Tāpat kā apgabala atrašanas problēmai, jums ir nepieciešamas pārliecinātas zīmēšanas prasmes - tas ir gandrīz vissvarīgākais (jo paši integrāļi bieži vien būs viegli). Jūs varat apgūt kompetentas un ātras grafiku veidošanas metodes, izmantojot mācību materiālus un grafiku ģeometriskās transformācijas. Bet patiesībā jau vairākas reizes stundās esmu runājis par zīmējumu nozīmi.

Kopumā integrāļa aprēķinā ir daudz interesantu pielietojumu, izmantojot noteiktu integrāli, jūs varat aprēķināt figūras laukumu, apgriezienu ķermeņa tilpumu, loka garumu, apgriezienu virsmas laukumu un daudz ko citu; vairāk. Tāpēc būs jautri, lūdzu, esiet optimistiski!

Iedomājieties kādu plakanu figūru koordinātu plaknē. Ieviests? ... Interesanti, kurš ko prezentēja... =))) Mēs jau esam atraduši tā platību. Bet turklāt šo figūru var arī pagriezt un pagriezt divos veidos:

– ap abscisu asi;
– ap ordinātu asi.

Šajā rakstā tiks apskatīti abi gadījumi. Īpaši interesants ir otrais pagriešanas paņēmiens, kas rada vislielākās grūtības, taču patiesībā risinājums ir gandrīz tāds pats kā biežāk sastopamajā rotācijā ap x asi. Kā bonusu es atgriezīšos figūras laukuma atrašanas problēma, un es jums pastāstīšu, kā atrast apgabalu otrajā veidā - pa asi. Tas nav tik daudz bonuss, cik materiāls labi iekļaujas tēmā.

Sāksim ar populārāko rotācijas veidu.

plakana figūra ap asi

1. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas ap asi.

Risinājums: Tāpat kā apgabala atrašanas problēma, risinājums sākas ar plakanas figūras zīmējumu. Tas ir, plaknē ir jākonstruē figūra, ko ierobežo līnijas, un neaizmirstiet, ka vienādojums norāda asi. Kā efektīvāk un ātrāk pabeigt zīmējumu, var uzzināt lapās Elementāro funkciju grafiki un īpašības Un Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Šis ir ķīniešu atgādinājums, un šobrīd es nekavēšos tālāk.

Zīmējums šeit ir pavisam vienkāršs:

Vēlamā plakana figūra ir ietonēta zilā krāsā. Tā ir tā, kas griežas ap asi. Faktiski ķermenim ir matemātisks nosaukums, bet es esmu pārāk slinks, lai kaut ko precizētu atsauces grāmatā, tāpēc mēs turpinām.

Kā aprēķināt rotācijas ķermeņa tilpumu?

Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu:

Formulā skaitlim jābūt pirms integrāļa. Tā arī notika – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.

Manuprāt, ir viegli uzminēt, kā no pabeigtā zīmējuma iestatīt integrācijas “a” un “be” robežas.

Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plaknes figūru ierobežo augšpusē esošās parabolas grafiks. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.

Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina - integrands formulā ir kvadrātā: , tātad integrālis vienmēr nav negatīvs, kas ir ļoti loģiski.

Aprēķināsim rotācijas ķermeņa tilpumu, izmantojot šo formulu:

Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.

Atbilde:

Atbildē jānorāda izmērs – kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 “kubi”. Kāpēc kubiskais vienības? Jo universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, varētu būt kubikmetri, varētu būt kubikkilometri utt., tik daudz zaļo cilvēciņu jūsu iztēle var ielikt lidojošā šķīvī.

2. piemērs

Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līnijas , ,

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.

3. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un

Risinājums: Attēlosim zīmējumā plakanu figūru, ko ierobežo līnijas , , , , neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:

Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap savu asi, tas izrādās sirreāls virtulis ar četriem stūriem.

Aprēķināsim apgriezienu ķermeņa tilpumu kā ķermeņu tilpumu atšķirības.

Vispirms apskatīsim sarkanā krāsā apvilkto figūru. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu ar .

Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā apjomu ar .

Un, acīmredzot, tilpumu atšķirība ir tieši tāda, kāda ir mūsu “donut”.

Mēs izmantojam standarta formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

1) Ar sarkanu apli apvilkto skaitli augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

2) Zaļā krāsā apvilkto figūru augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

3) Vēlamā apgriezienu korpusa apjoms:

Atbilde:

Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.

Pats lēmums bieži tiek rakstīts īsāk, apmēram šādi:

Tagad mazliet atpūtīsimies un pastāstīsim par ģeometriskām ilūzijām.

Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar apjomiem, ko grāmatā pamanīja Perelmans (cits). Izklaidējoša ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visas dzīves laikā izdzer 18 kvadrātmetru lielas telpas šķidruma, kas, gluži pretēji, šķiet pārāk mazs tilpums.

Kopumā PSRS izglītības sistēma patiešām bija labākā. Tā pati Perelmana grāmata, kas izdota tālajā 1950. gadā, ļoti labi attīsta, kā humorists teica, domāšanu un māca meklēt oriģinālus, nestandarta risinājumus problēmām. Nesen ar lielu interesi pārlasīju dažas nodaļas, iesaku, tas ir pieejams pat humānists. Nē, nevajag smaidīt, ka piedāvāju brīvo laiku, erudīcija un plašs redzesloks komunikācijā ir lieliska lieta.

Pēc liriskas atkāpes ir lietderīgi atrisināt radošo uzdevumu:

4. piemērs

Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas , , kur .

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi gadījumi notiek joslā, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi uzzīmējiet trigonometrisko funkciju grafikus, atgādināšu nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas: ja arguments tiek dalīts ar diviem: , tad grafiki tiek izstiepti divas reizes pa asi. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.

Rotācijas rezultātā izveidotā ķermeņa tilpuma aprēķins
plakana figūra ap asi

Otrā rindkopa būs vēl interesantāka par pirmo. Rotācijas ķermeņa tilpuma aprēķins ap ordinātu asi arī ir diezgan izplatīts viesis pārbaudes darbā. Pa ceļam tas tiks izskatīts figūras laukuma atrašanas problēma otrā metode ir integrācija pa asi, kas ļaus ne tikai pilnveidot savas prasmes, bet arī iemācīt atrast ienesīgāko risinājumu ceļu. Tam ir arī praktiska dzīves jēga! Kā smaidot atcerējās mana matemātikas mācību metožu skolotāja, daudzi absolventi viņai pateicās ar vārdiem: "Jūsu priekšmets mums ļoti palīdzēja, tagad esam efektīvi vadītāji un optimāli pārvaldām personālu." Izmantojot iespēju, arī izsaku viņai lielu pateicību, jo īpaši tāpēc, ka iegūtās zināšanas izmantoju paredzētajam mērķim =).

Iesaku visiem, pat pilnīgiem manekeniem. Turklāt otrajā rindkopā apgūtais materiāls sniegs nenovērtējamu palīdzību dubultintegrāļu aprēķināšanā.

5. piemērs

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas , , .

1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.
2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro punktu, vispirms Obligāti izlasi pirmo!

Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.

1) Izveidosim zīmējumu:

Ir viegli redzēt, ka funkcija norāda parabolas augšējo zaru, bet funkcija norāda parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".

Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.

Kā atrast figūras laukumu? To var atrast “parastajā” veidā, par ko tika runāts stundā Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Turklāt figūras laukums tiek atrasts kā laukumu summa:
- segmentā ;
- segmentā.

Tāpēc:

Kāpēc parastais risinājums šajā gadījumā ir slikts? Pirmkārt, mēs saņēmām divus integrāļus. Otrkārt, integrāļi ir saknes, un saknes integrāļos nav dāvana, turklāt jūs varat apjukt integrācijas robežu aizstāšanā. Patiesībā integrāļi, protams, nav slepkava, taču praksē viss var būt daudz skumjāk, es vienkārši problēmai izvēlējos “labākas” funkcijas.

Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārslēgšanās uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.

Kā tikt pie apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka “x” līdz “y”. Vispirms apskatīsim parabolu:

Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:

Ar taisnu līniju ir vieglāk:

Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Šajā gadījumā segmentā taisna līnija atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu: . Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule un nekas vairāk.

! Piezīme: Jānosaka integrācijas robežas gar asi stingri no apakšas uz augšu!

Apgabala atrašana:

Tāpēc segmentā:

Lūdzu, ņemiet vērā, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.

Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus:

Tiek iegūta sākotnējā integranda funkcija, kas nozīmē, ka integrācija tika veikta pareizi.

Atbilde:

2) Aprēķināsim ķermeņa tilpumu, kas veidojas, pagriežot šo figūru ap asi.

Es pārzīmēšu zīmējumu nedaudz citā dizainā:

Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir “lidojošs tauriņš”, kas griežas ap savu asi.

Lai atrastu rotācijas ķermeņa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums jādodas uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.

Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot rotācijas ķermeņa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.

Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo tilpumu ar .

Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to ar iegūtā rotācijas ķermeņa tilpumu.

Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.

Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

Kāda ir atšķirība no iepriekšējā punktā minētās formulas? Tikai vēstulē.

Bet integrācijas priekšrocības, par kurām es nesen runāju, ir daudz vieglāk atrast , nevis vispirms paaugstināt integrandu līdz 4. pakāpei.

Atbilde:

Tomēr ne slimīgs tauriņš.

Ņemiet vērā, ka, ja to pašu plakanu figūru pagriež ap asi, jūs dabiski iegūsit pavisam citu rotācijas korpusu ar atšķirīgu tilpumu.

6. piemērs

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas un ass.

1) Dodieties uz apgrieztajām funkcijām un atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas, integrējot pār mainīgo.
2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Interesenti var atrast arī figūras laukumu “parastajā” veidā, tādējādi pārbaudot punktu 1). Bet, ja, es atkārtoju, jūs pagriežat plakanu figūru ap asi, jūs iegūsit pavisam citu rotācijas ķermeni ar citu tilpumu, starp citu, pareizo atbildi (arī tiem, kam patīk risināt problēmas).

Pilnīgs risinājums diviem piedāvātajiem uzdevuma punktiem ir stundas beigās.

Jā, un neaizmirstiet noliekt galvu pa labi, lai saprastu rotācijas ķermeņus un integrācijas robežas!

3. definīcija. Apgriezienu ķermenis ir ķermenis, ko iegūst, pagriežot plakanu figūru ap asi, kas nekrustojas ar figūru un atrodas vienā plaknē ar to.

Rotācijas ass var krustoties ar figūru, ja tā ir figūras simetrijas ass.

2. teorēma.
, ass
un taisni segmenti
Un

griežas ap asi
. Tad iegūtā apgriezienu korpusa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu

(2)

Pierādījums. Šādam ķermenim šķērsgriezums ar abscisu ir rādiusa aplis
, Līdzekļi
un formula (1) dod vajadzīgo rezultātu.

Ja skaitli ierobežo divu nepārtrauktu funkciju grafiki
Un
, un līniju segmenti
Un
, un
Un
, tad, griežot ap x asi, iegūstam ķermeni, kura tilpums

3. piemērs. Aprēķiniet tora tilpumu, kas iegūts, pagriežot apli, ko ierobežo aplis

ap abscisu asi.

R lēmumu. Tālāk norādīto apli ierobežo funkcijas grafiks
un no augšas -
. Šo funkciju kvadrātu atšķirība:

Nepieciešamais apjoms

(integranda grafiks ir augšējais pusloks, tāpēc iepriekš uzrakstītais integrālis ir pusloka laukums).

4. piemērs. Parabolisks segments ar pamatni
, un augstums , griežas ap pamatni. Aprēķiniet iegūtā ķermeņa (Cavalieri “citrona”) tilpumu.

R lēmumu. Novietojiet parabolu, kā parādīts attēlā. Tad tā vienādojums
, un
. Noskaidrosim parametra vērtību :
. Tātad nepieciešamais tilpums:

3. teorēma. Ļaujiet izveidot līknes trapeci, ko ierobežo nepārtrauktas nenegatīvas funkcijas grafiks
, ass
un taisni segmenti
Un
, un
, griežas ap asi
. Tad iegūtā apgriezienu korpusa tilpumu var atrast, izmantojot formulu

(3)

Pierādījuma ideja. Mēs sadalām segmentu
punkti

, daļās un zīmējiet taisnas līnijas
. Visa trapecveida forma tiks sadalīta sloksnēs, kuras var uzskatīt par aptuveni taisnstūriem ar pamatni
un augstums
.

Mēs sagriežam iegūto cilindru, pagriežot šādu taisnstūri gar tā ģenerātoru un atlociet to. Mēs iegūstam “gandrīz” paralēlskaldni ar izmēriem:
,
Un
. Tās apjoms
. Tātad revolūcijas ķermeņa tilpumam mums būs aptuvenā vienādība

Lai iegūtu precīzu vienlīdzību, ir jāiet līdz robežai plkst
. Iepriekš uzrakstītā summa ir funkcijas integrālā summa
, tāpēc limitā iegūstam integrāli no formulas (3). Teorēma ir pierādīta.

1. piezīme. 2. un 3. teorēmā nosacījums
var izlaist: formula (2) parasti ir nejutīga pret zīmi
, un formulā (3) tas ir pietiekami
aizvietots ar
.

5. piemērs. Paraboliskais segments (bāze
, augstums ) griežas ap augstumu. Atrodiet iegūtā ķermeņa tilpumu.

Risinājums. Novietosim parabolu, kā parādīts attēlā. Un, lai gan rotācijas ass krusto figūru, tā - ass - ir simetrijas ass. Tāpēc mums jāņem vērā tikai segmenta labā puse. Parabolas vienādojums
, un
, Līdzekļi
. Mums ir apjoms:

2. piezīme. Ja līknes trapeces līknes robežu nosaka parametru vienādojumi
,
,
Un
,
tad ar aizstāšanu varat izmantot formulas (2) un (3). ieslēgts
Un
ieslēgts
kad tas mainās t no
pirms tam .

6. piemērs. Skaitlis ir ierobežots ar cikloīda pirmo loku
,
,
un x ass. Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot šo skaitli ap: 1) asi
; 2) cirvji
.

Risinājums. 1) Vispārējā formula
Mūsu gadījumā:

2) Vispārīgā formula
Mūsu figūrai:

Aicinām studentus visus aprēķinus veikt pašiem.

3. piezīme. Ļaujiet izliektam sektoram, ko ierobežo nepārtraukta līnija
un stari
,

, griežas ap polāro asi. Iegūtā ķermeņa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu.

7. piemērs. Daļa no figūras, ko ierobežo kardioīds
, kas atrodas ārpus apļa
, griežas ap polāro asi. Atrodiet iegūtā ķermeņa tilpumu.

Risinājums. Abas līnijas un līdz ar to arī skaitlis, ko tās ierobežo, ir simetriski pret polāro asi. Tāpēc jāņem vērā tikai tā daļa, kurai
. Līknes krustojas pie
Un

plkst
. Turklāt skaitli var uzskatīt par divu sektoru starpību, un tāpēc apjomu var aprēķināt kā divu integrāļu starpību. Mums ir:

Uzdevumi patstāvīgam lēmumam.

1. Apļveida segments, kura pamatne
, augstums , griežas ap pamatni. Atrodiet revolūcijas ķermeņa tilpumu.

2. Atrodiet apgriezienu paraboloīda tilpumu, kura bāze , un augstums ir .

3. Attēls, ko ierobežo astroīds
,
griežas ap abscisu asi. Atrodiet iegūtā ķermeņa tilpumu.

4. Attēls, ko ierobežo līnijas
Un
griežas ap x asi. Atrodiet revolūcijas ķermeņa tilpumu.

Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu
izmantojot noteiktu integrāli?

Kopumā integrāļa aprēķinā ir daudz interesantu pielietojumu, izmantojot noteiktu integrāli, jūs varat aprēķināt figūras laukumu, rotācijas ķermeņa tilpumu, loka garumu, virsmas laukumu; rotācija un daudz kas cits. Tāpēc būs jautri, lūdzu, esiet optimistiski!

Iedomājieties kādu plakanu figūru koordinātu plaknē. Ieviests? ... Interesanti, kurš ko prezentēja... =))) Mēs jau esam atraduši tā platību. Bet turklāt šo figūru var arī pagriezt un pagriezt divos veidos:

- ap abscisu asi;
- ap ordinātu asi.

Šajā rakstā tiks apskatīti abi gadījumi. Īpaši interesants ir otrais pagriešanas paņēmiens, kas rada vislielākās grūtības, taču patiesībā risinājums ir gandrīz tāds pats kā biežāk sastopamajā rotācijā ap x asi. Kā bonusu es atgriezīšos figūras laukuma atrašanas problēma, un es jums pastāstīšu, kā atrast apgabalu otrajā veidā - pa asi. Tas nav tik daudz bonuss, cik materiāls labi iekļaujas tēmā.

Sāksim ar populārāko rotācijas veidu.

plakana figūra ap asi

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas ap asi.

Risinājums: Tāpat kā apgabala atrašanas problēma, risinājums sākas ar plakanas figūras zīmējumu. Tas ir, plaknē ir jākonstruē figūra, ko ierobežo līnijas, un neaizmirstiet, ka vienādojums norāda asi. Kā efektīvāk un ātrāk pabeigt zīmējumu, var uzzināt lapās Elementāro funkciju grafiki un īpašības Un . Šis ir ķīniešu atgādinājums, un šobrīd es nekavēšos tālāk.

Zīmējums šeit ir pavisam vienkāršs:

Vēlamā plakana figūra ir ietonēta zilā krāsā. Tā ir tā, kas griežas ap asi. Faktiski ķermenim ir matemātisks nosaukums, bet es esmu pārāk slinks, lai kaut ko precizētu atsauces grāmatā, tāpēc mēs turpinām.

Kā aprēķināt rotācijas ķermeņa tilpumu?

Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu:

Formulā skaitlim jābūt pirms integrāļa. Tā arī notika – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.

Manuprāt, ir viegli uzminēt, kā no pabeigtā zīmējuma iestatīt integrācijas “a” un “be” robežas.

Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plaknes figūru ierobežo augšpusē esošās parabolas grafiks. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.

Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina - integrands formulā ir kvadrātā: , tātad integrālis vienmēr nav negatīvs, kas ir ļoti loģiski.

Aprēķināsim rotācijas ķermeņa tilpumu, izmantojot šo formulu:

Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.

Atbilde:

Atbildē jānorāda izmērs – kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 “kubi”. Kāpēc kubiskais vienības? Jo universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, varētu būt kubikmetri, varētu būt kubikkilometri utt., tik daudz zaļo cilvēciņu jūsu iztēle var ielikt lidojošā šķīvī.

Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līnijas , ,

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un

Risinājums: Attēlosim zīmējumā plakanu figūru, ko ierobežo līnijas , , , , neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:

Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap savu asi, tas izrādās sirreāls virtulis ar četriem stūriem.

Aprēķināsim apgriezienu ķermeņa tilpumu kā ķermeņu tilpumu atšķirības.

Vispirms apskatīsim sarkanā krāsā apvilkto figūru. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu ar .

Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā apjomu ar .

Un, acīmredzot, tilpumu atšķirība ir tieši tāda, kāda ir mūsu “donut”.

Mēs izmantojam standarta formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

1) Ar sarkanu apli apvilkto skaitli augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

2) Zaļā krāsā apvilkto figūru augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:

3) Vēlamā apgriezienu korpusa apjoms:

Atbilde:

Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.

Pats lēmums bieži tiek rakstīts īsāk, apmēram šādi:

Tagad mazliet atpūtīsimies un pastāstīsim par ģeometriskām ilūzijām.

Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar apjomiem, ko grāmatā pamanīja Perelmans (cits). Izklaidējoša ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visas dzīves laikā izdzer 18 kvadrātmetru lielas telpas šķidruma, kas, gluži pretēji, šķiet pārāk mazs tilpums.

Pēc liriskas atkāpes ir lietderīgi atrisināt radošo uzdevumu:

Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas , , kur .

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi gadījumi notiek joslā, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi uzzīmējiet trigonometrisko funkciju grafikus, atgādināšu nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas: ja arguments tiek dalīts ar diviem: , tad grafiki tiek izstiepti divas reizes pa asi. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.

Rotācijas rezultātā izveidotā ķermeņa tilpuma aprēķins
plakana figūra ap asi

Otrā rindkopa būs vēl interesantāka par pirmo. Pārbaudes darbā diezgan biežs viesis ir arī uzdevums aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu ap ordinātu asi. Pa ceļam tas tiks izskatīts figūras laukuma atrašanas problēma otrā metode ir integrācija pa asi, kas ļaus ne tikai pilnveidot savas prasmes, bet arī iemācīt atrast ienesīgāko risinājumu ceļu. Tam ir arī praktiska dzīves jēga! Kā smaidot atcerējās mana matemātikas mācību metožu skolotāja, daudzi absolventi viņai pateicās ar vārdiem: "Jūsu priekšmets mums ļoti palīdzēja, tagad esam efektīvi vadītāji un optimāli pārvaldām personālu." Izmantojot iespēju, arī izsaku viņai lielu pateicību, jo īpaši tāpēc, ka iegūtās zināšanas izmantoju paredzētajam mērķim =).

Iesaku visiem, pat pilnīgiem manekeniem. Turklāt otrajā rindkopā apgūtais materiāls sniegs nenovērtējamu palīdzību dubultintegrāļu aprēķināšanā.

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas , , .

1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.
2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro punktu, noteikti vispirms izlasiet pirmo!

Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.

1) Izveidosim zīmējumu:

Ir viegli redzēt, ka funkcija norāda parabolas augšējo zaru, bet funkcija norāda parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".

Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.

Kā atrast figūras laukumu? To var atrast “parastajā” veidā, par ko tika runāts stundā Noteikts integrālis. Kā aprēķināt figūras laukumu. Turklāt figūras laukums tiek atrasts kā laukumu summa:
- segmentā ;
- segmentā.

Tāpēc:

Kāpēc parastais risinājums šajā gadījumā ir slikts? Pirmkārt, mēs saņēmām divus integrāļus. Otrkārt, zem integrāļiem ir saknes, un integrāļos esošās saknes nav dāvana, turklāt jūs varat apjukt, aizstājot integrācijas robežas. Patiesībā integrāļi, protams, nav slepkava, taču praksē viss var būt daudz skumjāk, es vienkārši problēmai izvēlējos “labākas” funkcijas.

Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārslēgšanās uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.

Kā tikt pie apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka “x” līdz “y”. Vispirms apskatīsim parabolu:

Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:

Ar taisnu līniju ir vieglāk:

Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Šajā gadījumā segmentā taisna līnija atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu: . Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule un nekas vairāk.

! Piezīme: Jānosaka integrācijas robežas gar asi stingri no apakšas uz augšu!

Apgabala atrašana:

Tāpēc segmentā:

Lūdzu, ņemiet vērā, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.

Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus:

Tiek iegūta sākotnējā integranda funkcija, kas nozīmē, ka integrācija tika veikta pareizi.

Atbilde:

2) Aprēķināsim ķermeņa tilpumu, kas veidojas, pagriežot šo figūru ap asi.

Es pārzīmēšu zīmējumu nedaudz citā dizainā:

Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir “lidojošs tauriņš”, kas griežas ap savu asi.

Lai atrastu rotācijas ķermeņa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums jādodas uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.

Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot rotācijas ķermeņa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.

Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo tilpumu ar .

Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to ar iegūtā rotācijas ķermeņa tilpumu.

Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.

Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

Kāda ir atšķirība no iepriekšējā punktā minētās formulas? Tikai vēstulē.

Bet integrācijas priekšrocības, par kurām es nesen runāju, ir daudz vieglāk atrast , nevis vispirms paaugstināt integrandu līdz 4. pakāpei.

Atbilde:

Ņemiet vērā, ka, ja to pašu plakanu figūru pagriež ap asi, jūs dabiski iegūsit pavisam citu rotācijas korpusu ar atšķirīgu tilpumu.

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas un ass.

1) Dodieties uz apgrieztajām funkcijām un atrodiet plaknes figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas, integrējot pār mainīgo.
2) Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Interesenti var atrast arī figūras laukumu “parastajā” veidā, tādējādi pārbaudot punktu 1). Bet, ja, es atkārtoju, jūs pagriežat plakanu figūru ap asi, jūs iegūsit pavisam citu rotācijas ķermeni ar citu tilpumu, starp citu, pareizo atbildi (arī tiem, kam patīk risināt problēmas).

Pilnīgs risinājums diviem piedāvātajiem uzdevuma punktiem ir stundas beigās.

Jā, un neaizmirstiet noliekt galvu pa labi, lai saprastu rotācijas ķermeņus un integrācijas robežas!

Es grasījos pabeigt rakstu, bet šodien viņi atnesa interesantu piemēru, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu ap ordinātu asi. Svaigs:

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līknes un .

Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:

Pa ceļam iepazīstamies ar dažu citu funkciju grafikiem. Šeit ir interesants pāra funkcijas grafiks...

I. Revolūcijas ķermeņu apjomi. Sākotnēji izpētiet XII nodaļas 197., 198. punktu no G. M. Fikhtengolta mācību grāmatas * Detalizēti analizējiet 198. punktā sniegtos piemērus.

508. Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežot elipsi ap Vērša asi.

Tādējādi

530. Atrodiet virsmas laukumu, ko veido sinusoīda loka y = sin x rotācija ap Ox asi no punkta X = 0 līdz punktam X = It.

531. Aprēķini virsmas laukumu konusam ar augstumu h un rādiusu r.

532. Aprēķināt izveidoto virsmas laukumu

astroīda rotācija x3 -)- y* - a3 ap Vērša asi.

533. Aprēķiniet virsmas laukumu, kas veidojas, pagriežot līknes cilpu 18 ug - x (6 - x) z ap Ox asi.

534. Atrodiet tora virsmu, ko rada apļa X2 - j - (y-3)2 = 4 rotācija ap Ox asi.

535. Aprēķini virsmas laukumu, ko veido apļa griešanās X = izmaksas, y = asint ap Ox asi.

536. Aprēķini virsmas laukumu, ko veido līknes x = 9t2, y = St - 9t3 cilpas rotācija ap Ox asi.

537. Atrodiet virsmas laukumu, kas veidojas, pagriežot līknes loku x = e*sint, y = el izmaksas ap Ox asi

no t = 0 līdz t = —.

538. Parādiet, ka virsma, ko rada cikloīda loka x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) rotācija ap Oy asi, ir vienāda ar 16 u2 o2.

539. Atrast virsmu, kas iegūta, pagriežot kardioīdu ap polāro asi.

540. Atrodiet virsmas laukumu, ko veido lemniskāta rotācija Ap polāro asi.

Papildu uzdevumi IV nodaļai

Plaknes figūru laukumi

541. Atrodiet visu apgabala laukumu, ko ierobežo līkne Un ass Vērsis.

542. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo līkne

Un ass Vērsis.

543. Atrodiet apgabala laukuma daļu, kas atrodas pirmajā kvadrantā un kuru ierobežo līkne

l koordinātu asis.

544. Atrodiet iekšpusē esošā reģiona apgabalu

cilpas:

545. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo viena līknes cilpa:

546. Atrodiet apgabala apgabalu, kas atrodas cilpas iekšpusē:

547. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo līkne

Un ass Vērsis.

548. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo līkne

Un ass Vērsis.

549. Atrodiet apgabala apgabalu, ko ierobežo Oxr ass

taisni un izliekti

plakana figūra ap asi

3. piemērs

Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas , , .

1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.

2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.

Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro punktu, vispirms Obligāti izlasi pirmo!

Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.

1) Izveidosim zīmējumu:

Ir viegli redzēt, ka funkcija norāda parabolas augšējo zaru, bet funkcija norāda parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".

Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.

Kā atrast figūras laukumu? To var atrast “parastā” veidā. Turklāt figūras laukums tiek atrasts kā laukumu summa:

– segmentā;

- segmentā.

Tāpēc:

Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārslēgšanās uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.

Kā tikt pie apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka “x” līdz “y”. Vispirms apskatīsim parabolu:

Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:

Ar taisnu līniju ir vieglāk:

Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, skaidrošanas laikā periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Šajā gadījumā segmentā taisna līnija atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu:. Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule un nekas vairāk.

! Piezīme : asu integrācijas robežas jānovietostingri no apakšas uz augšu !

Apgabala atrašana:

Tāpēc segmentā:

Lūdzu, ņemiet vērā, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.

Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus:

Tiek iegūta sākotnējā integranda funkcija, kas nozīmē, ka integrācija tika veikta pareizi.

Atbilde:

2) Aprēķināsim ķermeņa tilpumu, kas veidojas, pagriežot šo figūru ap asi.

Es pārzīmēšu zīmējumu nedaudz citā dizainā:

Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir “lidojošs tauriņš”, kas griežas ap savu asi.

Lai atrastu rotācijas ķermeņa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums jādodas uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.

Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot rotācijas ķermeņa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.

Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo tilpumu ar .

Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to ar iegūtā rotācijas ķermeņa tilpumu.

Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.

Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:

Kāda ir atšķirība no iepriekšējā punktā minētās formulas? Tikai vēstulē.

Bet integrācijas priekšrocības, par kurām es nesen runāju, ir daudz vieglāk atrast, nekā vispirms pacelt integrandu līdz 4. pakāpei.

Atbilde:

Ņemiet vērā, ka, ja to pašu plakanu figūru pagriež ap asi, jūs dabiski iegūsit pavisam citu rotācijas korpusu ar atšķirīgu tilpumu.

7. piemērs

Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līknes un .

Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:

Pa ceļam iepazīstamies ar dažu citu funkciju grafikiem. Šeit ir interesants pāra funkcijas grafiks...

Lai atrastu apgriezienu korpusa tilpumu, pietiek izmantot figūras labo pusi, kuru es iekrāsoju zilā krāsā. Abas funkcijas ir vienmērīgas, to grafiki ir simetriski pret asi, un mūsu figūra ir simetriska. Tādējādi ēnotā labā daļa, kas griežas ap asi, noteikti sakritīs ar kreiso neēnoto daļu. vai . Patiesībā es pats vienmēr apdrošinos sevi, aizstājot pāris grafika punktus atrastajā apgrieztajā funkcijā.

Tagad mēs noliecam galvu pa labi un pamanām šādu lietu:

– uz segmenta virs ass ir funkcijas grafiks;

Ir loģiski pieņemt, ka apgriezienu ķermeņa tilpums ir jāmeklē kā apgriezienu ķermeņa tilpumu summa!

Mēs izmantojam formulu:

Šajā gadījumā.