Apresentamos duas novas definições. Se um? tende a zero, tomando apenas valores positivos, então o limite da razão

(se existir) é chamado derivação à direita ou derivada direita da função ѓ() no ponto?, e se? tende a zero, tomando apenas valores negativos, então o limite da mesma razão (se existir) é derivação à esquerda ou derivada esquerda. A derivada à direita é indicada por um símbolo, e a derivada à esquerda é indicada por um símbolo.

Se a derivada à direita e a derivada à esquerda são iguais, então a função obviamente tem uma derivada em 0 no sentido usual da palavra.

Os exemplos mais simples de funções que têm em algum ponto as derivadas direita e esquerda que não coincidem entre si nos dão funções cujos gráficos são linhas quebradas.

De fato, seja 1 , 2 , … , k, … , s um certo número de pontos diferentes no eixo. Vamos construir uma linha quebrada para que seus vértices tenham abcissas iguais a x 1 , 2 , … , k, … , s (Fig. 12). A função ѓ(), cujo gráfico é esta polilinha *), não tem derivada nos pontos 1 , 2 , … , k, … , s .

*) Obviamente, cada linha perpendicular ao eixo x intercepta a polilinha em no máximo um ponto, e a polilinha é o gráfico de alguma função de valor único.

Para provar isso, considere algum ponto Q com abscissa k. O gráfico da função na vizinhança deste ponto tem a forma mostrada na Fig. 13.

Para qualquer reta, a secante em alguns de seus pontos e, conseqüentemente, a tangente (como a posição limite desta secante), coincide com a própria reta; portanto, o ângulo da secante e, conseqüentemente, da tangente à linha com o eixo, é o mesmo que o ângulo da própria linha com o eixo x.

Vamos denotar o ângulo da linha AQ com o eixo por b e o ângulo da linha QB com o eixo por c. Desenhamos uma secante através do ponto Q e dos pontos M 1 e M 2 localizados à esquerda e à direita de Q. A secante esquerda coincide com a linha AQ e a direita - com a linha QB.

É claro que se considerarmos Q como ponto de contato, então a secante terá duas posições limite, ou, como às vezes se diz, a curva neste ponto terá tangente direita, coincidindo com a linha QB, e tangente esquerda, coincidindo com a reta AQ. O ângulo entre o eixo e a tangente esquerda é obviamente 6, e o ângulo entre o eixo e a tangente direita é c. Como b e c são diferentes, então

Assim, no ponto Q, nossa reta não tem tangente definida, e como a derivada é igual à tangente do ângulo da tangente com o eixo, a derivada da esquerda não é igual à derivada da direita e não existe no ponto Q.

Considere outro exemplo de funções com diferentes derivadas à esquerda e à direita. Seja necessário encontrar a derivada da função

A função é obviamente definida no intervalo -1??+1. Seu gráfico é mostrado na Fig. 14. A curva termina nos pontos M(-1, +1) e N(+1, +1), pois para ||>1 a função não está definida.

Encontramos a derivada no ponto x:

Assumindo x=0, encontramos o valor da derivada no ponto O(0, 0):

Para encontrar o limite, multiplicamos o numerador e o denominador por

Como o valor aritmético (positivo) da raiz quadrada é considerado, então 2 =?, se? x> 0, mas 2 = -?, se?<0.

Portanto, se? > 0, então

e se?<0, то

Vemos que a derivada da esquerda não é igual à derivada da direita e, portanto, nossa função não tem derivada. O ponto (0, 0) é o ponto de canto no qual a curva não tem tangente definida.

Anotações importantes!
1. Se em vez de fórmulas você vir abracadabra, limpe o cache. Como fazer isso no seu navegador está escrito aqui:
2. Antes de começar a ler o artigo, preste atenção ao nosso navegador para o recurso mais útil para

Imagine uma estrada reta passando por uma área montanhosa. Ou seja, sobe e desce, mas não vira para a direita ou para a esquerda. Se o eixo for direcionado horizontalmente ao longo da estrada e verticalmente, a linha da estrada será muito semelhante ao gráfico de alguma função contínua:

O eixo é um certo nível de altura zero, na vida usamos o nível do mar como ele.

Avançando por esse caminho, também estamos subindo ou descendo. Também podemos dizer: quando o argumento muda (deslocando-se ao longo do eixo das abcissas), o valor da função muda (deslocando-se ao longo do eixo das ordenadas). Agora vamos pensar em como determinar a "inclinação" da nossa estrada? Qual poderia ser esse valor? Muito simples: quanto mudará a altura ao avançar uma certa distância. De fato, em diferentes seções da estrada, avançando (ao longo da abscissa) um quilômetro, subiremos ou desceremos um número diferente de metros em relação ao nível do mar (ao longo das ordenadas).

Indicamos progresso para frente (leia "delta x").

A letra grega (delta) é comumente usada em matemática como um prefixo que significa "mudança". Isto é - esta é uma mudança de magnitude, - uma mudança; então, o que é? Isso mesmo, uma mudança no tamanho.

Importante: a expressão é uma entidade única, uma variável. Você nunca deve arrancar o "delta" do "x" ou qualquer outra letra! Isto é, por exemplo, .

Então, nós avançamos, horizontalmente, em frente. Se compararmos a linha da estrada com o gráfico de uma função, como denotamos o aumento? É claro, . Ou seja, quando avançamos, subimos mais alto.

É fácil calcular o valor: se no início estávamos em uma altura e depois de nos movermos estávamos em uma altura, então. Se o ponto final for inferior ao ponto inicial, será negativo - isso significa que não estamos subindo, mas descendo.

Voltar para "inclinação": este é um valor que indica o quanto (inclinado) a altura aumenta ao avançar por unidade de distância:

Suponha que em algum trecho do caminho, ao avançar por km, a estrada suba por km. Então a inclinação neste lugar é igual. E se a estrada, ao avançar por m, afundasse por km? Então a inclinação é igual.

Agora considere o topo de uma colina. Se você pegar o início da seção meio quilômetro até o topo e o final - meio quilômetro depois, poderá ver que a altura é quase a mesma.

Ou seja, de acordo com nossa lógica, verifica-se que a inclinação aqui é quase igual a zero, o que claramente não é verdade. Muita coisa pode mudar a apenas alguns quilômetros de distância. Áreas menores precisam ser consideradas para uma estimativa mais adequada e precisa da inclinação. Por exemplo, se você medir a mudança de altura ao mover um metro, o resultado será muito mais preciso. Mas mesmo essa precisão pode não ser suficiente para nós - afinal, se houver um poste no meio da estrada, podemos simplesmente passar por ele. Que distância devemos escolher então? Centímetro? Milímetro? Menos é melhor!

Na vida real, medir a distância ao milímetro mais próximo é mais que suficiente. Mas os matemáticos sempre lutam pela perfeição. Assim, o conceito foi infinitesimal, ou seja, o valor do módulo é menor que qualquer número que possamos nomear. Por exemplo, você diz: um trilionésimo! Quanto menos? E você divide esse número por - e será ainda menor. E assim por diante. Se quisermos escrever que o valor é infinitamente pequeno, escrevemos assim: (lemos “x tende a zero”). É muito importante entender que este número não é igual a zero! Mas muito perto disso. Isso significa que ele pode ser dividido em.

O conceito oposto ao infinitamente pequeno é infinitamente grande (). Você provavelmente já o encontrou quando estava trabalhando com desigualdades: esse número é maior em módulo do que qualquer número que você possa imaginar. Se você chegar ao maior número possível, basta multiplicá-lo por dois e você terá ainda mais. E o infinito é ainda mais do que acontece. De fato, infinitamente grandes e infinitamente pequenos são inversos um do outro, ou seja, at, e vice-versa: at.

Agora de volta à nossa estrada. A inclinação calculada idealmente é a inclinação calculada para um segmento infinitamente pequeno do caminho, ou seja:

Observo que com um deslocamento infinitamente pequeno, a mudança na altura também será infinitamente pequena. Mas deixe-me lembrá-lo que infinitamente pequeno não significa igual a zero. Se você dividir números infinitesimais entre si, poderá obter um número completamente comum, por exemplo. Ou seja, um valor pequeno pode ser exatamente duas vezes maior que outro.

Por que tudo isso? A estrada, a inclinação... Não vamos a um rally, mas estamos aprendendo matemática. E na matemática tudo é exatamente igual, só que chamado de forma diferente.

O conceito de derivação

A derivada de uma função é a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento em um incremento infinitesimal do argumento.

Incremento em matemática é chamado de mudança. Quanto o argumento () mudou ao se mover ao longo do eixo é chamado incremento de argumento e denotado por quanto a função (altura) mudou ao avançar ao longo do eixo por uma distância é chamada incremento de função e está marcado.

Então, a derivada de uma função é a relação com quando. Denotamos a derivada com a mesma letra da função, apenas com um traço no canto superior direito: ou simplesmente. Então, vamos escrever a fórmula da derivada usando estas notações:

Como na analogia com a estrada, aqui, quando a função aumenta, a derivada é positiva e, quando diminui, é negativa.

Mas a derivada é igual a zero? É claro. Por exemplo, se estivermos dirigindo em uma estrada horizontal plana, a inclinação é zero. De fato, a altura não muda em nada. Assim com a derivada: a derivada de uma função constante (constante) é igual a zero:

uma vez que o incremento de tal função é zero para qualquer.

Vamos pegar o exemplo do topo da colina. Descobriu-se que era possível organizar as extremidades do segmento em lados opostos do vértice de modo que a altura nas extremidades fosse a mesma, ou seja, o segmento é paralelo ao eixo:

Mas grandes segmentos são um sinal de medição imprecisa. Vamos elevar nosso segmento paralelamente a si mesmo, então seu comprimento diminuirá.

No final, quando estivermos infinitamente perto do topo, o comprimento do segmento se tornará infinitamente pequeno. Mas, ao mesmo tempo, permaneceu paralelo ao eixo, ou seja, a diferença de altura em suas extremidades é igual a zero (não tende, mas é igual a). Então a derivada

Isso pode ser entendido da seguinte forma: quando estamos no topo, um pequeno deslocamento para a esquerda ou para a direita altera nossa altura de forma insignificante.

Há também uma explicação puramente algébrica: à esquerda do topo, a função aumenta e à direita, ela diminui. Como já descobrimos anteriormente, quando a função aumenta, a derivada é positiva e, quando diminui, é negativa. Mas muda suavemente, sem saltos (porque a estrada não muda sua inclinação acentuadamente em nenhum lugar). Portanto, deve haver entre valores negativos e positivos. Será onde a função não aumenta nem diminui - no ponto do vértice.

O mesmo vale para o vale (a área onde a função diminui à esquerda e aumenta à direita):

Um pouco mais sobre incrementos.

Então, alteramos o argumento para um valor. Mudamos de qual valor? O que ele (argumento) se tornou agora? Podemos escolher qualquer ponto, e agora vamos dançar a partir dele.

Considere um ponto com uma coordenada. O valor da função nele é igual. Então fazemos o mesmo incremento: aumenta a coordenada em. Qual é o argumento agora? Muito fácil: . Qual é o valor da função agora? Onde o argumento vai, a função vai lá: . E o incremento de função? Nada de novo: este ainda é o valor pelo qual a função mudou:

Pratique encontrar incrementos:

1. Encontre o incremento da função em um ponto com um incremento do argumento igual a.
2. O mesmo para uma função em um ponto.

Soluções:

Em pontos diferentes, com o mesmo incremento do argumento, o incremento da função será diferente. Isso significa que a derivada em cada ponto tem a sua própria (discutimos isso no início - a inclinação da estrada em diferentes pontos é diferente). Portanto, quando escrevemos uma derivada, devemos indicar em que ponto:

Função liga-desliga.

Uma função de poder é chamada de função onde o argumento é até certo ponto (lógico, certo?).

E - em qualquer medida: .

O caso mais simples é quando o expoente é:

Vamos encontrar sua derivada em um ponto. Lembre-se da definição de derivada:

Assim, o argumento muda de para. Qual é o incremento da função?

O incremento é. Mas a função em qualquer ponto é igual ao seu argumento. É por isso:

A derivada é:

A derivada de é:

b) Considere agora a função quadrática (): .

Agora vamos lembrar disso. Isso significa que o valor do incremento pode ser desprezado, pois é infinitamente pequeno e, portanto, insignificante no contexto de outro termo:

Então, temos outra regra:

c) Continuamos a série lógica: .

Essa expressão pode ser simplificada de diferentes maneiras: abra o primeiro colchete usando a fórmula da multiplicação abreviada do cubo da soma ou decomponha a expressão inteira em fatores usando a fórmula da diferença dos cubos. Tente fazer você mesmo em qualquer uma das maneiras sugeridas.

Então, obtive o seguinte:

E vamos lembrar disso novamente. Isso significa que podemos desprezar todos os termos contendo:

Nós temos: .

d) Regras semelhantes podem ser obtidas para grandes potências:

e) Acontece que esta regra pode ser generalizada para uma função potência com um expoente arbitrário, nem mesmo um inteiro:

(2)

Você pode formular a regra com as palavras: “o grau é apresentado como um coeficiente e depois diminui”.

Vamos provar esta regra mais tarde (quase no final). Agora vamos ver alguns exemplos. Encontre a derivada das funções:

1. (de duas maneiras: pela fórmula e usando a definição da derivada - contando o incremento da função);

funções trigonométricas.

Aqui usaremos um fato da matemática superior:

Quando expressão.

Você aprenderá a prova no primeiro ano do instituto (e para chegar lá, você precisa passar bem no exame). Agora vou mostrar graficamente:

Vemos que quando a função não existe - o ponto no gráfico é perfurado. Mas quanto mais próximo do valor, mais próxima a função está, isso é o próprio “esforço”.

Além disso, você pode verificar esta regra com uma calculadora. Sim, sim, não seja tímido, pegue uma calculadora, ainda não estamos no exame.

Então vamos tentar: ;

Não se esqueça de mudar a calculadora para o modo radianos!

etc. Vemos que quanto menor, mais próximo o valor da razão.

a) Considere uma função. Como de costume, encontramos seu incremento:

Vamos transformar a diferença de senos em um produto. Para fazer isso, usamos a fórmula (lembre-se do tópico ""):.

Agora a derivada:

Vamos fazer uma substituição: . Então, para infinitamente pequeno, também é infinitamente pequeno: . A expressão para toma a forma:

E agora nos lembramos disso com a expressão. E também, e se um valor infinitamente pequeno puder ser desprezado na soma (ou seja, at).

Assim, obtemos a seguinte regra: a derivada do seno é igual ao cosseno:

Estes são derivativos básicos (“tabela”). Aqui estão eles em uma lista:

Mais tarde, adicionaremos mais alguns a eles, mas esses são os mais importantes, pois são usados ​​com mais frequência.

Prática:

1. Encontre a derivada de uma função em um ponto;
2. Encontre a derivada da função.

Soluções:

Expoente e logaritmo natural.

Existe tal função na matemática, cuja derivada para qualquer é igual ao valor da própria função para o mesmo. É chamado de "expoente" e é uma função exponencial

A base desta função - uma constante - é uma fração decimal infinita, ou seja, um número irracional (como). É chamado de "número de Euler", e é por isso que é indicado por uma letra.

Então a regra é:

É muito fácil de lembrar.

Bem, não iremos longe, consideraremos imediatamente a função inversa. Qual é a inversa da função exponencial? Logaritmo:

No nosso caso, a base é um número:

Tal logaritmo (ou seja, um logaritmo com base) é chamado de “natural” e usamos uma notação especial para isso: escrevemos em vez disso.

O que é igual? É claro, .

A derivada do logaritmo natural também é muito simples:

Exemplos:

1. Encontre a derivada da função.
2. Qual é a derivada da função?

Respostas: O expoente e o logaritmo natural são funções singularmente simples em termos da derivada. Funções exponenciais e logarítmicas com qualquer outra base terão uma derivada diferente, que analisaremos mais adiante, depois de passarmos pelas regras de diferenciação.

Regras de diferenciação

Que regras? Mais um novo termo, de novo?!...

Diferenciaçãoé o processo de encontrar a derivada.

Só e tudo. Qual é outra palavra para esse processo? Não proizvodnovanie... O diferencial da matemática é chamado o próprio incremento da função at. Este termo vem do latim differentia - diferença. Aqui.

Ao derivar todas essas regras, usaremos duas funções, por exemplo, e. Também precisaremos de fórmulas para seus incrementos:

São 5 regras no total.

A constante é retirada do sinal da derivada.

Se - algum número constante (constante), então.

Obviamente, essa regra também funciona para a diferença: .

Vamos provar isso. Deixe, ou mais fácil.

Exemplos.

Encontre derivadas de funções:

1. no ponto;
2. no ponto;
3. no ponto;
4. no ponto.

Soluções:

Derivado de um produto

Tudo é semelhante aqui: introduzimos uma nova função e encontramos seu incremento:

Derivado:

Exemplos:

1. Encontrar derivadas de funções e;
2. Encontre a derivada de uma função em um ponto.

Soluções:

Derivada da função exponencial

Agora seu conhecimento é suficiente para aprender a encontrar a derivada de qualquer função exponencial, e não apenas o expoente (você já esqueceu o que é?).

Então, onde está algum número.

Já sabemos a derivada da função, então vamos tentar trazer nossa função para uma nova base:

Para fazer isso, usamos uma regra simples: . Então:

Bem, funcionou. Agora tente encontrar a derivada, e não esqueça que esta função é complexa.

Ocorrido?

Aqui, verifique você mesmo:

A fórmula ficou muito parecida com a derivada do expoente: como estava, fica, só apareceu um fator, que é só um número, mas não uma variável.

Exemplos:
Encontre derivadas de funções:

Respostas:

Derivada de uma função logarítmica

Aqui é semelhante: você já conhece a derivada do logaritmo natural:

Portanto, para encontrar um arbitrário do logaritmo com uma base diferente, por exemplo, :

Precisamos trazer esse logaritmo para a base. Como você altera a base de um logaritmo? Espero que você se lembre desta fórmula:

Só que agora em vez de escreveremos:

O denominador acabou sendo apenas uma constante (um número constante, sem uma variável). A derivada é muito simples:

Derivadas das funções exponencial e logarítmica quase nunca são encontradas no exame, mas não será supérfluo conhecê-las.

Derivada de uma função complexa.

O que é uma "função complexa"? Não, isso não é um logaritmo e não um arco tangente. Essas funções podem ser difíceis de entender (embora se o logaritmo lhe pareça difícil, leia o tópico "Logaritmos" e tudo dará certo), mas em termos de matemática, a palavra "complexo" não significa "difícil".

Imagine um pequeno transportador: duas pessoas estão sentadas e realizando algumas ações com alguns objetos. Por exemplo, o primeiro envolve uma barra de chocolate em uma embalagem e o segundo a amarra com uma fita. Acontece que um objeto tão composto: uma barra de chocolate embrulhada e amarrada com uma fita. Para comer uma barra de chocolate, você precisa fazer os passos opostos na ordem inversa.

Vamos criar um pipeline matemático semelhante: primeiro encontraremos o cosseno de um número e, em seguida, elevaremos ao quadrado o número resultante. Então, eles nos dão um número (chocolate), eu encontro seu cosseno (embrulho), e então você ajusta o que eu tenho (amarre com uma fita). O que aconteceu? Função. Este é um exemplo de função complexa: quando, para encontrar seu valor, fazemos a primeira ação diretamente com a variável, e depois outra segunda ação com o que aconteceu como resultado da primeira.

Podemos muito bem fazer os mesmos passos na ordem inversa: primeiro você eleva ao quadrado, e então eu procuro o cosseno do número resultante:. É fácil adivinhar que o resultado quase sempre será diferente. Uma característica importante das funções complexas: quando a ordem das ações muda, a função muda.

Em outras palavras, Uma função complexa é uma função cujo argumento é outra função: .

Para o primeiro exemplo, .

Segundo exemplo: (mesmo). .

A última ação que fazemos será chamada função "externa", e a ação executada primeiro - respectivamente função "interna"(esses são nomes informais, eu os uso apenas para explicar o material em linguagem simples).

Tente determinar por si mesmo qual função é externa e qual é interna:

Respostas: A separação de funções internas e externas é muito semelhante à mudança de variáveis: por exemplo, na função

mudamos as variáveis ​​e obtemos uma função.

Bem, agora vamos extrair nosso chocolate - procure o derivado. O procedimento é sempre inverso: primeiro, procuramos a derivada da função externa, depois multiplicamos o resultado pela derivada da função interna. Para o exemplo original, fica assim:

Outro exemplo:

Então, vamos finalmente formular a regra oficial:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

Tudo parece ser simples, certo?

Vamos verificar com exemplos:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

Função derivada- a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento com um incremento infinitesimal do argumento:

Derivados básicos:

Regras de diferenciação:

A constante é retirada do sinal da derivada:

Derivada da soma:

Produto derivado:

Derivada do quociente:

Derivada de uma função complexa:

Algoritmo para encontrar a derivada de uma função complexa:

1. Definimos a função "interna", encontramos sua derivada.
2. Definimos a função "externa", encontramos sua derivada.
3. Multiplicamos os resultados do primeiro e segundo pontos.

Bom, o assunto acabou. Se você está lendo essas linhas, então você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas são capazes de dominar algo por conta própria. E se você leu até o final, então você está nos 5%!

Agora o mais importante.

Você descobriu a teoria sobre este tópico. E, repito, é... é simplesmente super! Você já é melhor do que a grande maioria de seus pares.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Para a aprovação no exame, para a admissão no instituto no orçamento e, MAIS IMPORTANTE, para a vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

As pessoas que receberam uma boa educação ganham muito mais do que aquelas que não a receberam. Isso é estatística.

Mas isso não é o principal.

O principal é que eles são MAIS FELIZES (existem esses estudos). Talvez porque muito mais oportunidades se abrem diante deles e a vida se torna mais brilhante? Não sei...

Mas pense por si mesmo...

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Encontre problemas e resolva!

É absolutamente impossível resolver problemas físicos ou exemplos em matemática sem conhecimento sobre a derivada e os métodos para calculá-la. A derivada é um dos conceitos mais importantes da análise matemática. Decidimos dedicar o artigo de hoje a este tema fundamental. O que é uma derivada, qual é o seu significado físico e geométrico, como calcular a derivada de uma função? Todas essas questões podem ser combinadas em uma: como entender a derivada?

Significado geométrico e físico da derivada

Seja uma função f(x) , dado em algum intervalo (a, b) . Os pontos x e x0 pertencem a este intervalo. Quando x muda, a própria função muda. Mudança de argumento - diferença de seus valores x-x0 . Essa diferença é escrita como delta x e é chamado de incremento de argumento. A mudança ou incremento de uma função é a diferença entre os valores da função em dois pontos. Definição derivada:

A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão entre o incremento da função em um dado ponto e o incremento do argumento quando este tende a zero.

Caso contrário, pode ser escrito assim:

Qual é o ponto em encontrar tal limite? Mas qual deles:

a derivada de uma função em um ponto é igual à tangente do ângulo entre o eixo OX e a tangente ao gráfico da função em um determinado ponto.

O significado físico da derivada: a derivada temporal da trajetória é igual à velocidade do movimento retilíneo.

De fato, desde os tempos de escola, todos sabem que a velocidade é um caminho particular. x=f(t) e tempo t . Velocidade média durante um determinado período de tempo:

Para descobrir a velocidade do movimento de cada vez t0 você precisa calcular o limite:

Regra um: tire a constante

A constante pode ser retirada do sinal da derivada. Além disso, deve ser feito. Ao resolver exemplos em matemática, tome como regra - se você pode simplificar a expressão, certifique-se de simplificar .

Exemplo. Vamos calcular a derivada:

Regra dois: derivada da soma de funções

A derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções. O mesmo vale para a derivada da diferença de funções.

Não daremos uma demonstração deste teorema, mas consideraremos um exemplo prático.

Encontre a derivada de uma função:

Regra três: a derivada do produto de funções

A derivada do produto de duas funções diferenciáveis ​​é calculada pela fórmula:

Exemplo: encontre a derivada de uma função:

Solução:

Aqui é importante dizer sobre o cálculo de derivadas de funções complexas. A derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada desta função em relação ao argumento intermediário pela derivada do argumento intermediário em relação à variável independente.

No exemplo acima, encontramos a expressão:

Nesse caso, o argumento intermediário é 8x elevado à quinta potência. Para calcular a derivada de tal expressão, primeiro consideramos a derivada da função externa em relação ao argumento intermediário e, em seguida, multiplicamos pela derivada do próprio argumento intermediário em relação à variável independente.

Regra Quatro: A derivada do quociente de duas funções

Fórmula para determinar a derivada de um quociente de duas funções:

Tentamos falar sobre derivativos para manequins do zero. Este tópico não é tão simples quanto parece, então esteja avisado: muitas vezes há armadilhas nos exemplos, então tenha cuidado ao calcular derivativos.

Com qualquer dúvida sobre este e outros temas, você pode entrar em contato com o atendimento ao aluno. Em pouco tempo, vamos ajudá-lo a resolver o controle mais difícil e lidar com as tarefas, mesmo que você nunca tenha lidado com o cálculo de derivativos antes.

Quando uma pessoa deu os primeiros passos independentes no estudo da análise matemática e começa a fazer perguntas desconfortáveis, não é mais tão fácil se livrar da frase que "o cálculo diferencial foi encontrado no repolho". Portanto, é hora de ser determinado e resolver o mistério do nascimento de tabelas de derivativos e regras de diferenciação. Começou no artigo sobre o significado da derivada, que recomendo fortemente para estudo, pois lá apenas consideramos o conceito de derivado e começamos a clicar em tarefas sobre o tema. A mesma lição tem uma orientação prática pronunciada, além disso,

os exemplos considerados abaixo, em princípio, podem ser dominados puramente formalmente (por exemplo, quando não há tempo/desejo de mergulhar na essência da derivada). Também é altamente desejável (mas novamente não necessário) ser capaz de encontrar derivadas usando o método "usual" - pelo menos no nível de duas classes básicas: Como encontrar a derivada? e Derivada de uma função complexa.

Mas sem algo, que agora é definitivamente indispensável, é sem limites de função. Você deve ENTENDER o que é um limite e ser capaz de resolvê-los, pelo menos em um nível intermediário. E tudo porque a derivada

função em um ponto é definida pela fórmula:

Relembro as designações e os termos: chamam incremento de argumento;

– incremento de função;

- estes são símbolos ÚNICOS (“delta” não pode ser “arrancado” de “X” ou “Y”).

Obviamente, é uma variável "dinâmica", é uma constante e o resultado do cálculo do limite - número (às vezes - "mais" ou "menos" infinito).

Como ponto, você pode considerar QUALQUER valor pertencente a domínios uma função que tem uma derivada.

Nota: a cláusula "na qual a derivada existe" - geralmente significativo.! Assim, por exemplo, o ponto, embora entre no domínio da função, mas a derivada

não existe lá. Portanto a fórmula

não aplicável no ponto

e uma redação abreviada sem reserva seria incorreta. Fatos semelhantes também são válidos para outras funções com "quebras" no gráfico, em particular, para o arco-seno e arco-cosseno.

Assim, após substituir , obtemos a segunda fórmula de trabalho:

Preste atenção a uma circunstância insidiosa que pode confundir o bule: neste limite, "x", sendo ele próprio uma variável independente, desempenha o papel de um extra, e a "dinâmica" é novamente definida pelo incremento. O resultado do cálculo do limite

é a função derivada.

Com base no exposto, formulamos as condições de dois problemas típicos:

- Achar derivada em um ponto usando a definição de uma derivada.

- Achar função derivada usando a definição de uma derivada. Esta versão, de acordo com minhas observações, ocorre com muito mais frequência e receberá a atenção principal.

A diferença fundamental entre as tarefas é que no primeiro caso é necessário encontrar o número (opcionalmente infinito), e no segundo

função. Além disso, o derivado pode não existir.

Como ?

Faça uma relação e calcule o limite.

Onde fez tabela de derivativos e regras de diferenciação ? Com um único limite

Parece mágica, mas

realidade - prestidigitação e nenhuma fraude. Na lição O que é um derivado? Comecei a considerar exemplos específicos, onde, usando a definição, encontrei as derivadas de uma função linear e quadrática. Para fins de aquecimento cognitivo, continuaremos a perturbar tabela de derivativos, aprimorando o algoritmo e as soluções técnicas:

De fato, é necessário provar um caso especial da derivada de uma função potência, que geralmente aparece na tabela: .

A solução é formalizada tecnicamente de duas maneiras. Vamos começar com a primeira abordagem já familiar: a escada começa com uma prancha e a função derivada começa com uma derivada em um ponto.

Considere algum ponto (concreto) pertencente a domínios uma função que tem uma derivada. Defina o incremento neste ponto (claro, não além o/o - z) e compor o incremento correspondente da função:

Vamos calcular o limite:

A incerteza 0:0 é eliminada por uma técnica padrão considerada desde o primeiro século aC. multiplicar

numerador e denominador por expressão adjunta :

A técnica para resolver tal limite é discutida em detalhes na lição introdutória. sobre os limites das funções.

Como QUALQUER ponto do intervalo pode ser escolhido como

Então, substituindo, temos:

Mais uma vez, vamos nos alegrar com os logaritmos:

Encontre a derivada da função usando a definição da derivada

Solução: Vamos considerar uma abordagem diferente para ativar a mesma tarefa. É exatamente o mesmo, mas mais racional em termos de design. A ideia é livrar-se do

subscrito e use uma letra em vez de uma letra.

Considere um ponto arbitrário pertencente a domínios função (intervalo) e defina o incremento nela. E aqui, a propósito, como na maioria dos casos, você pode fazer sem reservas, pois a função logarítmica é diferenciável em qualquer ponto do domínio de definição.

Então o incremento da função correspondente é:

Vamos encontrar a derivada:

A simplicidade do design é equilibrada pela confusão, que pode

surgem em iniciantes (e não só). Afinal, estamos acostumados com o fato de a letra “X” mudar no limite! Mas aqui tudo é diferente: - uma estátua antiga, e - um visitante vivo, caminhando rapidamente pelo corredor do museu. Ou seja, “x” é “como uma constante”.

Vou comentar sobre a eliminação da incerteza passo a passo:

(1) Usando a propriedade do logaritmo.

(2) Divida o numerador pelo denominador entre parênteses.

(3) No denominador, multiplicamos e dividimos artificialmente por "x" para que

aproveite o maravilhoso , Enquanto isso infinitesimal executa.

Resposta: Por definição de derivada:

Ou em resumo:

Proponho construir independentemente mais duas fórmulas tabulares:

Encontrar derivada por definição

Nesse caso, o incremento compilado é imediatamente conveniente para reduzir a um denominador comum. Uma amostra aproximada da tarefa no final da lição (o primeiro método).

Encontrar derivada por definição

E aqui tudo deve ser reduzido a um limite notável. A solução é enquadrada na segunda maneira.

Da mesma forma, vários outros derivados tabulares. Uma lista completa pode ser encontrada em um livro escolar ou, por exemplo, no 1º volume de Fichtenholtz. Não vejo muito sentido em reescrever a partir de livros e provas das regras de diferenciação - elas também são geradas

Fórmula .

Vamos para as tarefas da vida real: Exemplo 5

Encontre a derivada de uma função , usando a definição da derivada

Solução: use o primeiro estilo. Vamos considerar algum ponto que pertence e definir o incremento do argumento nele. Então o incremento da função correspondente é:

Talvez alguns leitores ainda não tenham entendido completamente o princípio pelo qual um incremento deve ser feito. Pegamos um ponto (número) e encontramos o valor da função nele: , ou seja, na função

em vez de "x" deve ser substituído. Agora tomamos

Incremento de Função Composta é benéfico simplificar imediatamente. Pelo que? Facilitar e encurtar a solução do limite adicional.

Usamos fórmulas, abrimos colchetes e reduzimos tudo o que pode ser reduzido:

O peru é eviscerado, não há problema com o assado:

Eventualmente:

Como qualquer número real pode ser escolhido como qualidade, fazemos a substituição e obtemos .

Responda : por definição.

Para fins de verificação, encontramos a derivada usando as regras

diferenciações e tabelas:

É sempre útil e agradável saber a resposta correta com antecedência, por isso é melhor diferenciar mentalmente ou em um rascunho a função proposta de maneira “rápida” no início da solução.

Encontre a derivada de uma função pela definição da derivada

Este é um exemplo de faça você mesmo. O resultado está na superfície:

De volta ao Estilo #2: Exemplo 7

Vamos descobrir imediatamente o que deve acontecer. Por a regra de derivação de uma função complexa:

Decisão : considere um ponto arbitrário pertencente a, defina o incremento do argumento nele e faça o incremento

Vamos encontrar a derivada:

(1) Usamos a fórmula trigonométrica

(2) Sob o seno abrimos os colchetes, sob o cosseno damos termos semelhantes.

(3) Sob o seno reduzimos os termos, sob o cosseno dividimos o numerador pelo denominador termo por termo.

(4) Devido à estranheza do seno, tiramos o "menos". Sob cosseno

indicar que o termo .

(5) Multiplicamos artificialmente o denominador para usar primeiro limite maravilhoso. Assim, a incerteza é eliminada, penteamos o resultado.

Resposta: por definição Como você pode ver, a principal dificuldade do problema em consideração está

a complexidade do próprio limite + uma leve originalidade da embalagem. Na prática, ambos os métodos de projeto são encontrados, então descrevo ambas as abordagens com o máximo de detalhes possível. Eles são equivalentes, mas ainda assim, na minha impressão subjetiva, é mais conveniente para os manequins ficarem com a 1ª opção com “X zero”.

Usando a definição, encontre a derivada da função

Esta é uma tarefa para decisão independente. A amostra é formatada no mesmo espírito do exemplo anterior.

Vamos analisar uma versão mais rara do problema:

Encontre a derivada de uma função em um ponto usando a definição de derivada.

Em primeiro lugar, qual deve ser a linha de fundo? Número Calcule a resposta da maneira padrão:

Decisão: do ponto de vista da clareza, esta tarefa é muito mais simples, pois na fórmula em vez de

considerado um valor específico.

Definimos um incremento no ponto e compomos o incremento correspondente da função:

Calcular a derivada em um ponto:

Usamos uma fórmula muito rara para a diferença de tangentes e pela enésima vez reduzimos a solução à primeira

limite incrível:

Resposta: por definição da derivada em um ponto.

A tarefa não é tão difícil de resolver e “em termos gerais” - basta substituir o prego ou simplesmente, dependendo do método de design. Nesse caso, é claro, você obtém não um número, mas uma função derivada.

Exemplo 10 Usando a definição, encontre a derivada de uma função no ponto

Este é um exemplo de faça você mesmo.

A tarefa bônus final destina-se principalmente a alunos com estudo aprofundado de análise matemática, mas também não prejudicará todos os outros:

A função será diferenciável no ponto?

Solução: É óbvio que uma função dada por partes é contínua em um ponto, mas será ali diferenciável?

O algoritmo de solução, e não apenas para funções por partes, é o seguinte:

1) Encontre a derivada à esquerda em um determinado ponto: .

2) Encontre a derivada à direita no ponto dado: .

3) Se as derivadas unilaterais são finitas e coincidem:

, então a função é diferenciável no ponto e

geometricamente, há uma tangente comum aqui (veja a parte teórica da lição Definição e significado de derivado).

Se dois valores diferentes forem recebidos: (um dos quais pode ser infinito), então a função não é diferenciável em um ponto.

Se ambas as derivadas unilaterais são iguais ao infinito

(mesmo que tenham sinais diferentes), então a função não

é diferenciável em um ponto, mas existe uma derivada infinita e uma tangente vertical comum ao gráfico (veja o Exemplo 5 da liçãoEquação Normal) .

O conceito de derivação

Deixe a função f(x) é definido em algum intervalo x. Vamos dar o valor do argumento no ponto x 0 X incremento aleatório Δ x para que o ponto x0 + Δ x também pertencia x. Em seguida, o correspondente incremento da função f(x) será Δ no = f(x0 + Δ x) - f(x0).

Definição 1.A derivada da função f(x) no ponto x0é chamado de limite da razão do incremento da função neste ponto para o incremento do argumento em Δ x 0 (se este limite existir).

Para denotar a derivada de uma função, os símbolos são usados você' (x0) ou f‘(x0):

Se em algum momento x0 limite (4.1) é infinito:

então eles dizem que no ponto x0 função f(x) Tem derivada infinita.

Se a função f(x) tem uma derivada em cada ponto do conjunto x, então a derivada f"(x) também é uma função do argumento X, determinado em x.

Para esclarecer o significado geométrico da derivada, precisamos da definição de uma tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto.

Definição 2.Tangente para o gráfico da função y = f(x) no ponto M MN, quando ponto N tende a um ponto M ao longo da curva f(x).

Deixe o ponto M na curva f(x) corresponde ao valor do argumento x0, e o ponto N- valor do argumento x0 + Δ x(Fig. 4.1). Segue-se da definição de uma tangente que para sua existência em um ponto x0é necessário que haja um limite, que é igual ao ângulo de inclinação da tangente ao eixo Boi. De um triângulo MNA segue que

Se a derivada da função f(x) no ponto x0 existe, então, de acordo com (4.1), obtemos

Disso segue a conclusão óbvia de que derivada f‘(x0) igual à inclinação (a tangente do ângulo de inclinação à direção positiva do eixo Ox) tangente ao gráfico da função y = f(x) dentro ponto M(x0, f(x0)). Neste caso, a inclinação da tangente é determinada a partir da fórmula (4.2):

O significado físico da derivada

Vamos supor que a função l = f(t) descreve a lei do movimento de um ponto material em linha reta como uma dependência da trajetória eu de tempos t. Então a diferença Δ l = f(t +Δ t) - f(t) -é a distância percorrida no intervalo de tempo Δ t, e a razão Δ eu/Δ t- velocidade média ao longo do tempo Δ t. Então o limite define velocidade instantânea do ponto no momento t como a derivada do caminho em relação ao tempo.

Em certo sentido, a derivada da função no = f(x) também pode ser interpretado como a taxa de variação da função: quanto maior o valor f‘(x), quanto maior o ângulo de inclinação da tangente à curva, mais inclinado é o gráfico f(x) e a função cresce mais rápido.

Derivadas direita e esquerda

Por analogia com os conceitos de limites laterais de uma função, são introduzidos os conceitos de derivadas direita e esquerda de uma função em um ponto.

Definição 3.Direita esquerda) função derivada no = f(x) no ponto x0é chamado de limite direito (esquerdo) da relação (4.1) como Δ x 0 se este limite existir.

O seguinte simbolismo é usado para denotar derivadas unilaterais:

Se a função f(x) tem no ponto x0 derivada, então tem derivadas à esquerda e à direita nesse ponto que são iguais.

Vamos dar um exemplo de uma função que tem derivadas unilaterais em um ponto que não são iguais entre si. isto f(x) = |x|. Com efeito, no ponto x = 0 temos f' +(0) = 1, f'-(0) = -1 (Fig. 4.2) e f' +(0) ≠f' —(0), ou seja a função não tem derivada em X = 0.

A operação de encontrar a derivada de uma função é chamada diferenciação; uma função que tem uma derivada em um ponto é chamada diferenciável.

A conexão entre diferenciabilidade e continuidade de uma função em um ponto é estabelecida pelo seguinte teorema.

TEOREMA 1 . Se uma função é diferenciável em um ponto x 0, então ela também é contínua nesse ponto.

A recíproca não é verdadeira: a função f(x) que é contínua em um ponto pode não ter uma derivada nesse ponto. Um exemplo é a função no = |x|; é contínua no ponto x= 0, mas não tem derivada neste ponto.

Assim, a exigência de que uma função seja diferenciável é mais forte do que a exigência de continuidade, uma vez que a segunda automaticamente decorre da primeira.

A equação da tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto

Como foi afirmado na seção 3.9, a equação de uma linha reta que passa por um ponto M(x0, em 0) com inclinação k tem a forma

Deixe a função no = f(x). Então, como sua derivada em algum ponto M(x0, em 0) é a inclinação da tangente ao gráfico desta função no ponto M, então segue que a equação da tangente ao gráfico da função f(x) neste ponto tem a forma

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y é uma função y = y(x)
C = constante, derivada (y') da constante é 0

y = C => y' = 0

exemplo: y = 5, y' = 0

Se y é uma função do tipo y = x n , a fórmula para a derivada é:

y = x n => y' = nx n-1

exemplo: y = x 3 y' = 3x 3-1 = 3x 2
y = x -3 y' = -3x -4

Da fórmula acima, podemos dizer que para a derivada y’ da função y = x = x 1 que:

se y = x então y’=1

y \u003d f 1 (x) + f 2 (x) + f 3 (x) ...=>
y' = f' 1 (x) + f' 2 (x) + f' 3 (x) ...

Esta fórmula representa a derivada de uma função que é a soma de funções.
Exemplo: Se temos duas funções f(x) = x 2 + x + 1 e g(x) = x 5 + 7 e y = f(x) + g(x) então y' = f"(x) + g"(x) => y' = (x 2 + x + 1)' + (x 5 + 7)' = 2x 1 + 1 + 0 + 5x 4 + 0 = 5x 4 + 2x + 1

Se uma função é um produto de duas funções, a fórmula da derivada fica assim:

y = f(x).g(x) => y’ = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)

Se f(x) = C(C é constante) e y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y'=C'.g(x) + C.g"(x) = 0 + C.g"(x) = C.g"(x)

y = Cf(x) => y’ = C.f"(x)

Fórmulas para calcular a derivada

y=

y' =

f"(x)g(x) — f(x)g"(x) g 2 (x)

y = ln x => y' = 1 / x

y = e x => y' = e x

y = sen x => y' = cos x

y = cos x => y' = -sen x

y = tg x => y' = 1 / cos 2 x

y = ctg x => y' = - 1 / sin 2 x

y = arco seno x

=>

y' =

y = arcos x

=>

y' =

RESPONDA: temos duas funções h(x) = x 10 e g(x) = 4,15 + cos x
a função f(x) é h(x) dividida por g(x).

Cálculo diferencial de funções

h "(x) \u003d 10x 9 g" (x) \u003d 0 - sen x \u003d -sen x

Mais sobre derivativos nas páginas do fórum matemático

Fórum sobre derivativos

O que é um derivado

O conceito de derivação

A derivada é o conceito mais importante da análise matemática. Caracteriza a mudança na função do argumento x em algum ponto. Além disso, a própria derivada é uma função do argumento x

Função derivada em um ponto é chamado de limite (se existir e for finito) da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento, desde que este último tenda a zero.

Os mais comuns são os seguintes notação derivada :

Exemplo 1 Tirando vantagem definição da derivada, encontre a derivada da função

Solução. A partir da definição da derivada segue o seguinte esquema para seu cálculo.

Vamos dar ao argumento um incremento (delta) e encontrar o incremento da função:

Vamos encontrar a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento:

Vamos calcular o limite dessa razão sob a condição de que o incremento do argumento tenda a zero, ou seja, a derivada requerida na condição do problema:

O significado físico da derivada

Para conceito de derivado liderou o estudo de Galileu Galilei sobre a lei da queda livre dos corpos e, em um sentido mais amplo, o problema da velocidade instantânea do movimento retilíneo não uniforme de um ponto.

No entanto, o movimento de um corpo em queda livre é claramente desigual. Velocidade v a queda está aumentando constantemente. E a velocidade média não é mais suficiente para caracterizar a velocidade do movimento em vários trechos do caminho. Essa característica é tanto mais precisa quanto menor o intervalo de tempo.

Função derivada

Portanto, o seguinte conceito é introduzido: a velocidade instantânea do movimento retilíneo (ou a velocidade em um dado momento de tempo t) é chamado de limite de velocidade média em:

(desde que este limite exista e seja finito).

Então acontece que a velocidade instantânea é o limite da razão do incremento da função s(t) para o incremento do argumento t em Esta é a derivada, que em termos gerais é escrita da seguinte forma:.

.

A solução do problema designado é significado físico da derivada . Então a derivada da função s=f(x) no ponto x chama-se o limite (se existir e for finito) do incremento da função ao incremento do argumento, desde que este último tenda a zero.

Exemplo 2 Encontre a derivada de uma função

Solução. A partir da definição da derivada segue o seguinte esquema para seu cálculo.

Etapa 1. Vamos incrementar o argumento e encontrar

Etapa 2. Encontre o incremento da função:

Etapa 3. Encontre a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento:

Etapa 4. Calcule o limite dessa razão em , ou seja, a derivada:

Não tem tempo para se aprofundar na solução? Você pode encomendar um trabalho!

O significado geométrico da derivada

Se existir

em seguida, uma linha reta com uma inclinação

passando pelo ponto é chamado de posição limite da secante SENHOR em (ou em).

Tangente ao gráfico de uma função em um ponto M chamada de posição limite da secante SENHOR para , ou, que é o mesmo para .

Segue da definição que para a existência de uma tangente é suficiente que haja um limite

,

além disso, o limite é igual ao ângulo de inclinação da tangente ao eixo.

Agora vamos dar uma definição precisa de uma tangente.

Tangente ao gráfico de uma função em um ponto é chamada de linha reta que passa pelo ponto e tem uma inclinação, ou seja, reta cuja equação

Desta definição segue que função derivada igual à inclinação da tangente ao gráfico desta função no ponto com a abcissa x. Este é o significado geométrico da derivada:

onde é o ângulo de inclinação da tangente ao eixo x, ou seja. a inclinação da tangente.

Exemplo 3 Encontre a derivada da função e o valor desta derivada em .

Solução. Vamos usar o esquema mostrado no exemplo 1.

A expressão sob o sinal de limite não está definida em (incerteza da forma 0/0), então a transformamos eliminando a irracionalidade no numerador e reduzindo a fração:

Vamos encontrar o valor da derivada em:

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Faça um teste sobre Derivativo, diferencial e sua aplicação

Todo o bloco "Derivativo"

Esta introdução permitirá que você:

- compreender a essência das tarefas simples com uma derivada;

- resolva com sucesso essas tarefas muito simples;

— prepare-se para aulas mais sérias sobre a derivada.

Em primeiro lugar, uma agradável surpresa.

A definição estrita da derivada é baseada na teoria dos limites, e a coisa é bastante complicada. É perturbador. Mas a aplicação prática da derivada, via de regra, não exige um conhecimento tão extenso e profundo!

Para completar com sucesso a maioria das tarefas na escola e na universidade, é suficiente saber apenas alguns termos- compreender a tarefa, e apenas algumas regras- para resolvê-lo. E é isso. Isso me faz feliz.

Vamos nos conhecer?)

Termos e designações.

Existem muitas operações matemáticas na matemática elementar. Adição, subtração, multiplicação, exponenciação, logaritmo, etc. Se mais uma operação for adicionada a essas operações, a matemática elementar se tornará superior. Essa nova operação é chamada diferenciação. A definição e o significado desta operação serão discutidos em lições separadas.

Aqui é importante entender que a diferenciação é apenas uma operação matemática em uma função. Pegamos qualquer função e, de acordo com certas regras, a transformamos. O resultado é uma nova função. Essa nova função é chamada: derivado.

Diferenciação— ação em uma função.

Derivadoé o resultado desta ação.

Assim como, por exemplo, somaé o resultado da adição. Ou privadoé o resultado da divisão.

Conhecendo os termos, você pode pelo menos entender as tarefas.) A redação é a seguinte: encontrar a derivada de uma função; tome a derivada; diferenciar a função; calcular derivada etc. é tudo mesmo. Claro, existem tarefas mais complexas, onde encontrar a derivada (diferenciação) será apenas um dos passos na resolução da tarefa.

A derivada é indicada por um traço no canto superior direito acima da função. Assim: você ou f"(x) ou S"(t) e assim por diante.

ler y traço, ef traço de x, es traço de te, bem, você entendeu...)

Um primo também pode denotar a derivada de uma função específica, por exemplo: (2x+3)', (x 3 )’ , (sinx)' etc.

Muitas vezes, a derivada é denotada usando diferenciais, mas não consideraremos essa notação nesta lição.

Suponha que aprendemos a entender as tarefas. Não há mais nada - para aprender a resolvê-los.) Deixe-me lembrá-lo novamente: encontrar a derivada é transformação de uma função de acordo com certas regras. Essas regras são surpreendentemente poucas.

Para encontrar a derivada de uma função, você só precisa saber três coisas. Três pilares sobre os quais assenta toda a diferenciação. Aqui estão as três baleias:

1. Tabela de derivados (fórmulas de diferenciação).

2. Regras de diferenciação.

3. Derivada de uma função complexa.

Vamos começar em ordem. Nesta lição, consideraremos a tabela de derivadas.

Tabela derivada.

O mundo tem um número infinito de funções. Entre este conjunto existem funções que são mais importantes para a aplicação prática. Essas funções estão em todas as leis da natureza. A partir dessas funções, como dos tijolos, você pode construir todas as outras. Essa classe de funções é chamada funções elementares. São essas funções que são estudadas na escola - linear, quadrática, hipérbole, etc.

Diferenciação de funções "do zero", ou seja, baseado na definição da derivada e na teoria dos limites - uma coisa bastante demorada. E os matemáticos também são pessoas, sim, sim!) Então eles simplificaram suas vidas (e nós). Eles calcularam derivadas de funções elementares antes de nós. O resultado é uma tabela de derivadas, onde tudo está pronto.)

Aqui está, esta placa para as funções mais populares. À esquerda está a função elementar, à direita está sua derivada.

Recomendo prestar atenção ao terceiro grupo de funções nesta tabela de derivadas. A derivada de uma função potência é uma das fórmulas mais comuns, se não a mais comum! A dica está clara?) Sim, é desejável saber a tabela de derivadas de cor. Aliás, isso não é tão difícil quanto parece. Tente resolver mais exemplos, a própria tabela será lembrada!)

Encontrar o valor tabular da derivada, como você entende, não é a tarefa mais difícil. Portanto, muitas vezes em tais tarefas existem chips adicionais. Seja na formulação da tarefa, seja na função original, que não parece estar na tabela...

Vejamos alguns exemplos:

1. Encontre a derivada da função y = x 3

Não existe tal função na tabela. Mas existe uma derivada geral da função potência (terceiro grupo). No nosso caso, n=3. Então, substituímos o triplo em vez de n e anotamos cuidadosamente o resultado:

(x 3) ' = 3x 3-1 = 3x 2

Isso é tudo o que há para isso.

Responda: y' = 3x 2

2. Encontre o valor da derivada da função y = sinx no ponto x = 0.

Esta tarefa significa que você deve primeiro encontrar a derivada do seno e, em seguida, substituir o valor x = 0 a esta mesma derivada. É nessa ordem! Caso contrário, acontece que eles imediatamente substituem zero na função original ... Pedem-nos para encontrar não o valor da função original, mas o valor seu derivado. Deixe-me lembrá-lo de que a derivada já é uma nova função.

Na placa encontramos o seno e a derivada correspondente:

y' = (sinx)' = cosx

Substitua zero na derivada:

y"(0) = cos 0 = 1

Esta será a resposta.

3. Diferencie a função:

O que inspira?) Não existe nem perto de tal função na tabela de derivadas.

Deixe-me lembrá-lo de que derivar uma função é simplesmente encontrar a derivada dessa função. Se você esquecer a trigonometria elementar, encontrar a derivada de nossa função é bastante problemático.

Derivada, definições e conceitos básicos.

A mesa não ajuda...

Mas se vemos que nossa função é cosseno de um ângulo duplo, então tudo fica imediatamente melhor!

Sim Sim! Lembre-se que a transformação da função original antes da diferenciação bastante aceitável! E isso torna a vida muito mais fácil. Pela fórmula do cosseno de um ângulo duplo:

Aqueles. nossa função complicada não é nada além de y = cox. E esta é uma função de tabela. Obtemos imediatamente:

Responda: y' = -sen x.

Exemplo para graduados e estudantes avançados:

4. Encontre a derivada de uma função:

Não existe tal função na tabela de derivadas, é claro. Mas se você se lembrar de matemática elementar, ações com potências... Então é bem possível simplificar essa função. Assim:

E x elevado a um décimo já é uma função tabular! O terceiro grupo, n=1/10. Diretamente de acordo com a fórmula e escreva:

Isso é tudo. Esta será a resposta.

Espero que com a primeira baleia de diferenciação - a tabela de derivativos - tudo fique claro. Resta lidar com as duas baleias restantes. Na próxima lição, aprenderemos as regras de diferenciação.

Próxima página: Como encontrar a derivada? Regras de diferenciação. >>>>

Tema. Derivado. Significado geométrico e mecânico da derivada

Se esse limite existir, então a função é dita diferenciável em um ponto. A derivada de uma função é denotada (fórmula 2).

1. O significado geométrico da derivada. Considere o gráfico da função. Pode-se ver na Fig. 1 que para quaisquer dois pontos A e B do gráfico da função, a fórmula 3) pode ser escrita. Nele - o ângulo de inclinação da secante AB.

Assim, a razão da diferença é igual à inclinação da secante. Se fixamos o ponto A e movemos o ponto B em direção a ele, então ele diminui indefinidamente e se aproxima de 0, e a secante AB se aproxima da tangente AC. Portanto, o limite da relação de diferença é igual à inclinação da tangente no ponto A. Daí a conclusão segue.

A derivada de uma função em um ponto é a inclinação da tangente ao gráfico dessa função naquele ponto. Este é o significado geométrico da derivada.

1. Equação tangente . Vamos derivar a equação da tangente ao gráfico da função no ponto. No caso geral, a equação de uma reta com inclinação tem a forma: . Para encontrar b, usamos o fato de que a tangente passa pelo ponto A: . Isso implica: . Substituindo esta expressão por b, obtemos a equação tangente (fórmula 4).