Numerador

quartos

1. Ordem. uma e b existe uma regra que permite identificar exclusivamente entre eles uma e apenas uma das três relações: “< », « >' ou ' = '. Essa regra é chamada regra de ordenação e é formulado da seguinte forma: dois números não negativos e estão relacionados pela mesma relação que dois inteiros e ; dois números não positivos uma e b estão relacionados pela mesma relação que dois números não negativos e ; se de repente uma não negativo e b- negativo, então uma > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   soma de frações

2. operação de adição. Para quaisquer números racionais uma e b existe um chamado regra de somatória c. No entanto, o próprio número c chamado soma números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número é chamado soma. A regra de soma tem a seguinte forma: .
3. operação de multiplicação. Para quaisquer números racionais uma e b existe um chamado regra de multiplicação, o que os coloca em correspondência com algum número racional c. No entanto, o próprio número c chamado trabalhar números uma e b e é denotado , e o processo de encontrar tal número também é chamado multiplicação. A regra de multiplicação é a seguinte: .
4. Transitividade da relação de ordem. Para qualquer triplo de números racionais uma , b e c E se uma menos b e b menos c, então uma menos c, e se umaé igual a b e bé igual a c, então umaé igual a c. 6435">Comutatividade da adição. A soma não muda ao mudar os lugares dos termos racionais.
5. Associatividade de adição. A ordem em que três números racionais são adicionados não afeta o resultado.
6. A presença de zero. Existe um número racional 0 que preserva todos os outros números racionais quando somados.
7. A presença de números opostos. Qualquer número racional tem um número racional oposto, que, quando somado, dá 0.
8. Comutatividade da multiplicação. Ao mudar os lugares dos fatores racionais, o produto não muda.
9. Associatividade da multiplicação. A ordem em que três números racionais são multiplicados não afeta o resultado.
10. A presença de uma unidade. Existe um número racional 1 que preserva todos os outros números racionais quando multiplicado.
11. A presença de recíprocos. Qualquer número racional tem um número racional inverso, que, quando multiplicado, dá 1.
12. Distributividade da multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação é consistente com a operação de adição através da lei de distribuição:
13. Ligação da relação de ordem com a operação de adição. O mesmo número racional pode ser adicionado aos lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma de Arquimedes. Qualquer que seja o número racional uma, você pode pegar tantas unidades que a soma delas excederá uma. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propriedades adicionais

Todas as outras propriedades inerentes aos números racionais não são destacadas como básicas, porque, em geral, elas não são mais baseadas diretamente nas propriedades dos números inteiros, mas podem ser provadas com base nas propriedades básicas dadas ou diretamente pela definição de algum objeto matemático. Existem muitas dessas propriedades adicionais. Faz sentido aqui citar apenas alguns deles.

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Definir contagem

Numeração de números racionais

Para estimar o número de números racionais, você precisa encontrar a cardinalidade de seu conjunto. É fácil provar que o conjunto dos números racionais é contável. Para isso, basta fornecer um algoritmo que enumere os números racionais, ou seja, estabeleça uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais e naturais.

O mais simples desses algoritmos é o seguinte. Uma tabela infinita de frações ordinárias é compilada, em cada eu-ésima linha em cada jª coluna da qual é uma fração. Por definição, assume-se que as linhas e colunas desta tabela são numeradas a partir de um. As células da tabela são indicadas , onde eu- número da linha da tabela em que a célula está localizada e j- número da coluna.

A tabela resultante é gerenciada por uma "cobra" de acordo com o seguinte algoritmo formal.

Essas regras são verificadas de cima para baixo e a próxima posição é selecionada com base na primeira correspondência.

No processo de tal desvio, cada novo número racional é atribuído ao próximo número natural. Ou seja, as frações 1 / 1 recebem o número 1, as frações 2 / 1 - o número 2, etc. Deve-se notar que apenas as frações irredutíveis são numeradas. Um sinal formal de irredutibilidade é a igualdade a um dos máximos divisores comuns do numerador e denominador de uma fração.

Seguindo este algoritmo, pode-se enumerar todos os números racionais positivos. Isso significa que o conjunto dos números racionais positivos é contável. É fácil estabelecer uma bijeção entre os conjuntos dos números racionais positivos e negativos, simplesmente atribuindo a cada número racional seu oposto. Este. o conjunto dos números racionais negativos também é contável. Sua união também é contável pela propriedade de conjuntos contáveis. O conjunto dos números racionais também é contável como a união de um conjunto contável com um finito.

A afirmação sobre a enumerabilidade do conjunto dos números racionais pode causar alguma perplexidade, pois à primeira vista tem-se a impressão de que é muito maior que o conjunto dos números naturais. Na verdade, este não é o caso, e há números naturais suficientes para enumerar todos os racionais.

Insuficiência de números racionais

A hipotenusa de tal triângulo não é expressa por nenhum número racional

Números racionais da forma 1 / n em geral n quantidades arbitrariamente pequenas podem ser medidas. Este fato cria uma impressão enganosa de que os números racionais podem medir qualquer distância geométrica em geral. É fácil mostrar que isso não é verdade.

Sabe-se do teorema de Pitágoras que a hipotenusa de um triângulo retângulo é expressa como a raiz quadrada da soma dos quadrados de seus catetos. Este. o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles com um cateto unitário é igual a, ou seja, um número cujo quadrado é 2.

Se assumirmos que o número é representado por algum número racional, então existe tal inteiro m e um número tão natural n, que, além disso, a fração é irredutível, ou seja, os números m e n são coprime.

Usamos frações o tempo todo em nossas vidas. Por exemplo, quando comemos bolo com os amigos. O bolo pode ser dividido em 8 partes iguais ou 8 ações. compartilharé uma parte igual de algo todo. Quatro amigos comeram um pedaço de bolo cada. Quatro escolhidos de oito peças podem ser escritos matematicamente como fração comum\(\frac(4)(8)\), a fração lê "quatro oitavos" ou "quatro dividido por oito". A fração comum também é chamada fração simples.

A barra fracionária substitui a divisão:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
Escrevemos as ações em frações. Na forma literal ficaria assim:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – numerador ou divisível, está acima da barra fracionária e mostra quantas partes ou ações do total foram tomadas.
8 – denominador ou divisor, localizado abaixo da barra fracionária e mostra o número total de partes ou ações.

Se olharmos de perto, veremos que os amigos comeram metade do bolo, ou uma parte de dois. Escrevemos na forma de uma fração comum \(\frac(1)(2)\), lê-se "um segundo".

Considere outro exemplo:
Há um quadrado. O quadrado é dividido em 5 partes iguais. Pintou duas partes. Escreva uma fração para as partes sombreadas? Escreva a fração para as partes não sombreadas?

Duas partes são pintadas, e há cinco partes no total, então a fração se parecerá com \(\frac(2)(5)\), a fração “dois quintos” é lida.
Três partes não foram pintadas, são cinco partes no total, então escrevemos a fração assim \(\frac(3)(5)\), a fração “três quintos” é lida.

Divida o quadrado em quadrados menores e escreva frações para as partes sombreadas e não sombreadas.

Sombreado 6 partes, e apenas 25 partes. Obtemos a fração \(\frac(6)(25)\) , a fração “seis vinte e cinco” é lida.
Não sombreado 19 partes, mas apenas 25 partes. Obtemos a fração \(\frac(19)(25)\), a fração “dezenove vinte e cinco avos” é lida.

Sombreado 4 partes, e apenas 25 partes. Obtemos a fração \(\frac(4)(25)\), a fração “quatro vinte e cinco” é lida.
Não sombreado 21 partes, mas apenas 25 partes. Obtemos a fração \(\frac(21)(25)\), a fração “vinte e um vinte e cinco” é lida.

Qualquer número natural pode ser expresso como uma fração. Por exemplo:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf m = \frac(m)(1)\)

Qualquer número é divisível por um, então esse número pode ser representado como uma fração.

Perguntas sobre o tema “frações ordinárias”:
O que é uma partilha?
Responda: compartilharé uma parte igual de algo todo.

O que o denominador mostra?
Resposta: o denominador mostra quantas partes ou ações são divididas.

O que o numerador mostra?
Resposta: O numerador mostra quantas partes ou ações foram tomadas.

A estrada tinha 100m. Misha andou 31m. Escreva a expressão como uma fração, quanto tempo Misha passou?
Resposta:\(\frac(31)(100)\)

O que é uma fração comum?
Resposta: Uma fração comum é a razão entre o numerador e o denominador, onde o numerador é menor que o denominador. Exemplo, frações comuns \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

Como converter um número natural em uma fração comum?
Resposta: qualquer número pode ser escrito como uma fração, por exemplo, \(5 = \frac(5)(1)\)

Tarefa nº 1:
Comprou 2kg 700g de melão. Os melões \(\frac(2)(9)\) de Misha foram cortados. Qual é a massa da peça cortada? Quantos gramas de melão sobraram?

Solução:
Converter quilogramas em gramas.
2kg = 2000g
2000g + 700g = 2700g de melão total pesa.

Os melões \(\frac(2)(9)\) de Misha foram cortados. O denominador é 9, o que significa que o melão foi dividido em 9 partes.
2700: 9 = 300g de peso de uma peça.
O numerador é o número 2, então Misha precisa dar dois pedaços.
300 + 300 = 600g ou 300 ⋅ 2 = 600g é quantos melões Misha comeu.

Para descobrir a massa de melão restante, você precisa subtrair a massa consumida da massa total de melão.
2700 - 600 = 2100g de melões restantes.

Fração- uma forma de representação de um número em matemática. A barra indica a operação de divisão. numerador frações é chamado de dividendo, e denominador- divisor. Por exemplo, em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 7.

Correto Uma fração é chamada se o módulo do numerador for maior que o módulo do denominador. Se a fração estiver correta, então o módulo de seu valor é sempre menor que 1. Todas as outras frações são errado.

A fração é chamada misturado, se for escrito como um inteiro e uma fração. Este é o mesmo que a soma deste número e uma fração:

Propriedade básica de uma fração

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados pelo mesmo número, o valor da fração não mudará, ou seja, por exemplo,

Trazendo frações para um denominador comum

Para trazer duas frações para um denominador comum, você precisa:

1. Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda
2. Multiplique o numerador da segunda fração pelo denominador da primeira
3. Substitua os denominadores de ambas as frações pelo seu produto

Ações com frações

Adição. Para somar duas frações, você precisa

1. Adicione os novos numeradores de ambas as frações, deixando o denominador inalterado.

Exemplo:

Subtração. Para subtrair uma fração de outra,

1. Traga frações para um denominador comum
2. Subtraia o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixe o denominador inalterado

Exemplo:

Multiplicação. Para multiplicar uma fração por outra, multiplique seus numeradores e denominadores:

Divisão. Para dividir uma fração por outra, multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda e multiplique o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda:

O numerador e o denominador de uma fração. Tipos de frações. Vamos continuar com frações. Primeiro, uma pequena ressalva - nós, considerando frações e os exemplos correspondentes com elas, por enquanto trabalharemos apenas com sua representação numérica. Existem também expressões literais fracionárias (com e sem números).No entanto, todos os "princípios" e regras também se aplicam a eles, mas falaremos sobre essas expressões separadamente no futuro. Recomendo visitar e estudar (relembrar) o tema das frações passo a passo.

O mais importante é entender, lembrar e perceber que uma FRAÇÃO é um NÚMERO!!!

Fração comumé um número da forma:

O número localizado "em cima" (neste caso m) é chamado de numerador, o número localizado abaixo (o número n) é chamado de denominador. Aqueles que acabaram de tocar no assunto muitas vezes ficam confusos - qual é o nome.

Aqui está um truque para você, como se lembrar para sempre - onde está o numerador e onde está o denominador. Essa técnica está associada à associação verbo-figurativa. Imagine uma jarra de água turva. Sabe-se que à medida que a água se assenta, a água limpa permanece em cima e a turbidez (sujeira) se instala, lembre-se:

CHISSS derreter água ACIMA (derreter CHISSS no topo)

lama ZZZNNN th water BOTTOM (ZZZNN Amenator abaixo)

Assim, assim que for necessário lembrar onde está o numerador e onde está o denominador, eles imediatamente apresentaram visualmente uma jarra de água sedimentada, na qual há água LIMPA na parte superior e água suja na parte inferior. Existem outros truques para lembrar, se eles te ajudarem, então ótimo.

Exemplos de frações ordinárias:

O que significa a linha horizontal entre os números? Isso nada mais é do que um sinal de divisão. Acontece que uma fração pode ser considerada como um exemplo com a ação de divisão. Esta ação é simplesmente registrada neste formulário. Ou seja, o número de cima (numerador) é dividido pelo número de baixo (denominador):

Além disso, há outra forma de gravação - uma fração pode ser escrita assim (através de uma barra):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 e assim por diante...

Podemos escrever as frações acima da seguinte forma:

O resultado da divisão, como você sabe, é o número.

Esclarecido - FRACIONE ESSE NÚMERO!!!

Como você já notou, em uma fração ordinária, o numerador pode ser menor que o denominador, pode ser maior que o denominador e pode ser igual a ele. Há muitos pontos importantes que são compreensíveis intuitivamente, sem qualquer frescura teórica. Por exemplo:

1. As frações 1 e 3 podem ser escritas como 0,5 e 0,01. Vamos correr um pouco à frente - estas são frações decimais, falaremos sobre elas um pouco mais abaixo.

2. As frações 4 e 6 resultam em um inteiro 45:9=5, 11:1 = 11.

3. A fração 5 como resultado dá uma unidade 155:155 = 1.

Que conclusões se sugerem? A seguir:

1. O numerador, quando dividido pelo denominador, pode dar um número finito. Pode não funcionar, divida por uma coluna 7 por 13 ou 17 por 11 - de jeito nenhum! Você pode dividir por tempo indeterminado, mas também falaremos sobre isso um pouco mais abaixo.

2. Uma fração pode resultar em um inteiro. Portanto, podemos representar qualquer inteiro como uma fração, ou melhor, uma série infinita de frações, veja, todas essas frações são iguais a 2:

Ainda! Sempre podemos escrever qualquer número inteiro como uma fração - esse número está no numerador, um no denominador:

3. Sempre podemos representar uma unidade como uma fração com qualquer denominador:

*Os pontos indicados são extremamente importantes para trabalhar com frações em cálculos e conversões.

Tipos de frações.

E agora sobre a divisão teórica de frações ordinárias. Eles são divididos em certo e errado.

Uma fração cujo numerador é menor que o denominador é chamada de fração própria. Exemplos:

Uma fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador é chamada de fração imprópria. Exemplos:

fração mista(número misto).

Uma fração mista é uma fração escrita como um número inteiro e uma fração própria e é entendida como a soma desse número e sua parte fracionária. Exemplos:

Uma fração mista sempre pode ser representada como uma fração imprópria e vice-versa. Vamos mais longe!

Decimais.

Já os abordamos acima, estes são os exemplos (1) e (3), agora com mais detalhes. Aqui estão alguns exemplos de decimais: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Uma fração cujo denominador é uma potência de 10, como 10, 100, 1000 e assim por diante, é chamada de decimal. Não é difícil escrever as três primeiras frações indicadas como frações ordinárias:

A quarta é uma fração mista (número misto):

Uma fração decimal tem a seguinte notação - coma parte inteira começou, então o separador das partes inteiras e fracionárias era um ponto ou uma vírgula e depois a parte fracionária, o número de dígitos da parte fracionária é estritamente determinado pela dimensão da parte fracionária: se forem décimos, a parte fracionária é escrita como um dígito; se milésimos - três; dez milésimos - quatro, etc.

Essas frações são finitas e infinitas.

Exemplos de decimais finais: 0,234; 0,87; 34,00005; 5.765.

Os exemplos são infinitos. Por exemplo, o número Pi é uma fração decimal infinita, mas - 0,333333333333…... 0,16666666666…. e outros. Também o resultado de extrair a raiz dos números 3, 5, 7, etc. será uma fração infinita.

A parte fracionária pode ser cíclica (há um ciclo nela), os dois exemplos acima são exatamente os mesmos, mais exemplos:

0,123123123123...... ciclo 123

0,781781781718...... ciclo 781

0,0250102501…. ciclo 02501

Eles podem ser escritos como 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

O número Pi não é uma fração cíclica, como, por exemplo, a raiz de três.

Abaixo nos exemplos, palavras como “virar” a fração soarão - isso significa que o numerador e o denominador são trocados. De fato, essa fração tem um nome - a fração recíproca. Exemplos de frações recíprocas:

Pequeno resumo! As frações são:

Ordinário (correto e incorreto).

Decimais (finito e infinito).

Misto (números mistos).

Isso é tudo!

Atenciosamente, Alexandre.

Começaremos nossa consideração deste tópico estudando o conceito de fração como um todo, o que nos dará uma compreensão mais completa do significado de uma fração ordinária. Vamos dar os principais termos e sua definição, estudar o tópico em uma interpretação geométrica, ou seja, na linha de coordenadas, e também definir uma lista de ações básicas com frações.

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Ações de todo

Imagine um objeto consistindo de várias partes completamente iguais. Por exemplo, pode ser uma laranja, composta por várias fatias idênticas.

Definição 1

Parte de um todo ou parteé cada uma das partes iguais que compõem o objeto inteiro.

Obviamente, as ações podem ser diferentes. Para explicar claramente essa afirmação, imagine duas maçãs, uma das quais é cortada em duas partes iguais e a segunda em quatro. É claro que o tamanho das ações resultantes para diferentes maçãs irá variar.

As ações têm nomes próprios, que dependem do número de ações que compõem a totalidade do sujeito. Se um item tiver duas partes, cada uma delas será definida como uma segunda parte desse item; quando um objeto consiste em três partes, cada uma delas é um terço, e assim por diante.

Definição 2

Metade- uma segunda parte do assunto.

Terceiro- um terço do assunto.

Trimestre- um quarto do assunto.

Para encurtar o registro, foi introduzida a seguinte notação para ações: metade - 1 2 ou 1/2; terceiro - 1 3 ou 1/3; uma quarta parte 1 4 ou 1/4 e assim por diante. As entradas com uma barra horizontal são usadas com mais frequência.

O conceito de compartilhamento naturalmente se expande de objetos para magnitudes. Assim, você pode usar frações de um metro (um terço ou um centésimo) para medir pequenos objetos, como uma das unidades de comprimento. As cotas de outras quantidades podem ser aplicadas de forma semelhante.

Frações comuns, definição e exemplos

As frações ordinárias são usadas para descrever o número de ações. Considere um exemplo simples que nos aproximará da definição de uma fração ordinária.

Imagine uma laranja, composta por 12 fatias. Cada ação será então - um décimo segundo ou 1/12. Duas ações - 2/12; três ações - 3/12, etc. Todas as 12 partes ou um inteiro ficariam assim: 12 / 12 . Cada uma das entradas usadas no exemplo é um exemplo de uma fração comum.

Definição 3

Fração comumé um registro do formulário m n ou m / n , onde m e n são quaisquer números naturais.

De acordo com esta definição, exemplos de frações ordinárias podem ser entradas: 4/9, 1134, 91754. E essas entradas: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 não são frações ordinárias.

Numerador e denominador

Definição 4

numerador fração comum m n ou m / n é um número natural m .

denominador fração comum m n ou m / n é um número natural n .

Aqueles. o numerador é o número acima da barra de uma fração ordinária (ou à esquerda da barra), e o denominador é o número abaixo da barra (à direita da barra).

Qual é o significado do numerador e do denominador? O denominador de uma fração ordinária indica em quantas ações consiste um item, e o numerador nos dá informações sobre quantas dessas ações são consideradas. Por exemplo, a fração comum 7 54 indica-nos que um determinado objeto consiste em 54 ações e, para consideração, levamos 7 dessas ações.

Número natural como uma fração com denominador 1

O denominador de uma fração ordinária pode ser igual a um. Nesse caso, é possível dizer que o objeto (valor) considerado é indivisível, é algo inteiro. O numerador em tal fração indicará quantos desses itens são retirados, ou seja, uma fração ordinária da forma m 1 tem o significado de um número natural m . Esta afirmação serve como justificativa para a igualdade m 1 = m .

Vamos escrever a última igualdade assim: m = m 1 . Isso nos dará a oportunidade de usar qualquer número natural na forma de uma fração ordinária. Por exemplo, o número 74 é uma fração ordinária da forma 74 1 .

Definição 5

Qualquer número natural m pode ser escrito como uma fração ordinária, onde o denominador é um: m 1 .

Por sua vez, qualquer fração ordinária da forma m 1 pode ser representada por um número natural m .

Barra de frações como sinal de divisão

A representação acima de um determinado objeto como n partes nada mais é do que uma divisão em n partes iguais. Quando um objeto é dividido em n partes, temos a oportunidade de dividi-lo igualmente entre n pessoas - cada um recebe sua parte.

No caso em que inicialmente temos m objetos idênticos (cada um dividido em n partes), então esses m objetos podem ser divididos igualmente entre n pessoas, dando a cada uma delas uma parte de cada um dos m objetos. Neste caso, cada pessoa terá m ações 1 n , e m ações 1 n dará uma fração ordinária m n . Portanto, a fração comum m n pode ser usada para representar a divisão de m itens entre n pessoas.

A declaração resultante estabelece uma conexão entre frações ordinárias e divisão. E essa relação pode ser expressa da seguinte forma : é possível significar a linha de uma fração como um sinal de divisão, ou seja, m/n=m:n.

Com a ajuda de uma fração ordinária, podemos escrever o resultado da divisão de dois números naturais. Por exemplo, dividir 7 maçãs por 10 pessoas será escrito como 7 10: cada pessoa receberá sete décimos.

Frações comuns iguais e desiguais

A ação lógica é comparar frações ordinárias, porque é óbvio que, por exemplo, 1 8 de uma maçã é diferente de 7 8 .

O resultado da comparação de frações ordinárias pode ser: igual ou desigual.

Definição 6

Frações comuns iguais são frações ordinárias a b e c d , para as quais a igualdade é verdadeira: a d = b c .

Frações comuns desiguais- frações ordinárias a b e c d , para as quais a igualdade: a · d = b · c não é verdadeira.

Um exemplo de frações iguais: 1 3 e 4 12 - já que a igualdade 1 12 \u003d 3 4 é verdadeira.

No caso em que as frações não são iguais, geralmente também é necessário descobrir qual das frações dadas é menor e qual é maior. Para responder a essas perguntas, as frações ordinárias são comparadas levando-as a um denominador comum e depois comparando os numeradores.

Números fracionários

Cada fração é um registro de um número fracionário, que na verdade é apenas uma “concha”, uma visualização da carga semântica. Mas ainda assim, por conveniência, combinamos os conceitos de fração e número fracionário, simplesmente falando - uma fração.

Todos os números fracionários, como qualquer outro número, têm sua própria localização exclusiva no raio coordenado: há uma correspondência um-para-um entre frações e pontos no raio coordenado.

Para encontrar um ponto no raio coordenado, denotando a fração m n , é necessário adiar m segmentos na direção positiva da origem das coordenadas, o comprimento de cada um dos quais será 1 n uma fração de um segmento unitário. Segmentos podem ser obtidos dividindo um único segmento em n partes idênticas.

Como exemplo, vamos denotar o ponto M no raio coordenado, que corresponde à fração 14 10 . O comprimento do segmento, cujas extremidades são o ponto O e o ponto mais próximo marcado com um pequeno traço, é igual a 1 10 frações do segmento unitário. O ponto correspondente à fração 14 10 está localizado a uma distância da origem das coordenadas a uma distância de 14 desses segmentos.

Se as frações são iguais, ou seja, correspondem ao mesmo número fracionário, então essas frações servem como coordenadas do mesmo ponto no raio coordenado. Por exemplo, as coordenadas na forma de frações iguais 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 correspondem ao mesmo ponto no raio coordenado, localizado a uma distância de um terço do segmento unitário, adiado do origem no sentido positivo.

O mesmo princípio funciona aqui com os inteiros: em um raio de coordenadas horizontal direcionado para a direita, o ponto ao qual a fração maior corresponde estará localizado à direita do ponto ao qual a fração menor corresponde. E vice-versa: o ponto, cuja coordenada é a fração menor, estará localizado à esquerda do ponto, que corresponde à coordenada maior.

Frações próprias e impróprias, definições, exemplos

A divisão de frações em próprias e impróprias é baseada na comparação do numerador e denominador dentro da mesma fração.

Definição 7

Fração própriaé uma fração ordinária em que o numerador é menor que o denominador. Isto é, se a desigualdade m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Fração imprópriaé uma fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador. Ou seja, se a desigualdade undefined for verdadeira, então a fração ordinária m n é imprópria.

Aqui estão alguns exemplos: - frações próprias:

Exemplo 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Frações impróprias:

Exemplo 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Também é possível dar uma definição de frações próprias e impróprias, com base na comparação de uma fração com uma unidade.

Definição 8

Fração própriaé uma fração comum menor que um.

Fração imprópriaé uma fração comum igual ou maior que um.

Por exemplo, a fração 8 12 está correta, porque 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 e 14 14 = 1 .

Vamos pensar um pouco mais fundo por que as frações em que o numerador é maior ou igual ao denominador são chamadas de "impróprias".

Considere a fração imprópria 8 8: ela nos diz que 8 partes de um objeto que consiste em 8 partes são tomadas. Assim, das oito ações disponíveis, podemos compor um objeto inteiro, ou seja, a fração dada 8 8 representa essencialmente todo o objeto: 8 8 \u003d 1. As frações em que o numerador e o denominador são iguais substituem totalmente o número natural 1.

Considere também frações em que o numerador excede o denominador: 11 5 e 36 3 . É claro que a fração 11 5 indica que podemos fazer dois objetos inteiros com ela e ainda haverá um quinto dela. Aqueles. fração 11 5 são 2 objetos e outros 1 5 dele. Por sua vez, 36 3 é uma fração, o que significa essencialmente 12 objetos inteiros.

Esses exemplos permitem concluir que frações impróprias podem ser substituídas por números naturais (se o numerador for divisível pelo denominador sem resto: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) ou a soma de um número natural e um fração própria (se o numerador não for divisível pelo denominador sem resto: 11 5 = 2 + 1 5). É provavelmente por isso que essas frações são chamadas de "impróprias".

Aqui também encontramos uma das habilidades numéricas mais importantes.

Definição 9

Extraindo a parte inteira de uma fração imprópriaé uma fração imprópria escrita como a soma de um número natural e uma fração própria.

Observe também que existe uma relação próxima entre frações impróprias e números mistos.

Frações positivas e negativas

Acima dissemos que cada fração ordinária corresponde a um número fracionário positivo. Aqueles. frações ordinárias são frações positivas. Por exemplo, as frações 5 17 , 6 98 , 64 79 são positivas e, quando é necessário enfatizar a “positividade” de uma fração, ela é escrita usando um sinal de mais: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Se atribuirmos um sinal de menos a uma fração ordinária, o registro resultante será um registro de um número fracionário negativo e, nesse caso, estamos falando de frações negativas. Por exemplo, - 8 17 , - 78 14 etc.

As frações positivas e negativas m n e - m n são números opostos, por exemplo, as frações 7 8 e - 7 8 são opostas.

Frações positivas, como qualquer número positivo em geral, significam uma adição, uma mudança para cima. Por sua vez, as frações negativas correspondem ao consumo, uma mudança no sentido de decréscimo.

Se considerarmos a linha de coordenadas, veremos que as frações negativas estão localizadas à esquerda do ponto de referência. Os pontos a que correspondem as frações, que são opostos (m n e - m n), estão localizados à mesma distância da origem das coordenadas O, mas em lados opostos desta.

Aqui também falamos separadamente sobre frações escritas na forma 0 n . Tal fração é igual a zero, ou seja. 0n = 0.

Resumindo todos os itens acima, chegamos ao conceito mais importante de números racionais.

Definição 10

Números racionaisé um conjunto de frações positivas, frações negativas e frações da forma 0 n .

Ações com frações

Vamos listar as operações básicas com frações. Em geral, sua essência é a mesma das operações correspondentes com números naturais

1. Comparação de frações - discutimos essa ação acima.
2. Adição de frações - o resultado da adição de frações ordinárias é uma fração ordinária (em um caso particular, reduzida a um número natural).
3. A subtração de frações é uma ação, o oposto da adição, quando uma fração desconhecida é determinada a partir de uma fração conhecida e uma determinada soma de frações.
4. Multiplicação de frações - esta ação pode ser descrita como encontrar uma fração de uma fração. O resultado da multiplicação de duas frações ordinárias é uma fração ordinária (em um caso particular, igual a um número natural).
5. A divisão de frações é o inverso da multiplicação, quando determinamos a fração pela qual é necessário multiplicar a dada para obter um produto conhecido de duas frações.

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