Matriz inversa · A matriz B é chamada inversa da matriz se a igualdade for verdadeira: . Designação: − Apenas quadrado matriz pode ter uma matriz inversa. - Nem todo quadrado matriz tem uma matriz inversa. Propriedades: 1. ; 2. ; 3. , onde as matrizes são quadradas, da mesma dimensão. De modo geral, se para matrizes não quadradas é possível um produto que será uma matriz quadrada, então a existência de uma matriz inversa também é possível , embora a propriedade 3 seja violada neste caso. Para encontrar a matriz inversa, você pode usar o método de transformações elementares de linhas: 1. Componha uma matriz estendida atribuindo uma matriz identidade da dimensão correspondente à direita da matriz original: . 2. Transformações elementares de linha da matriz G levam ao formato: . − classificação da Matriz necessária · Um menor da k-ésima ordem de uma matriz é um determinante composto por elementos da matriz original que estão na interseção de quaisquer k linhas e k colunas ( ). Comente. Cada elemento de uma matriz é seu menor de 1ª ordem. Teorema. Se na matriz todos os menores de ordem k são iguais a zero, então todos os menores de ordem superior são iguais a zero. Expandimos o menor (determinante) ( k+1)-ésima ordem através dos elementos da 1ª linha: . Adições algébricas são essencialmente menores k-ª ordem, que, pela suposição do teorema, são iguais a zero. Por isso, . · Na matriz de ordem, uma ordem menor é chamada básica se não for igual a zero, e todos os menores de ordem e superiores forem iguais a zero, ou não existirem, ou seja, corresponde ao menor dos números ou . As colunas e linhas da matriz que constituem o básico menor são chamadas de básicas. Pode haver várias bases menores diferentes em uma matriz que tenham a mesma ordem. · A ordem da base menor de uma matriz é chamada de posto da matriz E denotado: , . É óbvio isso. Por exemplo. 1. , . 2. . Matriz EM contém o único elemento diferente de zero que é menor de 1ª ordem. Todos os determinantes de ordem superior conterão a 0ª linha e, portanto, serão iguais a 0. Portanto,. matriz inversa 4. Sistemas de equações lineares. Conceitos Básicos. Sistema de equações algébricas lineares ( sistema linear, abreviaturas também são usadas SLAU, SNL) é um sistema de equações, cada equação em que é uma equação linear - algébrica de primeiro grau. Visão geral do sistema de equações algébricas lineares: Aqui está o número de equações, e é o número de variáveis, são as incógnitas a serem determinadas, coeficientes e termos livres supostamente conhecido. O sistema é chamado homogêneo, se todos os seus membros livres forem iguais a zero (), caso contrário - heterogêneo. A solução de um sistema de equações algébricas lineares é um conjunto de números tal que a partir da substituição correspondente, em vez de no sistema, transforma todas as suas equações em identidades. Um sistema é dito consistente se tiver pelo menos uma solução, e inconsistente se não tiver soluções. As soluções são consideradas diferentes se pelo menos um dos valores das variáveis ​​​​não corresponder. Um sistema conjunto com uma única solução é denominado definido, se houver mais de uma solução - subdeterminado. Forma matricial Um sistema de equações algébricas lineares pode ser representado em forma matricial como: ou: . Aqui está a matriz do sistema, é a coluna de incógnitas e é a coluna de membros livres. Se uma coluna de termos livres for atribuída à matriz à direita, a matriz resultante será chamada de matriz estendida. Teorema de Kronecker-Capelli Teorema de Kronecker-Capelli estabelece uma condição necessária e suficiente para a compatibilidade de um sistema de equações algébricas lineares através das propriedades das representações matriciais: o sistema é consistente se e somente se o posto de sua matriz coincide com o posto da matriz estendida. Métodos de resolução de sistemas de equações lineares. Método matricial Seja dado um sistema de equações lineares com incógnitas (sobre um corpo arbitrário): Vamos reescrever na forma matricial: Encontramos a solução do sistema pela fórmula Encontramos a matriz inversa pela fórmula: , onde é a matriz transposta dos complementos algébricos dos elementos correspondentes da matriz . Se, então a matriz inversa não existe e é impossível resolver o sistema pelo método matricial. Neste caso o sistema é resolvido pelo método de Gauss. Método de Cramer O método de Cramer (regra de Cramer) é um método para resolver SLAE com o número de equações igual ao número de incógnitas com um determinante principal diferente de zero da matriz. Para um sistema de equações lineares com incógnitas Substitua a i-ésima coluna da matriz por uma coluna de termos livres b Exemplo: Sistema de equações lineares com coeficientes reais: Eliminatórias: Nos determinantes, a coluna de coeficientes da incógnita correspondente é substituída pela coluna de termos livres do sistema. Solução: 5. Método de Gauss Algoritmo de solução: 1. Escreva a matriz aumentada 2. Traga-a para uma forma escalonada por meio de transformações elementares 3. Movimento reverso, durante o qual expressamos os termos básicos em termos de termos livres. Uma matriz aumentada é obtida adicionando uma coluna de termos livres à matriz. Existem as seguintes transformações elementares: 1. As linhas da matriz podem ser reorganizadas. 2. Se houver (ou aparecerem) linhas proporcionais (em um caso especial - idênticas) na matriz, todas essas linhas deverão ser excluídas da matriz, exceto uma. 3. Se uma linha zero aparecer na matriz durante as transformações, ela também deverá ser excluída. 4. A linha da matriz pode ser multiplicada (dividida) por qualquer número, diferente de zero. 5. À linha da matriz, você pode adicionar outra linha, multiplicada por um número diferente de zero. As transformações elementares não alteram a solução do sistema de equações Movimento reverso: Normalmente, como variáveis ​​​​básicas, são tomadas aquelas variáveis ​​​​que estão localizadas nos primeiros lugares nas linhas diferentes de zero da matriz transformada do sistema, ou seja, nas etapas. Além disso, os termos básicos são expressos em termos dos termos gratuitos. Vamos “de baixo para cima” expressando os termos básicos e substituindo os resultados na equação superior. Exemplo: Variáveis ​​básicas sempre “assentam” estritamente nas etapas da matriz. Neste exemplo, as variáveis ​​básicas são e as variáveis ​​livres são todas as variáveis ​​restantes que não deram um passo. No nosso caso, existem duas delas: - variáveis ​​livres. Agora tudo é necessário variáveis ​​de base expressar apenas através variáveis ​​livres. O movimento inverso do algoritmo gaussiano funciona tradicionalmente desde o final do século

Adição de matriz.

Propriedades de adição:

A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C) .

Multiplicando uma matriz por um número.

k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Multiplicação da matriz.

Matriz inversa.

Propriedades do qualificador

4. Teorema da substituição.

5. Teorema do cancelamento.

adições a esses elementos

onde eu= ,

Transposição de matriz.

Matriz transposta
A T[ eu, j] = A[j, eu].
Por exemplo,

E

superfícies cilíndricas.

A superfície formada pelo movimento da linha reta L, que se move no espaço, mantendo uma direção constante e interceptando alguma curva K a cada vez, é chamada de superfície cilíndrica ou cilindro, enquanto a curva K é a guia do cilindro, e L é sua geratriz.

Cilindro elíptico

Equação elíptica:

caso especial cilindro elípticoé cilindro circular, sua equação é x 2 + y 2 = R 2 . A equação x 2 \u003d 2pz determina no espaço cilindro parabólico.

A equação: define no espaço cilindro hiperbólico.

Todas essas superfícies são chamadas cilindros de segunda ordem, já que suas equações são equações de segundo grau em relação às coordenadas atuais x, y, z.

62. Elipsóides.

Examinamos a superfície dada pela equação:

Considere seções da superfície com planos paralelos ao plano xOy. Equações de tais planos: z=h, onde h é qualquer número. A reta obtida na seção é determinada por duas equações:

Examinando a superfície:

E se Que A linha de intersecção da superfície com os planos z=h não existe.

B) se , a linha de intersecção degenera em dois pontos (0,0,s) e (0,0,-s). O plano z = c, z = - c toca a superfície dada.

B) se , então as equações podem ser reescritas como:
, como você pode ver, a linha de intersecção é uma elipse com semieixos a1 = , b1 = . Neste caso, quanto menor h, maior será o semieixo. Em n=0 eles atingem seus valores máximos. a1=a, b1=b. As equações terão a forma:

As seções consideradas permitem representar a superfície como uma superfície oval fechada. A superfície é chamada de elipsóides. Se quaisquer semieixos forem iguais, o elipsóide triaxial se transforma em um elipsóide de revolução, e se a=b=c, então em uma esfera.

Hiperbolóides.

1. Explore a superfície . Cruzando a superfície com o plano z=h, obtemos uma linha de intersecção, cuja equação é

z=h. ou z=hmeios-eixos: a1= b1=

os semieixos atingem seu menor valor em h=0: a1=a, b1=b. À medida que h aumenta, os semieixos da elipse aumentarão. => x=0.

Uma análise dessas seções mostra que a superfície definida pela equação tem a forma de um tubo em expansão infinita. A superfície é chamada hiperbolóide de uma folha.

2. - equação de superfície.

E - uma superfície constituída por 2 cavidades em forma de taças convexas ilimitadas. A superfície é chamada hiperbolóide de duas folhas.

64. parabolóides.

.
-Esse parabolóide elíptico.

Equação canônica: (p>0, q>0).

p = q é um parabolóide de revolução em torno do eixo Oz.

As seções de um parabolóide elíptico por planos são uma elipse, ou uma parábola, ou um ponto.

2.
- parabolóide hiperbólico.

As seções de um parabolóide hiperbólico por planos são uma hipérbole, ou uma parábola, ou um par de linhas retas (geradores retilíneos).

65. Superfícies canônicas.

Equação canônica:

a = b - cone de revolução (reta circular)
Seções do cone por planos: em um plano que cruza todos os geradores retilíneos - uma elipse; em um plano paralelo a uma geratriz retilínea - uma parábola; em um plano paralelo a dois geradores retilíneos - uma hipérbole; no plano que passa pelo vértice do cone, um par de linhas que se cruzam ou um ponto (vértice).

66. Função. Conceitos Básicos. Maneiras de configurá-lo.

Uma função é uma lei segundo a qual o número x de um determinado conjunto X está associado a apenas um número y, eles escrevem, enquanto x é chamado de argumento da função, y

é chamado de valor da função.

1. Método analítico.

2. Maneira gráfica.

3. Maneira verbal.

4. Método tabular.

Teorema da comparação.

na teoria das equações diferenciais, um teorema que afirma a existência de uma certa propriedade de soluções para uma equação diferencial (ou um sistema de equações diferenciais) sob a suposição de que uma equação auxiliar ou desigualdade (um sistema de equações diferenciais ou desigualdades) tem alguns propriedade.

1) Teorema de Shturm: qualquer solução não trivial de uma equação desaparece em um segmento não mais do que m vezes se a equação tiver esta propriedade e em.

2) Desigualdade diferencial: a solução do problema é componente não negativa se esta propriedade tiver solução para o problema e as desigualdades forem satisfeitas

O primeiro é um limite maravilhoso.

Ao calcular os limites de expressões contendo funções trigonométricas, o limite é frequentemente usado chamado o primeiro limite notável.

Lê-se: o limite da razão entre o seno e seu argumento é igual a um quando o argumento tende a zero.

Prova:

Pegue um círculo de raio 1 e denote a medida em radianos do ângulo MOB como x. deixe 0 , o arco MB é numericamente igual ao ângulo central x, . Obviamente temos. Com base nas fórmulas geométricas correspondentes, obtemos . Divida a desigualdade por >0, obtenha 1<

Porque , então pelo sinal (no limite de uma função intermediária) a existência de limites .

E se x<0 => , onde –x>0 =>

83. O segundo limite notável.

Como você sabe, o limite de uma sequência numérica
, tem um limite igual a e. . 1. Deixe . Cada valor x é colocado entre dois números inteiros positivos: , onde n=[x] é a parte inteira de x. Daí segue, portanto
. Se , Que . É por isso:
,

Com base na existência de limites: . 2. Deixe . Vamos fazer uma substituição –x=t, então = . E são chamados de segundo limite notável. Eles são amplamente utilizados no cálculo de limites. Nas aplicações de análise, a função exponencial com base e desempenha um papel importante. Função é chamado de exponencial, a notação também é usada .

Prova.

(levando em consideração o fato de que se Dx®0, então Du®0, já que u = g(x) é uma função contínua)

Então . O teorema foi provado.

Teorema de Cauchy

Teorema de Cauchy: Se as funções f(x) e são contínuos no intervalo, diferenciáveis ​​no intervalo (a, b), e Para , então há pelo menos um ponto , tal que a igualdade
.

Matrizes. Conceitos Básicos. Operações lineares sobre matrizes e suas propriedades.

Uma matriz m por n é uma coleção de mn números reais (complexos) ou elementos de outra estrutura (polinômios, funções, etc.), escrita na forma de uma tabela retangular, que consiste em m linhas en colunas e é tiradas em colchetes redondos ou retangulares ou duplos retos. Nesse caso, os próprios números são chamados de elementos da matriz, e cada elemento recebe dois números - o número da linha e o número da coluna.

Uma matriz cujos elementos são iguais a zero é chamada de matriz zero

Uma matriz n por n é chamada de matriz quadrada de enésima ordem, ou seja, o número de linhas é igual ao número de colunas.

Dizemos que uma matriz quadrada é diagonal se todas as suas entradas fora da diagonal forem iguais a zero.

Uma matriz diagonal com todas as entradas diagonais iguais a 1 é chamada de matriz identidade
Adição de matriz.

Propriedades de adição:

A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C) .

Se O é uma matriz zero, então A + O = O + A = A

Observação 1. A validade dessas propriedades decorre da definição da operação de adição de matrizes.

Observação 2. Observe novamente que apenas matrizes da mesma dimensão podem ser adicionadas.

Multiplicando uma matriz por um número.

Propriedades de multiplicar uma matriz por um número

k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Observação 1. A validade das propriedades segue das Definições 3.4 e 3.5.

Observação 2. Vamos chamar a diferença das matrizes A e B de matriz C, para a qual С+В=А, ou seja, С=А+(-1)В.
Multiplicação da matriz.

A multiplicação de uma matriz por uma matriz também exige o cumprimento de certas condições para as dimensões dos fatores, a saber: o número de colunas do primeiro fator deve ser igual ao número de linhas do segundo.

Para matrizes quadradas da mesma ordem, os produtos AB e BA existem e têm a mesma dimensão, mas os seus elementos correspondentes geralmente não são iguais.

Contudo, em alguns casos os produtos AB e BA coincidem

Matriz inversa.

Uma matriz quadrada A é chamada degenerada se ∆A=0, e não degenerada se ∆A≠0

Uma matriz quadrada B é chamada de inversa de uma matriz quadrada A da mesma ordem se AB = BA = E. Neste caso, B é denotado

Para que exista a matriz inversa é necessário e suficiente que a matriz original seja não singular.

2. Determinante da matriz. Propriedades dos determinantes.

O determinante (ou determinante) é um dos conceitos básicos da álgebra linear. O determinante de uma matriz é um polinômio nos elementos de uma matriz quadrada (ou seja, aquela que possui o mesmo número de linhas e colunas). Em geral, uma matriz pode ser definida sobre qualquer anel comutativo, caso em que o determinante será um elemento do mesmo anel. (∆A)

Propriedades do qualificador

· O determinante é uma função multilinear assimétrica de linhas (colunas) de uma matriz. Polilinearidade significa que o determinante é linear em todas as linhas (colunas): , onde, etc. - as linhas da matriz, - o determinante de tal matriz.

· Ao adicionar uma combinação linear de outras linhas (colunas) a qualquer linha (coluna), o determinante não será alterado.

· Se duas linhas (colunas) de uma matriz são iguais, então seu determinante é igual a zero.

· Se duas (ou várias) linhas (colunas) de uma matriz são linearmente dependentes, então o seu determinante é igual a zero.

· Se você reorganizar duas linhas (colunas) de uma matriz, seu determinante será multiplicado por (-1).

· O fator comum dos elementos de qualquer série do determinante pode ser retirado do sinal do determinante.

· Se pelo menos uma linha (coluna) da matriz for zero, então o determinante é igual a zero.

· A soma dos produtos de todos os elementos de qualquer corda e seus complementos algébricos é igual ao determinante.

· A soma dos produtos de todos os elementos de qualquer série e dos complementos algébricos dos elementos correspondentes da série paralela é igual a zero.

· O determinante do produto de matrizes quadradas da mesma ordem é igual ao produto dos seus determinantes (ver também a fórmula de Binet-Cauchy).

Usando a notação de índice, o determinante de uma matriz 3×3 pode ser determinado usando o símbolo Levi-Civita da relação:

3. Menores e adições algébricas.

O menor de um elemento de uma matriz de enésima ordem é o determinante da matriz de (n-1)ésima ordem, obtido da matriz A eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Ao escrever o determinante (n-1)-ésima ordem, no determinante original, os elementos sob as linhas não são levados em consideração.
O complemento algébrico Aij do elemento aij de uma matriz de n-ésima ordem é o seu menor, tomado com sinal, dependendo do número da linha e do número da coluna: ou seja, o complemento algébrico coincide com o menor quando a soma dos os números das linhas e colunas são um número par e diferem do sinal menor, quando a soma dos números das linhas e colunas é um número ímpar.

4. Teorema da substituição.

As somas dos produtos dos números arbitrários bi ,b2,...,b e os complementos algébricos dos elementos de qualquer coluna ou linha de uma matriz de ordem n são iguais ao determinante da matriz que se obtém da matriz dada substituindo os elementos desta coluna (linha) pelos números b1,b2,...,bn.

5. Teorema do cancelamento.

A soma dos produtos dos elementos de uma das colunas (linhas) da matriz e dos complementos algébricos correspondentes dos elementos de outra coluna (linha) é igual a zero.

6. Alguns métodos de cálculo de determinantes.

Teorema (Laplace). O determinante da matriz de ordem N = a soma do produto de todos os menores da k-ésima ordem, que pode ser composta por k séries paralelas escolhidas arbitrariamente e complementos algébricos desses menores

Teorema (sobre a decomposição do determinante em termos dos elementos da série). Determinante quadrado. matrizes = a soma dos produtos dos elementos de uma determinada série e algébrica

adições a esses elementos

7. Multiplicação da matriz. propriedades de multiplicação.

A operação de multiplicação de duas matrizes é introduzida apenas no caso em que o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz.

O produto da matriz А m * n = (a i , g) e a matriz B n * p = (b i , k) é a matriz Сm*p = (с i , k) tal que: ,

onde eu= , , ou seja o elemento da i-ésima e k-ésima coluna da matriz de produto C é igual à soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha da matriz A e os elementos correspondentes da k-ésima coluna da matriz B .

Matrizes A, n*m e B, m*n, chamadas. acordado. (Se A é consistente com B, isso não significa que B seja consistente com A).

O significado de consistência é que o número de colunas da 1ª matriz corresponde ao número de linhas da 2ª matriz. Para matrizes consistentes, a operação de multiplicação pode ser definida.

Se as matrizes A e B são quadradas e do mesmo tamanho, então A*B e B*A sempre existem. A transposição é a substituição de todos os elementos de uma coluna pelos elementos correspondentes de uma linha. Se A T = A, então a matriz A é chamada. simétrico (é necessariamente quadrado).

Transposição de matriz.

Matriz transposta- matriz obtida a partir da matriz original substituindo linhas por colunas.
Formalmente, a matriz transposta para a matriz de tamanho é a matriz de tamanho, definida como A T[ eu, j] = A[j, eu].
Por exemplo,

E

Matriz inversa. Uma condição necessária e suficiente para a existência de uma matriz inversa. Encontrando a matriz inversa.

Seja uma matriz A - não degenerada.

A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, onde E é a matriz identidade. A -1 tem as mesmas dimensões que A.

Algoritmo para encontrar a matriz inversa:

1. Em vez de cada elemento da matriz a ij escrevemos seu complemento algébrico.

A* - matriz sindical.

2. transponha a matriz de união resultante. NO

3. divida cada elemento da matriz união pelo determinante da matriz A.

UMA -1 = UMA *T

Teorema: (sobre a aniquilação do determinante):
a soma dos produtos dos elementos de alguma série do determinante e do complemento algébrico dos elementos de outra série paralela é sempre igual a zero.

10. Notação matricial de um sistema de equações lineares e suas soluções.

As matrizes permitem escrever brevemente um sistema de equações lineares. Seja dado um sistema de 3 equações com três incógnitas:

Considere a matriz do sistema e colunas matriciais de membros desconhecidos e livres

Vamos encontrar o produto

aqueles. como resultado do produto, obtemos os lados esquerdos das equações deste sistema. Então, usando a definição de igualdade matricial, este sistema pode ser escrito como

ou mais curto A∙X=B.

Aqui matrizes A E B são conhecidos e a matriz X desconhecido. Ela precisa ser encontrada, porque. seus elementos são a solução deste sistema. Esta equação é chamada equação matricial.

Seja o determinante da matriz diferente de zero | A| ≠ 0. Então a equação matricial é resolvida da seguinte forma. Multiplique ambos os lados da equação à esquerda pela matriz A-1, o inverso da matriz A: . Porque o UMA -1 UMA = E E E∙X=X, então obtemos a solução da equação matricial na forma X = A -1 B.

Observe que, como a matriz inversa só pode ser encontrada para matrizes quadradas, o método matricial só pode resolver os sistemas nos quais o número de equações é igual ao número de incógnitas. No entanto, a notação matricial do sistema também é possível no caso em que o número de equações não é igual ao número de incógnitas, então a matriz A não é quadrado e, portanto, é impossível encontrar uma solução para o sistema na forma X = A -1 B.

11. Solução de sistemas lineares não degenerados, fórmulas de Cramer.

SLAE é geralmente escrito em forma de matriz, quando as próprias incógnitas não são indicadas, mas apenas a matriz do sistema A e a coluna de termos livres B são indicadas.

Solução de SLAE não degenerado pelo método de Cramer:

UMA -1 =

X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 +…+A n 1 b n)

Teorema: (Cramer):
solução de equações não degeneradas AX=B, pode ser escrito assim:

, Ak é obtido de A substituindo a k-ésima coluna pela coluna do termo livre B.

12. Classificação da matriz. Propriedades de classificação da matriz. Cálculo da classificação de uma matriz usando transformações elementares.

O número máximo de linhas linearmente dependentes da matriz A é chamado. classificação da matriz e denotada por r(a). A maior das ordens dos menores de uma dada matriz diferente de 0 é chamada classificação da matriz.

Propriedades:

1) ao transpor rang=const.

2) se você riscar a linha zero, então rang=const;

3) classificação=custo, com transformações elementares.

3) calcular a classificação usando a matriz de transformação de elemento A-transformada para matrizes B, cuja classificação é facilmente encontrada.

4) a classificação dos triângulos da matriz = o número de elementos diferentes de zero, localizados nas diagonais principais.

Métodos para encontrar a classificação de uma matriz:

1) o método de fazer fronteira com menores

2) método de transformações elementares

Método Menor de Franja:

o método de fronteira de menores permite algoritmizar o processo de localização da matriz de classificação e permite minimizar a quantidade de cálculo de menores.

1) se a matriz tiver todos os elementos zero, então classificação = 0

2) se houver pelo menos um elemento diferente de zero => r(a)>0

agora faremos fronteira com o M1 menor, ou seja, construiremos todos os possíveis menores de 2ª ordem, ktr. conter a i-ésima linha e a j-ésima coluna, até encontrarmos um menor diferente de zero de 2ª ordem.

O processo continuará até um dos eventos:
1. o tamanho do menor atingirá o número k.

2. em algum momento, todos os menores limitados serão = 0.

Em ambos os casos, o valor da matriz de classificação será igual à ordem do maior menor diferente de zero.

Método de transformações elementares:
como se sabe, o conceito de matriz triangular é definido apenas para matrizes quadradas. Para matrizes retangulares, o análogo é o conceito de matriz trapezoidal.

Por exemplo:
classificação = 2.

A matriz inversa da dada.

Nem toda matriz tem uma inversa.

Teorema 1. As propriedades mais simples da matriz inversa.

1°. Qualquer matriz pode ter no máximo uma inversa.

2°. E –1 = E.

3°. ( A –1) –1 = A.

4°. ( AB) –1 = B –1 A –1 .

Matrizes quadradas degeneradas e não degeneradas.

Teorema 2. Critério de invertibilidade da matriz.

Uma matriz é invertível se e somente se for não degenerada.

Lema 1. Qualquer transformação elementar de linha (coluna) de uma matriz pode ser realizada multiplicando esta matriz da esquerda (direita) pela matriz elementar correspondente.

Lema 2. Para que uma matriz seja não singular, é necessário e suficiente que ela possa ser reduzida à matriz identidade usando apenas transformações elementares de linha.

Lema 3. Se as linhas (colunas) da matriz A (B) são linearmente dependentes e C = AB, então exatamente a mesma dependência linear vale para as linhas (colunas) da matriz COM.

Maneira prática de calcular a matriz inversa:

A|E ... E|A –1 .

Equações matriciais.

Notação SLE na forma de uma única equação matricial de forma especial. Terem de Cramer em forma de matriz.

Permutações e substituições

Permutações. Registro de permutação. Número de permutações n elementos. Inversões. Permutações pares e ímpares. Transposições.

Teorema. Propriedades das transposições.

1°. De qualquer permutação, você pode passar para qualquer outra permutação com a ajuda de várias transposições.

2°. Cada transposição altera a paridade da permutação.

Substituições. S n. Gravação de substituição. Paridade de substituição. A exatidão da definição da paridade de uma substituição. Curinga. (–1)s (p) .

Definição de um determinante

Definição de um determinante.

Exemplos de cálculo dos determinantes de matrizes de segunda e terceira ordens, o determinante da matriz triangular superior (inferior), o determinante de uma matriz em que todos os elementos abaixo (acima) da diagonal secundária são iguais a zero.

Propriedades Determinantes

Teorema. Propriedades determinantes.

1°. isso A= det A.

2°.det = det + det .

3°. det = l×det.

4°. det = -det.

5°. Se uma das linhas da matriz for zero, então o determinante da matriz é zero.

6°. Se quaisquer duas linhas da matriz forem iguais, então o determinante da matriz é zero.

7°. Se quaisquer duas linhas da matriz forem proporcionais, então o determinante da matriz é zero.

8°. Se uma das linhas da matriz for multiplicada por um número e adicionada à outra linha, o determinante não mudará.

9°. O determinante de uma matriz degenerada é zero.

10°. O determinante de uma matriz não singular é diferente de zero.

Observação. As propriedades 1°–4° são provadas por definição, as propriedades restantes são derivadas usando as propriedades 1°–4°.

Corolário 1. Um critério para não singularidade de uma matriz.

Uma matriz quadrada é não degenerada se e somente se seu determinante for diferente de zero.

Consequência 2. Sistema homogêneo de equações lineares, consistindo em n equações com n desconhecido, tem soluções diferentes de zero se e somente se o determinante da matriz do sistema for igual a zero.

Menores e adições algébricas. Expansão de linha e coluna do determinante

Menor Mij matriz quadrada. Adição algébrica Aij elemento aij matriz quadrada.

Teorema sobre decomposição.

det A = um k 1 Um k 1 +um k 2 Um k 2 + ... +um kn um kn, det A = a 1k A 1k +a 2k A 2k + ... +um nk um nk

para qualquer k =

Etapas da prova

1. Para uma matriz na qual Um = e n, por definição det.

2. Para uma matriz na qual Um eu = e j, reduzindo para o caso 1, levando em consideração o sinal Um eu e imutabilidade Mij.

3. Caso geral por representação Um eu como uma soma n vetores e redução ao caso 2.

Outra propriedade do determinante

11°. um k 1 Ap 1 +um k 2 Ap 2 + ... +um kn Um pn,a 1 k-A 1 p+a 2 k-A 2 p+ ... +um nk Um np, Se k ¹ p.

Matriz A -1 é chamada reverter em relação à matriz quadrada A, se ao multiplicar esta matriz pela matriz A, tanto à direita quanto à esquerda, obtém-se uma matriz identidade: A -1 * A = A * A -1 = E.

Segue-se da definição que a matriz inversa é uma matriz quadrada da mesma ordem que a matriz A.

Pode-se notar que o conceito de matriz inversa é semelhante ao conceito de número inverso (este é um número que, quando multiplicado por um determinado número, dá um: a * a -1 \u003d a * (1 /a) = 1).

Todos os números, exceto zero, têm recíprocos.

Para decidir se uma matriz quadrada possui inversa, é necessário encontrar seu determinante. Se o determinante de uma matriz for zero, então tal matriz é chamada degenerar, ou especial.

Condição necessária e suficiente para a existência de uma matriz inversa: a matriz inversa existe e é única se e somente se a matriz original for não singular.

Vamos provar a necessidade. Deixe a matriz A ter uma matriz inversa A -1 , ou seja, A -1 * A = E. Então |A -1 * A| =|A-1| * |A| = |E| = 1. Portanto, |A|0.

Vamos provar a suficiência. Para provar isso, basta descrever uma forma de calcular a matriz inversa, que sempre podemos aplicar a uma matriz não singular.

Então deixe |A| 0. Transpomos a matriz A. Para cada elemento AT encontramos um complemento algébrico e formamos uma matriz a partir deles, que é chamada apegado(mútuo, aliado):
.

Encontre o produto da matriz anexada e do original
. Pegar
. Assim, a matriz B é diagonal. Em sua diagonal principal estão os determinantes da matriz original, e todos os outros elementos são zeros:

Da mesma forma, pode-se mostrar que
.

Se dividirmos todos os elementos da matriz por |A|, então será obtida a matriz identidade E.

Por isso
, ou seja
.

Vamos provar a unicidade da matriz inversa. Suponha que exista outra matriz inversa para A diferente de A -1 . Nós o denotamos por X. Então A * X \u003d E. Multiplique ambos os lados da igualdade à esquerda por A -1.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

A singularidade está comprovada.

Assim, o algoritmo de cálculo da matriz inversa consiste nas seguintes etapas:

1. Encontre o determinante da matriz |A| . Se |A| = 0, então a matriz A é degenerada e a matriz inversa não pode ser encontrada. Se |A| 0 e vá para a próxima etapa.

2. Construa a matriz transposta AT.

3. Encontre os complementos algébricos dos elementos da matriz transposta e construa a matriz associada .

4. Calcule a matriz inversa dividindo a matriz associada por |A|.

5. Você pode verificar a exatidão do cálculo da matriz inversa de acordo com a definição: A -1 * A = A * A -1 = E.

Vamos encontrar o determinante desta matriz pela regra dos triângulos:

Vamos pular a verificação.

As seguintes propriedades de inversão de matriz podem ser provadas:

1) |A-1 | = 1/|UM|

2) (A -1) -1 = UMA

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 \u003d B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (A T) -1

Classificação da matriz

Menork-ª ordem matrizes A de tamanho m x n são chamadas de determinante de uma matriz quadrada de k-ésima ordem, que é obtida da matriz A excluindo quaisquer linhas e colunas.

Resulta da definição que a ordem do menor não excede a menor das suas dimensões, ou seja, kmin(m;n). Por exemplo, a partir da matriz A 5x3, você pode obter submatrizes quadradas de primeira, segunda e terceira ordens (respectivamente, calcule os menores dessas ordens).

classificação matrizes nomeiam a ordem mais alta de menores diferentes de zero desta matriz (denotada como rang A ou r (A)).

Resulta da definição que

1) a classificação da matriz não excede a menor de suas dimensões, ou seja, r(А)min(m;n);

2) r(А) = 0 se e somente se a matriz for zero (todos os elementos da matriz são iguais a zero), ou seja, r(А) = 0А = 0;

3) para uma matriz quadrada de enésima ordem r(A) = n se e somente se esta matriz A for não degenerada, ou seja, r(A) = n|A|0.

Na verdade, para isso basta calcular apenas um desses menores (aquele obtido eliminando a terceira coluna (porque o resto conterá uma terceira coluna zero e, portanto, são iguais a zero).

De acordo com a regra do triângulo = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Como todos os menores de terceira ordem são zero, r(А)2. Como existe um menor de segunda ordem diferente de zero, por exemplo,

Obviamente, os métodos que utilizamos (consideração de todos os possíveis menores) não são adequados para determinar a classificação em casos mais complexos devido à alta complexidade. Normalmente, para encontrar o posto de uma matriz, são utilizadas algumas transformações, que são chamadas elementar:

1). Eliminando zero linhas (colunas).

2). Multiplicar todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número diferente de zero.

3). Alterando a ordem das linhas (colunas) de uma matriz.

4). Somando a cada elemento de uma linha (coluna) os elementos correspondentes de outra linha (coluna), multiplicado por qualquer número.

5). Transposição.

Se a matriz A for obtida da matriz B por transformações elementares, então essas matrizes são chamadas equivalente e denotado por AB.

Teorema. As transformações elementares de uma matriz não alteram sua classificação.

A prova do teorema segue das propriedades do determinante da matriz. Na verdade, sob estas transformações, os determinantes das matrizes quadradas são preservados ou multiplicados por um número diferente de zero. Como resultado, a ordem mais alta de menores diferentes de zero da matriz original permanece a mesma, ou seja, sua classificação não muda.

Com a ajuda de transformações elementares, a matriz é levada à chamada forma escalonada (transformada em matriz de etapas), ou seja eles conseguem que na matriz equivalente sob a diagonal principal haja apenas zero elementos, e na diagonal principal - diferentes de zero:

A classificação da matriz escalonada é r, pois excluindo colunas dela, começando em (r + 1) e além, você pode obter uma matriz triangular de ordem r, cujo determinante será diferente de zero, uma vez que será um produto de elementos diferentes de zero (portanto, existe um menor de ordem r que não é igual a zero):

Exemplo. Encontre a classificação de uma matriz

1). Se a 11 = 0 (como no nosso caso), então, reorganizando as linhas ou colunas, conseguiremos que a 11  0. Aqui trocamos a 1ª e a 2ª linhas da matriz:

2). Agora um 11 0. Por transformações elementares, garantiremos que todos os outros elementos da primeira coluna sejam iguais a zero. Na segunda linha a 21 = 0. Na terceira linha a 31 = -4. Para substituir (-4) por 0, adicione à terceira linha a primeira linha multiplicada por 2 (ou seja, por (-à 31 /à 11) = -(-4)/2 = = 2). Da mesma forma, adicione a primeira linha à quarta linha (multiplicada por um, ou seja, por (-a 41 / a 11) \u003d - (-2) / 2 \u003d 1).

3). Na matriz resultante, a 22  0 (se houvesse 22 = 0, poderíamos reorganizar as linhas novamente). Conseguiremos que abaixo da diagonal na segunda coluna também haja zeros. Para fazer isso, adicione a segunda linha multiplicada por -3 às 3ª e 4ª linhas ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \ u003d - 3):

4). Na matriz resultante, as duas últimas linhas são zero e podem ser descartadas:

Uma matriz escalonada composta por duas linhas é obtida. Portanto, r(A) = 2.

Matriz não singularé uma matriz quadrada de enésima ordem, cujo determinante é diferente de zero. Caso contrário, a matriz é chamada degenerar.

Teorema ( exclusividade da existência de uma matriz inversa): Se uma matriz possui uma matriz inversa, então ela é única.

Prova.

Deixe que haja uma matriz para qual e uma matriz para qual.

Então, é isso. Multiplicando ambos os lados da igualdade pela matriz, obtemos, onde e.

Portanto, o que deveria ser provado.

12. Equações matriciais, sua solução usando a matriz inversa.

As equações matriciais podem ser assim:

AX = B, XA = B, AXB = C,

onde A, B, C são matrizes dadas, X é a matriz desejada.

As equações matriciais são resolvidas multiplicando a equação por matrizes inversas.

Por exemplo, para encontrar a matriz de uma equação, você precisa multiplicar essa equação por à esquerda.

Portanto, para encontrar uma solução para a equação, você precisa encontrar a matriz inversa e multiplicá-la pela matriz do lado direito da equação.

13. Sistemas quadráticos de equações lineares. Regra de Cramer.

Um sistema de m equações lineares em n incógnitas (ou um sistema linear) em álgebra linear é um sistema de equações da forma

O método de Cramer (regra de Cramer) é um método para resolver sistemas quadrados de equações algébricas lineares com um determinante diferente de zero da matriz principal (além disso, para tais equações, a solução existe e é única). Nomeado em homenagem a Gabriel Cramer (1704–1752), que inventou o método.

Para um sistema de n equações lineares com n incógnitas (em um campo arbitrário)

com o determinante da matriz do sistema Δ diferente de zero, a solução é escrita como

(a i-ésima coluna da matriz do sistema é substituída por uma coluna de termos livres).

De outra forma, a regra de Cramer é formulada da seguinte forma: para quaisquer coeficientes c 1 , c 2 , ..., c n a igualdade é verdadeira:

Sistema de equações lineares: