Ar atšķirību, ka “plakanu” grafiku vietā mēs apsvērsim visizplatītākās telpiskās virsmas, kā arī uzzināsim, kā tās kompetenti veidot ar rokām. Es pavadīju diezgan ilgu laiku, izvēloties programmatūras rīkus trīsdimensiju rasējumu veidošanai un atradu pāris labas lietojumprogrammas, taču, neskatoties uz visu lietošanas ērtumu, šīs programmas nerisina svarīgu praktisku jautājumu. Fakts ir tāds, ka pārskatāmā vēsturiskā nākotnē skolēni joprojām būs bruņoti ar lineālu un zīmuli, un pat ar kvalitatīvu “mašīnas” zīmējumu daudzi to nevarēs pareizi pārnest uz rūtainā papīra. Tāpēc rokasgrāmatā īpaša uzmanība ir pievērsta manuālās konstruēšanas tehnikai, un ievērojama daļa lapu ilustrāciju ir roku darbs.

Kā šis atsauces materiāls atšķiras no analogiem?

Ņemot vērā pienācīgu praktisko pieredzi, es ļoti labi zinu, ar kādām virsmām mums visbiežāk nākas saskarties reālās augstākās matemātikas problēmās, un es ceru, ka šis raksts palīdzēs jums ātri papildināt savu bagāžu ar attiecīgajām zināšanām un lietišķajām prasmēm, kas veido 90 -95% gadījumu vajadzētu būt pietiekami daudz.

Kas tev šobrīd ir jāspēj?

Visvienkāršākā:

Pirmkārt, jums ir jāspēj pareizi uzbūvēt telpiskā Dekarta koordinātu sistēma (skat. raksta sākumu Funkciju grafiki un īpašības) .

Ko jūs iegūsit pēc šī raksta izlasīšanas?

Pudele Apgūstot nodarbības materiālus, jūs iemācīsities ātri noteikt virsmas veidu pēc tās funkcijas un/vai vienādojuma, iztēloties, kā tā atrodas telpā, un, protams, veidot zīmējumus. Tas ir labi, ja pēc pirmā lasījuma viss nesanāk prātā — vienmēr varat atgriezties pie jebkuras rindkopas vēlāk, ja nepieciešams.

Informācija ir katra spēkos – lai to apgūtu, nav vajadzīgas nekādas superzināšanas, īpašs mākslinieciskais talants vai telpiskais redzējums.

Sāciet!

Praksē parasti tiek dota telpiskā virsma divu mainīgo funkciju vai formas vienādojums (konstante labajā pusē visbiežāk ir vienāda ar nulli vai vienu). Pirmais apzīmējums ir raksturīgāks matemātiskajai analīzei, otrais - priekš analītiskā ģeometrija. Vienādojums būtībā ir netieši dota 2 mainīgo funkcija, ko tipiskos gadījumos var viegli reducēt līdz formai . Ļaujiet man jums atgādināt vienkāršāko piemēru c:

–plaknes vienādojums laipns .

- plaknes funkcija iekšā nepārprotami .

Sāksim ar to:

Plakņu kopīgie vienādojumi

Raksta pašā sākumā ir detalizēti apskatītas tipiskas plakņu izvietojuma iespējas taisnstūra koordinātu sistēmā. Plaknes vienādojums. Tomēr vēlreiz pakavēsimies pie vienādojumiem, kuriem ir liela nozīme praksē.

Pirmkārt, jums ir pilnībā automātiski jāatpazīst plakņu vienādojumi, kas ir paralēli koordinātu plaknēm. Plakņu fragmenti parasti tiek attēloti kā taisnstūri, kas pēdējos divos gadījumos izskatās kā paralelogrami. Pēc noklusējuma jūs varat izvēlēties jebkurus izmērus (protams, saprātīgās robežās), taču ir vēlams, lai punkts, kurā koordinātu ass “caurdur” plakni, būtu simetrijas centrs:


Stingri sakot, koordinātu asis dažviet ir jāattēlo ar punktētām līnijām, taču, lai izvairītos no neskaidrībām, mēs šo niansi ignorēsim.

– (kreisais zīmējums) nevienādība norāda pustelpu, kas atrodas vistālāk no mums, izslēdzot pašu plakni;

– (vidējais zīmējums) nevienādība norāda labo pustelpu, ieskaitot plakni;

– (zīmējums pa labi) dubultā nevienlīdzība definē "slāni", kas atrodas starp plaknēm, ieskaitot abas plaknes.

Pašiesildīšanai:

1. piemērs

Uzzīmējiet ķermeni, ko ierobežo plaknes
Izveidojiet nevienlīdzību sistēmu, kas definē doto ķermeni.

No jūsu zīmuļa pavadīšanas vajadzētu iznirt vecai paziņai. kuboīds. Neaizmirstiet, ka neredzamās malas un sejas ir jāzīmē ar punktētu līniju. Nodarbības beigās pabeidza zīmēšanu.

Lūdzu, NEATSTĀJIET NAVĀRĀ mācību uzdevumi, pat ja tie šķiet pārāk vienkārši. Pretējā gadījumā var gadīties, ka jūs to palaidāt garām vienu reizi, palaidāt garām divreiz un pēc tam pavadījāt pamatīgu stundu, mēģinot izdomāt trīsdimensiju zīmējumu kādā reālā piemērā. Turklāt mehāniskais darbs palīdzēs daudz efektīvāk apgūt materiālu un attīstīt inteliģenci! Nav nejaušība, ka bērnudārzā un pamatskolā bērni tiek noslogoti ar zīmēšanas, modelēšanas, celtniecības rotaļlietām un citiem uzdevumiem pirkstu smalkajai motorikai. Atvainojiet par novirzīšanos, bet manas divas piezīmju grāmatiņas par attīstības psiholoģiju nedrīkst pazust =)

Nākamo plakņu grupu nosacīti sauksim par “tiešo proporcionalitāti” - tās ir plaknes, kas iet caur koordinātu asīm:

2) formas vienādojums norāda plakni, kas iet caur asi ;

3) formas vienādojums norāda plakni, kas iet caur asi.

Lai gan formālā zīme ir acīmredzama (kura mainīgā vienādojumā trūkst - plakne iet caur šo asi), vienmēr ir noderīgi izprast notiekošo notikumu būtību:

2. piemērs

Konstruēt plakni

Kāds ir labākais veids, kā veidot? Es piedāvāju šādu algoritmu:

Vispirms pārrakstīsim vienādojumu formā , no kuras ir skaidri redzams, ka “y” var iegūt jebkura nozīmes. Nofiksēsim vērtību, tas ir, ņemsim vērā koordinātu plakni. Vienādojumu komplekts telpiskā līnija, kas atrodas noteiktā koordinātu plaknē. Attēlosim šo līniju zīmējumā. Taisne iet caur koordinātu sākumpunktu, tāpēc tās izveidošanai pietiek ar vienu punktu. Ļaujiet . Novietojiet punktu un novelciet taisnu līniju.

Tagad mēs atgriežamies pie plaknes vienādojuma. Tā kā "Y" pieņem jebkura vērtības, tad plaknē konstruētā taisne tiek nepārtraukti “replicēta” pa kreisi un pa labi. Tieši tā veidojas mūsu plakne, kas iet caur asi. Lai pabeigtu zīmējumu, pa kreisi un pa labi no taisnes novietojam divas paralēlas līnijas un “aizveram” simbolisko paralelogramu ar šķērsvirziena horizontāliem segmentiem:

Tā kā nosacījums neuzlika papildu ierobežojumus, lidmašīnas fragmentu varēja attēlot nedaudz mazākos vai nedaudz lielākos izmēros.

Izmantojot piemēru, vēlreiz atkārtosim telpiskās lineārās nevienlīdzības nozīmi. Kā noteikt tā definēto pustelpu? Pieņemsim kādu punktu nepiederošs plaknē, piemēram, punktu no mums vistuvāk esošās pustelpas un aizvieto tā koordinātes nevienādībā:

Saņemts patiesa nevienlīdzība, kas nozīmē, ka nevienādība norāda zemāko (attiecībā pret plakni) pustelpu, savukārt pati plakne risinājumā nav iekļauta.

3. piemērs

Konstruēt lidmašīnas
A) ;
b) .

Tie ir paškonstruēšanas uzdevumi, ja rodas grūtības, izmantojiet līdzīgu argumentāciju. Īsas instrukcijas un zīmējumi nodarbības beigās.

Praksē īpaši izplatītas ir plaknes, kas ir paralēlas asij. Īpašais gadījums, kad plakne šķērso asi, tika tikko apspriests punktā “būt”, un tagad mēs analizēsim vispārīgāku problēmu:

4. piemērs

Konstruēt plakni

Risinājums: mainīgais “z” nav skaidri iekļauts vienādojumā, kas nozīmē, ka plakne ir paralēla piemērojamai asij. Izmantosim to pašu tehniku ​​kā iepriekšējos piemēros.

Pārrakstīsim plaknes vienādojumu formā no kura ir skaidrs, ka “zet” var ņemt jebkura nozīmes. Izlabosim to un uzzīmēsim parastu “plakanu” taisnu līniju “vietējā” plaknē. Lai to izveidotu, ir ērti ņemt atskaites punktus.

Tā kā "Z" pieņem Visi vērtības, tad konstruētā taisne nepārtraukti “reizinās” uz augšu un uz leju, tādējādi veidojot vēlamo plakni . Mēs rūpīgi sastādām saprātīga izmēra paralelogramu:

Gatavs.

Plaknes vienādojums segmentos

Vissvarīgākā lietišķā šķirne. Ja Visi izredzes plaknes vispārējais vienādojums kas nav nulle, tad to var attēlot formā ko sauc plaknes vienādojums segmentos. Ir acīmredzams, ka plakne punktos krusto koordinātu asis, un šāda vienādojuma lielā priekšrocība ir zīmējuma konstruēšanas vienkāršība:

5. piemērs

Konstruēt plakni

Risinājums: Vispirms izveidosim plaknes vienādojumu segmentos. Izmetīsim brīvo terminu pa labi un sadalīsim abas puses ar 12:

Nē, šeit nav drukas kļūdu, un viss notiek kosmosā! Mēs pārbaudām ierosināto virsmu, izmantojot to pašu metodi, kas nesen tika izmantota lidmašīnām. Pārrakstīsim vienādojumu formā , no kā izriet, ka “zet” ņem jebkura nozīmes. Fiksēsim un konstruēsim elipsi plaknē. Tā kā "zet" pieņem Visi vērtības, tad konstruētā elipse tiek nepārtraukti “replicēta” uz augšu un uz leju. Ir viegli saprast, ka virsma bezgalīgs:

Šo virsmu sauc eliptisks cilindrs. Elipsi (jebkurā augstumā) sauc vadīt cilindrs, un tiek sauktas paralēlas līnijas, kas iet caur katru elipses punktu Formēšana cilindrs (kas burtiski to veido). Ass ir simetrijas ass virsma (bet ne tās daļa!).

Jebkura punkta, kas pieder noteiktai virsmai, koordinātas noteikti apmierina vienādojumu .

Telpiskā nevienlīdzība definē bezgalīgās "caurules" "iekšpusi", ieskaitot pašu cilindrisko virsmu, un attiecīgi pretēja nevienlīdzība nosaka punktu kopu ārpus cilindra.

Praktiskajās problēmās populārākais īpašais gadījums ir tad, kad vadīt cilindrs ir aplis:

8. piemērs

Konstruējiet virsmu, kas norādīta ar vienādojumu

Nav iespējams attēlot bezgalīgu "cauruli", tāpēc māksla parasti aprobežojas ar "apgriešanu".

Pirmkārt, plaknē ir ērti izveidot rādiusa apli un pēc tam vēl pāris apļus augšā un apakšā. Iegūtie apļi ( ceļveži cilindrs) uzmanīgi savienojiet ar četrām paralēlām taisnām līnijām ( Formēšana cilindrs):

Neaizmirstiet izmantot punktētas līnijas līnijām, kas mums nav redzamas.

Jebkura punkta koordinātas, kas pieder pie dotā cilindra, apmierina vienādojumu . Jebkura punkta koordinātas, kas atrodas stingri “caurules” iekšpusē, apmierina nevienlīdzību , un nevienlīdzība definē ārējās daļas punktu kopu. Labākai izpratnei iesaku apsvērt vairākus konkrētus punktus telpā un pārliecināties par to pašiem.

9. piemērs

Konstruējiet virsmu un atrodiet tās projekciju plaknē

Pārrakstīsim vienādojumu formā no kā izriet, ka "x" ņem jebkura nozīmes. Fiksēsim un attēlosim plaknē aplis– ar centru izcelsmē, vienības rādiuss. Tā kā "x" nepārtraukti pieņem Visi vērtības, tad konstruētais aplis ģenerē apļveida cilindru ar simetrijas asi. Uzzīmējiet citu apli ( vadīt cilindrs) un uzmanīgi savienojiet tos ar taisnām līnijām ( Formēšana cilindrs). Vietām bija pārklāšanās, bet ko darīt, tāds slīpums:

Šoreiz aprobežojos ar cilindra gabalu spraugā, un tas nav nejauši. Praksē bieži vien ir nepieciešams attēlot tikai nelielu virsmas fragmentu.

Šeit, starp citu, ir 6 ģenerātri - divas papildu taisnas līnijas “nosedz” virsmu no augšējā kreisā un apakšējā labā stūra.

Tagad apskatīsim cilindra projekciju uz plakni. Daudzi lasītāji saprot, kas ir projekcija, taču, neskatoties uz to, veiksim vēl vienu piecu minūšu fizisku vingrinājumu. Lūdzu, stāviet un nolieciet galvu virs zīmējuma tā, lai ass punkts būtu perpendikulāri jūsu pierei. Tas, kāds cilindrs šķiet no šī leņķa, ir tā projekcija plaknē. Bet šķiet, ka tā ir bezgalīga josla, kas ir norobežota starp taisnām līnijām, ieskaitot pašas taisnās līnijas. Šī projekcija ir tieši tāda domēns funkcijas (cilindra augšējā “tekne”) (apakšējā “notece”).

Starp citu, noskaidrosim situāciju ar projekcijām uz citām koordinātu plaknēm. Ļaujiet saules stariem spīdēt uz cilindra no gala un gar asi. Cilindra ēna (projekcija) uz plakni ir līdzīga bezgalīga josla - plaknes daļa, ko ierobežo taisnas līnijas (- jebkura), ieskaitot pašas taisnes.

Bet projekcija uz plakni ir nedaudz atšķirīga. Ja paskatās uz cilindru no ass gala, tas tiks projicēts aplī ar vienības rādiusu , ar kuru mēs sākām celtniecību.

10. piemērs

Konstruējiet virsmu un atrodiet tās projekcijas uz koordinātu plaknēm

Šis ir uzdevums, kas jums jāatrisina pašam. Ja nosacījums nav ļoti skaidrs, izgrieziet abas puses kvadrātā un analizējiet rezultātu; uzziniet, kuru cilindra daļu nosaka funkcija. Izmantojiet iepriekš vairākkārt izmantoto būvniecības tehniku. Īss risinājums, zīmējums un komentāri nodarbības beigās.

Eliptiskas un citas cilindriskas virsmas var tikt nobīdītas attiecībā pret koordinātu asīm, piemēram:

(pamatojoties uz pazīstamiem raksta motīviem par 2. kārtas rindas) – cilindrs ar vienības rādiusu ar simetrijas līniju, kas iet caur punktu, kas ir paralēls asij. Tomēr praksē šādi cilindri sastopami diezgan reti, un ir absolūti neticami sastapt cilindrisku virsmu, kas ir “slīpa” attiecībā pret koordinātu asīm.

Paraboliskie cilindri

Kā norāda nosaukums, vadīt tāds cilindrs ir parabola.

11. piemērs

Konstruējiet virsmu un atrodiet tās projekcijas uz koordinātu plaknēm.

Es nevarēju pretoties šim piemēram =)

Risinājums: Ejam pa iemīto taku. Pārrakstīsim vienādojumu formā, no kuras izriet, ka “zet” var iegūt jebkuru vērtību. Fiksēsim un konstruēsim plaknē parastu parabolu, iepriekš atzīmējot triviālos atskaites punktus. Tā kā "Z" pieņem Visi vērtības, tad konstruētā parabola tiek nepārtraukti “replicēta” uz augšu un uz leju līdz bezgalībai. Mēs noliekam to pašu parabolu, teiksim, augstumā (plaknē) un uzmanīgi savienojam tās ar paralēlām taisnām līnijām ( veidojot cilindru):

Es tev atgādinu noderīga tehnika: ja sākotnēji neesat pārliecināts par zīmējuma kvalitāti, tad labāk vispirms ar zīmuli novilkt līnijas ļoti plānās. Tad mēs novērtējam skices kvalitāti, noskaidrojam vietas, kur virsma ir paslēpta no mūsu acīm, un tikai tad piespiežam irbuli.

Prognozes.

1) Cilindra projekcija uz plakni ir parabola. Jāatzīmē, ka šajā gadījumā par to nav iespējams runāt divu mainīgo funkcijas definīcijas joma– tāpēc, ka cilindru vienādojums nav reducējams līdz funkcionālai formai.

2) Cilindra projekcija uz plakni ir pusplakne, ieskaitot asi

3) Un visbeidzot, cilindra projekcija uz plakni ir visa plakne.

12. piemērs

Konstruējiet paraboliskos cilindrus:

a) aprobežojieties ar virsmas fragmentu tuvākajā pustelpā;

b) intervālā

Grūtību gadījumā mēs nesteidzamies un spriežam pēc analoģijas ar iepriekšējiem piemēriem, par laimi, tehnoloģija ir rūpīgi izstrādāta. Nav svarīgi, ja virsmas izrādās nedaudz neveiklas - ir svarīgi pareizi attēlot pamata attēlu. Es pats īpaši neuztraucos ar līniju skaistumu, ja man ir atbilstošs zīmējums ar C atzīmi, es to parasti nepārtaisu. Starp citu, parauga risinājumā izmantota cita tehnika, lai uzlabotu zīmējuma kvalitāti ;-)

Hiperboliskie cilindri

Ceļvežišādi cilindri ir hiperbolas. Šis virsmas veids, pēc maniem novērojumiem, ir daudz retāk sastopams nekā iepriekšējie, tāpēc es aprobežošos ar vienu hiperboliskā cilindra shematisku zīmējumu:

Sprieduma princips šeit ir tieši tāds pats – parastais skolas hiperbola no plaknes nepārtraukti “vairojas” uz augšu un uz leju līdz bezgalībai.

Apskatāmie cilindri pieder pie t.s 2. kārtas virsmas, un tagad turpināsim iepazīties ar citiem šīs grupas pārstāvjiem:

Elipsoīds. Sfēra un bumba

Elipsoīda kanoniskajam vienādojumam taisnstūra koordinātu sistēmā ir forma , kur ir pozitīvi skaitļi ( asu vārpstas elipsoīds), kas vispārējā gadījumā savādāk. Par elipsoīdu sauc virsmas, tātad ķermeni, ko ierobežo noteikta virsma. Ķermeni, kā daudzi ir uzminējuši, nosaka nevienlīdzība un jebkura iekšējā punkta (kā arī jebkura virsmas punkta) koordinātas noteikti apmierina šo nevienādību. Dizains ir simetrisks attiecībā pret koordinātu asīm un koordinātu plaknēm:

Acīmredzama ir arī jēdziena “elipsoīds” izcelsme: ja virsmu “nogriež” koordinātu plaknes, tad griezumi radīs trīs dažādus (vispārējā gadījumā)

1.7.1. Lidmašīna.

Aplūkosim Dekarta bāzē patvaļīgu plakni P un normālu vektoru (perpendikulāri) tai `n (A, B, C). Ņemsim patvaļīgu fiksētu punktu M0(x0, y0, z0) un pašreizējo punktu M(x, y, z) šajā plaknē.

Ir skaidrs, ka ?`n = 0 (1,53)

(sk. (1.20) j = p /2). Šis ir plaknes vienādojums vektora formā. Pārejot uz koordinātām, iegūstam plaknes vispārējo vienādojumu

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1,54).

(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).

Var parādīt, ka Dekarta koordinātēs katru plakni nosaka pirmās pakāpes vienādojums un, otrādi, katrs pirmās pakāpes vienādojums nosaka plakni (t.i., plakne ir pirmās kārtas virsma un virsma). pirmais pasūtījums ir lidmašīna).

Apskatīsim dažus īpašos plaknes atrašanās vietas gadījumus, kas norādīti vispārējā vienādojumā:

A = 0 – paralēli Vērša asij; B = 0 – paralēli Oy asij; C = 0 – paralēli Oz asij. (Tādas plaknes, kas ir perpendikulāras vienai no koordinātu plaknēm, sauc par projicējošām plaknēm); D = 0 – iet caur izcelsmi; A = B = 0 – perpendikulāri Oz asij (paralēli xOy plaknei); A = B = D = 0 – sakrīt ar xOy plakni (z = 0). Visi pārējie gadījumi tiek analizēti līdzīgi.

Ja D? 0, tad, dalot abas (1.54) malas ar -D, varam izveidot plaknes vienādojumu formā: (1.55),

a = – D /A, b = –D/B, c = –D /C. Attiecību (1.55) sauc par plaknes vienādojumu segmentos; a, b, c – abscisa, ordināta un plaknes krustošanās punktu aplikācija ar Ox, Oy, Oz asīm un |a|, |b|, |c| – plaknes nogriezto segmentu garumi uz attiecīgajām asīm no koordinātu sākuma.

Reizinot abas puses (1,54) ar normalizējošo koeficientu (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1,56)

kur cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm ir normas virziena kosinusi uz plakni, p ir attālums līdz plaknei no sākuma.

Apskatīsim aprēķinos izmantotās pamata sakarības. Leņķi starp plaknēm A1x + B1y + C1z + D1 = 0 un A2x + B2y + C2z + D2 = 0 var viegli definēt kā leņķi starp šo plakņu normāliem `n1 (A1, B1, C1) un

`n2 (A2, B2, C2): (1.57)

No (1.57) ir viegli iegūt perpendikularitātes nosacījumu

A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1,58)

un paralēlisms (1.59) plaknes un to normālie.

Attālums no patvaļīga punkta M0(x0, y0, z0) līdz plaknei (1.54)

tiek noteikts ar izteiksmi: (1.60)

Plaknes vienādojumu, kas iet caur trim dotiem punktiem M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), visērtāk var uzrakstīt, izmantojot vektoru koplanaritātes nosacījumu (1.25). kur M(x, y , z) – plaknes pašreizējais punkts.

(1.61)

Iesniegsim plakņu saišķa vienādojumu (t.i.

Plakņu komplekti, kas iet caur vienu taisnu līniju) - to ir ērti izmantot vairākās problēmās.

(A1x + B1y + C1z + D1) + l (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1,62)

Kur l О R, un iekavās ir jebkuru divu staru plakņu vienādojumi.

Kontroles jautājumi.

1) Kā pārbaudīt, vai dotais punkts atrodas uz virsmas, ko nosaka šis vienādojums?

2) Kāda ir raksturīgā pazīme, kas atšķir plaknes vienādojumu Dekarta koordinātu sistēmā no citu virsmu vienādojuma?

3) Kā plakne atrodas attiecībā pret koordinātu sistēmu, ja tās vienādojumā nav: a) brīvs termins; b) viena no koordinātām; c) divas koordinātas; d) viena no koordinātām un brīvais termiņš; d) divas koordinātes un brīvs termins?

1) Doti punkti M1(0,-1,3) un M2(1,3,5). Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu M1 un ir perpendikulāra vektoram Izvēlies pareizo atbildi:

A) ; b) .

2) Atrast leņķi starp plaknēm un . Izvēlies pareizo atbildi:

a) 135o, b) 45o

1.7.2. Taisni. Lidmašīnas, kuru normālie rādītāji nav kolineāri vai krustojas, nepārprotami definējot taisni kā to krustojuma līniju, ko raksta šādi:

Caur šo līniju (plakņu saišķis (1.62)) var novilkt bezgalīgu skaitu plakņu, ieskaitot tās, kas to projicē uz koordinātu plaknēm. Lai iegūtu to vienādojumus, pietiek ar transformāciju (1.63), no katra vienādojuma izslēdzot vienu nezināmo un reducējot tos, piemēram, līdz formai (1.63`).

Izvirzīsim uzdevumu - novilkt caur punktu M0(x0,y0,z0) vektoram `S (l, m, n) paralēlu taisni (to sauc par virzošo līniju). Ņemsim patvaļīgu punktu M(x,y,z) vēlamajā taisnē. Vektori un jābūt kolineāram, no kā iegūstam taisnes kanoniskos vienādojumus.

(1,64) vai (1.64`)

kur cosa, cosb, cosg ir vektora `S virziena kosinusi. No (1.64) ir viegli iegūt taisnes vienādojumu, kas iet caur dotajiem punktiem M1(x1, y1, z1) un M2(x2, y2, z2) (tā ir paralēla )

Vai (1,64``)

(Daļskaitļu vērtības (1.64) ir vienādas katram līnijas punktam, un tās var apzīmēt ar t, kur t R. Tas ļauj ievadīt līnijas parametriskos vienādojumus

Katra parametra t vērtība atbilst līnijas punkta koordinātu kopai x, y, z vai (citādi) - nezināmo vērtībām, kas apmierina līnijas vienādojumus).

Izmantojot jau zināmās vektoru īpašības un darbības ar tiem un taisnes kanoniskos vienādojumus, ir viegli iegūt šādas formulas:

Leņķis starp taisnām līnijām: (1.65)

Paralēlisma nosacījums (1,66).

perpendikularitāte l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1,67) taisnes.

Leņķis starp taisni un plakni (viegli iegūstams, atrodot leņķi starp taisni un plaknes normālu, kas kopā veido vēlamo p/2)

(1.68)

No (1.66) iegūstam paralēlisma nosacījumu Al + Bm + Cn = 0 (1.69)

taisnes un plaknes perpendikulitāte (1,70). Nepieciešamo un pietiekamo nosacījumu, lai divas līnijas atrastos vienā plaknē, var viegli iegūt no koplanaritātes nosacījuma (1.25).

(1.71)

Kontroles jautājumi.

1) Kādi ir veidi, kā noteikt taisnu līniju telpā?

1) Uzrakstiet vienādojumus taisnei, kas iet caur punktu A(4,3,0) un ir paralēla vektoram Norādiet pareizo atbildi:

A) ; b) .

2) Uzrakstiet vienādojumus taisnei, kas iet caur punktiem A(2,-1,3) un B(2,3,3). Norādiet pareizo atbildi.

A) ; b) .

3) Atrodiet taisnes krustpunktu ar plakni: , . Norādiet pareizo atbildi:

a) (6,4,5); b) (6,-4,5).

1.7.3. Otrās kārtas virsmas. Ja lineārais vienādojums trīsdimensiju Dekarta bāzē unikāli definē plakni, jebkurš nelineārs vienādojums, kas satur x, y, z, apraksta kādu citu virsmu. Ja vienādojums ir formas

Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, tad tas apraksta otrās kārtas virsmu (vispārējais otrās kārtas virsmas vienādojums). Izvēloties vai pārveidojot Dekarta koordinātas, vienādojumu var pēc iespējas vienkāršot, radot kādu no tālāk norādītajām formām, kas apraksta atbilstošo virsmu.

1. Otrās kārtas cilindru kanoniskie vienādojumi, kuru ģeneratori ir paralēli Oz asij, un atbilstošās otrās kārtas līknes, kas atrodas xOy plaknē, kalpo par vadotnēm:

(1.72), (1,73), y2 = 2 pikseļi (1,74)

attiecīgi eliptiskie, hiperboliskie un paraboliskie cilindri.

(Atgādināt, ka cilindriska virsma ir virsma, kas iegūta, pārvietojot taisnu līniju, ko sauc par ģenerātoru, paralēli sev. Šīs virsmas krustošanās līniju ar plakni, kas ir perpendikulāra ģeneratoram, sauc par vadotni - tā nosaka virsma).

Pēc analoģijas mēs varam pierakstīt vienādojumus vienādām cilindriskām virsmām ar ģenerātiem, kas ir paralēli Oy asij un Ox asij. Vadlīniju var definēt kā cilindra virsmas un atbilstošās koordinātu plaknes krustošanās līniju, t.i. formas vienādojumu sistēma:

2. Otrās kārtas konusa vienādojumi ar virsotni sākuma punktā:

(1.75)

(konusa asis ir attiecīgi Oz, Oy un Ox asis)

3. Elipsoīda kanoniskais vienādojums: (1,76);

Īpaši gadījumi ir, piemēram, revolūcijas elipsoīdi – virsma, kas iegūta, pagriežot elipsi ap Oza asi (plkst

a > c elipsoīds ir saspiests, ar x2 + y2+ z2 + = r2 – lodes ar rādiusu r vienādojums ar centru izcelsmē).

4. Vienas lapas hiperboloīda kanoniskais vienādojums

(“–” zīme var parādīties jebkuram no trim terminiem kreisajā pusē — tas tikai maina virsmas stāvokli telpā). Īpaši gadījumi ir, piemēram, vienas loksnes revolūcijas hiperboloīdi – virsma, kas iegūta, pagriežot hiperbolu ap Oza asi (hiperbolas iedomātā ass).

5. Divu lokšņu hiperboloīda kanoniskais vienādojums

(“–” zīme var parādīties priekšā jebkuram no trim terminiem kreisajā pusē).

Īpaši gadījumi ir divu lokšņu apgriezienu hiperboloīdi, piemēram, virsma, kas iegūta, pagriežot hiperbolu ap Oza asi (hiperbolas īsto asi).

6. Eliptiska paraboloīda kanoniskais vienādojums

(p >0, q >0) (1,79)

7. Hiperboliskā paraboloīda kanoniskais vienādojums

(p >0, q >0) (1,80)

(mainīgais z var mainīties vietām ar jebkuru no mainīgajiem x un y - mainīsies virsmas novietojums telpā).

Ņemiet vērā, ka priekšstatu par šo virsmu iezīmēm (formu) var viegli iegūt, apsverot šo virsmu griezumus pa plaknēm, kas ir perpendikulāras koordinātu asīm.

Kontroles jautājumi.

1) Kāda punktu kopa telpā nosaka vienādojumu?

2) Kādi ir otrās kārtas cilindru kanoniskie vienādojumi; otrās kārtas konuss; elipsoīds; vienas lapas hiperboloīds; divu lapu hiperboloīds; eliptisks paraboloīds; hiperbolisks paraboloīds?

1) Atrodiet sfēras centru un rādiusu un norādiet pareizo atbildi:

a) C(1,5;-2,5;2), ; b) C(1,5; 2,5; 2), ;

2) Nosakiet virsmas veidu, ko nosaka vienādojumi: . Norādiet pareizo atbildi:

a) vienas lapas hiperboloīds; hiperbolisks paraboloīds; eliptisks paraboloīds; konuss.

b) divu lapu hiperboloīds; hiperbolisks paraboloīds; eliptisks paraboloīds; konuss.

Telpā analītiskā ģeometrija pēta virsmas, kas noteiktas taisnstūrveida Dekarta koordinātēs ar algebriskajiem vienādojumiem, pirmkārt, otro utt. grādi attiecībā pret X,Y,Z:

Ax+By+Cz+D=0 (1)

Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)

un tā tālāk. Vienādojuma secību sauc par tā definētās virsmas secību. Mēs jau esam redzējuši, ka vienādojums pirmais pasūtījums(lineārs) (1) vienmēr norāda lidmašīna ir vienīgā pirmās kārtas virsma. Otrās kārtas virsmu jau ir daudz. Apskatīsim svarīgākos no tiem.

§2. Cilindriskas virsmas ar ģenerātrijām, kas ir paralēlas vienai no koordinātu asīm.

Pieņemsim, piemēram, XОY plaknē dota noteikta taisne L, kuras vienādojums ir F(x,y)=0 (1) . Tad taisnu līniju kopa, kas ir paralēla oz asij (ģeneratori) un iet caur punktiem uz L veido virsmu S, ko sauc par cilindriska virsma.

Parādīsim, ka vienādojums (1), kas nesatur mainīgo z, ir šīs cilindriskās virsmas S vienādojums. Ņemiet patvaļīgu punktu M(x,y,z), kas pieder pie S. Ļaujiet ģenerātoram, kas iet caur M, krustos L punktā N. Punktam N ir koordinātes N(x,y,0), tās atbilst (1) vienādojumam, jo (·)N pieder L. Bet tad koordinātas (x,y,z,) atbilst arī (1), jo tajā nav z. Tas nozīmē, ka jebkura cilindriskās virsmas S punkta koordinātas atbilst (1) vienādojumam. Tas nozīmē, ka F(x,y)=0 ir šīs cilindriskās virsmas vienādojums. Līkni L sauc ceļvedis (līkne) cilindriska virsma. Ņemiet vērā, ka telpiskajā sistēmā L kopumā kā krustojuma taisne ir jādod ar diviem vienādojumiem F(x,y)=0, z=0.

Piemēri:

Vadlīnijas Howe plaknē ir elipse, parabola, hiperbola. Acīmredzot vienādojumi F=(y,z)=0 un F(x,z)=0 definē attiecīgi cilindriskas virsmas ar ģeneratoriem, kas ir paralēli OX un OY asīm. Viņu ceļveži atrodas attiecīgi YOZ un XOZ plaknēs.

komentēt. Cilindriska virsma ne vienmēr ir otrās kārtas virsma. Piemēram, ir 3. kārtas cilindriska virsma, un vienādojums y=sin(x) norāda sinusoidālu cilindru, kuram nav piešķirta nekāda secība, tā nemaz nav algebriska virsma.

§3. Apgriezienu virsmas vienādojums.

Dažas otrās kārtas virsmas ir apgriezienu virsmas. Ļaujiet kādai līknei L F(y,z)=0(1) atrasties YOZ plaknē. Noskaidrosim, kāds būs virsmas S vienādojums, kas izveidots, pagriežot līkni (1) ap oz asi.

Ņemsim patvaļīgu punktu M(x,y,z) uz virsmas S. To var uzskatīt par iegūtu no (.) N, kas pieder pie L, tad punktu M un N aplikācijas ir vienādas (=z). Punkta N ordināta šeit ir rotācijas rādiuss, jo .Bet C(0,0,z) un tāpēc, ka . Bet punkts N atrodas uz līknes, un tāpēc tā koordinātas to apmierina. Līdzekļi (2) . Vienādojumu (2) apmierina apgriezienu virsmas S koordinātas. Tas nozīmē, ka (2) ir apgriezienu virsmas vienādojums. Zīmes “+” vai “-” tiek ņemtas atkarībā no tā, kurā YOZ plaknes līknes daļā (1) atrodas, kur y>0 vai .

Tātad, noteikums: Lai atrastu virsmas vienādojumu, kas veidojas, pagriežot līkni L ap OZ asi, līknes vienādojumā ir jāaizstāj mainīgais y

Apgriezienu virsmu vienādojumi ap OX un OY asīm tiek konstruēti līdzīgi.

Lekcija 2. Plakne kā pirmās kārtas virsma. Plakņu vienādojumi un to izpēte. Taisne telpā, taisnu līniju relatīvais novietojums telpā, plakne un taisne telpā. Taisne plaknē, taisnes vienādojumi plaknē, attālums no punkta līdz taisnei plaknē. Otrās kārtas līknes; kanonisko vienādojumu atvasināšana, vienādojumu izpēte un līkņu konstruēšana. Otrās kārtas virsmas, virsmu kanonisko vienādojumu izpēte. Sadaļas metode. 1

Analītiskās ģeometrijas elementi § 1. Plakne. Mums ir OXYZ un kāda virsma S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definīcija 1: vienādojumu ar trim mainīgajiem sauc par virsmas S vienādojumu telpā, ja šo vienādojumu apmierina katras koordinātas. punkts, kas atrodas uz virsmas un nav apmierināts ar koordinātām, neviens punkts atrodas uz tā. 2

Piemērs. Vienādojums (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) mēs definējam sfēru, kuras centrs atrodas punktā C(a, b, c) un rādiuss R. M M (x , y, z) – mainīgais punkts M ϵ (S) |CM| = R C 3

2. Definīcija: Virsmu S sauc par n-tās kārtas virsmu, ja kādā Dekarta koordinātu sistēmā tā ir dota ar n-tās pakāpes algebrisko vienādojumu F(x, y, z) = 0 (1) Piemērā (S) - aplis, otrās kārtas virsma. Ja S ir n-tās kārtas virsma, tad F(x, y, z) ir n-tās pakāpes polinoms attiecībā pret (x, y, z) Aplūkosim vienīgo 1. kārtas virsmu – plakni. Izveidosim vienādojumu plaknei, kas iet caur punktu M (x, y, z), ar normālu vektoru 4

Lai M(x, y, z) ir plaknes patvaļīgs (strāvas) punkts. M M 0 O α vai koordinātu formā: (2) Vienādojums (2) ir vienādojums plaknei, kas iet caur punktu M ar dotu normālvektoru. 5

D (*) (3) - plaknes pilnīgs vienādojums Nepilnīgs plaknes vienādojums. Ja vienādojumā (3) vairāki koeficienti (bet ne A, B, C vienlaikus) = 0, tad vienādojumu sauc par nepilnīgu un plaknei α ir pazīmes savā atrašanās vietā. Piemēram, ja D = 0, tad α iet caur sākuma punktu. 6

Attālums no punkta M 1 līdz plaknei α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 tiek piemērots punktam M 0 K 7

- attālums no punkta M 1 līdz plaknei α Plaknes vienādojums “segmentos” Izveidosim vienādojumu plaknei, kas nogriež nulles segmentus uz koordinātu asīm ar C(0, 0, c) vērtībām a, b, c. Ņemsim par vērtību B(0, b, 0) Izveidosim vienādojumu punktam A ar A(a, 0, 0) 8

-plaknes α vienādojums "segmentos" -plaknes vienādojums, kas iet caur punktu A, perpendikulāra normālajam vektoram 9

§ 2. Taisnes vispārīgais vienādojums. Taisni telpā var definēt ar 2 plakņu krustpunktu. (1) taisnes vienādojums (1) tipa sistēma definē taisni telpā, ja koeficienti A 1, B 1, C 1 vienlaikus ir neproporcionāli A 2, B 2, C 2. 10

Taisnes parametriskie un kanoniskie vienādojumi - taisnes punkta patvaļīgs punkts M M 0 Parametriskais vienādojums t - 11. parametrs

Izslēdzot t, iegūstam: - kanoniskais vienādojums Sistēma (3) nosaka materiāla punkta kustību, taisnu un vienmērīgu no sākuma pozīcijas M 0 (x 0, y 0, z 0) ar ātrumu vektora virzienā. 12

Leņķis starp taisnām līnijām telpā. Paralelitātes un perpendikularitātes nosacījumi. Lai telpā ir divas taisnes L 1, L 2, ko nosaka to kanoniskie vienādojumi: Tad uzdevums noteikt leņķi starp šīm taisnēm tiek reducēts uz leņķa noteikšanu.

to virziena vektori: Izmantojot skalārās reizinājuma definīciju un izteiksmi noteiktā skalārā reizinājuma koordinātēs un vektoru q 1 un q 2 garumos, iegūstam: 15

Taisņu l 1 un l 2 paralēlisma nosacījums atbilst q 1 un q 2 kolinearitātei, slēpjas šo vektoru koordinātu proporcionalitātē, t.i., tam ir forma: Perpendikularitātes nosacījums izriet no definīcijas skalārais reizinājums un tā vienādība ar nulli (pie cos = 0), un tam ir šāda forma: l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16

Leņķis starp taisni un plakni: nosacījumi taisnes un plaknes paralēlumam un perpendikularitātei Aplūkosim plakni P, ko definē vispārīgais vienādojums: Ax + By + Cz + D = 0, un taisni L, ko definē ar Kanoniskais vienādojums: 17

Tā kā leņķis starp taisni L un plakni P ir komplementārs leņķim starp taisnes virziena vektoru q = (l, m, n) un plaknes n = (A, B, C) normālo vektoru, , tad no skalārās reizinājuma q n = q n cos un vienādības cos = sin (= 90 -) definīcijas iegūstam: 18

Taisnes L un plaknes П paralēlisma nosacījums (ieskaitot to, ka L pieder pie П) ir ekvivalents vektoru q un n perpendikularitātes nosacījumam un tiek izteikts ar = 0 šo vektoru skalāro reizinājumu: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Taisnes L un plaknes P perpendikulitātes nosacījums ir ekvivalents vektoru n un q paralēlisma nosacījumam un tiek izteikts ar šo vektoru koordinātu proporcionalitāti: 19

Nosacījumi, lai divas taisnes piederētu vienai plaknei Divas taisnes telpā L 1 un L 2 var: 1) krustoties; 2) būt paralēli; 3) krustojas. Pirmajos divos gadījumos līnijas L 1 un L 2 atrodas vienā plaknē. Izveidosim nosacījumu, lai divas taisnes, kas noteiktas ar kanoniskiem vienādojumiem, pieder vienai plaknei: 20

Acīmredzot, lai divas norādītās līnijas piederētu vienai plaknei, ir nepieciešams un pietiekami, ka trīs vektori = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) un q 2 = (l 2, m 2, n 2), bija koplanāri, kam, savukārt, ir nepieciešams un pietiekams, ka šo trīs vektoru jauktais reizinājums = 0. 21

Ierakstot norādīto vektoru jauktos reizinājumus koordinātēs, iegūstam nepieciešamo un pietiekamu nosacījumu, lai divas taisnes L 1 un L 2 piederētu vienai plaknei: 22

Nosacījums, lai taisne piederētu plaknei Lai ir taisne un plakne Ax + Bi + Cz + D = 0. Šiem nosacījumiem ir šāda forma: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 un Al + Bm + Cn = 0, no kuriem pirmais nozīmē, ka punkts M 1(x1, y1, z 1), caur kuru iet taisne, pieder plaknei, bet otrais ir taisnes un plaknes paralēlisma nosacījums. 23

Otrās kārtas līknes. § 1. Taisnes vienādojuma jēdziens plaknē. Vienādojumu f (x, y) = 0 sauc par taisnes L vienādojumu izvēlētajā koordinātu sistēmā, ja to apmierina jebkura uz taisnes esošā punkta koordinātas un neapmierina neviena punkta koordinātas, kas uz tās neatrodas. 24

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Piemērs: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}

Līniju L sauc par n-tās kārtas līniju, ja kādā Dekarta koordinātu sistēmā tā ir dota ar n-tās pakāpes algebrisko vienādojumu attiecībā pret x un y. Mēs zinām vienīgo 1. kārtas līniju - taisni: Ax + By + D = 0 Apskatīsim 2. kārtas līknes: elipse, hiperbola, parabola. Otrās kārtas līniju vispārīgais vienādojums ir: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26

Elipses (E) definīcija. Elipse ir visu plaknes punktu kopa, attālumu summa līdz diviem fiksētiem plaknes punktiem F 1 un F 2, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība un liels attālums starp fokusiem. Apzīmēsim konstanti kā 2 a, attālumu starp fokusiem kā 2 c Nozīmēsim X asi cauri fokusiem, (a > c, a > 0, c > 0). Y ass caur fokusa attāluma vidu. Pieņemsim, ka M ir patvaļīgs elipses punkts, t M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), kur r 1, r 2 ir E fokusa 27 rādiusi.

Ierakstīsim (1) koordinātu formā: (2) Tas ir elipses vienādojums izvēlētajā koordinātu sistēmā. Vienkāršojot (2), iegūstam: b 2 = a 2 - c 2 (3) – elipses kanoniskais vienādojums. Var parādīt, ka (2) un (3) ir līdzvērtīgi: 28

Elipses formas izpēte, izmantojot kanonisko vienādojumu 1) Elipse ir 2. kārtas līkne 2) Elipses simetrija. tā kā x un y ir iekļauti (3) tikai pāra pakāpēs, tad elipsē ir 2 asis un 1 simetrijas centrs, kas izvēlētajā koordinātu sistēmā sakrīt ar izvēlētajām koordinātu asīm un punktu O. 29

3) Elipses atrašanās vieta Tas ir, viss E atrodas taisnstūra iekšpusē, kura malas ir x = ± a un y = ± b. 4) Krustojums ar asīm. A1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: elipses virsotnes C OU: B 1(0; b); B2(0; -b); Elipses simetrijas dēļ tās uzvedību (↓) ņemsim vērā tikai pirmajā ceturksnī. trīsdesmit

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Atrisinot (3) attiecībā uz y mēs iegūstam: pirmajā ceturksnī x > 0 un elipsi samazinās."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}

Hiperbola (Г) Definīcija: Г ir visu plaknes punktu kopa, attālumu starpības modulis līdz 2 fiksētiem plaknes punktiem F 1, F 2 ir nemainīga vērtība un

Vienkāršojot (1): (2) ir G kanoniskais vienādojums. (1) un (2) ir līdzvērtīgi. Hiperbolas izpēte, izmantojot kanonisko vienādojumu 1) Г ir 2. kārtas taisne 2) Г ir divas asis un viens simetrijas centrs, kas mūsu gadījumā sakrīt ar koordinātu asīm un izcelsmi. 3) Hiperbolas atrašanās vieta. 34

Hiperbola atrodas ārpus joslas starp līnijām x = a, x = -a. 4) Krustošanās punkti ar asīm. OX: OY: nav risinājumu A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – reālās virsotnes Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – iedomātās virsotnes Г 2 a – reālā ass Г 2 b – iedomātā ass Г 35

5) Hiperbolas asimptotes. Г simetrijas dēļ mēs uzskatām tās daļu pirmajā ceturksnī. Atrisinot (2) attiecībā pret y, iegūstam: vienādojumu Г pirmajā ceturksnī x ≥ 0 Aplūkosim taisni: tā kā pirmajā ceturksnī x>0, tas ir, pirmajā ceturksnī ar tādu pašu abscisu, ordinātas līnijas > ordinē atbilstošo punktu Г, t.i., pirmajā ceturksnī Г atrodas zem šīs taisnes. Viss G atrodas vertikālā leņķī ar malām 36

6) Var parādīt, ka pirmajā daļā G palielinās 7) G konstruēšanas plāns a) izveido taisnstūri 2 a, 2 b b) uzzīmē tā diagonāles c) atzīmē A 1, A 2 - raksta G un 38 reālās virsotnes. šīs filiāles

Parabola (P) Apsveriet d (virzienu) un F (fokusu) plaknē. Definīcija. П – visu plaknes punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā no taisnes d un punkta F (fokuss) 39

d-directrix F-focus XOY punkts М П tad, |MF| = |MN| (1) P vienādojums, kas izvēlēts koordinātu sistēmā. Vienkāršojot (1) iegūstam y 2 = 2 px (2) – P kanoniskais vienādojums. (1) un (2) ir ekvivalenti 40.

P pētījums, izmantojot kanonisko vienādojumu x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41

§ 4. Cilindri. Cilindriskas virsmas ar ģenerātrijām, kas ir paralēlas koordinātu asīm Caur taisnes L punktu x novelkam taisnu līniju, kas ir paralēla OZ asij. Virsmu, ko veido šīs taisnās līnijas, sauc par cilindrisku virsmu vai cilindru (C). Jebkuru taisnu līniju, kas ir paralēla OZ asij, sauc par ģenerātoru. l ir XOY plaknes cilindriskās virsmas vadotne. Z(x, y) = 0 (1) 42

Pieņemsim, ka M(x, y, z) ir cilindriskas virsmas patvaļīgs punkts. Projicēsim to uz L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 tas ir , koordinātas M atbilst (1), ir skaidrs, ka, ja M C, tad tas netiek projicēts uz punktu M 0 ϵ L un tāpēc M koordinātas neapmierinās vienādojumu (1), kas nosaka C ar ģenerātoru paralēli. uz OZ asi telpā. Līdzīgi var parādīt, ka: Ф(x, z) = 0 telpā Г || OY 43 (y, z) = 0 definē telpā C || VĒRSIS

Telpiskās līnijas projekcija uz koordinātu plaknes Taisni telpā var definēt parametriski un ar virsmu krustpunktu. To pašu līniju var definēt kā dažādu virsmu ∩. Pieņemsim, ka telpiskajai līnijai L ir dota divu virsmu α ∩: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 vienādojums L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 No (1) vienādojuma atrodam L projekciju uz plakni XOY un izslēdzam Z. Iegūstam vienādojumu: Z(x, y) = 0 – telpā tas ir vienādojums Ε ar ģeneratoru || OZ un ceļvedis L. 46

Projekcija: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Otrās kārtas virsmas Elipsoīds - virsmas kanoniskajam vienādojumam ir šāda forma: 1) Elipsoīds - otrās kārtas virsma. 2) X, Y, Z vienādojumu ievada tikai pāra pakāpēs => virsmai ir 3 plaknes un 1 simetrijas centrs, kas izvēlētajā koordinātu sistēmā sakrīt ar koordinātu plaknēm un sākuma punktu. 47

3) Elipsoīda atrašanās vieta Virsma ir norobežota starp || plaknes ar vienādojumu x = a, x = -a. Līdzīgi, t.i., visa virsma atrodas taisnstūra paralēlskaldņa iekšpusē. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Virsmu apskatīsim, izmantojot griezumu metodi - krustojot virsmu ar koordinātu plaknēm || koordinēt. Sadaļā iegūsim līnijas, pēc kuru formas spriedīsim par virsmas formu. 48

Krustosim virsmu ar XOY plakni. Sadaļā mēs iegūstam līniju. - elipse a un b – pusass Līdzīgi YOZ plaknei - elipse ar pusasīm b un c Plakne || XOY Ja h(0, c), tad elipses asis samazinās no a un b līdz 0. 49

a = b = c - sfēra Paraboloīdi a) Hiperboliskais paraboloīds - virsma ar kanonisku vienādojumu: 1) Otrās kārtas virsma 2) Tā kā x, y vienādojumā ieiet tikai pāra pakāpēs, tad virsmai ir simetrijas plaknes, kuras sakrīt noteiktai koordinātu izvēlei ar 50 plaknēm XOZ, YOZ.

3) pārbaudām virsmu, izmantojot seglu sekcijas metodi. XOZ Šķērsgriezumā parabola ir simetriska pret OZ asi, augšupejoša. pl. YOZ 51

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" apgabals ||XOY — h > 0 hiperbolu, ar reālu pusasi gar OX, h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}

b) Divu lokšņu hiperboloīds 1) otrās kārtas virsma 2) ir 3 plaknes un 1 simetrijas centrs 3) virsmas atrašanās vieta x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Virsma sastāv no divām daļām, kas atrodas ārpus sloksnes starp plaknēm ar vienādojumu x = a, x = -a 4) pētām griezumu metodi (Patstāvīgi!) 57

Otrās kārtas konuss Otrās kārtas konuss ir virsma, kuras kanoniskajam vienādojumam ir šāda forma: 1) otrās kārtas virsmai 2) ir 3 plaknes un 1 simetrijas centrs 3) mēs pētām kvadrātveida griezumu metodi. XOY 58

Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" kvadrāts ||XOY |h| –>∞ no 0 līdz ∞ kvadrātveida YOZ taisnu līniju pāris, iet cauri"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}

60

§7. Plakne kā pirmās kārtas virsma. Plaknes vispārīgais vienādojums. Vienādojums plaknei, kas iet caur doto punktu, kas ir perpendikulāra dotajam vektoram. Ieviesīsim telpā taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēmu Oxyz un aplūkosim pirmās pakāpes vienādojumu (vai lineāro vienādojumu) x, y, z: (7.1) Ax.  Pēc  Cz  D  0, A2  B2  C 2  0 . Teorēma 7.1. Jebkuru plakni var norādīt patvaļīgā taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmā ar formas (7.1) vienādojumu. Tieši tāpat kā plaknes taisnes gadījumā ir spēkā 7.1. teorēmas otrādi. Teorēma 7.2. Jebkurš formas (7.1) vienādojums definē plakni telpā. 7.1. un 7.2. teorēmas pierādīšanu var veikt līdzīgi kā 2.1., 2.2. teorēmu pierādīšanu. No 7.1. un 7.2. teorēmas izriet, ka plakne un tikai tā ir pirmās kārtas virsma. Vienādojumu (7.1) sauc par vispārējo plaknes vienādojumu. Tās  koeficienti A, B, C tiek interpretēti ģeometriski kā vektora n koordinātas, kas ir perpendikulāras plaknei, ko nosaka šis vienādojums. Šo vektoru  n(A, B, C) sauc par dotās plaknes normālo vektoru. Vienādojums (7.2) A(x  x0)  B(y  y0)  C (z  z0)  0 visām iespējamām koeficientu A, B, C vērtībām nosaka visas plaknes, kas iet caur punktu M 0 ( x0 , y0 , z0) . To sauc par plakņu kopas vienādojumu. Konkrēto vērtību A, B, C izvēle (7.2) nozīmē plaknes P izvēli no saites, kas iet caur punktu M 0 perpendikulāri dotajam vektoram n(A, B, C) (7.1. att. ). Piemērs 7.1. Uzrakstiet vienādojumu plaknei P, kas iet caur punktu   A(1, 2, 0) paralēli vektoriem a  (1, 2,–1), b  (2, 0, 1) .    Normāls vektors n uz P ir ortogonāls dotajiem vektoriem a un b (7.2. att.),   tāpēc n varam ņemt to vektora n reizinājumu: A    P i j k   1   1 1   2 n  a  b  1 2  1  i  j 2 1  k 12 0  0 1 2 0 1 n  3  a  4k. Aizstāsim att. koordinātes. 7.2. Piemēram, 7.1 P M0  punkts M 0 un vektors n vienādojumā (7.2), iegūstam att. 7.1. Plakņu saišķa P plaknes vienādojumam: 2(x  1)  3(y  2)  4z  0 vai P: 2x  3y  4z  4  0 , ja divi no koeficientiem 1. Vienādojuma (7.1) A, B, C ir vienādi ar nulli, tas norāda plakni, kas ir paralēla vienai no koordinātu plaknēm. Piemēram, kad A  B  0, C  0 – plakne P1: Cz  D  0 vai P1: z   D / C (7.3. att.). Tā ir paralēla Oxy plaknei, jo tās normālvektors  n1(0, 0, C) ir perpendikulārs šai plaknei. Ja A  C  0, B  0 vai B  C  0, A  0, vienādojums (7. 1) definē plaknes P2: Ar  D  0 un P3: Ax  D  0, paralēli koordinātu plaknēm Oxz un Oyz, jo   to normālie vektori n2(0, B, 0) un n3(A, 0) , 0 ) ir tām perpendikulāri (7.3. att.). Ja tikai viens no (7.1) vienādojuma koeficientiem A, B, C ir vienāds ar nulli, tad tas norāda plakni, kas ir paralēla vienai no koordinātu asīm (vai satur to, ja D  0). Tādējādi plakne P: Ax  By  D  0 ir paralēla Oz asij, z z  n1  n  n2 P1 L P O  n3 x y O P2 y P3 x att. 7.4. Plakne P: Ax  B y  D  0, paralēla Oz asij Fig. 7.3. Plaknes ir paralēlas koordinātu plaknēm , jo tās normālvektors n(A, B, 0) ir perpendikulārs Oz asij. Ievērojiet, ka tas iet caur taisni L: Ax  By  D  0, kas atrodas Oxy plaknē (7.4. att.). Ja D  0, vienādojums (7.1) norāda plakni, kas iet caur koordinātu sākumpunktu. Piemērs 7.2. Atrodiet parametra  vērtības, kurām vienādojums x  (2  2) y  (2    2)z    3  0 definē plakni P paralēli: a) koordinātu plaknēm; b) paralēli vienai no koordinātu asīm; c) iet caur koordinātu sākumpunktu. Rakstīsim šo vienādojumu formā x  (  2) y  (  2)(  1) z    3  0 . (7.3) Jebkurai vērtībai  vienādojums (7.3) definē noteiktu plakni, jo x, y, z koeficienti (7.3) nepazūd vienlaikus. a) Ja   0, vienādojums (7.3) definē plakni P, kas ir paralēla plaknei Oxy, P: z  3 / 2, un   2 definē plakni P 2, kas ir paralēla plaknei Oyz, P: x  5/ 2. Nevienām  vērtībām plakne P, kas definēta ar vienādojumu (7.3), nav paralēla plaknei Oxz, jo (7.3) x, z koeficienti vienlaikus nepazūd. b) Ja   1, vienādojums (7.3) definē plakni P, kas ir paralēla Oz asij, P: x  3y  2  0. Citām parametra  vērtībām tas nenosaka plakni, kas ir paralēla tikai vienai no koordinātu asīm. c)   3 vienādojums (7.3) definē plakni P, kas iet caur sākuma punktu, P: 3x  15 y  10 z  0 . ◄ 7.3. piemērs. Uzrakstiet vienādojumu plaknei P, kas iet caur: a) punktu M (1,  3, 2) paralēli plaknes asij Oxy; b) Vērša ass un punkts M (2, – 1, 3).   a) Normālajam vektoram n līdz P šeit var ņemt vektoru k (0, 0,1) - Oz ass vienības vektoru, jo tas ir perpendikulārs Oxy plaknei. Punkta  M (1,  3, 2) un vektora n koordinātas aizstāj vienādojumā (7.2), iegūstam plaknes P vienādojumu: z 3  0.   b) Normālvektors n līdz P ir ortogonāls vektoriem i (1, 0, 0) un OM (2,  1, 3) ,  tāpēc to vektorreizinājumu varam pieņemt kā n:    i j k      OM  1 0 0   j 12 03  k 12 01   3 j  k . 2 1 3  Aizvietojot punkta O koordinātas un vektoru n vienādojumā (7.2), iegūstam plaknes P vienādojumu:  3(y  0)  (z  0)  0 vai P: 3 y  z  0 .◄ 3