A geometria é uma ciência muito multifacetada. Desenvolve a lógica, a imaginação e a inteligência. Claro, devido à sua complexidade e grande quantidade teoremas e axiomas, os alunos nem sempre gostam. Além disso, é necessário provar constantemente suas conclusões usando padrões e regras geralmente aceitos.

Ângulos adjacentes e verticais são parte integrante da geometria. Certamente muitos alunos simplesmente os adoram porque suas propriedades são claras e fáceis de provar.

Formação de cantos

Qualquer ângulo é formado pela interseção de duas linhas ou traçando dois raios de um ponto. Eles podem ser chamados de uma ou três letras, que designam sucessivamente os pontos de construção do canto.

Os ângulos são medidos em graus e podem (dependendo do seu valor) ser chamados de forma diferente. Então, há um ângulo reto, agudo, obtuso e desdobrado. Cada um dos nomes corresponde a uma certa medida de grau ou seu intervalo.

Um ângulo agudo é um ângulo cuja medida não excede 90 graus.

Um ângulo obtuso é um ângulo maior que 90 graus.

Um ângulo é chamado reto quando sua medida é 90.

No caso em que é formado por uma linha reta contínua, e sua medida de grau é 180, é chamado de desdobrado.

Os ângulos que têm um lado comum, cujo segundo lado continua um ao outro, são chamados de adjacentes. Eles podem ser afiados ou contundentes. A intersecção da linha forma ângulos adjacentes. Suas propriedades são as seguintes:

1. A soma desses ângulos será igual a 180 graus (existe um teorema que prova isso). Portanto, um deles pode ser facilmente calculado se o outro for conhecido.
2. Segue-se do primeiro ponto que ângulos adjacentes não podem ser formados por dois ângulos obtusos ou dois agudos.

Graças a essas propriedades, sempre se pode calcular a medida em grau de um ângulo dado o valor de outro ângulo, ou pelo menos a razão entre eles.

Ângulos verticais

Ângulos cujos lados são continuações um do outro são chamados de verticais. Qualquer uma de suas variedades pode atuar como tal par. Os ângulos verticais são sempre iguais entre si.

Eles são formados quando as linhas se cruzam. Juntamente com eles, os cantos adjacentes estão sempre presentes. Um ângulo pode ser adjacente para um e vertical para o outro.

Ao cruzar uma linha arbitrária, vários outros tipos de ângulos também são considerados. Essa linha é chamada de secante e forma os ângulos correspondentes, unilaterais e cruzados. Eles são iguais entre si. Eles podem ser vistos à luz das propriedades que os ângulos verticais e adjacentes possuem.

Assim, o tema dos cantos parece ser bastante simples e compreensível. Todas as suas propriedades são fáceis de lembrar e provar. Resolver problemas não é difícil, desde que os ângulos correspondam a um valor numérico. Além disso, quando o estudo do sin e cos começar, você terá que memorizar muitas fórmulas complexas, suas conclusões e consequências. Até então, você pode apenas desfrutar de quebra-cabeças fáceis nos quais precisa encontrar cantos adjacentes.

Dois ângulos são chamados de adjacentes se tiverem um lado em comum e os outros lados desses ângulos forem raios complementares. Na figura 20, os ângulos AOB e BOC são adjacentes.

A soma dos ângulos adjacentes é 180°

Teorema 1. A soma dos ângulos adjacentes é 180°.

Prova. O feixe OB (ver Fig. 1) passa entre os lados do ângulo desenvolvido. É por isso ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Do Teorema 1 segue-se que se dois ângulos são iguais, então os ângulos adjacentes a eles são iguais.

Ângulos verticais são iguais

Dois ângulos são chamados verticais se os lados de um ângulo são raios complementares dos lados do outro. Os ângulos AOB e COD, BOD e AOC, formados na interseção de duas retas, são verticais (Fig. 2).

Teorema 2. Os ângulos verticais são iguais.

Prova. Considere os ângulos verticais AOB e COD (ver Fig. 2). O ângulo BOD é adjacente a cada um dos ângulos AOB e COD. Pelo Teorema 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Daí concluímos que ∠ AOB = ∠ COD.

Corolário 1. Um ângulo adjacente a um ângulo reto é um ângulo reto.

Considere duas retas AC e BD que se cruzam (Fig. 3). Eles formam quatro cantos. Se um deles é reto (ângulo 1 na Fig. 3), então os outros ângulos também são retos (ângulos 1 e 2, 1 e 4 são adjacentes, ângulos 1 e 3 são verticais). Nesse caso, diz-se que essas linhas se cruzam em ângulos retos e são chamadas de perpendiculares (ou mutuamente perpendiculares). A perpendicularidade das linhas AC e BD é denotada como segue: AC ⊥ BD.

A bissetriz perpendicular de um segmento é uma reta perpendicular a esse segmento e passando pelo seu ponto médio.

AN - perpendicular à linha

Considere uma reta a e um ponto A não sobre ela (Fig. 4). Conecte o ponto A com um segmento ao ponto H com uma linha reta a. Um segmento AH é chamado de perpendicular traçada do ponto A à linha a se as linhas AN e a são perpendiculares. O ponto H é chamado de base da perpendicular.

Quadrado de desenho

O seguinte teorema é verdadeiro.

Teorema 3. De qualquer ponto que não esteja sobre uma linha, pode-se traçar uma perpendicular a essa linha e, além disso, apenas uma.

Para desenhar uma perpendicular de um ponto a uma linha reta no desenho, um quadrado de desenho é usado (Fig. 5).

Comente. A declaração do teorema geralmente consiste em duas partes. Uma parte fala sobre o que é dado. Esta parte é chamada de condição do teorema. A outra parte fala sobre o que precisa ser comprovado. Esta parte é chamada de conclusão do teorema. Por exemplo, a condição do Teorema 2 é ângulos verticais; conclusão - esses ângulos são iguais.

Qualquer teorema pode ser expresso em detalhes em palavras, de modo que sua condição comece com a palavra "se" e a conclusão com a palavra "então". Por exemplo, o Teorema 2 pode ser declarado em detalhes da seguinte forma: "Se dois ângulos são verticais, então eles são iguais."

Exemplo 1 Um dos ângulos adjacentes mede 44°. O outro é igual a quê?

Solução. Denote a medida de grau de outro ângulo por x, então de acordo com o Teorema 1.
44° + x = 180°.
Resolvendo a equação resultante, descobrimos que x \u003d 136 °. Portanto, o outro ângulo é de 136°.

Exemplo 2 Deixe o ângulo COD na Figura 21 ser de 45°. O que são os ângulos AOB e AOC?

Solução. Os ângulos COD e AOB são verticais, portanto, pelo Teorema 1.2 são iguais, ou seja, ∠ AOB = 45°. O ângulo AOC é adjacente ao ângulo COD, portanto, pelo Teorema 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Exemplo 3 Encontre ângulos adjacentes se um deles é 3 vezes o outro.

Solução. Denote a medida em grau do menor ângulo por x. Então a medida em grau do maior ângulo será Zx. Como a soma dos ângulos adjacentes é 180° (Teorema 1), então x + 3x = 180°, onde x = 45°.
Portanto, os ângulos adjacentes são 45° e 135°.

Exemplo 4 A soma de dois ângulos verticais é 100°. Encontre o valor de cada um dos quatro ângulos.

Solução. Suponhamos que a condição do problema corresponda à figura 2. Os ângulos verticais COD a AOB são iguais (Teorema 2), o que significa que seus graus também são iguais. Portanto, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (sua soma é 100° por condição). O ângulo BOD (também o ângulo AOC) é adjacente ao ângulo COD e, portanto, pelo Teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

cantos adjacentes- dois ângulos que têm um lado em comum e os outros dois são continuações um do outro.

A soma dos ângulos adjacentes é 180°

Ângulos verticais são dois ângulos em que os lados de um ângulo são a continuação dos lados do outro.

Os ângulos verticais são iguais.

2. Sinais de igualdade de triângulos:

Eu assino: Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são respectivamente iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.

Eu assino: Se os lados e dois ângulos adjacentes a ele de um triângulo são respectivamente iguais ao lado e dois ângulos adjacentes a ele de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes.

III sinal: Se três lados de um triângulo são respectivamente iguais a três lados de outro triângulo, então esses triângulos são congruentes

3. Sinais de paralelismo de duas linhas: ângulos unilaterais, cruzados e correspondentes:

Duas retas em um plano são chamadas paralelo se eles não se cruzam.

Ângulos cruzados: 3 e 5, 4 e 6;

Cantos unilaterais: 4 e 5, 3 e 6; arroz. página 55

Ângulos correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7;

Teorema: Se na interseção de duas linhas de uma transversal, os ângulos de inclinação são iguais, então as linhas são paralelas.

Teorema: Se na interseção de duas linhas de uma secante, os ângulos correspondentes são iguais, então as linhas são paralelas.

Teorema: Se na interseção de duas retas de uma secante a soma dos ângulos de um lado for igual a 180°, então as retas são paralelas.

Teorema: se duas retas paralelas são interceptadas por uma secante, então os ângulos transversais são iguais

Teorema: se duas retas paralelas são interceptadas por uma secante, então os ângulos correspondentes são iguais

Teorema: se duas retas paralelas são interceptadas por uma secante, então a soma dos ângulos de um lado é 180°

4. A soma dos ângulos de um triângulo:

A soma dos ângulos de um triângulo é 180°

5. Propriedades de um triângulo isósceles:

Teorema: Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais.

Teorema: Em um triângulo isósceles, a bissetriz desenhada para a base é a mediana e a altura (a mediana é vice-versa), (a bissetriz divide o ângulo, a mediana divide o lado, a altura forma um ângulo de 90 °)

Sinal: Se dois ângulos de um triângulo são iguais, então o triângulo é isósceles.

6. Triângulo Retângulo:

triângulo retânguloé um triângulo no qual um ângulo é um ângulo reto (isto é, é 90 graus)

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é maior que o cateto

1. A soma de dois ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90°

2. A perna de um triângulo retângulo, oposta a um ângulo de 30 °, é igual à metade da hipotenusa

3. Se a perna de um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa, o ângulo oposto a essa perna é de 30 °

7. Triângulo equilátero:

TRIÂNGULO EQUILÁTERO, uma figura plana com três lados de igual comprimento; os três ângulos internos formados pelos lados também são iguais e iguais a 60 °C.

8. Sin, cos, tg, ctg:

Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= ,ctg=

9. Sinais de um quadrilátero^

A soma dos ângulos do quadrilátero é 2 π = 360°.

Um quadrilátero pode ser inscrito em um círculo se e somente se a soma dos ângulos opostos for 180°

10. Sinais de semelhança de triângulos:

Eu assino: se dois ângulos de um triângulo são respectivamente iguais a dois ângulos de outro, então esses triângulos são semelhantes

Eu assino: se dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo e os ângulos entre esses lados são iguais, então esses triângulos são semelhantes.

III sinal: se três lados de um triângulo são proporcionais a três lados de outro, então esses triângulos são semelhantes

11. Fórmulas:

· Teorema de Pitágoras: a 2 +b 2 =c 2

· O teorema do pecado:

· teorema cos:

· 3 fórmulas de área de triângulo:

· Área de um triângulo retângulo: S= S=

· Área de um triângulo equilátero:

· Área do paralelogramo: S=ah

· Área quadrada: S = a2

· Área do trapézio:

· Área do losango:

· Área do retângulo: S=ab

· Triângulo Equilátero. Altura: h=

· Unidade trigonométrica: sen 2a+cos 2a=1

· Linha do meio do triângulo: S=

· Linha mediana do trapézio:MK=

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Data de criação da página: 12-12-2017

CAPÍTULO I.

CONCEITOS BÁSICOS.

§onze. ÂNGULOS ADJACENTES E VERTICAIS.

1. Cantos adjacentes.

Se continuarmos o lado de algum canto além de seu vértice, obteremos dois cantos (Fig. 72): / um sol e / SVD, em que um lado BC é comum, e os outros dois AB e BD formam uma linha reta.

Dois ângulos que têm um lado em comum e os outros dois formam uma linha reta são chamados de ângulos adjacentes.

Os ângulos adjacentes também podem ser obtidos desta maneira: se traçarmos um raio de algum ponto em uma linha reta (não estando em uma determinada linha reta), obteremos ângulos adjacentes.
Por exemplo, / ADF e / FDÂ - cantos adjacentes (Fig. 73).

Os cantos adjacentes podem ter uma grande variedade de posições (Fig. 74).

Ângulos adjacentes somados formam um ângulo reto, então a umma de dois ângulos adjacentes é 2d.

Portanto, um ângulo reto pode ser definido como um ângulo igual ao seu ângulo adjacente.

Conhecendo o valor de um dos ângulos adjacentes, podemos encontrar o valor do outro ângulo adjacente.

Por exemplo, se um dos ângulos adjacentes é 3/5 d, então o segundo ângulo será igual a:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Ângulos verticais.

Se estendermos os lados de um ângulo além de seu vértice, obtemos ângulos verticais. No desenho 75, os ângulos EOF e AOC são verticais; os ângulos AOE e COF também são verticais.

Dois ângulos são chamados verticais se os lados de um ângulo são extensões dos lados do outro ângulo.

Deixar / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Adjacente a ele / 2 será igual a 2 d- 7 / 8 d, ou seja, 1 1/8 d.

Da mesma forma, você pode calcular o que são iguais a / 3 e / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Nós vemos que / 1 = / 3 e / 2 = / 4.

Você pode resolver vários outros dos mesmos problemas e, a cada vez, obter o mesmo resultado: os ângulos verticais são iguais entre si.

No entanto, para garantir que os ângulos verticais sejam sempre iguais entre si, não basta considerar exemplos numéricos individuais, pois as conclusões tiradas de exemplos particulares às vezes podem ser errôneas.

É necessário verificar a validade da propriedade dos ângulos verticais pelo raciocínio, pela prova.

A prova pode ser realizada da seguinte forma (Fig. 78):

/ um +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(como a soma dos ângulos adjacentes é 2 d).

/ um +/ c = / b +/ c

(uma vez que o lado esquerdo desta igualdade é igual a 2 d, e seu lado direito também é igual a 2 d).

Esta igualdade inclui o mesmo ângulo Com.

Se subtrairmos igualmente de valores iguais, ele permanecerá igual. O resultado será: / uma = / b, ou seja, os ângulos verticais são iguais entre si.

Ao considerar a questão dos ângulos verticais, primeiro explicamos quais ângulos são chamados verticais, ou seja, demos definição cantos verticais.

Em seguida, fizemos um julgamento (declaração) sobre a igualdade dos ângulos verticais e ficamos convencidos da validade desse julgamento por prova. Tais julgamentos, cuja validade deve ser provada, são chamados teoremas. Assim, nesta seção, demos a definição de ângulos verticais e também enunciamos e provamos um teorema sobre suas propriedades.

No futuro, ao estudar geometria, teremos que nos deparar constantemente com definições e provas de teoremas.

3. A soma dos ângulos que têm um vértice comum.

no desenho 79 / 1, / 2, / 3 e / 4 estão localizados no mesmo lado de uma linha reta e têm um vértice comum nesta linha reta. Em suma, esses ângulos formam um ângulo reto, ou seja,
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

no desenho 80 / 1, / 2, / 3, / 4 e / 5 têm um topo comum. Em suma, esses ângulos formam um ângulo completo, ou seja, / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Exercícios.

1. Um dos ângulos adjacentes é 0,72 d. Calcule o ângulo formado pelas bissetrizes desses ângulos adjacentes.

2. Prove que as bissetrizes de dois ângulos adjacentes formam um ângulo reto.

3. Prove que se dois ângulos são iguais, então seus ângulos adjacentes também são iguais.

4. Quantos pares de cantos adjacentes existem no desenho 81?

5. Um par de ângulos adjacentes pode consistir em dois ângulos agudos? de dois cantos obtusos? de ângulos retos e obtusos? de um ângulo reto e agudo?

6. Se um dos ângulos adjacentes for reto, o que se pode dizer sobre o valor do ângulo adjacente a ele?

7. Se na interseção de duas retas existe um ângulo reto, o que se pode dizer sobre o tamanho dos outros três ângulos?