Este artigo é dedicado a técnicas para resolver várias equações e inequações contendo
variável sob o sinal do módulo.

Se no exame você encontrar uma equação ou desigualdade com um módulo, você pode resolvê-la,
sem conhecer nenhum método especial e usando apenas a definição do módulo. Verdade,
pode levar uma hora e meia do precioso tempo do exame.

Portanto, queremos falar sobre técnicas que simplificam a solução de tais problemas.

Antes de mais nada, lembremos que

Considere diferentes tipos equações com módulo. (Mais sobre desigualdades mais tarde.)

Módulo esquerdo, número direito

Este é o caso mais simples. Vamos resolver a equação

Existem apenas dois números cujo módulo é quatro. Estes são 4 e -4. Portanto, a equação
é equivalente à combinação de dois simples:

A segunda equação não tem soluções. Soluções da primeira: x = 0 e x = 5.

Resposta: 0; 5.

Variável sob o módulo e fora do módulo

Aqui você tem que expandir o módulo por definição. . . ou imagine!

A equação se divide em dois casos, dependendo do sinal da expressão sob o módulo.
Em outras palavras, é equivalente à combinação de dois sistemas:

Solução do primeiro sistema: . O segundo sistema não tem soluções.
Resposta 1.

Primeiro caso: x ≥ 3. Remova o módulo:

O número , sendo negativo, não satisfaz a condição x ≥ 3 e, portanto, não é a raiz da equação original.

Vamos descobrir se o número satisfaz esta condição. Para fazer isso, fazemos a diferença e determinamos seu sinal:

Portanto, mais de três e, portanto, é a raiz da equação original

Segundo caso: x< 3. Снимаем модуль:

Número . é maior que , e portanto não satisfaz a condição x< 3. Проверим :

Significa, . é a raiz da equação original.

Remover o módulo por definição? É assustador até mesmo pensar nisso, porque o discriminante não é um quadrado perfeito. Vamos usar melhor a seguinte consideração: uma equação da forma |A| = B é equivalente à combinação de dois sistemas:

Igual, mas um pouco diferente:

Em outras palavras, resolvemos duas equações, A = B e A = −B, e então selecionamos as raízes que satisfazem a condição B ≥ 0.

Vamos começar. Primeiro resolvemos a primeira equação:

Então resolvemos a segunda equação:

Agora, em cada caso, verificamos o sinal do lado direito:

Portanto, apenas e são adequados.

Equações quadráticas com |x| = t

Vamos resolver a equação:

Como , é conveniente fazer a mudança |x| = t. Nós temos:

Resposta: ±1.

Módulo é igual a módulo

Estamos falando de equações da forma |A| = |B|. Este é um presente do destino. Sem expansões de módulo por definição! É simples:

Por exemplo, considere a equação: . É equivalente ao seguinte conjunto:

Resta resolver cada uma das equações da população e escrever a resposta.

Dois ou mais módulos

Vamos resolver a equação:

Não vamos nos preocupar com cada módulo separadamente e abri-lo por definição - haverá muitas opções. Existe uma maneira mais racional - o método de intervalos.

As expressões sob os módulos desaparecem nos pontos x = 1, x = 2 ex = 3. Esses pontos dividem a reta numérica em quatro intervalos (intervalos). Marcamos esses pontos na reta numérica e colocamos os sinais para cada uma das expressões sob os módulos nos intervalos obtidos. (A ordem dos sinais é a mesma que a ordem dos módulos correspondentes na equação.)

Assim, precisamos considerar quatro casos - quando x está em cada um dos intervalos.

Caso 1: x ≥ 3. Todos os módulos são removidos "com um mais":

O valor resultante x = 5 satisfaz a condição x ≥ 3 e, portanto, é a raiz da equação original.

Caso 2: 2 ≤ x ≤ 3. O último módulo agora é removido "com menos":

O valor obtido de x também é adequado - pertence ao intervalo considerado.

Caso 3: 1 ≤ x ≤ 2. O segundo e terceiro módulos são removidos "com menos":

Obtivemos a igualdade numérica correta para qualquer x do intervalo considerado, eles servem como soluções para esta equação.

Caso 4: x ≤ 1 ≤ 1. O segundo e terceiro módulos são removidos "com menos":

Nada de novo. Já sabemos que x = 1 é uma solução.

Resposta: ∪ (5).

Módulo dentro de um módulo

Vamos resolver a equação:

Começamos expandindo o módulo interno.

1) x ≤ 3. Obtemos:

A expressão sob o módulo desaparece em . Este ponto pertence ao considerado
intervalo. Portanto, temos que considerar dois subcasos.

1.1) Obtemos neste caso:

Este valor de x não é bom, pois não pertence ao intervalo considerado.

1.2). Então:

Este valor x também não é bom.

Então, para x ≤ 3 não há soluções. Passemos ao segundo caso.

2) x ≥ 3. Temos:

Aqui temos sorte: a expressão x + 2 é positiva no intervalo considerado! Portanto, não haverá mais subcasos: o módulo é removido “com um plus”:

Este valor de x está no intervalo considerado e, portanto, é a raiz da equação original.

É assim que todas as tarefas desse tipo são resolvidas - abrimos os módulos aninhados, começando pelo interno.

Instrução

Se o módulo é representado como uma função contínua, então o valor de seu argumento pode ser positivo ou negativo: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

O módulo é zero, e o módulo de qualquer número positivo é o seu módulo. Se o argumento for negativo, depois de abrir os colchetes, seu sinal mudará de menos para mais. Com base nisso, conclui-se que os módulos do oposto são iguais: |-x| = |x| = x.

O módulo de um número complexo é encontrado pela fórmula: |a| = √b² + c² e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se o argumento contiver um número positivo como multiplicador, ele poderá ser retirado do sinal de colchete, por exemplo: |4*b| = 4*|b|.

Se o argumento for apresentado como um número complexo, para conveniência dos cálculos, a ordem dos termos da expressão entre colchetes é permitida: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 porque (2-3) é menor que zero.

O argumento elevado à potência está simultaneamente sob o sinal da raiz da mesma ordem - é resolvido com: √a² = |a| = ±a.

Se você tiver uma tarefa à sua frente que não especifica a condição para expandir os colchetes do módulo, não precisará se livrar deles - esse será o resultado final. E se você quiser abri-los, deverá especificar o sinal ±. Por exemplo, você precisa encontrar o valor da expressão √(2 * (4-b)) ². Sua solução fica assim: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Como o sinal da expressão 4-b é desconhecido, deve ser deixado entre parênteses. Se você incluir uma condição adicional, por exemplo, |4-b| >

O módulo de zero é igual a zero, e o módulo de qualquer número positivo é igual a si mesmo. Se o argumento for negativo, depois de abrir os colchetes, seu sinal mudará de menos para mais. Com base nisso, conclui-se que os módulos de números opostos são iguais: |-x| = |x| = x.

O módulo de um número complexo é encontrado pela fórmula: |a| = √b² + c² e |a + b| ≤ |a| + |b|. Se o argumento contiver um inteiro positivo como multiplicador, ele poderá ser retirado do sinal de colchete, por exemplo: |4*b| = 4*|b|.

O módulo não pode ser negativo, então qualquer número negativo é convertido em positivo: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Se o argumento for apresentado como um número complexo, para conveniência dos cálculos, é permitido alterar a ordem dos termos da expressão entre colchetes: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 porque (2-3) é menor que zero.

Se você tiver uma tarefa à sua frente que não especifica a condição para expandir os colchetes do módulo, não precisará se livrar deles - esse será o resultado final. E se você quiser abri-los, deverá especificar o sinal ±. Por exemplo, você precisa encontrar o valor da expressão √(2 * (4-b)) ². Sua solução fica assim: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Como o sinal da expressão 4-b é desconhecido, deve ser deixado entre parênteses. Se você incluir uma condição adicional, por exemplo, |4-b| > 0, então o resultado é 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). Como elemento desconhecido, também pode ser dado um número específico, que deve ser levado em consideração, porque. afetará o sinal da expressão.

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O matemático russo Yu.I. Manin

Equações do módulo

Os problemas mais difíceis de resolver na matemática escolar são equações contendo variáveis ​​sob o sinal do módulo. Para resolver com sucesso tais equações, é necessário conhecer a definição e as propriedades básicas do módulo. Naturalmente, os alunos devem ter as habilidades para resolver equações deste tipo.

Conceitos básicos e propriedades

Módulo (valor absoluto) de um número real denotado e é definido da seguinte forma:

As propriedades simples do módulo incluem os seguintes relacionamentos:

Observação, que as duas últimas propriedades valem para qualquer grau par.

Além disso, se , onde , então e

Propriedades de módulo mais complexas, que pode ser efetivamente usado na resolução de equações com módulos, são formulados por meio dos seguintes teoremas:

Teorema 1.Para quaisquer funções analíticas e a desigualdade

Teorema 2. Igualdade é o mesmo que desigualdade.

Teorema 3. Igualdade é equivalente à desigualdade.

Considere exemplos típicos de resolução de problemas no tópico “Equações, contendo variáveis ​​sob o sinal do módulo.

Resolvendo equações com módulo

O método mais comum na matemática escolar para resolver equações com um módulo é o método, baseado na expansão do módulo. Este método é genérico, no entanto, no caso geral, sua aplicação pode levar a cálculos muito complicados. Nesse sentido, os alunos também devem estar cientes de outras, métodos e técnicas mais eficientes para resolver tais equações. Em particular, precisa ter as habilidades para aplicar teoremas, dado neste artigo.

Exemplo 1 Resolva a equação. (1)

Solução. A equação (1) será resolvida pelo método "clássico" - o método de expansão do módulo. Para fazer isso, quebramos o eixo numérico pontos e intervalos e considere três casos.

1. Se , então , , , e a equação (1) assume a forma . Segue daqui. No entanto, aqui , então o valor encontrado não é a raiz da equação (1).

2. Se , então da equação (1) obtemos ou .

Desde então a raiz da equação (1).

3. Se , então a equação (1) toma a forma ou . Observe que .

Responda: , .

Ao resolver as seguintes equações com o módulo, usaremos ativamente as propriedades dos módulos para aumentar a eficiência da resolução de tais equações.

Exemplo 2 resolva a equação.

Solução. Desde e então segue da equação. A respeito disso, , , e a equação fica. Daqui obtemos. No entanto , então a equação original não tem raízes.

Resposta: sem raízes.

Exemplo 3 resolva a equação.

Solução. Desde então . Se então , e a equação fica.

Daqui obtemos.

Exemplo 4 resolva a equação.

Solução.Vamos reescrever a equação na forma equivalente. (2)

A equação resultante pertence a equações do tipo .

Levando em conta o Teorema 2, podemos afirmar que a equação (2) é equivalente à desigualdade . Daqui obtemos.

Responda: .

Exemplo 5 Resolva a equação.

Solução. Esta equação tem a forma. É por isso , de acordo com o teorema 3, aqui temos a desigualdade ou .

Exemplo 6 resolva a equação.

Solução. Vamos supor que. Porque , então a equação dada toma a forma de uma equação quadrática, (3)

Onde . Como a equação (3) tem uma única raiz positiva e depois . A partir daqui, obtemos duas raízes da equação original: e .

Exemplo 7 resolva a equação. (4)

Solução. Uma vez que a equaçãoé equivalente à combinação de duas equações: e , então ao resolver a equação (4) é necessário considerar dois casos.

1. Se , então ou .

A partir daqui temos , e .

2. Se , então ou .

Desde então .

Responda: , , , .

Exemplo 8resolva a equação . (5)

Solução. Desde e , então . Daqui e da Eq. (5) segue que e , i.e. aqui temos um sistema de equações

No entanto, este sistema de equações é inconsistente.

Resposta: sem raízes.

Exemplo 9 resolva a equação. (6)

Solução. se nós designássemos e da equação (6) obtemos

Ou . (7)

Como a equação (7) tem a forma , essa equação é equivalente à desigualdade . Daqui obtemos. Desde , então ou .

Responda: .

Exemplo 10resolva a equação. (8)

Solução.De acordo com o Teorema 1, podemos escrever

(9)

Levando em conta a equação (8), concluímos que ambas as desigualdades (9) se transformam em igualdades, ou seja, existe um sistema de equações

No entanto, pelo Teorema 3, o sistema de equações acima é equivalente ao sistema de desigualdades

(10)

Resolvendo o sistema de inequações (10) obtemos . Como o sistema de inequações (10) é equivalente à equação (8), a equação original tem uma única raiz .

Responda: .

Exemplo 11. resolva a equação. (11)

Solução. Seja e , então a equação (11) implica a igualdade .

Disto segue que e . Assim, temos aqui um sistema de desigualdades

A solução para este sistema de desigualdades é e .

Responda: , .

Exemplo 12.resolva a equação. (12)

Solução. A equação (12) será resolvida pelo método de expansão sucessiva de módulos. Para fazer isso, considere vários casos.

1. Se , então .

1.1. Se , então e , .

1.2. Se então . No entanto , portanto, neste caso, a equação (12) não tem raízes.

2. Se , então .

2.1. Se , então e , .

2.2. Se , então e .

Responda: , , , , .

Exemplo 13resolva a equação. (13)

Solução. Como o lado esquerdo da equação (13) é não negativo, então e . A este respeito, , e equação (13)

toma a forma ou .

Sabe-se que a equação é equivalente à combinação de duas equações e , resolvendo o que obtemos, . Porque , então a equação (13) tem uma raiz.

Responda: .

Exemplo 14 Resolver um sistema de equações (14)

Solução. Desde e , então e . Portanto, do sistema de equações (14) obtemos quatro sistemas de equações:

As raízes dos sistemas de equações acima são as raízes do sistema de equações (14).

Responda: ,, , , , , , .

Exemplo 15 Resolver um sistema de equações (15)

Solução. Desde então . A este respeito, a partir do sistema de equações (15) obtemos dois sistemas de equações

As raízes do primeiro sistema de equações são e , e do segundo sistema de equações obtemos e .

Responda: , , , .

Exemplo 16 Resolver um sistema de equações (16)

Solução. Segue da primeira equação do sistema (16) que .

Desde então . Considere a segunda equação do sistema. Porque o, então , e a equação fica, , ou .

Se substituirmos o valorna primeira equação do sistema (16), então , ou .

Responda: , .

Para um estudo mais profundo dos métodos de resolução de problemas, relacionado com a solução de equações, contendo variáveis ​​sob o sinal do módulo, você pode aconselhar tutoriais da lista de literatura recomendada.

1. Recolha de tarefas em matemática para candidatos a universidades técnicas / Ed. MI. Scanavi. - M.: Mundo e Educação, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: tarefas de maior complexidade. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.

3. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: métodos não padronizados para resolver problemas. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

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