Inicialmente, sendo apenas uma coleção de informações e observações empíricas do jogo de dados, a teoria da probabilidade tornou-se uma ciência sólida. Fermat e Pascal foram os primeiros a dar-lhe uma estrutura matemática.

Das reflexões sobre o eterno à teoria da probabilidade

Dois indivíduos a quem a teoria da probabilidade deve muitas fórmulas fundamentais, Blaise Pascal e Thomas Bayes, são conhecidos como pessoas profundamente religiosas, este último era um ministro presbiteriano. Ao que parece, o desejo desses dois cientistas de provar a falácia da opinião sobre uma certa Fortuna, dando boa sorte aos seus favoritos, deu impulso às pesquisas nessa área. Afinal, na verdade, qualquer jogo de azar, com suas vitórias e derrotas, é apenas uma sinfonia de princípios matemáticos.

Graças à excitação do Chevalier de Mere, que era igualmente um jogador e uma pessoa que não era indiferente à ciência, Pascal foi forçado a encontrar uma maneira de calcular a probabilidade. De Mere estava interessado nesta pergunta: "Quantas vezes você precisa jogar dois dados em pares para que a probabilidade de obter 12 pontos exceda 50%?". A segunda pergunta que interessou extremamente o senhor: "Como dividir a aposta entre os participantes do jogo inacabado?" É claro que Pascal respondeu com sucesso a ambas as perguntas de De Mere, que se tornou o iniciador involuntário do desenvolvimento da teoria da probabilidade. É interessante que a pessoa de Mere tenha permanecido conhecida nesta área, e não na literatura.

Anteriormente, nenhum matemático ainda tentou calcular as probabilidades de eventos, pois acreditava-se que esta era apenas uma solução de adivinhação. Blaise Pascal deu a primeira definição da probabilidade de um evento e mostrou que este é um valor específico que pode ser justificado matematicamente. A teoria da probabilidade tornou-se a base da estatística e é amplamente utilizada na ciência moderna.

O que é aleatoriedade

Se considerarmos um teste que pode ser repetido um número infinito de vezes, podemos definir um evento aleatório. Este é um dos possíveis resultados da experiência.

A experiência é a implementação de ações específicas em condições constantes.

Para poder trabalhar com os resultados da experiência, os eventos costumam ser denotados pelas letras A, B, C, D, E...

Probabilidade de um evento aleatório

Para poder avançar para a parte matemática da probabilidade, é necessário definir todos os seus componentes.

A probabilidade de um evento é uma medida numérica da possibilidade de ocorrência de algum evento (A ou B) como resultado de uma experiência. A probabilidade é denotada como P(A) ou P(B).

A teoria da probabilidade é:

• confiável o evento é garantido como resultado do experimento Р(Ω) = 1;
• impossível o evento nunca pode acontecer Р(Ø) = 0;
• aleatória o evento está entre o certo e o impossível, ou seja, a probabilidade de sua ocorrência é possível, mas não garantida (a probabilidade de um evento aleatório está sempre dentro de 0≤P(A)≤1).

Relações entre eventos

Tanto um como a soma dos eventos A + B são considerados quando o evento é contado na implementação de pelo menos um dos componentes, A ou B, ou ambos - A e B.

Em relação uns aos outros, os eventos podem ser:

• Igualmente possível.
• compatível.
• Incompatível.
• Oposto (mutuamente exclusivo).
• Dependente.

Se dois eventos podem ocorrer com igual probabilidade, então eles igualmente possível.

Se a ocorrência do evento A não anular a probabilidade de ocorrência do evento B, então eles compatível.

Se os eventos A e B nunca ocorrem ao mesmo tempo no mesmo experimento, então eles são chamados incompatível. O lançamento de uma moeda é um bom exemplo: dar coroa é automaticamente não dar cara.

A probabilidade para a soma de tais eventos incompatíveis consiste na soma das probabilidades de cada um dos eventos:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Se a ocorrência de um evento torna impossível a ocorrência de outro, então eles são chamados de opostos. Em seguida, um deles é designado como A e o outro - Â (lido como "não A"). A ocorrência do evento A significa que não ocorreu Â. Esses dois eventos formam um grupo completo com uma soma de probabilidades igual a 1.

Eventos dependentes têm influência mútua, diminuindo ou aumentando a probabilidade um do outro.

Relações entre eventos. Exemplos

É muito mais fácil entender os princípios da teoria da probabilidade e a combinação de eventos usando exemplos.

O experimento que será realizado é tirar as bolas da caixa, e o resultado de cada experimento é um resultado elementar.

Um evento é um dos resultados possíveis de uma experiência - uma bola vermelha, uma bola azul, uma bola com o número seis, etc.

Teste número 1. Existem 6 bolas, três das quais são azuis com números ímpares e as outras três são vermelhas com números pares.

Teste número 2. Existem 6 bolas azuis com números de um a seis.

Com base neste exemplo, podemos nomear combinações:

• Evento confiável. Em espanhol No. 2, o evento "pegue a bola azul" é confiável, pois a probabilidade de sua ocorrência é 1, pois todas as bolas são azuis e não pode haver erro. Já o evento "pegue a bola com o número 1" é aleatório.
• Evento impossível. Em espanhol No. 1 com bolas azuis e vermelhas, o evento "pegue a bola roxa" é impossível, pois a probabilidade de sua ocorrência é 0.
• Eventos equivalentes. Em espanhol No. 1, os eventos “pegue a bola com o número 2” e “pegue a bola com o número 3” são igualmente prováveis, e os eventos “pegue a bola com o número par” e “pegue a bola com o número 2” ” têm probabilidades diferentes.
• Eventos compatíveis. Obter um seis no processo de lançar um dado duas vezes seguidas são eventos compatíveis.
• Eventos incompatíveis. No mesmo espanhol Os eventos nº 1 "pegue a bola vermelha" e "pegue a bola com um número ímpar" não podem ser combinados na mesma experiência.
• eventos opostos. O exemplo mais marcante disso é o lançamento de moedas, onde tirar cara é o mesmo que não tirar coroa, e a soma de suas probabilidades é sempre 1 (grupo completo).
• Eventos dependentes. Então, em espanhol No. 1, você pode definir o objetivo de extrair uma bola vermelha duas vezes seguidas. Extraí-lo ou não extraí-lo na primeira vez afeta a probabilidade de extraí-lo na segunda vez.

Pode-se observar que o primeiro evento afeta significativamente a probabilidade do segundo (40% e 60%).

Fórmula de probabilidade do evento

A transição da adivinhação para os dados exatos ocorre transferindo o tópico para o plano matemático. Ou seja, julgamentos sobre um evento aleatório como "alta probabilidade" ou "probabilidade mínima" podem ser traduzidos em dados numéricos específicos. Já é permitido avaliar, comparar e introduzir esse material em cálculos mais complexos.

Do ponto de vista do cálculo, a definição da probabilidade de um evento é a razão entre o número de resultados positivos elementares e o número de todos os resultados possíveis da experiência em relação a um determinado evento. A probabilidade é denotada por P (A), onde P significa a palavra "probabilidade", que é traduzida do francês como "probabilidade".

Assim, a fórmula para a probabilidade de um evento é:

Onde m é o número de resultados favoráveis ​​para o evento A, n é a soma de todos os resultados possíveis para esta experiência. A probabilidade de um evento está sempre entre 0 e 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Cálculo da probabilidade de um evento. Exemplo

Vamos pegar o espanhol. Nº 1 com bolas, que é descrito anteriormente: 3 bolas azuis com números 1/3/5 e 3 bolas vermelhas com números 2/4/6.

Com base neste teste, várias tarefas diferentes podem ser consideradas:

• A - queda de bola vermelha. Existem 3 bolas vermelhas e existem 6 variantes no total. Este é o exemplo mais simples, em que a probabilidade de um evento é P(A)=3/6=0,5.
• B - descartando um número par. Existem 3 (2,4,6) números pares no total, e o número total de opções numéricas possíveis é 6. A probabilidade deste evento é P(B)=3/6=0,5.
• C - perda de um número maior que 2. Existem 4 opções (3,4,5,6) do número total de resultados possíveis 6. A probabilidade do evento C é P(C)=4/6= 0,67.

Como pode ser visto pelos cálculos, o evento C tem maior probabilidade, pois o número de resultados positivos possíveis é maior do que em A e B.

Eventos incompatíveis

Tais eventos não podem aparecer simultaneamente na mesma experiência. Como em espanhol No. 1, é impossível obter uma bola azul e uma vermelha ao mesmo tempo. Ou seja, você pode obter uma bola azul ou vermelha. Da mesma forma, um número par e um número ímpar não podem aparecer em um dado ao mesmo tempo.

A probabilidade de dois eventos é considerada como a probabilidade de sua soma ou produto. A soma de tais eventos A + B é considerada um evento que consiste no aparecimento de um evento A ou B e o produto de seus AB - no aparecimento de ambos. Por exemplo, o aparecimento de dois seis de uma só vez nas faces de dois dados em um lance.

A soma de vários eventos é um evento que implica a ocorrência de pelo menos um deles. O produto de vários eventos é a ocorrência conjunta de todos eles.

Na teoria da probabilidade, como regra, o uso da união "e" denota a soma, a união "ou" - multiplicação. Fórmulas com exemplos ajudarão você a entender a lógica da adição e multiplicação na teoria das probabilidades.

Probabilidade da soma de eventos incompatíveis

Se a probabilidade de eventos incompatíveis for considerada, então a probabilidade da soma dos eventos é igual à soma de suas probabilidades:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Por exemplo: calculamos a probabilidade de que em espanhol. No. 1 com bolas azuis e vermelhas vai cair um número entre 1 e 4. Vamos calcular não em uma ação, mas pela soma das probabilidades dos componentes elementares. Portanto, em tal experimento, existem apenas 6 bolas ou 6 de todos os resultados possíveis. Os números que satisfazem a condição são 2 e 3. A probabilidade de obter o número 2 é 1/6, a probabilidade do número 3 também é 1/6. A probabilidade de obter um número entre 1 e 4 é:

A probabilidade da soma de eventos incompatíveis de um grupo completo é 1.

Portanto, se no experimento com um cubo somarmos as probabilidades de obter todos os números, obteremos um.

Isso também vale para eventos opostos, por exemplo, no experimento com uma moeda, onde um de seus lados é o evento A e o outro é o evento oposto Â, como é conhecido,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Probabilidade de produzir eventos incompatíveis

A multiplicação de probabilidades é utilizada quando se considera a ocorrência de dois ou mais eventos incompatíveis em uma observação. A probabilidade de que os eventos A e B apareçam nele ao mesmo tempo é igual ao produto de suas probabilidades, ou:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Por exemplo, a probabilidade de que em No. 1 como resultado de duas tentativas, uma bola azul aparecerá duas vezes, igual a

Ou seja, a probabilidade de ocorrência de um evento quando, como resultado de duas tentativas com a extração de bolas, somente bolas azuis serão extraídas é igual a 25%. É muito fácil fazer experimentos práticos sobre este problema e ver se este é realmente o caso.

Eventos conjuntos

Os eventos são considerados conjuntos quando o aparecimento de um deles pode coincidir com o aparecimento do outro. Apesar de serem conjuntos, a probabilidade de eventos independentes é considerada. Por exemplo, lançar dois dados pode dar um resultado quando o número 6 cai em ambos. Embora os eventos tenham coincidido e surgido simultaneamente, eles são independentes um do outro - apenas um seis pode cair, o segundo dado não tem influência sobre ele .

A probabilidade de eventos conjuntos é considerada como a probabilidade de sua soma.

A probabilidade da soma dos eventos conjuntos. Exemplo

A probabilidade da soma dos eventos A e B, que são conjuntos em relação um ao outro, é igual à soma das probabilidades do evento menos a probabilidade de seu produto (ou seja, sua implementação conjunta):

Junta R. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Suponha que a probabilidade de acertar o alvo com um tiro seja 0,4. Então evento A - acertar o alvo na primeira tentativa, B - na segunda. Esses eventos são conjuntos, pois é possível que seja possível acertar o alvo tanto no primeiro quanto no segundo tiro. Mas os eventos não são dependentes. Qual é a probabilidade do evento acertar o alvo com dois tiros (pelo menos um)? De acordo com a fórmula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

A resposta à pergunta é: "A probabilidade de acertar o alvo com dois tiros é de 64%".

Esta fórmula para a probabilidade de um evento também pode ser aplicada a eventos incompatíveis, onde a probabilidade de ocorrência conjunta de um evento P(AB) = 0. Isso significa que a probabilidade da soma de eventos incompatíveis pode ser considerada um caso especial da fórmula proposta.

Geometria de probabilidade para maior clareza

Curiosamente, a probabilidade da soma dos eventos conjuntos pode ser representada como duas áreas A e B que se cruzam. Como você pode ver na imagem, a área de sua união é igual à área total menos a área de sua interseção. Essa explicação geométrica torna a fórmula aparentemente ilógica mais compreensível. Observe que as soluções geométricas não são incomuns na teoria da probabilidade.

A definição da probabilidade da soma de um conjunto (mais de dois) de eventos conjuntos é bastante trabalhosa. Para calculá-lo, você precisa usar as fórmulas fornecidas para esses casos.

Eventos dependentes

Eventos dependentes são chamados se a ocorrência de um (A) deles afeta a probabilidade de ocorrência do outro (B). Além disso, considera-se a influência tanto da ocorrência do evento A quanto de sua não ocorrência. Embora os eventos sejam chamados de dependentes por definição, apenas um deles é dependente (B). A probabilidade usual foi denotada como P(B) ou a probabilidade de eventos independentes. No caso de dependentes, um novo conceito é introduzido - a probabilidade condicional P A (B), que é a probabilidade do evento dependente B sob a condição de que o evento A (hipótese) tenha ocorrido, do qual depende.

Mas o evento A também é aleatório, portanto também tem uma probabilidade que deve e pode ser levada em conta nos cálculos. O exemplo a seguir mostrará como trabalhar com eventos dependentes e uma hipótese.

Exemplo de cálculo da probabilidade de eventos dependentes

Um bom exemplo para calcular eventos dependentes é um baralho de cartas padrão.

Usando o exemplo de um baralho de 36 cartas, considere os eventos dependentes. É necessário determinar a probabilidade de que a segunda carta retirada do baralho seja um naipe de ouros, se a primeira carta retirada for:

1. Pandeiro.
2. Outro terno.

Obviamente, a probabilidade do segundo evento B depende do primeiro A. Então, se a primeira opção for verdadeira, que é 1 carta (35) e 1 diamante (8) a menos no baralho, a probabilidade do evento B:

PA (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Se a segunda opção for verdadeira, existem 35 cartas no baralho e o número total de pandeiros (9) ainda é preservado, então a probabilidade do seguinte evento é B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Pode-se ver que se o evento A está condicionado ao fato de que a primeira carta é um diamante, então a probabilidade do evento B diminui e vice-versa.

Multiplicação de eventos dependentes

Com base no capítulo anterior, aceitamos o primeiro evento (A) como um fato, mas em essência, ele tem caráter aleatório. A probabilidade deste evento, ou seja, a extração de um pandeiro de um baralho de cartas, é igual a:

P(A) = 9/36=1/4

Uma vez que a teoria não existe por si só, mas é chamada para servir a propósitos práticos, é justo notar que na maioria das vezes é necessária a probabilidade de produzir eventos dependentes.

De acordo com o teorema sobre o produto das probabilidades de eventos dependentes, a probabilidade de ocorrência de eventos conjuntamente dependentes A e B é igual à probabilidade de um evento A multiplicada pela probabilidade condicional do evento B (dependendo de A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Então, no exemplo com um baralho, a probabilidade de tirar duas cartas com um naipe de ouros é:

9/36*8/35=0,0571 ou 5,7%

E a probabilidade de não extrair diamantes primeiro e depois diamantes é igual a:

27/36*9/35=0,19 ou 19%

Pode-se ver que a probabilidade de ocorrência do evento B é maior, desde que uma carta de naipe diferente de ouros seja retirada primeiro. Este resultado é bastante lógico e compreensível.

Probabilidade total de um evento

Quando um problema com probabilidades condicionais se torna multifacetado, não pode ser calculado por métodos convencionais. Quando há mais de duas hipóteses, a saber, A1, A2, ..., A n , .. forma um grupo completo de eventos sob a condição:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k = Ω.

Assim, a fórmula para a probabilidade total do evento B com um grupo completo de eventos aleatórios A1, A2, ..., A n é:

Um olhar para o futuro

A probabilidade de um evento aleatório é essencial em muitas áreas da ciência: econometria, estatística, física, etc. Como alguns processos não podem ser descritos deterministicamente, já que eles próprios são probabilísticos, são necessários métodos especiais de trabalho. A probabilidade de uma teoria de eventos pode ser usada em qualquer campo tecnológico como forma de determinar a possibilidade de um erro ou mau funcionamento.

Pode-se dizer que, ao reconhecer a probabilidade, de alguma forma damos um passo teórico para o futuro, olhando-o pelo prisma das fórmulas.

Na economia, assim como em outras áreas da atividade humana ou na natureza, constantemente temos que lidar com eventos que não podem ser previstos com precisão. Assim, o volume de vendas de mercadorias depende da demanda, que pode variar significativamente, e de uma série de outros fatores que são quase impossíveis de levar em conta. Portanto, ao organizar a produção e as vendas, deve-se prever o resultado de tais atividades com base na própria experiência anterior, ou experiência semelhante de outras pessoas, ou intuição, que também é amplamente baseada em dados experimentais.

Para avaliar de alguma forma o evento em questão, é necessário levar em consideração ou organizar especialmente as condições em que esse evento é registrado.

A implementação de certas condições ou ações para identificar o evento em questão é chamada experiência ou experimentar.

O evento é chamado aleatória se, como resultado do experimento, pode ou não ocorrer.

O evento é chamado autêntico, se necessariamente surgir como resultado dessa experiência, e impossível se não pode aparecer nesta experiência.

Por exemplo, a queda de neve em Moscou em 30 de novembro é um evento aleatório. O nascer do sol diário pode ser considerado um determinado evento. A queda de neve no equador pode ser vista como um evento impossível.

Um dos principais problemas na teoria da probabilidade é o problema de determinar uma medida quantitativa da possibilidade de um evento ocorrer.

Álgebra de eventos

Os eventos são chamados incompatíveis se não podem ser observados juntos na mesma experiência. Assim, a presença de dois e três carros em uma loja para venda ao mesmo tempo são dois eventos incompatíveis.

soma eventos é um evento que consiste na ocorrência de pelo menos um desses eventos

Um exemplo de soma de eventos é a presença de pelo menos um de dois produtos em uma loja.

trabalhar eventos é chamado de evento que consiste na ocorrência simultânea de todos esses eventos

Um evento que consiste no aparecimento de duas mercadorias ao mesmo tempo na loja é um produto de eventos: - o aparecimento de um produto, - o aparecimento de outro produto.

Os eventos formam um grupo completo de eventos se pelo menos um deles ocorre necessariamente na experiência.

Exemplo. O porto tem dois berços para navios. Três eventos podem ser considerados: - a ausência de navios nos berços, - a presença de um navio em um dos berços, - a presença de dois navios em dois berços. Esses três eventos formam um grupo completo de eventos.

Oposto dois eventos possíveis únicos que formam um grupo completo são chamados.

Se um dos eventos que são opostos é denotado por , então o evento oposto é normalmente indicado por .

Definições clássicas e estatísticas da probabilidade de um evento

Cada um dos resultados de teste igualmente possíveis (experimentos) é chamado de resultado elementar. Eles geralmente são indicados por letras. Por exemplo, um dado é lançado. Pode haver seis resultados elementares de acordo com o número de pontos nos lados.

A partir de resultados elementares, você pode compor um evento mais complexo. Assim, o evento de um número par de pontos é determinado por três resultados: 2, 4, 6.

Uma medida quantitativa da possibilidade de ocorrência do evento em consideração é a probabilidade.

Duas definições da probabilidade de um evento são mais amplamente usadas: clássico e estatística.

A definição clássica de probabilidade está relacionada à noção de resultado favorável.

Êxodo é chamado favorável este evento, se a sua ocorrência implicar a ocorrência deste evento.

No exemplo dado, o evento em consideração é um número par de pontos na borda de queda, tem três resultados favoráveis. Neste caso, o general
o número de resultados possíveis. Então, aqui você pode usar a definição clássica da probabilidade de um evento.

Definição clássicaé igual à razão entre o número de resultados favoráveis ​​e o número total de resultados possíveis

onde é a probabilidade do evento , é o número de resultados favoráveis ​​para o evento, é o número total de resultados possíveis.

No exemplo considerado

A definição estatística de probabilidade está associada ao conceito de frequência relativa de ocorrência de um evento em experimentos.

A frequência relativa de ocorrência de um evento é calculada pela fórmula

onde é o número de ocorrência de um evento em uma série de experimentos (testes).

Definição estatística. A probabilidade de um evento é o número relativo ao qual a frequência relativa é estabilizada (estabelecida) com um aumento ilimitado no número de experimentos.

Em problemas práticos, a frequência relativa para um número suficientemente grande de tentativas é tomada como a probabilidade de um evento.

A partir dessas definições da probabilidade de um evento, pode-se ver que a desigualdade sempre vale

Para determinar a probabilidade de um evento com base na fórmula (1.1), as fórmulas combinatórias são frequentemente usadas para encontrar o número de resultados favoráveis ​​e o número total de resultados possíveis.

De fato, as fórmulas (1) e (2) são um pequeno registro da probabilidade condicional baseada na tabela de contingência de características. Voltemos ao exemplo considerado (Fig. 1). Digamos que sabemos que uma certa família vai comprar uma TV widescreen. Qual é a probabilidade de que essa família realmente compre tal TV?

Arroz. 1. Comportamento do comprador de TV widescreen

Nesse caso, precisamos calcular a probabilidade condicional P (a compra foi feita | a compra foi planejada). Como sabemos que uma família está planejando comprar, o espaço amostral não consiste em todas as 1.000 famílias, mas apenas naquelas que planejam comprar uma TV widescreen. Das 250 famílias desse tipo, 200 realmente compraram essa TV. Portanto, a probabilidade de uma família realmente comprar uma TV widescreen, se planejasse fazê-lo, pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

P (compra realizada | compra planejada) = número de famílias planejando e comprando uma TV widescreen / número de famílias planejando comprar uma TV widescreen = 200 / 250 = 0,8

O mesmo resultado é dado pela fórmula (2):

onde é o evento MASé que a família planeja comprar uma TV widescreen, e o evento NO- que ela vai realmente comprá-lo. Substituindo dados reais na fórmula, temos:

árvore de decisão

Na fig. 1 famílias foram divididas em quatro categorias: as que planejaram comprar uma TV widescreen e as que não compraram, e as que compraram tal TV e as que não compraram. Uma classificação semelhante pode ser feita usando uma árvore de decisão (Fig. 2). A árvore mostrada na fig. 2 tem duas filiais, correspondendo a famílias que planejaram adquirir uma TV widescreen e famílias que não o fizeram. Cada uma dessas filiais é dividida em duas filiais adicionais, correspondentes às famílias que compraram e não compraram uma TV widescreen. As probabilidades escritas nas extremidades dos dois ramos principais são as probabilidades incondicionais de eventos MAS e MAS'. As probabilidades escritas nas extremidades dos quatro ramos adicionais são as probabilidades condicionais de cada combinação de eventos MAS e NO. As probabilidades condicionais são calculadas dividindo a probabilidade conjunta dos eventos pela probabilidade incondicional correspondente de cada um deles.

Arroz. 2. Árvore de decisão

Por exemplo, para calcular a probabilidade de uma família comprar uma TV widescreen, se planejava fazê-lo, deve-se determinar a probabilidade do evento compra planejada e concluída, e depois divida pela probabilidade do evento compra planejada. Movendo-se ao longo da árvore de decisão mostrada na Fig. 2, obtemos a seguinte resposta (semelhante à anterior):

Independência estatística

No exemplo da compra de uma TV widescreen, a probabilidade de uma família selecionada aleatoriamente comprar uma TV widescreen, dado que planejava fazê-lo, é 200/250 = 0,8. Lembre-se de que a probabilidade incondicional de uma família selecionada aleatoriamente comprar uma TV widescreen é 300/1000 = 0,3. Disso decorre uma conclusão muito importante. A informação a priori de que a família estava planejando uma compra afeta a probabilidade da compra em si. Em outras palavras, esses dois eventos dependem um do outro. Em contraste com este exemplo, existem eventos estatisticamente independentes cujas probabilidades não dependem umas das outras. A independência estatística é expressa pela identidade: P(A|B) = P(A), Onde P(A|B)- probabilidade do evento MAS supondo que um evento ocorreu NO, P(A)é a probabilidade incondicional do evento A.

Observe que os eventos MAS e NO P(A|B) = P(A). Se na tabela de contingência de recursos, que tem um tamanho de 2 × 2, esta condição é satisfeita para pelo menos uma combinação de eventos MAS e NO, será válido para qualquer outra combinação. No nosso exemplo, os eventos compra planejada e compra concluída não são estatisticamente independentes porque as informações sobre um evento afetam a probabilidade de outro.

Vejamos um exemplo que mostra como testar a independência estatística de dois eventos. Vamos perguntar a 300 famílias que compraram uma TV widescreen se estão satisfeitas com a compra (Fig. 3). Determine se o grau de satisfação com a compra e o tipo de TV estão relacionados.

Arroz. 3. Dados de satisfação do cliente para TVs widescreen

De acordo com esses dados,

Ao mesmo tempo,

P (cliente satisfeito) = 240 / 300 = 0,80

Portanto, a probabilidade de que o cliente esteja satisfeito com a compra e que a família tenha comprado uma HDTV é igual, e esses eventos são estatisticamente independentes, pois não estão relacionados entre si.

Regra de multiplicação de probabilidade

A fórmula para calcular a probabilidade condicional permite determinar a probabilidade de um evento conjunto A e B. Resolvendo a fórmula (1)

em relação à probabilidade conjunta P(A e B), obtemos a regra geral para multiplicação de probabilidades. Probabilidade do evento A e Bé igual à probabilidade do evento MAS desde que o evento NO NO:

(3) P(A e B) = P(A|B) * P(B)

Considere, por exemplo, 80 famílias que compraram uma HDTV widescreen (Figura 3). A tabela mostra que 64 famílias estão satisfeitas com a compra e 16 não. Suponha que duas famílias sejam selecionadas aleatoriamente entre elas. Determine a probabilidade de que ambos os compradores fiquem satisfeitos. Usando a fórmula (3), obtemos:

P(A e B) = P(A|B) * P(B)

onde é o evento MASé que a segunda família está satisfeita com sua compra, e o evento NO- que a primeira família está satisfeita com a compra. A probabilidade de que a primeira família esteja satisfeita com sua compra é de 64/80. No entanto, a probabilidade de que a segunda família também esteja satisfeita com sua compra depende da resposta da primeira família. Caso a primeira família não seja devolvida à amostra após a pesquisa (seleção sem devolução), o número de respondentes cai para 79. Se a primeira família ficou satisfeita com sua compra, a probabilidade de a segunda família também ficar satisfeita é de 63/ 79, visto que apenas 63 permaneceram na amostra famílias satisfeitas com sua compra. Assim, substituindo dados específicos na fórmula (3), obtemos a seguinte resposta:

P(A e B) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Portanto, a probabilidade de ambas as famílias estarem satisfeitas com suas compras é de 63,8%.

Suponha que após a pesquisa, a primeira família seja devolvida à amostra. Determine a probabilidade de ambas as famílias ficarem satisfeitas com sua compra. Nesse caso, as probabilidades de ambas as famílias ficarem satisfeitas com a compra são as mesmas e iguais a 64/80. Portanto, P(A e B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Assim, a probabilidade de ambas as famílias estarem satisfeitas com suas compras é de 64,0%. Este exemplo mostra que a escolha da segunda família não depende da escolha da primeira. Assim, substituindo na fórmula (3) a probabilidade condicional P(A|B) probabilidade P(A), obtemos uma fórmula para multiplicar as probabilidades de eventos independentes.

Regra para multiplicar as probabilidades de eventos independentes. Se os eventos MAS e NO são estatisticamente independentes, a probabilidade de um evento A e Bé igual à probabilidade do evento MAS multiplicado pela probabilidade do evento NO.

(4) P(A e B) = P(A)P(B)

Se esta regra for verdadeira para eventos MAS e NO, o que significa que são estatisticamente independentes. Assim, existem duas maneiras de determinar a independência estatística de dois eventos:

1. Desenvolvimentos MAS e NO são estatisticamente independentes entre si se e somente se P(A|B) = P(A).
2. Desenvolvimentos MAS e B são estatisticamente independentes entre si se e somente se P(A e B) = P(A)P(B).

Se na tabela de contingência de sinais, que tem um tamanho de 2 × 2, uma dessas condições é satisfeita para pelo menos uma combinação de eventos MAS e B, será válido para qualquer outra combinação.

Probabilidade incondicional de um evento elementar

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

onde os eventos B 1 , B 2 , … B k são mutuamente exclusivos e exaustivos.

Ilustramos a aplicação desta fórmula no exemplo da Fig.1. Usando a fórmula (5), obtemos:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Onde P(A)- a probabilidade de a compra ter sido planejada, P(B1)- a probabilidade de que a compra seja feita, P(B2)- a probabilidade de que a compra não seja feita.

TEOREMA DE BAYES

A probabilidade condicional de um evento leva em consideração a informação de que algum outro evento ocorreu. Essa abordagem pode ser usada tanto para refinar a probabilidade, levando em consideração as informações recém-recebidas, quanto para calcular a probabilidade de que o efeito observado seja resultado de alguma causa específica. O procedimento para refinar essas probabilidades é chamado de teorema de Bayes. Foi desenvolvido pela primeira vez por Thomas Bayes no século 18.

Suponha que a empresa mencionada acima esteja pesquisando o mercado para um novo modelo de TV. No passado, 40% das TVs criadas pela empresa eram bem-sucedidas e 60% dos modelos não eram reconhecidos. Antes de anunciar o lançamento de um novo modelo, os profissionais de marketing pesquisam cuidadosamente o mercado e capturam a demanda. No passado, o sucesso de 80% dos modelos que receberam reconhecimento foi previsto com antecedência, enquanto 30% das previsões favoráveis ​​acabaram sendo erradas. Para o novo modelo, o departamento de marketing deu uma previsão favorável. Qual é a probabilidade de um novo modelo de TV estar em demanda?

O teorema de Bayes pode ser derivado das definições de probabilidade condicional (1) e (2). Para calcular a probabilidade Р(В|А), usamos a fórmula (2):

e substitua em vez de P(A e B) o valor da fórmula (3):

P(A e B) = P(A|B) * P(B)

Substituindo a fórmula (5) em vez de P(A), obtemos o teorema de Bayes:

onde os eventos B 1 , B 2 , ... B k são mutuamente exclusivos e exaustivos.

Vamos introduzir a seguinte notação: evento S - A televisão está em demanda, evento S' - TV não está em demanda, evento F - prognóstico favorável, evento F' - Prognóstico pobre. Digamos que P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3. Aplicando o teorema de Bayes, temos:

A probabilidade de demanda por um novo modelo de TV, sujeito a uma previsão favorável, é de 0,64. Assim, a probabilidade de falta de demanda na condição de uma previsão favorável é de 1–0,64=0,36. O processo de cálculo é mostrado na fig. quatro.

Arroz. 4. (a) Cálculos Bayesianos para estimar a probabilidade de demanda de TV; (b) Árvore de decisão para pesquisar a demanda por um novo modelo de TV

Vamos considerar um exemplo de aplicação do teorema de Bayes para diagnósticos médicos. A probabilidade de uma pessoa sofrer de uma determinada doença é de 0,03. Um exame médico permite verificar se é assim. Se uma pessoa está realmente doente, a probabilidade de um diagnóstico preciso (afirmar que uma pessoa está doente quando está realmente doente) é de 0,9. Se uma pessoa é saudável, a probabilidade de um diagnóstico falso positivo (afirmar que uma pessoa está doente quando está saudável) é 0,02. Digamos que um teste médico deu positivo. Qual é a probabilidade de que a pessoa esteja realmente doente? Qual é a probabilidade de um diagnóstico preciso?

Vamos introduzir a seguinte notação: evento D - o homem está doente, evento D' - a pessoa é saudável, evento T - diagnóstico positivo, evento T' - o diagnóstico é negativo. Segue das condições do problema que Р(D) = 0,03, P(D') = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D') = 0,02. Aplicando a fórmula (6), obtemos:

A probabilidade de uma pessoa com diagnóstico positivo estar realmente doente é de 0,582 (veja também a Fig. 5). Observe que o denominador da fórmula de Bayes é igual à probabilidade de um diagnóstico positivo, ou seja, 0,0464.

Probabilidade evento é a razão entre o número de resultados elementares que favorecem um determinado evento e o número de todos os resultados igualmente possíveis da experiência em que esse evento pode ocorrer. A probabilidade de um evento A é denotada por P(A) (aqui P é a primeira letra da palavra francesa probabilite - probabilidade). De acordo com a definição
(1.2.1)
onde é o número de resultados elementares que favorecem o evento A; - o número de todos os resultados elementares igualmente possíveis da experiência, formando um grupo completo de eventos.
Essa definição de probabilidade é chamada de clássica. Ela surgiu no estágio inicial do desenvolvimento da teoria das probabilidades.

A probabilidade de um evento tem as seguintes propriedades:
1. A probabilidade de um determinado evento é igual a um. Vamos designar um determinado evento pela letra . Para um determinado evento, portanto,
(1.2.2)
2. A probabilidade de um evento impossível é zero. Denotamos o evento impossível pela letra. Para um evento impossível, portanto
(1.2.3)
3. A probabilidade de um evento aleatório é expressa como um número positivo menor que um. Como as desigualdades , ou são satisfeitas para um evento aleatório, então
(1.2.4)
4. A probabilidade de qualquer evento satisfaz as desigualdades
(1.2.5)
Isso decorre das relações (1.2.2) -(1.2.4).

Exemplo 1 Uma urna contém 10 bolas de mesmo tamanho e peso, das quais 4 são vermelhas e 6 são azuis. Uma bola é retirada da urna. Qual é a probabilidade de que a bola retirada seja azul?

Solução. O evento "a bola sorteada ficou azul" será denotado pela letra A. Este teste tem 10 resultados elementares igualmente possíveis, dos quais 6 favorecem o evento A. De acordo com a fórmula (1.2.1), obtemos

Exemplo 2 Todos os números naturais de 1 a 30 são escritos em cartões idênticos e colocados em uma urna. Depois de misturar bem as cartas, uma carta é removida da urna. Qual é a probabilidade de que o número da carta retirada seja um múltiplo de 5?

Solução. Denote por A o evento "o número na carta retirada é um múltiplo de 5". Nesta tentativa, existem 30 resultados elementares igualmente possíveis, dos quais 6 resultados favorecem o evento A (números 5, 10, 15, 20, 25, 30). Consequentemente,

Exemplo 3 Dois dados são lançados, a soma dos pontos nas faces superiores é calculada. Encontre a probabilidade do evento B, consistindo no fato de que as faces superiores dos cubos terão um total de 9 pontos.

Solução. Existem 6 2 = 36 resultados elementares igualmente possíveis neste teste. O evento B é favorecido por 4 resultados: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), então

Exemplo 4. Escolhe-se aleatoriamente um número natural que não exceda 10. Qual é a probabilidade de que este número seja primo?

Solução. Denote pela letra C o evento "o número escolhido é primo". Neste caso, n = 10, m = 4 (primos 2, 3, 5, 7). Portanto, a probabilidade desejada

Exemplo 5 Duas moedas simétricas são lançadas. Qual é a probabilidade de que ambas as moedas tenham dígitos nas faces superiores?

Solução. Vamos denotar pela letra D o evento "havia um número no lado superior de cada moeda". Existem 4 resultados elementares igualmente possíveis neste teste: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (A notação (G, C) significa que na primeira moeda há um brasão, na segunda - um número). O evento D é favorecido por um resultado elementar (C, C). Como m = 1, n = 4, então

Exemplo 6 Qual é a probabilidade de que os dígitos em um número de dois dígitos escolhido aleatoriamente sejam os mesmos?

Solução. Números de dois dígitos são números de 10 a 99; há 90 desses números no total. 9 números têm os mesmos dígitos (estes são os números 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Como neste caso m = 9, n = 90, então
,
onde A é o evento "número com os mesmos dígitos".

Exemplo 7 Das letras da palavra diferencial uma letra é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que esta letra seja: a) uma vogal b) uma consoante c) uma letra h?

Solução. Existem 12 letras na palavra diferencial, das quais 5 são vogais e 7 são consoantes. Cartas h esta palavra não. Vamos denotar os eventos: A - "vogal", B - "consoante", C - "letra h". O número de resultados elementares favoráveis: - para o evento A, - para o evento B, - para o evento C. Desde n \u003d 12, então
, e .

Exemplo 8 Dois dados são lançados, o número de pontos na face superior de cada dado é anotado. Encontre a probabilidade de que ambos os dados tenham o mesmo número de pontos.

Solução. Vamos denotar este evento pela letra A. O evento A é favorecido por 6 resultados elementares: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). No total existem resultados elementares igualmente possíveis que formam um grupo completo de eventos, neste caso n=6 2 =36. Então a probabilidade desejada

Exemplo 9 O livro tem 300 páginas. Qual é a probabilidade de que uma página aberta aleatoriamente tenha um número de sequência múltiplo de 5?

Solução. Segue-se das condições do problema que haverá n = 300 de todos os resultados elementares igualmente possíveis que formam um grupo completo de eventos, dos quais m = 60 favorecem a ocorrência do evento especificado. De fato, um número que é múltiplo de 5 tem a forma 5k, onde k é um número natural, e , de onde . Consequentemente,
, onde A - o evento "page" tem um número de sequência que é múltiplo de 5".

Exemplo 10. Dois dados são lançados, a soma dos pontos nas faces superiores é calculada. O que é mais provável de obter um total de 7 ou 8?

Solução. Vamos designar os eventos: A - "caíram 7 pontos", B - "caíram 8 pontos". O evento A é favorecido por 6 resultados elementares: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), e o evento B - por 5 resultados: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Existem n = 6 2 = 36 de todos os resultados elementares igualmente possíveis. e .

Então, P(A)>P(B), ou seja, obter um total de 7 pontos é um evento mais provável do que obter um total de 8 pontos.

Tarefas

1. Escolhe-se aleatoriamente um número natural que não exceda 30. Qual é a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 3?
2. Na urna uma vermelho e b bolas azuis do mesmo tamanho e peso. Qual é a probabilidade de que uma bola retirada aleatoriamente dessa urna seja azul?
3. É escolhido ao acaso um número que não exceda 30. Qual é a probabilidade de que esse número seja um divisor de zo?
4. Na urna uma azul e b bolas vermelhas do mesmo tamanho e peso. Uma bola é retirada desta urna e colocada de lado. Esta bola é vermelha. Em seguida, outra bola é retirada da urna. Encontre a probabilidade de que a segunda bola também seja vermelha.
5. Escolhe-se aleatoriamente um número natural que não exceda 50. Qual é a probabilidade de que este número seja primo?
6. Três dados são lançados, a soma dos pontos nas faces superiores é calculada. O que é mais provável - obter um total de 9 ou 10 pontos?
7. Três dados são lançados, a soma dos pontos perdidos é calculada. O que é mais provável de obter um total de 11 (evento A) ou 12 pontos (evento B)?

Respostas

1. 1/3. 2 . b/(uma+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(uma+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - a probabilidade de obter 9 pontos no total; p 2 \u003d 27/216 - a probabilidade de obter 10 pontos no total; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Perguntas

1. O que é chamado de probabilidade de um evento?
2. Qual é a probabilidade de um determinado evento?
3. Qual é a probabilidade de um evento impossível?
4. Quais são os limites da probabilidade de um evento aleatório?
5. Quais são os limites da probabilidade de qualquer evento?
6. Qual definição de probabilidade é chamada de clássica?