Primeiro nível

Equações quadráticas. Guia Completo (2019)

No termo "equação quadrática" a palavra-chave é "quadrático". Isso significa que a equação deve necessariamente conter uma variável (o mesmo X) no quadrado e, ao mesmo tempo, não deve haver Xs no terceiro (ou maior) grau.

A solução de muitas equações é reduzida à solução de equações quadráticas.

Vamos aprender a determinar que temos uma equação quadrática, e não alguma outra.

Exemplo 1

Livre-se do denominador e multiplique cada termo da equação por

Vamos mover tudo para o lado esquerdo e organizar os termos em ordem decrescente de potências de x

Agora podemos dizer com confiança que esta equação é quadrática!

Exemplo 2

Multiplique os lados esquerdo e direito por:

Esta equação, embora estivesse originalmente nela, não é um quadrado!

Exemplo 3

Vamos multiplicar tudo por:

Apavorante? O quarto e o segundo graus... No entanto, se fizermos uma substituição, veremos que temos uma equação quadrática simples:

Exemplo 4

Parece ser, mas vamos dar uma olhada mais de perto. Vamos mover tudo para o lado esquerdo:

Veja, encolheu - e agora é uma equação linear simples!

Agora tente determinar por si mesmo quais das seguintes equações são quadráticas e quais não são:

Exemplos:

Respostas:

1. quadrado;
2. quadrado;
3. não quadrado;
4. não quadrado;
5. não quadrado;
6. quadrado;
7. não quadrado;
8. quadrado.

Os matemáticos dividem condicionalmente todas as equações quadráticas nos seguintes tipos:

• Equações quadráticas completas- equações em que os coeficientes e, assim como o termo livre c, não são iguais a zero (como no exemplo). Além disso, entre as equações quadráticas completas, existem dado são equações em que o coeficiente (a equação do exemplo um não é apenas completa, mas também reduzida!)

• Equações quadráticas incompletas- equações em que o coeficiente e ou o termo livre c são iguais a zero:

  Eles estão incompletos porque algum elemento está faltando neles. Mas a equação deve sempre conter x ao quadrado !!! Caso contrário, não será mais uma equação quadrática, mas alguma outra equação.

Por que eles criaram essa divisão? Parece que há um X ao quadrado, e tudo bem. Tal divisão se deve aos métodos de solução. Vamos considerar cada um deles com mais detalhes.

Resolvendo equações quadráticas incompletas

Primeiro, vamos nos concentrar na resolução de equações quadráticas incompletas - elas são muito mais simples!

Equações quadráticas incompletas são dos tipos:

1. , nesta equação o coeficiente é igual.
2. , nesta equação o termo livre é igual a.
3. , nesta equação o coeficiente e o termo livre são iguais.

1. e. Já que sabemos tirar a raiz quadrada, vamos expressar a partir desta equação

A expressão pode ser negativa ou positiva. Um número ao quadrado não pode ser negativo, porque ao multiplicar dois números negativos ou dois positivos, o resultado será sempre um número positivo, então: se, então a equação não tem solução.

E se, então temos duas raízes. Essas fórmulas não precisam ser memorizadas. O principal é que você sempre deve saber e lembrar que não pode ser menos.

Vamos tentar resolver alguns exemplos.

Exemplo 5:

Resolva a equação

Agora resta extrair a raiz das partes esquerda e direita. Afinal, você se lembra de como extrair as raízes?

Responda:

Nunca se esqueça das raízes com sinal negativo!!!

Exemplo 6:

Resolva a equação

Responda:

Exemplo 7:

Resolva a equação

Ai! O quadrado de um número não pode ser negativo, o que significa que a equação

sem raízes!

Para essas equações em que não há raízes, os matemáticos criaram um ícone especial - (conjunto vazio). E a resposta pode ser escrita assim:

Responda:

Assim, esta equação quadrática tem duas raízes. Não há restrições aqui, pois não extraímos a raiz.
Exemplo 8:

Resolva a equação

Vamos tirar o fator comum dos colchetes:

Nesse caminho,

Esta equação tem duas raízes.

Responda:

O tipo mais simples de equações quadráticas incompletas (embora sejam todas simples, certo?). Obviamente, esta equação sempre tem apenas uma raiz:

Aqui vamos fazer sem exemplos.

Resolvendo equações quadráticas completas

Lembramos que a equação quadrática completa é uma equação da forma equação onde

Resolver equações quadráticas completas é um pouco mais complicado (só um pouco) do que as fornecidas.

Lembrar, qualquer equação quadrática pode ser resolvida usando o discriminante! Mesmo incompleta.

O resto dos métodos irá ajudá-lo a fazer isso mais rápido, mas se você tiver problemas com equações quadráticas, primeiro domine a solução usando o discriminante.

1. Resolução de equações quadráticas usando o discriminante.

Resolver equações quadráticas dessa maneira é muito simples, o principal é lembrar a sequência de ações e algumas fórmulas.

Se, então a equação tem uma raiz, atenção especial deve ser dada ao passo. O discriminante () nos diz o número de raízes da equação.

• Se, então a fórmula na etapa será reduzida a. Assim, a equação terá apenas uma raiz.
• Se, então não poderemos extrair a raiz do discriminante na etapa. Isso indica que a equação não tem raízes.

Vamos voltar às nossas equações e ver alguns exemplos.

Exemplo 9:

Resolva a equação

Passo 1 pular.

Passo 2

Encontrando o discriminante:

Portanto, a equação tem duas raízes.

etapa 3

Responda:

Exemplo 10:

Resolva a equação

A equação está na forma padrão, então Passo 1 pular.

Passo 2

Encontrando o discriminante:

Então a equação tem uma raiz.

Responda:

Exemplo 11:

Resolva a equação

A equação está na forma padrão, então Passo 1 pular.

Passo 2

Encontrando o discriminante:

Isso significa que não poderemos extrair a raiz do discriminante. Não há raízes da equação.

Agora sabemos como escrever essas respostas corretamente.

Responda: sem raízes

2. Solução de equações quadráticas usando o teorema de Vieta.

Se você se lembra, existe um tipo de equação que é chamada de reduzida (quando o coeficiente a é igual a):

Tais equações são muito fáceis de resolver usando o teorema de Vieta:

A soma das raízes dado equação quadrática é igual, e o produto das raízes é igual.

Exemplo 12:

Resolva a equação

Esta equação é adequada para solução usando o teorema de Vieta, porque .

A soma das raízes da equação é, ou seja, obtemos a primeira equação:

E o produto é:

Vamos criar e resolver o sistema:

• e. A soma é;
• e. A soma é;
• e. A quantidade é igual.

e são a solução do sistema:

Responda: ; .

Exemplo 13:

Resolva a equação

Responda:

Exemplo 14:

Resolva a equação

A equação é reduzida, o que significa:

Responda:

EQUAÇÕES QUADRÁTICAS. NÍVEL MÉDIO

O que é uma equação quadrática?

Em outras palavras, uma equação quadrática é uma equação da forma, onde - desconhecido, - alguns números, além disso.

O número é chamado de maior ou primeiro coeficiente Equação quadrática, - segundo coeficiente, uma - Membro grátis.

Por quê? Porque se, a equação se tornará imediatamente linear, porque vai desaparecer.

Neste caso, e pode ser igual a zero. Nesta equação de fezes é chamado de incompleta. Se todos os termos estiverem no lugar, ou seja, a equação está completa.

Soluções para vários tipos de equações quadráticas

Métodos para resolver equações quadráticas incompletas:

Para começar, analisaremos os métodos para resolver equações quadráticas incompletas - eles são mais simples.

Os seguintes tipos de equações podem ser distinguidos:

I. , nesta equação o coeficiente e o termo livre são iguais.

II. , nesta equação o coeficiente é igual.

III. , nesta equação o termo livre é igual a.

Agora considere a solução de cada um desses subtipos.

Obviamente, esta equação sempre tem apenas uma raiz:

Um número elevado ao quadrado não pode ser negativo, pois ao multiplicar dois números negativos ou dois positivos, o resultado será sempre um número positivo. É por isso:

se, então a equação não tem soluções;

se tivermos duas raízes

Essas fórmulas não precisam ser memorizadas. A principal coisa a lembrar é que não pode ser menos.

Exemplos:

Soluções:

Responda:

Nunca se esqueça das raízes com sinal negativo!

O quadrado de um número não pode ser negativo, o que significa que a equação

sem raízes.

Para escrever brevemente que o problema não tem solução, usamos o ícone do conjunto vazio.

Responda:

Então, esta equação tem duas raízes: e.

Responda:

Vamos tirar o fator comum dos colchetes:

O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Isso significa que a equação tem solução quando:

Então, esta equação quadrática tem duas raízes: e.

Exemplo:

Resolva a equação.

Solução:

Fatoramos o lado esquerdo da equação e encontramos as raízes:

Responda:

Métodos para resolver equações quadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver equações quadráticas dessa maneira é fácil, o principal é lembrar a sequência de ações e algumas fórmulas. Lembre-se, qualquer equação quadrática pode ser resolvida usando o discriminante! Mesmo incompleta.

Você notou a raiz do discriminante na fórmula da raiz? Mas o discriminante pode ser negativo. O que fazer? Precisamos prestar atenção especial ao passo 2. O discriminante nos diz o número de raízes da equação.

• Se, então a equação tem uma raiz:
• Se, então a equação tem a mesma raiz, mas na verdade, uma raiz:

  Tais raízes são chamadas de raízes duplas.

• Se, então a raiz do discriminante não é extraída. Isso indica que a equação não tem raízes.

Por que existem diferentes números de raízes? Passemos ao significado geométrico da equação quadrática. O gráfico da função é uma parábola:

Em um caso particular, que é uma equação quadrática, . E isso significa que as raízes da equação quadrática são os pontos de interseção com o eixo x (eixo). A parábola pode não cruzar o eixo, ou pode intersetá-lo em um (quando o topo da parábola está no eixo) ou em dois pontos.

Além disso, o coeficiente é responsável pela direção dos ramos da parábola. Se, então os ramos da parábola são direcionados para cima e se - então para baixo.

Exemplos:

Soluções:

Responda:

Responda: .

Responda:

Isso significa que não há soluções.

Responda: .

2. Teorema de Vieta

Usar o teorema de Vieta é muito fácil: basta escolher um par de números cujo produto seja igual ao termo livre da equação e a soma seja igual ao segundo coeficiente, tomado com o sinal oposto.

É importante lembrar que o teorema de Vieta só pode ser aplicado a dadas equações quadráticas ().

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1:

Resolva a equação.

Solução:

Esta equação é adequada para solução usando o teorema de Vieta, porque . Outros coeficientes: ; .

A soma das raízes da equação é:

E o produto é:

Vamos selecionar esses pares de números, cujo produto é igual, e verificar se sua soma é igual:

• e. A soma é;
• e. A soma é;
• e. A quantidade é igual.

e são a solução do sistema:

Assim, e são as raízes da nossa equação.

Responda: ; .

Exemplo #2:

Solução:

Selecionamos esses pares de números que fornecem o produto e, em seguida, verificamos se sua soma é igual:

e: dar no total.

e: dar no total. Para obtê-lo, basta alterar os sinais das supostas raízes: e, afinal, o trabalho.

Responda:

Exemplo nº 3:

Solução:

O termo livre da equação é negativo e, portanto, o produto das raízes é um número negativo. Isso só é possível se uma das raízes for negativa e a outra for positiva. Então a soma das raízes é diferenças de seus módulos.

Selecionamos esses pares de números que dão no produto e cuja diferença é igual a:

e: sua diferença é - não adequada;

e: - não adequado;

e: - não adequado;

e: - adequado. Resta apenas lembrar que uma das raízes é negativa. Como sua soma deve ser igual, então a raiz, que é menor em valor absoluto, deve ser negativa: . Verificamos:

Responda:

Exemplo #4:

Resolva a equação.

Solução:

A equação é reduzida, o que significa:

O termo livre é negativo e, portanto, o produto das raízes é negativo. E isso só é possível quando uma raiz da equação é negativa e a outra é positiva.

Selecionamos esses pares de números cujo produto é igual e, em seguida, determinamos quais raízes devem ter um sinal negativo:

Obviamente, apenas raízes e são adequadas para a primeira condição:

Responda:

Exemplo nº 5:

Resolva a equação.

Solução:

A equação é reduzida, o que significa:

A soma das raízes é negativa, o que significa que pelo menos uma das raízes é negativa. Mas como o produto deles é positivo, significa que ambas as raízes são negativas.

Selecionamos esses pares de números, cujo produto é igual a:

Obviamente, as raízes são os números e.

Responda:

Concordo, é muito conveniente - inventar raízes oralmente, em vez de contar esse discriminante desagradável. Tente usar o teorema de Vieta com a maior frequência possível.

Mas o teorema de Vieta é necessário para facilitar e acelerar a descoberta das raízes. Para torná-lo lucrativo para você usá-lo, você deve levar as ações ao automatismo. E para isso, resolva mais cinco exemplos. Mas não trapaceie: você não pode usar o discriminante! Apenas o teorema de Vieta:

Soluções para tarefas para trabalho independente:

Tarefa 1. ((x)^(2))-8x+12=0

De acordo com o teorema de Vieta:

Como de costume, iniciamos a seleção com o produto:

Não é adequado porque a quantidade;

: a quantidade é o que você precisa.

Responda: ; .

Tarefa 2.

E novamente, nosso teorema de Vieta favorito: a soma deve dar certo, mas o produto é igual.

Mas como não deveria ser, mas, mudamos os sinais das raízes: e (no total).

Responda: ; .

Tarefa 3.

Hum... Onde está?

É necessário transferir todos os termos em uma parte:

A soma das raízes é igual ao produto.

Sim, pare! A equação não é dada. Mas o teorema de Vieta é aplicável apenas nas equações dadas. Então, primeiro você precisa trazer a equação. Se você não conseguir trazer à tona, abandone essa ideia e resolva-a de outra maneira (por exemplo, através do discriminante). Deixe-me lembrá-lo que trazer uma equação quadrática significa tornar o coeficiente principal igual a:

Excelente. Então a soma das raízes é igual, e o produto.

É mais fácil pegar aqui: afinal - um número primo (desculpe a tautologia).

Responda: ; .

Tarefa 4.

O termo livre é negativo. O que há de tão especial nisso? E o fato de que as raízes serão de signos diferentes. E agora, durante a seleção, verificamos não a soma das raízes, mas a diferença entre seus módulos: essa diferença é igual, mas o produto.

Então, as raízes são iguais e, mas uma delas é com menos. O teorema de Vieta nos diz que a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente com o sinal oposto, ou seja. Isso significa que a raiz menor terá um menos: e, desde.

Responda: ; .

Tarefa 5.

O que precisa ser feito primeiro? Isso mesmo, dê a equação:

Novamente: selecionamos os fatores do número e sua diferença deve ser igual a:

As raízes são iguais e, mas uma delas é menos. Que? Sua soma deve ser igual, o que significa que com menos haverá uma raiz maior.

Responda: ; .

Deixe-me resumir:

1. O teorema de Vieta é usado apenas nas equações quadráticas dadas.
2. Usando o teorema de Vieta, você pode encontrar as raízes por seleção, oralmente.
3. Se a equação não for fornecida ou nenhum par adequado de fatores do termo livre foi encontrado, então não há raízes inteiras e você precisa resolvê-lo de outra maneira (por exemplo, através do discriminante).

3. Método de seleção de quadrado completo

Se todos os termos contendo a incógnita são representados como termos das fórmulas de multiplicação abreviada - o quadrado da soma ou diferença - então após a mudança de variáveis, a equação pode ser representada como uma equação quadrática incompleta do tipo.

Por exemplo:

Exemplo 1:

Resolva a equação: .

Solução:

Responda:

Exemplo 2:

Resolva a equação: .

Solução:

Responda:

Em geral, a transformação ficará assim:

Isso implica: .

Não te lembra nada? É o discriminador! Foi exatamente assim que a fórmula discriminante foi obtida.

EQUAÇÕES QUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

Equação quadráticaé uma equação da forma, onde é a incógnita, são os coeficientes da equação quadrática, é o termo livre.

Equação quadrática completa- uma equação em que os coeficientes não são iguais a zero.

Equação quadrática reduzida- uma equação em que o coeficiente, ou seja: .

Equação quadrática incompleta- uma equação em que o coeficiente e ou o termo livre c são iguais a zero:

• se o coeficiente, a equação tem a forma: ,
• se um termo livre, a equação tem a forma: ,
• se e, a equação tem a forma: .

1. Algoritmo para resolver equações quadráticas incompletas

1.1. Uma equação quadrática incompleta da forma, onde, :

1) Expresse o desconhecido: ,

2) Verifique o sinal da expressão:

• se, então a equação não tem soluções,
• se, então a equação tem duas raízes.

1.2. Uma equação quadrática incompleta da forma, onde, :

1) Vamos tirar o fator comum dos colchetes: ,

2) O produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Portanto, a equação tem duas raízes:

1.3. Uma equação quadrática incompleta da forma, onde:

Esta equação sempre tem apenas uma raiz: .

2. Algoritmo para resolver equações quadráticas completas da forma em que

2.1. Solução usando o discriminante

1) Vamos trazer a equação para a forma padrão: ,

2) Calcule o discriminante usando a fórmula: , que indica o número de raízes da equação:

3) Encontre as raízes da equação:

• se, então a equação tem uma raiz, que é encontrada pela fórmula:
• se, então a equação tem uma raiz, que é encontrada pela fórmula:
• se, então a equação não tem raízes.

2.2. Solução usando o teorema de Vieta

A soma das raízes da equação quadrática reduzida (uma equação da forma, onde) é igual, e o produto das raízes é igual, ou seja, , uma.

2.3. Solução quadrada completa

Com este programa de matemática você pode resolver equação quadrática.

O programa não apenas dá a resposta ao problema, mas também exibe o processo de solução de duas maneiras:
- usando o discriminante
- usando o teorema de Vieta (se possível).

Além disso, a resposta é exibida exata, não aproximada.
Por exemplo, para a equação \(81x^2-16x-1=0\), a resposta é exibida desta forma:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ em vez disso: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, pode realizar a sua própria formação e/ou a formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de formação no domínio das tarefas a resolver.

Se você não estiver familiarizado com as regras para inserir um polinômio quadrado, recomendamos que você se familiarize com elas.

Regras para inserir um polinômio quadrado

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Os números podem ser inseridos como inteiros ou frações.
Além disso, os números fracionários podem ser inseridos não apenas na forma de um decimal, mas também na forma de uma fração ordinária.

Regras para inserir frações decimais.
Em frações decimais, a parte fracionária do inteiro pode ser separada por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais como este: 2,5x - 3,5x^2

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.

O denominador não pode ser negativo.

Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Ao inserir uma expressão você pode usar colchetes. Neste caso, ao resolver uma equação quadrática, a expressão introduzida é primeiro simplificada.
Por exemplo: 1/2(a-1)(a+1)-(5a-10&1/2)

=0

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Um pouco de teoria.

Equação quadrática e suas raízes. Equações quadráticas incompletas

Cada uma das equações
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
tem a forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
onde x é uma variável, a, b e c são números.
Na primeira equação a = -1, b = 6 ec = 1,4, na segunda a = 8, b = -7 ec = 0, na terceira a = 1, b = 0 ec = 4/9. Tais equações são chamadas equações quadráticas.

Definição.
Equação quadrática uma equação da forma ax 2 +bx+c=0 é chamada, onde x é uma variável, a, b e c são alguns números, e \(a \neq 0 \).

Os números a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. O número a é chamado de primeiro coeficiente, o número b é o segundo coeficiente e o número c é o intercepto.

Em cada uma das equações da forma ax 2 +bx+c=0, onde \(a \neq 0 \), a maior potência da variável x é um quadrado. Daí o nome: equação quadrática.

Observe que uma equação quadrática também é chamada de equação de segundo grau, pois seu lado esquerdo é um polinômio de segundo grau.

Uma equação quadrática na qual o coeficiente em x 2 é 1 é chamada equação quadrática reduzida. Por exemplo, as equações quadráticas dadas são as equações
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Se na equação quadrática ax 2 +bx+c=0 pelo menos um dos coeficientes b ou c for igual a zero, então tal equação é chamada equação quadrática incompleta. Assim, as equações -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 são equações quadráticas incompletas. No primeiro deles b=0, no segundo c=0, no terceiro b=0 ec=0.

Equações quadráticas incompletas são de três tipos:
1) ax 2 +c=0, onde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, onde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Considere a solução das equações de cada um desses tipos.

Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), seu termo livre é transferido para o lado direito e ambas as partes da equação são divididas por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Como \(c \neq 0 \), então \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Se \(-\frac(c)(a)>0 \), então a equação tem duas raízes.

Se \(-\frac(c)(a) Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) fatorize seu lado esquerdo e obtenha a equação
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin) (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Portanto, uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) sempre tem duas raízes.

Uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 \u003d 0 é equivalente à equação x 2 \u003d 0 e, portanto, tem uma única raiz 0.

A fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Vamos agora considerar como equações quadráticas são resolvidas em que ambos os coeficientes das incógnitas e o termo livre são diferentes de zero.

Resolvemos a equação quadrática na forma geral e como resultado obtemos a fórmula das raízes. Então esta fórmula pode ser aplicada para resolver qualquer equação quadrática.

Resolva a equação quadrática ax 2 +bx+c=0

Dividindo ambas as suas partes por a, obtemos a equação quadrática reduzida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformamos essa equação destacando o quadrado do binômio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Seta para a direita \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

A expressão raiz é chamada discriminante de uma equação quadrática ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” em latim - distintivo). É indicado pela letra D, ou seja.
\(D = b^2-4ac\)

Agora, usando a notação do discriminante, reescrevemos a fórmula para as raízes da equação quadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), onde \(D= b^2-4ac \)

É óbvio que:
1) Se D>0, então a equação quadrática tem duas raízes.
2) Se D=0, então a equação quadrática tem uma raiz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Se D Assim, dependendo do valor do discriminante, a equação quadrática pode ter duas raízes (para D > 0), uma raiz (para D = 0) ou nenhuma raiz (para D Ao resolver uma equação quadrática usando esta fórmula , é aconselhável fazer da seguinte forma:
1) calcular o discriminante e compará-lo com zero;
2) se o discriminante for positivo ou igual a zero, use a fórmula da raiz, se o discriminante for negativo, anote que não há raízes.

Teorema de Vieta

A equação quadrática dada ax 2 -7x+10=0 tem raízes 2 e 5. A soma das raízes é 7, e o produto é 10. Vemos que a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Qualquer equação quadrática reduzida que tenha raízes tem essa propriedade.

A soma das raízes da equação quadrática dada é igual ao segundo coeficiente, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre.

Aqueles. O teorema de Vieta afirma que as raízes x 1 e x 2 da equação quadrática reduzida x 2 +px+q=0 têm a propriedade:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Tendo recebido uma idéia geral de igualdades e familiarizado com um de seus tipos - igualdades numéricas, você pode começar a falar sobre outra forma de igualdade que é muito importante do ponto de vista prático - sobre equações. Neste artigo, vamos analisar qual é a equação, e o que é chamado de raiz da equação. Aqui damos as definições correspondentes e também damos vários exemplos de equações e suas raízes.

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O que é uma equação?

A familiaridade proposital com equações geralmente começa nas aulas de matemática na 2ª série. Neste momento o seguinte definição de equação:

Definição.

A equaçãoé uma igualdade contendo um número desconhecido a ser encontrado.

Números desconhecidos em equações são geralmente denotados usando pequenas letras latinas, por exemplo, p, t, u, etc., mas as letras x, y e z são mais frequentemente usadas.

Assim, a equação é determinada do ponto de vista da forma da notação. Em outras palavras, a igualdade é uma equação quando obedece às regras de notação especificadas - contém uma letra cujo valor precisa ser encontrado.

Vamos dar exemplos das primeiras e mais simples equações. Vamos começar com equações como x=8 , y=3 , etc. Equações que contêm sinais de operações aritméticas junto com números e letras parecem um pouco mais complicadas, por exemplo, x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .

A variedade de equações cresce após o conhecimento de - equações com colchetes começam a aparecer, por exemplo, 2 (x−1)=18 e x+3 (x+2 (x−2))=3 . Uma letra desconhecida pode aparecer várias vezes em uma equação, por exemplo, x+3+3 x−2−x=9 , e as letras podem estar no lado esquerdo da equação, no lado direito ou em ambos os lados da equação , por exemplo, x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 ou 3 x−4=2 (x+12) .

Além disso, depois de estudar os números naturais, há um conhecimento dos números inteiros, racionais e reais, novos objetos matemáticos são estudados: graus, raízes, logaritmos etc., enquanto aparecem cada vez mais novos tipos de equações que contêm essas coisas. Exemplos podem ser encontrados no artigo. principais tipos de equações estudou na escola.

No 7º ano, junto com as letras, que significam alguns números específicos, começam a considerar letras que podem assumir valores diferentes, são chamadas de variáveis ​​(ver artigo). Neste caso, a palavra “variável” é introduzida na definição da equação, e fica assim:

Definição.

Equação nomeie uma igualdade contendo uma variável cujo valor deve ser encontrado.

Por exemplo, a equação x+3=6 x+7 é uma equação com a variável x, e 3 z−1+z=0 é uma equação com a variável z.

Nas aulas de álgebra da mesma 7ª série, há um encontro com equações contendo em seu registro não uma, mas duas variáveis ​​desconhecidas diferentes. Eles são chamados de equações com duas variáveis. No futuro, é permitida a presença de três ou mais variáveis ​​no registro da equação.

Definição.

Equações com um, dois, três, etc. variáveis- são equações contendo uma, duas, três, ... variáveis ​​desconhecidas em seu registro, respectivamente.

Por exemplo, a equação 3,2 x+0,5=1 é uma equação com uma variável x, por sua vez, uma equação da forma x−y=3 é uma equação com duas variáveis ​​xey. E mais um exemplo: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27 . É claro que tal equação é uma equação com três variáveis ​​desconhecidas x, y e z.

Qual é a raiz da equação?

A definição da raiz da equação está diretamente relacionada à definição da equação. Faremos alguns raciocínios que nos ajudarão a entender qual é a raiz da equação.

Suponha que temos uma equação com uma letra (variável). Se, em vez da letra incluída no registro desta equação, substituirmos um determinado número, a equação se transformará em uma igualdade numérica. Além disso, a igualdade resultante pode ser verdadeira e falsa. Por exemplo, se em vez da letra a na equação a+1=5 substituirmos o número 2 , obteremos uma igualdade numérica incorreta 2+1=5 . Se substituirmos o número 4 em vez de a nesta equação, obteremos a igualdade correta 4+1=5.

Na prática, na esmagadora maioria dos casos, de interesse são esses valores da variável, cuja substituição na equação fornece a igualdade correta, esses valores são chamados de raízes ou soluções desta equação.

Definição.

Raiz da equação- este é o valor da letra (variável), ao substituir qual a equação se transforma na igualdade numérica correta.

Observe que a raiz de uma equação com uma variável também é chamada de solução da equação. Em outras palavras, a solução de uma equação e a raiz da equação são a mesma coisa.

Vamos explicar esta definição com um exemplo. Para fazer isso, voltamos à equação escrita acima de a+1=5 . De acordo com a definição sonora da raiz da equação, o número 4 é a raiz desta equação, pois ao substituir este número em vez da letra a, obtemos a igualdade correta 4+1=5, e o número 2 não é sua raiz, pois corresponde a uma igualdade incorreta da forma 2+1= 5 .

Neste ponto, surgem várias questões naturais: “Qualquer equação tem uma raiz e quantas raízes uma dada equação tem”? Nós os responderemos.

Existem equações com raízes e equações sem raízes. Por exemplo, a equação x+1=5 tem raiz de 4, e a equação 0 x=5 não tem raízes, pois não importa o número que substituímos nesta equação em vez da variável x, obteremos a igualdade errada 0= 5.

Quanto ao número de raízes de uma equação, há tanto equações que têm um número finito de raízes (uma, duas, três, etc.) quanto equações que têm infinitas raízes. Por exemplo, a equação x−2=4 tem uma única raiz 6 , as raízes da equação x 2 =9 são dois números −3 e 3 , a equação x (x−1) (x−2)=0 tem três raízes 0 , 1 e 2 , e a solução da equação x=x é qualquer número, ou seja, tem um número infinito de raízes.

Algumas palavras devem ser ditas sobre a notação aceita das raízes da equação. Se a equação não tiver raízes, geralmente eles escrevem “a equação não tem raízes” ou usam o sinal do conjunto vazio ∅. Se a equação tem raízes, então elas são escritas separadas por vírgulas, ou escritas como definir elementos em colchetes. Por exemplo, se as raízes da equação são os números −1, 2 e 4, então escreva −1, 2, 4 ou (−1, 2, 4) . Também é possível escrever as raízes da equação na forma de igualdades simples. Por exemplo, se a letra x entrar na equação e as raízes dessa equação forem os números 3 e 5, você poderá escrever x=3, x=5, e os subscritos x 1 =3, x 2 =5 são frequentemente adicionados à variável, como se indicasse os números das raízes da equação. Um conjunto infinito de raízes de uma equação é geralmente escrito na forma, também, se possível, a notação de conjuntos de números naturais N, inteiros Z, números reais R é usada. Por exemplo, se a raiz da equação com a variável x for qualquer número inteiro, escreva , e se as raízes da equação com a variável y forem qualquer número real de 1 a 9 inclusive, escreva .

Para equações com duas, três e mais variáveis, via de regra, o termo “raiz da equação” não é usado, nestes casos eles dizem “solução da equação”. Como se chama a solução de equações com várias variáveis? Vamos dar uma definição apropriada.

Definição.

Resolvendo uma equação com dois, três, etc. variáveis chamar um par, três, etc. valores das variáveis, o que transforma essa equação em uma verdadeira igualdade numérica.

Mostraremos exemplos explicativos. Considere uma equação com duas variáveis ​​x+y=7 . Substituímos o número 1 em vez de x, e o número 2 em vez de y, enquanto temos a igualdade 1+2=7. Obviamente, está incorreto, portanto, o par de valores x=1 , y=2 não é uma solução para a equação escrita. Se pegarmos um par de valores x=4 , y=3 , então após a substituição na equação chegaremos à igualdade correta 4+3=7 , portanto, esse par de valores variáveis ​​é, por definição, uma solução para a equação x+y=7 .

Equações com múltiplas variáveis, como equações com uma variável, podem não ter raízes, podem ter um número finito de raízes ou podem ter infinitas raízes.

Pares, triplos, quatros, etc. os valores das variáveis ​​geralmente são escritos brevemente, listando seus valores separados por vírgulas entre parênteses. Neste caso, os números escritos entre parênteses correspondem às variáveis ​​em ordem alfabética. Vamos esclarecer este ponto retornando à equação anterior x+y=7 . A solução para esta equação x=4 , y=3 pode ser resumidamente escrita como (4, 3) .

A maior atenção no curso escolar de matemática, álgebra e no início da análise é dada para encontrar as raízes de equações com uma variável. Analisaremos as regras desse processo em grande detalhe no artigo. solução de equações.

Bibliografia.

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Tipo de equação

Expressão D= b 2 - 4ac chamado discriminante Equação quadrática. Se umD = 0, então a equação tem uma raiz real; se D> 0, então a equação tem duas raízes reais.
Caso quando D = 0 , às vezes se diz que uma equação quadrática tem duas raízes idênticas.
Usando a notação D= b 2 - 4ac, a fórmula (2) pode ser reescrita como

Se um b= 2k, então a fórmula (2) assume a forma:

Onde k= b / 2 .
A última fórmula é especialmente conveniente quando b / 2 é um número inteiro, ou seja coeficiente b- numero par.
Exemplo 1: resolva a equação 2 x 2 - 5x + 2 = 0 . Aqui a=2, b=-5, c=2. Nós temos D= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Porque D > 0 , então a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los pela fórmula (2)

Então x 1 =(5 + 3) / 4 = 2,x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
isso é x 1 = 2 e x 2 = 1 / 2 são as raízes da equação dada.
Exemplo 2: resolva a equação 2 x 2 - 3x + 5 = 0 . Aqui a=2, b=-3, c=5. Encontrando o discriminante D= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Porque D 0 , então a equação não tem raízes reais.

Equações quadráticas incompletas. Se em uma equação quadrática machado 2 +bx+c =0 segundo coeficiente b ou membro livre c igual a zero, então a equação quadrática é chamada incompleto. Equações incompletas são distinguidas porque para encontrar suas raízes, você não pode usar a fórmula para as raízes de uma equação quadrática - é mais fácil resolver a equação fatorando seu lado esquerdo em fatores.
Exemplo 1: resolva a equação 2 x 2 - 5x = 0 .
Nós temos x(2x - 5) = 0 . Então também x = 0 , ou 2 x - 5 = 0 , isso é x = 2.5 . Então a equação tem duas raízes: 0 e 2.5
Exemplo 2: resolva a equação 3 x 2 - 27 = 0 .
Nós temos 3 x 2 = 27 . Portanto, as raízes desta equação são 3 e -3 .

Teorema de Vieta. Se a equação quadrática dada x 2 +px+ q =0 tem raízes reais, então sua soma é igual a - p, e o produto é q, isso é

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(a soma das raízes da equação quadrática dada é igual ao segundo coeficiente, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre).

Equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é essencial.

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a , b e c são números arbitrários e a ≠ 0.

Antes de estudar métodos de solução específicos, notamos que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:

1. Não têm raízes;
2. Eles têm exatamente uma raiz;
3. Eles têm duas raízes diferentes.

Esta é uma diferença importante entre equações quadráticas e lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.

Discriminante

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac .

Esta fórmula deve ser conhecida de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa é importante: pelo sinal do discriminante, você pode determinar quantas raízes tem uma equação quadrática. Nomeadamente:

1. Se D< 0, корней нет;
2. Se D = 0, há exatamente uma raiz;
3. Se D > 0, haverá duas raízes.

Por favor, note: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como por algum motivo muitas pessoas pensam. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:

Uma tarefa. Quantas raízes as equações quadráticas têm:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Escrevemos os coeficientes para a primeira equação e encontramos o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Então, o discriminante é positivo, então a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação da mesma maneira:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação permanece:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

O discriminante é igual a zero - a raiz será um.

Observe que os coeficientes foram escritos para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso - mas você não vai misturar as probabilidades e não cometer erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.

A propósito, se você “encher a mão”, depois de um tempo, não precisará mais escrever todos os coeficientes. Você realizará tais operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso em algum lugar depois de 50-70 equações resolvidas - em geral, nem tanto.

As raízes de uma equação quadrática

Agora vamos para a solução. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:

A fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática

Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas - você obtém o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D.< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Primeira equação:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:

Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(alinhar)\]

Por fim, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:

Como você pode ver pelos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e consegue contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, os erros ocorrem quando os coeficientes negativos são substituídos na fórmula. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: olhe para a fórmula literalmente, pinte cada etapa - e se livre dos erros muito em breve.

Equações quadráticas incompletas

Acontece que a equação quadrática é um pouco diferente do que é dado na definição. Por exemplo:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

É fácil ver que um dos termos está faltando nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem precisam calcular o discriminante. Então vamos introduzir um novo conceito:

A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja. o coeficiente da variável x ou do elemento livre é igual a zero.

Obviamente, um caso muito difícil é possível quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b \u003d c \u003d 0. Nesse caso, a equação assume a forma ax 2 \u003d 0. Obviamente, essa equação tem um único raiz: x \u003d 0.

Vamos considerar outros casos. Seja b \u003d 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c \u003d 0. Vamos transformá-la levemente:

Como a raiz quadrada aritmética existe apenas a partir de um número não negativo, a última igualdade só faz sentido quando (−c / a ) ≥ 0. Conclusão:

1. Se uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0 satisfaz a desigualdade (−c / a ) ≥ 0, haverá duas raízes. A fórmula é dada acima;
2. Se (−c/a)< 0, корней нет.

Como você pode ver, o discriminante não era necessário - não há cálculos complexos em equações quadráticas incompletas. Na verdade, nem é preciso lembrar da desigualdade (−c / a ) ≥ 0. Basta expressar o valor de x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se houver um número positivo, haverá duas raízes. Se negativo, não haverá raízes.

Agora vamos lidar com equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:

Tirando o fator comum dos colchetes

O produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero. É daí que vêm as raízes. Em conclusão, vamos analisar várias dessas equações:

Uma tarefa. Resolva equações do segundo grau:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Não há raízes, porque o quadrado não pode ser igual a um número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.