O que você precisa saber sobre ícones de desigualdade? Desigualdades de ícones mais (> ), ou menos (< ) são chamados rigoroso. Com ícones mais ou igual (≥ ), menor ou igual (≤ ) são chamados não estrita.Ícone não igual (≠ ) fica sozinho, mas você também precisa resolver exemplos com esse ícone o tempo todo. E nós vamos.)

O ícone em si não tem muito efeito no processo de solução. Mas ao final da solução, ao escolher a resposta final, o significado do ícone aparece com força total! Como veremos a seguir, nos exemplos. Tem algumas piadas...

As desigualdades, como as igualdades, são fiel e infiel. Tudo é simples aqui, sem truques. digamos 5 > 2 é a desigualdade correta. 5 < 2 está incorreto.

Essa preparação funciona para desigualdades qualquer tipo e simples para horror.) Você só precisa executar corretamente duas (apenas duas!) ações elementares. Essas ações são familiares a todos. Mas, o que é típico, os batentes nessas ações são o principal erro na resolução de desigualdades, sim... Portanto, essas ações devem ser repetidas. Essas ações são chamadas assim:

Transformações identitárias das desigualdades.

As transformações de identidade de desigualdades são muito semelhantes às transformações de identidade de equações. Na verdade, esse é o principal problema. As diferenças passam pela cabeça e... chegam.) Portanto, destaco essas diferenças em particular. Então, a primeira transformação idêntica de desigualdades:

1. O mesmo número ou expressão pode ser adicionado (subtraído) a ambas as partes da desigualdade. Algum. O sinal de desigualdade não mudará.

Na prática, essa regra é aplicada como a transferência de termos do lado esquerdo da desigualdade para o lado direito (e vice-versa) com mudança de sinal. Com uma mudança no sinal do termo, não a desigualdade! A regra individual é a mesma que a regra para equações. Mas as seguintes transformações idênticas em desigualdades diferem significativamente daquelas em equações. Então eu os destaco em vermelho:

2. Ambas as partes da desigualdade podem ser multiplicadas (divididas) pelo mesmopositivonúmero. Para qualquerpositivo Não mudará.

3. Ambas as partes da desigualdade podem ser multiplicadas (divididas) pelo mesmonegativo número. Para qualquernegativonúmero. O sinal de desigualdade destamudará para o contrário.

Você se lembra (espero...) que uma equação pode ser multiplicada/dividida por qualquer coisa. E para qualquer número e para uma expressão com x. Desde que não seja zero. Ele, a equação, não é nem quente nem frio por causa disso.) Não muda. Mas as desigualdades são mais sensíveis à multiplicação/divisão.

Um bom exemplo para uma memória longa. Escrevemos uma desigualdade que não causa dúvidas:

5 > 2

Multiplique os dois lados por +3, Nós temos:

15 > 6

Existem objeções? Não há objeções.) E se multiplicarmos ambas as partes da desigualdade original por -3, Nós temos:

15 > -6

E isso é uma mentira deslavada.) Uma mentira completa! Enganando o povo! Mas assim que o sinal da desigualdade é invertido, tudo se encaixa:

15 < -6

Sobre mentiras e enganos - eu não apenas juro.) "Esqueci de mudar o sinal de desigualdade..."- isto é casa erro na resolução de inequações. Essa regra insignificante e descomplicada prejudicou tantas pessoas! Quem se esqueceu...) Então eu juro. Talvez lembre-se...)

Aqueles que estiverem especialmente atentos notarão que a desigualdade não pode ser multiplicada por uma expressão com x. Respeito atento!) E por que não? A resposta é simples. Não conhecemos o sinal desta expressão com x. Pode ser positivo, negativo... Portanto, não sabemos qual sinal de desigualdade colocar após a multiplicação. Mudar ou não? Desconhecido. Claro, essa limitação (a proibição de multiplicar/dividir uma desigualdade por uma expressão com x) pode ser contornada. Se você realmente precisa. Mas isso é assunto para outras aulas.

São todas transformações idênticas de desigualdades. Deixe-me lembrá-lo novamente que eles trabalham para algum desigualdades. E agora você pode passar para tipos específicos.

Desigualdades lineares. Solução, exemplos.

As desigualdades lineares são chamadas de desigualdades em que x está no primeiro grau e não há divisão por x. Modelo:

x+3 > 5x-5

Como essas desigualdades são resolvidas? Eles são muito fáceis de resolver! Ou seja: com a ajuda, reduzimos a desigualdade linear mais confusa direto para a resposta. Essa é toda a solução. Destaco os principais pontos da solução. Para evitar erros estúpidos.)

Resolvemos esta desigualdade:

x+3 > 5x-5

Resolvemos da mesma forma que uma equação linear. Com a única diferença:

Preste muita atenção ao sinal de desigualdade!

O primeiro passo é o mais comum. Com x - à esquerda, sem x - à direita ... Esta é a primeira transformação idêntica, simples e sem problemas.) Só não se esqueça de alterar os sinais dos membros transferidos.

O sinal de desigualdade é preservado:

x-5x > -5-3

Apresentamos semelhantes.

O sinal de desigualdade é preservado:

4x > -8

Resta aplicar a última transformação idêntica: divida ambas as partes por -4.

Dividido por negativo número.

O sinal de desigualdade será invertido:

X < 2

Esta é a resposta.

É assim que todas as desigualdades lineares são resolvidas.

Atenção! O ponto 2 é desenhado em branco, ou seja. sem pintura. Vazio por dentro. Isso significa que ela não está incluída na resposta! Eu a desenhei tão saudável de propósito. Tal ponto (vazio, não saudável!)) em matemática é chamado ponto perfurado.

Os números restantes no eixo podem ser marcados, mas não é necessário. Números estranhos que não estão relacionados à nossa desigualdade podem ser confusos, sim... Você só precisa lembrar que o aumento dos números vai na direção da seta, ou seja, números 3, 4, 5, etc. são Para a direita dois, e os números 1, 0, -1, etc. - Para a esquerda.

Desigualdade x < 2 - rigoroso. X é estritamente menor que dois. Na dúvida, a verificação é simples. Substituímos um número duvidoso na desigualdade e pensamos: "Dois é menos que dois? Claro que não!" Exatamente. Desigualdade 2 < 2 errado. Um empate não é bom para uma resposta.

Um único é bom o suficiente? É claro. Menos... E zero é bom, e -17 e 0,34... Sim, todos os números menores que dois são bons! E até 1,9999.... Pelo menos um pouco, mas menos!

Então, marcamos todos esses números no eixo numérico. Como? Existem opções aqui. A primeira opção é a eclosão. Passamos o mouse sobre a imagem (ou tocamos na imagem no tablet) e vemos que a área dos x's que correspondem à condição x está sombreada < 2 . Isso é tudo.

Vamos considerar a segunda opção no segundo exemplo:

X ≥ -0,5

Desenhe um eixo, marque o número -0,5. Assim:

Você notou a diferença?) Bem, sim, é difícil não notar... Este ponto é preto! Pintado por cima. Isso significa que -0,5 incluído na resposta. Aqui, a propósito, verificar e confundir alguém. Substituímos:

-0,5 ≥ -0,5

Como assim? -0,5 nada mais é do que -0,5! Tem mais ícone...

Tudo bem. Em uma desigualdade não estrita, tudo o que se encaixa no ícone é adequado. E é igual a caber e mais Boa. Portanto, -0,5 é incluído na resposta.

Então, marcamos -0,5 no eixo, resta marcar todos os números maiores que -0,5. Desta vez eu marco o intervalo de valores x adequados algemar(da palavra arco) em vez de eclodir. Passe o mouse sobre a imagem e veja este arco.

Não há diferença particular entre eclosão e arcos. Faça como o professor diz. Se não houver professor, desenhe os braços. Em tarefas mais complexas, a eclosão é menos óbvia. Você pode ficar confuso.

É assim que as desigualdades lineares são desenhadas no eixo. Passamos para a próxima singularidade de desigualdades.

Escreva uma resposta para as desigualdades.

Foi bom nas equações.) Encontramos x e anotamos a resposta, por exemplo: x \u003d 3. Nas desigualdades, existem duas formas de escrever as respostas. Um - na forma de desigualdade final. Bom para casos simples. Por exemplo:

X< 2.

Esta é uma resposta completa.

Às vezes é necessário escrever a mesma coisa, mas de forma diferente, por meio de lacunas numéricas. Então a entrada começa a parecer muito científica):

x ∈ (-∞; 2)

Sob o ícone ∈ escondendo a palavra "pertence".

A entrada fica assim: x pertence ao intervalo de menos infinito a dois não incluindo. Bastante lógico. X pode ser qualquer número de todos os números possíveis de menos infinito a dois. Duplo X não pode ser, que é o que a palavra nos diz "não incluindo".

Onde está na resposta que "não incluindo"? Este fato é observado na resposta. redondo parênteses imediatamente após o empate. Se o deuce fosse incluído, o parêntese seria quadrado. Aqui está: ]. O exemplo a seguir usa esse colchete.

Vamos anotar a resposta: x ≥ -0,5 por intervalos:

x ∈ [-0,5; +∞)

Lê: x pertence ao intervalo de menos 0,5, Incluindo, até mais infinito.

O infinito nunca pode ligar. Não é um número, é um símbolo. Portanto, em tais entradas, o infinito sempre coexiste com um parêntese.

Essa forma de registro é conveniente para respostas complexas que consistem em várias lacunas. Mas - apenas para as respostas finais. Em resultados intermediários, onde se espera uma solução adicional, é melhor usar a forma usual, na forma de uma desigualdade simples. Trataremos disso nos tópicos relevantes.

Tarefas populares com desigualdades.

As próprias desigualdades lineares são simples. Portanto, as tarefas muitas vezes se tornam mais difíceis. Então, pensar que era necessário. Isso, se por hábito, não é muito agradável.) Mas é útil. Mostrarei exemplos de tais tarefas. Não para você aprendê-los, é supérfluo. E para não ter medo ao encontrar exemplos semelhantes. Um pouco de pensamento - e tudo é simples!)

1. Encontre duas soluções quaisquer para a desigualdade 3x - 3< 0

Se não estiver muito claro o que fazer, lembre-se da regra principal da matemática:

Se você não sabe o que fazer, faça o que puder!

X < 1

E daí? Nada especial. O que estamos sendo perguntados? Somos solicitados a encontrar dois números específicos que são a solução para uma inequação. Aqueles. cabe a resposta. Dois algum números. Na verdade, isso é embaraçoso.) Um par de 0 e 0,5 são adequados. Um par -3 e -8. Sim, há um número infinito desses casais! Qual é a resposta correta?!

Eu respondo: tudo! Qualquer par de números, cada um dos quais é menor que um, seria a resposta correta. Escreva o que quiser. Vamos mais longe.

2. Resolva a desigualdade:

4x - 3 ≠ 0

Trabalhos como este são raros. Mas, como desigualdades auxiliares, ao encontrar a ODZ, por exemplo, ou ao encontrar o domínio de uma função, elas são encontradas o tempo todo. Tal desigualdade linear pode ser resolvida como uma equação linear ordinária. Apenas em todos os lugares, exceto para o sinal "=" ( é igual a) coloque o sinal " ≠ " (não igual). Então você chegará à resposta, com um sinal de desigualdade:

X ≠ 0,75

Em exemplos mais complexos, é melhor fazer as coisas de forma diferente. Torne a desigualdade igual. Assim:

4x - 3 = 0

Calmamente resolva como ensinado e obtenha a resposta:

x = 0,75

O principal, bem no final, ao escrever a resposta final, é não esquecer que encontramos x, que dá igualdade. E nós precisamos - desigualdade. Portanto, simplesmente não precisamos deste X.) E precisamos anotá-lo com o ícone correto:

X ≠ 0,75

Essa abordagem resulta em menos erros. Aqueles que resolvem equações na máquina. E para quem não resolve equações, as desigualdades, de fato, são inúteis...) Outro exemplo de uma tarefa popular:

3. Encontre a menor solução inteira da inequação:

3(x - 1) < 5x + 9

Primeiro, simplesmente resolvemos a desigualdade. Abrimos os colchetes, transferimos, damos semelhantes... Obtemos:

X > - 6

Não aconteceu!? Você seguiu os sinais? E por trás dos sinais dos membros, e por trás do sinal da desigualdade...

Vamos imaginar de novo. Precisamos encontrar um número específico que corresponda tanto à resposta quanto à condição "menor inteiro". Se não perceber imediatamente, você pode simplesmente pegar qualquer número e descobrir. Dois é maior que menos seis? É claro! Existe um número menor adequado? É claro. Por exemplo, zero é maior que -6. E ainda menos? Precisamos do menor possível! Menos três é mais do que menos seis! Você já pode pegar o padrão e parar de classificar estupidamente os números, certo?)

Tomamos um número mais próximo de -6. Por exemplo, -5. Resposta executada, -5 > - 6. Você consegue encontrar outro número menor que -5, mas maior que -6? Você pode, por exemplo, -5,5 ... Pare! Nos foi dito todo solução! Não rola -5,5! E menos seis? Eee! A desigualdade é estrita, menos 6 não é menos que menos 6!

Portanto, a resposta correta é -5.

Espero que tudo fique claro com a escolha do valor da solução geral. Outro exemplo:

4. Resolva a desigualdade:

7 < 3x+1 < 13

Quão! Tal expressão é chamada tripla desigualdade. Estritamente falando, esta é uma notação abreviada do sistema de desigualdades. Mas você ainda tem que resolver essas triplas desigualdades em algumas tarefas... Isso é resolvido sem nenhum sistema. Pelas mesmas transformações idênticas.

É necessário simplificar, trazer essa desigualdade para um X puro. Mas... O que transferir para onde!? Aqui é a hora de lembrar que o deslocamento da esquerda para a direita é forma abreviada a primeira transformação idêntica.

E o formulário completo fica assim: Você pode adicionar/subtrair qualquer número ou expressão para ambas as partes da equação (desigualdade).

Há três partes aqui. Então vamos aplicar transformações idênticas para todas as três partes!

Então, vamos nos livrar daquele na parte do meio da desigualdade. Subtraia um de toda a parte do meio. Para que a desigualdade não mude, subtraímos uma das duas partes restantes. Assim:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Já está melhor, certo?) Resta dividir as três partes em três:

2 < X < 4

Isso é tudo. Esta é a resposta. X pode ser qualquer número de dois (não incluindo) a quatro (não incluindo). Esta resposta também é escrita em intervalos, tais entradas estarão em inequações quadradas. Lá eles são a coisa mais comum.

No final da lição, vou repetir a coisa mais importante. O sucesso na resolução de desigualdades lineares depende da capacidade de transformar e simplificar equações lineares. Se ao mesmo tempo siga o sinal de desigualdade, não haverá problemas. O que eu desejo a você. sem problemas.)

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Qualquer desigualdade, que inclui uma função sob a raiz, é chamada irracional. Existem dois tipos de tais desigualdades:

No primeiro caso, a raiz é menor que a função g (x), no segundo - mais. Se g(x) - constante, a desigualdade se simplifica drasticamente. Observe que externamente essas desigualdades são muito semelhantes, mas seus esquemas de solução são fundamentalmente diferentes.

Hoje vamos aprender como resolver desigualdades irracionais do primeiro tipo - elas são as mais simples e compreensíveis. O sinal de desigualdade pode ser estrito ou não estrito. A seguinte afirmação é verdadeira para eles:

Teorema. Qualquer desigualdade irracional da forma

Equivalente ao sistema de desigualdades:

Não fraco? Vejamos de onde vem esse sistema:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - tudo está claro aqui. Esta é a desigualdade original ao quadrado;
2. f(x) ≥ 0 é a ODZ da raiz. Deixe-me lembrá-lo: a raiz quadrada aritmética existe apenas de não negativo números;
3. g(x) ≥ 0 é o intervalo da raiz. Ao elevar ao quadrado a desigualdade, queimamos os contras. Como resultado, raízes extras podem aparecer. A desigualdade g (x) ≥ 0 os elimina.

Muitos alunos "vão em ciclos" na primeira desigualdade do sistema: f (x) ≤ g 2 (x) - e esquecem completamente as outras duas. O resultado é previsível: decisão errada, pontos perdidos.

Como as desigualdades irracionais são um tópico bastante complicado, vamos analisar 4 exemplos de uma só vez. Do elementar ao realmente complexo. Todas as tarefas são tiradas dos exames de admissão da Universidade Estadual de Moscou. M. V. Lomonossov.

Exemplos de resolução de problemas

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

Temos um clássico desigualdade irracional: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 é uma constante. Nós temos:

Apenas duas das três desigualdades permaneceram ao final da solução. Porque a desigualdade 2 ≥ 0 sempre vale. Vamos cruzar as desigualdades restantes:

Então, x ∈ [−1,5; 0,5]. Todos os pontos estão sombreados porque as desigualdades não são estritas.

Uma tarefa. Resolva a desigualdade:

Aplicamos o teorema:

Resolvemos a primeira desigualdade. Para fazer isso, vamos abrir o quadrado da diferença. Nós temos:

2x 2 − 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 − 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 − 10 x< 0;
x (x − 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Agora vamos resolver a segunda desigualdade. Ali também trinômio quadrado:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0;
x 2 − 9x + 8 ≥ 0;
(x − 8)(x − 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪)