Мандельброт предложил следующее пробное определение фрактала:

Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности

Это определение в свою очередь требует определений терминов множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича и топологическая размерность которая всегда равна целому числу. Для наших целей мы предпочитаем весьма нестрогие определения этих терминов и наглядные иллюстрации (с использованием простых примеров), а не более строгое, но формальное изложение тех же понятий. Мандельброт сузил свое предварительное определение, предложив заменить его следующим

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Строгого и полного определения фракталов пока не существует . Дело в том, что первое определение при всей правильности и точности слишком ограничительно. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике. Второе определение содержит существенный отличительный признак, подчеркиваемый в нашей книге и наблюдаемый в эксперименте: фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. Взять хотя бы некоторые прекрасные кучевые облака. Они состоят из огромных «горбов», на которых возвышаются «горбы» поменьше, на тех - «горбы» еще меньше и т.д. вплоть до самого малого масштаба, который вы в состоянии разрешить. На самом деле, располагая только внешним видом облаков и не используя никакой дополнительной информации, размер облаков оценить невозможно.

Фракталы, о которых пойдет речь в этой книге, можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Например, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность и размерность Хаусдорфа - Безиковича Евклидова размерность пространства равна Так как для линии линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что подтверждает разумность определения. Аналогично множество точек, образующих поверхность в пространстве с имеет топологическую размерность Мы видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Наконец, шар, или полная сфера, имеет Эти примеры позволяют определить некоторые из рассматриваемых нами типов множеств.

Центральное место в определении размерности Хаусдорфа - Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности занимает понятие расстояния между точками в пространстве. Как измерить «величину»

множества У точек в пространстве? Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространство на небольшие кубы с ребром 8, как показано на рис. 2.5. Вместо кубов можно было бы взять небольшие сферы диаметром 8. Если поместить центр малой сферы в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер, необходимых для покрытия интересующего нас множества точек, мы получаем меру величины множества. Кривую можно измерить, определяя число прямолинейных отрезков длины 8, необходимых для того, чтобы покрыть ее. Разумеется, для обычной кривой Длина кривой определяется предельным переходом

В пределе при мера становится асимптотически равной длине кривой и не зависит от 8.

Множеству точек можно поставить в соответствие и площадь. Например, площадь кривой можно определить, указывая число кругов или квадратов, необходимых для ее покрытия. Если -число этих квадратов, а -площадь каждого из них, то площадь кривой равна

Аналогично объем V кривой можно определить как величину

Рис. 2.5. Измерение «величины» кривой.

Разумеется, что для обычных кривых обращаются в нуль при , и единственной представляющий интерес мерой является длина кривой.

Как нетрудно видеть, для обычной поверхности число квадратов, необходимых для ее покрытия, определяется в пределе при выражением где площадь поверхности.

Поверхности можно поставить в соответствие объем, образуя сумму объемов кубов, необходимых для покрытия поверхности:

При этот объем, как и следует ожидать, обращается в нуль.

Можно ли поверхности поставить в соответствие какую-нибудь длину? Формально мы можем принять за такую длину величину

которая расходится при Этот результат имеет смысл, так как поверхность невозможно покрыть конечным числом прямолинейных отрезков. Мы заключаем, что единственной содержательной мерой множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве, является площадь.

Нетрудно видеть, что множества точек, образующих кривые, могут

Рис. 2.6. Измерение «величины» поверхности.

быть закрученными так сильно, что длина их окажется бесконечной, и, действительно, существуют кривые (кривые Пеано), заполняющие плоскость. Существуют также поверхности, изогнутые столь причудливым образом, что они заполняют пространство. Для того чтобы мы могли рассматривать и такие необычные множества точек, полезно обобщить введенные нами меры величины множества.

До сих пор, определяя меру величины множества точек У в пространстве, мы выбирали некоторую пробную функцию отрезок прямой, квадрат, круг, шар или куб - и покрывали множество, образуя меру Для прямолинейных отрезков, квадратов и кубов геометрический коэффициент для кругов и для сфер Мы заключаем, что в общем случае при мера равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора -размерности меры. Размерность Хаусдорфа-Безиковича множества есть критическая размерность, при которой мера изменяет свое значение с нуля на бесконечность:

Мы называем -мерой множества. Значение при часто конечно, но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком именно значении величина изменяется скачком. Заметим, что в приведенном выше определении размерность Хаусдорфа-Безиковича фигурирует как локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства множеств точек в пределе при исчезающе малом диаметре, или размере, 8 пробной функции, используемой для покрытия множества. Следовательно, фрактальная размерность может также быть локальной характеристикой множества. В действительности здесь существует несколько тонких пунктов, заслуживающих рассмотрения. В частности, определение размерности Хаусдорфа-Безиковича позволяет покрывать множество «шарамтк не обязательно одного и того же размера при условии, что диаметры воех шаров меньше 8. В этом случае -мера есть нижняя грань, т. е., грубо говоря, минимальное значение, получаемое при всех возможных покрытиях. Примеры см. в разд. 5.2. Строгое математическое изложение вопроса интересующиеся найдут в книге Фальконера .

Введение во фракталы

Основы теории фракталов

Методы определения фрактальных характеристик объектов

Чтобы понять природу, человек строит объекты различной геометрии. В природе объекты встречаются самых разных размеров - от атомных масштабов до Вселенной. Геометрия траекторий частиц, линий тока в гидродинамике, волн, обводов корабельных корпусов и береговых линий, ландшафтов, гор, ост­ровов, рек, ледников и отложений, зерен в скалистых породах, металлах и ком­позитных материалах, растений, насекомых и живых клеток, а также геометри­ческая структура кристаллов, молекул химических веществ и, в частности, про­теинов - словом, геометрия природы занимает центральное место в различных областях естествознания, и поэтому люди склонны считать геометрические ас­пекты чем-то само собой разумеющимся. Представители каждой области стре­мились развить свои приспособленные к ее потребностям понятия (например, такие, как морфология, четырехмерное пространство, текстура), интуитивно используемые учеными, работающими именно в этой области. По традиции, основой интуитивного понимания геометрии природы служили евклидовы прямые, окружности, сферы, тетраэдры и т.п.

Математики разработали и математические понятия, выходившие за рамки традиционной геометрии, однако, в прошлом эти понятия не привлекли к себе должного внимания со стороны представителей естественных наук из-за весьма абстрактного и «педантичного» изложения и из-за предостережений относи­тельно «опасности», связанной с использованием такого рода нетрадиционных геометрических представлений.

Своими яркими и фундаментальными работами Бенуа Мандельброт про­будил всеобщий интерес к фрактальной геометрии - понятию, введенному са­мим Мандельбротом. В частности, он поведал миру об объектах, названных им фракталами, избрав для этого весьма необычную форму изложения. Книга Бе­нуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» - общепризнанный стандартный справочник по фракталам, содержащий как элементарные поня­тия, так и необычайно широкий круг новых и отнюдь не элементарных идей, находящихся сейчас в центре внимания тех, кто занимается геометрией фракта­лов. Синтетические фрактальные пейзажи выглядят настолько правдоподобно, что большинство людей принимают их за естественные. Появление в последние годы компьютеров и компьютерной графики привело к исследованию нетради­ционных геометрических объектов во многих областях естественных наук.

Мандельброт написал огромное количество научных работ, посвященных геометрии явлений, наблюдаемых во многих областях человеческой деятельно­сти. Он исследовал фрактальную геометрию изменений цен и распределений заработной платы, статистики ошибок при вызовах на телефонных станциях, частот слов в печатных текстах, различных математических объектов и многого другого. Мандельброт написал три книги о фрактальной геометрии, сделавшие более доступными его специальные работы и вдохновившие многих на приме­нение фрактальной геометрии в области собственных исследований.

Понятие «фракталы» захватило воображение ученых, работающих во мно­гих областях науки, и работы, в которых фракталы обсуждаются с самых раз­ных позиций, появляются теперь почти ежедневно. Книги Мандельброта заме­чательны в нескольких отношениях. И прежде всего - они междисциплинарны: автор рассматривает геометрию деревьев, русел рек, легких, а также изменения уровней водной поверхности, турбулентность, экономику, частоты появления слов в различных текстах и многое-многое другое. Все эти, казалось бы, разно­родные вопросы Мандельброт связывает со своими геометрическими представ­лениями. В своих книгах он умышленно избегает введений и заключений, тем самым подчеркивая свое глубокое убеждение в том, что по мере расширения работ в области фрактальной геометрии, его идеи позволят все более глубоко постигать самую суть геометрии природы. Он предлагает лишь пробное опре­деление понятия «фрактал» и тут же поспешно заявляет, что предложенное им определение отнюдь не является окончательным! Более того, впоследствии он отказывается от своего определения. В своих книгах Мандельброт пытается убедить читателя в том, что фрактальная геометрия важна для описания приро­ды, но ускользает от читателя, когда тот пытается проследить за деталями ар­гументации автора. Математические доказательства перемешиваются на стра­ницах книг Мандельброта с анекдотами и историческими сведениями. Совер­шенно разные вопросы перемешаны в его книгах так, что разделить их практи­чески невозможно. Но, вооружившись терпением, любознательный читатель найдет в книгах Мандельброта необычайно широкий спектр замечательных идей, глубоких замечаний и сможет почерпнуть в них подлинное вдохновение -эти книги поистине замечательны!

Наиболее сильное впечатление производят цветные иллюстрации. На них изображены фрактальная «планета», восходящая над горизонтом своей луны, горы, долины и острова, которых никогда не было. Эти иллюстрации, выпол­ненные Р.Ф. Фоссом, получены с помощью алгоритмов, обеспечивающих фрак­тальную природу пейзажей. Все пейзажи выглядят очень естественно, по-видимому, фракталы каким-то образом схватывают суть топографии земной поверхности.

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия», появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимал­ся. В его работах использованы научные результаты трудов ученых, работав­ших в 1875-1925 годах в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф и другие). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Внимание, которое привлекают фракталы, видимо, имеет несколько при­чин. Во-первых, фракталы очень просты при моделировании многих явлений и процессов, которые трудно отличить от естественных. Во-вторых, при фрак­тальном анализе процессы сложной формы представляются в достаточно про­стой и наглядной форме, что позволяет получить больше информации о про­цессе.

В настоящее время, наибольшее применение фракталы нашли в машинной графике и компьютерных системах сжатия информации. Они приходят на по­мощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графи­ки, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природ­ные.

Фракталом, по определению Мандельброта, называется объект, размер­ность которого не равна его топологической размерности и может принимать нецелочисленные значения. Такая размерность называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича или фрактальной размерностью. Многочисленные исследо­вания показывают, что фрактальная геометрия является обобщением евклидо­вой, имеющей дело с целочисленными топологическими размерностями (О - точка, 1 - линия, 2 - плоскость, 3 - объем). К фрактальным объектам отно­сятся все природные объекты, например, такие как береговая линия, имеющая размерность 1,52 (береговая линия Норвегии), облака - 2,31, кровеносная сис­тема человека - 2,7 и т.п. На данный момент обоснованной физической интер­претации дробной размерности нет, хотя предпринимаются попытки ее создать.

Основным свойством фракталов является самоподобие . В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем объекте, т.е. вид фракталов практически не меняется при любом увеличении. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «фракталом называется структу­ра, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Процес­сы, порождающие самоподобные структуры , известны довольно давно. Это процессы с обратной связью , в которых одна и та же операция повторяется сно­ва и снова, при этом результат одной итерации является начальным значением следующей. Но здесь очень важно, чтобы зависимость между результатом и на­чальным значением была нелинейной. Одним из исследователей фракталов был Гастон Жюлиа, который открыл множество Жюлиа, представляющее собой границу, в различных частях которой встречается одна и та же форма разных масштабов. Он установил, что можно восстановить всю границу по любой ее части. С тех пор в математике и в физике стали широко изучаться самоподоб­ные структуры, в том числе и фракталы.

Все многообразие фракталов делится на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы самые наглядные. В случае, если геометриче­ские фракталы двухмерные их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности, если фракталы трехмерные), называемой затравкой или первона­чальным генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков , составляю­щих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометриче­ский фрактал . На рисунках 1.1-1.6 представлены наиболее известные геомет­рические фракталы и их первоначальные генераторы.

Рис. 1.2. Кривая Коха (а) и ее первоначальный генератор (б)

Алгебраические фракталы . Это самая крупная группа фракталов. Получа­ют их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно пользоваться термино­логией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, ат­трактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают не­сколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась ди­намическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или, как говорят, аттрак­тор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракто­ров. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно по­лучить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узора­ми. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью прими­тивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Ти­пичными представителями этого класса фракталов являются множества Жюлиа (рис. 1.7) и множество Мандельброта (Рис. 1.8).

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом меняются какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные: несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы ис­пользуются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например, деление фрак­талов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерми­нированные (стохастические).

Контрольные вопросы

1. Кто и когда ввел понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия»?

2. Что означает слово «фрактал»?

3. Почему фракталы нашли свое применение в человеческой деятельности?

4. Каково основное свойство фракталов?

5. На какие классы делятся фракталы?

6. Как образуются геометрические фракталы?

7. Что такое первоначальный генератор для геометрических фракталов?

8. Примеры геометрических фракталов.

9. Как образуются алгебраические фракталы?

10. Что такое аттрактор?

11. Примеры алгебраических фракталов.

12. Как образуются стохастические фракталы?

13. Примеры стохастических фракталов.

Чтобы понять, что такое фрактальная размерность, для примера рассмот­рим береговую линию Норвегии (рис. 1.9).

Какова ее длина? В масштабе карты хорошо видны глубокие фиорды на западном побережье. Идя вдоль берега, то и дело можно встретить скалы, острова, бухты и обрывы, которые похожи друг на друга, даже если они не обозначены на самых подробных картах. Прежде чем ответить на поставленный вопрос, необходимо решить, стоит ли включать в береговую линию острова. Как быть с реками? В каком месте фиорд переста­ет быть фиордом и где именно он переходит в реку? Ответить на эти вопросы иногда легко, иногда не очень. Но, даже если мы сумеем удовлетворительно от­ветить на все вопросы такого рода, одна трудность все же остается. Дело в том, что при измерении длины береговой линии, циркулю можно придать раствор, соответствующий км и сосчитать число шагов , которые понадобились бы, чтобы пройти по карте из конца в конец все побережье.

В спешке можно было бы выбрать раствор циркуля настолько большим, что не понадобилось бы заботиться даже о самых глубоких фиордах, и принять за длину береговой линии величину . Если подобная оценка не удов­летворяет, то можно выбрать несколько меньший раствор циркуля и повто­рить все сначала. На этот раз в длину береговой линии вошли бы и наиболее глубокие фиорды. Для еще более точного подсчета длины береговой линии по­надобятся более точные карты. Ясно, что при решении такого рода вопросов уточнения можно вносить бесконечно. Всякий раз, когда мы будем увеличивать разрешающую способность, длина береговой линии будет разрастаться. Кроме того, при использовании циркуля будут возникать проблемы с островами и ре­ками. Альтернативный способ измерения длины береговой линии состоит в том, чтобы покрыть карту сеткой, как показано в верхней части рисунка 1.9. Пусть квадратные ячейки сетки имеют размеры . Число таких ячеек, необходимых для покрытия береговой линии на карте, приблизительно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором . Уменьшение приводит к увеличению числа ячеек, необходимых для покрытия береговой линии. Если бы береговая линия Норвегии имела вполне определенную длину , то можно было бы ожидать, что число шагов циркуля или число квадратных ячеек , необходимых для покрытия берего­вой линии на карте, будет обратно пропорционально , а величина при уменьшении будет стремиться к постоянной . Однако это не так.

На рисунке 1.11 воспроизведен график (данные взяты из книги Мандельб­рота «Чему равна длина береговой линии Британии?»), на котором показана кажущаяся длина береговых линий и сухопутных границ. Все точки выстраи­ваются (в дважды логарифмическом масштабе) вдоль прямых. Угловой коэф­фициент этих прямых равен 1 - D где D - фрактальная размерность береговой линии (или сухопутной границы). Береговая линия Великобритании имеет D~ 1,3. Мандельброт приводит также данные для окружности и находит, что .

Контрольные вопросы:

1. Что такое размерность объекта?

2. Что такое топологическая размерность?

3. Как определяется фрактальная размерность природных объектов?

4. Чему равна фрактальная и топологическая размерности окружности,
груга, квадрата, сферы и шара?

5. Чему равна топологическая размерность береговой линии?

Довольно часто приходится слышать разговоры о связи между различными валютами на рынке Форекс.

Основное обсуждение при этом обычно сводится к фундаментальным факторам, практическому опыту или просто домыслам, обусловленными личными стереотипами говорящего. Как крайний случай, выступает гипотеза одной или нескольких «мировых» валют, которые «тянут» за собой все остальные.

Действительно, какова связь между различными котировками? Движутся ли они согласованно или информация о направлении движения одной валюты ничего не скажет о движении другой? В этой статье предпринята попытка разобраться в этом вопросе, используя методы нелинейной динамики и фрактальной геометрии.

1. Теоретическая часть

1.1. Зависимые и независимые переменные

Рассмотрим две переменные (котировки) x и y. В любой момент времени, мгновенные значения этих переменных определяют точку на плоскости XY (рис. 1). Движение точки с течением времени образует траекторию. Форма и тип этой траектории будут определяться типом связи между переменными.

Например, если переменная x никак не связана с переменной y, то мы не увидим никакой регулярной структуры: при достаточном количестве точек, они равномерно заполнят плоскость XY (рис.2).

Если же зависимость между x и y существует, то будет видна некоторая регулярная структура: в простейшем случае это будет кривая (рис. 3),

Рисунок 3. Наличие корреляций - кривая

хотя может быть и более сложная структура (рис. 4).

То же самое характерно для трех- и более -мерного пространства: если между всеми переменными есть связь или зависимость, то точки будут образовывать кривую (рис. 5), если в наборе присутствуют две независимые переменные, то точки образуют поверхность (рис. 6), если три - то точки заполнят трехмерное пространство и т.д.

Если связи между переменными нет, то точки равномерно распределятся по всем доступным измерениям (рис. 7). Таким образом, мы можем судить о характере связи между переменными, определяя, каким образом точки заполняют пространство.

Причем форма получившейся структуры (линии, поверхности, объемной фигуры и т.д.), в данном случае, не имеет значения.

Важна фрактальная размерность этой структуры: линия имеет размерность равную 1, поверхность - 2, объемная структура - 3 и т.д. Обычно можно считать, что значение фрактальной размерности соответствует количеству независимых переменных в наборе данных.

Также мы можем встретиться с дробной размерностью, например, 1.61 или 2.68. Такое может произойти, если получившаяся структура окажется фракталом - самоподобным множеством с нецелой размерностью. Пример фрактала приведен на рисунке 8, его размерность приблизительно равна 1.89, т.е. это уже не линия (размерность равна 1), но еще не поверхность (размерность равна 2).

Фрактальная размерность может быть разной для одного и того же множества на разных масштабах.

Например, если смотреть на множество, изображенное на рисунке 9 «издалека», то ясно видно, что это линия, т.е. фрактальная размерность этого множества равна единице. Если же посмотреть на это же множество «вблизи», то увидим что это совсем не линия, а «расплывчатая труба» - точки не образуют четкую линию, но случайным образом собраны вокруг нее. Фрактальная размерность этой «трубы» должна быть равна размерности пространства, в котором мы рассматриваем нашу структуру, т.к. точки в «трубе» равномерно заполнят все доступные измерения.

Увеличение фрактальной размерности на малых масштабах дает возможность определить размер, при котором связи между переменными становится неразличимы из-за присутствующего в системе случайного шума.

Рисунок 9. Пример фрактальной "трубы"

1.2. Определение фрактальной размерности

Для определения фрактальной размерности можно использовать box-counting алгоритм, основанный на исследовании зависимости количества кубиков, содержащих точки множества, от размера ребра кубика (здесь имеются ввиду не обязательно трехмерные кубики: в одномерном пространстве «кубиком» будет отрезок, в двумерном - квадрат и т.д.).

Теоретически, эта зависимость имеет вид N(ε)~1/ε D , где D – фрактальная размерность множества, ε - размер ребра кубика, N(ε) – количество кубиков, содержащих точки множества при размере кубика ε. Это позволяет определить фрактальную размерность

Не вдаваясь в детали алгоритма, его работу можно описать следующим образом:

Исследуемое множество точек разбивается на кубики размера ε и считается количество кубиков N, содержащих хотя бы одну точку множества.

Для разных ε определяется соответствующее значение N, т.е. накапливаются данные для построения зависимости N(ε).

Зависимость N(ε) строится в двойных логарифмических координатах и определяется угол ее наклона, который и будет значением фрактальной размерности.

Например, на рисунке 10 изображены два множества: плоская фигура (а) и линия (б). Ячейки содержащие точки множества окрашены серым цветом. Подсчитывая, количество «серых» ячеек при разных размерах ячеек, получаем зависимости изображенные на рисунке 11. Определяя наклон прямых, аппроксимирующих эти зависимости, находим фрактальные размерности: Dа≈2,Dб≈1.

На практике для определения фрактальной размерности обычно используют не box-counting, а алгоритм Грассберга-Прокаччиа, т.к. он дает более точные результаты в пространствах высокой размерности. Идея алгоритма заключается в получении зависимости С(ε) - вероятности попадания двух точек множества в ячейку размера ε от размера ячейки и определении наклона линейного участка этой зависимости.

К сожалению, рассмотрение всех аспектов определения размерности невозможно в рамках данной статьи. При желании, вы сможете найти необходимую информацию в специальной литературе.

1.3. Пример определения фрактальной размерности

Чтобы убедится в работоспособности предложенной методики, попробуем определить уровень шума и количество независимых переменных для множества изображенного на рисунке 9. Это трехмерное множество состоит из 3000 точек и представляет из себя линию (одна независимая переменная) с наложенным на нее шумом. Шум имеет нормальное распределение при СКО равном 0.01.

На рисунке 12 показана зависимость С(ε) в логарифмическом масштабе. На ней мы видим два линейных участка, пересекающихся при ε≈2 -4.6 ≈0.04. Наклон первой прямой ≈2.6, а второй ≈1.0.

Полученные результаты означают, что тестовое множество имеет одну независимую переменную на масштабе большем 0.0 и «почти три» независимые переменные или наложенный шум на масштабе меньшем 0.04. Это хорошо согласуется с исходными данными: согласно правилу «трех сигм», 99.7% точек образуют «трубу» диаметром 2*3*0.01≈0.06.

Рисунок 12. Зависимость C(e) в логарифмическом масштабе

2. Практическая часть

2.1. Исходные данные

Для изучения фрактальных свойств рынка Форекс, были использованы общедоступные данные, охватывающие период с 2000 по 2009 год включительно. Исследование проводилось на ценах закрытия семи основных валютных пар: EURUSD, USDJPY, GBPUSD, AUDUSD, USDCHF, USDCAD, NZDUSD.

2.2. Реализация

Алгоритмы определения фрактальной размерности реализованы в виде функций среды MATLAB на базе разработок профессора Майкла Смолла (Dr Michael Small ). Функции с примерами использования доступны в архиве frac.rar приложенном к данной статье.

Для ускорения вычислений, наиболее трудоемкий этап выполнен на языке Си. Перед началом использования, вам необходимо скомпилировать Си-функцию "interbin.c" с помощью команды MATLAB "mex interbin.c".

2.3. Результаты исследования

На рисунке 13 показано совместное движение котировок EURUSD и GBPUSD с 2000 по 2010 год. Сами значения котировок показаны на рисунках 14 и 15.

Фрактальная размерность множества, изображенного на рисунке 13, приблизительно равна 1.7 (рис. 16). Это означает, что движение EURUSD + GBPUSD не образует «чистого» случайного блуждания, иначе размерность была бы равна 2 (размерность случайного блуждания, в двух- и более мерных пространствах всегда равна 2).

Тем не менее, так как движение котировок очень похоже на случайное блуждание, то мы не можем изучать непосредственно сами значения котировок - при добавлении новых валютных пар, фрактальная размерность изменяется незначительно (табл. 1) и никаких выводов сделать не удастся.

Таблица 1. Изменение размерности при увеличении числа валют

Чтобы получить более интересные результаты, следует перейти от самих котировок, к их изменениям.

В таблице 2 приведены значения размерности для разных интервалов приращений и разного количества валютных пар.

	Даты	Количество точек	EURUSD GBPUSD	+USDJPY	+AUDUSD	+USDCHF	+USDCAD	+NZDUSD
M5	14 Aug 2008 - 31 Dec 2009	100000	1.9	2.8	3.7	4.4	5.3	6.2
M15	18 Nov 2005 - 31 Dec 2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.9	6.7
M30	16 Nov 2001 - 31 Dec 2009	100000	2	2.8	3.7	4.5	5.7	6.8
H1	03 Jan 2000 - 31 Dec 2009	61765	2	2.9	3.8	4.6	5.6	6.5
H4	03 Jan 2000 - 31 Dec 2009	15558	2	3	4	4.8	5.9	6.3
D1	03 Jan 2000 - 31 Dec 2009	2601	2	3	4	5.1	5.7	6.5

Таблица 2. Изменение размерности при разных интервалах приращений

Если валюты связаны между собой, то при добавлении каждой новой валютной пары, фрактальная размерность должна увеличиваться все меньше и меньше и, в итоге, должна сойтись к некоторому значению, которое покажет количество «свободных переменных» на валютном рынке.

Также, если предположить, что на котировки накладывается «рыночный шум», то на малых интервалах (М5, М15, М30) возможно заполнение всех доступных измерений шумом и этот эффект должен ослабевать на больших таймфреймах «обнажая» зависимости между котировками (аналогично как в тестовом примере).

Как видно из таблицы 2, эта гипотеза не нашла подтверждения на реальных данных: на всех таймфремах множество заполняет все доступные измерения, т.е. все валюты независимы друг от друга.

Это несколько противоречит интуитивным убеждениям о связи валют. Кажется, что близкие валюты, например GBP и CHF или AUD и NZD должны показывать схожую динамику. Например, на рисунке 17 показаны зависимости приращений NZDUSD от AUDUSD для пятиминутных (коэффициент корреляции 0.54) и дневных (коэффициент корреляции 0.84) интервалов.

Рисунок 17. Зависимости приращений NZDUSD от AUDUSD для M5 (0.54) и D1 (0.84) интервалов

Из этого рисунка видно, что при увеличении интервала, зависимость все больше вытягивается по диагонали и коэффициент корреляции увеличивается. Но, с «точки зрения» фрактальной размерности, уровень шума слишком высок, чтобы считать эту зависимость одномерной линией. Возможно, на более длительных интервалах (недели, месяцы) фрактальные размерности сойдутся к некоторому значению, но у нас нет возможности это проверить - слишком мало точек для определения размерности.

Заключение

Конечно, интереснее было бы свести движение валют к одной или нескольким независимым переменным - это серьёзно бы упростило задачу восстановления рыночного аттрактора и прогнозирования котировок. Но рынок показывает другой результат: зависимости слабо выражены и «хорошо спрятаны» в большом количестве шума. В этом плане, рынок очень эффективен.

Методы нелинейной динамики, стабильно показывающие хороший результат в других областях: медицине, физике, химии, биологии и пр, при анализе рыночных котировок требуют особого внимания и аккуратной интерпретации результатов.

Полученные результаты, не позволяют однозначно утверждать о наличии или отсутствии связи между валютами. Можно лишь сказать, что на рассматриваемых таймфреймах уровень шума сопоставим с «силой» связи, поэтому вопрос о связи между валютами остается открытым.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Размерность фрактальных поверхностей

1. Введение в размерность

3. Природные фракталы

6. Фрактальная размерность

7. Подобие и скейлинг

9. Показатель Хёрста

Список литературы

1. Введение в размерность

Важной характеристикой инженерной поверхности, наряду со стандартными параметрами шероховатости, является фрактальная размерность. Рассмотрим один из способов определения фрактальной размерности поверхности по соотношению "периметр-площадь".

Как известно, эвклидова размерность точки DE=d=0. Найдем размерность геометрических фигур, взяв в качестве примера диаметральное сечение шара радиусом r:

· длина (диаметр) L=2r (L=Vd=1),

· площадь сечения A=r2 (A=Vd=2),

· объем шара V=(4/3)r3 (V=Vd=3).

Эти известные измеряемые величины могут быть определены по общей формуле

где Г(х) ? гамма функция, равная

Если n ? целое число, то

при n=0,1,2,…

2. Размерность геометрических объектов

Размерность фрактального объекта определяется исходя из понятия фрактала. Фрактал - это множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше топологической размерности. Фрактал обладает дробной размерностью.

В двухмерном случае фрактальную кривую получают с помощью некоторой ломаной линии (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную линию, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. 1) ? это 0-е поколение кривой.

Рис. 1. Процедура построения кривой Коха

Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха. В 1-м поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/

Для получения 3-го поколения проделываются те же действия: каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом.

Кривая Коха представляет собой структуру, состоящую из частей, которые в некотором смысле подобны целому. Такие геометрические объекты относят к самоподобным объектам. Это означает, что в широком диапазоне масштабов топографические особенности и повторения объекта одни и те же.

Так, для кривой Коха, выбрав фрагмент, равный 1/3 отрезка линии, длиной, равной единице, и увеличив его в три раза, получим исходный отрезок, равный единице. Такие объекты обладают скейлингом, или масштабом измерения.

На рис. 1 представлены три поколения кривой. Если взять за основу не прямую, а треугольник и применить тот же алгоритм для каждой из сторон, то мы получим фрактал, называемый снежинкой (островом) Коха (рис. 2).

Рис. 2. Остров ("снежинка") Коха

При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис. 2 представлены первые поколения кривой, построенной по описанному принципу.

Предельная фрактальная кривая (при n> ?) называется "драконом" Хартера-Хейтуэя (рис. 3). На рис. 4 представлен "ковер" польского математика Серпинского.

Рис. 3. Процедура построения "дракона" " Хартера-Хейтуэя

Рис. 4. Построение "ковра" Серпинского

3. Природные фракталы

Облака, горы, кусты, деревья и другие растения тоже имеют фрактальную структуру. Рассмотрим процесс роста куста (рис. 5). Сначала появилась веточка, потом она выпустила два побега, на следующем этапе каждый побег вновь раздвоился, то же самое происходит на следующем этапе, и в результате из начальной "вилки" двух побегов вырастает причудливое самоподобное растение.

Рис. 5. Модель куста

Оно получено многократным повторением исходного эталона (n=1). На рис. 5 и 6 показаны примеры построения фрактальных объектов, сходных с природными образованиями (рис. 7).

Рис. 6. Построение фрактального объекта

Рис. 7. Природные фрактальные объекты:

а - горец почечуйный; б? дуб; в? сушеница топяная; г - хвощ

4. Размерность Хаусдорфа-Безиковича

Для оценки размерности Хаусдорфа-Безиковича рассмотрим измерение множества точек? метрического пространства (рис. 8).

Рис. 8. Точки в метрическом Пространстве

Разобьем пространство на квадратные ячейки с размером стороны ячейки д и подсчитаем число ячеек, покрывающих это множество. Уменьшение размера ячейки приводит к росту числа ячеек, покрывающих множество. Каждая ячейка имеет площадь д2, тогда площадь множества

где N(д) - число ячеек, покрывающих множество.

Рассмотрим некоторые величины, характеризующие множество. Так, "длина" поверхности определяется выражением

Так как, то "длина" поверхности, определяемая предельным переходом, равна:

"Объем" поверхности

Таким образом, "длина" множества стремится к бесконечности, а "объем" ? к нулю.

Для характеристик" величины" (длины, объема) множества точек? используется некоторая пробная функция, которая определяет размеры ячейки: длину при d=1, площадь при d=2, объем при d= "Величина", или мера множества? определяется как сумма "величин" всех ячеек, покрывающих метрическое пространство?:

Константа зависит от формы ячеек (для квадратной ячейки).

При некотором показателе степени d мера Md при д>0 равна либо нулю, либо бесконечности, либо некоторому (не обязательно целому) конечному положительному числу. Значение d, при котором мера Md не равна нулю или бесконечности, адекватно отражает топологическую размерность множества?.

Число dcr такое, что

называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича.

Для "простых" (не фрактальных) геометрических объектов размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадает с топологической размерностью. Для фрактальных объектов скачок меры Md от нуля к бесконечности происходит при дробных значениях d.

Пусть функция N(д) зависит от д со степенной особенностью в нуле

где б(д)дd >0 при д>0.

С точностью до бесконечно малых величин запишем

Таким образом, имеем

5. Измерение длины негладкой (изломанной) линии

Как измерить длину береговой линии?

Рассмотрим следующие сравнительно простые приемы измерения.

Пометим точками A и B начало и конец измеряемого участка (рис. 9).

Рис. 9. Измерение длины линии раствором циркуля или с помощью сетки

Одна из процедур измерения длины заключается в следующем.

Будем измерять длину линии от точки А до точки B отрезками длиной д.

Подсчитав число отрезков, найдем длину С уменьшением раствора циркуля д число отрезков N(д) растет. Типичная зависимость L(д) от д в логарифмических координатах представлена на рис. 10.

Рис. 10. Зависимость измеренной длины изломанной (береговой) линии от масштаба (длины отрезка д )

Не останавливаясь на недостатках этого метода, особенно при определении фрактальной размерности профиля шероховатой поверхности, рассмотрим другой (альтернативный) метод.

Покроем рассматриваемый участок квадратной сеткой (правая часть рис. 9) и подсчитаем число ячеек, покрывающих рассматриваемую линию.

Уменьшение размера ячеек приводит к увеличению числа ячеек, покрывающих линию AB. Следует ожидать, что число шагов измерительного циркуля или число покрывающих линию ячеек будет обратно пропорционально д или д*х д*, а величина будет стремиться к постоянному для данной линии значению L(д). Однако при уменьшении д или размера ячеек сетки длина линии не стремится к постоянному значению. При д>0 измеряемая длина непрерывно растет, т.е. при д>0 величина L(д) не является пределом.

Измеренная длина линии может быть описана следующей приближенной формулой:

где D - фрактальная размерность линии.

Легко показать, что для прямой линии и, например, для окружности D=1. Длина окружности при уменьшении д стремится к постоянному значению, равному 2рR, где R-радиус окружности.

фрактальный размерность поверхность скейлинг

6. Фрактальная размерность

Б. Мандельброт (B.B. Mandelbrot) предложил следующее определение фрактала. Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича (Х-Б) которого строго больше его топологической размерности (Е. Федер, 1991). Нестрогое определение, не требующее разъяснения понятий множество, размерность Х-Б, топологическая размерность, формулируется так: фрактал? это структура, состоящая из частей, подобных целому. Или еще проще: фрактал - это структура с дробной размерностью.

Зависимость N(д) числа отрезков д (или числа ячеек, покрывающих линию) от размера отрезка (или размера ячеек) описывается следующим с точностью до множителя соотношением:

где D - фрактальная размерность.

Если построить зависимость lgN(д)-lg(д), то фрактальная размерность равна угловому коэффициенту (наклону) графика, т.е.

Размерность, определяемая путем подсчета числа клеток (ячеек), покрывающих линию в зависимости от размера клетки, называют клеточной размерностью.

Фрактальная размерность поверхности. Покроем исследуемый участок поверхности системой одинаковых треугольников и подсчитаем суммарную площадь покрытия, равную

где AД-площадь треугольника. Разделим полученную площадь на величину номинальной площади-проекции реальной поверхности на плоскость, определяемую геометрическим очертанием исследуемого участка.

Тогда, построив в двойных логарифмических координатах зависимость относительной площади покрытия от площади покрывающего элемента, можно найти в определенном диапазоне изменения площади элемента наклон или угловой коэффициент прямой, величина которого берется со знаком минус.

В результате расчета находят фрактальную размерность поверхности, равную

Фрактальная размерность поверхности изменяется в пределах 2

7. Подобие и скейлинг

Дадим определение геометрического подобия.

Две геометрические фигуры называются подобными, если: 1) угол между каждыми двумя линиями в одной из них равен углу между соответствующими линиями в другой и 2) каждый прямолинейный отрезок в одной из них находится в постоянном отношении с соответствующим ему отрезком в другой.

Так, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны, а длины сторон, заключающих эти углы, пропорциональны.

Кроме геометрического подобия, различают кинематическое и динамическое подобия для механических явлений, лежащие в основе процедур моделирования.

Прямая линия при параллельном переносе остается самой собой.

Можно утверждать, что прямая инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба (скейлинга), т.е. она самоподобна.

Таким образом, скейлинг - это отражение масштабной инвариантности.

Для отрезка прямой единичной длины можно выбрать коэффициент подобия

где N - любое целое число (N >1).

Прямоугольный участок плоскости можно покрыть уменьшенными копиями, если их длины изменить в r(N)=(1/N)1/2 раз.

Аналогично прямоугольный параллелепипед можно покрыть его уменьшенными копиями, выбрав масштабный множитель r(N)=(1/N)1/ В общем случае масштабный множитель следует выбрать равным

где d - размерность подобия, равная 1 - для прямой, 2 - для плоскости и 3 - для объемных фигур.

Для фрактальных геометрических структур размерность подобия Dp определяется выражением

8. Самоподобие и самоаффинность

В качестве примера возьмем движение броуновской частицы. Ее координаты на плоскости (х,y) и время (t) являются физическими величинами, имеющими разную размерность. Вот почему координаты и время будут иметь разные коэффициенты подобия. Аффинное преобразование переводит точку x=(x1,x2,…,xE) в новую точку x"=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE), где не все коэффициенты подобия r1, …,rE одинаковы.

Для самоаффинного профиля можно записать

Здесь b-масштаб увеличения; Н-показатель степени (показатель Хёрста).

Показатель Хёрста изменяется в диапазоне 0

9. Показатель Хёрста

Показатель Хёрста позволяет определить фрактальную размерность последовательности измерений, в частности, он использовался в качестве инструмента для статистической оценки высот волн [Е. Федер]. Считается установленной связь между показателем Хёрста и фрактальными размерностями высот волн и поверхности, которая выражается следующими простыми соотношениями для профиля и поверхности: D=2-H; DS=3-H. Рассмотрим методику определения показателя Хёрста.

1. Находим N высот вершин выступов H={h1, h2,…,hN}T и определяем относительные значения этих высот х1,х2,…,хN, хi, где. Если высоты выступов подчиняются бетараспределению, то значения хi хi.

2. Находим выборочное (из N высот выступов) среднее

Определяем накопившееся отклонение

График изменения накопившегося отклонения для высот выступов, имеющих бета-распределение при N=50, представлен на рис. 11.

Рис. 11. Зависимость накопившегося отклонения X(n,N) от N

Из графика находим размах R.

4. Вычисляем стандартное отклонение? выборочное среднее квадратическое отклонение относительных высот выступов

5. Представим отношение R/S, зависящее от показателя Хёрста, в виде

где Нпоказатель Хёрста.

При репрезентативной выборке высот выступов показатель Н можно найти, используя приведенное эмпирическое выражение Хёрста. Представляет интерес найти зависимость R/S от числа рассматриваемых выступов N. Эта зависимость в логарифмических координатах будет представлять собой прямую линию, наклон которой определяется показателем Хёрста. Фрактальная размерность последовательности относительных значений высот выступов будет равна D=2-H.

Рассмотрим следующий пример. В качестве исходных данных были взяты ординаты профиля поверхности (с шагом 10 мкм). Длина трассы составила 800 мкм. Ординаты имели вертикальное увеличение, равное 50 000. На рис. 12 показаны профиль поверхности (кривая 1) и накопленное отклонение ординат от средней линии (кривая 2).

Рис. 12. Профиль поверхности (1) и накопленное отклонение (2) ординат от средней линии профиля

Размах зависит от рассматриваемой длины профилограммы (числа номеров ординат). Ясно, что размах растет с увеличением. Зависимость нормального размаха, определяемого выражением (R/S), от показана в логарифмических координатах для рассматриваемой стальной поверхности на рис. 1.

Рис. 13 Метод нормированного размаха для оценки фрактальной размерности профиля

Рассмотрим алгоритм определения показателя Хёрста с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Будем искать уравнение регрессии в виде

где y=lg(R/S), b=lg(a), m=H, x=lg(ф/2).

Вход: N (число точек), (оi, зi), i=1,2,…,N (координаты точек)

Выход: b=lg(a) (сдвиг), m=H (наклон)

Алгоритм:

Аппроксимирующей функцией зависимости, представленной на рис. 13, является степенная зависимость вида:

Таким образом, показатель Хёрста равен H=0,35, и фрактальная размерность профиля оценивается величиной D=2 H=2 0,35=1,65.

Статистическая самоаффинность обусловлена сходством внешнего вида профиля при разных масштабах. Иными словами, шероховатая поверхность всегда негладкая при рассмотрении с разным увеличением.

При 0,5

При 0

В качестве примера на рис. 14 показана последовательность временного ряда (или ординат профиля шероховатой поверхности) и зависимость нормированного размаха от времени (длины профиля).

Рис. 14. Последовательность ординат и зависимость нормированного размаха от длины

Обращает на себя внимание разное значение показателя Хёрста на трех участках R/S - анализа. При малом числе элементов показатель Хёрста близок к единице и не совсем отражает фрактальную структуру объекта.

Сейлс и Томас (R.S. Sayles, T.R. Thomas) измерили и проанализировали шероховатость поверхностей разнообразных объектов, в том числе и инженерных металлических поверхностей.

Высота поверхности z измерялась в различных точках х вдоль некоторого направления. Имея большое число измерений по всему участку поверхности, можно рассчитать шероховатость поверхности, определяемую дисперсией:

Здесь угловые скобки обозначают усреднение по серии измерений (иногда многократных повторных) топографии поверхности. Точка отсчета по вертикали выбирается так, что

Важной мерой статистических свойств поверхности является корреляционная функция, определяемая соотношением:

Для стационарных поверхностей корреляционную функцию можно выразить через спектр мощности G() с помощью преобразования Фурье

Здесь щ - частота.

Для шероховатой поверхности нижний и верхний пределы интегрирования будут соответствовать щ min и щ max.

Оценка частот характеризуется первым и вторым кроссоверами (рис. 1.3).

Для самоаффинного или самоподобного профиля поверхности спектральная плотность имеет степенной вид

Здесь f - частота дискретизации; а и b - коэффициенты регрессии.

Коэффициент а носит название коэффициент изрезанности, а b - характеризует фрактальную размерность профиля.

10. Соотношение "периметр-площадь"

Сравним соотношение "периметр-площадь" для нефрактальных (табл. 1) и фрактальных геометрических объектов.

1. Нефрактальные объекты.

Таблица 1. Соотношение "периметр - площадь" в эвклидовой геометрии

2. Фрактальные объекты.

По аналогии с нефрактальными объектами запишем соотношение "периметр-площадь" в виде

Здесь P - периметр; A - площадь; R(д) - параметр, зависящий от масштаба измерения (размера квадратной ячейки); D - фрактальная размерность "береговой" линии (1 < D < 2).

Учитывая, что периметр определяется выражением

запишем соотношение (1) в виде

Здесь с - коэффициент.

Изменение периметра при разных масштабах измерения определяется по формуле

Соотношение (2) выражает условие самоподобия "островов" с фрактальными границами (при этом масштаб измерения д должен быть достаточно маленьким, чтобы точно измерять область наименьшего острова).

Прологарифмируем соотношение (2)

Преобразовав полученное выражение, запишем:

На рис. 15 показана зависимость "периметр - площадь", представленная в логарифмических координатах.

Угловой коэффициент прямой, представленной на рис. 15, равен 2/D.

Рис. 3.15. Зависимость "площадь - периметр"

Анализ выражения (3) показывает, что величиной

2lg(c1/Dд1-D)/D),

зависящей от масштаба измерения д, можно пренебречь, так как при достаточно большом масштабе измерения "остров" становится нефрактальным объектом. Действительно, при D=DE=1 и масштабе, при котором с=1, имеем:

Окончательно запишем

Из выражения (4) найдем фрактальную размерность "береговой" линии

График (рис. 15), построенный в двойных логарифмических координатах, отражает условие самоподобия и позволяет найти фрактальную размерность.

Процедура определения фрактальной размерности заключается в покрытии фрактального объекта? "острова" - квадратной сеткой с размером ячейки д.

В этом случае периметр и площадь фигуры можно определить по формулам

где - число заполненных "береговой" линией ячеек; - число ячеек, покрывающих площадь "острова".

Таким образом, после подсчета и, по формулам (5) и (4) вычисляется фрактальная размерность D.

Для определения фрактальной размерности поверхности используем подход, предложенный Б. Мандельбротом

11. Размерность фрактальных поверхностей

Соотношение периметр-площадь используют, чтобы характеризовать множество фрактальных объектов, используемых в широком диапазоне научных и технических проблем.

В частности, это соотношение эффективно используется в работах, в которых дается характеристика поверхностей излома стали и методика для определения конкретных поверхностей изломов.

Применительно к инженерным поверхностям подобное соотношение используется редко. В основном при определении фрактальной размерности поверхности применяют метод покрытия. На рис. 16 представлены модели фрактальных поверхностей при разных значениях фрактальной размерности.

Для определения фрактальной размерности поверхности рассмотрим контакт фрактальной поверхности с гладкой.

В качестве примера возьмем сечение поверхности плоскостью, параллельной срединной плоскости. На рис. 17 представлено такое сечение фрактальной поверхности с DS = 2,6.

Рис. 16. Модели фрактальных поверхностей

Рис. 17. Сечение фрактальной поверхности

Считается, что все "острова" на рис. 17 самоподобны. Тогда для анализа соотношения периметр-площадь выделим характерный "остров" (рис. 18).

Рис. 18. Изображение "острова"

На рис. 19 представлена процедура определения фрактальной размерности клеточным методом.

Рис. 19. К оценке фрактальной размерности: покрытие фрактального объекта сеткой с квадратными ячейками (Paul S. Addison)

На рис. 20 представлен график зависимости "площадь-периметр" в двойных логарифмических координатах, построенный на основании рис. 19.

При этом считаем, что число квадратов пропорционально соответствующим параметрам: площади и периметра

Зависимость числа клеток, покрывающих площадь "острова" NA, от числа клеток, в которых попала "береговая" линия острова NP , построенная в логарифмических координатах при разных размерах стороны квадратной ячейки, оценивается в данном примере уравнением регрессии

NA=-69,14+3,303NP.

Рис. 20. Зависимости "площадь-периметр"

Фрактальная размерность определяется выражением

При исследовании контакта двух фрактальных поверхностей, имеющих свои фрактальные размерности, привлекательным моментом является замена двух фрактальных поверхностей на контакт гладкой поверхности с приведенной фрактальной.

С этой целью используем ранее рассмотренную процедуру. Смоделируем контакт двух поверхностей и определим пятна касания при некотором сближении.

На рис. 21 показана картина контакта двух поверхностей с выделенным для исследования "островом".

Рис. 21. Контакт фрактальных поверхностей

Список литературы

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт: [пер. с англ.]. - М.: Институт компьютерных исследований, 2012. - 656 с.

2. Федер Е. Фракталы / Е. Федер: [пер. с англ.]. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

3. Mandelbrot B.B. Fractal character of fracture surfaces of metals / B.B. Mandelbrot //Nature, 1984. - V. 308. - P. 721-722.

4. Mu Z.Q. Studies on the fractal dimension and fracture toughness of steel / Z.Q. Mu, C.W. Lung // J. Phys. D: Appl. Phys., 1988. - V. 21. - P. 848-850.

5. Sayles R.S. Surface topography as a nonstationary random process / R.S. Sayles, T.R. Thomas // Nature, 1978. - V. 271. - P. 431-434.

6. Addison P.S. Fractals and Chaos-An Illustrated Course / P.S. Addison. - Inst.of Physics Publishing. - Bristol, 2007.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Сущность понятия "фрактал". Сущность фрактальной размерности. Размерность Хаусдорфа и ее свойства. Канторово множество и его обобщение. Снежинка и кривая Коха. Кривая Пеано и Госпера, их особенности. Ковер и салфетка Серпинского. Дракон Хартера-Хейтуэя.

курсовая работа , добавлен 23.07.2011


Представление о взаимном расположении поверхностей в пространстве. Линейчатые и нелинейчатые поверхности вращения. Пересечение кривых поверхностей. Общие сведения о поверхностях. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою.

реферат , добавлен 10.01.2009


Характеристика семейства поверхностей. Касательная прямая и плоскость. Криволинейные координаты. Вычисление длины дуги кривой на поверхности и ее площади. Угол между двумя линиями на поверхности. Нормальная кривизна линий, расположенных на поверхности.

дипломная работа , добавлен 18.05.2013


Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Краткий обзор развития геометрии. Призма. Площадь поверхности призмы. Призма и пирамида. Пирамида и площадь ее поверхности. Измерение объемов. О пирамиде и ее объеме. О призме и параллелепипеде. Симметрия в пространстве.

реферат , добавлен 08.05.2003


Способы формообразования и отображения поверхностей. Закон образования поверхности. Основные свойства, вытекающие из закона образования поверхности вращения. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Образование каркаса циклических поверхностей.

реферат , добавлен 19.05.2014


Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.

курсовая работа , добавлен 28.06.2009


Классические фракталы. Самоподобие. Снежинка Коха. Ковер Серпинского. L-системы. Хаотическая динамика. Аттрактор Лоренца. Множества Мандельброта и Жюлиа. Применение фракталов в компьютерных технологиях.

курсовая работа , добавлен 26.05.2006


Из всех прямоугольников с площадью 9 дм2 найдите тот, у которого периметр наименьший.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

задача , добавлен 11.01.2004


Подробный анализ поверхностей Каталана и условия, отделяющие этот класс от класса линейчатых поверхностей. Формулы для расчета первой и второй квадратичных форм поверхностей класса КА. Доказательство утверждений о влиянии вида кривых на тип поверхности.

О фракталах говорят много. В Паутине созданы сотни сайтов, посвящённых фракталам. Но большая часть информации сводится к тому, что фракталы это красиво. Загадочность фракталов объясняют их дробной размерностью, но мало кто понимает, что же такое дробная размерность.

Где-то в 1996 меня заинтересовало, что же такое дробная размерность и каков её смысл. Каково же было моё удивление, когда я узнал, что это не такая уж сложная вещь, и понять её может любой школьник.

Я постараюсь изложить здесь популярно, что же такое дробная размерность. Чтобы компенсировать острый дефицит информации по этой теме.

Измерение тел

Сперва небольшое введение, чтобы привести наши бытовые представления об измерении тел в некоторый порядок.

Не стремясь к математической точности формулировок, давайте разберёмся, что же такое размер, мера и размерность.

Размер объекта можно померить линейкой. В большинстве случаев размер получается малоинформативен. Какая «гора» больше?

Если сравнивать высоты, то больше красная, если ширины - зелёная.

Сравнение размеров может быть информативным если предметы подобны друг другу:

Теперь какие бы размеры мы ни сравнили: ширину, высоту, сторону, периметр, радиус вписанной окружности или любые другие, всегда получится, что зелёная гора больше.

Мера тоже служит для измерения объектов, но она измеряется не линейкой. О том, как именно она измеряется мы ещё поговорим, а пока отметим её главное свойство - мера аддитивна.

Выражаясь на бытовом языке, при слиянии двух объектов, мера суммы объектов равна сумме мер исходных объектов.

Для одномерных объектов мера пропорциональна размеру. Если вы возьмёте отрезки длиной 1см и 3см, «сложите» их вместе, то «суммарный» отрезок будет иметь длину 4см (1+3=4см).

Для не одномерных тел, мера вычисляется по некоторым правилам, которые подбираются так, чтобы мера сохраняла аддитивность. Например, если вы возьмёте квадраты со сторонами 3см и 4см и «сложите» их (сольёте их вместе), то сложатся площади (9+16=25см²), то есть сторона (размер) результата будет 5см.

И слагаемые, и сумма являются квадратами. Они подобны друг другу и мы можем сравнивать их размеры. Оказывается, что размер суммы не равен сумме размеров слагаемых (5≄4+3).

Как же связаны мера и размер?

Размерность

Как раз размерность и позволяет связать меру и размер.

Давайте обозначим размерность - D, меру - M, размер - L. Тогда формула, связывающая эти три величины будет имеют вид:

Для привычных нам мер эта формула приобретает всем знакомые обличия. Для двухмерных тел (D=2) мерой (M) является площадь (S), для трёхмерных тел (D=3) - объём (V):

S = L 2 , V = L 3

Внимательный читатель спросит, по какому праву мы написали знак равенства? Ну хорошо, площадь квадрата равна квадрату его стороны, а площадь круга? Работает ли эта формула для любых объектов?

И да и нет. Вы можете заменить равенства на пропорциональности и ввести коэффициенты, а можете считать, что мы вводим размеры тел именно так, чтобы формула работала. Например для круга мы будем называть размером длину дуги равной корень из «пи» радиан. А почему нет?

В любом случае, наличие или отсутствие коэффициентов не изменит суть дальнейших рассуждений. Для простоты, я не буду вводить коэффициенты; если хотите, вы можете их добавить самостоятельно, повторить все рассуждения и убедиться, что они (рассуждения) не утратили своей справедливости.

Из всего сказанного нам следует сделать один вывод, что если фигуру уменьшить в N раз (отмасштабировать), то она будет укладываться в исходной N D раз.

Действительно, если уменьшить отрезок (D=1) в 5 раз, то он поместится в исходном ровно пять раз (5 1 =5); Если треугольник (D=2) уменьшить в 3 раза, то он уложится в исходном 9 раз (3 2 =9).

Если куб (D=3) уменьшить в 2 раза, то он уложится в исходном 8 раз (2 3 =8).

Верно и обратное: если при уменьшении размера фигуры в N раз, оказалось, что она укладывается в исходной n раз (то есть мера её уменьшилась в n раз), то размерность можно вычислить по формуле.