Definimos adição, multiplicação, subtração e divisão de inteiros. Essas ações (operações) possuem uma série de resultados característicos, que são chamados de propriedades. Neste artigo veremos as propriedades básicas de adição e multiplicação de inteiros, das quais decorrem todas as outras propriedades dessas ações, bem como as propriedades de subtração e divisão de inteiros.

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A adição de números inteiros possui diversas outras propriedades muito importantes.

Um deles está relacionado à existência do zero. Esta propriedade de adição de inteiros afirma que adicionar zero a qualquer número inteiro não altera esse número. Vamos escrever esta propriedade da adição usando letras: a+0=a e 0+a=a (esta igualdade é verdadeira devido à propriedade comutativa da adição), a é qualquer número inteiro. Você pode ouvir que o número inteiro zero também é chamado de elemento neutro. Vamos dar alguns exemplos. A soma do inteiro −78 e zero é −78; Se você adicionar o número inteiro positivo 999 a zero, o resultado será 999.

Agora daremos a formulação de outra propriedade de adição de inteiros, que está associada à existência de um número oposto para qualquer inteiro. A soma de qualquer número inteiro com seu número oposto é zero. Vamos dar a forma literal de escrever esta propriedade: a+(−a)=0, onde a e −a são inteiros opostos. Por exemplo, a soma 901+(−901) é zero; da mesma forma, a soma dos inteiros opostos −97 e 97 é zero.

Propriedades básicas de multiplicação de inteiros

A multiplicação de números inteiros possui todas as propriedades da multiplicação de números naturais. Listamos as principais dessas propriedades.

Assim como zero é um número inteiro neutro em relação à adição, um é um número inteiro neutro em relação à multiplicação de inteiros. Aquilo é, multiplicar qualquer número inteiro por um não altera o número que está sendo multiplicado. Então 1·a=a, onde a é qualquer número inteiro. A última igualdade pode ser reescrita como a·1=a, o que nos permite fazer a propriedade comutativa da multiplicação. Vamos dar dois exemplos. O produto do número inteiro 556 por 1 é 556; o produto de um e o número inteiro negativo −78 é igual a −78.

A próxima propriedade da multiplicação de inteiros está relacionada à multiplicação por zero. O resultado da multiplicação de qualquer número inteiro a por zero é zero, isto é, a·0=0 . A igualdade 0·a=0 também é verdadeira devido à propriedade comutativa da multiplicação de inteiros. No caso especial em que a=0, o produto de zero por zero é igual a zero.

Para a multiplicação de inteiros, a propriedade inversa da anterior também é verdadeira. Afirma que o produto de dois inteiros é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Na forma literal, esta propriedade pode ser escrita da seguinte forma: a·b=0, se a=0, ou b=0, ou se a e b forem iguais a zero ao mesmo tempo.

Propriedade distributiva da multiplicação de inteiros em relação à adição

A adição e multiplicação conjunta de inteiros permite-nos considerar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, que liga as duas ações indicadas. Usar adição e multiplicação juntas abre possibilidades adicionais que perderíamos se considerássemos a adição separadamente da multiplicação.

Assim, a propriedade distributiva da multiplicação relativa à adição afirma que o produto de um inteiro a e a soma de dois inteiros a e b é igual à soma dos produtos a b e a c, ou seja, a·(b+c)=a·b+a·c. A mesma propriedade pode ser escrita de outra forma: (a+b)c=ac+bc .

A propriedade distributiva da multiplicação de inteiros em relação à adição, juntamente com a propriedade combinatória da adição, permite-nos determinar a multiplicação de um inteiro pela soma de três ou mais inteiros e, em seguida, a multiplicação da soma dos inteiros pela soma.

Observe também que todas as demais propriedades de adição e multiplicação de inteiros podem ser obtidas a partir das propriedades que indicamos, ou seja, são consequências das propriedades indicadas acima.

Propriedades de subtração de inteiros

Da igualdade resultante, bem como das propriedades de adição e multiplicação de inteiros, seguem-se as seguintes propriedades de subtração de inteiros (a, b e c são inteiros arbitrários):

• A subtração de inteiros em geral NÃO possui a propriedade comutativa: a−b≠b−a.
• A diferença de inteiros iguais é zero: a−a=0.
• A propriedade de subtrair a soma de dois inteiros de um determinado inteiro: a−(b+c)=(a−b)−c .
• A propriedade de subtrair um número inteiro da soma de dois inteiros: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração: a·(b−c)=a·b−a·c e (a−b)·c=a·c−b·c.
• E todas as outras propriedades de subtração de inteiros.

Propriedades de divisão de inteiros

Ao discutir o significado de dividir números inteiros, descobrimos que dividir números inteiros é a ação inversa da multiplicação. Demos a seguinte definição: dividir inteiros é encontrar um fator desconhecido a partir de um produto conhecido e de um fator conhecido. Ou seja, chamamos o inteiro c de quociente da divisão do inteiro a pelo inteiro b, quando o produto c·b é igual a a.

Esta definição, bem como todas as propriedades das operações com inteiros discutidas acima, permitem estabelecer a validade das seguintes propriedades de divisão de inteiros:

• Nenhum número inteiro pode ser dividido por zero.
• A propriedade de dividir zero por um número inteiro arbitrário a diferente de zero: 0:a=0.
• Propriedade de divisão de inteiros iguais: a:a=1, onde a é qualquer número inteiro diferente de zero.
• A propriedade de dividir um número inteiro arbitrário a por um: a:1=a.
• Em geral, a divisão de inteiros NÃO possui a propriedade comutativa: a:b≠b:a .
• Propriedades de divisão da soma e diferença de dois inteiros por um inteiro: (a+b):c=a:c+b:c e (a−b):c=a:c−b:c, onde a, b , e c são inteiros tais que a e b são divisíveis por c e c é diferente de zero.
• A propriedade de dividir o produto de dois inteiros aeb por um inteiro c diferente de zero: (a·b):c=(a:c)·b, se a for divisível por c; (a·b):c=a·(b:c) , se b é divisível por c ; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) se a e b são divisíveis por c .
• A propriedade de dividir um inteiro a pelo produto de dois inteiros b e c (os números a , b e c são tais que dividir a por b c é possível): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
• Quaisquer outras propriedades de divisão de inteiros.

Adicionar um número a outro é bastante simples. Vejamos um exemplo, 4+3=7. Esta expressão significa que três unidades foram somadas a quatro unidades e o resultado foi sete unidades.
Os números 3 e 4 que adicionamos são chamados termos. E o resultado da adição do número 7 é chamado quantia.

Somaé a adição de números. Sinal de mais “+”.
Na forma literal, este exemplo ficaria assim:

um+b =c

Componentes de adição:
a- prazo, b- termos, c- soma.
Se somarmos 4 unidades a 3 unidades, então como resultado da adição obteremos o mesmo resultado; será igual a 7.

A partir deste exemplo concluímos que não importa como trocamos os termos, a resposta permanece a mesma:

Esta propriedade dos termos é chamada lei comutativa da adição.

Lei comutativa da adição.

A alteração dos lugares dos termos não altera a soma.

Em notação literal, a lei comutativa fica assim:

um+b =b+a

Se considerarmos três termos, por exemplo, pegue os números 1, 2 e 4. E realizamos a adição nesta ordem, primeiro somamos 1 + 2, e depois somamos 4 à soma resultante, obtemos a expressão:

(1+2)+4=7

Podemos fazer o oposto, primeiro adicionar 2+4 e depois adicionar 1 à soma resultante. Nosso exemplo ficará assim:

1+(2+4)=7

A resposta permanece a mesma. Ambos os tipos de adição para o mesmo exemplo têm a mesma resposta. Nós concluimos:

(1+2)+4=1+(2+4)

Esta propriedade de adição é chamada lei associativa da adição.

A lei da adição comutativa e associativa funciona para todos os números não negativos.

Lei de adição de combinação.

Para adicionar um terceiro número à soma de dois números, você pode adicionar a soma do segundo e do terceiro números ao primeiro número.

(um+b)+c =uma+(b+c)

A lei da combinação funciona para qualquer número de termos. Utilizamos esta lei quando precisamos de adicionar números numa ordem conveniente. Por exemplo, vamos adicionar três números 12, 6, 8 e 4. Será mais conveniente primeiro adicionar 12 e 8 e depois adicionar a soma de dois números 6 e 4 à soma resultante.
(12+8)+(6+4)=30

Propriedade de adição com zero.

Quando você adiciona um número com zero, a soma resultante será o mesmo número.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Em uma expressão literal, a adição com zero ficará assim:

uma+0=a
0+ uma =a

Perguntas sobre o tema da adição de números naturais:
Faça uma tabela de adição e veja como funciona a propriedade da lei comutativa?
Uma tabela de adição de 1 a 10 pode ser assim:

Segunda versão da tabela de adição.

Se olharmos as tabelas de adição, podemos ver como funciona a lei comutativa.

Na expressão a+b=c, qual será a soma?
Resposta: a soma é o resultado da soma dos termos. a+b e c.

Na expressão a+b=c termos, o que será?
Resposta: a e b. Adendos são números que somamos.

O que acontece com um número se você adicionar 0 a ele?
Resposta: nada, o número não vai mudar. Ao somar com zero, o número permanece o mesmo, pois zero é a ausência de unidades.

Quantos termos devem existir no exemplo para que a lei combinatória da adição possa ser aplicada?
Resposta: de três termos ou mais.

Escreva a lei comutativa em termos literais?
Resposta: a+b=b+a

Exemplos de tarefas.
Exemplo 1:
Escreva a resposta para as expressões dadas: a) 15+7 b) 7+15
Resposta: a) 22 b) 22

Exemplo #2:
Aplique a lei da combinação aos termos: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Resposta: 20.

Exemplo #3:
Resolva a expressão:
a) 5921+0 b) 0+5921
Solução:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Então, em geral, subtrair números naturais NÃO possui a propriedade comutativa. Vamos escrever esta afirmação usando letras. Se a e b são números naturais desiguais, então a−b≠b−a. Por exemplo, 45−21≠21−45.

A propriedade de subtrair a soma de dois números de um número natural.

A próxima propriedade está relacionada à subtração da soma de dois números de um número natural. Vejamos um exemplo que nos dará uma compreensão desta propriedade.

Vamos imaginar que temos 7 moedas em mãos. Decidimos primeiro ficar com 2 moedas, mas pensando que isso não será suficiente, decidimos ficar com outra moeda. Com base no significado da adição de números naturais, pode-se argumentar que neste caso decidimos guardar o número de moedas, que é determinado pela soma 2+1. Então, pegamos duas moedas, acrescentamos outra moeda e colocamos no cofrinho. Neste caso, o número de moedas restantes em nossas mãos é determinado pela diferença 7−(2+1) .

Agora imagine que temos 7 moedas e colocamos 2 moedas no cofrinho e depois outra moeda. Matematicamente, este processo é descrito pela seguinte expressão numérica: (7−2)−1.

Se contarmos as moedas que restam em nossas mãos, tanto no primeiro quanto no segundo caso teremos 4 moedas. Ou seja, 7−(2+1)=4 e (7−2)−1=4, portanto, 7−(2+1)=(7−2)−1.

O exemplo considerado permite formular a propriedade de subtrair a soma de dois números de um determinado número natural. Subtrair uma determinada soma de dois números naturais de um determinado número natural é o mesmo que subtrair o primeiro termo de uma determinada soma de um determinado número natural e depois subtrair o segundo termo da diferença resultante.

Lembremos que demos sentido à subtração de números naturais apenas para o caso em que o minuendo é maior que o subtraendo ou igual a ele. Portanto, só podemos subtrair uma determinada soma de um determinado número natural se esta soma não for maior que o número natural que está sendo reduzido. Observe que se esta condição for atendida, cada um dos termos não excede o número natural do qual a soma é subtraída.

Usando letras, a propriedade de subtrair a soma de dois números de um determinado número natural é escrita como igualdade uma−(b+c)=(a−b)−c, onde a, b e c são alguns números naturais e as condições a>b+c ou a=b+c são atendidas.

A propriedade considerada, bem como a propriedade combinatória de adição de números naturais, permitem subtrair a soma de três ou mais números de um determinado número natural.

A propriedade de subtrair um número natural da soma de dois números.

Vamos passar para a próxima propriedade, que está associada à subtração de um determinado número natural de uma determinada soma de dois números naturais. Vejamos exemplos que nos ajudarão a “ver” esta propriedade de subtrair um número natural da soma de dois números.

Vamos colocar 3 balas no primeiro bolso e 5 balas no segundo, e vamos doar 2 balas. Podemos fazer isso de diferentes maneiras. Vamos examiná-los um por um.

Primeiramente podemos colocar todos os doces em um bolso, depois tirar 2 doces de lá e distribuí-los. Vamos descrever essas ações matematicamente. Depois de colocarmos os doces em um bolso, seu número será determinado pela soma 3+5. Agora, do número total de doces, daremos 2 doces, enquanto o número restante de doces será determinado pela seguinte diferença (3+5)−2.

Em segundo lugar, podemos distribuir 2 doces tirando-os do primeiro bolso. Neste caso, a diferença 3−2 determina o número restante de doces no primeiro bolso, e o número total de doces restantes no nosso bolso será determinado pela soma (3−2)+5.

Em terceiro lugar, podemos distribuir 2 doces do segundo bolso. Então a diferença 5−2 corresponderá ao número de doces restantes no segundo bolso, e o número total de doces restantes será determinado pela soma 3+(5−2).

É claro que em todos os casos teremos a mesma quantidade de doces. Consequentemente, as igualdades (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) são válidas.

Se tivéssemos que doar não 2, mas 4 doces, poderíamos fazer isso de duas maneiras. Primeiro, distribua 4 doces, depois de colocá-los todos no mesmo bolso. Neste caso, o número restante de doces é determinado por uma expressão da forma (3+5)−4. Em segundo lugar, poderíamos distribuir 4 doces do segundo bolso. Neste caso, o número total de doces dá a seguinte soma 3+(5−4) . É claro que tanto no primeiro como no segundo caso teremos o mesmo número de doces, portanto, a igualdade (3+5)−4=3+(5−4) é verdadeira.

Tendo analisado os resultados obtidos na resolução dos exemplos anteriores, podemos formular a propriedade de subtrair um determinado número natural de uma determinada soma de dois números. Subtrair um determinado número natural de uma determinada soma de dois números é o mesmo que subtrair um determinado número de um dos termos e depois adicionar a diferença resultante e o outro termo. Deve-se observar que o número que está sendo subtraído NÃO deve ser maior que o termo do qual esse número está sendo subtraído.

Vamos escrever a propriedade de subtrair um número natural de uma soma usando letras. Sejam a, b e c alguns números naturais. Então, desde que a seja maior ou igual a c, a igualdade é verdadeira (a+b)−c=(a−c)+b, e se for atendida a condição de que b é maior ou igual a c, a igualdade é verdadeira (uma+b)−c=uma+(b−c). Se a e b forem maiores ou iguais a c, então ambas as últimas igualdades são verdadeiras e podem ser escritas da seguinte forma: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .

Por analogia, podemos formular a propriedade de subtrair um número natural da soma de três ou mais números. Nesse caso, esse número natural pode ser subtraído de qualquer termo (claro, se for maior ou igual ao número subtraído), e os demais termos podem ser somados à diferença resultante.

Para visualizar a propriedade sonora, você pode imaginar que temos muitos bolsos e neles há doces. Suponha que precisemos doar 1 doce. É claro que podemos distribuir 1 doce de qualquer bolso. Ao mesmo tempo, não importa de que bolso o distribuímos, pois isso não afeta a quantidade de doce que nos resta.

Vamos dar um exemplo. Sejam a, b, c e d alguns números naturais. Se a>d ou a=d, então a diferença (a+b+c)−d é igual à soma (a−d)+b+c. Se b>d ou b=d, então (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Se c>d ou c=d, então a igualdade (a+b+c)−d=a+b+(c−d) é verdadeira.

Deve-se notar que a propriedade de subtrair um número natural da soma de três ou mais números não é uma propriedade nova, pois decorre das propriedades de somar números naturais e da propriedade de subtrair um número da soma de dois números.

Bibliografia.

• Matemática. Quaisquer livros didáticos para 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries de instituições de ensino geral.
• Matemática. Quaisquer livros didáticos para a 5ª série de instituições de ensino geral.

Inteiros

Os números usados ​​para contar são chamados números naturais Número zero não se aplica a números naturais.

Um dígito números: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Dois digitos: 24,56, etc. Três dígitos: 348.569, etc. Valor múltiplo: 23.562.456789 etc.

A divisão de um número em grupos de 3 dígitos, começando pela direita, é chamada Aulas: os primeiros três dígitos são a classe das unidades, os próximos três dígitos são a classe dos milhares, depois dos milhões, etc.

Por segmento chame uma linha desenhada do ponto A ao ponto B. Chamada AB ou BA A B O comprimento do segmento AB é chamado distância entre os pontos A e B.

Unidades de comprimento:

1) 10 cm = 1 dm

2) 100cm = 1m

3) 1 cm = 10 mm

4) 1 km = 1000m

Aviãoé uma superfície que não tem arestas, estendendo-se ilimitadamente em todas as direções. Direto não tem começo nem fim. Duas linhas retas tendo um ponto comum - cruzar. Raio– faz parte de uma linha que tem começo e não tem fim (OA e OB). Os raios nos quais um ponto divide uma linha reta são chamados adicional uns aos outros.

Feixe coordenado:

0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) – coordenadas dos pontos. De dois números naturais, o menor é aquele que é chamado antes na contagem e o maior é aquele que é chamado depois na contagem. Um é o menor número natural. O resultado da comparação de dois números é escrito como uma inequação: 5< 8, 5670 >368. O número 8 é menor que 28 e maior que 5, pode ser escrito como uma dupla desigualdade: 5< 8 < 28

Adição e subtração de números naturais

Adição

Os números que somam são chamados de adendos. O resultado da adição é chamado de soma.

Propriedades de adição:

1. Propriedade comutativa: A soma dos números não muda quando os termos são reorganizados: uma + b = b + uma(a e b são quaisquer números naturais e 0) 2. Propriedade de combinação: Para adicionar a soma de dois números a um número, você pode primeiro adicionar o primeiro termo e depois adicionar o segundo termo à soma resultante: a + (b + c) = (a + b) +c = a + b + c(a, b e c são quaisquer números naturais e 0).

3. Adição com zero: Adicionar zero não altera o número:

uma + 0 = 0 + uma = uma(a é qualquer número natural).

A soma dos comprimentos dos lados de um polígono é chamada o perímetro deste polígono.

Subtração

Uma ação que usa a soma e um dos termos para encontrar outro termo é chamada por subtração.

O número do qual é subtraído é chamado redutível, o número que está sendo subtraído é chamado franquia, o resultado da subtração é chamado diferença. A diferença entre dois números mostra quanto primeiro número mais segundo ou quanto segundo número menos primeiro.

Propriedades de subtração:

1. Propriedade de subtrair uma soma de um número: Para subtrair uma soma de um número, você pode primeiro subtrair o primeiro termo desse número e depois subtrair o segundo termo da diferença resultante:

uma – (b + c) = (a - b) –Com= uma – b –Com(b + c > a ou b + c = a).

2. A propriedade de subtrair um número de uma soma: Para subtrair um número de uma soma, você pode subtraí-lo de um termo e adicionar outro termo à diferença resultante

(a + b) – c = a + (b - c), se com< b или с = b

(a + b) – c = (a - c) + b, se com< a или с = a.

3. Propriedade de subtração zero: Se você subtrair zero de um número, ele não mudará:

uma – 0 = uma(a – qualquer número natural)

4. A propriedade de subtrair o mesmo número de um número: Se você subtrair este número de um número, obterá zero:

uma – uma = 0(a é qualquer número natural).

Expressões numéricas e alfabéticas

Os registros de ação são chamados de expressões numéricas. O número obtido como resultado da realização de todas essas ações é denominado valor da expressão.

Multiplicação e divisão de números naturais

Multiplicação de números naturais e suas propriedades

Multiplicar o número m pelo número natural n significa encontrar a soma de n termos, cada um dos quais é igual a m.

A expressão m · n e o valor desta expressão são chamados de produto dos números m e n. Os números m e n são chamados de fatores.

Propriedades da multiplicação:

1. Propriedade comutativa da multiplicação: O produto de dois números não muda quando os fatores são reorganizados:

a b = b a

2. Propriedade combinativa da multiplicação: Para multiplicar um número pelo produto de dois números, você pode primeiro multiplicá-lo pelo primeiro fator e depois multiplicar o produto resultante pelo segundo fator:

a · (b · c) = (a · b) · c.

3. Propriedade da multiplicação por um: A soma de n termos, cada um deles igual a 1, é igual a n:

1 n = n

4. Propriedade da multiplicação por zero: A soma de n termos, cada um deles igual a zero, é igual a zero:

0 n = 0

O sinal de multiplicação pode ser omitido: 8 x = 8x,

ou a b = ab,

ou uma · (b + c) = uma (b + c)

Divisão

A ação pela qual o produto e um dos fatores é usado para encontrar outro fator é chamada de divisão.

O número que está sendo dividido é chamado divisível; o número que está sendo dividido é chamado divisor, o resultado da divisão é chamado privado.

O quociente mostra quantas vezes o dividendo é maior que o divisor.

Você não pode dividir por zero!

Propriedades de divisão:

1. Ao dividir qualquer número por 1, obtém-se o mesmo número:

uma: 1 = uma.

2. Ao dividir um número pelo mesmo número, o resultado é um:

uma: uma = 1.

3. Quando zero é dividido por um número, o resultado é zero:

0: uma = 0.

Para encontrar um fator desconhecido, você precisa dividir o produto por outro fator. 5x = 45x = 45: 5x = 9

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor. x: 15 = 3 x = 3 15 x = 45

Para encontrar um divisor desconhecido, você precisa dividir o dividendo pelo quociente. 48: x = 4 x = 48: 4 x = 12

Divisão com resto

O resto é sempre menor que o divisor.

Se o resto for zero, então o dividendo é divisível pelo divisor sem resto ou, em outras palavras, por um número inteiro. Para encontrar o dividendo a ao dividir com resto, você precisa multiplicar o quociente parcial c pelo divisor b e adicionar o resto d ao produto resultante.

uma = c b + d

Simplificando Expressões

Propriedades de multiplicação:

1. Propriedade distributiva da multiplicação relativa à adição: Para multiplicar uma soma por um número, você pode multiplicar cada termo por este número e somar os produtos resultantes:

(a + b)c = ac + bc.

2. Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração: Para multiplicar a diferença por um número, você pode multiplicar o minuendo e o subtraído por este número e subtrair o segundo do primeiro produto:

(a - b)c = ac - bc.

3a + 7a = (3 + 7)a = 10a

Procedimento

A adição e subtração de números são chamadas de operações do primeiro estágio, e a multiplicação e divisão de números são chamadas de ações do segundo estágio.

Regras para a ordem das ações:

1. Se não houver parênteses na expressão e ela contiver ações de apenas um estágio, elas serão executadas na ordem da esquerda para a direita.

2. Se a expressão contiver ações do primeiro e segundo estágios e não houver parênteses nela, então as ações do segundo estágio serão executadas primeiro e depois as ações do primeiro estágio.

3. Se houver parênteses na expressão, primeiro execute as ações entre parênteses (levando em consideração as regras 1 e 2)

Cada expressão especifica um programa para seu cálculo. É composto por equipes.

Grau de. Números quadrados e cubos

Um produto em que todos os fatores são iguais entre si é escrito de forma mais curta: a · a · a · a · a · a = a6 Leia: a elevado à sexta potência. O número a é chamado de base da potência, o número 6 é o expoente e a expressão a6 é chamada de potência.

O produto de n e n é chamado de quadrado de n e é denotado por n2 (en ao quadrado):

n2 = n n

O produto n · n · n é chamado de cubo do número n e é denotado por n3 (n ao cubo): n3 = n n n

A primeira potência de um número é igual ao próprio número. Se uma expressão numérica incluir potências de números, seus valores serão calculados antes de realizar outras ações.

Áreas e volumes

Escrever uma regra usando letras é chamado de fórmula. Fórmula do caminho:

s = vt, onde s é o caminho, v é a velocidade, t é o tempo.

v=s:t

t = s: v

Quadrado. Fórmula para a área de um retângulo.

Para encontrar a área de um retângulo, você precisa multiplicar seu comprimento pela largura. S =ab, onde S é a área, a é o comprimento, b é a largura

Duas figuras são chamadas iguais se uma delas puder ser sobreposta à segunda de modo que essas figuras coincidam. As áreas de figuras iguais são iguais. Os perímetros de figuras iguais são iguais.

A área de toda a figura é igual à soma das áreas de suas partes. A área de cada triângulo é igual à metade da área de todo o retângulo

Quadradoé um retângulo com lados iguais.

A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado:

Unidades de área

Milímetro quadrado – mm2

Centímetro quadrado - cm2

Decímetro quadrado – dm2

Metro quadrado – m2

Quilômetro quadrado – km2

As áreas dos campos são medidas em hectares (ha). Um hectare é a área de um quadrado com 100 m de lado.

A área dos pequenos terrenos é medida em ares (a).

Ar (cem metros quadrados) é a área de um quadrado com 10 m de lado.

1 ha = 10.000 m2

1 dm2 = 100 cm2

1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2

Se o comprimento e a largura de um retângulo forem medidos em unidades diferentes, eles deverão ser expressos nas mesmas unidades para calcular a área.

Paralelepípedo retangular

A superfície de um paralelepípedo retangular consiste em 6 retângulos, cada um dos quais é chamado de face.

As faces opostas de um paralelepípedo retangular são iguais.

Os lados das faces são chamados arestas de um paralelepípedo, e os vértices das faces são vértices de um paralelepípedo.

Um paralelepípedo retangular possui 12 arestas e 8 vértices.

Um paralelepípedo retangular tem três dimensões: comprimento, largura e altura

Cuboé um paralelepípedo retangular com todas as dimensões iguais. A superfície do cubo consiste em 6 quadrados iguais.

Volume de um paralelepípedo retangular: Para encontrar o volume de um paralelepípedo retangular, é necessário multiplicar seu comprimento pela largura e pela altura.

V=abc, V – volume, a comprimento, b – largura, c – altura

Volume do cubo:

Unidades de volume:

Milímetro cúbico – mm3

Centímetro cúbico - cm3

Decímetro cúbico – dm3

Metro cúbico – mm3

Quilômetro cúbico – km3

1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000 litros

1l = 1 dm3 = 1000 cm3

1 cm3 = 1000 mm3 1 km3 = 1.000.000.000 m3

Círculo e círculo

Uma linha fechada localizada à mesma distância de um determinado ponto é chamada de círculo.

A parte do plano que fica dentro do círculo é chamada de círculo.

Este ponto é chamado de centro do círculo e do círculo.

Um segmento que conecta o centro de um círculo a qualquer ponto do círculo é chamado raio do círculo.

Um segmento que conecta dois pontos de uma circunferência e passa por seu centro é chamado diâmetro do círculo.

O diâmetro é igual a dois raios.

Vários resultados inerentes a esta ação podem ser observados. Esses resultados são chamados propriedades de adição de números naturais. Neste artigo analisaremos detalhadamente as propriedades de adição de números naturais, escrevê-los usando letras e daremos exemplos explicativos.

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Propriedade combinativa de adição de números naturais.

Agora vamos dar um exemplo que ilustra a propriedade associativa da adição de números naturais.

Vamos imaginar uma situação: 1 maçã caiu da primeira macieira, e 2 maçãs e mais 4 maçãs caíram da segunda macieira. Agora considere esta situação: 1 maçã e mais 2 maçãs caíram da primeira macieira e 4 maçãs caíram da segunda macieira. É claro que haverá o mesmo número de maçãs no solo tanto no primeiro como no segundo caso (o que pode ser verificado por recálculo). Ou seja, o resultado da soma do número 1 com a soma dos números 2 e 4 é igual ao resultado da soma da soma dos números 1 e 2 com o número 4.

O exemplo considerado permite-nos formular a propriedade combinatória da adição de números naturais: para adicionar uma determinada soma de dois números a um determinado número, podemos adicionar o primeiro termo da soma dada a este número e adicionar o segundo termo do dada soma ao resultado resultante. Esta propriedade pode ser escrita usando letras como esta: a+(b+c)=(a+b)+c, onde a, b e c são números naturais arbitrários.

Observe que a igualdade a+(b+c)=(a+b)+c contém parênteses “(” e “)”. Parênteses são usados ​​em expressões para indicar a ordem em que as ações são executadas - as ações entre parênteses são executadas primeiro (mais sobre isso está escrito na seção). Em outras palavras, as expressões cujos valores são avaliados primeiro são colocadas entre parênteses.

Concluindo este parágrafo, notamos que a propriedade combinatória da adição nos permite determinar de forma única a adição de três, quatro ou mais números naturais.

A propriedade de somar zero e um número natural, a propriedade de somar zero e zero.

Sabemos que zero NÃO é um número natural. Então, por que decidimos examinar a propriedade de adicionar zero e um número natural neste artigo? Existem três razões para isso. Primeiro: esta propriedade é usada ao adicionar números naturais em uma coluna. Segundo: esta propriedade é usada ao subtrair números naturais. Terceiro: se assumirmos que zero significa ausência de algo, então o significado de somar zero e um número natural coincide com o significado de somar dois números naturais.

Façamos alguns raciocínios que nos ajudarão a formular a propriedade da adição de zero e um número natural. Vamos imaginar que não há objetos na caixa (em outras palavras, há 0 objetos na caixa), e nela são colocados objetos a, onde a é qualquer número natural. Ou seja, adicionamos 0 e objetos a. É claro que após esta ação existem objetos na caixa. Portanto, a igualdade 0+a=a é verdadeira.

Da mesma forma, se uma caixa contém itens e 0 itens são adicionados a ela (ou seja, nenhum item é adicionado), então após esta ação haverá itens na caixa. Então a+0=a .

Agora podemos dar a formulação da propriedade de somar zero e um número natural: a soma de dois números, um dos quais é zero, é igual ao segundo número. Matematicamente, esta propriedade pode ser escrita como a seguinte igualdade: 0+a=a ou uma+0=uma, onde a é um número natural arbitrário.

Separadamente, prestemos atenção ao fato de que ao somar um número natural e zero, a propriedade comutativa da adição permanece verdadeira, ou seja, a+0=0+a.

Por fim, formulemos a propriedade de somar zero a zero (é bastante óbvia e não necessita de comentários adicionais): a soma de dois números, cada um igual a zero, é igual a zero. Aquilo é, 0+0=0 .

Agora é hora de descobrir como somar números naturais.

Bibliografia.

• Matemática. Quaisquer livros didáticos para 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries de instituições de ensino geral.
• Matemática. Quaisquer livros didáticos para a 5ª série de instituições de ensino geral.