Mazs uzbrukuma leņķis - [A.S. Goldbergs. Angļu-krievu enerģētikas vārdnīca. 2006] Tēmas enerģētika kopumā Sinonīmi zems uzbrukuma leņķis EN negatīvs biežumsmazs biežums ...

negatīvs griešanas leņķis- - Naftas un gāzes nozares tēmas LV negatīvs griešanas leņķisnegatīvs griešanas leņķis negatīvs grābeklis ... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

birstes augšējās virsmas negatīvais slīpuma leņķis- [GOST 21888 82 (IEC 276 68, IEC 560 77)] Elektrisko rotējošo mašīnu tēmas kopumā... Tehniskā tulkotāja rokasgrāmata

spārnu leņķis Enciklopēdija "Aviācija"

spārnu leņķis- Spārnu uzstādīšanas leņķis. spārna uzstādīšanas leņķis φ0 starp spārna centrālo akordu un gaisa kuģa pamatassi (sk. attēlu). Atkarībā no lidmašīnas aerodinamiskās konfigurācijas šis leņķis var būt pozitīvs vai negatīvs. Parasti… Enciklopēdija "Aviācija"

Spārnu leņķis- leņķis (φ)0 starp spārna centrālo akordu un gaisa kuģa pamata asi. Atkarībā no lidmašīnas aerodinamiskās konfigurācijas šis leņķis var būt pozitīvs vai negatīvs. Parasti tas ir diapazonā no ―2(°) līdz +3(°). Leņķis (φ)0… … Tehnoloģiju enciklopēdija

MĀLĪŠANAS LEĶIS- (Nospiests leņķis) leņķis, ko veido pacēluma līnija (cm) ar horizontu, kad pirmais iet zem horizonta, t.i., negatīvs pacēluma leņķis. Samoilova K.I. jūras vārdnīca. M.L.: NKVMF savienības Valsts Jūras spēku izdevniecība... ... Jūras vārdnīca

OPTISKĀS ACS LEŅĶIS- akūts leņķis starp opt. asis biaksiālajās vārpstās. U. o. O. sauc par pozitīvu, ja akūtā bisektrise ir Ng, un par negatīvu, ja akūtā bisektrise ir Np (skat. Optiski biaksiāls kristāls). Patiess U. o. O. ir apzīmēts...... Ģeoloģiskā enciklopēdija

Ritentiņš (leņķis)- Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet Castor. θ ritentiņš, sarkanā līnija ir riteņa stūres ass. Attēlā ritentiņš ir pozitīvs (leņķis tiek mērīts pulksteņrādītāja virzienā, automašīnas priekšpuse atrodas kreisajā pusē) ... Wikipedia

Ritentiņš (rotācijas leņķis)- θ ritentiņš, sarkanā līnija ir riteņa stūres ass. Attēlā ritentiņš ir pozitīvs (leņķis tiek mērīts pulksteņrādītāja virzienā, automašīnas priekšpuse atrodas pa kreisi) Castor (angļu val. ritentiņš) ir automašīnas riteņa pagrieziena ass gareniskā slīpuma leņķis. Castor... ...Wikipedia

grābekļa leņķis- 3.2.9. slīpuma leņķis: leņķis starp grābekļa virsmu un pamatplakni (sk. 5. attēlu). 1 negatīvs slīpuma leņķis; 2 pozitīvs slīpuma leņķis 5. attēls. Grābekļa leņķi

Alfa apzīmē reālo skaitli. Vienādības zīme iepriekš minētajās izteiksmēs norāda, ka, ja bezgalībai pievienosi skaitli vai bezgalību, nekas nemainīsies, rezultāts būs tā pati bezgalība. Ja par piemēru ņemam bezgalīgo naturālo skaitļu kopu, tad aplūkotos piemērus var attēlot šādā formā:

Lai skaidri pierādītu, ka viņiem ir taisnība, matemātiķi nāca klajā ar daudzām dažādām metodēm. Personīgi es uz visām šīm metodēm skatos kā uz šamaņiem, kas dejo ar tamburīnām. Būtībā tie visi ir saistīti ar faktu, ka vai nu dažas telpas ir neapdzīvotas un ievācas jauni viesi, vai arī daži apmeklētāji tiek izmesti gaitenī, lai atbrīvotu vietu viesiem (ļoti cilvēciski). Es izklāstīju savu skatījumu uz šādiem lēmumiem kā fantāzijas stāstu par Blondīni. Uz ko balstās mans arguments? Bezgalīgi liela apmeklētāju skaita pārvietošana prasa bezgalīgi daudz laika. Kad esam atbrīvojuši pirmo istabu kādam viesim, kāds no apmeklētājiem vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo līdz pat laika beigām. Protams, laika faktoru var muļķīgi ignorēt, bet tas būs kategorijā "neviens likums nav rakstīts muļķiem". Tas viss ir atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti matemātiskām teorijām vai otrādi.

Kas ir “bezgalīga viesnīca”? Bezgalīga viesnīca ir viesnīca, kurā vienmēr ir neierobežots skaits tukšu gultu neatkarīgi no aizņemto numuru skaita. Ja visas telpas bezgalīgajā "apmeklētāju" koridorā ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs koridors ar "viesu" istabām. Tādu koridoru būs bezgalīgi daudz. Turklāt “bezgalīgajai viesnīcai” ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgā daudzumā ēku uz bezgalīgi daudzām planētām bezgalīgā skaitā visumu, ko radījis bezgalīgs skaits dievu. Matemātiķi nespēj distancēties no banālām ikdienas problēmām: vienmēr ir tikai viens Dievs-Allāhs-Buda, ir tikai viena viesnīca, ir tikai viens koridors. Tāpēc matemātiķi mēģina žonglēt ar viesnīcu numuru sērijas numuriem, pārliecinot mūs, ka ir iespējams "iegrūst neiespējamo".

Es jums parādīšu sava argumentācijas loģiku, izmantojot bezgalīgas naturālu skaitļu kopas piemēru. Vispirms jums jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik naturālo skaitļu kopu ir - viens vai vairāki? Uz šo jautājumu nav pareizas atbildes, jo mēs paši izdomājām skaitļus. Jā, Daba lieliski prot skaitīt, taču šim nolūkam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Es jums pastāstīšu, ko Daba domā citreiz. Tā kā mēs izdomājām skaitļus, mēs paši izlemsim, cik naturālo skaitļu kopu ir. Apsvērsim abus variantus, kā jau īstiem zinātniekiem pienākas.

Pirmais variants. “Lai mums tiek dota” viena naturālu skaitļu kopa, kas mierīgi atrodas plauktā. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Tas tā, citu naturālu skaitļu plauktā nav palicis un nav kur ņemt. Mēs nevaram to pievienot šim komplektam, jo ​​mums tas jau ir. Ko darīt, ja jūs patiešām vēlaties? Nekādu problēmu. Varam paņemt vienu no jau paņemtā komplekta un atdot plauktā. Pēc tam varam paņemt vienu no plaukta un pievienot tam, kas mums ir palicis. Rezultātā mēs atkal iegūsim bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Visas mūsu veiktās manipulācijas varat pierakstīt šādi:

Darbības pierakstīju algebriskajā un kopu teorijas pierakstā, detalizēti uzskaitot kopas elementus. Apakšraksts norāda, ka mums ir viena un vienīgā naturālo skaitļu kopa. Izrādās, ka naturālo skaitļu kopa paliks nemainīga tikai tad, ja no tās atņem vienu un saskaita to pašu vienību.

Otrais variants. Mūsu plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Uzsveru - ATŠĶIRĪGI, neskatoties uz to, ka praktiski nav atšķirami. Ņemsim vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no citas naturālo skaitļu kopas un pievienojam jau ņemtajai kopai. Mēs pat varam pievienot divas naturālo skaitļu kopas. Tas ir tas, ko mēs iegūstam:

Apakšraksti "viens" un "divi" norāda, ka šie elementi piederēja dažādām kopām. Jā, ja bezgalīgai kopai pievienosit vienu, rezultāts būs arī bezgalīga kopa, taču tā nebūs tāda pati kā sākotnējā kopa. Ja vienai bezgalīgai kopai pievienojat vēl vienu bezgalīgu kopu, rezultāts ir jauna bezgalīga kopa, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.

Naturālo skaitļu kopa tiek izmantota skaitīšanai tāpat kā lineāls mērīšanai. Tagad iedomājieties, ka lineālam pievienojāt vienu centimetru. Šī būs cita līnija, kas nav vienāda ar sākotnējo.

Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu argumentāciju - tā ir jūsu pašu darīšana. Bet, ja jūs kādreiz saskaraties ar matemātiskām problēmām, padomājiet par to, vai ejat nepareizas spriešanas takas, ko staigājušas matemātiķu paaudzes. Galu galā matemātikas studijas, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu un tikai pēc tam papildina mūsu garīgās spējas (vai, gluži pretēji, atņem mums brīvdomību).

Svētdien, 2019. gada 4. augustā

Es pabeidzu pēcskriptu rakstam par un ieraudzīju šo brīnišķīgo tekstu Vikipēdijā:

Mēs lasām: "... bagātajai Babilonas matemātikas teorētiskajai bāzei nebija holistiska rakstura, un tā tika samazināta līdz atšķirīgu paņēmienu kopumam, kam nebija kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes."

Oho! Cik mēs esam gudri un cik labi spējam saskatīt citu trūkumus. Vai mums ir grūti aplūkot mūsdienu matemātiku tādā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, es personīgi saņēmu sekojošo:

Mūsdienu matemātikas bagātīgā teorētiskā bāze nav holistiska un ir reducēta uz atšķirīgu sadaļu kopumu, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.

Es neiešu tālu, lai apstiprinātu savus vārdus – tai ir valoda un noteikumi, kas atšķiras no daudzu citu matemātikas nozaru valodas un konvencijām. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas nozarēs var būt dažādas nozīmes. Es vēlos veltīt veselu virkni publikāciju mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu redzēšanos.

Sestdien, 2019. gada 3. augustā

Kā kopu sadalīt apakškopās? Lai to izdarītu, jums jāievada jauna mērvienība, kas atrodas dažos atlasītās kopas elementos. Apskatīsim piemēru.

Lai mums ir daudz A kas sastāv no četriem cilvēkiem. Šī kopa ir veidota, pamatojoties uz "cilvēkiem". Apzīmēsim šīs kopas elementus ar burtu A, apakšindekss ar numuru norādīs katras personas sērijas numuru šajā komplektā. Ieviesīsim jaunu mērvienību "dzimums" un apzīmēsim to ar burtu b. Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu A pamatojoties uz dzimumu b. Ievērojiet, ka mūsu “cilvēku” kopums tagad ir kļuvis par “cilvēku ar dzimuma īpašībām” kopu. Pēc tam mēs varam sadalīt seksuālās īpašības vīriešiem bm un sieviešu bw seksuālās īpašības. Tagad mēs varam izmantot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm seksuālajām pazīmēm neatkarīgi no tā, kura - vīrietis vai sieviete. Ja cilvēkam ir, tad reizinām ar vienu, ja tādas zīmes nav, tad ar nulli. Un tad mēs izmantojam parasto skolas matemātiku. Paskaties, kas notika.

Pēc reizināšanas, samazināšanas un pārkārtošanas mēs nonācām pie divām apakškopām: vīriešu apakškopas Bm un sieviešu apakškopa Bw. Matemātiķi spriež aptuveni tādā pašā veidā, kad viņi praksē pielieto kopu teoriju. Bet viņi mums nestāsta detaļas, bet sniedz mums gatavo rezultātu - "daudzi cilvēki sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas." Protams, jums var rasties jautājums: cik pareizi matemātika ir izmantota iepriekš aprakstītajās transformācijās? Es uzdrošinos apliecināt, ka būtībā viss tika izdarīts pareizi, pietiek zināt aritmētikas, Būla algebras un citu matemātikas nozaru matemātisko pamatu. Kas tas ir? Citreiz par to pastāstīšu.

Kas attiecas uz superkopām, varat apvienot divas kopas vienā superkopā, atlasot šo divu kopu elementos esošo mērvienību.

Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika padara kopu teoriju par pagātnes reliktu. Pazīme, ka ar kopu teoriju viss nav kārtībā, ir tas, ka matemātiķi ir nākuši klajā ar savu valodu un apzīmējumu kopu teorijai. Matemātiķi rīkojās kā kādreiz šamaņi. Tikai šamaņi zina, kā “pareizi” pielietot savas “zināšanas”. Viņi mums māca šīs "zināšanas".

Nobeigumā es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē .

Pirmdiena, 2019. gada 7. janvāris

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir “Ahileja un bruņurupuča” aporija. Lūk, kā tas izklausās:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs noskrien simts soļus, bruņurupucis rāpo vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja Zenona aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās līdz pat šai dienai zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas; ; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, no kā sastāv maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no kvantitātes uz . Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis pastāvīgus. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, domāšanas inerces dēļ, abpusējai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika palēnināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja pagriežam savu ierasto loģiku otrādi, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu “bezgalība”, tad būtu pareizi teikt: “Ahillejs bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci”.

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vienībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma neatvairāmību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai “Ahillejs un bruņurupucis”. Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu, vai automašīna pārvietojas, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienā brīdī uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, bet no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs ). Īpaši gribu pievērst uzmanību tam, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajag jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.

Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs

Es jums jau teicu, ar kuras palīdzību šamaņi mēģina sakārtot ““ realitāti. Kā viņi to dara? Kā patiesībā notiek kopas veidošanās?

Sīkāk aplūkosim kopas definīciju: "dažādu elementu kolekcija, kas iecerēta kā vienots veselums". Tagad jūtiet atšķirību starp divām frāzēm: "iedomājams kopumā" un "iedomājams kā veselums". Pirmā frāze ir gala rezultāts, komplekts. Otrā frāze ir iepriekšēja sagatavošanās pūļa veidošanai. Šajā posmā realitāte tiek sadalīta atsevišķos elementos (“veselumā”), no kuriem tad veidosies daudzums (“vienotais veselums”). Tajā pašā laikā tiek rūpīgi uzraudzīts faktors, kas ļauj apvienot “veselumu” “vienā veselumā”, pretējā gadījumā šamaņiem tas neizdosies. Galu galā šamaņi jau iepriekš precīzi zina, kādu komplektu viņi vēlas mums parādīt.

Es jums parādīšu procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies “sarkano cietvielu pūtītē” - tas ir mūsu “viss”. Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku, un ir bez loka. Pēc tam mēs atlasām daļu no “veseluma” un veidojam komplektu “ar loku”. Šādi šamaņi iegūst ēdienu, saistot savu kopu teoriju ar realitāti.

Tagad veiksim nelielu triku. Ņemsim “cieto ar pūtīti ar banti” un apvienosim šos “veselumus” pēc krāsas, izvēloties sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz "sarkano". Tagad pēdējais jautājums: vai iegūtie komplekti “ar loku” un “sarkanais” ir viens un tas pats komplekts vai divi dažādi komplekti? Atbildi zina tikai šamaņi. Precīzāk, viņi paši neko nezina, bet kā saka, tā būs.

Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopu teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs izveidojām komplektu "sarkans ciets ar pūtīti un loku". Veidošana notika četrās dažādās mērvienībās: krāsa (sarkana), stiprība (ciets), raupjums (pūtīte), dekorēšana (ar banti). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālus objektus matemātikas valodā. Tas izskatās šādi.

Burts "a" ar dažādiem indeksiem apzīmē dažādas mērvienības. Mērvienības, ar kurām sākotnējā posmā tiek atšķirts “veselais”, ir izceltas iekavās. Mērvienība, pēc kuras tiek veidota kopa, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā redzams gala rezultāts – komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam mērvienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejas ar tamburīnām. Šamaņi var “intuitīvi” nonākt pie tāda paša rezultāta, apgalvojot, ka tas ir “acīmredzams”, jo mērvienības neietilpst viņu “zinātniskajā” arsenālā.

Izmantojot mērvienības, ir ļoti viegli sadalīt vienu komplektu vai apvienot vairākas kopas vienā supersetā. Apskatīsim tuvāk šī procesa algebru.

Sestdien, 2018. gada 30. jūnijā

Ja matemātiķi nevar reducēt jēdzienu uz citiem jēdzieniem, tad viņi neko nesaprot no matemātikas. Es atbildu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Atbilde ir ļoti vienkārša: skaitļi un mērvienības.

Mūsdienās viss, ko mēs neņemam, pieder kādai kopai (kā mums apliecina matemātiķi). Starp citu, vai jūs spogulī uz pieres redzējāt sarakstu ar tiem komplektiem, kuriem piederat? Un es tādu sarakstu neesmu redzējis. Teikšu vēl - ne vienai lietai patiesībā ir birka ar komplektu sarakstu, pie kuriem šī lieta pieder. Visi komplekti ir šamaņu izgudrojumi. Kā viņi to dara? Ieskatīsimies nedaudz dziļāk vēsturē un redzēsim, kā izskatījās kopas elementi, pirms matemātiķu šamaņi tos ņēma savās kopās.

Sen, kad neviens nebija dzirdējis par matemātiku un tikai kokiem un Saturnam bija gredzeni, fiziskajos laukos klīda milzīgi savvaļas kopu elementu bari (galu galā šamaņi vēl nebija izgudrojuši matemātiskos laukus). Viņi izskatījās apmēram šādi.

Jā, nebrīnieties, no matemātikas viedokļa visi komplektu elementi visvairāk līdzinās jūras ežiem - no viena punkta, piemēram, adatas, mērvienības izceļas visos virzienos. Tiem, kas atgādinu, ka jebkuru mērvienību var ģeometriski attēlot kā patvaļīga garuma segmentu un skaitli kā punktu. Ģeometriski jebkuru daudzumu var attēlot kā segmentu kopumu, kas no viena punkta izceļas dažādos virzienos. Šis punkts ir nulles punkts. Es nezīmēšu šo ģeometriskās mākslas darbu (bez iedvesmas), bet jūs to varat viegli iedomāties.

Kādas mērvienības veido kopas elementu? Visādas lietas, kas raksturo doto elementu no dažādiem skatu punktiem. Tās ir senas mērvienības, kuras izmantoja mūsu senči un par kurām visi jau sen ir aizmirsuši. Šīs ir mūsdienu mērvienības, kuras mēs izmantojam tagad. Tās ir arī mums nezināmas mērvienības, kuras izdomās mūsu pēcteči un kuras izmantos, lai aprakstītu realitāti.

Mēs esam sakārtojuši ģeometriju – piedāvātajam komplekta elementu modelim ir skaidrs ģeometriskais attēlojums. Kā ar fiziku? Mērvienības ir tieša saikne starp matemātiku un fiziku. Ja šamaņi neatzīst mērvienības kā pilnvērtīgu matemātisko teoriju elementu, tā ir viņu problēma. Es personīgi nevaru iedomāties reālo matemātikas zinātni bez mērvienībām. Tāpēc jau stāsta par kopu teoriju sākumā es runāju par to, ka tā ir akmens laikmetā.

Bet pāriesim uz interesantāko - kopu elementu algebru. Algebriski jebkurš kopas elements ir dažādu daudzumu reizinājums (reizināšanas rezultāts).

Es apzināti neesmu izmantojis kopu teorijas konvencijas, jo mēs aplūkojam kopas elementu tās dabiskajā vidē pirms kopu teorijas parādīšanās. Katrs burtu pāris iekavās apzīmē atsevišķu daudzumu, kas sastāv no cipara, kas apzīmēts ar burtu " n" un mērvienība, kas apzīmēta ar burtu " a". Indeksi blakus burtiem norāda, ka skaitļi un mērvienības ir atšķirīgi. Viens komplekta elements var sastāvēt no bezgala daudzu daudzumu (cik mums un mūsu pēcnācējiem pietiek iztēles). Katra iekava ir ģeometriski attēlota kā atsevišķs segments Piemērā ar jūras ežu viens kronšteins ir viena adata.

Kā šamaņi veido komplektus no dažādiem elementiem? Faktiski pēc mērvienībām vai skaitļiem. Neko nesaprotot no matemātikas, viņi paņem dažādus jūras ežus un rūpīgi tos apskata, meklējot to vienīgo adatu, pa kuru tie veido kopumu. Ja tāda adata ir, tad šis elements pieder komplektam, ja tādas nav, tad šis elements nav no šī komplekta. Šamaņi mums stāsta fabulas par domāšanas procesiem un kopumu.

Kā jūs, iespējams, uzminējāt, viens un tas pats elements var piederēt ļoti dažādām kopām. Tālāk es jums parādīšu, kā veidojas kopas, apakškopas un citas šamaniskas nejēdzības. Kā redzat, “kopā nevar būt divi identiski elementi”, bet, ja komplektā ir identiski elementi, šādu kopu sauc par “multisetu”. Saprātīgas būtnes nekad nesapratīs tik absurdu loģiku. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kuriem nav saprāta no vārda “pilnīgi”. Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.

Kādreiz tiltu būvējušie inženieri, testējot tiltu, atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, viduvējs inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts varēja izturēt slodzi, talantīgais inženieris uzbūvēja citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "piedomājiet pie manis, es esmu mājā" vai drīzāk, "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.

Ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, izsniedzam algas. Tātad matemātiķis nāk pie mums par savu naudu. Mēs viņam noskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās ievietojam viena un tā paša nomināla banknotes. Pēc tam mēs paņemam vienu rēķinu no katras kaudzes un dodam matemātiķim viņa "matemātisko algas kopu". Paskaidrosim matemātiķim, ka atlikušos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, derēs deputātu loģika: “Uz citiem to var attiecināt, bet uz mani nē!” Tad viņi sāks mūs pārliecināt, ka viena un tā paša nomināla vekseļiem ir dažādi vekseļu numuri, kas nozīmē, ka tos nevar uzskatīt par vienādiem elementiem. Labi, skaitīsim algas monētās – uz monētām nav skaitļu. Šeit matemātiķis sāks izmisīgi atcerēties fiziku: dažādās monētās ir atšķirīgs netīrumu daudzums, kristāla struktūra un atomu izvietojums katrai monētai ir unikāls...

Un tagad man ir interesantākais jautājums: kur ir tā robeža, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē – visu izlemj šamaņi, zinātne te pat ne tuvu nemelo.

Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukuma laukumu. Lauku platības ir vienādas – tas nozīmē, ka mums ir multikopa. Bet, ja paskatāmies uz šo pašu stadionu nosaukumiem, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa ir gan kopa, gan multikopa. Kura ir pareiza? Un te matemātiķis-šamanis-sharpis izvelk no piedurknes trumpju dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par setu, vai par multisetu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, saistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez "iedomājams kā viens veselums" vai "nav iedomājams kā vienots veselums".

Kustības rādiusa vektora rotāciju pretēji pulksteņrādītāja virzienam sauksim par pozitīvu, bet pretējā virzienā (pulksteņrādītāja virzienā) par negatīvu. Leņķis, ko raksturo kustīgā rādiusa vektora negatīvā rotācija, tiks saukts par negatīvu leņķi.

Noteikums. Leņķi mēra ar pozitīvu skaitli, ja tas ir pozitīvs, un negatīvu skaitli, ja tas ir negatīvs.

Piemērs 1. Attēlā. 80 parādīti divi leņķi ar kopīgu sākuma malu OA un kopīgu beigu malu OD: viens ir vienāds ar +270°, otrs -90°.

Divu leņķu summa. Koordinātu plaknē Oxy aplūkosim apli ar vienības rādiusu, kura centrs atrodas sākuma punktā (81. att.).

Ļaujiet iegūt patvaļīgu leņķi a (pozitīvs zīmējumā) noteikta kustīgā rādiusa vektora rotācijas rezultātā no tā sākuma stāvokļa OA, kas sakrīt ar Ox ass pozitīvo virzienu, līdz tā gala pozīcijai.

Tagad pieņemsim rādiusa vektora OE pozīciju kā sākotnējo un no tā noliksim patvaļīgu leņķi (zīmējumā pozitīvs), ko iegūstam, pagriežot noteiktu kustīgā rādiusa vektoru no sākotnējā stāvokļa OE uz savu gala pozīcija OS. Šo darbību rezultātā iegūsim leņķi, ko sauksim par leņķu summu a un . (kustīgā rādiusa vektora OA sākotnējā pozīcija, rādiusa vektora OS beigu pozīcija.)

Atšķirība starp diviem leņķiem.

Ar divu leņķu a un starpību, ko apzīmējam, sapratīsim trešo leņķi y, kas summējot ar leņķi dod leņķi a, t.i., ja divu leņķu starpību var interpretēt kā leņķu a un summu. Faktiski kopumā jebkuram leņķim to summu mēra ar reālo skaitļu algebrisko summu, kas mēra šos leņķus.

Piemērs 2. tad .

3. piemērs. Leņķis , un leņķis . To summa.

Formulā (95.1) tika pieņemts, ka - jebkurš nenegatīvs vesels skaitlis. Ja pieņemam, ka tas ir jebkurš vesels skaitlis (pozitīvs, negatīvs vai nulle), tad izmantojot formulu

kur var rakstīt jebkuru leņķi, gan pozitīvu, gan negatīvu.

4. piemērs. Leņķi, kas vienāds ar -1370°, var uzrakstīt šādi:

Ņemiet vērā, ka visiem leņķiem, kas rakstīti, izmantojot formulu (96.1), ar dažādām vērtībām , bet vienādi a, ir kopīga sākotnējā (OA) un beigu (OE) mala (79. attēls). Tāpēc jebkura leņķa konstrukcija tiek samazināta līdz atbilstošā nenegatīvā leņķa konstrukcijai, kas ir mazāka par 360°. Attēlā 79 leņķi neatšķiras viens no otra, tie atšķiras tikai ar rādiusa vektora rotācijas procesu, kas noveda pie to veidošanās.

Pēdējā nodarbībā veiksmīgi apguvām (vai atkārtojām, atkarībā no tā, kurš) visas trigonometrijas pamatjēdzienus. Šis trigonometriskais aplis , leņķis uz apļa , šī leņķa sinuss un kosinuss , un arī apguva trigonometrisko funkciju pazīmes pa ceturtdaļām . Mēs to sīki apguvām. Uz pirkstiem, varētu teikt.

Bet ar to vēl nepietiek. Lai veiksmīgi pielietotu visus šos vienkāršos jēdzienus praksē, mums ir nepieciešama vēl viena noderīga prasme. Proti, pareizais darbs ar stūriem trigonometrijā. Bez šīs trigonometrijas prasmes nekādi nevar iztikt. Pat primitīvākajos piemēros. Kāpēc? Jā, jo leņķis ir galvenais darbības rādītājs visā trigonometrijā! Nē, ne trigonometriskās funkcijas, ne sinusa ar kosinusu, ne tangensu ar kotangensu, proti pats stūris. Ja nav leņķa, tas nozīmē, ka nav trigonometrisku funkciju, jā...

Kā strādāt ar leņķiem uz apļa? Lai to izdarītu, mums ir stingri jāsatver divi punkti.

1) Kā Vai leņķus mēra uz apļa?

2) Kas vai tās tiek skaitītas (izmērītas)?

Atbilde uz pirmo jautājumu ir šodienas nodarbības tēma. Mēs šeit un tagad sīki izskatīsim pirmo jautājumu. Uz otro jautājumu es šeit atbildi nesniegšu. Jo tas ir diezgan attīstīts. Tāpat kā pats otrais jautājums ir ļoti slidens, jā.) Es vēl neiedziļināšos. Šī ir nākamās atsevišķās nodarbības tēma.

Sāksim?

Kā tiek mērīti leņķi uz apļa? Pozitīvie un negatīvie leņķi.

Tiem, kas izlasa rindkopas nosaukumu, jau var mati stāvus stāvus. Kā tā?! Negatīvie leņķi? Vai tas vispār ir iespējams?

Uz negatīvu cipariem Mēs jau esam pieraduši. Mēs varam tos attēlot uz skaitļu ass: pa labi no nulles ir pozitīvi, pa kreisi no nulles ir negatīvi. Jā, un mēs periodiski skatāmies uz termometru ārpus loga. Īpaši ziemā, aukstumā.) Un nauda telefonā ir mīnusā (t.i. nodoklis) dažreiz viņi aiziet. Tas viss ir pazīstams.

Kā ar stūriem? Izrādās, ka negatīvie leņķi matemātikā ir arī tādi! Viss atkarīgs no tā, kā izmērīt tieši šo leņķi... nē, nevis uz skaitļa līnijas, bet gan no skaitļa apļa! Tas ir, uz apļa. Aplis - lūk, trigonometrijas skaitļu līnijas analogs!

Tātad, Kā tiek mērīti leņķi uz apļa? Mēs neko nevaram darīt, mums vispirms būs jānozīmē šis aplis.

Es uzzīmēšu šo skaisto attēlu:

Tas ir ļoti līdzīgs bildēm no pēdējās nodarbības. Ir asis, ir aplis, ir leņķis. Taču ir arī jauna informācija.

Uz asīm pievienoju arī skaitļus 0°, 90°, 180°, 270° un 360°. Tagad tas ir interesantāk.) Kādi skaitļi tie ir? Pa labi! Šīs ir leņķa vērtības, kas mērītas no mūsu fiksētās puses, kas krīt uz koordinātu asīm. Mēs atceramies, ka leņķa fiksētā puse vienmēr ir cieši saistīta ar pozitīvo pusass OX. Un jebkurš trigonometrijas leņķis tiek mērīts precīzi no šīs pusass. Šis pamata sākumpunkts leņķiem ir stingri jāpatur prātā. Un asis – tās krustojas taisnā leņķī, vai ne? Tātad katrā ceturksnī pievienojam 90°.

Un vēl pievienots sarkanā bultiņa. Ar plusu. Sarkanais ir speciāli, lai krīt acīs. Un tas ir labi iespiedies manā atmiņā. Jo tas ir uzticami jāatceras.) Ko nozīmē šī bultiņa?

Tātad izrādās, ka, ja mēs pagriežam savu stūri gar bultiņu ar plusu(pretēji pulksteņrādītāja virzienam, atbilstoši ceturkšņu numerācijai), tad leņķis tiks uzskatīts par pozitīvu! Attēlā kā piemērs parādīts +45° leņķis. Starp citu, lūdzu, ņemiet vērā, ka arī aksiālie leņķi 0°, 90°, 180°, 270° un 360° tiek pārtīti pozitīvā virzienā! Sekojiet sarkanajai bultiņai.

Tagad apskatīsim citu attēlu:

Šeit gandrīz viss ir vienāds. Ir numurēti tikai leņķi uz asīm otrādi. Pulksteņrādītāja virzienā. Un tiem ir mīnusa zīme.) Joprojām zīmēts zila bultiņa. Arī ar mīnusu. Šī bultiņa ir apļa negatīvo leņķu virziens. Viņa mums to parāda, ja mēs atliksim savu stūri pulksteņrādītāja virzienā, Tas leņķis tiks uzskatīts par negatīvu. Piemēram, es parādīju -45° leņķi.

Starp citu, lūdzu, ņemiet vērā, ka ceturkšņu numerācija nekad nemainās! Nav svarīgi, vai mēs pārvietojam leņķus uz plusu vai mīnusu. Vienmēr stingri pretēji pulksteņrādītāja virzienam.)

Atcerieties:

1. Leņķu sākumpunkts ir no pozitīvās pusass OX. Pēc pulksteņa – “mīnuss”, pret pulksteni – “pluss”.

2. Ceturtdaļu numerācija vienmēr ir pretēji pulksteņrādītāja virzienam, neatkarīgi no virziena, kurā tiek aprēķināti leņķi.

Starp citu, leņķu marķēšana uz asīm 0°, 90°, 180°, 270°, 360°, katru reizi zīmējot apli, nemaz nav obligāta. Tas tiek darīts tikai tāpēc, lai saprastu būtību. Bet šiem skaitļiem jābūt klāt Tavā galvā risinot jebkuru trigonometrijas uzdevumu. Kāpēc? Jā, jo šīs pamatzināšanas sniedz atbildes uz tik daudziem citiem jautājumiem visā trigonometrijā! Vissvarīgākais jautājums ir Kurā ceturksnī iekrīt mūs interesējošais leņķis? Tici vai nē, pareizi atbildot uz šo jautājumu, tiek atrisināta lauvas tiesa no visām pārējām trigonometrijas problēmām. Mēs nodarbosimies ar šo svarīgo uzdevumu (leņķu sadalīšanu ceturtdaļās) tajā pašā nodarbībā, bet nedaudz vēlāk.

Jāatceras leņķu vērtības, kas atrodas uz koordinātu asīm (0°, 90°, 180°, 270° un 360°)! Atcerieties to stingri, līdz tas kļūst automātiski. Un gan pluss, gan mīnuss.

Bet no šī brīža sākas pirmie pārsteigumi. Un kopā ar tiem, man adresēti viltīgi jautājumi, jā...) Kas notiek, ja uz apļa ir negatīvs leņķis sakrīt ar pozitīvo? Izrādās, ka tas pats punkts uz apļa var apzīmēt gan ar pozitīvu, gan ar negatīvu leņķi???

Pilnīga taisnība! Tā ir taisnība.) Piemēram, pozitīvs leņķis +270° aizņem apli tāda pati situācija , tas pats, kas negatīvs leņķis -90°. Vai, piemēram, apļa pozitīvs leņķis ir +45° tāda pati situācija , tāds pats kā negatīvais leņķis -315°.

Mēs skatāmies uz nākamo zīmējumu un redzam visu:

Tādā pašā veidā pozitīvs leņķis +150° kritīsies tajā pašā vietā, kur negatīvs leņķis -210°, pozitīvs leņķis +230° kritīs tajā pašā vietā kā negatīvs leņķis -130°. Un tā tālāk…

Un tagad ko es varu darīt? Kā tieši skaitīt leņķus, ja var tā un šitā? Kura ir pareiza?

Atbilde: visādā ziņā pareizi! Matemātika neaizliedz nevienu no diviem leņķu skaitīšanas virzieniem. Un konkrēta virziena izvēle ir atkarīga tikai no uzdevuma. Ja uzdevumā vienkāršā tekstā nekas nav teikts par leņķa zīmi (piemēram, "definējiet lielāko negatīvs stūris" utt.), tad strādājam ar mums ērtākajiem leņķiem.

Protams, piemēram, tādās foršās tēmās kā trigonometriskie vienādojumi un nevienādības, leņķa aprēķina virziens var ļoti ietekmēt atbildi. Un attiecīgajās tēmās mēs apsvērsim šīs nepilnības.

Atcerieties:

Jebkuru apļa punktu var apzīmēt ar pozitīvu vai negatīvu leņķi. Jebkurš! Ko vien vēlamies.

Tagad padomāsim par šo. Mēs noskaidrojām, ka 45° leņķis ir tieši tāds pats kā -315° leņķis? Kā es uzzināju par šiem pašiem 315° ? Vai jūs nevarat uzminēt? Jā! Ar pilnu rotāciju.) 360°. Mums ir 45° leņķis. Cik ilgs laiks nepieciešams, lai pabeigtu pilnu revolūciju? Atņemiet 45° no 360° - Tātad mēs iegūstam 315° . Pārvietojieties negatīvā virzienā, un mēs iegūstam leņķi -315 °. Joprojām nav skaidrs? Pēc tam vēlreiz apskatiet iepriekš redzamo attēlu.

Un tas vienmēr jādara, pārvēršot pozitīvos leņķus uz negatīviem (un otrādi) - uzzīmējiet apli, atzīmējiet aptuveni dotajā leņķī mēs aprēķinām, cik grādu trūkst, lai pabeigtu pilnu apgriezienu, un pārvieto iegūto starpību pretējā virzienā. Tas ir viss.)

Kā jūs domājat, kas vēl ir interesants leņķos, kas ieņem tādu pašu pozīciju uz apļa? Un tas, ka pie tādiem stūriem tieši tas pats sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss! Vienmēr!

Piemēram:

Sin45° = grēks (-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Bet tas ir ārkārtīgi svarīgi! Par ko? Jā, visi par vienu un to pašu!) Lai vienkāršotu izteicienus. Tā kā izteiksmju vienkāršošana ir galvenā procedūra veiksmīgam risinājumam jebkura matemātikas uzdevumi. Un arī trigonometrijā.

Tātad, mēs izdomājām vispārīgo noteikumu leņķu skaitīšanai aplī. Nu, ja mēs sākām runāt par pilniem pagriezieniem, par ceturtdaļas pagriezieniem, tad ir pienācis laiks pagriezt un uzzīmēt šos stūrus. zīmēsim?)

Sāksim ar pozitīvs stūriem Tos būs vieglāk zīmēt.

Mēs zīmējam leņķus viena apgrieziena robežās (no 0° līdz 360°).

Zīmēsim, piemēram, 60° leņķi. Šeit viss ir vienkārši, bez problēmām. Zīmējam koordinātu asis un apli. To var izdarīt tieši ar roku, bez kompasa vai lineāla. Zīmējam shematiski: Mēs nezīmējam ar jums. Jums nav jāievēro nekādi GOST, jūs netiksiet sodīti.)

Jūs varat (pats sev) atzīmēt leņķa vērtības uz asīm un norādīt bultiņu virzienā pret pulksteni. Galu galā mēs ietaupīsim kā plusu?) Jums tas nav jādara, bet jums viss ir jāpatur savā galvā.

Un tagad mēs uzzīmējam stūra otro (kustīgo) pusi. Kurā ceturksnī? Pirmajā, protams! Tā kā 60 grādi ir stingri starp 0° un 90°. Tāpēc pirmajā ceturtdaļā mēs neizšķirti. Leņķī aptuveni 60 grādi uz fiksēto pusi. Kā skaitīt aptuveni 60 grādi bez transportiera? Viegli! 60° ir divas trešdaļas taisnā leņķa! Apļa pirmo velnu mentāli sadalām trīs daļās, divas trešdaļas paņemot sev. Un mēs zīmējam... Cik daudz mēs tur saņemam (ja pievieno transportieri un mēra) - 55 grādi vai 64 - tas nav svarīgi! Ir svarīgi, lai tas kaut kur joprojām būtu apmēram 60°.

Mēs iegūstam attēlu:

Tas ir viss. Un nekādi instrumenti nebija vajadzīgi. Attīstīsim savu aci! Tas noderēs ģeometrijas problēmās.) Šis neizskatīgais zīmējums ir neaizstājams, ja nepieciešams ātri uzskricelēt apli un leņķi, īsti nedomājot par skaistumu. Bet tajā pašā laikā skricelēt Pa labi, bez kļūdām, ar visu nepieciešamo informāciju. Piemēram, kā palīglīdzekli trigonometrisko vienādojumu un nevienādību risināšanā.

Tagad zīmēsim leņķi, piemēram, 265°. Izdomāsim, kur tas varētu atrasties? Ir skaidrs, ka ne pirmajā ceturksnī un pat ne otrajā: tie beidzas 90 un 180 grādos. Varat saprast, ka 265° ir 180° plus vēl 85°. Tas ir, negatīvajai pusass OX (kur 180°) ir jāpievieno aptuveni 85°. Vai, vēl vienkāršāk, uzminiet, ka 265° nesasniedz negatīvo pusass OY (kur ir 270°) daži neveiksmīgi 5°. Īsāk sakot, trešajā ceturtdaļā būs šāds leņķis. Ļoti tuvu negatīvajai pusass OY, līdz 270 grādiem, bet tomēr trešajā!

Zīmēsim:

Šeit atkal nav nepieciešama absolūta precizitāte. Lai patiesībā šis leņķis izrādās, teiksim, 263 grādi. Bet uz vissvarīgāko jautājumu (kurš ceturksnis?) mēs atbildējām pareizi. Kāpēc šis ir vissvarīgākais jautājums? Jā, jo jebkurš darbs ar leņķi trigonometrijā (nav svarīgi, vai mēs zīmējam šo leņķi vai ne) sākas ar atbildi tieši uz šo jautājumu! Vienmēr. Ja jūs ignorējat šo jautājumu vai mēģināt uz to atbildēt garīgi, tad kļūdas ir gandrīz neizbēgamas, jā... Vai jums to vajag?

Atcerieties:

Jebkurš darbs ar leņķi (ieskaitot šī leņķa uzzīmēšanu uz apļa) vienmēr sākas ar ceturkšņa noteikšanu, kurā šis leņķis ietilpst.

Tagad es ceru, ka varat precīzi attēlot leņķus, piemēram, 182°, 88°, 280°. IN pareizi ceturtdaļas. Trešajā, pirmajā un ceturtajā, ja tas...)

Ceturtais ceturksnis beidzas ar 360° leņķi. Šī ir viena pilna revolūcija. Ir skaidrs, ka šis leņķis uz apļa ieņem tādu pašu pozīciju kā 0° (t.i., sākuma punkts). Bet ar to leņķi nebeidzas, jā...

Ko darīt ar leņķiem, kas lielāki par 360°?

"Vai tiešām ir tādas lietas?"- tu jautā. Tie notiek! Ir, piemēram, 444° leņķis. Un dažreiz, teiksim, 1000° leņķis. Ir visdažādākie leņķi.) Vienkārši vizuāli šādi eksotiski leņķi tiek uztverti nedaudz grūtāk nekā tie leņķi, pie kuriem esam pieraduši vienas apgriezienu ietvaros. Bet tādus leņķus arī jāprot uzzīmēt un aprēķināt.

Lai pareizi uzzīmētu šādus leņķus uz apļa, jums jādara tas pats - noskaidrojiet Kurā ceturksnī iekrīt mūs interesējošais leņķis? Šeit daudz svarīgāka ir iespēja precīzi noteikt ceturksni nekā leņķiem no 0° līdz 360°! Pati ceturkšņa noteikšanas procedūru sarežģī tikai viens solis. Kas tas ir, jūs drīz redzēsit.

Tā, piemēram, mums ir jāizdomā, kurā kvadrantā ietilpst 444° leņķis. Sāksim griezt. Kur? Pluss, protams! Viņi mums iedeva pozitīvu leņķi! +444°. Sagriezām, griežam... Pagriezām vienu apgriezienu - sasniedzām 360°.

Cik ilgs laiks ir palicis līdz 444°?Mēs saskaitām atlikušo asti:

444°-360° = 84°.

Tātad 444° ir viena pilna pagriešana (360°) plus vēl 84°. Acīmredzot šis ir pirmais ceturksnis. Tātad leņķis krīt 444° pirmajā ceturksnī. Puse cīņas ir pabeigta.

Tagad atliek tikai attēlot šo leņķi. Kā? Ļoti vienkārši! Mēs veicam vienu pilnu apgriezienu pa sarkano (plus) bultiņu un pievienojam vēl 84 °.

Kā šis:

Šeit es neuztraucos pārblīvēt zīmējumu - marķēt ceturtdaļas, zīmēt leņķus uz asīm. Visam šim labajam man jau sen vajadzēja būt galvā.)

Bet es izmantoju “gliemezi” vai spirāli, lai precīzi parādītu, kā no 360° un 84° leņķiem veidojas 444° leņķis. Punktētā sarkanā līnija ir viena pilna apgrieziena. Pie kuriem papildus pieskrūvē 84° (nepārtraukta līnija). Starp citu, lūdzu, ņemiet vērā, ka, ja šī pilnā revolūcija tiks atmesta, tas nekādā veidā neietekmēs mūsu leņķa stāvokli!

Bet tas ir svarīgi! Leņķa pozīcija 444° pilnībā sakrīt ar 84° leņķa pozīciju. Brīnumu nav, vienkārši tā izrādās.)

Vai ir iespējams izmest nevis vienu pilnu revolūciju, bet divas vai vairākas?

Kāpēc ne? Ja leņķis ir liels, tas ir ne tikai iespējams, bet pat nepieciešams! Leņķis nemainīsies! Precīzāk, pats leņķis, protams, mainīsies pēc lieluma. Bet viņa pozīcija aplī absolūti nav!) Tāpēc viņi pilns revolūcijas, ka neatkarīgi no tā, cik eksemplāru jūs pievienojat, neatkarīgi no tā, cik daudz jūs atņemsit, jūs joprojām nonāksit tajā pašā punktā. Jauki, vai ne?

Atcerieties:

Ja leņķim pievieno (atņem) jebkuru leņķi vesels pilno apgriezienu skaits, oriģinālā leņķa pozīcija uz apļa NEmainīsies!

Piemēram:

Kurā ceturksnī iekrīt 1000° leņķis?

Nekādu problēmu! Mēs saskaitām, cik pilnu apgriezienu ir tūkstoš grādos. Viens apgrieziens ir 360°, cits jau 720°, trešais 1080°... Stop! Pārāk daudz! Tas nozīmē, ka tas atrodas 1000° leņķī divi pilni pagriezieni. Mēs tos izmetam no 1000° un aprēķinām atlikušo:

1000° - 2 360° = 280°

Tātad leņķa pozīcija uz apļa ir 1000° tas pats, kā 280° leņķī. Ar ko ir daudz patīkamāk strādāt.) Un kur tas stūris iekrīt? Tas ietilpst ceturtajā ceturksnī: 270° (negatīvā pusass OY) plus vēl desmit.

Zīmēsim:

Šeit es vairs nevilku divus pilnus pagriezienus ar punktētu spirāli: tas izrādās pārāk garš. Es tikko uzzīmēju atlikušo asti no nulles, izmetot Visi papildu pagriezieni. It kā viņi nemaz neeksistētu.)

Vēlreiz. Labā nozīmē leņķi 444° un 84°, kā arī 1000° un 280° atšķiras. Bet sinusam, kosinusam, tangensam un kotangensam šie leņķi ir - tas pats!

Kā redzat, lai strādātu ar leņķiem, kas lielāki par 360°, jums ir jānosaka cik pilnu apgriezienu atrodas noteiktā lielā leņķī. Šī ir pati papildu darbība, kas vispirms jāveic, strādājot ar šādiem leņķiem. Nekas sarežģīts, vai ne?

Pilnu apgriezienu noraidīšana, protams, ir patīkama pieredze.) Bet praksē, strādājot ar absolūti briesmīgiem leņķiem, rodas grūtības.

Piemēram:

Kurā ceturksnī iekrīt leņķis 31240°?

Tātad, vai mēs pievienosim 360 grādus daudzas, daudzas reizes? Tas ir iespējams, ja pārāk nedeg. Bet mēs varam ne tikai pievienot.) Mēs varam arī sadalīt!

Tātad sadalīsim mūsu milzīgo leņķi 360 grādos!

Ar šo darbību mēs precīzi uzzināsim, cik pilnu apgriezienu ir paslēpts mūsu 31240 grādos. Var sadalīt stūrī, var (iečukst ausī:)) uz kalkulatora.)

Mēs iegūstam 31240:360 = 86,777777….

Tas, ka skaitlis izrādījās daļējs, nav biedējošs. Tikai mēs vesels Mani interesē apgriezieni! Tāpēc nav nepieciešams pilnībā sadalīt.)

Tātad mūsu pinkainajās oglēs atrodas pat 86 pilni apgriezieni. Šausmas…

Tas būs grādos86·360° = 30960°

Kā šis. Tieši tik daudz grādu var nesāpīgi izmest no dotā 31240° leņķa. Paliek:

31240° - 30960° = 280°

Visi! Leņķa 31240° pozīcija ir pilnībā identificēta! Tajā pašā vietā, kur 280°. Tie. ceturtajā ceturksnī.) Es domāju, ka mēs jau esam attēlojuši šo leņķi iepriekš? Kad tika uzzīmēts 1000° leņķis?) Tur arī gājām par 280 grādiem. Nejaušība.)

Tātad šī stāsta morāle ir šāda:

Ja mums tiek dots biedējošs leņķis, tad:

1. Nosakiet, cik pilnu apgriezienu atrodas šajā stūrī. Lai to izdarītu, sadaliet sākotnējo leņķi ar 360 un izmetiet daļēju daļu.

2. Mēs saskaitām, cik grādu ir iegūtajā apgriezienu skaitā. Lai to izdarītu, reiziniet apgriezienu skaitu ar 360.

3. Mēs atņemam šos apgriezienus no sākotnējā leņķa un strādājam ar parasto leņķi no 0° līdz 360°.

Kā strādāt ar negatīviem leņķiem?

Nekādu problēmu! Tieši tāpat kā ar pozitīvajiem, tikai ar vienu atšķirību. Kurš? Jā! Vajag pagriezt stūrus otrā puse, mīnuss! Ejot pulksteņrādītāja virzienā.)

Uzzīmēsim, piemēram, -200° leņķi. Pirmkārt, viss ir kā parasti pozitīvajiem leņķiem - asis, aplis. Uzzīmēsim arī zilu bultiņu ar mīnusu un atšķirīgi parakstīsim leņķus uz asīm. Dabiski, ka tie būs jāskaita arī negatīvā virzienā. Tie būs vienādi leņķi, pakāpjoties pa 90°, bet skaitīti pretējā virzienā līdz mīnusam: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

Attēls izskatīsies šādi:

Strādājot ar negatīviem leņķiem, bieži vien ir neliela apjukuma sajūta. Kā tā?! Izrādās, ka viena un tā pati ass ir, teiksim, +90° un -270° vienlaicīgi? Nē, te kaut kas ir nelāgs...

Jā, viss ir tīrs un caurspīdīgs! Mēs jau zinām, ka jebkuru riņķa punktu var saukt par pozitīvu vai negatīvu leņķi! Pilnīgi jebkura. Tostarp uz dažām koordinātu asīm. Mūsu gadījumā mums vajag negatīvs leņķa aprēķins. Tāpēc mēs visus stūrus sagriežam līdz mīnusam.)

Tagad pareizi novilkt leņķi -200° nemaz nav grūti. Tas ir -180° un mīnus vēl 20°. Sākam šūpoties no nulles uz mīnusu: izlidojam cauri ceturtajai ceturtdaļai, izlaižam arī trešo, sasniedzam -180°. Kur man tērēt atlikušos divdesmit? Jā, tur viss ir! Pa stundām.) Kopējais leņķis -200° ietilpst otrais ceturksnis.

Tagad jūs saprotat, cik svarīgi ir stingri atcerēties koordinātu asu leņķus?

Precīzi jāatceras leņķi uz koordinātu asīm (0°, 90°, 180°, 270°, 360°), lai precīzi noteiktu ceturksni, kurā leņķis krīt!

Ko darīt, ja leņķis ir liels, ar vairākiem pilniem pagriezieniem? Ir labi! Kāda starpība, vai šīs pilnās revolūcijas tiek vērstas uz pozitīvu vai negatīvu? Punkts uz apļa nemainīs savu pozīciju!

Piemēram:

Kurā ceturksnī iekrīt -2000° leņķis?

Viss tas pats! Pirmkārt, mēs saskaitām, cik pilnu apgriezienu atrodas šajā ļaunajā stūrī. Lai zīmes nesajauktu, pagaidām atstāsim mīnusu un vienkārši izdalīsim 2000 ar 360. Ar asti iegūsim 5. Pagaidām mums nerūp aste, mēs to skaitīsim nedaudz vēlāk, kad zīmēsim stūri. Mēs skaitām pieci pilni apgriezieni grādos:

5 360° = 1800 °

Oho. Tieši tik daudz papildu grādu varam droši izmest no sava stūra, nekaitējot veselībai.

Mēs saskaitām atlikušo asti:

2000° – 1800° = 200°

Bet tagad mēs varam atcerēties par mīnusu.) Kur mēs griezīsim 200° asti? Mīnuss, protams! Mums ir dots negatīvs leņķis.)

2000° = -1800° - 200°

Tātad mēs zīmējam -200° leņķi, tikai bez papildu apgriezieniem. Es tikko to uzzīmēju, bet lai tā būtu, es to uzzīmēšu vēl vienu reizi. Ar rokām.

Skaidrs, ka dotais leņķis -2000°, kā arī -200° ietilpst otrajā ceturksnī.

Tātad, ejam traki... piedodiet... uz galvas:

Ja ir dots ļoti liels negatīvs leņķis, tad pirmā darba daļa ar to (pilnu apgriezienu skaita atrašana un to atmešana) ir tāda pati kā strādājot ar pozitīvu leņķi. Mīnusa zīme šajā risinājuma stadijā nespēlē nekādu lomu. Zīme tiek ņemta vērā tikai pašā beigās, strādājot ar leņķi, kas paliek pēc pilnu apgriezienu noņemšanas.

Kā redzat, negatīvu leņķu uzzīmēšana uz apļa nav grūtāka par pozitīvo.

Viss ir pa vecam, tikai otrā virzienā! Pēc stundas!

Tagad nāk pati interesantākā daļa! Apskatījām pozitīvos leņķus, negatīvos leņķus, lielos leņķus, mazos leņķus – pilnu diapazonu. Noskaidrojām arī, ka jebkuru riņķa punktu var saukt par pozitīvo un negatīvo leņķi, atmetām pilnus apgriezienus... Kādas domas? Tas ir jāatliek...

Jā! Neatkarīgi no tā, kādu apļa punktu paņemsiet, tas atbildīs bezgalīgs leņķu skaits! Lielas un ne tik lielas, pozitīvas un negatīvas - visādas! Un atšķirība starp šiem leņķiem būs vesels pilno apgriezienu skaits. Vienmēr! Tā darbojas trigonometriskais aplis, jā...) Tieši tāpēc otrādi uzdevums ir atrast leņķi, izmantojot zināmo sinusu/kosinusu/tangensu/kotangensu - atrisināms neviennozīmīgi. Un daudz grūtāk. Atšķirībā no tiešās problēmas - ņemot vērā leņķi, atrodiet visu tā trigonometrisko funkciju kopu. Un nopietnākās trigonometrijas tēmās ( arkas, trigonometrisks vienādojumi Un nevienlīdzības ) mēs ar šo triku saskarsimies visu laiku. Mēs pierodam.)

1. Kurā ceturksnī iekrīt -345° leņķis?

2. Kurā ceturksnī iekrīt leņķis 666°?

3. Kurā ceturksnī iekrīt leņķis 5555°?

4. Kurā ceturksnī iekrīt -3700° leņķis?

5. Ko zīme daracos999°?

6. Ko zīme daractg999°?

Un vai tas izdevās? Brīnišķīgi! Ir problēma? Tad tu.

Atbildes:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Šoreiz atbildes tika sniegtas pēc kārtas, laužot tradīcijas. Jo ir tikai četri ceturkšņi, un ir tikai divas zīmes. Jūs pārāk daudz neaizbēgsit...)

Nākamajā nodarbībā runāsim par radiāniem, par noslēpumaino skaitli "pī", uzzināsim, kā viegli un vienkārši pārvērst radiānus grādos un otrādi. Un mēs būsim pārsteigti, atklājot, ka pat ar šīm vienkāršajām zināšanām un prasmēm mums pietiks, lai veiksmīgi atrisinātu daudzas netriviālas trigonometrijas problēmas!

Stūris: ° π rad =

Konvertēt uz: radiānos grādiem 0 - 360° 0 - 2π pozitīvs negatīvs Aprēķināt

Kad līnijas krustojas, attiecībā pret krustošanās punktu ir četri dažādi apgabali.
Šīs jaunās jomas sauc stūriem.

Attēlā redzami 4 dažādi leņķi, ko veido līniju AB un CD krustošanās

Leņķus parasti mēra grādos, kas tiek apzīmēti kā °. Kad objekts apgriež pilnu apli, tas ir, pārvietojas no punkta D caur B, C, A un pēc tam atpakaļ uz D, tad tiek uzskatīts, ka tas ir pagriezies par 360 grādiem (360°). Tātad grāds ir apļa $\frac(1)(360)$.

Leņķi, kas lielāki par 360 grādiem

Mēs runājām par to, ka tad, kad objekts veic pilnu apli ap punktu, tas iet par 360 grādiem, bet, kad objekts veic vairāk nekā vienu apli, tas veido leņķi, kas pārsniedz 360 grādus. Tā ir izplatīta parādība ikdienas dzīvē. Automašīnas kustības laikā ritenis apgriež daudzus apļus, tas ir, veido leņķi, kas pārsniedz 360°.

Lai uzzinātu ciklu (pabeigto apļu) skaitu, pagriežot objektu, mēs saskaitām, cik reižu mums pašam jāpievieno 360, lai iegūtu skaitli, kas vienāds ar vai mazāks par doto leņķi. Tādā pašā veidā mēs atrodam skaitli, kuru reizinām ar 360, lai iegūtu skaitli, kas ir mazāks, bet vistuvāk dotajam leņķim.

2. piemērs
1. Atrodiet apļu skaitu, ko apraksta objekts, kas veido leņķi
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Risinājums
a) 380 = (1 × 360) + 20
Objekts aprakstīja vienu apli un 20°
Kopš $20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ aplis
Objekts aprakstīja $1\frac(1)(18)$ apļus.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Objekts aprakstīja divus apļus un 50°
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ aplis
Objekts aprakstīja apļa $2\frac(5)(36)$
c) 2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ apļi
Objekts aprakstīja $2\frac(7)(9)$ apļus

Kad objekts griežas pulksteņrādītāja virzienā, tas veido negatīvu griešanās leņķi, un, kad tas griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam, tas veido pozitīvu leņķi. Līdz šim mēs esam apsvēruši tikai pozitīvus leņķus.

Diagrammas formā negatīvu leņķi var attēlot, kā parādīts zemāk.

Zemāk redzamajā attēlā redzama leņķa zīme, kas tiek mērīta no kopējas taisnes, 0 ass (x ass - x ass)

Tas nozīmē, ka, ja ir negatīvs leņķis, mēs varam iegūt atbilstošu pozitīvu leņķi.
Piemēram, vertikālās līnijas apakšdaļa ir 270°. Mērot negatīvā virzienā, iegūstam -90°. Mēs vienkārši atņemam 270 no 360. Ņemot vērā negatīvo leņķi, mēs pievienojam 360, lai iegūtu atbilstošo pozitīvo leņķi.
Ja leņķis ir -360°, tas nozīmē, ka objekts ir veicis vairāk nekā vienu apli pulksteņrādītāja virzienā.

3. piemērs
1. Atrodiet atbilstošo pozitīvo leņķi
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Atrodiet atbilstošo negatīvo leņķi 80°, 167°, 330° un 1300°.
Risinājums
1. Lai atrastu atbilstošo pozitīvo leņķi, leņķa vērtībai pievienojam 360.
a) -35° = 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60° = 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180° = 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Tas nozīmē vienu apli pulksteņrādītāja virzienā (360)
360 + (-310) = 50°
Leņķis ir 360 + 50 = 410°

2. Lai iegūtu atbilstošo negatīvo leņķi, no leņķa vērtības atņemam 360.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (viens aplis pabeigts)
940–360 = 580 (pabeigta otrā kārta)
580–360 = 220 (pabeigta trešā kārta)
220 - 360 = -140°
Leņķis ir -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Tādējādi 1300° = -1220°

Radiāns

Radiāns ir leņķis no apļa centra, kas aptver loku, kura garums ir vienāds ar apļa rādiusu. Šī ir leņķa lieluma mērvienība. Šis leņķis ir aptuveni 57,3°.
Vairumā gadījumu tas tiek apzīmēts kā priecīgs.
Tādējādi 1 $ rad \apmēram 57,3^(\circ)$

Rādiuss = r = OA = OB = AB
Leņķis BOA ir vienāds ar vienu radiānu

Tā kā apkārtmērs ir dots kā $2\pi r$, tad aplī ir $2\pi$ rādiusi, un līdz ar to visā aplī ir $2\pi$ radiāni.

Radiāni parasti tiek izteikti kā $\pi$, lai aprēķinos izvairītos no decimāldaļām. Lielākajā daļā grāmatu saīsinājums priecīgs nenotiek, bet lasītājam jāzina, ka, runājot par leņķi, tas tiek norādīts kā $\pi$, un mērvienības automātiski kļūst par radiāniem.

360 $^(\circ) = 2\pi\rad$
180 $^(\circ) = \pi\rad$,
90 $^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
30 $^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
45 $^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
60 $^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
270 $^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

4. piemērs
1. Pārveidojiet 240°, 45°, 270°, 750° un 390° radiānos, izmantojot $\pi$.
Risinājums
Reizināsim leņķus ar $\frac(\pi)(180)$.
240 ASV dolāri^(\circ) = 240 reizes \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
120 $^(\circ) = 120 reizes \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3) $
270 ASV dolāri^(\circ) = 270 reizes \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
750 ASV dolāri^(\circ) = 750 reizes \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
390 $^(\circ) = 390 reizes \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. Pārvērtiet tālāk norādītos leņķus grādos.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) 3,12 $ \pi$
c) 2,4 radiāni
Risinājums
180 $^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) 3,12 ASV dolāri\pi = 3,12 reizes 180 = 561,6^(\circ)$
c) 1 rad = 57,3°
2,4 ASV dolāri = \frac(2,4 reizes 57,3) (1) = 137,52 $

Negatīvie leņķi un leņķi, kas lielāki par $2\pi$ radiāniem

Lai negatīvu leņķi pārvērstu par pozitīvu, mēs to pievienojam $2\pi$.
Lai pozitīvo leņķi pārvērstu negatīvā, mēs no tā atņemam $2\pi$.

5. piemērs
1. Pārvērtiet $-\frac(3)(4)\pi$ un $-\frac(5)(7)\pi$ uz pozitīviem leņķiem radiānos.

Risinājums
Pievienojiet leņķim $2\pi$
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ pi$

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ pi$

Kad objekts griežas par leņķi, kas ir lielāks par $2\pi$;, tas veido vairāk nekā vienu apli.
Lai noteiktu apgriezienu (apļu vai ciklu) skaitu šādā leņķī, atrodam skaitli, reizinot to ar $2\pi$, rezultāts ir vienāds vai mazāks, bet pēc iespējas tuvāks šim skaitlim.

6. piemērs
1. Atrast apļu skaitu, ko objekts šķērsojis dotajos leņķos
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

Risinājums
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ nozīmē vienu ciklu pulksteņrādītāja virzienā, tas nozīmē, ka
objekts veica 5 pulksteņrādītāja kustības ciklus.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ puscikls
objekts veica četrarpus ciklus pretēji pulksteņrādītāja virzienam

c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ ir vienāds ar trīs ceturtdaļām cikla $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
objekts ir izgājis vienu un trīs ceturtdaļas cikla pretēji pulksteņrādītāja virzienam