Operações com frações de uma equação. Operações com frações

Instruções

Primeiro, lembre-se que uma fração é apenas uma notação convencional para dividir um número por outro. Além e multiplicação, ao dividir dois inteiros, nem sempre se obtém um número inteiro. Então chame esses dois números “divisíveis”. O número que está sendo dividido é o numerador, e o número que está sendo dividido é o denominador.

Para escrever uma fração, primeiro escreva o numerador, depois desenhe uma linha horizontal abaixo do número e escreva o denominador abaixo da linha. A linha horizontal que separa o numerador e o denominador é chamada de linha fracionária. Às vezes é representado como uma barra "/" ou "∕". Neste caso, o numerador é escrito à esquerda da linha e o denominador à direita. Assim, por exemplo, a fração “dois terços” será escrita como 2/3. Para maior clareza, o numerador geralmente é escrito no topo da linha e o denominador na parte inferior, ou seja, em vez de 2/3 você pode encontrar: ⅔.

Se o numerador de uma fração for maior que seu denominador, então a fração imprópria geralmente é escrita como uma fração mista. Para formar uma fração mista a partir de uma fração imprópria, basta dividir o numerador pelo denominador e escrever o quociente resultante. Em seguida, coloque o resto da divisão no numerador da fração e escreva esta fração à direita do quociente (não toque no denominador). Por exemplo, 7/3 = 2⅓.

Para somar duas frações com o mesmo denominador, basta somar seus numeradores (deixar os denominadores como estão). Por exemplo, 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Subtraia duas frações da mesma maneira (os numeradores são subtraídos). Por exemplo, 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Para adicionar duas frações com denominadores diferentes, multiplique o numerador e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda e multiplique o numerador e o denominador da segunda fração pelo denominador da primeira. Como resultado, você obterá a soma de duas frações com os mesmos denominadores, cuja adição está descrita no parágrafo anterior.

Por exemplo, 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 1 5/12.

Se os denominadores das frações possuem fatores comuns, ou seja, são divisíveis pelo mesmo número, escolha como denominador comum o menor número que seja divisível pelo primeiro e pelo segundo denominador ao mesmo tempo. Assim, por exemplo, se o primeiro denominador for 6 e o segundo for 8, então, como denominador comum, tome não o produto (48), mas o número 24, que é divisível por 6 e 8. Os numeradores das frações são multiplicado pelo quociente da divisão do denominador comum pelo denominador de cada fração. Por exemplo, para um denominador de 6 este número será 4 – (24/6), e para um denominador de 8 – 3 (24/8). Este processo é mais claramente visível em um exemplo específico:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

A subtração de frações com denominadores diferentes é feita exatamente da mesma maneira.

Vamos concordar que “ações com frações” em nossa lição significarão ações com frações ordinárias. Uma fração comum é uma fração que possui atributos como numerador, linha de fração e denominador. Isto distingue uma fração ordinária de um decimal, que é obtido de uma fração ordinária reduzindo o denominador a um múltiplo de 10. O decimal é escrito com uma vírgula separando a parte inteira da fração. Falaremos sobre operações com frações ordinárias, pois são elas que causam maiores dificuldades aos alunos que se esqueceram do básico deste tema, abordado na primeira metade do curso de matemática escolar. Ao mesmo tempo, ao transformar expressões em matemática superior, são utilizadas principalmente operações com frações ordinárias. Só as abreviaturas das frações já valem a pena! As frações decimais não causam dificuldades particulares. Então, vá em frente!

Dizemos que duas frações são iguais se .

Por exemplo, desde

Frações e (desde) e (desde) também são iguais.

Obviamente, ambas as frações e são iguais. Isso significa que se o numerador e o denominador de uma determinada fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número natural, obter-se-á uma fração igual ao dado: .

Esta propriedade é chamada de propriedade básica de uma fração.

A propriedade básica de uma fração pode ser usada para alterar os sinais do numerador e do denominador de uma fração. Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados por -1, obtemos. Isso significa que o valor de uma fração não mudará se os sinais do numerador e do denominador forem alterados ao mesmo tempo. Se você alterar o sinal apenas do numerador ou apenas do denominador, a fração mudará de sinal:

Reduzindo Frações

Usando a propriedade básica de uma fração, você pode substituir uma determinada fração por outra fração igual à dada, mas com numerador e denominador menores. Essa substituição é chamada de redução de fração.

Deixe, por exemplo, receber uma fração. Os números 36 e 48 têm um máximo divisor comum de 12. Então

Em geral, a redução de uma fração é sempre possível se o numerador e o denominador não forem números primos mutuamente. Se o numerador e o denominador forem números primos mutuamente, a fração é chamada de irredutível.

Portanto, reduzir uma fração significa dividir o numerador e o denominador da fração por um fator comum. Todos os itens acima também se aplicam a expressões fracionárias contendo variáveis.

Exemplo 1. Reduzir fração

Solução. Para fatorar o numerador, apresentando primeiro o monômio - 5 xy como uma soma - 2 xy - 3xy, Nós temos

Para fatorar o denominador, usamos a fórmula da diferença de quadrados:

Como resultado

Reduzindo frações a um denominador comum

Deixe duas frações e . Elas possuem denominadores diferentes: 5 e 7. Usando a propriedade básica das frações, você pode substituir essas frações por outras que sejam iguais a elas, e de forma que as frações resultantes tenham os mesmos denominadores. Multiplicando o numerador e o denominador da fração por 7, obtemos

Multiplicando o numerador e o denominador da fração por 5, obtemos

Assim, as frações são reduzidas a um denominador comum:

Mas esta não é a única solução para o problema: por exemplo, estas frações também podem ser reduzidas a um denominador comum de 70:

e em geral para qualquer denominador divisível por 5 e 7.

Vejamos outro exemplo: vamos trazer as frações e para um denominador comum. Argumentando como no exemplo anterior, obtemos

Mas neste caso é possível reduzir as frações a um denominador comum menor que o produto dos denominadores dessas frações. Vamos encontrar o mínimo múltiplo comum dos números 24 e 30: MMC(24, 30) = 120.

Como 120:4 = 5, para escrever uma fração com denominador 120, você precisa multiplicar o numerador e o denominador por 5, esse número é chamado de fator adicional. Significa .

A seguir, obtemos 120:30=4. Multiplicando o numerador e o denominador da fração por um fator adicional de 4, obtemos .

Então, essas frações são reduzidas a um denominador comum.

O mínimo múltiplo comum dos denominadores dessas frações é o menor denominador comum possível.

Para expressões fracionárias que envolvem variáveis, o denominador comum é um polinômio dividido pelo denominador de cada fração.

Exemplo 2. Encontre o denominador comum das frações e.

Solução. O denominador comum dessas frações é um polinômio, pois é divisível por e. Porém, este polinômio não é o único que pode ser um denominador comum dessas frações. Também pode ser um polinômio e polinômio e polinômio etc. Geralmente eles assumem um denominador tão comum que qualquer outro denominador comum é dividido pelo escolhido sem deixar resto. Este denominador é chamado de menor denominador comum.

No nosso exemplo, o menor denominador comum é . Pegou:

;

Conseguimos reduzir as frações ao seu menor denominador comum. Isso aconteceu multiplicando o numerador e o denominador da primeira fração por , e o numerador e o denominador da segunda fração por . Polinômios são chamados de fatores adicionais, respectivamente para a primeira e segunda frações.

Adição e subtração de frações

A adição de frações é definida da seguinte forma:

Por exemplo,

Se b = d, Que

Isso significa que para somar frações com o mesmo denominador, basta somar os numeradores e deixar o denominador igual. Por exemplo,

Se você adicionar frações com denominadores diferentes, geralmente reduz as frações ao menor denominador comum e depois adiciona os numeradores. Por exemplo,

Agora vejamos um exemplo de adição de expressões fracionárias com variáveis.

Exemplo 3. Converter expressão em uma fração

Solução. Vamos encontrar o menor denominador comum. Para fazer isso, primeiro fatoramos os denominadores.

Multiplicação e divisão de frações.

Atenção!
Existem adicionais
materiais na Seção Especial 555.
Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

Esta operação é muito melhor do que adição-subtração! Porque é mais fácil. Lembrando que para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa multiplicar os numeradores (este será o numerador do resultado) e os denominadores (este será o denominador). Aquilo é:

Por exemplo:

Tudo é extremamente simples. E por favor, não procure um denominador comum! Não há necessidade dele aqui...

Para dividir uma fração por outra, você precisa inverter segundo(isso é importante!) fracione e multiplique-os, ou seja:

Por exemplo:

Se você encontrar multiplicação ou divisão com números inteiros e frações, tudo bem. Tal como acontece com a adição, fazemos uma fração de um número inteiro com um no denominador – e vá em frente! Por exemplo:

No ensino médio, muitas vezes você tem que lidar com frações de três andares (ou mesmo de quatro andares!). Por exemplo:

Como posso fazer essa fração parecer decente? Sim, muito simples! Use divisão de dois pontos:

Mas não se esqueça da ordem de divisão! Ao contrário da multiplicação, isto é muito importante aqui! É claro que não confundiremos 4:2 ou 2:4. Mas é fácil errar numa fração de três andares. Observe, por exemplo:

No primeiro caso (expressão à esquerda):

Na segunda (expressão à direita):

Você sente a diferença? 4 e 1/9!

O que determina a ordem da divisão? Seja com colchetes ou (como aqui) com o comprimento das linhas horizontais. Desenvolva seu olho. E se não houver colchetes ou travessões, como:

então divida e multiplique em ordem, da esquerda para a direita!

E outra técnica muito simples e importante. Em ações com graus, será muito útil para você! Vamos dividir um por qualquer fração, por exemplo, por 13/15:

O tiro virou! E isso sempre acontece. Ao dividir 1 por qualquer fração, o resultado é a mesma fração, só que de cabeça para baixo.

É isso para operações com frações. A coisa é bem simples, mas dá erros mais que suficientes. Leve em consideração os conselhos práticos e haverá menos erros (erros)!

Dicas práticas:

1. O mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é a precisão e a atenção! Estas não são palavras genéricas, nem votos de boa sorte! Esta é uma necessidade extrema! Faça todos os cálculos do Exame Estadual Unificado como uma tarefa completa, focada e clara. É melhor escrever duas linhas extras em seu rascunho do que errar ao fazer cálculos mentais.

2. Nos exemplos com diferentes tipos de frações, passamos para as frações ordinárias.

3. Reduzimos todas as frações até que parem.

4. Reduzimos expressões fracionárias de vários níveis a expressões comuns usando divisão por dois pontos (seguimos a ordem de divisão!).

5. Divida mentalmente uma unidade por uma fração, simplesmente virando a fração.

Aqui estão as tarefas que você definitivamente deve concluir. As respostas são dadas após todas as tarefas. Utilize os materiais sobre este tema e dicas práticas. Estime quantos exemplos você conseguiu resolver corretamente. A primeira vez! Sem calculadora! E tire as conclusões certas...

Lembre-se: a resposta correta é recebido pela segunda (especialmente pela terceira) vez não conta! Essa é a vida dura.

Então, resolver no modo de exame ! A propósito, isso já é uma preparação para o Exame Estadual Unificado. Resolvemos o exemplo, verificamos, resolvemos o próximo. Decidimos tudo - verificamos novamente do início ao fim. Se apenas Então veja as respostas.

Calcular:

Você decidiu?

Estamos procurando respostas que correspondam às suas. Eu as escrevi deliberadamente desordenadamente, longe da tentação, por assim dizer... Aqui estão elas, as respostas, escritas com ponto e vírgula.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Agora tiramos conclusões. Se tudo deu certo, fico feliz por você! Cálculos básicos com frações não são problema seu! Você pode fazer coisas mais sérias. Se não...

Então você tem um de dois problemas. Ou ambos ao mesmo tempo.) Falta de conhecimento e (ou) desatenção. Mas isso solucionável Problemas.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Vamos aprender - com interesse!)

Você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Para somar frações com os mesmos denominadores, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador igual.
Para subtrair frações com denominadores semelhantes, você precisa subtrair o numerador do minuendo do numerador do minuendo e deixar o denominador igual.
Para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, primeiro você deve reduzi-las a um denominador comum e, em seguida, aplicar a regra para somar frações com denominador comum.
Um produto de frações é uma fração cujo numerador é igual ao produto dos numeradores dessas frações, e o denominador é o produto dos denominadores dessas frações.
Para dividir uma fração por uma fração, você deve multiplicar o dividendo pelo inverso do divisor.
Qualquer número natural pode ser representado como uma fração com qualquer denominador natural.
Para converter uma fração (ou número natural) em um novo denominador, você precisa usarpropriedade principal de uma fração :

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número que não é igual a zero, obtém-se uma fração igual ao dado.

Regras para lidar com números mistos.

Um número misto é a soma de um número natural e uma fração própria. Um número natural é chamado de parte inteira e uma fração própria é chamada de parte fracionária de um número misto.

Por exemplo, - fração mista.

Para adicionar números mistos, você precisa adicionar as partes inteiras separadamente e as partes fracionárias separadamente e adicionar os resultados resultantes. Se, como resultado da adição, a parte fracionária se tornar uma fração imprópria, então a parte inteira deve ser separada dela e adicionada à parte inteira do resultado.
Se as partes fracionárias de números mistos tiverem denominadores diferentes, primeiro elas devem ser trazidas para um denominador comum e, em seguida, a regra para somar números mistos deve ser aplicada.
Para subtrair números mistos, você precisa subtrair as partes inteiras e fracionárias separadamente e depois somar os resultados. Isso é viável se as partes inteiras e fracionárias do minuendo forem respectivamente maiores que as partes inteiras e fracionárias do subtraendo.
Se a parte fracionária do minuendo for menor que a parte fracionária do subtraendo, então você deve pegar uma unidade da parte inteira do minuendo, representá-la como uma fração com o mesmo denominador e adicioná-la à parte fracionária do minuendo . Em seguida, aplique a regra para subtrair frações.
Atenção! Não há necessidade de representar todo o minuendo e subtraendo como uma fração imprópria! Isso pode levar a erros computacionais!
Se os números mistos tiverem denominadores diferentes, antes da subtração você precisará trazê-los para um denominador comum e, em seguida, aplicar a regra para subtrair números mistos.
Para multiplicar ou dividir números mistos, você pode expressá-los como frações impróprias e depois aplicar a regra para multiplicar ou dividir frações comuns.

Fração- uma forma de representar um número em matemática. A barra de fração denota a operação de divisão. Numerador fração é chamada de dividendo, e denominador- divisor. Por exemplo, numa fração o numerador é 5 e o denominador é 7.

CorretoÉ chamada uma fração em que o módulo do numerador é maior que o módulo do denominador. Se uma fração for própria, então o módulo do seu valor é sempre menor que 1. Todas as outras frações são errado.

A fração é chamada misturado, se for escrito como um número inteiro e uma fração. Isso é o mesmo que a soma deste número e da fração:

A principal propriedade de uma fração

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados pelo mesmo número, o valor da fração não mudará, ou seja, por exemplo,

Reduzindo frações a um denominador comum

Para trazer duas frações para um denominador comum, você precisa:

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda
Multiplique o numerador da segunda fração pelo denominador da primeira
Substitua os denominadores de ambas as frações pelo seu produto