Volume de um prisma inclinado
Todos os prismas são divididos em direto e oblíquo .
Prisma reto, base
que serve o direito
polígono é chamado
correto prisma.
Propriedades do prisma correto:
1. As bases de um prisma regular são polígonos regulares. 2. As faces laterais de um prisma regular são retângulos iguais. 3. As arestas laterais de um prisma regular são iguais .
Seção de um PRISM.
Uma seção ortogonal de um prisma é uma seção formada por um plano perpendicular à aresta lateral.
A superfície lateral do prisma é igual ao produto do perímetro da seção ortogonal pelo comprimento da nervura lateral.
S b \u003d P orto.sec C
1. Distâncias entre as nervuras do inclinado
prisma triangular são: 2cm, 3cm e 4cm
Superfície lateral do prisma - 45cm 2 .Encontre sua borda lateral.
Solução:
Em uma seção perpendicular de um prisma, um triângulo cujo perímetro é 2+3+4=9
Então a borda lateral é 45:9=5(cm)
Encontrar elementos desconhecidos
triangular regular
Prismas
por elementos especificados na tabela.
RESPOSTAS.
Obrigado pela lição.
Trabalho de casa.
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Definição de prisma:
А1А2…AnВ1В2Вn– prisma
Polígonos А1А2…An e В1В2…Вn – bases de prisma
Paralelogramas A1A2B2B1, A1A2B2B1, ... AnA1B1Bn - faces laterais
Segmentos А1В1, А2В2…AnBn – bordas laterais do prisma
Tipos de prisma
Prisma Quadrangular Hexagonal Triangular Prisma Prisma
Prisma inclinado e reto
Se as arestas laterais do prisma são perpendiculares às bases, então o prisma é chamado direto , por outro lado - oblíquo .
Prisma correto
O prisma é chamado correto se for uma linha reta e suas bases forem polígonos regulares.
Área total da superfície do prisma
Área de superfície lateral do prisma
Teorema
A área da superfície lateral de um prisma reto é igual a metade do produto do perímetro da base e a altura do prisma.
Volume de um prisma inclinado
Teorema
O volume de um prisma inclinado é igual ao produto da área da base pela altura.
Prova
Prova
Vamos primeiro provar o teorema para um prisma triangular e depois para um prisma arbitrário.
1. Considere um prisma triangular com volume V, área da base S e altura h. Marque um ponto O em uma das bases do prisma e direcione o eixo Ox perpendicularmente às bases. Considere uma seção de um prisma por um plano perpendicular ao eixo Ox e, portanto, paralelo ao plano da base. Denotamos pela letra x a abcissa do ponto de interseção deste plano com o eixo Ox e por S (x) - a área da seção resultante.
Vamos provar que a área S(x) é igual à área S da base do prisma. Para fazer isso, observe que os triângulos ABC (a base do prisma) e A1B1C1 (a seção do prisma pelo plano considerado) são iguais. De fato, o quadrilátero AA1BB1 é um paralelogramo (os segmentos AA1 e BB1 são iguais e paralelos), então A1B1=AB. Da mesma forma, prova-se que B1C1=BC e A1C1=AC. Assim, os triângulos A1B1C1 e ABC são iguais em três lados. Portanto, S(x)=S. Aplicando agora a fórmula básica para calcular os volumes dos corpos em a=0 e b=h, obtemos
2. h h h, S S*h. O teorema foi provado.
2. Vamos agora provar o teorema para um prisma arbitrário com altura h e área de base S. Tal prisma pode ser dividido em prismas triangulares com uma altura total h. Expressamos o volume de cada prisma triangular de acordo com a fórmula que provamos e somamos esses volumes. Colocando o fator comum entre parênteses h, obtemos entre parênteses a soma das áreas das bases dos prismas triangulares, ou seja, a área S a base do prisma original. Assim, o volume do prisma original é S*h. O teorema foi provado.
O volume é uma característica de qualquer figura que tenha dimensões diferentes de zero em todas as três dimensões do espaço. Neste artigo, do ponto de vista da estereometria (a geometria das figuras espaciais), consideraremos um prisma e mostraremos como encontrar os volumes de prismas de vários tipos.
A estereometria tem uma resposta exata para essa pergunta. Um prisma nele é entendido como uma figura formada por duas faces poligonais idênticas e vários paralelogramos. A figura abaixo mostra quatro prismas diferentes.
Cada um deles pode ser obtido da seguinte forma: você precisa pegar um polígono (triângulo, quadrilátero e assim por diante) e um segmento de um determinado comprimento. Em seguida, cada vértice do polígono deve ser transferido usando segmentos paralelos para outro plano. No novo plano, que será paralelo ao original, será obtido um novo polígono, semelhante ao escolhido inicialmente.
Prismas podem ser de diferentes tipos. Assim, eles podem ser retos, oblíquos e corretos. Se a borda lateral do prisma (o segmento que liga os topos das bases) é perpendicular às bases da figura, então esta é uma linha reta. Assim, se essa condição não for atendida, estamos falando de um prisma inclinado. Uma figura regular é um prisma reto de base equiângulo e equilátero.
Volume de prismas regulares
Vamos começar com o caso mais simples. Damos a fórmula para o volume de um prisma regular com uma base n-gonal. A fórmula de volume V para qualquer figura da classe em consideração tem a seguinte forma:
Ou seja, para determinar o volume, basta calcular a área do osso das bases S o e multiplicá-la pela altura h da figura.
No caso de um prisma regular, denotamos o comprimento do lado de sua base pela letra a, e a altura, que é igual ao comprimento da aresta lateral, pela letra h. Se a base do n-gon estiver correta, a maneira mais fácil de calcular sua área é usar a seguinte fórmula universal:
S n \u003d n / 4 * a2 * ctg (pi / n).
Substituindo em igualdade o valor do número de lados n e o comprimento de um lado a, você pode calcular a área da base n-carvão. Observe que a função cotangente aqui é calculada para o ângulo pi/n, que é expresso em radianos.
Levando em conta a igualdade escrita para S n, obtemos a fórmula final para o volume de um prisma regular:
Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Para cada caso específico, pode-se escrever as fórmulas correspondentes para V, mas todas elas seguem inequivocamente da expressão geral escrita. Por exemplo, para um prisma quadrangular regular, que no caso geral é um paralelepípedo retangular, temos:
V 4 \u003d 4/4 * a2 * h * ctg (pi / 4) \u003d a2 * h.
Se tomarmos h=a nesta expressão, obtemos uma fórmula para o volume de um cubo.
Volume de prismas retos
Observamos imediatamente que para figuras retas não existe uma fórmula geral para calcular o volume, que foi dada acima para prismas regulares. Ao encontrar a quantidade em consideração, a expressão original deve ser usada:
Aqui h é o comprimento da aresta lateral, como no caso anterior. Quanto à área de base S o , ela pode assumir uma variedade de valores. A tarefa de calcular um prisma reto de volume é reduzida a encontrar a área de sua base.
O cálculo do valor de S o deve ser realizado com base nas características da própria base. Por exemplo, se for um triângulo, a área pode ser calculada da seguinte forma:
Aqui h a é o apótema do triângulo, isto é, sua altura baixada até a base a.
Se a base for um quadrilátero, então pode ser um trapézio, um paralelogramo, um retângulo ou um tipo completamente arbitrário. Para todos esses casos, você deve usar a fórmula de planimetria apropriada para determinar a área. Por exemplo, para um trapézio, esta fórmula se parece com:
S o4 \u003d 1/2 * (a 1 + a 2) * h a .
Onde h a é a altura do trapézio, a 1 e a 2 são os comprimentos de seus lados paralelos.
Para determinar a área de polígonos de ordem superior, deve-se decompô-los em figuras simples (triângulos, quadriláteros) e calcular a soma das áreas destes últimos.
Volume de prismas inclinados
Este é o caso mais difícil de calcular o volume de um prisma. A fórmula geral para tais números também se aplica:
No entanto, à complexidade de encontrar a área da base, representando um tipo arbitrário de polígono, soma-se o problema de determinar a altura da figura. Em um prisma inclinado, é sempre menor que o comprimento da aresta lateral.
A maneira mais fácil de encontrar essa altura é conhecer qualquer ângulo da figura (plano ou diedro). Se tal ângulo for dado, então deve-se usá-lo para construir um triângulo retângulo dentro do prisma, que conteria a altura h como um dos lados e, usando funções trigonométricas e o teorema de Pitágoras, encontrar o valor h.
Problema de volume geométrico
Dado um prisma regular de base triangular, com 14 cm de altura e 5 cm de lado, qual é o volume de um prisma triangular?
Já que estamos falando do número correto, temos o direito de usar a fórmula bem conhecida. Nós temos:
V3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Um prisma triangular é uma figura bastante simétrica, na forma da qual várias estruturas arquitetônicas são frequentemente executadas. Este prisma de vidro é usado em óptica.
