូច្នេះហើយតាមនិយមន័យ គឺជាអង្គបដិវត្តរបស់វា។ ទ្រព្យសម្បត្តិត្រូវបានបញ្ជាក់។

និយមន័យ ១.២៖អាំងតេក្រាលមិនកំណត់នៃអនុគមន៍ គឺជាសំណុំទាំងមូលនៃអង្គបដិប្រាណនៃអនុគមន៍នេះ។ វាត្រូវបានបញ្ជាក់ដូចនេះ៖

.

ពិចារណាឈ្មោះនៃផ្នែកនីមួយៗនៃកំណត់ត្រាដោយលម្អិត៖

គឺជាសញ្ញាណទូទៅសម្រាប់អាំងតេក្រាល

គឺ​ជា​កន្សោម​បញ្ចូល​គ្នា (អាំងតេក្រាដ) ជា​អនុគមន៍​ដែល​អាច​បញ្ចូល​គ្នា​បាន។

គឺជាឌីផេរ៉ង់ស្យែល ហើយកន្សោមបន្ទាប់ពីអក្សរ ក្នុងករណីនេះនឹងត្រូវបានគេហៅថាអថេររួមបញ្ចូល។

មតិយោបល់៖ពាក្យគន្លឹះនៅក្នុងនិយមន័យនេះគឺ "សំណុំទាំងមូល" ។ ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើនៅពេលអនាគត “បូក C” នេះមិនត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងចម្លើយទេ នោះអធិការមានសិទ្ធិមិនផ្តល់ឥណទានដល់កិច្ចការនេះទេ ព្រោះ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកសំណុំទាំងមូលនៃអង្គបដិប្រាណហើយប្រសិនបើ C អវត្តមាននោះមានតែមួយគត់ត្រូវបានរកឃើញ។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន៖ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើអាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវឬអត់នោះ ចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃលទ្ធផល។ វាត្រូវតែផ្គូផ្គងអាំងតេក្រាល។
ឧទាហរណ៍៖
លំហាត់ប្រាណ៖គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់ ហើយពិនិត្យ។

ការសម្រេចចិត្ត៖

វិធីគណនាអាំងតេក្រាលនេះមិនសំខាន់ទេក្នុងករណីនេះ។ ឧបមាថាវាជាការបើកសម្តែងពីខាងលើ។ ភារកិច្ចរបស់យើងគឺដើម្បីបង្ហាញថាវិវរណៈមិនបានបញ្ឆោតយើងទេ ហើយនេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយជំនួយពីការផ្ទៀងផ្ទាត់។

ការប្រឡង៖

នៅពេលបែងចែកលទ្ធផល អាំងតេក្រាលមួយត្រូវបានទទួល ដែលមានន័យថា អាំងតេក្រាលត្រូវបានគណនាត្រឹមត្រូវ។

2. ចាប់ផ្តើម។ តារាងអាំងតេក្រាល។

សម្រាប់ការរួមបញ្ចូល វាមិនចាំបាច់រាល់ពេលដើម្បីចងចាំមុខងារដែលដេរីវេនៃវាស្មើនឹងអាំងតេក្រាលដែលបានផ្តល់ឱ្យទេ (ឧ. ប្រើនិយមន័យនៃអាំងតេក្រាលដោយផ្ទាល់)។ ការប្រមូលបញ្ហានីមួយៗ ឬសៀវភៅសិក្សាស្តីពីការវិភាគគណិតវិទ្យាមានបញ្ជីនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនៃអាំងតេក្រាល និងតារាងនៃអាំងតេក្រាលសាមញ្ញបំផុត។

ចូរយើងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិ។

លក្ខណៈសម្បត្តិ៖
1.
អាំងតេក្រាលនៃឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺស្មើនឹងអថេររួមបញ្ចូល។
2. កន្លែងណាជាថេរ។
មេគុណថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល។

3.
អាំងតេក្រាលនៃផលបូកគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាល (ប្រសិនបើចំនួននៃពាក្យមានកំណត់)។
តារាងអាំងតេក្រាល៖

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

ភាគច្រើន ភារកិច្ចគឺកាត់បន្ថយអាំងតេក្រាលដែលបានស៊ើបអង្កេតទៅជាតារាងមួយដោយប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ និងរូបមន្ត។

ឧទាហរណ៍៖

[ ចូរប្រើទ្រព្យសម្បត្តិទីបីនៃអាំងតេក្រាល ហើយសរសេរវាជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលបី។]

[តោះប្រើទ្រព្យសម្បត្តិទីពីរ ហើយយកចំនួនថេរចេញពីសញ្ញារួមបញ្ចូល។]

[ នៅក្នុងអាំងតេក្រាលទីមួយ យើងប្រើអាំងតេក្រាលតារាងលេខ 1 (n=2) នៅក្នុងទីពីរ - រូបមន្តដូចគ្នា ប៉ុន្តែ n=1 ហើយសម្រាប់អាំងតេក្រាលទីបី អ្នកអាចប្រើអាំងតេក្រាលតារាងដូចគ្នា ប៉ុន្តែជាមួយ n=0 ឬទ្រព្យសម្បត្តិទីមួយ។ ]
.
ចូរយើងពិនិត្យមើលដោយភាពខុសគ្នា៖

អាំងតេក្រាលដើមត្រូវបានទទួល ដូច្នេះការរួមបញ្ចូលត្រូវបានអនុវត្តដោយគ្មានកំហុស (ហើយសូម្បីតែការបន្ថែមនៃថេរ C មិនត្រូវបានគេបំភ្លេចចោល) ។

អាំងតេក្រាលតារាងត្រូវតែរៀនដោយបេះដូងសម្រាប់ហេតុផលសាមញ្ញមួយ - ដើម្បីដឹងពីអ្វីដែលត្រូវខិតខំ ពោលគឺឧ។ ដឹងពីគោលបំណងនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃកន្សោមដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

នេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួនទៀត៖
1)
2)
3)

ភារកិច្ចសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ៖

លំហាត់ 1 ។គណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់៖

+ បង្ហាញ/លាក់ព័ត៌មានជំនួយ #1។

1) ប្រើលក្ខណសម្បត្តិទីបី ហើយបង្ហាញអាំងតេក្រាលនេះជាផលបូកនៃអាំងតេក្រាលបី។

+ បង្ហាញ/លាក់ព័ត៌មានជំនួយ #2 ។

+ បង្ហាញ/លាក់ព័ត៌មានជំនួយ #3.

3) សម្រាប់ពាក្យពីរដំបូង ប្រើអាំងតេក្រាលតារាងទីមួយ ហើយសម្រាប់ទីបី - អាំងតេក្រាលតារាងទីពីរ។

+ បង្ហាញ/លាក់ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ។

៤) ដំណោះស្រាយ៖

ចម្លើយ៖

អាំងតេក្រាលចម្បង សិស្សគ្រប់រូបគួរដឹង

អាំងតេក្រាលដែលបានរាយបញ្ជីគឺជាមូលដ្ឋាន, មូលដ្ឋាននៃគ្រឹះ។ ជាការពិតណាស់រូបមន្តទាំងនេះគួរតែត្រូវបានចងចាំ។ នៅពេលគណនាអាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញ អ្នកនឹងត្រូវប្រើវាជានិច្ច។

យកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះរូបមន្ត (5), (7), (9), (12), (13), (17) និង (19) ។ កុំភ្លេចបន្ថែម Constant C បំពានទៅចម្លើយពេលបញ្ចូល!

អាំងតេក្រាលនៃថេរមួយ។

∫ A d x = A x + C (1)

ការរួមបញ្ចូលមុខងារថាមពល

តាមការពិត មនុស្សម្នាក់អាចបង្ខាំងខ្លួនឯងទៅនឹងរូបមន្ត (5) និង (7) ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលដែលនៅសល់ពីក្រុមនេះគឺជារឿងធម្មតា ដែលវាគួរអោយយកចិត្តទុកដាក់បន្តិចចំពោះពួកគេ។

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 ឃ x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល និងអនុគមន៍អ៊ីពែរបូល

ជាការពិតណាស់រូបមន្ត (8) (ប្រហែលជាងាយស្រួលបំផុតក្នុងការចងចាំ) អាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត (9) ។ រូបមន្ត (10) និង (11) សម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃស៊ីនុសអ៊ីពែរបូល និងកូស៊ីនុសអ៊ីពែរបូលគឺបានមកយ៉ាងងាយស្រួលពីរូបមន្ត (8) ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរក្នុងការចងចាំទំនាក់ទំនងទាំងនេះ។

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

អាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

កំហុស​ដែល​សិស្ស​តែងតែ​ធ្វើ៖ ពួកគេ​ច្រឡំ​សញ្ញា​ក្នុង​រូបមន្ត (១២) និង (១៣)។ ដោយចងចាំថាដេរីវេនៃស៊ីនុសស្មើនឹងកូស៊ីនុស ដោយសារហេតុផលមួយចំនួន មនុស្សជាច្រើនជឿថាអាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ sinx គឺស្មើនឹង cosx ។ នេះ​គឺ​ជា​ការ​មិន​ពិត​ទេ! អាំងតេក្រាលនៃស៊ីនុសគឺ "ដកកូស៊ីនុស" ប៉ុន្តែអាំងតេក្រាលនៃ cosx គឺ "គ្រាន់តែជាស៊ីនុស"៖

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

អាំងតេក្រាលកាត់បន្ថយទៅជាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

រូបមន្ត (16) ដែលនាំទៅដល់តង់ហ្សង់ធ្នូ គឺជាករណីពិសេសនៃរូបមន្ត (17) សម្រាប់ a=1។ ដូចគ្នានេះដែរ (18) គឺជាករណីពិសេសនៃ (19) ។

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

អាំងតេក្រាលស្មុគស្មាញជាង

រូបមន្តទាំងនេះក៏គួរឱ្យចង់ចងចាំផងដែរ។ ពួកគេក៏ត្រូវបានគេប្រើញឹកញាប់ដែរ ហើយទិន្នផលរបស់ពួកគេគឺគួរឱ្យធុញទ្រាន់ណាស់។

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a> 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a> 0) (24)

ច្បាប់នៃការរួមបញ្ចូលទូទៅ

1) អាំងតេក្រាលនៃផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងផលបូកនៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា៖ ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) អាំងតេក្រាលនៃភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍ពីរគឺស្មើនឹងភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា៖ ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) ថេរអាចយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល៖ ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

វាងាយមើលឃើញថាទ្រព្យសម្បត្តិ (26) គ្រាន់តែជាការរួមបញ្ចូលគ្នានៃទ្រព្យសម្បត្តិ (25) និង (27) ។

4) អាំងតេក្រាលនៃអនុគមន៍ស្មុគ្រស្មាញ ប្រសិនបើមុខងារខាងក្នុងគឺលីនេអ៊ែរ៖ ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

នៅទីនេះ F(x) គឺជាអង់ទីករសម្រាប់អនុគមន៍ f(x)។ ចំណាំថារូបមន្តនេះដំណើរការតែនៅពេលដែលមុខងារខាងក្នុងគឺ Ax + B ។

សំខាន់៖ មិនមានរូបមន្តសកលសម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃផលិតផលនៃមុខងារពីរ ក៏ដូចជាសម្រាប់អាំងតេក្រាលនៃប្រភាគ៖

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (សាមសិប)

ជាការពិតណាស់ នេះមិនមានន័យថាប្រភាគ ឬផលិតផលមួយមិនអាចរួមបញ្ចូលបានទេ។ វាគ្រាន់តែថារាល់ពេលដែលអ្នកឃើញអាំងតេក្រាលដូចជា (30) អ្នកត្រូវតែបង្កើតវិធីដើម្បី "ប្រយុទ្ធ" ជាមួយវា។ ក្នុងករណីខ្លះ ការធ្វើសមាហរណកម្មដោយផ្នែកនឹងជួយអ្នក កន្លែងណាមួយដែលអ្នកនឹងត្រូវធ្វើការផ្លាស់ប្តូរអថេរ ហើយជួនកាលសូម្បីតែរូបមន្ត "សាលា" នៃពិជគណិត ឬត្រីកោណមាត្រអាចជួយបាន។

ឧទាហរណ៍សាមញ្ញសម្រាប់ការគណនាអាំងតេក្រាលមិនកំណត់

ឧទាហរណ៍ 1. រកអាំងតេក្រាល៖ ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

យើងប្រើរូបមន្ត (25) និង (26) (អាំងតេក្រាលនៃផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃអនុគមន៍គឺស្មើនឹងផលបូក ឬភាពខុសគ្នានៃអាំងតេក្រាលដែលត្រូវគ្នា។ យើងទទួលបាន៖ ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 ឃ x

សូមចាំថាថេរអាចត្រូវបានយកចេញពីសញ្ញាអាំងតេក្រាល (រូបមន្ត (27)) ។ កន្សោមត្រូវបានបំប្លែងទៅជាទម្រង់

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

ឥឡូវនេះ ចូរយើងគ្រាន់តែប្រើតារាងនៃអាំងតេក្រាលមូលដ្ឋាន។ យើងនឹងត្រូវអនុវត្តរូបមន្ត (3), (12), (8) និង (1) ។ ចូរ​រួម​បញ្ចូល​អនុគមន៍​ថាមពល ស៊ីនុស និទស្សន្ត និង​ថេរ 1។ សូម​កុំ​ភ្លេច​បន្ថែម​អថេរ C នៅ​ខាង​ចុង៖

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

បន្ទាប់ពីការផ្លាស់ប្តូរបឋម យើងទទួលបានចម្លើយចុងក្រោយ៖

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

សាកល្បងខ្លួនអ្នកជាមួយនឹងភាពខុសគ្នា៖ យកដេរីវេនៃអនុគមន៍លទ្ធផល ហើយត្រូវប្រាកដថាវាស្មើនឹងអាំងតេក្រាលដើម។

តារាងសង្ខេបនៃអាំងតេក្រាល។

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 ឃ x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | + គ

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + គ

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + គ

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a> 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a> 0)

ទាញយកតារាងអាំងតេក្រាល (ផ្នែក II) ពីតំណនេះ។

ប្រសិនបើអ្នកសិក្សានៅសកលវិទ្យាល័យ ប្រសិនបើអ្នកមានការលំបាកណាមួយជាមួយគណិតវិទ្យាខ្ពស់ជាង (ការវិភាគគណិតវិទ្យា ពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ស្ថិតិ) ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការសេវាកម្មរបស់គ្រូដែលមានសមត្ថភាព សូមចូលទៅកាន់ទំព័រគ្រូបង្រៀនផ្នែកគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ តោះដោះស្រាយបញ្ហារបស់អ្នកទាំងអស់គ្នា!

អ្នកក៏អាចចាប់អារម្មណ៍ផងដែរ។