26. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Определение 1.
Криволинейной
трапецией
, порожденной графиком
неотрицательной функцииf
на отрезке,
называется фигура, ограниченная отрезком
оси абсцисс, отрезками прямых
,
и графиком функции
на
.
1. Разобьем
отрезок
точками
на частичные отрезки.
2. В
каждом отрезке
(гдеk
=1,2,...,n
)
выберем произвольную точку
.
3. Вычислим
площади прямоугольников, у которых
основания есть отрезки
оси абсцисс, а высоты имеют длины
.
Тогда площадь ступенчатой фигуры,
образованной этими прямоугольниками,
равна
.
Заметим, что чем меньше длины частичных отрезков, тем более ступенчатая фигура по расположению близка к данной криволинейной трапеции. Поэтому естественно дать следующее определение.
Определение 2.
Площадью
криволинейной трапеции,
порожденной графиком неотрицательной
функции f
на отрезке
,
называется предел (при стремлении к 0
длин всех частичных отрезков) площадей
ступенчатых фигур, если:
1) этот предел существует и конечен;
2) не
зависит от способа разбиения отрезка
на частичные отрезки;
3) не
зависит от выбора точек
.
Теорема 1.
Если функция
непрерывна и неотрицательна на отрезке
,
то криволинейная трапеция
F
,
порожденная графиком функции
f
на
,
имеет площадь, которая вычисляется по
формуле
.
С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур и более сложного вида.
Если f
иg
- непрерывные и неотрицательные на
отрезке
функции, причем для всехx
из отрезка
выполняется неравенство
,
то площадь фигурыF
,ограниченной
прямыми
,
и графиками функций
,
,
вычисляется по формуле
.
Замечание. Если отбросить условие неотрицательности функцийf иg , последняя формула остается верной.
Тема 9. Дифференциальные уравнения
27. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчислением.
Определение 1.
n
-го
порядка
называется уравнение вида,
в котором
- неизвестная функция.
Определение 2.
Функция
называется решениям дифференциального
уравнения на промежуткеI
, если при подстановке этой функции и
ее производных дифференциальное
уравнение обращается в тождество.
Решить дифференциальное уравнение - это найти все его решения.
Определение 3. График решения дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой дифференциального уравнения.
Определение 4.
Обыкновенным
дифференциальным уравнением
1-го
порядка
называется уравнение вида
.
Определение 5.
Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением
1-го порядка
,разрешенным
относительно производной
.
Как правило, любое дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить из совокупности всех решений какое-либо одно, надо наложить дополнительные условия.
Определение 6.
Условие вида
,
накладываемое на решение дифференциального
уравнения 1-го порядка, называетсяначальным условием
, илиусловием
Коши
.
Геометрически это означает, что
соответствующая интегральная кривая
проходит через точку
.
Определение 7.
Общим решением
дифференциального уравнения 1-го
порядка
на плоской областиD
называется однопараметрическое семейство
функций
,
удовлетворяющее условиям:
1) для любого
функция
является решением уравнения;
2) для каждой точки
существует такое значение параметра
,
что соответствующая функция
является решением уравнения, удовлетворяющим
начальному условию
.
Определение 8. Решение, получаемое из общего решения при некотором значении параметра, называетсячастным решением дифференциального уравнения.
Определение 9. Особым решением дифференциального уравнения называется всякое решение, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении параметра.
Решение дифференциальных уравнений - очень сложная задача, и, вообще говоря, чем выше порядок уравнения, тем труднее указать способы решения уравнения. Даже для дифференциальных уравнений первого порядка удается лишь в небольшом числе частных случаев указать приемы нахождения общего решения. Более того, и в этих случаях искомое решение не всегда является элементарной функцией.
Одна из основных задач теории дифференциальных уравнений, впервые изучавшаяся О. Коши, состоит в отыскании решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
Например, всегда ли существует решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
,
и будет ли оно единственным? Вообще
говоря, ответ отрицательный. В самом
деле, уравнение
,
правая часть которого непрерывна на
всей плоскости, имеет решенияy
=0
иy
=(x
+C
) 3 ,C
R
. Следовательно, через любую точку оси
Ох
проходит две интегральные кривые.
Таким образом, функция должна удовлетворять
некоторым требованиям. В следующей
теореме содержится один из вариантов
достаточных условий для существования
и единственности решения дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющего начальному условию
.
В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, и гиперболу .
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:
Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл.
С точки зрения геометрии определенный интеграл - это ПЛОЩАДЬ .
То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения - построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом - параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно.
В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):
На отрезке график функции расположен над осью
, поэтому:
Ответ:
После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже - ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка - в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.
Решение : Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция расположена под осью
(или, по крайней мере, не выше
данной оси), то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:
Внимание! Не следует путать два типа задач :
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.
Пример 4
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .
Решение : Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ - аналитический. Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться .
Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.
Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
А теперь рабочая формула
: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна
некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле: 
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура - над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой - НИЖЕ .
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
Пример 4
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Решение : Сначала выполним чертеж:
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие - чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов.
Действительно :
1) На отрезке над осью расположен график прямой ;
2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Урок по математике для первого курса учреждений среднего профессионального образования
Тема: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”.
Преподаватель математики С.Б. Баранова
Образовательные задачи:
обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала по данной теме;
создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.
Развивающие задачи:
способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;
продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные задачи:
содействовать воспитанию интереса к математике;
воспитание активности, мобильности, умения общаться.
Тип урока – комбинированный урок с элементами проблемного обучения.
Методы и приёмы обучения – проблемный, наглядный, самостоятельная работа студентов, самопроверка.
Оборудование – приложение к уроку, таблицы.
План урока
Организационный момент. Подготовка студентов к работе на занятии.
Подготовка студентов к активной деятельности (проверка вычислительных навыков и таблиц интегралов по группам).
Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Работа с новым материалом.
Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
Домашнее задание.
Применение знаний.
Подведение итогов.
Рефлексия.
Ход урока
1. Организационный момент.
Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.
На предыдущих занятиях мы научились “брать” неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как это сделать?”
2. Подготовка студентов к активной деятельности.
Но сначала нам необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов. Перед вами задание, результатом выполнения которого будет высказывание французского математика С.Д. Пуассона (Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием).
Задание выполняется парами ().
3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Переходим к теме нашего занятия “Вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”. Кроме умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей. В чем они заключаются?
Равные фигуры имеют равные площади.
Если фигура разбита на две части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей.
Также нам нужно повторить правило интеграла суммы и формулу Ньютона-Лейбница.
4. Работа с новым интегралом
1. Определенный интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить площади именно таких фигур.
Работа по таблице “Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей” ().
2. Давай проверим себя.
Работа с заданием () с последующей проверкой (таблица №3).
3. Но умения правильно выбирать формулы для площади недостаточно. На следующей таблице () в каждом из заданий есть “внешняя” причина, не позволяющая вычислить площадь фигуры. Найдём их.
а) не указаны формулы для графиков функций.
б) нет пределов интегрирования.
в) не указаны названия графиков и нет одного предела.
г) не указана формула одного из графиков.
4. С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач на тему урока.
Построить графики данных линий. Определить искомую фигуру.
Найти пределы интегрирования.
Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.
Вычислить полученный интеграл.
5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
1. С учетом алгоритма выполним задание №2 из последней таблицы.
Рисунок 1
Решение:
Для точки А:
– не удовлетворяет условию задания
Для точки В:
– не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: (кв. ед).
2. Но при выполнении этого задания алгоритм применялся не полностью. Для его отработки выполним следующее задание
Задание. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Рисунок 2
Решение:
– парабола, вершина (m,n).
(0;2) – вершина
Найдём пределы интегрирования.
Ответ: (кв.ед).
6. Домашнее задание.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (задание разобрать).
7. Применение знаний.
Самостоятельная работа (Приложение №5))
8. Подведение итогов.
научились составлять формулы для нахождения площадей плоских фигур;
находить пределы интегрирования;
вычислять площади фигур.
9. Рефлексия.
Студентам раздаются листочки. Они должны оценить свою работу, выбрав один из предложенных вариантов ответа.
Оценить степень сложности урока.
Вам было на уроке:
легко;
обычно;
трудно.
усвоил полностью, могу применить;
усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
усвоил частично;
не усвоил.
Просмотрев ответы, сделать вывод о подготовленности студентов к практической работе.
Используемая литература:
Валуцэ И.И., Дилигулин Г.Д. Математика для техникумов.
Крамер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Высшая математика для экономистов.
Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика, ч.1.
Званич Л.И., Рязановский А.Р. М., Новая школа.
Газета “Математика”. Издательский дом “Первое сентября”.
Приложение № 1
Вычислите определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского математика С.Д.Пуассона.
9
Жизнь
Тремя
Двумя
Вещами
Занятием
Математикой
Арифметикой
Преподаванием
Её
Украшается
Забыванием
Приложение № 2
ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ
______________________________________
_
__________________________________
______
________________________________
______
___________________________________
Фигура симметричная относительно оси ординат или начала координат.
Приложение № 3
Используя определенный интеграл, запишите формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунке.
_________________________________________
__________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
____________________________________________
Приложение № 4
Найти «внешнюю» причину, не позволяющую вычислить площадь фигуры.
Рисунок 1
Рисунок 2
Рисунок 3
Рисунок 4
_____________________________
Приложение № 5
Самостоятельная работа
Вариант 1
Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их
Нарисуйте фигуры, пл ощади которых равны следующим интегралам:
Самостоятельная работа
Вариант 2
Установите, верны ли следующие утверждения:
Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их
Нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим интегралам:
Определение. Разность F (b)– F (a) называется интегралом от функции f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается так: = F (b)– F (a) – формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл интеграла.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:
Вычисление площадей с помощью интеграла.
1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:
2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b:
3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :
4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:
Задачи и тесты по теме "Интеграл. Вычисление площадей с помощью интеграла"
- Интеграл
Уроков: 4 Заданий: 13 Тестов: 1
- Вычисление площадей с помощью интегралов - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
- Первообразная - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 11 Тестов: 1
- Планиметрия: вычисление длин и площадей
Заданий: 7
- Вычисления и преобразования - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике
Заданий: 10
Прежде чем начать вычислять площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, постарайтесь изобразить эту фигуру в системе координат. Это существенно облегчит решение задачи.
Изучение теоретических материалов по данной теме дает Вам возможность овладеть понятиями первообразной и интеграла, усвоить связь между ними, овладеть простейшей техникой интегрального исчисления, научится применять интеграл к вычислению площадей фигур, ограниченных графиками функций.
Примеры.
1. Вычислить интеграл
Решение:
Ответ: 0.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
a) f ( x ) = 2 х – х 2 и осью абсцисс
Решение: График функции f(x) = 2x - х 2 парабола. Вершина: (1; 1).
Ответ: (кв. ед.).
Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла и знакомиться с его геометрическим смыслом.
Двойной интеграл численно равен площади плоской фигуры (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице: .
Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры , ограниченной линиями . Для определённости считаем, что на отрезке . Площадь данной фигуры численно равна:
Изобразим область на чертеже:
Выберем первый способ обхода области:
Таким образом: 
И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности . Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.
1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:
Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции . Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел
2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:
Более компактная запись всего решения выглядит так:
Полученная формула 
– это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла
, там она на каждом шагу!
То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла! Фактически это одно и тоже!
Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.
Пример 9
Решение:
Изобразим область на чертеже:
Выберем следующий порядок обхода области:
Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход области, поскольку в первом параграфе были приведены очень подробные разъяснения.
Таким образом:
Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:
1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:
2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:
Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.
Ответ:
Вот такая вот глупая и наивная задача.
Любопытный пример для самостоятельного решения:
Пример 10
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями , ,
Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.
В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.
Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в заключение курса молодого ботана рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:
Пример 11
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями ,
Решение: нас с нетерпением ждут две параболы с бзиком, которые лежат на боку. Улыбаться не нужно, похожие вещи в кратных интегралах встречаются частенько.
Как проще всего сделать чертёж?
Представим параболу в виде двух функций:
– верхняя ветвь и – нижняя ветвь.
Аналогично, представим параболу в виде верхней и нижней 
ветвей.
Далее рулит поточечное построение графиков, в результате чего получается вот такая причудливая фигура:
Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:
Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых, данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину: 
. Интегралы, конечно, не сверхсложного уровня, но… существует старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.
Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции:
Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без всяких там листьев, желудей веток и корней.
Согласно второму способу, обход области будет следующим:
Таким образом:
Как говорится, ощутите разницу.
1) Расправляемся с внутренним интегралом:
Результат подставляем во внешний интеграл:
Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней. Хотя кто прочитал второй параграф урока Как вычислить объем тела вращения , тот уже не испытывает ни малейшей неловкости с интегрированием по «игрек».
Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Данный приём подробно закомментирован на уроке Эффективные методы вычисления определённого интеграла .
Что добавить…. Всё!
Ответ:
Для проверки своей технике интегрирования можете попробовать вычислить . Ответ должен получиться точно таким же.
Пример 12
С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры , ограниченной линиями 
Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных интегралов. Бывает и такое.
Мастер класс подошел к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень – Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений . Постараюсь во второй статье так не маньячить =)
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2:
Решение:
Изобразим область
на чертеже:
Выберем следующий порядок обхода области:
Таким образом:
Перейдём к обратным функциям:
Таким образом:
Ответ:
Пример 4:
Решение:
Перейдём к прямым функциям:
Выполним чертёж:
Изменим порядок обхода области:
Ответ:
