Trīsstūrī ierakstīts aplis

Trīsstūrī ierakstīta apļa esamība

Atcerēsimies definīciju leņķa bisektrise .

1. definīcija .Leņķa bisektrise sauc par staru, kas sadala leņķi divās vienādās daļās.

Teorēma 1 (leņķa bisektrise pamatīpašība) . Katrs leņķa bisektora punkts atrodas vienādā attālumā no leņķa malām (1. att.).

Rīsi. 1

Pierādījums D , kas atrodas uz leņķa bisektriseBAC , Un DE Un DF stūra sānos (1. att.).Taisni trīsstūri ADF Un ADE vienāds , jo tiem ir vienādi asi leņķiDAF Un DAE , un hipotenūza AD - vispārējs. Tāpēc

DF = DE,

Q.E.D.

2. teorēma (pretēji 1. teorēmai) . Ja kāds, tad tas atrodas uz leņķa bisektrise (2. att.).

Rīsi. 2

Pierādījums . Apsveriet patvaļīgu punktuD , kas atrodas leņķa iekšpusēBAC un atrodas vienādā attālumā no leņķa malām. Atkāpsimies no lietas būtībasD perpendikulu DE Un DF stūra sānos (2. att.).Taisni trīsstūri ADF Un ADE vienāds , jo viņiem ir vienādas kājasDF Un DE , un hipotenūza AD - vispārējs. Tāpēc

Q.E.D.

2. definīcija . Aplis tiek saukts leņķī ierakstīts aplis , ja tās ir šī leņķa malas.

3. teorēma . Ja aplis ir ierakstīts leņķī, tad attālumi no leņķa virsotnes līdz apļa saskares punktiem ar leņķa malām ir vienādi.

Pierādījums . Ļaujiet punktu D – leņķī ierakstīta riņķa centrsBAC , un punkti E Un F – apļa saskares punkti ar leņķa malām (3. att.).

3. att

a , b , c - trīsstūra malas,
 S -kvadrāts,

r – ierakstītā apļa rādiuss,
 lpp - pusperimetrs

.

Skatīt formulas izvadi

a – vienādsānu trīsstūra sānu mala , 
 b - bāze, r – ierakstīts apļa rādiuss

a r – ierakstīts apļa rādiuss

Skatīt formulas izvadi

,

Kur

,

tad vienādsānu trīsstūra gadījumā, kad

mēs saņemam

kas arī bija vajadzīgs.

7. teorēma . Par vienlīdzību

Kur a - vienādmalu trijstūra mala,r – ierakstītā riņķa rādiuss (8. att.).

Rīsi. 8

Pierādījums .

,

tad vienādmalu trijstūra gadījumā, kad

b = a,

mēs saņemam

kas arī bija vajadzīgs.

komentēt . Kā vingrinājumu iesaku vienādmalu trīsstūrī ierakstīta riņķa rādiusa formulu atvasināt tieši, t.i. neizmantojot vispārīgas formulas patvaļīgā trīsstūrī vai vienādsānu trijstūrī ierakstīto riņķu rādiusiem.

8. teorēma . Taisnleņķa trīsstūrim ir spēkā šāda vienādība:

Kur a , b - taisnleņķa trīsstūra kājas, c – hipotenūza , r – ierakstītā apļa rādiuss.

Pierādījums . Apsveriet 9. attēlu.

Rīsi. 9

Kopš četrstūraCDOF ir , kam ir blakus malasDO Un OF ir vienādi, tad šis taisnstūris ir . Tāpēc

CB = CF = r,

Saskaņā ar 3. teorēmu ir patiesas šādas vienādības:

Tāpēc, arī ņemot vērā , iegūstam

kas arī bija vajadzīgs.

Problēmu izlase par tēmu “Aplis, kas ierakstīts trīsstūrī”.

1.

Aplis, kas ierakstīts vienādsānu trīsstūrī, sadala vienu no sānu malām saskares punktā divos segmentos, kuru garumi ir 5 un 3, skaitot no virsotnes, kas atrodas pretī pamatnei. Atrodiet trīsstūra perimetru.

2.

3

Trijstūrī ABC AC=4, BC=3 leņķis C ir 90º. Atrodiet ierakstītā apļa rādiusu.

4.

Vienādsānu taisnstūra trīsstūra kājas ir 2+. Atrodiet šajā trīsstūrī ierakstītā apļa rādiusu.

5.

Vienādsānu taisnstūrī ierakstīta riņķa rādiuss ir 2. Atrodiet šī trijstūra hipotenūzu c. Lūdzu, atbildē norādiet c(–1).

Mēs piedāvājam vairākas vienotā valsts eksāmena problēmas ar risinājumiem.

Apļa rādiuss, kas ierakstīts vienādsānu taisnstūrī, ir vienāds ar . Atrodiet šī trīsstūra hipotenūzu. Lūdzu, norādiet savā atbildē.

Trijstūris ir taisnstūrveida un vienādsānu. Tas nozīmē, ka tās kājas ir vienādas. Lai katra kāja būtu vienāda. Tad hipotenūza ir vienāda.

Mēs rakstām trīsstūra ABC laukumu divos veidos:

Pielīdzinot šos izteicienus, mēs to iegūstam. Tāpēc ka, mēs to sapratām. Tad.

Mēs pierakstīsim atbildi.

Atbilde:.

2. uzdevums.

1. Brīvajā variantā ir divas 10cm un 6cm malas (AB un BC). Atrodiet norobežoto un ierakstīto apļu rādiusus
Problēma tiek atrisināta patstāvīgi, komentējot.

Risinājums:

IN.

1) Atrast:
2) Pierādiet:un atrodiet CK
3) Atrast: ierobežoto un ierakstīto apļu rādiusi

Risinājums:

6. uzdevums.

R kvadrātā ierakstītā riņķa rādiuss ir. Atrodiet ap šo kvadrātu norobežotā apļa rādiusu.Ņemot vērā :

Atrast: OS=?
Risinājums: Šajā gadījumā problēmu var atrisināt, izmantojot Pitagora teorēmu vai R formulu. Otrais gadījums būs vienkāršāks, jo R formula ir atvasināta no teorēmas.

7. uzdevums.

Vienādsānu taisnstūrī ierakstīta riņķa rādiuss ir 2. Atrodiet hipotenūzuAr šis trīsstūris. Lūdzu, norādiet savā atbildē.

S – trijstūra laukums

Mēs nezinām ne trijstūra malas, ne tā laukumu. Apzīmēsim kājas kā x, tad hipotenūza būs vienāda ar:

Un trīsstūra laukums būs 0,5x 2 .

Līdzekļi

Tādējādi hipotenūza būs vienāda ar:

Atbildē jums jāraksta:

Atbilde: 4

8. uzdevums.

Trijstūrī ABC AC = 4, BC = 3, leņķis C vienāds ar 90 0. Atrodiet ierakstītā apļa rādiusu.

Izmantosim trijstūrī ierakstīta riņķa rādiusa formulu:

kur a, b, c ir trijstūra malas

S – trijstūra laukums

Ir zināmas divas puses (tās ir kājas), mēs varam aprēķināt trešo (hipotenūzu), un mēs varam arī aprēķināt laukumu.

Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Atradīsim apgabalu:

Tādējādi:

Atbilde: 1

9. uzdevums.

Vienādsānu trijstūra malas ir 5 un pamatne ir 6. Atrodiet ierakstītā apļa rādiusu.

Izmantosim trijstūrī ierakstīta riņķa rādiusa formulu:

kur a, b, c ir trijstūra malas

S – trijstūra laukums

Visas puses zināmas, aprēķināsim laukumu. Mēs to varam atrast, izmantojot Herona formulu:

Tad

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Aplūkosim trijstūrī ierakstītu apli (302. att.). Atgādinām, ka tā centrs O atrodas trijstūra iekšējo leņķu bisektoru krustpunktā. Segmenti OA, OB, OC, kas savieno O ar trijstūra ABC virsotnēm, sadalīs trīsstūri trīs trīsstūros:

AOV, VOS, SOA. Katra no šiem trijstūriem augstums ir vienāds ar rādiusu, un tāpēc to laukumi tiks izteikti kā

Visa trīsstūra S laukums ir vienāds ar šo trīs laukumu summu:

kur ir trijstūra pusperimetrs. No šejienes

Ierakstītā apļa rādiuss ir vienāds ar trīsstūra laukuma attiecību pret tā pusperimetru.

Lai iegūtu formulu trijstūra apkārtmēra rādiusam, mēs pierādām šādu priekšlikumu.

Teorēma a: Jebkurā trijstūrī mala ir vienāda ar ierobežotā apļa diametru, kas reizināts ar pretējā leņķa sinusu.

Pierādījums. Aplūkosim patvaļīgu trīsstūri ABC un ap to norobežotu apli, kura rādiusu apzīmēsim ar R (303. att.). Apzīmēsim trijstūra aso leņķi A. Uzzīmēsim riņķa rādiusus OB, OS un nometīsim perpendikulu OK no tā centra O uz trijstūra malu BC. Ņemiet vērā, ka trijstūra leņķi a mēra ar pusi no loka BC, kuram leņķis BOC ir centrālais leņķis. No tā ir skaidrs, ka. Tāpēc no taisnleņķa trīsstūra RNS mēs atrodam , vai , kas ir tas, kas mums bija jāpierāda.

Dotā att. 303 un pamatojums attiecas uz trijstūra akūtā leņķa gadījumu; Būtu viegli veikt pierādīšanu taisnā un strupā leņķa gadījumiem (lasītājs to izdarīs pats), taču var izmantot sinusu teorēmu (218.3). Tā kā tam jābūt no kurienes

Šeit ir ierakstīta arī sinusa teorēma. formā

un salīdzinājums ar apzīmējumu formu (218.3) dod priekš

Ierobežotā apļa rādiuss ir vienāds ar trijstūra trīs malu reizinājuma attiecību pret tā četrkāršo laukumu.

Uzdevums. Atrodiet vienādsānu trijstūra malas, ja tā apļa un apļa aplim ir attiecīgi rādiusi

Risinājums. Uzrakstīsim formulas, kas izsaka trīsstūra ierakstīto un ierobežoto apļu rādiusus:

Vienādsānu trīsstūrim ar malu un pamatni laukumu izsaka ar formulu

vai, samazinot daļu ar koeficientu, kas nav nulle, mums ir

kas noved pie kvadrātvienādojuma attiecībā pret

Tam ir divi risinājumi:

Aizstājot tās izteiksmes vietā jebkurā no vienādojumiem vai R, mēs beidzot atradīsim divas atbildes uz mūsu problēmu:

Vingrinājumi

1. No taisnleņķa virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstums, sadalot hipotenūzu attiecībā. Atrodi katras kājas attiecību pret hipotenūzu.

2. Ap apli apvilktas vienādsānu trapeces pamati ir vienādi ar a un b. Atrodiet apļa rādiusu.

3. Divi apļi saskaras ārēji. To kopējās pieskares ir slīpas pret centru līniju 30° leņķī. Pieskares posma garums starp pieskares punktiem ir 108 cm Atrodi apļu rādiusus.

4. Taisnstūra trīsstūra kājas ir vienādas ar a un b. Atrodiet trijstūra laukumu, kura malas ir dotā trijstūra augstums un mediāna, kas novilkta no taisnā leņķa virsotnes, un hipotenūzas segmentu starp to krustpunktiem ar hipotenūzu.

5. Trijstūra malas ir 13, 14, 15. Atrodiet katras no tām projekciju uz pārējām divām.

6. Ir zināmas trijstūra malas un augstumi Atrodiet malas b un c.

7. Ir zināmas divas trijstūra malas un mediāna.Atrodiet trijstūra trešo malu.

8. Dotas divas trijstūra malas un leņķis a starp tām: Atrodi ierakstītā un ierobežotā riņķa rādiusu.

9. Ir zināmas trijstūra malas a, b, c. Kādi ir segmenti, kuros tie ir sadalīti pēc ierakstītā apļa saskares punktiem ar trijstūra malām?

Rombs ir paralelograms ar vienādām malām. Tāpēc tas pārmanto visas paralelograma īpašības. Proti:

• Romba diagonāles ir savstarpēji perpendikulāras.
• Romba diagonāles ir tā iekšējo leņķu bisektrise.

Apli var ierakstīt četrstūrī tad un tikai tad, ja pretējo malu summas ir vienādas.
Tāpēc apli var ierakstīt jebkurā rombā. Ierakstītā apļa centrs sakrīt ar romba diagonāļu krustošanās centru.
Rombā ierakstītā apļa rādiusu var izteikt vairākos veidos

1 veids. Ierakstītā apļa rādiuss rombā caur augstumu

Romba augstums ir vienāds ar ierakstītā apļa diametru. Tas izriet no taisnstūra īpašības, ko veido ierakstītā apļa diametrs un romba augstums - taisnstūra pretējās malas ir vienādas.

Tāpēc rombā ierakstīta apļa rādiusa formula augstuma izteiksmē:

2. metode. Ierakstītā apļa rādiuss rombā caur diagonālēm

Romba laukumu var izteikt ar ierakstītā apļa rādiusu
, Kur R– romba perimetrs. Zinot, ka perimetrs ir četrstūra visu malu summa, mums ir P= 4×a. Tad
Bet romba laukums ir arī vienāds ar pusi no tā diagonāļu reizinājuma
Pielīdzinot laukuma formulu labās puses, mēs iegūstam šādu vienādību
Rezultātā mēs iegūstam formulu, kas ļauj aprēķināt rombā ierakstītā apļa rādiusu caur diagonālēm

Piemērs rombā ierakstīta riņķa rādiusa aprēķināšanai, ja ir zināmas diagonāles
Atrodiet rombā ierakstīta riņķa rādiusu, ja ir zināms, ka diagonāļu garumi ir 30 cm un 40 cm
Ļaujiet ABCD- rombs, tad A.C. Un BD tās diagonāles. AC= 30 cm ,BD= 40 cm
Ļaujiet punktu PAR– ir rombā ierakstītā centra centrs ABCD aplis, tad tas būs arī tā diagonāļu krustošanās punkts, sadalot tās uz pusēm.


tā kā romba diagonāles krustojas taisnā leņķī, tad trīsstūris AOB taisnstūrveida. Tad pēc Pitagora teorēmas
, aizstājiet iepriekš iegūtās vērtības formulā

AB= 25 cm
Pielietojot iepriekš atvasināto formulu rombā ierobežotā riņķa rādiusam, iegūstam

3 ceļi. Ierakstītā apļa rādiuss rombā caur segmentiem m un n

Punkts F– apļa saskares punkts ar romba malu, kas sadala to segmentos A.F. Un B.F.. Ļaujiet AF=m, BF=n.
Punkts O– romba diagonāļu krustpunkts un tajā ierakstītā riņķa centrs.
Trīsstūris AOB– taisnstūrveida, jo romba diagonāles krustojas taisnā leņķī.
, jo ir rādiuss, kas novilkts līdz riņķa pieskares punktam. Līdz ar to OF- trijstūra augstums AOB uz hipotenūzu. Tad A.F. Un BF kāju projekcijas uz hipotenūzu.
Augstums taisnleņķa trijstūrī, nolaists līdz hipotenūzai, ir vidējais proporcionāls starp kāju projekcijām pret hipotenūzu.

Formula ierakstīta apļa rādiusam rombā caur segmentiem ir vienāda ar kvadrātsakni no šo segmentu reizinājuma, kurā riņķa pieskares punkts sadala romba malu