Vietas teorēmu bieži izmanto, lai pārbaudītu jau atrastās saknes. Ja esat atradis saknes, varat izmantot formulas \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), lai aprēķinātu \(p) vērtības \) un \(q\ ). Un, ja tie izrādās tādi paši kā sākotnējā vienādojumā, tad saknes tiek atrastas pareizi.

Piemēram, izmantojot , atrisināsim vienādojumu \(x^2+x-56=0\) un iegūstam saknes: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Pārbaudīsim, vai risinājuma procesā esam pieļāvuši kļūdu. Mūsu gadījumā \(p=1\) un \(q=-56\). Pēc Vietas teorēmas mums ir:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\bultiņa pa kreisi\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftright arrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Abi apgalvojumi saplūda, kas nozīmē, ka vienādojumu atrisinājām pareizi.

Šo pārbaudi var veikt mutiski. Tas aizņems 5 sekundes un pasargās jūs no stulbām kļūdām.

Vietas apgrieztā teorēma

Ja \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), tad \(x_1\) un \(x_2\) ir kvadrātvienādojuma saknes \ (x^ 2+px+q=0\).

Vai arī vienkāršā veidā: ja jums ir vienādojums formā \(x^2+px+q=0\), tad sistēmas atrisināšana \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) jūs atradīsiet tā saknes.

Pateicoties šai teorēmai, jūs varat ātri atrast kvadrātvienādojuma saknes, it īpaši, ja šīs saknes ir . Šī prasme ir svarīga, jo tā ietaupa daudz laika.

Piemērs . Atrisiniet vienādojumu \(x^2-5x+6=0\).

Risinājums : Izmantojot Vietas apgriezto teorēmu, mēs atklājam, ka saknes atbilst nosacījumiem: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Apskatiet sistēmas otro vienādojumu \(x_1 \cdot x_2=6\). Kādos divos var sadalīt skaitli \(6\)? Uz \(2\) un \(3\), \(6\) un \(1\) vai \(-2\) un \(-3\), un \(-6\) un \(- 1\). Sistēmas pirmais vienādojums jums pateiks, kuru pāri izvēlēties: \(x_1+x_2=5\). \(2\) un \(3\) ir līdzīgi, jo \(2+3=5\).
Atbilde : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Piemēri . Izmantojot Vietas teorēmas apvērsumu, atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Risinājums :
a) \(x^2-15x+14=0\) – kādos faktoros sadalās \(14\)? \(2\) un \(7\), \(-2\) un \(-7\), \(-1\) un \(-14\), \(1\) un \(14\ ). Kādi skaitļu pāri veido \(15\)? Atbilde: \(1\) un \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – kādos faktoros sadalās \(-4\)? \(-2\) un \(2\), \(4\) un \(-1\), \(1\) un \(-4\). Kādi skaitļu pāri veido \(-3\)? Atbilde: \(1\) un \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – kādos faktoros sadalās \(20\)? \(4\) un \(5\), \(-4\) un \(-5\), \(2\) un \(10\), \(-2\) un \(-10\ ), \(-20\) un \(-1\), \(20\) un \(1\). Kādi skaitļu pāri veido \(-9\)? Atbilde: \(-4\) un \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) — kādos faktoros sadalās \(780\)? \(390\) un \(2\). Vai to summa būs \(88\)? Nē. Kādi citi reizinātāji ir \(780\)? \(78\) un \(10\). Vai to summa būs \(88\)? Jā. Atbilde: \(78\) un \(10\).

Nav nepieciešams izvērst pēdējo terminu visos iespējamos faktoros (kā pēdējā piemērā). Jūs varat uzreiz pārbaudīt, vai to summa dod \(-p\).

Svarīgs! Vietas teorēma un apgrieztā teorēma darbojas tikai ar , tas ir, tādu, kuram \(x^2\) koeficients ir vienāds ar vienu. Ja mums sākotnēji tika dots nereducēts vienādojums, tad mēs varam to samazināt, vienkārši dalot ar koeficientu \(x^2\) priekšā.

Piemēram, ir dots vienādojums \(2x^2-4x-6=0\) un mēs vēlamies izmantot kādu no Vietas teorēmām. Bet mēs nevaram, jo ​​koeficients \(x^2\) ir vienāds ar \(2\). Atbrīvosimies no tā, dalot visu vienādojumu ar \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Gatavs. Tagad jūs varat izmantot abas teorēmas.

Atbildes uz bieži uzdotajiem jautājumiem

Jautājums: Izmantojot Vietas teorēmu, jūs varat atrisināt jebkuru ?
Atbilde: Diemžēl nē. Ja vienādojumā nav veseli skaitļi vai vienādojumam vispār nav sakņu, Vietas teorēma nepalīdzēs. Šajā gadījumā jums ir jāizmanto diskriminējoša . Par laimi, 80% vienādojumu skolas matemātikas kursā ir veseli skaitļi.

Pētot otrās kārtas vienādojumu risināšanas metodes skolas algebras kursā, tiek ņemtas vērā iegūto sakņu īpašības. Pašlaik tos sauc par Vietas teorēmu. Tās izmantošanas piemēri ir sniegti šajā rakstā.

Kvadrātvienādojums

Otrās kārtas vienādojums ir vienādība, kas parādīta zemāk esošajā fotoattēlā.

Šeit simboli a, b, c ir daži skaitļi, ko sauc par aplūkojamā vienādojuma koeficientiem. Lai atrisinātu vienādību, jums jāatrod x vērtības, kas padara to patiesu.

Ņemiet vērā, ka, tā kā maksimālā jauda, ​​līdz kurai var palielināt x, ir divas, tad arī sakņu skaits vispārējā gadījumā ir divas.

Ir vairāki veidi, kā atrisināt šāda veida vienādības. Šajā rakstā mēs apsvērsim vienu no tiem, kas ietver tā sauktās Vieta teorēmas izmantošanu.

Vietas teorēmas formulējums

16. gadsimta beigās slavenais matemātiķis Fransuā Vjete (franču valoda), analizējot dažādu kvadrātvienādojumu sakņu īpašības, pamanīja, ka noteiktas to kombinācijas apmierina noteiktas attiecības. Jo īpaši šīs kombinācijas ir to produkts un summa.

Vietas teorēma nosaka sekojošo: kvadrātvienādojuma saknes, summējot, dod lineāro un kvadrātisko koeficientu attiecību, kas ņemta ar pretējo zīmi, un, tos reizinot, iegūst brīvā vārda attiecību pret kvadrātisko koeficientu. .

Ja vienādojuma vispārējā forma ir uzrakstīta, kā parādīts fotoattēlā raksta iepriekšējā sadaļā, tad matemātiski šo teorēmu var uzrakstīt divu vienādību formā:

• r2 + r1 = -b/a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Kur r 1, r 2 ir attiecīgā vienādojuma sakņu vērtība.

Iepriekš minētās divas vienādības var izmantot, lai atrisinātu vairākas dažādas matemātiskas problēmas. Vietas teorēmas izmantošana piemēros ar risinājumiem ir sniegta turpmākajās raksta sadaļās.

Starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem papildus sakņu formulām ir arī citas noderīgas attiecības, kas ir dotas Vietas teorēma. Šajā rakstā mēs sniegsim Vjetas teorēmas formulējumu un pierādījumu kvadrātvienādojumam. Tālāk mēs uzskatām, ka teorēma ir pretēja Vietas teorēmai. Pēc tam mēs analizēsim tipiskāko piemēru risinājumus. Visbeidzot, mēs pierakstām Vieta formulas, kas nosaka attiecības starp reālajām saknēm algebriskais vienādojums n grāds un tā koeficienti.

Lapas navigācija.

Vietas teorēma, formulējums, pierādījums

No formas kvadrātvienādojuma a·x 2 +b·x+c=0 sakņu formulām, kur D=b 2 −4·a·c, izriet šādas attiecības: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 · x 2 = c/a . Šie rezultāti tiek apstiprināti Vietas teorēma:

Teorēma.

Ja x 1 un x 2 ir kvadrātvienādojuma a x 2 +b x+c=0 saknes, tad sakņu summa ir vienāda ar koeficientu b un a attiecību, kas ņemta ar pretēju zīmi, un reizinājumu saknes ir vienādas ar koeficientu c un a attiecību, tas ir, .

Pierādījums.

Vietas teorēmas pierādīšanu veiksim pēc šādas shēmas: sastādām kvadrātvienādojuma sakņu summu un reizinājumu, izmantojot zināmas sakņu formulas, pēc tam pārveidojam iegūtās izteiksmes un pārliecināmies, ka tās ir vienādas ar −b/ a un c/a, attiecīgi.

Sāksim ar sakņu summu un veidosim to. Tagad mēs apvienojam daļskaitļus līdz kopsaucējam, mums ir . Rezultātā iegūtās daļskaitļa skaitītājā, pēc kura:. Visbeidzot, pēc 2, mēs iegūstam . Tas pierāda Vietas teorēmas pirmo sakarību kvadrātvienādojuma sakņu summai. Pārejam pie otrā.

Sastādām kvadrātvienādojuma sakņu reizinājumu: . Saskaņā ar daļskaitļu reizināšanas likumu pēdējo reizinājumu var uzrakstīt kā . Tagad mēs reizinām iekavu ar iekava skaitītājā, taču šo produktu ir ātrāk sakļaut par kvadrātveida atšķirības formula, Tātad. Tad, atceroties, mēs veicam nākamo pāreju. Un tā kā kvadrātvienādojuma diskriminants atbilst formulai D=b 2 −4·a·c, tad pēdējā daļā D vietā varam aizstāt b 2 −4·a·c, iegūstam. Atverot iekavas un ienesot līdzīgus terminus, mēs nonākam pie daļskaitļa , un tās samazināšana par 4·a dod . Tas pierāda otro Vietas teorēmas sakarību sakņu reizinājumam.

Ja izlaidīsim paskaidrojumus, Vietas teorēmas pierādījums iegūs lakonisku formu:
,
.

Atliek tikai atzīmēt, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, kvadrātvienādojumam ir viena sakne. Tomēr, ja pieņemam, ka vienādojumam šajā gadījumā ir divas identiskas saknes, tad spēkā ir arī Vietas teorēmas vienādības. Patiešām, ja D=0 kvadrātvienādojuma sakne ir vienāda ar , tad un , un tā kā D=0, tas ir, b 2 −4·a·c=0, no kurienes b 2 =4·a·c, tad .

Praksē Vietas teorēmu visbiežāk izmanto attiecībā uz reducēto kvadrātvienādojumu (ar vadošo koeficientu a vienāds ar 1) formā x 2 +p·x+q=0. Dažreiz tas tiek formulēts tikai šāda veida kvadrātvienādojumiem, kas neierobežo vispārīgumu, jo jebkuru kvadrātvienādojumu var aizstāt ar līdzvērtīgu vienādojumu, abas puses dalot ar skaitli, kas nav nulle a. Sniegsim atbilstošo Vietas teorēmas formulējumu:

Teorēma.

Reducētā kvadrātvienādojuma sakņu summa x 2 +p x+q=0 ir vienāda ar koeficientu x, kas ņemts ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu, tas ir, x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q.

Teorēma ir pretēja Vietas teorēmai

Otrais Vietas teorēmas formulējums, kas sniegts iepriekšējā punktā, norāda, ka, ja x 1 un x 2 ir reducētā kvadrātvienādojuma x 2 +p x+q=0 saknes, tad attiecības x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Savukārt no uzrakstītajām attiecībām x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q izriet, ka x 1 un x 2 ir kvadrātvienādojuma x 2 +p x+q=0 saknes. Citiem vārdiem sakot, Vietas teorēmas otrādi ir taisnība. Formulēsim to teorēmas veidā un pierādīsim.

Teorēma.

Ja skaitļi x 1 un x 2 ir tādi, ka x 1 +x 2 =−p un x 1 · x 2 =q, tad x 1 un x 2 ir reducētā kvadrātvienādojuma x 2 +p · x+q saknes. =0.

Pierādījums.

Pēc koeficientu p un q aizstāšanas vienādojumā x 2 +p·x+q=0 ar to izteiksmēm caur x 1 un x 2, tas tiek pārveidots par līdzvērtīgu vienādojumu.

Aizstāsim iegūtajā vienādojumā skaitli x 1, nevis x, un mums būs vienādība x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, kas jebkuram x 1 un x 2 apzīmē pareizo skaitlisko vienādību 0=0, jo x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 · x 1 +x 1 · x 2 =0. Tāpēc x 1 ir vienādojuma sakne x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, kas nozīmē, ka x 1 ir ekvivalentā vienādojuma sakne x 2 +p·x+q=0.

Ja vienādojumā x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0 aizstājot skaitli x 2, nevis x, mēs iegūstam vienādību x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Tā ir patiesa vienlīdzība, jo x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 · x 2 −x 2 2 +x 1 · x 2 =0. Tāpēc x 2 ir arī vienādojuma sakne x 2 −(x 1 + x 2) x+x 1 x 2 =0, un tāpēc vienādojumi x 2 +p·x+q=0.

Tas pabeidz teorēmas pierādīšanu pretēji Vietas teorēmai.

Vietas teorēmas izmantošanas piemēri

Ir pienācis laiks runāt par Vietas teorēmas un tās apgrieztās teorēmas praktisko pielietojumu. Šajā sadaļā mēs analizēsim risinājumus vairākiem tipiskākajiem piemēriem.

Sāksim ar teorēmas apgriezto piemērošanu Vietas teorēmai. To ir ērti izmantot, lai pārbaudītu, vai dotie divi skaitļi ir dotā kvadrātvienādojuma saknes. Šajā gadījumā tiek aprēķināta to summa un starpība, pēc kuras tiek pārbaudīts attiecību derīgums. Ja abas šīs attiecības ir izpildītas, tad, pamatojoties uz teorēmu pretēji Vietas teorēmai, tiek secināts, ka šie skaitļi ir vienādojuma saknes. Ja vismaz viena no attiecībām nav izpildīta, tad šie skaitļi nav kvadrātvienādojuma saknes. Šo pieeju var izmantot, risinot kvadrātvienādojumus, lai pārbaudītu atrastās saknes.

Piemērs.

Kurš no skaitļu pāriem 1) x 1 =−5, x 2 =3 vai 2) vai 3) ir kvadrātvienādojuma 4 x 2 −16 x+9=0 sakņu pāris?

Risinājums.

Dotā kvadrātvienādojuma 4 x 2 −16 x+9=0 koeficienti ir a=4, b=−16, c=9. Saskaņā ar Vietas teorēmu kvadrātvienādojuma sakņu summai jābūt vienādai ar −b/a, tas ir, 16/4=4, un sakņu reizinājumam jābūt vienādam ar c/a, tas ir, 9 /4.

Tagad aprēķināsim skaitļu summu un reizinājumu katrā no trim dotajiem pāriem un salīdzināsim tos ar tikko iegūtajām vērtībām.

Pirmajā gadījumā mums ir x 1 +x 2 =−5+3=−2. Iegūtā vērtība atšķiras no 4, tāpēc turpmāku pārbaudi nevar veikt, taču, izmantojot teorēmu, kas ir apgriezta Vietas teorēmai, uzreiz var secināt, ka pirmais skaitļu pāris nav dotā kvadrātvienādojuma sakņu pāris.

Pāriesim pie otrā gadījuma. Lūk, tas ir, pirmais nosacījums ir izpildīts. Mēs pārbaudām otro nosacījumu: iegūtā vērtība atšķiras no 9/4. Līdz ar to otrais skaitļu pāris nav kvadrātvienādojuma sakņu pāris.

Ir palicis pēdējais gadījums. Šeit un . Abi nosacījumi ir izpildīti, tāpēc šie skaitļi x 1 un x 2 ir dotā kvadrātvienādojuma saknes.

Atbilde:

Vietas teorēmas apvērsumu var izmantot praksē, lai atrastu kvadrātvienādojuma saknes. Parasti tiek atlasītas doto kvadrātvienādojumu veselas skaitļu saknes ar veselu skaitļu koeficientiem, jo ​​citos gadījumos tas ir diezgan grūti izdarāms. Šajā gadījumā viņi izmanto faktu, ka, ja divu skaitļu summa ir vienāda ar kvadrātvienādojuma otro koeficientu, kas ņemts ar mīnusa zīmi, un šo skaitļu reizinājums ir vienāds ar brīvo vārdu, tad šie skaitļi ir šī kvadrātvienādojuma saknes. Sapratīsim to ar piemēru.

Ņemsim kvadrātvienādojumu x 2 −5 x+6=0. Lai skaitļi x 1 un x 2 būtu šī vienādojuma saknes, ir jāizpilda divas vienādības: x 1 + x 2 =5 un x 1 · x 2 =6. Atliek tikai izvēlēties šādus skaitļus. Šajā gadījumā to izdarīt ir pavisam vienkārši: šādi skaitļi ir 2 un 3, jo 2+3=5 un 2·3=6. Tādējādi 2 un 3 ir šī kvadrātvienādojuma saknes.

Vietas teorēmai apgrieztā teorēma ir īpaši ērti lietojama, lai atrastu dotā kvadrātvienādojuma otro sakni, kad viena no saknēm jau ir zināma vai acīmredzama. Šajā gadījumā otro sakni var atrast no jebkuras attiecības.

Piemēram, ņemsim kvadrātvienādojumu 512 x 2 −509 x −3=0. Šeit ir viegli redzēt, ka vienotība ir vienādojuma sakne, jo šī kvadrātvienādojuma koeficientu summa ir vienāda ar nulli. Tātad x 1 = 1. Otro sakni x 2 var atrast, piemēram, no relācijas x 1 ·x 2 =c/a. Mums ir 1 x 2 = −3/512, no kura x 2 = −3/512. Tādā veidā mēs noteicām abas kvadrātvienādojuma saknes: 1 un −3/512.

Ir skaidrs, ka sakņu atlase ir ieteicama tikai visvienkāršākajos gadījumos. Citos gadījumos, lai atrastu saknes, varat izmantot kvadrātvienādojuma sakņu formulas, izmantojot diskriminantu.

Vēl viens praktisks Vietas teorēmas apvērsta pielietojums ir kvadrātvienādojumu konstruēšana, ņemot vērā saknes x 1 un x 2 . Lai to izdarītu, pietiek ar to, lai aprēķinātu sakņu summu, kas dod koeficientu x ar pretējo zīmi dotajam kvadrātvienādojumam, un sakņu reizinājumu, kas dod brīvo terminu.

Piemērs.

Uzrakstiet kvadrātvienādojumu, kura saknes ir −11 un 23.

Risinājums.

Apzīmēsim x 1 =−11 un x 2 =23. Mēs aprēķinām šo skaitļu summu un reizinājumu: x 1 +x 2 =12 un x 1 ·x 2 =−253. Tāpēc norādītie skaitļi ir reducētā kvadrātvienādojuma saknes ar otro koeficientu –12 un brīvo terminu –253. Tas nozīmē, ka x 2 −12·x−253=0 ir nepieciešamais vienādojums.

Atbilde:

x 2 −12·x−253=0 .

Vietas teorēmu ļoti bieži izmanto, risinot uzdevumus, kas saistīti ar kvadrātvienādojumu sakņu zīmēm. Kā Vietas teorēma ir saistīta ar reducētā kvadrātvienādojuma x 2 +p·x+q=0 sakņu zīmēm? Šeit ir divi atbilstoši paziņojumi:

• Ja brīvais termins q ir pozitīvs skaitlis un kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, tad tie abi ir pozitīvi vai negatīvi.
• Ja brīvais termins q ir negatīvs skaitlis un kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, tad to zīmes ir atšķirīgas, citiem vārdiem sakot, viena sakne ir pozitīva, bet otra ir negatīva.

Šie apgalvojumi izriet no formulas x 1 · x 2 =q, kā arī pozitīvo, negatīvo skaitļu un skaitļu ar dažādām zīmēm reizināšanas noteikumiem. Apskatīsim to pielietojuma piemērus.

Piemērs.

R tas ir pozitīvs. Izmantojot diskriminanta formulu, atrodam D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, izteiksmes vērtību r 2 +8 ir pozitīvs jebkuram reālam r, tādējādi D>0 jebkuram reālam r. Līdz ar to sākotnējam kvadrātvienādojumam ir divas saknes jebkurai parametra r reālajai vērtībai.

Tagad noskaidrosim, kad saknēm ir dažādas pazīmes. Ja sakņu zīmes ir atšķirīgas, tad to reizinājums ir negatīvs, un saskaņā ar Vietas teorēmu reducētā kvadrātvienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Tāpēc mūs interesē tās r vērtības, kurām brīvais termins r−1 ir negatīvs. Tādējādi, lai atrastu mūs interesējošās r vērtības, mums ir nepieciešams atrisināt lineāro nevienlīdzību r-1<0 , откуда находим r<1 .

Atbilde:

pie r<1 .

Vietas formulas

Iepriekš mēs runājām par Vietas teorēmu kvadrātvienādojumam un analizējām tajā noteiktās attiecības. Bet ir formulas, kas savieno ne tikai kvadrātvienādojumu, bet arī kubisko vienādojumu, ceturtās pakāpes vienādojumu reālās saknes un koeficientus un vispār, algebriskie vienādojumi grāds n. Tos sauc Vietas formulas.

Uzrakstīsim Vietas formulu formas n pakāpes algebriskajam vienādojumam un pieņemsim, ka tam ir n reālas saknes x 1, x 2, ..., x n (tostarp var būt arī tādas, kas sakrīt):

Vietas formulas var iegūt teorēma par polinoma sadalīšanos lineāros faktoros, kā arī vienādu polinomu definīcija, izmantojot visu to atbilstošo koeficientu vienādību. Tātad polinoms un tā izplešanās formas lineāros faktoros ir vienādi. Atverot iekavas pēdējā produktā un pielīdzinot atbilstošos koeficientus, iegūstam Vietas formulas.

Konkrēti, n=2 mums ir jau pazīstamās Vieta formulas kvadrātvienādojumam.

Kubiskā vienādojumam Vietas formulām ir forma

Atliek tikai atzīmēt, ka Vietas formulu kreisajā pusē ir tā sauktās elementārās simetriski polinomi.

Bibliogrāfija.

• Algebra: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; rediģēja S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M.: Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. 2 stundās 1. daļa. Mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra un matemātiskās analīzes sākums. 10. klase: mācību grāmata. vispārējai izglītībai institūcijas: pamata un profils. līmeņi / [Yu. M. Koļagins, M. V. Tkačova, N. E. Fedorova, M. I. Šabuņins]; rediģēja A. B. Žižčenko. - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 2010.- 368 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Astotajā klasē skolēni tiek iepazīstināti ar kvadrātvienādojumiem un to risināšanu. Tajā pašā laikā, kā rāda pieredze, lielākā daļa studentu, risinot pilnīgus kvadrātvienādojumus, izmanto tikai vienu metodi - kvadrātvienādojuma sakņu formulu. Studentiem, kuriem ir labas prāta aritmētiskās prasmes, šī metode ir nepārprotami neracionāla. Kvadrātvienādojumus skolēniem bieži nākas risināt pat vidusskolā, un tur vienkārši žēl laiku tērēt diskriminanta aprēķināšanai. Manuprāt, pētot kvadrātvienādojumus, vairāk laika un uzmanības būtu jāvelta Vietas teorēmas pielietojumam (saskaņā ar A.G. Mordkoviča Algebra-8 programmu tēmas “Vietas teorēma. Kvadrātiskās dekompozīcijas) apguvei paredzētas tikai divas stundas. trinomāls lineāros faktoros”).

Lielākajā daļā algebras mācību grāmatu šī teorēma ir formulēta reducētajam kvadrātvienādojumam un nosaka, ka ja vienādojumam ir saknes un , tad tiem ir izpildīti vienādības , . Pēc tam tiek formulēts apgalvojums, kas ir pretējs Vietas teorēmai, un tiek piedāvāti vairāki piemēri šīs tēmas praktizēšanai.

Ņemsim konkrētus piemērus un izsekosim risinājuma loģiku, izmantojot Vietas teorēmu.

Piemērs 1. Atrisiniet vienādojumu.

Pieņemsim, ka šim vienādojumam ir saknes, proti, un . Tad, saskaņā ar Vietas teorēmu, vienādībām vienlaikus jābūt spēkā:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka sakņu reizinājums ir pozitīvs skaitlis. Tas nozīmē, ka vienādojuma saknēm ir viena un tā pati zīme. Un tā kā sakņu summa ir arī pozitīvs skaitlis, mēs secinām, ka abas vienādojuma saknes ir pozitīvas. Atgriezīsimies vēlreiz pie sakņu produkta. Pieņemsim, ka vienādojuma saknes ir pozitīvi veseli skaitļi. Tad pareizo pirmo vienādību var iegūt tikai divos veidos (līdz faktoru secībai): vai . Pārbaudīsim piedāvātajiem skaitļu pāriem Vietas teorēmas otrā apgalvojuma iespējamību: . Tādējādi skaitļi 2 un 3 apmierina abas vienādības un tāpēc ir dotā vienādojuma saknes.

Atbilde: 2; 3.

Izcelsim galvenos spriešanas posmus, risinot iepriekš minēto kvadrātvienādojumu, izmantojot Vietas teorēmu:

pierakstiet Vietas teorēmas apgalvojumu

(*)

• noteikt vienādojuma sakņu zīmes (Ja reizinājums un sakņu summa ir pozitīvi, tad abas saknes ir pozitīvi skaitļi. Ja sakņu reizinājums ir pozitīvs skaitlis, un sakņu summa ir negatīva, tad abas saknes ir negatīvi skaitļi, ja sakņu reizinājums ir negatīvs, tad sakņu summa ir pozitīva, tad saknes ar lielāku moduli ir pozitīvs skaitlis. sakņu summa ir mazāka par nulli, tad sakne ar lielāku moduli ir negatīvs skaitlis);
• atlasa veselu skaitļu pārus, kuru reizinājums apzīmējumā (*) dod pareizo pirmo vienādību;
• no atrastajiem skaitļu pāriem atlasiet pāri, kas, aizvietojot to ar otro vienādību apzīmējumā (*), dos pareizo vienādību;
• savā atbildē norādiet atrastās vienādojuma saknes.

Sniegsim vairāk piemēru.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu .

Risinājums.

Ļaut un būt dotā vienādojuma saknes. Pēc tam, izmantojot Vietas teorēmu, mēs atzīmējam, ka reizinājums ir pozitīvs, un summa ir negatīvs skaitlis. Tas nozīmē, ka abas saknes ir negatīvi skaitļi. Mēs izvēlamies faktoru pārus, kas dod reizinājumu 10 (-1 un -10; -2 un -5). Otrais skaitļu pāris summējas līdz -7. Tas nozīmē, ka skaitļi -2 un -5 ir šī vienādojuma saknes.

Atbilde: -2; -5.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu .

Risinājums.

Ļaut un būt dotā vienādojuma saknes. Pēc tam, izmantojot Vietas teorēmu, mēs atzīmējam, ka produkts ir negatīvs. Tas nozīmē, ka saknēm ir dažādas zīmes. Arī sakņu summa ir negatīvs skaitlis. Tas nozīmē, ka sakne ar lielāko moduli ir negatīva. Mēs izvēlamies faktoru pārus, kas dod produktam -10 (1 un -10; 2 un -5). Otrais skaitļu pāris summējas līdz -3. Tas nozīmē, ka skaitļi 2 un -5 ir šī vienādojuma saknes.

Atbilde: 2; -5.

Ņemiet vērā, ka Vietas teorēmu principā var formulēt pilnīgam kvadrātvienādojumam: ja kvadrātvienādojums ir saknes un , tad vienādības , , viņiem ir apmierinātas. Tomēr šīs teorēmas pielietošana ir diezgan problemātiska, jo pilnā kvadrātvienādojumā vismaz viena no saknēm (ja tāda ir, protams) ir daļskaitlis. Un darbs ar frakciju atlasi ir garš un grūts. Bet joprojām ir izeja.

Apsveriet pilno kvadrātvienādojumu . Reiziniet abas vienādojuma puses ar pirmo koeficientu A un ierakstiet vienādojumu formā . Ieviesīsim jaunu mainīgo un iegūsim reducēto kvadrātvienādojumu, kura saknes un (ja iespējams) var atrast, izmantojot Vietas teorēmu. Tad sākotnējā vienādojuma saknes būs . Lūdzu, ņemiet vērā, ka ir ļoti vienkārši izveidot papildu reducēto vienādojumu: otrais koeficients tiek saglabāts, bet trešais koeficients ir vienāds ar reizinājumu. ac. Ar noteiktu prasmi skolēni nekavējoties izveido palīgvienādojumu, atrod tā saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un norāda dotā pilnā vienādojuma saknes. Sniegsim piemērus.

4. piemērs. Atrisiniet vienādojumu .

Izveidosim palīgvienādojumu un izmantojot Vietas teorēmu, mēs atradīsim tās saknes. Tas nozīmē, ka sākotnējā vienādojuma saknes .

Atbilde: .

5. piemērs. Atrisiniet vienādojumu .

Palīgvienādojumam ir forma . Saskaņā ar Vietas teorēmu tās saknes ir . Sākotnējā vienādojuma sakņu atrašana .

Atbilde: .

Un vēl viens gadījums, kad Vietas teorēmas pielietojums ļauj verbāli atrast pilnīga kvadrātvienādojuma saknes. To pierādīt nav grūti skaitlis 1 ir vienādojuma sakne , ja un tikai tad. Vienādojuma otrā sakne tiek atrasta ar Vietas teorēmu un ir vienāda ar . Vēl viens paziņojums: lai skaitlis –1 būtu vienādojuma sakne nepieciešams un pietiekams. Tad vienādojuma otrā sakne saskaņā ar Vietas teorēmu ir vienāda ar . Līdzīgus apgalvojumus var formulēt arī reducētajam kvadrātvienādojumam.

6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu.

Ņemiet vērā, ka vienādojuma koeficientu summa ir nulle. Tātad, vienādojuma saknes .

Atbilde: .

Piemērs 7. Atrisiniet vienādojumu.

Šī vienādojuma koeficienti apmierina īpašību (patiešām, 1-(-999)+(-1000)=0). Tātad, vienādojuma saknes .

Atbilde: ..

Vietas teorēmas pielietojuma piemēri

Uzdevums 1. Atrisiniet doto kvadrātvienādojumu, izmantojot Vietas teorēmu.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

2. uzdevums. Atrisiniet pilno kvadrātvienādojumu, pārejot uz palīgreducēto kvadrātvienādojumu.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

3. uzdevums. Izmantojot īpašību, atrisiniet kvadrātvienādojumu.

Pirmkārt, formulēsim pašu teorēmu: Iegūsim reducētu kvadrātvienādojumu formā x^2+b*x + c = 0. Pieņemsim, ka šajā vienādojumā ir saknes x1 un x2. Tad saskaņā ar teorēmu ir spēkā šādi apgalvojumi:

1) Sakņu x1 un x2 summa būs vienāda ar koeficienta b negatīvo vērtību.

2) Šo pašu sakņu reizinājums dos mums koeficientu c.

Bet kāds ir dotais vienādojums?

Reducēts kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kura augstākās pakāpes koeficients ir vienāds ar vienu, t.i. šis ir vienādojums formā x^2 + b*x + c = 0. (un vienādojums a*x^2 + b*x + c = 0 ir nereducēts). Citiem vārdiem sakot, lai vienādojumu izveidotu dotajā formā, mums šis vienādojums ir jāsadala ar lielākās pakāpes koeficientu (a). Uzdevums ir izveidot šo vienādojumu šādā formā:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Izdalot katru vienādojumu ar augstākās pakāpes koeficientu, iegūstam:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.

Kā redzams no piemēriem, pat vienādojumus, kas satur daļskaitļus, var reducēt līdz dotajai formai.

Izmantojot Vietas teorēmu

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

mēs iegūstam saknes: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;

rezultātā iegūstam saknes: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = –5; x1*x2 = 4;

iegūstam saknes: x1 = −1; x2 = –4.

Vietas teorēmas nozīme

Vietas teorēma ļauj gandrīz sekundēs atrisināt jebkuru kvadrātvienādojumu. No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka tas ir diezgan grūts uzdevums, taču pēc 5 10 vienādojumiem jūs varat iemācīties saskatīt saknes uzreiz.

No sniegtajiem piemēriem un izmantojot teorēmu ir skaidrs, kā var būtiski vienkāršot kvadrātvienādojumu atrisināšanu, jo, izmantojot šo teorēmu, kvadrātvienādojumu var atrisināt praktiski bez sarežģītiem aprēķiniem un diskriminanta aprēķināšanas, un, kā zināms, mazāk aprēķinu, jo grūtāk ir kļūdīties, kas ir svarīgi.

Visos piemēros mēs izmantojām šo noteikumu, pamatojoties uz diviem svarīgiem pieņēmumiem:

Dotais vienādojums, t.i. augstākās pakāpes koeficients ir vienāds ar vienu (no šī nosacījuma var viegli izvairīties. Var izmantot vienādojuma nereducēto formu, tad derēs šādi apgalvojumi: x1+x2=-b/a; x1*x2=c /a, bet tas parasti ir grūtāk atrisināms :))

Kad vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs pieņemam, ka nevienlīdzība ir patiesa un diskriminants ir stingri lielāks par nulli.

Tāpēc mēs varam izveidot vispārīgu risinājuma algoritmu, izmantojot Vietas teorēmu.

Vispārīgais risinājuma algoritms, izmantojot Vietas teorēmu

Kvadrātvienādojumu reducējam uz reducētu formu, ja vienādojums mums ir dots nereducētā formā. Kad koeficienti kvadrātvienādojumā, ko mēs iepriekš uzrādījām kā dotu, izrādās daļskaitļi (nevis decimāldaļskaitļi), tad šajā gadījumā mūsu vienādojums ir jāatrisina, izmantojot diskriminantu.

Ir arī gadījumi, kad atgriešanās pie sākotnējā vienādojuma ļauj strādāt ar “ērtiem” skaitļiem.