Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис.32).

Данная кривая называется направляющей , прямые – образующими , точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис.33).

Конусом (прямым круговым конусом ) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис.34).

Рис. 32 Рис. 33 Рис. 34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием . Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

где R – радиус основания;

H – высота;

l – длина образующей;

S осн – площадь основания;

S бок

S полн

V – объем конуса.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис.35).

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями . Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса называются образующими . Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(8)

где R – радиус нижнего основания;

r – радиус верхнего основания;

H – высота, l – длина образующей;

S бок – площадь боковой поверхности;

S полн – площадь полной поверхности;

V – объем усеченного конуса.

Пример 1. Сечение конуса параллельное основанию делит высоту в отношении 1:3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 36).

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (8). Найдем радиусы оснований О 1 А и О 1 В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO 2 B и SO 1 A , коэффициент подобия , тогда

Отсюда

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Ответ: .

Пример2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Четверить круга является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле: . Она равна площади четверти круга: . Получим уравнение с двумя неизвестными r и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R , значит, получим следующее уравнение: , откуда Зная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Ответ: 2 см, .

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45 О, меньшим основанием 3см и наклонной боковой стороной равной , вращается вокруг боковой стороны перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 37).

В результате вращения получим усеченный конус, чтобы найти его объем вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O 1 O 2 AB проведем AC^O 1 B . В имеем: значит, этот треугольник равнобедренный AC =BC =3 см.

Ответ:

Пример 4. Треугольник со сторонами 13 см, 37 см и 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (Ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение . Сделаем рисунок (рис. 38).

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC ), образующие конусов (BC и AC ) и высоту цилиндра (AB ). Неизвестной является только CO . это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. Найдем DC . Площадь треугольника ABC с одной стороны равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC , с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона.

Шар, объем которого равен 8π, вписан в куб. Найдите объем куба.

Решение

Пусть a - это сторона куба. Тогда объем куба равен V = a 3 .

Так как шар вписан в куб, то радиус шара равен половине ребра куба, т.е R = a/2 (см. рис.).

Объем шара равен V ш = (4/3)πR 3 и равен 8π, поэтому

(4/3)πR 3 = 8π,

А объем куба равен V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

Задание B9 (Типовые варианты 2015)

Объем конуса равен 32. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение

Рассмотрим задачи:

72353. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и если рассматривать отсечённый конус относительно исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5. Можем записать:

Можно было записать:

Можно было рассудить так!

Рассмотрим исходный конус относительно отсечённого. Можно сказать – больший конус подобен отсечённому с коэффициентом равным двум, запишем:

Теперь посмотрите решение без использования свойств подобия.

Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания и высоты:

Рассмотрим боковую проекцию (вид сбоку) с указанным сечением:

Пусть радиус большего конуса равен R, высота равна Н. Сечение (основание меньшего конуса) проходит через середину высоты, значит его высота будет равна Н/2. А радиус основания равен R/2, это следует из подобия треугольников.

Запишем объём исходного конуса:

Объём отсечённого конуса будет равен:

Столь подробные решения представлены для того, чтобы вы видели как можно выстроить рассуждения. Действуйте любым способом – главное, чтобы вы понимали суть решения. Пусть путь, который вы выбрали будет не рационален, важен результат (верный результат).

Ответ: 1,25

318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половину высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Данная задача схожа с предыдущей. Хоть речь здесь и идёт о жидкости, принцип решения один и тот же.

Имеем два конуса – это сам сосуд и «малый» конус (наполненный жидкостью), они являются подобными. Известно, что объёмы подобных тел соотносятся следующим образом:

Исходный конус (сосуд) подобен конусу наполненному жидкостью с коэффициентом равным 2, так как сказано, что уровень жидкости достигает половину высоты. Можно записать подробнее:

Вычисляем:

Таким образом, долить нужно:

Другие задачи с жидкостями.

74257. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . В ответе укажите V/Пи.

Объем конуса:

Высоту конуса найдем по свойству прямоугольного треугольника.

Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза, в данном случае, является образующей конуса. Следовательно высота конуса равна 22.

Квадрат радиуса основания найдем по теореме Пифагора:

*Нам нужен квадрат радиуса, а не сам радиус.

\(\blacktriangleright\) Точка \(P\) – вершина конуса.

\(\blacktriangleright\) Отрезок, соединяющий вершину конуса с границей основания, называется образующей (все образующие равны между собой).

\(\blacktriangleright\) Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром основания-круга, является высотой конуса.

\(\blacktriangleright\) Площадь боковой поверхности конуса \({\large{S_{\text{бок.пов.}}=\pi rl}}\) , где \(r\) – радиус основания, \(l\) – образующая.

\(\blacktriangleright\) Площадь полной поверхности конуса – эта сумма площади боковой поверхности и площади основания. \[{\large{S_{\text{полн.пов.}}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(r+l)}}\]

\(\blacktriangleright\) Объем конуса \({\large{V=\dfrac{1}{3}S_{\text{осн.}}\cdot h=\dfrac{1}{3}\pi r^2h}}\) , где \(h\) – высота конуса.

Заметим, что конус имеет некоторое сходство с пирамидой, только в основании пирамиды лежит многоугольник (граница которого – ломаная), а в основании конуса – круг (граница которого – гладкая).
Поэтому можно сказать, что поверхность пирамиды “ребристая” , а конуса – “гладкая”.

Задание 1 #1886

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности конуса равна \(48\pi\) , а площадь основания равна \(36\pi\) . Найдите длину образующей конуса.

Если радиус окружности, лежащей в основании конуса обозначить за \(r\) , а длину образующей за \(l\) , то площадь основания и площадь боковой поверхности конуса выразятся по формулам: \(S_{\text{осн.}} = \pi r^2\) , \(S_{\text{бок.пов.}} = \pi r l\) . Из первой формулы следует: \(\pi r^2 = 36\pi\) \(\Rightarrow\) \(r^2 = 36\) \(\Rightarrow\) \(r = 6\) \(\Rightarrow\) \(6\pi l = 48\pi\) \(\Rightarrow\) \(6l = 48\) \(\Rightarrow\) \(l = 8\) .

Ответ: 8

Задание 2 #1887

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Площадь боковой поверхности конуса равна \(48\pi\) , а площадь боковой поверхности усеченного конуса с такими же основанием и углом наклона образующей к плоскости основания равна \(36\pi\) . Найдите высоту усеченного конуса, если высота исходного конуса равна \(10\) .

Площадь боковой поверхности меньшего конуса, который дополняет усеченный конус до полного, равна разности их площадей поверхностей: \(S_{\text{мал}} = 48\pi - 36\pi = 12\pi\) . Отношение площадей боковых поверхностей большого и малого конусов равно квадрату коэффициента подобия между ними: \[\frac{S_{\text{бол}}}{S_{\text{мал}}} = k^2 = \frac{48\pi}{12\pi} = 4\Rightarrow k = 2\]

Тогда высоты конусов относятся друг к другу: \(\dfrac{h_{\text{бол}}}{h_{\text{мал}}} = \dfrac{10}{h_{\text{мал}}} = k = 2\) . Тогда

Ответ: 5

Задание 3 #962

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

На высоте конуса с вершиной \(A\) , центром основания \(C\) и радиусом основания \(R = 4\) отметили точку \(E\) такую, что расстояние от неё до основания равно \(\sqrt{3}(4-\pi^{-0,5})\) . Известно, что угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(60^\circ\) . Найдите площадь сечения \(T\) конуса, проходящего через точку \(E\) и параллельного основанию конуса.

Рассмотрим треугольник \(ABC\) , где \(B\) – некоторая точка на окружности основания. Так как \(AC\) – высота конуса, то \(AC\perp CB\) , тогда \(\angle CAB = 90^\circ - \angle ABC = 30^\circ\) , следовательно, \(AB = 2CB = 8\) . По теореме Пифагора \

Обозначим через \(D\) точку пересечения плоскости сечения \(T\) и \(AB\) . Рассмотрим треугольник \(AED\) : \

Так как сечение \(T\) параллельно плоскости основания, а \(AC\) – высота конуса, то \(AC\perp ED\) , тогда \(\triangle AED\) – прямоугольный и \(\angle EAD = 30^\circ\) , откуда \ – радиус сечения \(T\) .

Таким образом, площадь сечения \(T\) равна \(\pi r^2 = \pi\cdot\dfrac{1}{\pi} = 1\) .

Ответ: 1

Задание 4 #963

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Радиусы оснований усечённого конуса равны \ а угол между его образующей и основанием равен \(45^\circ\) . Найдите площадь боковой поверхности этого усечённого конуса.

Обозначим центры оснований усечённого конуса через \(A\) и \(E\) , так что \(A\) – центр большего основания. Отметим на большем основании точку \(C\) , а точку меньшего основания, через которую проходит образующая, выходящая из \(C\) , обозначим через \(D\) .

Высота \(AE\) и образующая \(CD\) лежат в одной плоскости. Обозначим точку их пересечения через \(B\) .

Так как \(AE\) – высота, то \(AE\perp CD\) и \(AE\perp AC\) .

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BAC\) :
в нём \(\angle BCA = 45^\circ\) , тогда \

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BED\) :
так как \(\angle EBD = 45^\circ\) , то \ тогда \(EA = AB - BE = R - r\) , \(DC = BC - BD = R\sqrt{2} - r\sqrt{2} = \sqrt{2}(R - r)\) . \ где \(I\) – образующая, тогда \

Ответ: 96

Старшеклассникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, непременно стоит научиться вычислять площадь и другие неизвестные параметры конуса. Как показывает практика предыдущих лет, подобные задания из раздела «Геометрия в пространстве» вызывают у выпускников определенные сложности.

При этом понимать, как найти площадь боковой поверхности или, к примеру, сечения конуса, параллельного основанию, должны все учащиеся, независимо от уровня их подготовки. Это позволит им успешно пройти аттестационное испытание по математике.

Базовая информация, которую стоит запомнить

• Конус представляет собой геометрическое тело, которое образовано совокупностью круга, точки, находящейся вне его плоскости, и лучей, соединяющих заданную точку с точками круга. Его высотой называется перпендикуляр, который опущен из вершины на плоскость основания.
• Все образующие конуса равны между собой.
• Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этой фигуры равняется двум радиусам. Боковые стороны треугольника равны образующим конуса.

Занимайтесь вместе с сайтом «Школково»!

Чтобы не допускать распространенных ошибок при решении задач по теме «Конус», выбирайте наш математический портал. Здесь есть весь необходимый материал для изучения разделов, требующих повторения.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают новый подход к подготовке к экзамену, предполагающий переход от простого к сложному. Вначале мы даем полную теорию, основные формулы и элементарные практические задачи с решением, в том числе и по теме «Конус», а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня, которые также встречаются в ЕГЭ. Вся необходимая информация представлена в разделе «Теоретическая справка».

Вы также можете сразу приступить к решению онлайн-задач на вычисление высоты усеченного конуса, площади его боковой поверхности, объема, а также похожих задач на вычисление, например, нахождению Большая база упражнений представлена в разделе «Каталог». Перечень заданий систематически обновляется.

Проверьте, насколько легко вы сможете определить площадь конуса в режиме онлайн. Если упражнение потребовало от вас минимальных усилий, рекомендуем вам не тратить время на простые задачи и переходить к более сложным. А если затруднения все же возникли, тогда вам непременно стоит находить время в своем ежедневном расписании на дистанционные занятия вместе со «Школково». С нами вы сможете быстро усвоить алгоритм решения задач на расчет объема конуса и других неизвестных параметров.

Тела вращения, изучаемые в школе, - это цилиндр, конус и шар.

Если в задаче на ЕГЭ по математике вам надо посчитать объем конуса или площадь сферы - считайте, что повезло.

Применяйте формулы объема и площади поверхности цилиндра, конуса и шара. Все они есть в нашей таблице. Учите наизусть. Отсюда начинается знание стереометрии.

Иногда неплохо нарисовать вид сверху. Или, как в этой задаче, - снизу.

2. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Всё просто - рисуем вид снизу. Видим, что радиус большего круга в раз больше, чем радиус меньшего. Высоты у обоих конусов одинаковы. Следовательно, объем большего конуса будет в раза больше.

Еще один важный момент. Помним, что в задачах части В вариантов ЕГЭ по математике ответ записывается в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Поэтому никаких или у вас в ответе в части В быть не должно. Подставлять приближенное значение числа тоже не нужно! Оно обязательно должно сократиться!. Именно для этого в некоторых задачах задание формулируется, например, так: «Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на ».

А где же еще применяются формулы объема и площади поверхности тел вращения? Конечно же, в задаче С2 (16). Мы тоже расскажем о ней.