Многогранники. Виды многогранников и их свойства

План урока

Тема: «Многогранники, фигуры вращения, площади их поверхностей и объемы»

Тип урока – комбинированный урок.

Цель: сформировать у учащихся представление о многогранниках, фигурах вращения, а также научить находить площади их поверхностей и объемы.

Задачи:

    Дать определение понятиям многогранник, фигура вращения;

    Познакомить учащихся с основными многогранниками и фигурами вращения;

    Сформировать у учащихся навыки вычисления площадей поверхностей многогранников и фигур вращения;

    развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;

    Формирование интереса и положительной мотивации учащихся к изучению геометрии;

    Сохранение, закрепление и развитие пространственных представлений учащихся.

Структура занятия :

    Организационный момент (1-2 минуты)

    Проверка домашнего задания (10-15 минут)

    Сообщение темы занятия, актуализация (1-2 минуты)

    Изучение нового материала (17-20 минут)

    Закрепление нового материала (45-55 минут)

    Итог урока, рефлексия (3-4 минуты)

    Задание на дом (1 минута)

Ход занятия

1. Организационный момент

Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.

Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала.

2. Проверка домашнего задания:

Выясняет были ли сложности с выполнением домашнего задания. При необходимости отвечает на вопросы учащихся. Просит некоторых учащихся сдать тетради для проверки домашнего задания.

3. Сообщение темы занятия, актуализация

Сообщается тема и цель урока. Говорит что, тема «Многогранники и тела вращения” важна, так как связана с рядом предметов школьной программы: изобразительным искусством, черчением, трудовым обучением, информатикой.

4. Изучение нового материала:

Многогранник , точнее трёхмерный многогранник - совокупность конечного числа плоских многоугольников в трёхмерном пространстве такая, что:

    каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

    связность : от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.

Эти многоугольники называются гранями , их стороны - рёбрами , а их вершины - вершинами многогранника.

Виды многогранников:

    Пирамида - это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если вершина её отсекается плоскостью.

    Призма - многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом.

    Параллелепипед - призма, основанием которой является прямоугольник.

    Куб - параллелепипед, все измерения которого равны между собой.

Тела вращения - объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Примеры тел вращения:

    Шар - образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза

    Цилиндр - образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

    Конус - образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

Формулы для нахождения площадей поверхностей многогранников и тел вращения, а также их объемов.

Фигура

S осн

S бок

S полн

Параллелепипед:

прямоугольный

куб

произвольный

S осн = ab

S осн = a 2

S осн = ab * sinα

l- бок . ребро

S бок =2(a+b)H

S бок = 4a 2

S бок =P сеч l

S полн = S бок +2S осн

V=abc

V=a 3

V=S осн H

Призма

S бок =P сеч l

S полн = S бок +2S осн

V = Ql (Q -площадь перпендикулярного сечения)

Пирамида

S бок =P осн l , l -апофема

S полн = S бок +S осн

V= 1/3* S осн H

Усеченная пирамида

S бок =(P 1 + P 2) l , l -апофема

S полн = S бок +S 1 + S 2

V =1/3* H (S 1 + +S 2

Цилиндр

S осн = πR 2

S бок = 2 πRH

S полн = 2 πR (H + R)

V=πR 2 H

Конус

S осн = πR 2

S бок = πRl, l- образующая

S полн = πR (l + R)

V=1/3*πR 2 H

Усеченный конус

S осн = πR 2

S бок = π (R + r ) l , l -образующая

S полн = π (R 2 + r 2 )+ R + r ) l

V=1/3*πH(R 2 +Rr+r 2 )

Шар

S полн =4πR 2

V=4/3*πR 3

5. Закрепление нового материала:

1. Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . Найдите объём конуса.

2. Основание прямоугольного параллелепипеда – квадрат. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна 4 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45

7. Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а её высота равна 21 дм. Найдите объём пирамиды.

8. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра.

9. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м, 36 м. Определите ребро куба, равновеликого прямоугольному параллелепипеда.

10. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина – 7 см, а диагональ – 11 см.

11. Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Найдите боковую поверхность и объём цилиндра.

6. Подведение итогов урока, рефлексия

Объявляет итог урока, называет оценки.

В качестве рефлексии у чащимся предлагается закончить предложения и высказать свои мнения.

Данное занятие для меня…

Я почувствовал(а), что…

В будущем я…

Сегодня работать для меня было…

Мне бы хотелось изменить…

На следующем занятии мне бы хотелось…

7. Задание на дом

1) Диагональ куба равна 15см. Найдите объём куба.

2) Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы образует с основанием угол, равный 30 0 . Найдите объём призмы, если площадь боковой поверхности призмы равна см 2 .

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция 4 Многогранники и тела вращения

  • Содержание
  • 1. Призма и пирамида
  • 2. Построение правильных пирамид и призм
  • 3. Сечение прямоугольной трубы
  • 4. Построение сечения пирамиды
  • 5. Пересечение пирамиды линией и призмой
  • 6. Последовательность построения 2-х многогранников
  • 7. Построение сечения цилиндра
  • 8. Построение развертки цилиндра
  • 9. Возможные сечения конуса
  • 10. Построение сечения конуса и его развертки
  • 11. Построение сечения шара
  • 12. Построение сечений тора

1. Призма и пирамида

Призматическая поверхность неограниченной длины на чертеже может быть изображена проекциями фигуры, полученной при пересечении боковых граней призмы плоскостью, и проекциями ребер призмы. Пересекая призматическую поверхность двумя параллельными между собой плоскостями, получают основания призмы. На чертеже основания призмы удобно располагать параллельно плоскости проекций. Чертеж призмы с проекциями оснований А"В"С", А"В"С и D " E " F ", D " E " F " , параллельных плоскости р 1 , приведен на

рис.1 (слева). Одноименные проекции ребер призмы параллельны между собой. пирамида призма многогранник конус

Для изображения поверхности пирамиды на чертеже используют фигуру сечения боковых граней пирамиды плоскостью и точку из пересечения - вершину. На чертеже пирамиду задают проекциями ее основания, ребер и вершины, усеченную пирамиду - проекциями обоих оснований и ребер.

Изображая пирамиду, удобно ее основание располагать параллельно плоскости проекций.

На рис. 1 (справа) приведен чертеж неправильной треугольной пирамиды с проекциями А", А" вершины и основанием, проекции которого D " B " C " и D " B " C , лежащим в плоскости проекций р 1 .

2. Построение правильных пирамид и призм

Изображения призм и пирамид приведены на рис.2. На приведенных чертежах ребра проецируются в виде отрезков прямых или в виде точек. Например, фронтальные и профильные проекции боковых ребер призм и пирамид - отрезки прямых. Горизонтальные проекции тех же боковых ребер призм на рис. 2 а, б - точки. Профильные проекции ребер оснований призм - точки 2" (3""), (5""), 6"" на рис. 2 а, точка 1"", (3"") на рис. 2, б, в.

Грани призм, пирамид, которые перпендикулярны плоскостям проекций, проецируются на них в виде отрезков прямых линии. Так, например, боковые грани призм (рис. 2 а, б) на горизонтальной проекции изображаются в виде отрезков прямых линий, образующих шестиугольник, в виде отрезков прямых линий проецируются на профильную плоскость проекций передняя и задняя грани призмы на рис. 2, а, задняя грань призмы и пирамиды на рис. 6.4, б, в.

Основания изображенных тел проецируются в отрезок прямой линии на фронтальную и профильную плоскости проекций.

Построение недостающих проекций точек на поверхности призм и пирамид по заданным фронтальным проекциям на рис. 2 показано стрелками и соответствующими координатами.

Профильные проекции А "", С" построены с помощью координат у А и у С , определяемых по горизонтальным проекциям.

Горизонтальная D " и профильная D "" проекции точки D на грани А -- 1 --2 пирамиды

(рис. 2, в) построены с помощью 2"4", 2""4"" отрезка прямой на этой грани. Аналогично, с помощью профильной проекции 1""5"" отрезка на грани А --1--2 пирамиды (рис.2, г) построена профильная проекция F "".

Горизонтальная проекция F " построена с помощью горизонтали той же грани, проходящей через проекцию 6" на проекции ребра А"1". Горизонтальная проекция Е" построена с помощью координаты Y Е определенной по профильной проекции Е"". В рассмотренных примерах координаты у А , у Е заданы относительно плоскостей д(д", д""), у С - относительно плоскости г (г", г""").

3. Сечение прямоугольной трубы

При пересечении призмы или пирамиды плоскостью в сечении получается плоская фигура, ограниченная линиями пересечения секущей плоскости с гранями призмы или пирамиды.

Простейший пример конструирования детали пересечением исходной заготовки в виде прямоугольной трубы плоскостью приведен на рис. 3. В этом случае деталь - волновод изготавливают, отрезая часть заготовки по плоскости д(д").

4. Построение сечения пирамиды

Наклонная площадка ABCD образована срезом верхней части пирамиды фронтально проецирующей плоскостью з (з"). Фронтальные проекции А ", В", С", D" точек находятся на фронтальном следе з" плоскости, а фронтальная проекция площадки ABCD совпадает со следом з".Профильная А ""В"" С ""D"" и горизонтальная А "В" С "D" проекции площадки построены по проекциям указанных точек на проекциях соответствующих ребер.

Часто требуется построить натуральный или истинный вид фигуры сечения тела плоскостью. На рис.4 для этой цели вверху слева применен способ перемены плоскостей проекций. В качестве дополнительной плоскости принята плоскость р 4 , параллельная плоскости з и перпендикулярная плоскости р 2 . Натуральный вид площадки - фигура сечения A IV B IV C IV D IV . Другой вариант построения натурального вида наклонной площадки ABCD показан на рис.4 справа внизу - A 0 B 0 C 0 D 0 . Для построения использованы новые координатные оси х 1 и у 1 лежащие в плоскости з. Ось х 1 параллельна плоскости р 2 , ось у 1 - перпендикулярна плоскости р 2 .

Координаты по оси х 1 точек A 0 , B 0 , С 0 , D 0 равны координатам по оси х 1 фронтальных проекций А"", В", С", D" этих точек. Координаты х 1 точек С 0 , С" по оси х 1 равны нулю. Координаты у В, y D по оси у 1 точек В 0 , D 0 равны координатам по этой оси (параллельной оси у) горизонтальных проекций В", D". Координаты по оси у 1 точек А, С равны нулю. По указанным координатам на осях х 1 , у 1 строят натуральную величину А 0 В 0 C 0 D 0 наклонной площадки ABCD.

5. Пересечение пирамиды линией и призмой

Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника сводится к построению линии пересечения многогранника проецирующей плоскостью, в которую заключают данную прямую. На рис. 5(слева) приведено построение проекций Е", Е" и F", F" точек пересечения прямой с проекциями M"N", M"N" с боковыми гранями пирамиды. Пирамида задана проекциями G", G" вершины и А"В"С",А"В"С основания. Прямая MN заключена во вспомогательную фронтальную проецирующую плоскость г(г"). Горизонтальные проекции Е" и F" искомых точек построены в пересечении проекции M"N" с горизонтальными проекциями 1", 3" и 2", 3" отрезков, по которым плоскость г пересекает боковые грани пирамиды. Фронтальные проекции Е" и F" определены по линиям связи.

Изображение пересекающихся между собой в пространстве призмы А и пирамиды Б представлено на рис. 5(справа). Линия их пересечения проходит через точки 1, 3, 4, 6 пересечения ребер пирамиды с гранями призмы и точки 2, 5 пересечения ребра призмы

с гранями пирамиды. В общем случае в пересечении многогранников получается пространственная замкнутая ломаная линия, которая в некоторых частных случаях может оказаться плоской. При построении линии пересечения многогранников применяют два способа и их комбинации.

1. Строят точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и Ребер второго с гранями первого. Через построенные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию пересечения данных многогранников. При этом отрезки прямых проводят лишь через те построенные точки, которые лежат в одной и той же грани.

2. Строят отрезки прямых, по которым грани одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии пересечения многогранных поверхностей между собой.

Таким образом, построение линии пересечения двух многогранников сводится или к построению линии пересечения двух плоскостей между собой, или к построению точки пересечения прямой с плоскостью

6. Последовательность построения 2-х многогранников

Рис. 6, а. Прежде чем приступить к построениям, анализируют взаимное положение многогранников и их расположение относительно плоскостей проекций. В данном случае очевидно, что многогранники могут пересекаться только по боковым граням. Ребра призмы и боковые ребра пирамиды параллельны плоскости р 2 , основания пирамиды параллельны плоскости р 1 . Нижняя грань призмы и ее основания перпендикулярны плоскости р 1 .

Указанные особенности расположения призмы и пирамиды определяют и наиболее рациональный способ построения линии пересечения их поверхностей по точкам пересечения ребер призмы с гранями пирамиды и боковых ребер пирамиды с гранями призмы.

Построения показаны на рис. 6, б. Рассмотрим их для левой части чертежа (от оси пирамиды). Проекции 1", 1", 2", 2", 3", 3" ,4", 4" точек пересечения ребер призмы с гранями пирамиды найдены путем проведения через них фронтальных плоскостей в (в"), б (б"), г (г"). Они пересекают левые боковые грани пирамиды по фронталям - прямым линиям, параллельным левому ребру пирамиды. Положение их фронтальных проекций определено по горизонтальным проекциям 21", 22", и 24" точек пересечения горизонтальных проекций в", б" и г" плоскостей в, б, г с горизонтальной проекцией основания пирамиды. В пересечении фронтальных проекций этих линий с фронтальными проекциями ребер призмы найдены фронтальные проекции 1", 2" и 4" точек пересечения ребер призмы с левыми гранями пирамиды. По ним построены горизонтальные проекции 1", 2", 4".

Проекции 3", 3" точки пересечения ребер AD пирамиды с верхней задней гранью призмы найдены с помощью вспомогательной фронтальной плоскости з(з"), которая проведена через это ребро. Плоскость з пересекает грань призмы по прямой, параллельной ребрам призмы и проходящей через точку 23 на основании призмы. В пересечении фронтальных проекций этой прямой и ребра А" D" найдена фронтальная проекция 3" точки пересечения указанного ребра с задней верхней гранью призмы и на линии связи - горизонтальная проекция 3". С нижней гранью призмы, перпендикулярной плоскости р 2 , ребро AD пересекается в точке с фронтальной проекцией 5 ". В проекционной связи на проекции А" D" построена ее горизонтальная проекция 5".

Таким образом, проекции точек пересечения всех ребер призмы с левыми гранями пирамиды - 1", 1", 2", 2", 4", 4" и ребра AD пирамиды с двумя гранями призмы - 3", 3" и 5", 5" построены. Соединяем проекции точек, принадлежащих одной грани, и получаем проекции 1" 2" 3" 4" 5" 1" , 1" 2" 3" 4" 5" 1" ломаной линии пересечения.

Построение в правой части чертежа проекции 6" 7" 8" 9" 10" 6", 6" 7" 8" 9" 10" 6" линии пересечения аналогично. Порядок построения иллюстрируется стрелками.

После построения проекций линий пересечения многогранников обводят проекции оставшихся частей ребер многогранников.

Заметим, что переднее и заднее ребра пирамиды не пересекают поверхность призмы.

7. Построение сечения циліндра

Ось цилиндра и вся цилиндрическая поверхность перпендикулярны плоскости р 1 . Следовательно, все точки цилиндрической поверхности, в том числе и линия пересечения ее с плоскостью б(б"), проецируются на плоскость р 1 в окружность. На ней отмечают горизонтальные проекции точек 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9" , 10", 11" и 12" эллипса, расположив их равномерно по окружности. В проекционной связи строят фронтальные проекции 1", 2", 3", 4", 5", 6", 7", 8", 9", 10", 11", 12" отмеченных точек на фронтальном следе б" секущей плоскости. Профильные проекции тех же точек строят по их горизонтальной и фронтальной проекциям на линиях связи.

Профильная проекция линии пересечения цилиндра с секущей плоскостью - эллипс, большая ось 10""4"" которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая 1"" 7"" -профильная проекция отрезка -- 1-- 7.

Если расположить на рис.7 плоскость б под углом 45° к оси, то профильная проекция эллипса фигуры сечения будет окружность.

Если острый угол между осью цилиндра и секущей плоскостью будет меньше 45°, то малая ось эллипса на профильной проекции станет равной диаметру цилиндра.

Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью б построен способом перемены плоскостей проекций на плоскости р 4, перпендикулярной плоскости р 2. Большая ось эллипса - отрезок 1 IV 7 IV = 1" 7", малая- отрезок 4 IV 10 IV =d

8. Построение развертки цилиндра

Построение развертки (рис.8). Полная развертка состоит из четырех частей: развертки боковой поверхности, ограниченной пятью отрезками прямой линии и кривой A 0 l 0 B 0 - синусоидой; натурального вида фигуры сечения; круга основания цилиндра; сегмента, полученного на верхнем основании.

Полная развертка боковой поверхности цилиндра - прямоугольник с высотой, равной цилиндру, и длиной L = рd, где d - диаметр цилиндра. Для построения на развертке точек линии среза развертку основания цилиндра делят на такое же число частей, как и при построении проекций линии среза. Проводят через точки деления образующие и отмечают на них высоту до точек эллипса среза - точки 1 0 2 0 и 12 0 , 3 0 и 11 0 , 4 0 и 10 0 , 5 0 и 9 0 , 6 0 и 8 0 , 7 . Соединяют построенные точки плавной кривой - синусоидой. Натуральный вид фигуры среза цилиндра плоскостью выполнен ранее(1 IV 2 IV 3 IV …12 IV) и его по координатам строят на развертке.

Построим на чертеже цилиндра проекции точки, указанной на разверстке точкой М 0 . Для этого отметим хорду l 2 между образующей, на которой расположена точка М 0 , и образующей точки 4. По хорде l 2 строим горизонтальную проекцию М" и по известной высоте ее расположения найдем ее фронтальную проекцию М".

9. Возможные сечения конуса

10. Построение сечения конуса и его развертки

Развертка боковой поверхности прямого кругового конусапредставляет собой круговой сектор с углом ц = d/l Ч 180 ° при вершине, где d - диаметр основания, l - длина образующей конуса. Построение сектора (рис. 10 внизу) выполняют с разбивкой его на равные части соответственно разметке образующих на чертеже (см. рис. 10 конуса).

Используя положение образующих на чертеже и на развертке находят положение точек на развертке при помощи натуральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек линии пересечения на чертеже. При этом расстояния G 0 A 0 и G 0 B 0 соответствуют фронтальным проекциям G"А " С"В". Отрезки образующих от вершины до других точек проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Например, положение точки D 0 на развертке найдено при помощи отрезка G "D 1 " - натуральной величины образующей от вершины G до точки D точки E 0 , - при помощи отрезка G"Е 1 " (или G""E"").

Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограниченной дугой окружности радиуса l, кривой B 0 I 0 F 0 E 0 D 0 C 0 A 0 и симметричной ей; круга основания; 3) натурального вида фигуры сечения.

На рис. 10 (вверху) показано построение фронтальной и горизонтальной проекций точки К по изображению К 0 этой точки на развертке (рис.10). Для построения проведена образующая G 0 13 0 через точку К 0 на развертке. С помощью отрезка l 1 построена горизонтальная проекция 13". Через нее проведены горизонтальная G" 13" и фронтальная G"13 " проекции образующей G - 13. Отрезок G 0 K 0 = G"K 1 " на проекции образующей G "7 ". Обратным вращением построена фронтальная проекция К" точки К на фронтальной проекции образующей G"13".Горизонтальная проекция К" построена с помощью линии связи.

11. Построение сечения шара

На рис. 11 показано построение проекций некоторых точек.

Проекции С" и D " построены на горизонтальной проекции параллели радиуса 0"1", построенной с

помощью проекции 1 ". Проекция С"" и D "" построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции C "(D ") так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций.

Проекция Е" является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции Е".

Горизонтальная проекция М" произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса О"2" , фронтальная проекция которой проходит через проекции М "и 2 " . Проекция F "является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.

Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.

12. Построение сечений тора

В примере на рис. 12 показано применение вспомогательных плоскостей г 1 (г 1 ") и г 2 (г 2 ") , перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью б (б""). Тор на рис.12 имеет два изображения - фронтальную проекцию и половину профильной проекции.

Полуокружность радиуса R 2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью г 2 ) касается проекции плоскости б(следа б""). Тем самым определяются профильная проекция 3"" и по ней фронтальная проекция 3"" одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 1 - профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью г 1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости б (след б"") в двух точках 5"" и 7"" - профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния l 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 .

Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.

Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рис.12 внизу. Они имеют общее название - кривые Персея (Персей -- геометр Древней Греции). Это кривые четвертого порядка. Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

    Построение разверток поверхностей. Параллелепипед и его развертка. Чертеж развертки поверхности правильной пирамиды, прямого кругового конуса, прямого кругового цилиндра, правильной призмы, прямого эллиптического цилиндра. Способ нормального сечения.

    контрольная работа , добавлен 11.11.2014

    Пространственные тела и их сечения; точка, прямая, плоскость и векторы. Методы построения, задание и построение сечений пространственных тел, исследование свойств сечения. Способы визуализации трехмерного пространства. Создание компьютерного приложения.

    курсовая работа , добавлен 15.07.2010

    Изучение однородных выпуклых и однородных невыпуклых многогранников. Определение правильных многогранников. Двойственность куба и октаэдра. Теорема Эйлера. Тела Архимеда. Получение тел Кеплера-Пуансо. Многогранники в геологии, ювелирном деле, архитектуре.

    презентация , добавлен 27.10.2013

    Различные виды правильных и полуправильных многогранников, их основные свойства. Многогранные поверхности, многогранники, топологические, простейшие и правильные многогранники. Грани, ребра и вершины поверхности многогранника. Пирамиды и призмы.

    курсовая работа , добавлен 21.08.2013

    Фигуры вращения правильных многогранников, использование их теории. Виды поверхностей в фигурах вращения. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения. Классификация задач на вращение многогранников и вычисление объемов.

    реферат , добавлен 25.09.2009

    Понятие многогранника и его элементы с точки зрения топологии. Определение площади и боковой поверхности призмы, параллелепипеда, пирамиды. Понятие правильных, полуправильных, звездчатых многогранников. Многогранники в разных областях культуры и науки.

    курсовая работа , добавлен 02.04.2012

    Куб (гексаэдр) – представитель правильных выпуклых многогранников, его объем, сечения, площадь и свойства. Характеристика типов правильных многогранников в XIII книге "Начал" Евклида и идеалистической картине мира Платона. Отношение к кубу в философии.

    презентация , добавлен 03.11.2011

    Определение пирамиды как геометрической фигуры, ее виды. Проекция треугольной пирамиды. Основные свойства полной и усеченной пирамиды, нахождение площади и объема, плоские сечения. Пример построения сечения пирамиды с плоскостью по заданным параметрам.

    практическая работа , добавлен 16.06.2009

    Определение цилиндра (кругового прямого и наклонного), прямого и усечённого конуса, шара и сферы. Основные формулы по расчету геометрических размеров фигур вращения: радиуса, площади боковой и полной поверхности. Объем шара по Архимеду. Уравнение сферы.

    презентация , добавлен 18.04.2013

    Понятие и историческая справка о конусе, характеристика его элементов. Особенности образования конуса и виды конических сечений. Построение сферы Данделена и ее параметры. Применение свойств конических сечений. Расчеты площадей поверхностей конуса.

Транскрипт

1 Т е м а 1 МНОГОГРАННИКИ И ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Лекция Геометрическая фигура. Внутренние точки (существует окрестность, лежащая в фигуре), граничные точки (любая окрестность пересекается и с фигурой, и с дополнением), граница фигуры. Внутренность, замыкание фигуры. Канонически замкнутая фигура: = Геометрическое тело (ограниченное, канонически замкнутое, связное). Поверхность тела Многогранник. Вершины, ребра, грани. Выпуклые многогранники. Формула Эйлера для выпуклого многогранника. Правильные многогранники (платоновы тела). Вписанные и описанные многогранники Объем геометрического тела как функция, отображающая множество фигур в R +. Аксиомы инвариантности (объемы конгруэнтных фигур равны), монотонности, аддитивности, нормированности (объем единичного кубика) Призма. Площадь поверхности и объем прямой и наклонной призмы (в том числе с использованием перпендикулярного сечения) Пирамида и усеченная пирамида. Правильная пирамида, правильный тетраэдр. Основание высоты пирамиды в различных «хороших» случаях. Площадь поверхности и объем пирамиды и усеченной пирамиды: V yc. = 1 3 h S 1 + S 2 + p S 1 S 2. Лекция Тела вращения. Цилиндр. Прямой круговой цилиндр. Площадь поверхности и объем цилиндра Конус. Прямой круговой конус. Конические сечения. Усеченный конус. Площадь поверхности и объем конуса и усеченного конуса Сфера и шар. Объем шара. Площадь сферы («метод окрашивания»). Шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор. 1

2 Лекция Выпуклый многогранный угол. Трехгранный угол. Теорема об объемах треугольных пирамид с конгруэнтными трехгранными углами при вершине Плоские углы многогранного угла (неравенство треугольника < +), их сумма (она меньше 360 ; раздавим угол каблуком на плоскость) Теоремы синусов и косинусов для трехгранного угла. Пусть, плоские углы, а A, B, C двугранные (двугранный угол A «между» и). 1-я теорема косинусов. cos = cos cos + sin sin cos A. cos cos cos Следствие. cos A =. sin sin Теорема трех косинусов (еще одно следствие). Если две грани трехгранного угла перпендикулярны, то есть если A = 90, то cos = cos cos. 2-я теорема косинусов. cos A = cos B cos C+sin B sin C cos. Теорема синусов. sin sin A = sin sin B = sin sin C. Практика 1 1. Все ребра правильной треугольной призмы равны между собой. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через противоположные вершины боковой грани и середину противолежащего ей бокового ребра. 2. В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 6. Найдите объем этой призмы, если известно, что в нее можно вписать шар. 3. Внутри куба расположены два равных касающихся друг друга шара. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех других граней куба. Найдите радиусы шаров, если ребро куба равно 1. 2

3 4. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 2, а радиус вписанного шара 1/2. Найдите величину двугранного угла между боковыми гранями пирамиды. 5. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 2. Найдите объем пирамиды, а также радиусы вписанного и описанного шаров. 6. Найдите объем треугольной пирамиды, в основании которой лежит треугольник со сторонами 3, 4, 5, а двугранные углы при основании равны Найдите двугранный угол между соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что радиус вписанного в нее шара в три раза меньше стороны основания. Практика 2 8. Найдите радиус шара, вписанного в треугольную пирамиду, пять ребер которой равны 2, а одно ребро равно Ребро куба равно 1. Найдите объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в центрах трех смежных граней и в вершине куба, не принадлежащей этим граням. 10. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед. В каком отношении плоскость, проходящая через D, C 1 и середину A 1 B 1, делит диагональ D 1 B? 11. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD, AB = 3. Высота пирамиды равна 4 и проходит через середину AD. Найдите AD, если известно, что в пирамиду можно вписать шар. 12. Чему равна длина кратчайшего пути по поверхности куба, соединяющего центр какой-либо грани куба с одной из вершин противоположной грани? (Ребро куба равно 1.) 3

4 13. S и P площади двух смежных граней тетраэдра ABCD, a длина их общего ребра, величина угла между этими гранями. Докажите, что объем тетраэдра можно 2SP sin вычислить по формуле V =. 3a Практика Основанием пирамиды SABCD является параллелограмм ABCD. На ребре SA взята точка M так, что SM = 2AM. Через M и середины ребер SB и SD проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды? 15. В каком отношении делит объем куба плоскость, проходящая через центры трех его смежных граней? Практика Радиусы двух шаров равны 2 и 5. Через их единственную общую точку проведена плоскость, площадь сечения которой меньшего шара равна 0,4. Найдите площадь сечения этой плоскостью большего шара. 17. Расстояние от центра верхнего основания цилиндра до плоскости нижнего основания цилиндра равно радиусу основания цилиндра и равно 6. Найдите расстояние от центра верхнего основания до хорды нижнего основания, стягивающей дугу Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 120. Вычислите объем конуса. 19. Определите площадь боковой поверхности и объем усеченного конуса с образующей, равной l, описанного около шара радиуса r. 4

5 20. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего основания которого в a раз больше площади верхнего основания. Во сколько раз объем усеченного конуса больше объема шара? 21. Радиус основания конуса равен R, а площадь боковой поверхности равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определите объем конуса. 22. Радиус основания конуса равен R. Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 90. Вычислите объем конуса. 23. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Определите отношение объемов полученных частей конуса. 24. В конус вписан шар. Докажите, что отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно отношению их объемов. Практика Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найдите отношение объемов этих тел. При каких значениях q задача не имеет решения? 26. Через центр шара проведены три попарно перпендикулярные плоскости, разделившие шар на 8 частей. В каждую из этих частей вписано по маленькому шарику. Найдите отношение объема одного маленького шарика к объему исходного шара. 27. Пусть в условиях предыдущей задачи центры вписанных шариков являются вершинами некоторого многогранника. Найдите отношение объемов этого многогранника и исходного шара. 28. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 150. Через вершину конуса проведено сечение, являющееся пря- 5

6 моугольным треугольником. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса. 29. Диаметр основания цилиндра увеличили вдвое и одновременно уменьшили вдвое его высоту. Как изменились площадь боковой поверхности и объем цилиндра? 30. В конус высоты h с радиусом основания R впишите цилиндр с максимальной площадью боковой поверхности и найдите эту площадь. 31. Каждое ребро куба разделено на три конгруэнтные части. Докажите, что полученные двадцать четыре точки деления принадлежат одной сфере. Вычислите площадь поверхности этой сферы, если длина ребра куба равна Из бумажного прямоугольника со сторонами a и b склеивают боковую поверхность цилиндра. Какие стороны следует склеить между собой, чтобы цилиндр с такой боковой поверхностью имел наибольший объем? Практика Радиус основания цилиндра равен 1, а высота цилиндра равна p 2. Две вершины правильного треугольника расположены на границе одного основания цилиндра, а одна вершина на границе другого основания. Найдите сторону правильного треугольника. 34. * В основании пирамиды SABC лежит треугольник ABC, у которого AB = AC = 2, BAC = 30. Ребро SA перпендикулярно плоскости ABC. Известно, что существует конус, вершина которого совпадает с точкой A, а основание вписано в треугольник SBC. Найдите объем пирамиды. 35. * ABC правильный треугольник со стороной 3, M и K точки на BA и CA такие, что BM = CK = 1. Найдите объем тела, полученного при вращении треугольника ABC вокруг прямой MK. 6

7 36. Высота конуса равна диаметру его основания. В конус вписан куб, четыре вершины которого расположены на основании конуса, а четыре на его боковой поверхности. Найдите отношение объемов куба и конуса. 37. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 1 и 2 вокруг диагонали. 38. Концы диагонали куба совпадают с центрами оснований цилиндра, а остальные вершины куба лежат на боковой поверхности цилиндра. Найдите отношение объемов цилиндра и куба. Указания, решения, ответы 34. Пусть точки K и H точки касания основания конуса (его центр обозначим буквой O, а радиус буквой r) со сторонами грани SBC, тогда по теореме о трех перпендикулярах имеем AK? SB, AH? BC. Заметим, что треугольник SAB является прямоугольным, так как по условию SA? (ABC). Обозначим также AK = a, AH = b, AS = h. По условию высота пирамиды, проведенная из вершины A, падает в центр окружности, вписанной в треугольник SBC, поэтому прямоугольные треугольники AOK и AOH равны, откуда a = b. Из треугольника p ABC по теореме косинусов легко находим, что BC = 2 2 p 3, после чего по теореме Пифагора из треугольника p AHB (учитывая, что H середина BC) получим a = b = 2 + p 3. Но a является длиной высоты прямоугольного треугольника SAB, опущенной из вершины прямого угла, поэтому она равна произведению катетов этого треугольника, деленному на гипоте- 7

8 SA AB нузу. Таким образом, a = = p SB находим h = p 3 = 2(2 + p 3). 2h p h = p2 + p 3, откуда Дальнейшее несложно. Площадь основания пирамиды BAC равна 1 (легко находится как половина произведения двух сторон на синус угла между ними), высоту пирамиды h мы только что нашли. Ответ: 2 3 (2 + p 3). 35. Найдем сначала все величины, обозначенные на рисунке. Так как BM = 1, из желтого треугольника находим глубину конической «ямы»: x = 2 1. Зеленый треугольник, очевидно, равносторонний, поэтому H = BM = 1. Далее, h = 1 2 BC H = = = 1 2. Из желтого треугольника находим r = 3 p 2. Треугольник MKA правильный со стороной 2, а R длина его высоты, поэтому R = 2p 3 2 = p 3. Искомый объем равен 2(V 1 V 2 + V 3), где V 1 объем цилиндра с радиусом основания r и высотой H, V 2 объем конической «ямы» с радиусом основания r и высотой x, V 3 объем усеченного конуса с радиусами оснований R и r и высотой h. Используя найденные данные, находим: V 1 = 4 3, V 2 = 1 8, V 3 = 7 8. Ответ: 3. Практика * Докажите, что для того, чтобы в усеченный конус можно было вписать сферу, касающуюся оснований и каждой образующей конуса, необходимо и достаточно, чтобы длина высоты конуса была средним геометрическим между диаметрами верхнего и нижнего оснований конуса. 8

9 40. Три шара попарно касаются, а плоскость касается этих шаров в точках A, B и C. Найдите радиусы этих шаров, если стороны треугольника ABC равны a, b и c. Указания, решения, ответы 39. Понятно, что данная задача планиметрическая. Пусть сфера вписана в конус требуемым образом; введем обозначения как показано на рисунке. Из желтого треугольника по теореме Пифагора имеем: h 2 + (R r) 2 = (R + r) 2, откуда h 2 = 4Rr, то есть h = p (2R)(2r), что и требовалось доказать. Докажем теперь утверждение в обратную сторону: из данного соотношения и теоремы Пифагора следует, что длина боковой стороны трапеции равна R + r, то есть сумма длин оснований трапеции равна сумме длин ее боковых сторон и, следовательно, в трапецию можно вписать окружность. 9


60 2.2. Тесты 161. Если стороны основания правильной усеченной пирамиды 6 и 4, а двугранный угол при основании равен 0, то боковая поверхность правильной треугольной усеченной пирамиды равна 1) 10; 2)

Самостоятельная работа «Цилиндр») Прямоугольник со сторонами, равными 3а и 2а, вращается сначала вокруг одной стороны, затем вокруг другой. Вычислите отношение площадей полных поверхностей и площадей

Структура зачетной работы по геометрии 11 класс / 2013 год/ Работа содержит 10 задач. Продолжительность работы 120 минут. Часть 1. Задачи 1-7 задачи базового уровня сложности (часть В ЕГЭ) с кратким решением

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 16 1. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как π Найти угол между диагоналями осевого сечения. 2. На поверхности шара

И.М. Смирнова, В.А. Смирнов ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ (ГЕОМЕТРИЯ) ОБЪЕМЫ И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР Москва 2008 1 ВВЕДЕНИЕ В настоящем пособии собраны задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей

Пирамиды. 11.1.5. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, два других наклонены к основанию под углом 60. Найти полную поверхность

Тема 1. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости 78. Точки Р и Q середины соответственно рёбер А 1 В 1 и ВС куба АВСDA 1 B 1 C 1 D 1. Считая ребро куба равным а, найти расстояния до прямой

11 класс. Типовой расчет по теме «Круглые тела». Вариант 1 1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна а. Найти объем цилиндра, если известно, что его осевое сечение является квадратом. 2. В прямоугольной

Задание 8 Стереометрия. Куб 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ. 2. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. 3. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь

Куб 1. Диагональ куба равна. Найдите его объем. 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его рёбра увеличить в 5 раз? Прямоугольный параллелепипед 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда,

Все прототипы задания В11 (2013) (25541) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). (25561) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 16 1. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со сторонами a и b. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы и. Найти объём

В8 все задачи из банка Площади поверхности Параллелепипед 27143. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности

Вариант 17826051 1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника. 2. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все двугранные углы прямые). Прототипы заданий В10 2014 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь

1. Прототип задания B13 (27054) выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины. Все прототипы заданий В13

ЭКЗАМЕН ПО ГЕОМЕТРИИ КЛАСС ЧАСТЬ I Координаты и векторы Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M (;3;5) параллельно векторам a = (; ;5) и b = (4;3;0) Составьте уравнение плоскости, проходящей

Три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна α. Найдите площадь полученного сечения. 17. В правильной четырехугольной призме площадь основания 144 см², а высота

Задание 17 Углы и расстояния в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми. 1. Длина ребра правильного тетраэдра ABCD равна 1. Найдите угол между прямыми DM и CL, где M середина ребра BC, L середина

11 класс. Типовой расчет по теме «Призма». Вариант 1 1. Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной a, длина бокового ребра равна b, одно из боковых ребер образует с прилежащими

Аксиомы стереометрии 1. 2. 3. 4. 5. Следствия из аксиом 1. 2. Всегда ли верно утверждение? 1. Любые 3 точки лежат в одной плоскости. 1 2. Любые 4 точки лежат в одной плоскости. 3. Любые 3 точки не лежат

ПРОТОТИПЫ В9 (всего 167) 1 Найдите площадь поверхности 6 Найдите площадь поверхности 2 Найдите площадь поверхности 4 Найдите площадь поверхности 7 Найдите площадь поверхности 3 Найдите площадь поверхности

1. Прототип задания 12 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий 12

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 9 2015 года 8 25681 Найдите площадь поверхности 2 25561 Найдите площадь поверхности 9 25701 Найдите площадь поверхности 3 25581

Контрольный экзамен в формате ЕГЭ по программе ЕГЭ 2017 г. по дисциплине "математика"в формате прототипов заданий. Ответ - строка в бланке для записи кратких ответов. ФИО: дата: Задание 6 1. В равнобедренном

1. Прототип задания B13 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Все прототипы заданий

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 8 2016 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь поверхности 9 25701

1 25541 Найдите площадь поверхности многогранника (все Прототипы заданий 8 2016 года 2 25561 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности 3 25581 Найдите площадь поверхности 4 25601

Задания В11 245354 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра 245358 Длина окружности

Основные определения, теоремы и формулы планиметрии. Обозначения: AВС треугольник с вершинами А, B, С. а = BC, b = AС, с = АB его стороны, соответственно, медиана, биссектриса, высота, проведенные к стороне

Тематическое планирование учебного материала по геометрии класс. урока пункта Тема. Количество часов. 3-4 5-6 7 8-9 0 39 40 4-43 44 45 46 5Многогранники Двугранный угол Трёхгранный и многогранный углы

Задания 1.Вставьте вместо пропусков слова (словосочетания) так, чтобы утверждение было верным Г-11. 1.1. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало с началом координат, называется данной

Тест 448 Вертикальные углы 1. Если углы не вертикальные, то они не равны. 2. Равные углы являются вертикальными углами, только если они центрально - симметричны. 3. Если углы равны и их объединение имеет

Задание В13 ЕГЭ 2014 Задание Ответ 1 Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 4 Прямоугольный параллелепипед

ЗАДАНИЯ С КРАТКИМ ОТВЕТОМ ПО ГЕОМЕТРИИ Инструкция. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Апофема правильной треугольной пирамиды 4 см, а сторона основания 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

МОДУЛЬ 0 «Декартовы координаты и векторы в пространстве. Многогранники. Тела вращения.». Декартовы координаты и векторы в пространстве.. Многогранники. 3. Тела вращения. 4. Объемы многогранников 5. Объемы

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К II-МУ ЭТАПУ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ ПЛАНИМЕТРИЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ 1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника больше длины другого на 10 см, но меньше длины гипотенузы

2012 Подготовка к ЕГЭ по математике 184 прототипа задач В11 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2012 А.С. Крутицких и Н.С.

Справка В9 Многогранники Многогранник это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Призма Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников,

Вариант I 1) Основания равнобедренной трапеции равны 43 и 73. Косинус острого угла трапеции 7 5. Найдите боковую сторону. 2) Чему вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

1. Прототип задания B9 (245359) Все прототипы В5 2013 года Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,. 2. Прототип задания B9 (245360) Найдите расстояние

Теорема о трех синусах и другие креативные методы нахождения углов и расстояний в стереометрии (К решению задач С ЕГЭ по математике) В задачах группы С ЕГЭ по математике, присутствует стандартный набор

Тема: Тела вращения. Комбинация фигур. Подготовка к ЕГЭ (задание 8; 14) Задание 8. 1. В цилиндрический сосуд налили 2000 см 3 воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь.

В.А. Смирнов 1. Распознавание фигур 1. Какой многогранник называется кубом? 2. Сколько у куба вершин, ребер, граней? 3. Изобразите куб на клетчатой бумаге. 4. Какой многогранник называется параллелепипедом?

Задание 8, 4. Стереометрия Основные определения Аксиомы стереометрии Теорема. Через любые три точки, не лежащих на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Теорема. Если две точки прямой

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тренировочные задачи Теорема Пифагора 1. Найдите диагональ квадрата со стороной a. a. В прямоугольном треугольнике с углом 60 гипотенуза равна. Найдите катеты.

КГА ПОУ «ПКЛТТ» МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ «ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ» по дисциплине математика, курс 1 для студентов очной формы обучения Токарская М.С. 014 Г.ЛЕ С О З А В О Д С К Пояснительная записка Данное учебно-методическое

Стартовая контрольная работа Контрольная работа 1(на 20 мин) 1. Найдите координаты вектора АВ, если А (5; 1; 3), В (2; 2; 4). 2. Даны векторы b (3; 1; 2) и c 2b c (1; 4; 3). Найдите. 3. Изобразите систему

Тест 250. Отрезок. Длина Длина отрезка равна 1, если он является: 1. высотой равностороннего треугольника со стороной 2; 2. третьей стороной треугольника, в котором две другие стороны равны 1 и 2, а угол

Среднее (полное) общее образование М.И.Башмаков Математика 11 класс Сборник задач 3-е издание УДК 372.851(075.3) ББК 22.1я721 Б336 Башмаков М. И. Б336 Математика. 11 класс. Сборник задач: среднее (полное)

Прототипы заданий 132017 года 1 25541 Найдите площадь поверхности 8 25681 Найдите площадь поверхности многогранника (все многогранника, изображенного на рисунке (все 2 25561 Найдите площадь поверхности

1. Прототип задания B13 (27064) Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 2. Прототип задания B13

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки до начала координат. 3. При каком

Тест по теме 69 «Комбинированные задачи» 1. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 32 128 0 2.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ», 0- КЛАССЫ Рабочая программа учебного курса «Геометрия», 0- классы составлена в соответствии федеральным компонентом государственного стандарта общего образования

1 I Аннотация 1 Наименование дисциплины в соответствии с учебным планом Приемы и методы решения стереометрических задач в школьном курсе математики Цель и задачи дисциплины Целью освоения дисциплины является:

А. В. ПОГОРЕЛОВ «ГЕОМЕТРИЯ. 0 КЛАССЫ» Базовый уровень (,5 ч в неделю) Номера пункта Содержание материала Кол-во часов Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий). Аксиомы

08. Стереометрия Часть 1. ФИПИ (www.fipi.ru) + Другие источники (*) I) Параллелепипед 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=6, BC=5, AA1=4. Найдите объём многогранника, вершинами

Решение задач типа С2 при подготовке к ЕГЭ 1В прямоугольном параллелепипеде заданы длины ребер, Найдите объем пирамиды если M точка на ребре, причем Заметим, что Площадь прямоугольного треугольника, лежащего

Контрольные вопросы В вопросах 8 рассматриваются точки A (; ;), B(; 4; 0) и плоскость α, заданная уравнением x 4 y z 48 = 0. (). Найти угол между прямой AB и плоскостью α. (). Составить уравнение плоскости,

Тригонометрические уравнения С б) Укажите корни, принадлежащие отрезку. а) Решите уравнение б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку а) Решbте уравнение. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие

Комбинации тел 1. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда. 2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус

Задания с кратким ответом по геометрии Задание. Решите задание. Дайте краткий ответ. 1. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до начала координат. 2. Найдите расстояние от точки B(1; 1; 1) до начала

Экзаменационные задачи и вопросы по геометрии для 9 технического класса (1 гр.) Базовые задачи (на 3) 1. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D разбивают сторону BC на три равных отрезка. Найдите

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 7 Задачи по стереометрии методические указания для абитуриентов физического факультета Ростов-на-Дону 00 Печатается по решению учебнофакультета РГУ методической комиссии

Все прототипы задания В9 (2013) (245359) Найдите квадрат расстояния между вершинами и прямоугольного параллелепипеда, для которого,. (245360) Найдите расстояние между вершинами и прямоугольного параллелепипеда,

1. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке. Площадь треугольника равна 3, объем пирамиды равен 1. Найдите длину отрезка. 2. В правильной треугольной пирамиде медианы основания

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Теорема Пифагора Мы готовы вывести важнейшую теорему геометрии теорему Пифагора. С помощью теоремы Пифагора выполняются многие геометрические вычисления.

П/п Условие задачи Стереометрия В 10 1. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности. Ответ:24 Решение 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая

Сборник заданий С Пирамида Ответ Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 08, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна. Найдите площадь сечения, проходящего через

Многогранники не только занимают видное место в геометрии, но и встречаются в повседневной жизни каждого человека. Не говоря уже об искусственно созданных предметах обихода в виде различных многоугольников, начиная со спичечного коробка и заканчивая архитектурными элементами, в природе также встречаются кристаллы в форме куба (соль), призмы (хрусталь), пирамиды (шеелит), октаэдра (алмаз) и т. д.

Понятие многогранника, виды многогранников в геометрии

Геометрия как наука содержит раздел стереометрию, изучающую характеристики и свойства объёмных тела, стороны которых в трёхмерном пространстве образованы ограниченными плоскостями (гранями), носят название "многогранники". Виды многогранников насчитывают не один десяток представителей, отличающихся количеством и формой граней.

Тем не менее у всех многогранников есть общие свойства:

  1. Все они имеют 3 неотъемлемых компонента: грань (поверхность многоугольника), вершина (углы, образовавшиеся в местах соединения граней), ребро (сторона фигуры или отрезок, образованный в месте стыка двух граней).
  2. Каждое ребро многоугольника соединяет две, и только две грани, которые по отношению друг к другу являются смежными.
  3. Выпуклость означает, что тело полностью расположено только по одну сторону плоскости, на которой лежит одна из граней. Правило применимо ко всем граням многогранника. Такие геометрические фигуры в стереометрии называют термином выпуклые многогранники. Исключение составляют звёздчатые многогранники, которые являются производными правильных многогранных геометрических тел.

Многогранники можно условно разделить на:

  1. Виды выпуклых многогранников, состоящих из следующих классов: обычные или классические (призма, пирамида, параллелепипед), правильные (также называемые Платоновыми телами), полуправильные (второе название - Архимедовы тела).
  2. Невыпуклые многогранники (звёздчатые).

Призма и её свойства

Стереометрия как раздел геометрии изучает свойства трёхмерных фигур, виды многогранников (призма в их числе). Призмой называют геометрическое тело, которое имеет обязательно две совершенно одинаковые грани (их также называют основаниями), лежащие в параллельных плоскостях, и n-ое число боковых граней в виде параллелограммов. В свою очередь, призма имеет также несколько разновидностей, в числе которых такие виды многогранников, как:

  1. Параллелепипед - образуется, если в основании лежит параллелограмм - многоугольник с 2 парами равных противоположных углов и двумя парами конгруэнтных противоположных сторон.
  2. имеет перпендикулярные к основанию рёбра.
  3. характеризуется наличием непрямых углов (отличных от 90) между гранями и основанием.
  4. Правильная призма характеризуется основаниями в виде с равными боковыми гранями.

Основные свойства призмы:

  • Конгруэнтные основания.
  • Все рёбра призмы равны и параллельны по отношению друг к другу.
  • Все боковые грани имеют форму параллелограмма.

Пирамида

Пирамидой называют геометрическое тело, которое состоит из одного основания и из n-го числа треугольных граней, соединяющихся в одной точке - вершине. Следует отметить, что если боковые грани пирамиды представлены обязательно треугольниками, то в основании может быть как треугольный многоугольник, так и четырёхугольник, и пятиугольник, и так до бесконечности. При этом название пирамиды будет соответствовать многоугольнику в основании. Например, если в основании пирамиды лежит треугольник - это , четырёхугольник - четырёхугольная, и т. д.

Пирамиды - это конусоподобные многогранники. Виды многогранников этой группы, кроме вышеперечисленных, включают также следующих представителей:

  1. имеет в основании правильный многоугольник, и высота ее проектируется в центр окружности, вписанной в основание или описанной вокруг него.
  2. Прямоугольная пирамида образуется тогда, когда одно из боковых рёбер пересекается с основанием под прямым углом. В таком случае это ребро справедливо также назвать высотой пирамиды.

Свойства пирамиды:

  • В случае если все боковые рёбра пирамиды конгруэнтны (одинаковой высоты), то все они пересекаются с основанием под одним углом, а вокруг основания можно прочертить окружность с центром, совпадающим с проекцией вершины пирамиды.
  • Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, то все боковые рёбра конгруэнтны, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Правильный многогранник: виды и свойства многогранников

В стереометрии особое место занимают геометрические тела с абсолютно равными между собой гранями, в вершинах которых соединяется одинаковое количество рёбер. Эти тела получили название Платоновы тела, или правильные многогранники. Виды многогранников с такими свойствами насчитывают всего пять фигур:

  1. Тетраэдр.
  2. Гексаэдр.
  3. Октаэдр.
  4. Додекаэдр.
  5. Икосаэдр.

Своим названием правильные многогранники обязаны древнегреческому философу Платону, описавшему эти геометрические тела в своих трудах и связавшему их с природными стихиями: земли, воды, огня, воздуха. Пятой фигуре присуждали сходство со строением Вселенной. По его мнению, атомы природных стихий по форме напоминают виды правильных многогранников. Благодаря своему самому захватывающему свойству - симметричности, эти геометрические тела представляли большой интерес не только для древних математиков и философов, но и для архитекторов, художников и скульпторов всех времён. Наличие всего лишь 5 видов многогранников с абсолютной симметрией считалось фундаментальной находкой, им даже присуждали связь с божественным началом.

Гексаэдр и его свойства

В форме шестигранника преемники Платона предполагали сходство со строением атомов земли. Конечно же, в настоящее время эта гипотеза полностью опровергнута, что, однако, не мешает фигурам и в современности привлекать умы известных деятелей своей эстетичностью.

В геометрии гексаэдр, он же куб, считается частным случаем параллелепипеда, который, в свою очередь, является разновидностью призмы. Соответственно и свойства куба связаны со с той лишь разницей, что все грани и углы куба равны между собой. Из этого вытекают следующие свойства:

  1. Все рёбра куба конгруэнтны и лежат в параллельных плоскостях по отношению друг к другу.
  2. Все грани - конгруэнтные квадраты (всего в кубе их 6), любой из которых может быть принят за основание.
  3. Все межгранные углы равны 90.
  4. Из каждой вершины исходит равное количество рёбер, а именно 3.
  5. Куб имеет 9 которые все пересекаются в точке пересечения диагоналей гексаэдра, именуемой центром симметрии.

Тетраэдр

Тетраэдр - это четырёхгранник с равными гранями в форме треугольников, каждая из вершин которых является точкой соединения трёх граней.

Свойства правильного тетраэдра:

  1. Все грани тетраэда - это из чего следует, что все грани четырёхгранника конгруэнтны.
  2. Так как основание представлено правильной геометрической фигурой, то есть имеет равные стороны, то и грани тетраэдра сходятся под одинаковым углом, то есть все углы равны.
  3. Сумма плоских углов при каждой из вершин равняется 180, так как все углы равны, то любой угол правильного четырёхгранника составляет 60.
  4. Каждая из вершин проецируется в точку пересечения высот противоположной (ортоцентр) грани.

Октаэдр и его свойства

Описывая виды правильных многогранников, нельзя не отметить такой объект, как октаэдр, который визуально можно представить в виде двух склеенных основаниями четырёхугольных правильных пирамид.

Свойства октаэдра:

  1. Само название геометрического тела подсказывает количество его граней. Восьмигранник состоит из 8 конгруэнтных равносторонних треугольников, в каждой из вершин которого сходится равное количество граней, а именно 4.
  2. Так как все грани октаэдра равны, равны и его межгранные углы, каждый из которых равняется 60, а сумма плоских углов любой из вершин составляет, таким образом, 240.

Додекаэдр

Если представить, что все грани геометрического тела представляют собой правильный пятиугольник, то получится додекаэдр - фигура из 12 многоугольников.

Свойства додекаэдра:

  1. В каждой вершине пересекаются по три грани.
  2. Все грани равны и имеют одинаковую длину рёбер, а также равную площадь.
  3. У додекаэдра 15 осей и плоскостей симметрии, причём любая из них проходит через вершину грани и середину противоположного ей ребра.

Икосаэдр

Не менее интересная, чем додекаэдр, фигура икосаэдр представляет собой объёмное геометрическое тело с 20 равными гранями. Среди свойств правильного двадцатигранника можно отметить следующие:

  1. Все грани икосаэдра - равнобедренные треугольники.
  2. В каждой вершине многогранника сходится пять граней, и сумма смежных углов вершины составляет 300.
  3. Икосаэдр имеет так же, как и додекаэдр, 15 осей и плоскостей симметрии, проходящих через середины противоположных граней.

Полуправильные многоугольники

Кроме Платоновых тел, в группу выпуклых многогранников входят также Архимедовы тела, которые представляют собой усечённые правильные многогранники. Виды многогранников данной группы обладают следующими свойствами:

  1. Геометрические тела имеют попарно равные грани нескольких типов, например, усечённый тетраэдр имеет так же, как и правильный тетраэдр, 8 граней, но в случае Архимедова тела 4 грани будут треугольной формы и 4 - шестиугольной.
  2. Все углы одной вершины конгруэнтны.

Звёздчатые многогранники

Представители необъёмных видов геометрических тел - звёздчатые многогранники, грани которых пересекаются друг с другом. Они могут быть образованы путём слияния двух правильных трёхмерных тел либо в результате продолжения их граней.

Таким образом, известны такие звёздчатые многогранники, как: звёздчатые формы октаэдра, додекаэдра, икосаэдра, кубооктаэдра, икосододекаэдра.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

СХОЖИЕ СТАТЬИ