Produtos de números primos. números primos

O artigo trata dos conceitos de números primos e compostos. São dadas definições de tais números com exemplos. Damos uma prova de que o número de primos é ilimitado e fazemos uma entrada na tabela de primos usando o método de Eratóstenes. Serão dadas provas se um número é primo ou composto.

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Números primos e compostos - Definições e exemplos

Os números primos e compostos são classificados como inteiros positivos. Eles devem ser maiores que um. Os divisores também são divididos em simples e compostos. Para entender o conceito de números compostos, é necessário primeiro estudar os conceitos de divisores e múltiplos.

Definição 1

Os números primos são inteiros maiores que um e têm dois divisores positivos, ou seja, eles mesmos e 1.

Definição 2

Números compostos são números inteiros que são maiores que um e têm pelo menos três divisores positivos.

Um não é um número primo nem um número composto. Ele tem apenas um divisor positivo, então é diferente de todos os outros números positivos. Todos os inteiros positivos são chamados naturais, isto é, usados na contagem.

Definição 3

números primos são números naturais que possuem apenas dois divisores positivos.

Definição 4

Número compostoé um número natural que tem mais de dois divisores positivos.

Qualquer número maior que 1 é primo ou composto. Pela propriedade da divisibilidade, temos que 1 e o número a sempre serão divisores de qualquer número a, ou seja, será divisível por ele mesmo e por 1. Damos a definição de inteiros.

Definição 5

Os números naturais que não são primos são chamados de números compostos.

Números primos: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Eles são divisíveis apenas por eles mesmos e por 1. Números compostos: 6, 63, 121, 6697. Ou seja, o número 6 pode ser decomposto em 2 e 3, e 63 em 1, 3, 7, 9, 21, 63 e 121 em 11, 11, ou seja, seus divisores serão 1, 11, 121. O número 6697 se decomporá em 37 e 181. Observe que os conceitos de números primos e números relativamente primos são conceitos diferentes.

Para facilitar o uso de números primos, você precisa usar uma tabela:

Uma tabela para todos os números naturais existentes não é realista, pois há um número infinito deles. Quando os números atingem tamanhos de 10000 ou 1000000000, então você deve pensar em usar a peneira de Eratóstenes.

Considere um teorema que explica a última afirmação.

Teorema 1

O menor divisor positivo de um número natural maior que 1 diferente de 1 é um número primo.

Prova 1

Suponha que a é um número natural maior que 1, b é o menor divisor não-um de a. Devemos provar que b é um número primo usando o método da contradição.

Digamos que b é um número composto. Daqui temos que existe um divisor para b , que é diferente de 1 assim como de b . Tal divisor é denotado como b 1 . É necessário que a condição 1< b 1 < b foi completado.

Pode ser visto a partir da condição de que a é divisível por b, b é divisível por b 1, o que significa que o conceito de divisibilidade é expresso desta forma: a = bq e b = b 1 q 1 , de onde a = b 1 (q 1 q) , onde q e q 1 são inteiros. De acordo com a regra da multiplicação de inteiros, temos que o produto de inteiros é um inteiro com uma igualdade da forma a = b 1 · (q 1 · q) . Pode-se ver que b 1 é o divisor de a. Desigualdade 1< b 1 < b não corresponde, porque obtemos que b é o menor divisor positivo não-1 de a.

Teorema 2

Existem infinitos números primos.

Prova 2

Suponha que tomamos um número finito de números naturais n e denotamos como p 1 , p 2 , … , p n . Vamos considerar uma variante de encontrar um número primo diferente dos indicados.

Considere o número p, que é igual a p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Não é igual a cada um dos números correspondentes aos primos da forma p 1 , p 2 , … , p n . O número p é primo. Então o teorema é considerado provado. Se for composto, precisamos tomar a notação p n + 1 e mostre a incompatibilidade do divisor com qualquer um de p 1 , p 2 , … , p n .

Se não fosse assim, então, com base na propriedade de divisibilidade do produto p 1 , p 2 , … , p n , temos que seria divisível por p n + 1 . Observe que a expressão p n + 1 o número p é dividido é igual à soma p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Obtemos que a expressão p n + 1 o segundo termo dessa soma, que é igual a 1, deve ser dividido, mas isso é impossível.

Pode-se ver que qualquer número primo pode ser encontrado entre qualquer número de números primos dados. Segue-se que existem infinitos números primos.

Como há muitos números primos, as tabelas são limitadas aos números 100, 1000, 10000 e assim por diante.

Ao compilar uma tabela de números primos, deve-se ter em mente que tal tarefa requer uma verificação sequencial de números, começando de 2 a 100. Se não houver divisor, ele será registrado na tabela; se for composto, não será inserido na tabela.

Vamos considerar passo a passo.

Se você começar com o número 2, ele terá apenas 2 divisores: 2 e 1, o que significa que pode ser inserido na tabela. Também com o número 3. O número 4 é composto, deve ser decomposto em 2 e 2. O número 5 é primo, o que significa que pode ser fixado na tabela. Faça isso até o número 100.

Este método é inconveniente e demorado. Você pode fazer uma mesa, mas terá que gastar muito tempo. É necessário utilizar critérios de divisibilidade, o que agilizará o processo de encontrar os divisores.

O método usando a peneira de Eratóstenes é considerado o mais conveniente. Vamos dar uma olhada nas tabelas abaixo. Para começar, os números 2, 3, 4, ..., 50 são escritos.

Agora você precisa riscar todos os números que são múltiplos de 2. Faça tachado sequencial. Obtemos uma tabela da forma:

Vamos passar a riscar os números que são múltiplos de 5. Nós temos:

Riscamos os números que são múltiplos de 7, 11. Finalmente a tabela parece

Passemos à formulação do teorema.

Teorema 3

O menor divisor positivo e diferente de 1 do número base a não excede a , onde a é a raiz aritmética do número dado.

Prova 3

É necessário denotar b como o menor divisor de um número composto a. Existe um inteiro q , onde a = b · q , e temos que b ≤ q . Uma desigualdade da forma b > q porque a condição foi violada. Ambos os lados da desigualdade b ≤ q devem ser multiplicados por qualquer número positivo b diferente de 1 . Obtemos que b b ≤ b q , onde b 2 ≤ a e b ≤ a .

Pode-se ver pelo teorema provado que riscar números na tabela leva ao fato de que é necessário começar com um número que é igual a b 2 e satisfaz a desigualdade b 2 ≤ a . Ou seja, se você riscar números que são múltiplos de 2, o processo começa em 4, e aqueles que são múltiplos de 3 começam em 9 e assim por diante até 100.

A compilação de tal tabela usando o teorema de Eratóstenes diz que quando todos os números compostos são riscados, restarão primos que não excedem n. No exemplo onde n = 50 , temos que n = 50 . A partir daqui, temos que a peneira de Eratóstenes peneira todos os números compostos que não são maiores que o valor da raiz de 50. A busca por números é feita riscando.

Antes de resolver, é necessário descobrir se o número é primo ou composto. Critérios de divisibilidade são frequentemente usados. Vejamos isso no exemplo abaixo.

Exemplo 1

Prove que 898989898989898989 é um número composto.

Solução

A soma dos dígitos do número dado é 9 8 + 9 9 = 9 17 . Portanto, o número 9 17 é divisível por 9, com base no sinal de divisibilidade por 9. Segue-se que é composto.

Tais sinais não são capazes de provar a primogenitura de um número. Se a verificação for necessária, outras etapas devem ser tomadas. A maneira mais adequada é enumerar números. Durante o processo, números primos e compostos podem ser encontrados. Ou seja, os números em valor não devem exceder a . Ou seja, o número a deve ser decomposto em fatores primos. se isso for verdade, então o número a pode ser considerado primo.

Exemplo 2

Determine o número composto ou primo 11723.

Solução

Agora você precisa encontrar todos os divisores para o número 11723. Precisa avaliar 11723 .

A partir daqui vemos que 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , e 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Para uma estimativa mais precisa do número 11723, é necessário escrever a expressão 108 2 = 11 664, e 109 2 = 11 881 , então 108 2 < 11 723 < 109 2 . Segue-se disso que 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Ao decompor, obtemos que 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107 são todos números primos. Todo esse processo pode ser descrito como uma divisão por uma coluna. Ou seja, divida 11723 por 19. O número 19 é um de seus fatores, pois temos divisão sem resto. Vamos representar a divisão por uma coluna:

Segue-se que 11723 é um número composto, pois além de si mesmo e de 1 tem um divisor 19 .

Responda: 11723 é um número composto.

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Lista de divisores. Por definição, o número né primo apenas se não for divisível por 2 e quaisquer inteiros diferentes de 1 e ele mesmo. A fórmula acima elimina etapas desnecessárias e economiza tempo: por exemplo, após verificar se um número é divisível por 3, não há necessidade de verificar se é divisível por 9.

A função floor(x) arredonda x para o inteiro mais próximo menor ou igual a x.

Aprenda sobre aritmética modular. A operação "x mod y" (mod é uma abreviação da palavra latina "modulo", ou seja, "módulo") significa "dividir x por y e encontrar o resto". Em outras palavras, na aritmética modular, ao atingir um determinado valor, que é chamado de módulo, os números "voltam" para zero. Por exemplo, um relógio mede o tempo no módulo 12: mostra 10, 11 e 12 horas e depois volta para 1.

Muitas calculadoras têm uma tecla mod. O final desta seção mostra como calcular manualmente essa função para números grandes.

Aprenda sobre as armadilhas do Pequeno Teorema de Fermat. Todos os números para os quais as condições de teste não são atendidas são compostos, mas os números restantes são apenas provavelmente são considerados simples. Se você quiser evitar resultados incorretos, procure n na lista de "números de Carmichael" (números compostos que satisfazem este teste) e "números de Fermat pseudo-primos" (estes números atendem às condições do teste apenas para alguns valores uma).

Se conveniente, use o teste de Miller-Rabin. Embora este método seja bastante complicado para cálculos manuais, é frequentemente usado em programas de computador. Ele fornece velocidade aceitável e apresenta menos erros do que o método de Fermat. Um número composto não será considerado um número primo se os cálculos forem feitos para mais de ¼ de valores uma. Se você selecionar valores diferentes aleatoriamente uma e para todos eles o teste dará um resultado positivo, podemos assumir com um grau bastante alto de confiança que né um número primo.

Para números grandes, use aritmética modular. Se você não tiver uma calculadora mod à mão, ou se sua calculadora não for projetada para lidar com números tão grandes, use as propriedades de potência e a aritmética modular para facilitar seus cálculos. Abaixo segue um exemplo para 3 50 (\displaystyle 3^(50)) modo 50:

Reescreva a expressão de uma forma mais conveniente: mod 50. Ao calcular manualmente, simplificações adicionais podem ser necessárias.
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25)))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Aqui levamos em consideração a propriedade da multiplicação modular.
3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) modo 50.
= 1849 (\displaystyle =1849) modo 50.
= 49 (\displaystyle=49).

Tradução

As propriedades dos números primos foram estudadas pela primeira vez pelos matemáticos da Grécia antiga. Os matemáticos da escola pitagórica (500 - 300 aC) estavam principalmente interessados nas propriedades místicas e numerológicas dos números primos. Eles foram os primeiros a ter ideias sobre números perfeitos e amigáveis.

Um número perfeito tem seus próprios divisores iguais a ele mesmo. Por exemplo, os divisores próprios do número 6 são: 1, 2 e 3. 1 + 2 + 3 = 6. Os divisores do número 28 são 1, 2, 4, 7 e 14. Além disso, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Os números são chamados amigáveis se a soma dos divisores próprios de um número for igual a outro, e vice-versa - por exemplo, 220 e 284. Podemos dizer que um número perfeito é amigável consigo mesmo.

Na época do aparecimento da obra de "Começos" de Euclides em 300 aC. Vários fatos importantes sobre os números primos já foram comprovados. No Livro IX dos Elementos, Euclides provou que há um número infinito de números primos. Aliás, este é um dos primeiros exemplos do uso da prova por contradição. Ele também prova o Teorema Básico da Aritmética - todo número inteiro pode ser representado de uma maneira única como um produto de números primos.

Ele também mostrou que se o número 2 n -1 for primo, então o número 2 n-1 * (2 n -1) será perfeito. Outro matemático, Euler, em 1747 foi capaz de mostrar que todos os números perfeitos pares podem ser escritos nesta forma. Até hoje não se sabe se existem números perfeitos ímpares.

No ano 200 a.C. O grego Eratóstenes criou um algoritmo para encontrar números primos chamado Peneira de Eratóstenes.

E então houve uma grande ruptura na história do estudo dos números primos associados à Idade Média.

As seguintes descobertas foram feitas já no início do século XVII pelo matemático Fermat. Ele provou a conjectura de Albert Girard de que qualquer número primo da forma 4n+1 pode ser escrito unicamente como uma soma de dois quadrados, e também formulou um teorema de que qualquer número pode ser representado como uma soma de quatro quadrados.

Ele desenvolveu um novo método de fatoração para números grandes e o demonstrou no número 2027651281 = 44021 × 46061. Ele também provou o Pequeno Teorema de Fermat: se p é um número primo, então a p = a módulo p será verdadeiro para qualquer inteiro a.

Esta afirmação prova metade do que era conhecido como a "hipótese chinesa" e data de 2000 anos antes: um inteiro n é primo se e somente se 2n-2 for divisível por n. A segunda parte da hipótese acabou sendo falsa - por exemplo, 2341 - 2 é divisível por 341, embora o número 341 seja composto: 341 = 31 × 11.

O Pequeno Teorema de Fermat foi a base para muitos outros resultados na teoria dos números e métodos para testar se os números são primos, muitos dos quais ainda estão em uso hoje.

Fermat correspondeu-se extensivamente com seus contemporâneos, especialmente com um monge chamado Marin Mersenne. Em uma de suas cartas, ele conjecturou que os números da forma 2 n + 1 sempre serão primos se n for uma potência de dois. Ele testou isso para n = 1, 2, 4, 8 e 16, e tinha certeza de que quando n não é uma potência de dois, o número não era necessariamente primo. Esses números são chamados de números de Fermat, e foi somente 100 anos depois que Euler mostrou que o próximo número, 232 + 1 = 4294967297, é divisível por 641 e, portanto, não é primo.

Números da forma 2 n - 1 também têm sido objeto de pesquisa, pois é fácil mostrar que se n é composto, então o próprio número também é composto. Esses números são chamados de números de Mersenne porque ele os estudou ativamente.

Mas nem todos os números da forma 2 n - 1, onde n é primo, são primos. Por exemplo, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Isso foi descoberto pela primeira vez em 1536.

Por muitos anos, números desse tipo deram aos matemáticos os maiores primos conhecidos. Que o número M 19 foi provado por Cataldi em 1588, e por 200 anos foi o maior número primo conhecido, até Euler provar que M 31 também é primo. Esse recorde se manteve por mais cem anos, e então Lucas mostrou que M 127 é primo (e isso já é um número de 39 dígitos), e depois disso, as pesquisas continuaram com o advento dos computadores.

Em 1952, a primazia dos números M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 e M 2281 foi provada.

Em 2005, 42 primos de Mersenne foram encontrados. O maior deles, M 25964951 , consiste em 7816230 dígitos.

O trabalho de Euler teve um enorme impacto na teoria dos números, incluindo os números primos. Ele estendeu o Pequeno Teorema de Fermat e introduziu a função φ. Fatorizou o 5º número de Fermat 2 32 +1, encontrou 60 pares de números amigáveis e formulou (mas não conseguiu provar) a lei quadrática da reciprocidade.

Ele foi o primeiro a introduzir os métodos de análise matemática e desenvolveu a teoria analítica dos números. Ele provou que não apenas a série harmônica ∑ (1/n), mas também uma série da forma

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Obtido pela soma de quantidades inversas a números primos, também diverge. A soma dos n termos da série harmônica cresce aproximadamente como log(n), enquanto a segunda série diverge mais lentamente, como log[log(n)]. Isso significa que, por exemplo, a soma dos recíprocos de todos os números primos encontrados até hoje dará apenas 4, embora a série ainda divirja.

À primeira vista, parece que os números primos são distribuídos entre os inteiros de forma bastante aleatória. Por exemplo, entre os 100 números imediatamente anteriores a 1.0000.000, existem 9 números primos, e entre os 100 números imediatamente após esse valor, existem apenas 2. Mas em segmentos grandes, os números primos são distribuídos de maneira bastante uniforme. Legendre e Gauss trataram de sua distribuição. Gauss disse uma vez a um amigo que em qualquer 15 minutos livres ele sempre conta o número de primos nos próximos 1000 números. No final de sua vida, ele havia contado todos os números primos até 3 milhões. Legendre e Gauss calcularam igualmente que para n grande a densidade de primos é 1/log(n). Legendre estimou o número de primos entre 1 e n como

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

E Gauss - como uma integral logarítmica

π(n) = / 1/log(t) dt

Com um intervalo de integração de 2 a n.

A afirmação sobre a densidade de primos 1/log(n) é conhecida como Teorema dos Números Primos. Eles tentaram provar isso ao longo do século 19, e Chebyshev e Riemann fizeram progressos. Eles a conectaram com a hipótese de Riemann, uma conjectura até então não comprovada sobre a distribuição de zeros da função zeta de Riemann. A densidade dos primos foi provada simultaneamente por Hadamard e de la Vallée-Poussin em 1896.

Na teoria dos números primos, ainda existem muitas questões não resolvidas, algumas das quais com muitas centenas de anos:

hipótese dos primos gêmeos - sobre um número infinito de pares de números primos que diferem um do outro por 2
Conjectura de Goldbach: qualquer número par, a partir de 4, pode ser representado como a soma de dois números primos
Existe um número infinito de números primos da forma n 2 + 1 ?
é sempre possível encontrar um número primo entre n 2 e (n + 1) 2 ? (o fato de que há sempre um número primo entre n e 2n foi provado por Chebyshev)
Existe um número infinito de primos de Fermat? existem primos de Fermat após o dia 4?
existe uma progressão aritmética de primos consecutivos para qualquer comprimento dado? por exemplo, para comprimento 4: 251, 257, 263, 269. O comprimento máximo encontrado é 26 .
Existe um número infinito de conjuntos de três primos consecutivos em uma progressão aritmética?
n 2 - n + 41 é um número primo para 0 ≤ n ≤ 40. Existe um número infinito desses números primos? A mesma pergunta para a fórmula n 2 - 79 n + 1601. Esses números são primos para 0 ≤ n ≤ 79.
Existe um número infinito de números primos da forma n# + 1? (n# é o resultado da multiplicação de todos os números primos menores que n)
Existe um número infinito de números primos da forma n# -1 ?
Existe um número infinito de números primos da forma n! +1?
Existe um número infinito de números primos da forma n! - 1?
se p é primo, 2 p -1 sempre não inclui entre os fatores dos primos ao quadrado
A sequência de Fibonacci contém um número infinito de primos?

Os maiores números primos gêmeos são 2003663613 × 2 195000 ± 1. Eles consistem em 58711 dígitos e foram encontrados em 2007.

O maior número primo fatorial (da forma n! ± 1) é 147855! - 1. É composto por 142.891 dígitos e foi encontrado em 2002.

O maior número primo primoroso (um número da forma n# ± 1) é 1098133# + 1.

Tradução

E então houve uma grande ruptura na história do estudo dos números primos associados à Idade Média.

O Pequeno Teorema de Fermat foi a base para muitos outros resultados na teoria dos números e métodos para testar se os números são primos, muitos dos quais ainda estão em uso hoje.

Mas nem todos os números da forma 2 n - 1, onde n é primo, são primos. Por exemplo, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Isso foi descoberto pela primeira vez em 1536.

Em 1952, a primazia dos números M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 e M 2281 foi provada.

Em 2005, 42 primos de Mersenne foram encontrados. O maior deles, M 25964951 , consiste em 7816230 dígitos.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

E Gauss - como uma integral logarítmica

π(n) = / 1/log(t) dt

Com um intervalo de integração de 2 a n.

Na teoria dos números primos, ainda existem muitas questões não resolvidas, algumas das quais com muitas centenas de anos:

hipótese dos primos gêmeos - sobre um número infinito de pares de números primos que diferem um do outro por 2
Conjectura de Goldbach: qualquer número par, a partir de 4, pode ser representado como a soma de dois números primos
Existe um número infinito de números primos da forma n 2 + 1 ?
é sempre possível encontrar um número primo entre n 2 e (n + 1) 2 ? (o fato de que há sempre um número primo entre n e 2n foi provado por Chebyshev)
Existe um número infinito de primos de Fermat? existem primos de Fermat após o dia 4?
existe uma progressão aritmética de primos consecutivos para qualquer comprimento dado? por exemplo, para comprimento 4: 251, 257, 263, 269. O comprimento máximo encontrado é 26 .
Existe um número infinito de conjuntos de três primos consecutivos em uma progressão aritmética?
n 2 - n + 41 é um número primo para 0 ≤ n ≤ 40. Existe um número infinito desses números primos? A mesma pergunta para a fórmula n 2 - 79 n + 1601. Esses números são primos para 0 ≤ n ≤ 79.
Existe um número infinito de números primos da forma n# + 1? (n# é o resultado da multiplicação de todos os números primos menores que n)
Existe um número infinito de números primos da forma n# -1 ?
Existe um número infinito de números primos da forma n! +1?
Existe um número infinito de números primos da forma n! - 1?
se p é primo, 2 p -1 sempre não inclui entre os fatores dos primos ao quadrado
A sequência de Fibonacci contém um número infinito de primos?

Os maiores números primos gêmeos são 2003663613 × 2 195000 ± 1. Eles consistem em 58711 dígitos e foram encontrados em 2007.

O maior número primo fatorial (da forma n! ± 1) é 147855! - 1. É composto por 142.891 dígitos e foi encontrado em 2002.

O maior número primo primoroso (um número da forma n# ± 1) é 1098133# + 1.

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Todos os números naturais, exceto um, são divididos em primos e compostos. Um número primo é um número natural que tem apenas dois divisores: um e ele mesmo.. Todos os outros são chamados compostos. O estudo das propriedades dos números primos lida com uma seção especial da matemática - a teoria dos números. Na teoria dos anéis, os números primos estão relacionados a elementos irredutíveis.

Aqui está uma sequência de números primos começando em 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... etc.

De acordo com o teorema fundamental da aritmética, todo número natural maior que um pode ser representado como um produto de números primos. No entanto, esta é a única maneira de representar números naturais até a ordem dos fatores. Com base nisso, podemos dizer que os números primos são as partes elementares dos números naturais.

Essa representação de um número natural é chamada de decomposição de um número natural em números primos ou fatoração de um número.

Uma das maneiras mais antigas e eficazes de calcular números primos é a "peneira de Erastóthenes".

A prática mostrou que, depois de calcular números primos usando a peneira Erastofen, é necessário verificar se o número fornecido é primo. Para isso, foram desenvolvidos testes especiais, os chamados testes de simplicidade. O algoritmo desses testes é probabilístico. Na maioria das vezes eles são usados em criptografia.

A propósito, para algumas classes de números existem testes de primalidade eficazes especializados. Por exemplo, para testar a simplicidade dos números de Mersenne, é usado o teste de Lucas-Lehmer e, para testar a simplicidade dos números de Fermat, é usado o teste de Pepin.

Todos nós sabemos que existem infinitos números. A questão surge com razão: quantos números primos existem então? Há também um número infinito de números primos. A prova mais antiga deste julgamento é a prova de Euclides, que é apresentada nos Elementos. A prova de Euclides é a seguinte:

Imagine que o número de primos é finito. Vamos multiplicá-los e adicionar um. O número resultante não pode ser dividido por nenhum conjunto finito de números primos, porque o resto da divisão por qualquer um deles dá um. Assim, o número deve ser divisível por algum primo não incluído neste conjunto.

O teorema da distribuição de números primos afirma que o número de primos menor que n, denotado π(n), cresce como n / ln(n).

Através de milhares de anos estudando números primos, descobriu-se que o maior número primo conhecido é 243112609 − 1. Este número tem 12.978.189 dígitos decimais e é um primo de Mersenne (M43112609). Esta descoberta foi feita em 23 de agosto de 2008 no Departamento de Matemática da Universidade uCLA como parte da busca distribuída do GIMPS por primos de Mersenne.

A principal característica distintiva dos números de Mersenne é a presença de um teste de primalidade Luc-Lehmer altamente eficiente. Com ele, os primos de Mersenne são, por um longo período de tempo, os maiores primos conhecidos.

No entanto, até hoje, muitas perguntas sobre números primos não receberam respostas exatas. No 5º Congresso Internacional de Matemática, Edmund Landau formulou os principais problemas no campo dos números primos:

O problema de Goldbach, ou primeiro problema de Landau, é provar ou refutar que todo número par maior que dois pode ser representado como a soma de dois primos, e todo número ímpar maior que 5 pode ser representado como a soma de três números primos.
O segundo problema de Landau requer encontrar uma resposta para a pergunta: existe um conjunto infinito de "gêmeos simples" - números primos, cuja diferença é igual a 2?
A conjectura de Legendre ou o terceiro problema de Landau é: é verdade que entre n2 e (n + 1)2 há sempre um número primo?
Quarto problema de Landau: o conjunto dos números primos da forma n2 + 1 é infinito?
Além dos problemas acima, há o problema de determinar um número infinito de primos em muitas sequências inteiras, como o número de Fibonacci, o número de Fermat, etc.

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Números primos e compostos - Definições e exemplos

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