1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x 2 + 2x + a - 1 = 0 имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4a 2 - 8a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.

2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a 2 -4(8a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a 2 -8a -3 > 0, откуда

2. Ответ:

a О (-Ґ ; 1 –

Ц 7 2

) И (1 +

Ц 7 2

; Ґ ).

3. Задача.
Известно, что
f 2 (x ) = 6x -x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 (x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 (x ) и f 2 (x ) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 (x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx +b и y = ax 2 +bx +c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx +b = ax 2 +bx +c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6x -x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x -a = 6x -x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2ax -3a і 0 содержит отрезок .

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f (x ) = x 2 -2ax -3a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f (x ) і 0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2a -2)x - 3a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 +a -6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

5. Ответ: 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2-a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О , а не завсиит от знака дискриминанта. Выполним схематически рисунки (для D>0)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image020_10.jpg" width="624" height="209 src=">

Для каждого из трех случаев а), б), в) наименьшее значение функции f(t) = t2-8at+7a2

на отрезке достигается соответственно в точках при х =1, х =2а, х =1/4. Тогда вопрос на ответ решение совокупности трех систем:

1≤4а 1/4<4а<1 4а<1/4

f(1)<0 или f(4а)<0 или f(1/4)<0

а≥1/4 1/16<а<1/4 а≤1/16

1 – 8а + 7а2 <0 или 16а2 – 32а2 + 7а2<0 или 1/16 – 2а + 7а2<0.

Ответ: 1/28<а<1.

Тестовые задания

1). При каких значениях параметра а графики функций y = 2х – а и y = (а +1)х2 + 1 пересекаются только в одной точке?

2). Найдите все значения параметра а, при которых графики функций y = (а +5)х2 – 1 и

y = (3а + 15)х – 4 не имеют общих точек?

3). При каких значениях параметра а уравнение (а +4)х2 +6х –1 = 0 имеет единственное решение?

4). При каких значениях параметра а уравнение (2а +8)х2 –(а + 4)х +3 = 0 имеет единственное решение?

5). При каких значениях параметра а уравнение имеет более одного решения?

а) (а +6)х2 - 8х +а = 0

б) а(2а + 4) х2 – (а +2)х – 5а – 10 = 0.

6). Найдите все значения параметра к, при которых кривая y = х2 + кх + 4 касается оси ОХ.

7). При каком наименьшем целом значении параметра к квадратный трехчлен

(к–2)х2+8х +к+4 положителен при всех действительных значениях х?

8). Числа х, y, а таковы, что х + y = а –1, х2 + y2 = 5а2 – 3а + 0,5. При каких значениях параметра а произведение хy принимает наибольшее значение?

9). Числа х, y, а таковы, что х + y = а +1, хy = а2 – 3а + 4. При каких значениях параметра

а сумма х2 + y2 принимает наибольшее значение?

10). Найдите наибольшее и 1 наименьшее значение функции y = 2х2 – 2ах + на отрезке

11). Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена 1–(а–2)х –х2 на отрезке

12). При каких значениях параметра а наименьшее значение функции y = х2 +(а+4) х+2а+3 на отрезке равно –4?

13). При каких значениях параметра а наименьшее значение функции y = х2 –(а+2) х+а2 на отрезке [-1;1] равно 4?

14). При каких значениях параметра а наибольшее значение функции

f(х) = -(1/а)х +(7/а) ·3-х – 3а2 на отрезке [-1;0] отрицательно?

Ответы к тестовому заданию

1) а=-2, а=-1, а=0.

2) –19/3<а≤-5.

3) а=-4, а=-13.

5) а) -8<а<-6 и -6<а<2

б) а=-2; -1/40 0.

10) Если а<-2, то наименьшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

если -2≤а<0, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=1 и равно 3–2а;

если 0≤а<2, то наименьшее значение функции при х= хо и равно 1–а2/2, наибольшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а;

если а≥2, то наименьшее значение функции при х= 1 и равно3–2а, наибольшее значение функции при х=-1 и равно 3+2а;

11) Если а≤0, то -6а2-а+2, если 0<а<8/5, то 2- 6а +а2/4, если а ≥8/5, то 19а-6а2 -14

13) а=-2 или а=(1+√21)/2

14) |а|>(7√3)/12.

Расположение корней квадратного трехчлена

Рассмотрим ряд типичных задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена ах2+bх+с. Все рассуждения проведем, предполагая а>0. Если а<0,то рассуждения проводятся аналогично.

Задача №1.

При каких условиях оба корня квадратного уравнения ах2+bх+с =0 (необязательно различные) больше некоторого заданного числа к?

Решение.

Построим схематические графики функции квадратного трехчлена y= ах2+bх+с, где х1 и х2 удовлетворяют условиям: х1>к, х2 >к. Пусть f(х)= ах2+bх+с. График y= f(х) либо пересекает ось ОХ (D >0), либо касается ее (D =0). Тогда необходимо выполнить условие: хо>к, y(к) >0. Если а< 0 условие: х1>к, х2>к определяются системой неравенств:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image023_20.gif" width="14" height="86">

Рис.4

Задание 11. Найдите все значения параметра а, при которых все корни уравнения

х2–6ах+2–2а+9а2 =0 больше 3.

Решение.

При выполнении требуемого условия возможны следующие положения параболы, являющейся графиком функции f(х)= х2–6ах+2–2а+9а2

Рис.5

Решим систему неравенств:

https://pandia.ru/text/78/525/images/image026_8.jpg" align="left" width="324" height="239 src=">

Достаточно выполнить условие: y(к)<0, если а >0.При а<0, y(к) > 0.

Рис. 6

Задание 12. Найдите все значения параметра а, при которых 1 лежит между корнями уравнения х2–2ах+3–4а+2а2=0.

Решение.

Т. к. старший коэффициент положителен, достаточно выполнить условие f(1)<0, где f(х)=х2–2ах+3–4а+2а2

4–6а+2а2<0, 1<а<2.

Ответ: 1<а<2

Задача №3. При каких условиях ровно один корень квадратного уравнения ах2+bх+с =0, имеющего различные корни, лежит на интервале (к, е)?

Построим схематически графики у= ах2+bх+с по условию данной задачи для а >0.

https://pandia.ru/text/78/525/images/image028_8.jpg" width="623" height="246 src=">

Решим неравенство: f(1) · f(2)<0.

(а2+8а+7)(а2+14а+16)<0

7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

Ответ: -7-√33< а<-7; -7+√33<а<-1.

Задание 14. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение 2cos(2x)+2asin(x)+a-1=0 имеет единственное решение на промежутке (-π/2;0).

Решение .

2cos(2x)+2a·sinx+a-1=0

2(1–2 sin2х)+ 2a·sinx+a–1=0

4 sin2х–2а sinx –a–1=0

Пусть sinx=t Т. к. -π/2<х<0, то -1< t <0

Найдите те значения параметра а, при которых уравнение 4t2– 2at–a–1=0 имеет единственное решение на промежутке (-1;0).

Уравнение 4t2– 2at–a–1=0 имеет единственное решение на промежутке (-1;0), если:

1). D =0 D/4=(а+2)2 D =0 при а=-2.

2). Рассмотрим функцию f(t)= 4t2– 2at–a–1

Построим схематически график функции y=f(t)

https://pandia.ru/text/78/525/images/image030_16.gif" width="14" height="50 src=">

f(0) · f(1) ≤0 а≤-3; а≥-1

Ответ: а≤-3; а≥-1; а=-2.

Задача №4. При каких условиях оба корня (необязательно различные) квадратного уравнения ах2+bх+с лежат на отрезке [к; е]. Рассмотрим при условии а>0. Пусть есть функция f(х)= ах2+bх+с

https://pandia.ru/text/78/525/images/image032_14.gif" width="14" height="110"> D≥0

к≤ хо≤ е

Задание 15 . Найдите те значения параметра а, при которых все корни уравнения

х2- 2(а–3)х–а +3=0 лежат в интервале (-3;0).

Решение.

При условии существования хотя бы одного корня график функции f(х)= х2- 2(а–3)х–а +3 может быть схематически расположен одним из двух способов

https://pandia.ru/text/78/525/images/image034_12.gif" width="14" height="110"> D≥0 4(а – 3)(а – 2) ≥0

3<хо<0 3<а – 3 <0 1,2<а≤2.

f(-3) >0 5а – 6>0

f(0) >0 -а+3>0

Уравнение sin x − 1 + a = sin x − 2 . sin x − 2 sin x − 3 Решение. Полагая t = sin x, приведем уравнение к виду at2 − 5at + 6a − 1 = 0. Если a = 0, то решений нет. При a = 0 и при условии a ∈ (−∞; −4] ∪ (0; +∞) √ полу- 2 + 4a чаем корни уравнения t1,2 = 5a ± 2aa . Так как вершина параболы f (t) = at2 − 5at + 6a − 1 находится в точке tв = 2 , 5 условие |t| 1 для меньшего из корней будет выполняться, ес- ли на концах отрезка [−1; 1] функция будет иметь разные знаки: f (−1)·f (1) 0 или (2a−1)(12a−1) 0. Решением последнего 1 неравенства является интервал a ∈ 12 ; 1 .2 √ a2 Ответ: Если a ∈ 12 ; 2: x = (−1)n arcsin 5a− 2a +4a +πn, n∈Z, 1 1 при других a решений нет. Задача 6.7. При каких значениях параметра a функция f (x) = 8ax − a sin 6x − 7x − sin 5x является возрастающей на всей числовой оси и не имеет критических точек? Решение. Функция f (x) дифференцируема при любом значении a и f (x) = 8a − 6a cos 6x − 7 − 5 cos 5x. Задачу можно переформулировать так: при каких a неравенство 6a cos 6x + 5 cos 5x < 8a − 7 справедливо для любого x? Так как последнее неравенство должно выполняться для любого значения x, оно должно быть справедливо и для x = 0, от- куда 6a + 5 < 8a − 7 или a > 6. Учитывая теперь, что 6a cos 6x + 5 cos 5x 6|a| + 5 < 8a − 7, приходим к выводу, что при a > 6 неравенство справедливо для любого x. Ответ: a > 6. Задачи для самостоятельного решения Задача 6.8. (СГАУ) В зависимости от значений параметра a решите уравнение cos4 x − (a + 2) cos2 x √ a − 3 = 0. − Ответ: Если a ∈ [−3; −2] : x = arccos a + 3 + πk, k ∈ Z, если a ∈ [−3; −2] : решений нет. Задача 6.9. (СГАУ) В зависимости от значений параметра a решите уравнение sin4 x + cos4 x + sin 2x + a = 0. 61 √ Ответ: Если a ∈ − 3 ; 2: x = 1 (−1)k arcsin(1− 2a−3) + πk, 2 1 2 3 ; 1: решений нет. если a ∈ − 2 2 k ∈ Z, Задача 6.10. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение (a2 +8a+16)(2−2 cos x− sin2 x)+(32+2a2 +16a)(cos x−1)+3a+10=0 не имеет решений? Ответ: a < − 10 ; −3 < a < −2. 3 Задача 6.11. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga−2 17 + cos x − sin x = 3 8 имеет решение? √ 2 3 Ответ: a ∈ 2 5 ; 3 ∪ 3; 2 + 26 . 2 Задача 6.12. (СГАУ) При каких значениях параметра a урав- нение loga+1 25 + cos x − 2 sin x = 3 8 2 имеет решение? √3 37 Ответ: a ∈ − 1 ; 0 ∪ 0; 2 − 1 . 2 Задача 6.13. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 2+cos x·(3 cos x+a sin x) не равно нулю ни при каких значениях x? √ √ Ответ: a ∈ −2 10; 2 10 . Задача 6.14. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a значение выражения 3 + sin x · (2 sin x + a cos x) будет равно −1 хотя бы при одном значении x? √ √ Ответ: a ∈ −∞; −4 6 ∪ 4 6; +∞ . Задача 6.15. (ЕГЭ) При каких значениях параметра a сумма loga (sin x + 2) и loga (sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x? Ответ: a ∈ [ 2; 12 ]. Задача 6.16. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 4 sin x · sin y · cos(x + y) − 0,5 = 0 x−y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. 62 Ответ: Если α = 2πn: x = ±π 6 + π(k+n) π y = ±6 + π(k−n); если α = π+2πn: x = ±π 3 + π + π(k+n) 2 y = ±π 3 − π + π(k−n), 2 n, k ∈ Z. Задача 6.17. (СГАУ) При каких значениях параметра α систе- ма 2 sin x · cos y · sin(x − y) + 0,25 = 0 x+y =α имеет решения? Найдите эти решения в зависимости от значений параметра α. Ответ: Если α = π +2πn: x = (−1)k+1 π + π + π (2n+k) 2 12 4 2 k π + π + π (2n−k); y = (−1) 12 4 2 если α = − 2 π +2πn: x = (−1)k π − π + π (2n+k) 12 4 2 y = (−1) k+1 π − π + π (2n−k), 12 4 2 n, k ∈ Z. Задача 6.18. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ 2 2 (sin x − cos x) − a + 7 log 2a+34 15 <0 35 выполняется для любых значений x? 1 Ответ: a ∈ (−17; −12) ∪ 2 ; 3 . Задача 6.19. (СГАУ) При каких значениях параметра a нера- венство √ log 3−2a 3 sin x + 3 3 cos x − 2a − 12 > 0 23 28 выполняется для любых значений x? Ответ: a ∈ (−∞; −23) ∪ (−10; −9). Задача 6.20. В зависимости от значений параметра a решите неравенство cos x 2 − a2 . Ответ: |a| √ : x ∈ R, 1 1<|a| √3: x ∈ arccos(2−a2)+2πk; π− arccos(2−a2)+2πk , |a|> 3: решений нет. k∈Z Задача 6.21. При каких значениях параметра a уравнение tg x (a + 1) tg2 x − 2 cos x + a = 0 не имеет решений? Ответ: a −3; a 1. 63 Учебное пособие ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ Составители: Ефимов Евгений Александрович Коломиец Людмила Вадимовна Компьютерный набор и верстка Е.А. Ефимов Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева. 443086, Самара, Московское шоссе, 34. – РИО Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П. Королева. 443086, Самара, Московское шоссе, 34.

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов

САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ

Итоговая работа

На курсах повышения квалификации

По ИОЧ ВБ

«Методические особенности обучения решению задач с параметром в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

(15.06 - 19.06.2015г.)

Проектирование многоуровневой системы задач с параметром по теме:

«Производная»

Выполнила:

Валиева Ф.Г.,

учитель математики

ГБОУ СОШ им. М.К. Овсянникова

с. Исаклы

Самара

2015 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ФИО (полностью)

Валиева Фанузя Галимзяновна

Место работы

ГБОУ СОШ им. М.К. Овсянникова с.Исаклы,

Исаклинского района, Самарской области

Должность

Учитель математики

Предмет

Математика

Класс

Цели:

1. реализация требований ФГОС ООО при изучении темы:«Производная»

   Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности по теме «Производная»; формирование умений решать задачи с параметрами.

   Развитие исследовательской и познавательной деятельности.

Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России является методологической основой разработки и реализации федерального государственного образовательного стандарта общего образования.

Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образовании о школьном курсе математики.

В основе Стандарта лежит системно-деятельностный подход.

Стандарт устанавливает требования к результатам освоения обучающимися основной образовательной программы основного общего образования:

личностным ;

метапредметным ;

предметным .

Задачи:

- обучающие: анализировать и осмысливать текст задачи, самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, переформулировать условие, строить логическую цепочку рассуждений, критически оценивать полученный ответ, осознанное и произвольное построение речевого высказывания, выбор наиболее эффективного способа решения задач, постановка и формулирование проблемы, выдвижение гипотез и их обоснование, смысловое чтение;

-развивающие: целеполагание, планировать свою деятельность в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности, саморегуляция, через решение задач, развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, интеллектуальные качества: способность к “видению” проблемы, оценочным действиям, самостоятельности, гибкости мышления;

-воспитательные: смыслообразование, умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность.

Задачи с параметрами - это нестандартные задачи, т.е. необычные как по постановке и содержанию, так и по методам решения. Роль таких задач, их важность и польза для развития логического мышления, интуиции, творческих способностей учащихся, формирования у них высокой математической культуры очень велики. Известно, что педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению таких задач, несмотря на наличие, довольно большого количества учебных пособий и журнальных статей. Причина этого достаточно очевидна: основная стратегия математического образования в школе – это развитие умений и навыков решения определенного набора стандартных задач, в большинстве своем связанных с техникой алгебраических преобразований. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач – задач, для решения которых необходимо прежде всего умение проводить – порой довольно разветвленные – логические построения и исследования.

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, наличие навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умении объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач.

В настоящее время достаточно широкое распространение получила идея совмещения обучения решению задач с обучением их конструированию. Под конструированием задачи – мы будем понимать процесс создания новой задачи. В основе конструирования задачи – лежит умение составлять квадратный трехчлен. При этом используются различные приемы: аналогия, варьирование коэффициентов квадратного трехчлена, варьирование новой переменной, варьирование требования задач. В качестве коэффициентов и новой переменной могут выступать более сложные функции. Тем самым можно использовать такой квадратный трехчлен, который поможет в организации повторения более сложных функций: показательной, логарифмической, тригонометрической. С одной стороны нужно знать свойства квадратного трехчлена, а с другой стороны повторяются свойства функции, тем самым достигается комбинированность задачи.

Выбор задачи с параметрами для обучения их решению и конструированию, можно объяснить следующими обстоятельствами:

при решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более глубокое, прочное усвоение программных вопросов;

решение задач с параметрами расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач;

происходит развитие математического, логического мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать;

приобретаются навыки к исследовательским работам;

помощь при подготовке к экзаменам;

происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:

Этапы решения задач

Формируемые УУД

Анализ условия (введение буквенных обозначений)

• целеполагание;

  выделение существенной информации;

  формулирование задачи и прогнозирование способов решения;

  абстрагирование;

  аналогия;

  классификация (типологизация);

  знакосимволические действия.

Схематическая запись условия задачи в виде таблицы, схемы, графа с введенными буквенными обозначениями

• планирование;

  систематизация;

  знакосимволические действия;

  моделирование.

Составление модели (поиск аналога, привлечение из математики или физики известного закона)

• создание способа решения залачи;

  корректировка условия;

  моделирование в графическом виде.

Решение уравнения, системы и т.д. (поиск неизвестного)

• анализ и выявление существенной информации;

  выведение следствий;

  построение цепи рассуждений;

  выдвижение и проверка гипотез;

  преобразование модели.

Интерпретация модели (проверка и оценка решений, корней)

• анализ;

  выведение следствий;

  конкретизация;

  знакосимволическое действие (интерпретация).

Исследование (обобщение задачи или способа её решения для видоизмененных условий, другие подходы к решению)

• анализ;

  синтез;

  поиск аналогов;

  построение цепи рассуждений;

  умение сжато передать содержание;

  умение схемы, символы, модели;

  создание способов решения проблем поискового, творческого характера.

Рефлексия

• смыслообразование;

  планирование;

  контроль;

  коррекция;

  оценка;

  волевая саморегуляция;

  готовность к саморазвитию, к самообразованию;

  умение самостоятельно определять цели своего обучения;

  ставить и формулировать для себя новые задачи;

  развивать мотивы и интересы своей образовательной деятельности.

Многоуровневая система задач

В основе методики обучения на базе многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач.

Многоуровневая система задач для каждой темы курса формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов содержания образования и соответствующих им базовых задач, – с одной стороны, и уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, – с другой.

Такая матрица системы задач темы содержит 3 строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач, и N столбцов, отражающих количество базовых задач темы. Подобное табличное (матричное) представление системы задач темы помогает осуществить полноценное наполнение на каждом уровне ее математического и деятельностного (формирование УУД) компонентов и тем самым реализовать критерии предметной и деятельностной полноты (имея в виду познавательные УУД) формируемой системы учебных задач. При этом если базовые задачи выполняют в системе роль своеобразных интеграторов предметно-содержательной компоненты, то при проектировании и реализации процесса обучения аналогичную роль должны играть универсальные учебные действия (общие методы и приемы деятельности) в выделенных ситуациях.

Учебная деятельность при решении задач, входящих в первую строку матрицы, носит репродуктивный характер (используются такие общеучебные действия, как классификация, подведение под понятие, выведение следствий, действия, построение логической цепи рассуждений, доказательство и т.д.). Используемые при этом задачи отличаются явными связями между данными и искомыми (известными и неизвестными) элементами. Ученик идентифицирует (распознает знакомые задачи в ряду подобных), воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий, применяет усвоенные знания в практическом плане для некоторого известного класса задач и получает новую информацию на основе применения усвоенного образца деятельности

При решении задач второй строки репродуктивная учебная деятельность сочетается с реконструктивной, в которой образцы деятельности не просто воспроизводятся по памяти, а реконструируются в несколько видоизмененных условиях (здесь проявляются такие общеучебные действия, как выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации, знаково-символические действия, включая математическое моделирование, структурирование знания).

Наконец, при решении задач третьей строки учебная деятельность носит исследовательский творческий характер. Ученик должен уметь ориентироваться в новых ситуациях и вырабатывать принципиально новые программы действий (выдвигать гипотезу, проверять: обосновывать или опровергать, выдвигать новую и т.д., осуществлять исследовательскую деятельность). Решение задач соответствующего блока требует от учащегося обладания обширным фондом отработанных и быстро развертываемых алгоритмов; умения оперативно перекодировать информацию из знаково-символической формы в графическую и, наоборот, из графической в знаково-символическую; системного видения курса. Вместе с тем, оно не просто предполагает использование старых алгоритмов в новых условиях и возрастание технической сложности, а отличается неочевидностью применения и комбинирования изученных алгоритмов. Задачи этого уровня имеют усложненную логическую структуру и характеризуются наличием латентных связей между данными и искомыми элементами. Такие задачи обычно предлагаются в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов и в заданиях 17,18, 20, 21КИМов ЕГЭ.

Многоуровневая система задач по теме «Производная»

№ п/п

Название задачи

Тип задачи

Вычисление производной по определению.

ЗЗ

МЗ

НЗ

Нахождение производных суммы, произведения, частного функций

ЗЗ

МЗ

НЗ

Исследование монотонности функции

ЗЗ

функция возрастает на всей числовой прямой?

МЗ

При каких значениях параметра функция убывает для всех значений ?

НЗ

Найти множество всех чисел a, при каждом из которых функция f (x ) = sin 2 x – 8(a + 1) sinx + (4 a 2 + 8 a – 14) x является возрастающей на всей числовой прямой и не имеет при этом критических точек.

Отыскание точек экстремума

ЗЗ

имеет одну стационарную точку?

МЗ

Определите, при каком значении параметра максимум функции равен 9

НЗ

При каких значениях параметра a функция f (x ) = (a 2 – 3 a + 2) (cos 2 – sin 2 + (a – 1) x + sin 1 не имеет критических точек?

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежуткеи дифференцируемой на интервале

ЗЗ

Выяснить, при каких значениях параметра а наименьшее значение функции y = x 2 -12 x + a на отрезке равно нулю.

МЗ

При каком значении параметра наименьшее значение функции равно

НЗ

При каких значениях параметра функция принимает значения меньше 5 для любых

Полное исследование и построение графика

ЗЗ

3 + 3x 2

МЗ

При каком значении параметра a минимум функцииf(x) = ax 2 – 6ax + a 2 – 9равен 1?

НЗ

Уравнение касательной к графику функции в данной точке

ЗЗ

При каких значениях параметра прямая является касательной к графику функции ?

МЗ

При каких значениях параметра касательная к графику функции отсекает от первой четверти равнобедренный треугольник площадью

НЗ

При каких значениях параметра касательные к графику функции , проведенные в точках его пересечения с осью , образуют между собой угол

Применение производной к решению задач по геометрии, физике и экономике

ЗЗ

Какие должны быть стороны прямоугольника с периметром P , чтобы его площадь была максимальной?

МЗ

Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом (рисунок 3). Периметр окна равен P.Определить радиус полукруга R, при котором площадь окна является наибольшей.

НЗ

Картина высотой a подвешена на стене таким образом, что ее нижний край выше уровня глаз наблюдателя наh единиц. На каком расстоянии x от стены должен находиться наблюдатель, чтобы угол обзора картины был наибольшим (рисунок 7a)?

Решения

Решение :

1. Функция f(x) убывает для всех значений x, если производная

f′(x) = 6ax 2 + 18ax + 30a = 6a(x 2 + 3x + 5) < 0

для всех x.

2. Отсюда находим, что a < 0.

3 . Ответ: a (–∞; 0).

1. Найти множество всех чисел a, при каждом из которых функция f (x ) = sin 2x – 8(a + 1)sinx + (4a 2 + 8a – 14)x является возрастающей на всей числовой прямой и не имеет при этом критических точек.

1. При любом фиксированном a данная функция дифференцируема в каждой точке числовой прямой.

2. Так как функция f(x) возрастает, то в каждой точке x должно выполняться неравенство f′(x) ≥ 0.

3. Так как, кроме того, f(x) не имеет критических точек, то при любом x должно быть выполнено неравенство f′(x) ≠ 0.

4. Таким образом, если функция удовлетворяет условию задачи, то при всех x должно быть выполнено неравенство f′(x) > 0.

5. С другой стороны, если при всех x выполнено неравенство f′(x) > 0, то функция, очевидно, не имеет критических точек и возрастает.

6. Найдем производную данной функции:

f ′( x ) = 2 cos 2 x – 8( a + 1) cosx + 4 a 2 + 8 a – 14.

Теперь задачу можно переформулировать так: найти все значения параметра a, при каждом из которых для любого x выполнено неравенство

cos 2x – 4(a + 1) cos x + 2a 2 + 4a – 7 > 0. (1)

7. Учитывая, что cos 2x = 2 cos 2 x – 1, и полагая cos x = t, где –1 ≤ t ≤ 1, перепишем неравенство (1) следующим образом:

2t 2 – 1 – 4(a + 1)t + 2a 2 + 4a – 7 > 0,

или

t 2 – 2(a + 1)t + a 2 + 2a – 4 > 0. (2)

8. Обозначив функцию в левой части неравенства (2) через ϕ(t), дадим новую формулировку исходной задачи: найти все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции ϕ(t) на отрезке [–1; 1] положительно.

9. Производная ϕ′(t) = 2t – 2(a + 1) обращается в нуль при t 0 = a + 1.

10. Наименьшее значение функции ϕ(t) на отрезке [–1; 1] есть:

ϕ (–1) = a 2 + 4a – 1, если a + 1 ≤ –1;

ϕ (a + 1) = –5, если –1 < a + 1 < 1;

ϕ(1) = a 2 – 5, если a + 1 ≥ 1.

11. Так как наименьшее значение функции ϕ(t) на отрезке [–1; 1] должно быть положительно, то значения параметра a, удовлетворяющие условию задачи, принадлежат двум промежуткам: a ≤ –2 и a ≥ 0.

12. Если a ≤ –2, то искомые значения параметра a удовлетворяют неравенству a 2 + 4a – 1 > 0.

13. Если a ≥ 0, то искомые значения параметра a удовлетворяют неравенству a 2 – 5 > 0.

14. Следовательно, множество искомых значений a есть объединение решений двух систем неравенств:

(3)

а ≥ 0

а 2 -5 > 0 (4)

15. Множество решений системы (3) есть промежуток –∞ < a < –2 –√5 , а множество решений системы (4)- промежуток a >√5 .

16. Ответ: a (–∞; –2 –√5) (√5; +∞).

1. Так как данная функция дифференцируема на всей числовой прямой, то критическими точками функции f(x) являются те точки, в которых производная f′(x) = 0.

2. В данном случае имеем f′(x) = (a – 1)(a – 2) (–sin + (a – 1).

3. Очевидно, что если a = 1, то f′(x) = 0 при любом x R, т. е.

для заданной функции каждая точка x R является критической.

4. Предположим, что a 1. Тогда уравнение f′(x) = 0 примет вид

(a – 2) sin = 2. (1)

Отсюда следует, что если |a – 2| < 2, т. е. если a (0; 1) (1; 4),

то уравнение (1) не имеет корней и, значит, при указанных значениях a функция f(x) не имеет критических точек.

5 . Ответ: a (0; 1) (1; 4).

Наименьшее значение числителя и наибольшее значение знаменателя достигается при разных значениях х. Поэтому для нахождения наименьшего значения функции удобно использовать производную. Перепишем неравенство в виде

Где t =3- cos 2 x , t

Найдем наименьшее значение функции f ( t ) = , на отрезке . Так как производная f "( t ) = отрицательна при t то f убывает и принимает наименьшее значение при t =3, f наим. = f(3) = .

Ответ: a

При каком наименьшем натуральном k уравнение x 3 + 3x 2 – 45x + k = 0 имеет ровно один корень?

1. Построим эскиз графика функции y 1 = x 3 + 3x 2 – 45x и определим наименьшее натуральное значение k, при котором этот график пересекает прямую y 2 = –k ровно в одной точке.

2. а) D(y 1 ) = R;

б) у 1 / = 3x 2 + 6x – 45; 1 / в интервалах (–∞; –5), (–5; 3) и (3; +∞) иллюстрирует рис. 1. На рис. 2 дано схематическое изображение графика функции y 1 .

3. Очевидно, что данное уравнение имеет единственное решение, если –k > 175 или –k < –81, т. е. k < –175 или k > 81. Наименьшее натуральное значение k равно 82.

4. Ответ: k = 82.

При каком значении параметра a минимум функцииf(x) = ax2 – 6ax + a2 – 9равен 1?

1. f′(x) = –6x 2 + 6x + 12.

2. y′ = 0 при x 1 = 2.

6. Ответ: a = 2.

При каком значении параметра a минимум функции f(x) = –2x 3 + 3x 2 + 12x + 4a равен 1?

При каких значениях параметра a прямая y=ax-2 является касательной к графику функции y=1+ln⁡ x?

При каких значениях параметра a касательная к графику функции y=a-x^2 отсекает от первой четверти равнобедренный треугольник площадью 9/32

так как , по условию касательная должно пересекать функцию в четверти, значит . Треугольник равнобедренный и прямоугольный следовательно другие углы равны , но откуда касательная принимает вид точка касания касательной с графиком по оси абсцисс равна . по формуле касательной к графику так как площадь треугольника должна равняться , то так как четверть. Откуда

При каких значениях параметра a касательные к графику функции y=4x^2-|a|x, проведенные в точках его пересечения с осью x, образуют между собой угол 60°

Какие должны быть стороны прямоугольника с периметром P, чтобы его площадь была максимальной?

Окно имеет форму прямоугольника, ограниченного сверху полукругом (рисунок 3). Периметр окна равен P.Определить радиус полукруга R, при котором площадь окна является наибольшей.

Картина высотой a подвешена на стене таким образом, что ее нижний край выше уровня глаз наблюдателя наh единиц. На каком расстоянии x от стены должен находиться наблюдатель, чтобы угол обзора картины был наибольшим (рисунок 7a)?

Литература

Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.

В.С. Высоцкий, Задачи с параметрами для подготовки к ЕГЭ

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - К.: РИА "Текст"; МП "ОКО", 1992. -290 с.

Качалова Г. А. О необходимости включения содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» в учебный модуль «Основы математики» // Materia ł yMi ę dzynarodowejNaukowi - PraktycznejkonferencjiPost ę p ó wwnauce . Nowepogl ą dy , problemy , innowacje . 29.07.2012. - 31.07.2012. Cz ęść 2. - Łó d ź, 2012. - С. 67–70.

Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. - М.: МЦНМО, 2011.-144 с.

Родионов Е.М. Решение задач с параметрами. М.: МП «Русь-90»,1995