Lição de aplicação complexa do conhecimento.

Objetivos da lição.

1. Considere vários métodos para resolver equações trigonométricas.
2. Desenvolvimento das capacidades criativas dos alunos através da resolução de equações.
3. Incentivar os alunos ao autocontrole, ao controle mútuo, à autoanálise de suas atividades educacionais.

Equipamentos: tela, projetor, material de referência.

Durante as aulas

Conversa introdutória.

O principal método para resolver equações trigonométricas é a redução mais simples. Nesse caso, são utilizados os métodos usuais, por exemplo, a fatoração, bem como as técnicas utilizadas apenas para resolver equações trigonométricas. Existem muitos desses truques, por exemplo, várias substituições trigonométricas, transformações de ângulos, transformações de funções trigonométricas. A aplicação indiscriminada de quaisquer transformações trigonométricas geralmente não simplifica a equação, mas a complica desastrosamente. Para desenvolver em termos gerais um plano para resolver a equação, para delinear a maneira de reduzir a equação ao mais simples, é necessário antes de tudo analisar os ângulos - os argumentos das funções trigonométricas incluídas na equação.

Hoje vamos falar sobre métodos para resolver equações trigonométricas. Um método escolhido corretamente permite muitas vezes uma simplificação significativa da solução, portanto, todos os métodos que estudamos devem sempre ser mantidos na zona de nossa atenção para resolver as equações trigonométricas da maneira mais adequada.

II. (Usando um projetor, repetimos os métodos para resolver equações.)

1. Um método para reduzir uma equação trigonométrica a uma algébrica.

É necessário expressar todas as funções trigonométricas através de uma, com o mesmo argumento. Isso pode ser feito usando a identidade trigonométrica básica e seus corolários. Obtemos uma equação com uma função trigonométrica. Tomando-a como uma nova incógnita, obtemos uma equação algébrica. Encontramos suas raízes e voltamos à antiga incógnita, resolvendo as equações trigonométricas mais simples.

2. Método de fatoração.

Para alterar ângulos, fórmulas de redução, somas e diferenças de argumentos, bem como fórmulas para converter a soma (diferença) de funções trigonométricas em um produto e vice-versa são frequentemente úteis.

senx + sen3x = sen2x + sen4x

3. Método para introduzir um ângulo adicional.

4. Método de utilização da substituição universal.

Equações da forma F(sinx, cosx, tgx) = 0 são reduzidas a equações algébricas usando a substituição trigonométrica universal

Expressando o seno, cosseno e tangente em termos da tangente de um semi-ângulo. Esse truque pode levar a uma equação de ordem superior. A decisão de que é difícil.

Métodos para resolver equações trigonométricas

Introdução 2

Métodos para resolver equações trigonométricas 5

Algébrico 5

Resolvendo equações usando a condição de igualdade de funções trigonométricas de mesmo nome 7

Fatoração 8

Redução a uma equação homogênea 10

Introdução do ângulo auxiliar 11

Converter produto para soma 14

Substituição universal 14

Conclusão 17

Introdução

Até a décima série, a ordem das ações de muitos exercícios que levam ao objetivo, como regra, é definida de forma inequívoca. Por exemplo, equações e desigualdades lineares e quadráticas, equações fracionárias e equações redutíveis a quadráticas, etc. Sem analisar em detalhes o princípio de resolução de cada um dos exemplos mencionados, observamos o geral necessário para sua solução bem-sucedida.

Na maioria dos casos, você precisa determinar que tipo de tarefa é, lembrar a sequência de ações que levam ao objetivo e executar essas ações. É óbvio que o sucesso ou fracasso do aluno em dominar os métodos de resolução de equações depende principalmente do quanto ele será capaz de determinar corretamente o tipo de equação e lembrar a sequência de todas as etapas de sua solução. Claro, isso pressupõe que o aluno tenha as habilidades para realizar transformações e cálculos idênticos.

Uma situação completamente diferente ocorre quando um aluno encontra equações trigonométricas. Ao mesmo tempo, não é difícil estabelecer o fato de que a equação é trigonométrica. Dificuldades surgem ao encontrar um curso de ação que levaria a um resultado positivo. E aqui o aluno enfrenta dois problemas. É difícil determinar o tipo pela aparência da equação. E sem conhecer o tipo, é quase impossível escolher a fórmula desejada entre as várias dezenas disponíveis.

Para ajudar os alunos a encontrar o caminho através do complexo labirinto de equações trigonométricas, eles primeiro são apresentados às equações, que, após a introdução de uma nova variável, são reduzidas a quadrados. Em seguida, resolva equações homogêneas e reduza a elas. Tudo termina, em regra, com equações, para cuja solução é necessário fatorar o lado esquerdo, igualando cada um dos fatores a zero.

Entendendo que a meia dúzia de equações analisadas nas aulas claramente não são suficientes para deixar o aluno navegar de forma independente no "mar" trigonométrico, o professor acrescenta mais algumas recomendações dele mesmo.

Para resolver a equação trigonométrica, devemos tentar:

Traga todas as funções incluídas na equação para "os mesmos ângulos";

Traga a equação para "as mesmas funções";

Fatorize o lado esquerdo da equação, etc.

Mas, apesar do conhecimento dos principais tipos de equações trigonométricas e de vários princípios para encontrar sua solução, muitos alunos ainda se encontram em um impasse diante de cada equação que difere um pouco daquelas que foram resolvidas anteriormente. Ainda não está claro o que se deve buscar, tendo uma ou outra equação, por que em um caso é necessário aplicar as fórmulas de ângulo duplo, no outro - o meio ângulo e no terceiro - as fórmulas de adição, etc.

Definição 1. Uma equação trigonométrica é uma equação na qual a incógnita está contida sob o sinal de funções trigonométricas.

Definição 2. Diz-se que uma equação trigonométrica tem os mesmos ângulos se todas as funções trigonométricas nela incluídas tiverem argumentos iguais. Diz-se que uma equação trigonométrica tem as mesmas funções se contém apenas uma das funções trigonométricas.

Definição 3. O grau de um monômio contendo funções trigonométricas é a soma dos expoentes das potências das funções trigonométricas nele incluídas.

Definição 4. Uma equação é chamada homogênea se todos os monômios nela tiverem o mesmo grau. Este grau é chamado de ordem da equação.

Definição 5. Equação trigonométrica contendo apenas funções pecado e porque, é chamado de homogêneo se todos os monômios em relação às funções trigonométricas tiverem o mesmo grau, e as próprias funções trigonométricas tiverem ângulos iguais e o número de monômios for 1 maior que a ordem da equação.

Métodos de resolução de equações trigonométricas.

A solução de equações trigonométricas consiste em duas etapas: a transformação da equação para obter sua forma mais simples e a solução da equação trigonométrica mais simples resultante. Existem sete métodos básicos para resolver equações trigonométricas.

EU. método algébrico. Este método é bem conhecido da álgebra. (Método de substituição de variáveis ​​e substituição).

Resolva equações.

1)

Vamos introduzir a notação x=2 pecado3 t, Nós temos

Resolvendo esta equação, obtemos:
ou

Essa. pode ser escrito

Ao escrever a solução obtida devido à presença de sinais grau
não adianta escrever.

Responda:

Indicar

Obtemos uma equação quadrática
. Suas raízes são números
e
. Portanto, esta equação se reduz às equações trigonométricas mais simples
e
. Resolvendo-os, encontramos que
ou
.

Responda:
;
.

Indicar

não satisfaz a condição

Significa

Responda:

Vamos transformar o lado esquerdo da equação:

Assim, esta equação inicial pode ser escrita como:

, ou seja

denotando
, Nós temos
Resolvendo esta equação quadrática, temos:

não satisfaz a condição

Escrevemos a solução da equação original:

Responda:

Substituição
reduz esta equação para uma equação quadrática
. Suas raízes são números
e
. Porque
, então a equação dada não tem raízes.

Resposta: sem raízes.

II. Solução de equações usando a condição de igualdade das funções trigonométricas de mesmo nome.

a)
, E se

b)
, E se

dentro)
, E se

Usando essas condições, considere a solução das seguintes equações:

6)

Usando o que foi dito no item a), descobrimos que a equação tem solução se e somente se
.

Resolvendo esta equação, encontramos
.

Temos dois grupos de soluções:

.

7) Resolva a equação:
.

Usando a condição da parte b) deduzimos que
.

Resolvendo essas equações do segundo grau, obtemos:

.

8) Resolva a equação
.

Desta equação deduzimos que . Resolvendo esta equação quadrática, encontramos que

.

III. Fatoração.

Consideramos este método com exemplos.

9) Resolva a equação
.

Solução. Vamos mover todos os termos da equação para a esquerda: .

Transformamos e fatoramos a expressão do lado esquerdo da equação:
.

.

.

1)
2)

Porque
e
não tome o valor null

ao mesmo tempo, então separamos as duas partes

equações para
,

Responda:

10) Resolva a equação:

Solução.

ou

Responda:

11) Resolva a equação

Solução:

1)
2)
3)

,

Responda:

4. Redução a uma equação homogênea.

Para resolver uma equação homogênea, você precisa:

Mova todos os seus membros para o lado esquerdo;

Coloque todos os fatores comuns entre colchetes;

Igualar todos os fatores e colchetes a zero;

Parênteses igualados a zero dão uma equação homogênea de menor grau, que deve ser dividida por
(ou
) no grau superior;

Resolva a equação algébrica resultante para
.

Considere exemplos:

12) Resolva a equação:

Solução.

Divida os dois lados da equação por
,

Apresentando a notação
, nome

as raízes dessa equação são:

daqui 1)
2)

Responda:

13) Resolva a equação:

Solução. Usando as fórmulas de ângulo duplo e a identidade trigonométrica básica, reduzimos esta equação a meio argumento:

Reduzindo os termos semelhantes, temos:

Dividindo a última equação homogênea por
, Nós temos

vou designar
, obtemos a equação quadrática
, cujas raízes são números

Nesse caminho

Expressão
desaparece em
, ou seja no
,
.

Nossa solução para a equação não inclui esses números.

Responda:
, .

V. Introdução de um ângulo auxiliar.

Considere uma equação da forma

Onde a, b, c- coeficientes, x- desconhecido.

Divida ambos os lados desta equação por

Agora, os coeficientes da equação têm as propriedades de seno e cosseno, a saber: o módulo de cada um deles não excede a unidade e a soma de seus quadrados é igual a 1.

Então podemos rotulá-los de acordo
(aqui - ângulo auxiliar) e nossa equação assume a forma: .

Então

E sua decisão

Observe que a notação introduzida é intercambiável.

14) Resolva a equação:

Solução. Aqui
, então dividimos ambos os lados da equação por

Responda:

15) Resolva a equação

Solução. Porque
, então esta equação é equivalente à equação

Porque
, então existe um ângulo tal que
,
(Essa.
).

Nós temos

Porque
, então finalmente obtemos:

.

Observe que uma equação da forma tem solução se e somente se

16) Resolva a equação:

Para resolver esta equação, agrupamos funções trigonométricas com os mesmos argumentos

Divida os dois lados da equação por dois

Transformamos a soma das funções trigonométricas em um produto:

Responda:

VI. Converter produto em soma.

As fórmulas correspondentes são usadas aqui.

17) Resolva a equação:

Solução. Vamos converter o lado esquerdo em uma soma:

VII.Substituição universal.

,

essas fórmulas são verdadeiras para todos

Substituição
chamados universais.

18) Resolva a equação:

Solução: Substitua e
à sua expressão através
e denotar
.

Obtemos uma equação racional
, que é convertido para quadrado
.

As raízes desta equação são os números
.

Portanto, o problema foi reduzido a resolver duas equações
.

Achamos que
.

Ver valor
não satisfaz a equação original, que é verificada verificando - substituindo o valor dado t para a equação original.

Responda:
.

Comente. A Equação 18 poderia ser resolvida de uma maneira diferente.

Divida ambos os lados desta equação por 5 (ou seja, por
):
.

Porque
, então existe um número
, o que
e
. Então a equação fica:
ou
. A partir daqui encontramos que
Onde
.

19) Resolva a equação
.

Solução. Uma vez que as funções
e
têm o maior valor igual a 1, então sua soma é igual a 2 se
e
, ao mesmo tempo, ou seja,
.

Responda:
.

Ao resolver esta equação, utilizou-se a limitação das funções e.

Conclusão.

Trabalhando no tópico “Soluções de equações trigonométricas”, é útil que cada professor siga as seguintes recomendações:

Sistematizar métodos de resolução de equações trigonométricas.

Escolha você mesmo os passos para realizar a análise da equação e os sinais da conveniência de usar um ou outro método de solução.

Refletir sobre formas de autocontrole da atividade na implementação do método.

Aprenda a fazer "suas" equações para cada um dos métodos estudados.

Aplicação nº 1

Resolva equações homogêneas ou redutíveis.

1.	Representante
	Representante
	Representante
5.	Representante
	Representante
7.	Representante
	Representante

Equações trigonométricas mais complexas

Equações

pecado x = a,
porque x = a,
tg x = a,
ctg x = a

são as equações trigonométricas mais simples. Nesta seção, usando exemplos específicos, consideraremos equações trigonométricas mais complexas. Sua solução, como regra, é reduzida a resolver as equações trigonométricas mais simples.

Exemplo 1 . resolva a equação

pecado 2 X= cos X pecado 2 x.

Transferindo todos os termos desta equação para o lado esquerdo e decompondo a expressão resultante em fatores, obtemos:

pecado 2 X(1 - cos X) = 0.

O produto de duas expressões é igual a zero se e somente se pelo menos um dos fatores for igual a zero, e o outro assumir qualquer valor numérico, desde que seja definido.

Se um pecado 2 X = 0 , então 2 X=n π ; X = π / 2n.

Se 1 - co X = 0 , então cos X = 1; X = 2kπ .

Assim, temos dois grupos de raízes: X = π / 2n; X = 2kπ . O segundo grupo de raízes está obviamente contido no primeiro, pois para n = 4k a expressão X = π / 2n torna-se
X = 2kπ .

Portanto, a resposta pode ser escrita em uma fórmula: X = π / 2n, Onde n-qualquer número inteiro.

Note que esta equação não pode ser resolvida reduzindo por sen 2 x. De fato, após a redução, obteríamos 1 - cos x = 0, de onde X= 2k π . Assim, perderíamos algumas raízes, por exemplo π / 2 , π , 3π / 2 .

EXEMPLO 2. resolva a equação

Uma fração é zero somente se seu numerador for zero.
É por isso pecado 2 X = 0 , de onde 2 X=n π ; X = π / 2n.

A partir desses valores X devem ser descartados como estranhos aqueles valores para os quais pecadoX desaparece (frações com denominadores zero não têm sentido: a divisão por zero não é definida). Esses valores são números que são múltiplos de π . Na fórmula
X = π / 2n são obtidos mesmo n. Portanto, as raízes desta equação serão os números

X = π / 2 (2k + 1),

onde k é qualquer número inteiro.

Exemplo 3 . resolva a equação

2 pecado 2 X+ 7 cos x - 5 = 0.

Expressar pecado 2 X Através dos porquex : pecado 2 X = 1 - cos 2x . Então esta equação pode ser reescrita como

2 (1 - cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , ou

2cos 2 x- 7cos x + 3 = 0.

denotando porquex Através dos no, chegamos à equação quadrática

2a 2 - 7a + 3 = 0,

cujas raízes são os números 1/2 e 3. Portanto, ou cos x= 1/2 ou cos X= 3. No entanto, o último é impossível, pois o valor absoluto do cosseno de qualquer ângulo não excede 1.

Resta reconhecer que porque x = 1 / 2 , Onde

x = ± 60° + 360° n.

Exemplo 4 . resolva a equação

2 pecado X+ 3cos x = 6.

Porque o pecado x e porque x não exceda 1 em valor absoluto, então a expressão
2 pecado X+ 3cos x não pode assumir valores maiores que 5 . Portanto, esta equação não tem raízes.

Exemplo 5 . resolva a equação

pecado X+ cos x = 1

Elevando ambos os lados desta equação ao quadrado, obtemos:

pecado 2 X+ 2 pecado x porque x+ cos2 x = 1,

mas pecado 2 X + cos 2 x = 1 . É por isso 2 pecado x porque x = 0 . Se um pecado x = 0 , então X = nπ ; E se
porque x , então X = π / 2 + kπ . Esses dois grupos de soluções podem ser escritos em uma fórmula:

X = π / 2n

Como elevamos ao quadrado ambas as partes desta equação, não é descartada a possibilidade de que entre as raízes que obtivemos existam outras estranhas. É por isso que neste exemplo, ao contrário de todos os anteriores, é necessário fazer uma verificação. Todos os valores

X = π / 2n pode ser dividido em 4 grupos

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

No X = 2kπ pecado x+ cos x= 0 + 1 = 1. Portanto, X = 2kπ são as raízes desta equação.

No X = π / 2 + 2kπ. pecado x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ são também as raízes desta equação.

No X = π + 2kπ pecado x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Portanto, os valores X = π + 2kπ não são raízes desta equação. Da mesma forma, mostra-se que X = 3π / 2 + 2kπ. não são raízes.

Assim, esta equação tem as seguintes raízes: X = 2kπ e X = π / 2 + 2mπ., Onde k e m- quaisquer números inteiros.

Equações trigonométricas não são o tópico mais fácil. Dolorosamente, eles são diversos.) Por exemplo, estes:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π/4) = ctg(2x-π/3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

etc...

Mas esses (e todos os outros) monstros trigonométricos têm duas características comuns e obrigatórias. Primeiro - você não vai acreditar - existem funções trigonométricas nas equações.) Segundo: todas as expressões com x são dentro dessas mesmas funções. E só lá! Se x aparecer em algum lugar fora, por exemplo, sen2x + 3x = 3, esta será uma equação do tipo misto. Tais equações requerem uma abordagem individual. Aqui não os consideraremos.

Nós também não vamos resolver equações más nesta lição.) Aqui vamos lidar com as equações trigonométricas mais simples. Por quê? Sim, porque a decisão algum equações trigonométricas consiste em duas etapas. No primeiro estágio, a equação do mal é reduzida a uma simples por várias transformações. No segundo - esta equação mais simples é resolvida. Não há outro jeito.

Então, se você tiver problemas no segundo estágio, o primeiro estágio não faz muito sentido.)

Como são as equações trigonométricas elementares?

sinx = a

cos = a

tgx = a

ctgx = a

Aqui uma representa qualquer número. Algum.

A propósito, dentro da função pode não haver um x puro, mas algum tipo de expressão, como:

cos(3x+π/3) = 1/2

etc. Isso complica a vida, mas não afeta o método de resolver a equação trigonométrica.

Como resolver equações trigonométricas?

As equações trigonométricas podem ser resolvidas de duas maneiras. A primeira maneira: usando lógica e um círculo trigonométrico. Vamos explorar este caminho aqui. A segunda maneira - usando memória e fórmulas - será considerada na próxima lição.

A primeira maneira é clara, confiável e difícil de esquecer.) É boa para resolver equações trigonométricas, desigualdades e todos os tipos de exemplos complicados fora do padrão. A lógica é mais forte que a memória!

Resolvemos equações usando um círculo trigonométrico.

Incluímos lógica elementar e a capacidade de usar um círculo trigonométrico. Não pode!? No entanto... Vai ser difícil para você em trigonometria...) Mas não importa. Dê uma olhada nas lições "Círculo trigonométrico ...... O que é isso?" e "Contando ângulos em um círculo trigonométrico." Tudo é simples lá. Ao contrário dos livros didáticos...)

Ah, você sabe!? E até dominou "Trabalho prático com um círculo trigonométrico"!? Aceite os parabéns. Este tópico será próximo e compreensível para você.) O que é especialmente agradável é que o círculo trigonométrico não se importa com qual equação você resolve. Seno, cosseno, tangente, cotangente - tudo é o mesmo para ele. O princípio da solução é o mesmo.

Então, pegamos qualquer equação trigonométrica elementar. Pelo menos isso:

cosx = 0,5

Eu preciso encontrar X. Falando em linguagem humana, você precisa encontre o ângulo (x) cujo cosseno é 0,5.

Como usamos o círculo antes? Nós desenhamos um canto nele. Em graus ou radianos. E imediatamente visto funções trigonométricas deste ângulo. Agora vamos fazer o contrário. Desenhe um cosseno igual a 0,5 no círculo e imediatamente veremos canto. Resta apenas anotar a resposta.) Sim, sim!

Desenhamos um círculo e marcamos o cosseno igual a 0,5. No eixo cosseno, é claro. Assim:

Agora vamos desenhar o ângulo que este cosseno nos dá. Passe o mouse sobre a imagem (ou toque na imagem em um tablet) e Vejo este mesmo canto X.

Qual ângulo tem cosseno de 0,5?

x \u003d π / 3

porque 60°= cos( π /3) = 0,5

Algumas pessoas vão resmungar com ceticismo, sim... Eles dizem, valeu a pena cercar o círculo, quando tudo está claro de qualquer maneira... Você pode, é claro, grunhir...) Mas o fato é que isso é um erro responda. Ou melhor, insuficiente. Os conhecedores do círculo entendem que ainda há um monte de ângulos que também dão um cosseno igual a 0,5.

Se você girar o lado móvel OA para uma volta completa, o ponto A retornará à sua posição original. Com o mesmo cosseno igual a 0,5. Aqueles. o ângulo vai mudar 360° ou 2π radianos, e cosseno não. O novo ângulo 60° + 360° = 420° também será uma solução para nossa equação, porque

Há um número infinito de tais rotações completas... E todos esses novos ângulos serão soluções para nossa equação trigonométrica. E todos eles precisam ser escritos de alguma forma. Tudo. Caso contrário, a decisão não é considerada, sim...)

A matemática pode fazer isso de forma simples e elegante. Em uma resposta curta, escreva conjunto infinito soluções. Aqui está o que parece para a nossa equação:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

vou decifrar. Ainda escrever significativamente melhor do que estupidamente desenhar algumas letras misteriosas, certo?)

π /3 é o mesmo ângulo que nós viu no círculo e identificado de acordo com a tabela de cossenos.

2π é uma volta completa em radianos.

n - este é o número de completo, ou seja. todo revoluções. É claro que n pode ser 0, ±1, ±2, ±3.... e assim por diante. Conforme indicado pela entrada curta:

n ∈ Z

n pertence ( ∈ ) para o conjunto de inteiros ( Z ). A propósito, em vez da carta n letras podem ser usadas k, m, t etc.

Esta notação significa que você pode pegar qualquer inteiro n . Pelo menos -3, pelo menos 0, pelo menos +55. O que você quer. Se você inserir esse número em sua entrada de resposta, obterá um ângulo específico, que certamente será a solução para nossa equação difícil.)

Ou, em outras palavras, x \u003d π / 3 é a única raiz de um conjunto infinito. Para obter todas as outras raízes, basta adicionar qualquer número de voltas completas a π / 3 ( n ) em radianos. Aqueles. 2πn radiano.

Tudo? Não. Eu especificamente estico o prazer. Para lembrar melhor.) Recebemos apenas uma parte das respostas da nossa equação. Vou escrever esta primeira parte da solução da seguinte forma:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - não uma raiz, é toda uma série de raízes, escritas em forma curta.

Mas existem outros ângulos que também dão um cosseno igual a 0,5!

Vamos voltar ao nosso quadro, segundo o qual escrevemos a resposta. Lá está ela:

Mova o mouse sobre a imagem e Vejo outro canto que também dá um cosseno de 0,5. O que você acha que é igual? Os triângulos são iguais... Sim! É igual ao ângulo X , apenas plotado na direção negativa. Este é o canto -X. Mas já calculamos x. π /3 ou 60°. Portanto, podemos escrever com segurança:

x 2 \u003d - π / 3

E, claro, somamos todos os ângulos obtidos através de voltas completas:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Isso é tudo agora.) Em um círculo trigonométrico, nós viu(quem entende, claro)) tudoângulos que dão um cosseno igual a 0,5. E eles escreveram esses ângulos em uma forma matemática curta. A resposta é duas séries infinitas de raízes:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Essa é a resposta correta.

Ter esperança, Princípio geral para resolver equações trigonométricas com a ajuda de um círculo é compreensível. Marcamos o cosseno (seno, tangente, cotangente) da equação dada no círculo, desenhamos os ângulos correspondentes e escrevemos a resposta. Claro, você precisa descobrir que tipo de cantos somos viu no círculo. Às vezes não é tão óbvio. Bem, como eu disse, a lógica é necessária aqui.)

Por exemplo, vamos analisar outra equação trigonométrica:

Observe que o número 0,5 não é o único número possível nas equações!) É apenas mais conveniente para mim escrevê-lo do que raízes e frações.

Trabalhamos de acordo com o princípio geral. Desenhamos um círculo, marcamos (no eixo seno, é claro!) 0,5. Desenhamos de uma só vez todos os ângulos correspondentes a este seno. Recebemos esta imagem:

Vamos lidar com o ângulo primeiro. X no primeiro trimestre. Recordamos a tabela dos senos e determinamos o valor desse ângulo. A questão é simples:

x \u003d π / 6

Recordamos as voltas completas e, com a consciência tranquila, anotamos a primeira série de respostas:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Metade do trabalho está feito. Agora precisamos definir segunda esquina... Isso é mais complicado do que em cossenos, sim... Mas a lógica vai nos salvar! Como determinar o segundo ângulo através de x? Sim Fácil! Os triângulos na imagem são os mesmos, e o canto vermelho X igual ao ângulo X . Só é contado a partir do ângulo π na direção negativa. É por isso que é vermelho.) E para nossa resposta, precisamos de um ângulo medido corretamente a partir do semieixo positivo OX, ou seja, de um ângulo de 0 graus.

Passe o cursor sobre a imagem e veja tudo. Eu removi o primeiro canto para não complicar a imagem. O ângulo de interesse para nós (desenhado em verde) será igual a:

π - x

x nós sabemos π /6 . Então o segundo ângulo será:

π - π /6 = 5π /6

Novamente, lembramos a adição de revoluções completas e escrevemos a segunda série de respostas:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Isso é tudo. Uma resposta completa consiste em duas séries de raízes:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Equações com tangente e cotangente podem ser facilmente resolvidas usando o mesmo princípio geral para resolver equações trigonométricas. A menos, é claro, que você saiba desenhar a tangente e a cotangente em um círculo trigonométrico.

Nos exemplos acima, usei o valor tabular de seno e cosseno: 0,5. Aqueles. um daqueles significados que o aluno conhece devo. Agora vamos expandir nossas capacidades para todos os outros valores. Decida, então decida!)

Então, digamos que precisamos resolver a seguinte equação trigonométrica:

Não existe tal valor do cosseno nas tabelas curtas. Nós friamente ignoramos esse fato terrível. Desenhamos um círculo, marcamos 2/3 no eixo do cosseno e desenhamos os ângulos correspondentes. Recebemos esta imagem.

Entendemos, para começar, com um ângulo no primeiro trimestre. Para saber a que x é igual, eles escreveriam imediatamente a resposta! Não sabemos... Falha!? Calma! A matemática não deixa os seus em apuros! Ela inventou arcos cossenos para este caso. Não sabe? Em vão. Descubra, é muito mais fácil do que você pensa. De acordo com este link, não há um único feitiço complicado sobre "funções trigonométricas inversas" ... É supérfluo neste tópico.

Se você souber, diga a si mesmo: "X é um ângulo cujo cosseno é 2/3". E imediatamente, puramente por definição do arcoseno, podemos escrever:

Lembramos de voltas adicionais e escrevemos calmamente a primeira série de raízes de nossa equação trigonométrica:

x 1 = arcos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A segunda série de raízes também é escrita quase automaticamente, para o segundo ângulo. Tudo é o mesmo, apenas x (arccos 2/3) ficará com menos:

x 2 = - arcos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

E todas as coisas! Essa é a resposta correta. Ainda mais fácil do que com valores tabulares. Você não precisa se lembrar de nada.) A propósito, os mais atentos notarão que esta imagem com a solução através do arco cosseno essencialmente não é diferente da imagem para a equação cosx = 0,5.

Exatamente! O princípio geral sobre isso e o geral! Eu especificamente desenhei duas imagens quase idênticas. O círculo nos mostra o ângulo X pelo seu cosseno. É um cosseno tabular, ou não - o círculo não sabe. Que tipo de ângulo é esse, π / 3, ou que tipo de arco cosseno cabe a nós decidir.

Com um seno a mesma música. Por exemplo:

Novamente desenhamos um círculo, marcamos o seno igual a 1/3, desenhamos os cantos. Acontece esta imagem:

E novamente a imagem é quase a mesma da equação senx = 0,5. Novamente partimos da curva no primeiro quarto. Qual é o valor de x se o seno for 1/3? Sem problemas!

Então o primeiro pacote de raízes está pronto:

x 1 = arco seno 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Vamos dar uma olhada no segundo ângulo. No exemplo com um valor de tabela de 0,5, foi igual a:

π - x

Então aqui vai ser exatamente igual! Apenas x é diferente, arcsin 1/3. E daí!? Você pode escrever com segurança o segundo pacote de raízes:

x 2 = π - arco seno 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Esta é uma resposta completamente correta. Embora não pareça muito familiar. Mas é compreensível, espero.)

É assim que as equações trigonométricas são resolvidas usando um círculo. Este caminho é claro e compreensível. É ele quem economiza em equações trigonométricas com a seleção de raízes em um determinado intervalo, em desigualdades trigonométricas - elas geralmente são resolvidas quase sempre em um círculo. Em suma, em quaisquer tarefas que sejam um pouco mais complicadas que as padrão.

Colocar o conhecimento em prática?

Resolver equações trigonométricas:

A princípio é mais simples, diretamente nesta lição.

Agora é mais difícil.

Dica: aqui você tem que pensar no círculo. Pessoalmente.)

E agora externamente despretensioso ... Eles também são chamados de casos especiais.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Dica: aqui você precisa descobrir em um círculo onde há duas séries de respostas e onde há uma ... E como escrever uma em vez de duas séries de respostas. Sim, para que nenhuma raiz de um número infinito seja perdida!)

Bem, bem simples):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Dica: aqui você precisa saber o que é arcsine, arccosine? O que é arco tangente, arco tangente? As definições mais simples. Mas você não precisa se lembrar de nenhum valor tabular!)

As respostas estão, é claro, em desordem):

x 1= arco seno0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nem tudo dá certo? Acontece. Leia a lição novamente. Apenas pensativamente(existe uma palavra tão obsoleta...) E siga os links. Os links principais são sobre o círculo. Sem isso na trigonometria - como atravessar a estrada com os olhos vendados. Às vezes funciona.)

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A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

O conceito de resolver equações trigonométricas.

• Para resolver uma equação trigonométrica, converta-a em uma ou mais equações trigonométricas básicas. Resolver a equação trigonométrica, em última análise, se resume a resolver as quatro equações trigonométricas básicas.

Solução de equações trigonométricas básicas.

• Existem 4 tipos de equações trigonométricas básicas:
• sen x = a; cos x = a
• tanx = a; ctg x = a
• Resolver equações trigonométricas básicas envolve olhar para as diferentes posições x no círculo unitário, bem como usar uma tabela de conversão (ou calculadora).
• Exemplo 1. sen x = 0,866. Usando uma tabela de conversão (ou calculadora), você obtém a resposta: x = π/3. O círculo unitário dá outra resposta: 2π/3. Lembre-se: todas as funções trigonométricas são periódicas, ou seja, seus valores se repetem. Por exemplo, a periodicidade de sen x e cos x é 2πn, e a periodicidade de tg x e ​​ctg x é πn. Então a resposta é escrita assim:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exemplo 2 cos x = -1/2. Usando uma tabela de conversão (ou calculadora), você obtém a resposta: x = 2π/3. O círculo unitário dá outra resposta: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exemplo 3. tg (x - π/4) = 0.
• Resposta: x \u003d π / 4 + πn.
• Exemplo 4. ctg 2x = 1,732.
• Resposta: x \u003d π / 12 + πn.

Transformações usadas na resolução de equações trigonométricas.

• Para transformar equações trigonométricas, são utilizadas transformações algébricas (factorização, redução de termos homogéneos, etc.) e identidades trigonométricas.
• Exemplo 5. Usando identidades trigonométricas, a equação sen x + sen 2x + sen 3x = 0 é convertida na equação 4cos x*sen (3x/2)*cos (x/2) = 0. Assim, as seguintes equações trigonométricas básicas precisam ser resolvidos: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Encontrando ângulos de valores conhecidos de funções.

  • Antes de aprender a resolver equações trigonométricas, você precisa aprender a encontrar ângulos a partir de valores conhecidos de funções. Isso pode ser feito usando uma tabela de conversão ou calculadora.
  • Exemplo: cos x = 0,732. A calculadora dará a resposta x = 42,95 graus. O círculo unitário fornecerá ângulos adicionais, cujo cosseno também é igual a 0,732.

• Separe a solução no círculo unitário.

  • Você pode colocar soluções para a equação trigonométrica no círculo unitário. As soluções da equação trigonométrica no círculo unitário são os vértices de um polígono regular.
  • Exemplo: As soluções x = π/3 + πn/2 no círculo unitário são os vértices do quadrado.
  • Exemplo: As soluções x = π/4 + πn/3 no círculo unitário são os vértices de um hexágono regular.

• Métodos de resolução de equações trigonométricas.

  • Se a equação trigonométrica dada contém apenas uma função trigonométrica, resolva esta equação como uma equação trigonométrica básica. Se esta equação incluir duas ou mais funções trigonométricas, existem 2 métodos para resolver essa equação (dependendo da possibilidade de sua transformação).
    • Método 1
  • Transforme esta equação em uma equação da forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, onde f(x), g(x), h(x) são as equações trigonométricas básicas.
  • Exemplo 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Solução. Usando a fórmula de ângulo duplo sen 2x = 2*sen x*cos x, substitua sen 2x.
  • 2cos x + 2*sen x*cos x = 2cos x*(sen x + 1) = 0. Agora resolva duas equações trigonométricas básicas: cos x = 0 e (sen x + 1) = 0.
  • Exemplo 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Solução: Usando identidades trigonométricas, transforme esta equação em uma equação da forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Agora resolva duas equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0 e (2cos x + 1) = 0.
  • Exemplo 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Solução: Usando identidades trigonométricas, transforme esta equação em uma equação da forma: -cos 2x*(2sen x + 1) = 0. Agora resolva duas equações trigonométricas básicas: cos 2x = 0 e (2sen x + 1) = 0.
    • Método 2
  • Converta a equação trigonométrica dada em uma equação contendo apenas uma função trigonométrica. Em seguida, substitua essa função trigonométrica por alguma incógnita, por exemplo, t (sen x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t, etc.).
  • Exemplo 9. 3sen^2 x - 2cos^2 x = 4sen x + 7 (0< x < 2π).
  • Solução. Nesta equação, substitua (cos^2 x) por (1 - sin^2 x) (de acordo com a identidade). A equação transformada se parece com:
  • 3sen^2 x - 2 + 2sen^2 x - 4sen x - 7 = 0. Substitua sen x por t. Agora a equação é: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Esta é uma equação quadrática com duas raízes: t1 = -1 e t2 = 9/5. A segunda raiz t2 não satisfaz a imagem da função (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exemplo 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Solução. Substitua tg x por t. Reescreva a equação original como segue: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Agora encontre t e então encontre x para t = tg x.