Encontre a área da superfície formada pela rotação em torno de x. Área de superfície de rotação para uma linha definida parametricamente

Esta fórmula é chamada de fórmula para o volume de um corpo em termos da área das seções paralelas.

Exemplo. Encontre o volume de um elipsóide x 2 + y 2 + z 2 = 1 . a 2b 2c 2

Cortando o elipsóide com um plano paralelo ao plano Oyz e a distâncias dele (-a ≤ x ≤ a), obtemos uma elipse (ver Fig. 15):

A área dessa elipse é


S(x) = π bc1

Portanto, de acordo com a fórmula (16), temos

Calculando a área de superfície de revolução

Seja a curva AB o gráfico da função y \u003d f (x) ≥ 0, onde x [a, b], uma função y \u003d f (x) e sua derivada y "\u003d f" (x) são contínua neste segmento.

Então a área S da superfície formada pela rotação da curva AB em torno do eixo Ox é calculada pela fórmula



		2 pi			1 +(y ′) 2 dx .

Se a curva AB é dada pelas equações paramétricas x \u003d x (t), y \u003d y (t), t 1 ≤t ≤t 2, então a fórmula para a área de superfície de rotação assume a forma

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Exemplo Encontre a área da superfície de uma esfera de raio R. Solução:

Podemos supor que a superfície da bola é formada pela rotação do semicírculo y \u003d R 2 - x 2, - R ≤x ≤R, em torno do eixo Ох. Pela fórmula (19) encontramos

			− x

S = 2		R2−x21 +			dx=
				− x
	−R			− x

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Exemplo. Dada uma ciclóide x = a (t − sin t ) , 0 ≤ t ≤ 2 π . y = a (1− custo),

Encontre a área da superfície formada por sua rotação em torno do eixo x. Solução:

Quando metade do arco da ciclóide gira em torno do eixo Ox, a área de superfície de rotação é igual a

1S x

2π π ∫ a (1− custo )

(a(1 − cos t)) 2 + (como t) 2 dt=

2π ∫ π a 2

2 sen2 t

2 custo + cos2

t + sen 2 tdt=

4 π a 2

π ∫ sen2

2 2sin2 t dt = 8π a 2

π ∫ sen2 t

pecado t

dt =

= −8 π a 2 ∫

− cos

dcos

= − 16 π a

32π a

= -16 π a

0 −

1− 0+

= -16 π a

1 S x = 32 π a 2 . Consequentemente,

64 π a 2 .

Calculando o comprimento do arco de uma curva planar

Coordenadas retangulares

Deixe em um arco, quando o número de links da polilinha aumenta indefinidamente, e o comprimento das maiores coordenadas retangulares é uma curva plana AB, cuja equação é y \u003d f (x), onde, a ≤ x ≤ b .

O comprimento do arco AB é entendido como o limite ao qual o comprimento da linha quebrada inscrita neste link tende a zero. Vamos mostrar que se a função y \u003d f (x) e sua derivada y′ = f′ (x) são contínuas no segmento [a , b ], então a curva AB tem um comprimento igual a

Se a equação da curva AB for dada na forma paramétrica

x = x(t), α ≤ t ≤ β, y= y(t),

onde x (t) e y (t) são funções contínuas com derivadas contínuas e x (α) \u003d a, x (β) \u003d b, então o comprimento l da curva AB é encontrado pela fórmula

(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt . = R arco seno

π .

− x

Portanto, l = 2π R. Se a equação do círculo for escrita na forma paramétrica = R custo, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π), então

	(− Rsin t) 2 + (Rcos t) 2 dt= Rt0 2 π = 2 π R.
l = ∫	(− Rsin t) 2 + (Rcos t) 2 dt= Rt0 2 π = 2 π R.

Coordenadas polares

Seja a curva AB dada pela equação em coordenadas polares r =r (ϕ ),α ≤ ϕ ≤ β . Suponha que r (ϕ ) e r" (ϕ ) sejam contínuos no segmento [α ,β ].

Se nas igualdades x \u003d r cosϕ, y \u003d r sinϕ, conectando as coordenadas polares e cartesianas,

considere o ângulo ϕ como parâmetro, então a curva AB pode ser definida parametricamente x = r (ϕ ) cos ϕ ,

y = r (ϕ ) senϕ .

Aplicando a fórmula (15), obtemos l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Exemplo Encontre o comprimento do cardióide r =a (1 + cosϕ ). Solução:

O cardióide r \u003d a (1 + cosϕ ) tem a forma mostrada na Figura 14. É simétrico em relação ao eixo polar. Encontre metade do comprimento do cardióide:

1l =	π∫	(a (1 + cos ϕ ))2 + (a (− sin ϕ ))2 d ϕ =

A π ∫	2 + 2cosϕ d ϕ =a π ∫		2 2cos2 ϕ d ϕ =

2a π / cosϕ d ϕ = 4a senϕ
2a π / cosϕ d ϕ = 4a senϕ

Assim, 1 2 l = 4 a . Então l = 8a.

5. Encontrando a área da superfície dos corpos de revolução

Seja a curva AB o gráfico da função y = f(x) ≥ 0, onde x [a; b], e a função y \u003d f (x) e sua derivada y "\u003d f" (x) são contínuas neste segmento.

Vamos encontrar a área S da superfície formada pela rotação da curva AB em torno do eixo Ox (Fig. 8).

Aplicamos o esquema II (método diferencial).

Através de um ponto arbitrário x [a; b] vamos traçar um plano P, perpendicular ao eixo Ox. O plano P intercepta a superfície de revolução ao longo de um círculo com raio y - f(x). O valor S da superfície da parte da figura de revolução situada à esquerda do plano é uma função de x, ou seja. s = s(x) (s(a) = 0 e s(b) = S).

Vamos dar ao argumento x um incremento Δх = dх. Pelo ponto x + dx [a; b] também desenhe um plano perpendicular ao eixo x. A função s = s(x) receberá um incremento de Δs, mostrado na figura como um "cinto".

Vamos encontrar a diferencial da área ds, substituindo a figura formada entre as seções por um cone truncado, cuja geratriz é igual a dl, e os raios das bases são iguais a y e y + dy. Sua área de superfície lateral é: = 2ydl + dydl.

Descartando o produto dу d1 como uma ordem infinitesimal superior a ds, obtemos ds = 2уdl, ou, como d1 = dx.

Integrando a igualdade resultante no intervalo de x = a a x = b, obtemos

Se a curva AB é dada pelas equações paramétricas x = x(t), y = y(t), t≤ t ≤ t, então a fórmula para a área da superfície de revolução se torna

S=2 dt.

Exemplo: Encontre a área da superfície de uma esfera de raio R.

S=2 =

6. Encontrando o trabalho de uma força variável

Trabalho de força variável

Deixe o ponto material M mover-se ao longo do eixo Ox sob a ação de uma força variável F = F(x) dirigida paralelamente a este eixo. O trabalho realizado pela força ao mover o ponto M da posição x = a para a posição x = b (a

Que trabalho deve ser feito para esticar a mola em 0,05 m se uma força de 100 N esticar a mola em 0,01 m?

De acordo com a lei de Hooke, a força elástica que estica a mola é proporcional a esse alongamento x, ou seja, F = kx, onde k é o coeficiente de proporcionalidade. De acordo com a condição do problema, a força F = 100 N estica a mola em x = 0,01 m; portanto, 100 = k 0,01, onde k = 10.000; portanto, F = 10000x.

O trabalho desejado com base na fórmula

Encontre o trabalho que deve ser gasto para bombear líquido sobre a borda de um tanque cilíndrico vertical de altura H m e raio da base R m (Fig. 13).

O trabalho gasto para elevar um corpo de peso p a uma altura h é igual a p H. Mas as diferentes camadas do líquido no reservatório estão em diferentes profundidades e a altura da subida (até a borda do reservatório) diferentes camadas não é o mesmo.

Para resolver o problema, aplicamos o esquema II (método diferencial). Introduzimos um sistema de coordenadas.

1) O trabalho gasto para bombear uma camada de líquido de espessura x (0 ≤ x ≤ H) do tanque é uma função de x, ou seja, A \u003d A (x), onde (0 ≤ x ≤ H) (A (0) \u003d 0, A (H) \u003d A 0).

2) Encontramos a parte principal do incremento ΔA quando x varia de Δx = dx, ou seja. encontramos o diferencial dA da função A(x).

Em vista da pequenez de dx, assumimos que a camada líquida "elementar" está na mesma profundidade x (da borda do reservatório). Então dА = dрх, onde dр é o peso desta camada; é igual a g AV, onde g é a aceleração da gravidade, é a densidade do líquido, dv é o volume da camada líquida “elementar” (está destacado na figura), ou seja, dr = g. O volume dessa camada líquida é obviamente igual a , onde dx é a altura do cilindro (camada), é a área de sua base, ou seja, dv = .

Assim, dr = . e

3) Integrando a igualdade resultante no intervalo de x \u003d 0 a x \u003d H, encontramos

UMA

8. Cálculo de integrais usando o pacote MathCAD

Ao resolver alguns problemas aplicados, é necessário usar a operação de integração simbólica. Neste caso, o programa MathCad pode ser útil tanto na etapa inicial (é bom saber a resposta com antecedência ou saber que ela existe) quanto na etapa final (é bom verificar o resultado obtido usando a resposta de outro fonte ou a solução de outra pessoa).

Ao resolver um grande número de problemas, você pode notar alguns recursos de resolução de problemas usando o programa MathCad. Vamos tentar entender como esse programa funciona com alguns exemplos, analisar as soluções obtidas com sua ajuda e comparar essas soluções com as soluções obtidas por outros métodos.

Os principais problemas ao usar o programa MathCad são os seguintes:

a) o programa dá a resposta não na forma de funções elementares familiares, mas na forma de funções especiais que estão longe de ser conhecidas por todos;

b) em alguns casos “recusa-se” a dar uma resposta, embora o problema tenha solução;

c) às vezes é impossível utilizar o resultado obtido devido ao seu volume;

d) resolve o problema de forma incompleta e não analisa a solução.

Para resolver esses problemas, é necessário usar os pontos fortes e fracos do programa.

Com sua ajuda, é fácil e simples calcular integrais de funções racionais fracionárias. Portanto, recomenda-se usar o método de substituição de variável, ou seja, pré-prepare a integral para a solução. Para estes fins, as substituições discutidas acima podem ser usadas. Deve-se também ter em mente que os resultados obtidos devem ser examinados quanto à coincidência dos domínios de definição da função original e do resultado obtido. Além disso, algumas das soluções obtidas requerem pesquisas adicionais.

O programa MathCad libera o aluno ou pesquisador do trabalho rotineiro, mas não pode liberá-lo de análises adicionais tanto na definição de um problema quanto na obtenção de algum resultado.

Neste artigo, foram consideradas as principais disposições relacionadas ao estudo de aplicações de uma integral definida no curso de matemática.

– foi realizada uma análise da base teórica para a resolução de integrais;

- o material foi submetido a sistematização e generalização.

Durante o trabalho do curso, foram considerados exemplos de problemas práticos no campo da física, geometria, mecânica.

Conclusão

Os exemplos de problemas práticos considerados acima nos dão uma ideia clara do significado de uma determinada integral para sua solubilidade.

É difícil nomear uma área científica na qual os métodos de cálculo integral, em geral, e as propriedades de uma integral definida, em particular, não sejam aplicados. Assim, no processo de fazer o trabalho do curso, consideramos exemplos de problemas práticos no campo da física, geometria, mecânica, biologia e economia. Claro, esta não é de forma alguma uma lista exaustiva de ciências que usam o método integral para encontrar um valor definido ao resolver um problema específico e estabelecer fatos teóricos.

Além disso, a integral definida é usada para estudar a própria matemática. Por exemplo, ao resolver equações diferenciais, que por sua vez dão uma contribuição indispensável para resolver problemas práticos. Podemos dizer que a integral definida é uma espécie de fundamento para o estudo da matemática. Daí a importância de saber como resolvê-los.

De todos os itens acima, fica claro por que a familiaridade com uma integral definida ocorre mesmo dentro da média Ensino Médio, onde os alunos aprendem não apenas o conceito de integral e suas propriedades, mas também algumas de suas aplicações.

Literatura

1. Volkov E.A. Métodos numéricos. M., Nauka, 1988.

2. Piskunov N.S. Cálculo diferencial e integral. M., Integral-Press, 2004. T. 1.

3. Shipachev V.S. Matemática Superior. M., Escola Superior, 1990.

Portanto, passarei imediatamente para os conceitos básicos e exemplos práticos.

Vejamos uma imagem simples

E lembre-se: o que pode ser calculado usando integral definida?

Em primeiro lugar, é claro, área de um trapézio curvo. Conhecido desde os tempos de escola.

Se esta figura gira em torno do eixo de coordenadas, já estamos falando em encontrar corpo da revolução. Também é simples.

O que mais? Revisado recentemente problema de comprimento de arco .

E hoje vamos aprender a calcular mais uma característica - mais uma área. Imagina essa linha gira em torno do eixo. Como resultado dessa ação, obtém-se uma figura geométrica, chamada superfície de revolução. Neste caso, assemelha-se a um pote sem fundo. E sem cobertura. Como diria o burro Bisonho, uma visão de partir o coração =)

Para eliminar interpretações ambíguas, farei um esclarecimento chato, mas importante:

do ponto de vista geométrico, nosso "pote" tem infinitamente fino parede e dois superfícies com a mesma área - externa e interna. Assim, todos os cálculos adicionais implicam a área apenas a superfície externa.

Em um sistema de coordenadas retangulares, a área da superfície de rotação é calculada pela fórmula:

ou, mais compactamente: .

Os mesmos requisitos são impostos à função e sua derivada como ao encontrar comprimento do arco da curva, mas, além disso, a curva deve ser localizada acima de machados . Isso é significativo! É fácil entender que se a linha estiver localizada debaixo eixo, então o integrando será negativo: , e, portanto, um sinal de menos terá que ser adicionado à fórmula para preservar o significado geométrico do problema.

Considere uma figura imerecidamente negligenciada:

Área de superfície de um toro

Em poucas palavras, tor é um bagel. Um exemplo de livro didático, considerado em quase todos os livros didáticos de matan, é dedicado a encontrar volume torus e, portanto, por uma questão de variedade, vou analisar o problema mais raro de sua área de superfície. Primeiro com valores numéricos específicos:

Exemplo 1

Calcule a área da superfície de um toro obtido pela rotação de um círculo em torno do eixo.

Solução: como você sabe a equação conjuntos círculo raio unitário centrado em . Isso facilita a obtenção de duas funções:

– define o semicírculo superior;
– define o semicírculo inferior:

A essência é cristalina: círculo gira em torno do eixo x e forma superfície bagel. A única coisa aqui, para evitar reservas grosseiras, é ter cuidado na terminologia: se você rodar um círculo, delimitado por um círculo , então você obtém uma geometria corpo, ou seja, o próprio bagel. E agora fale sobre quadrado superfícies, que obviamente precisa ser calculado como a soma das áreas:

1) Encontre a área da superfície, que é obtida girando o arco "azul" em torno do eixo x. Usamos a fórmula . Como aconselhei repetidamente, é mais conveniente realizar ações em etapas:

Tomamos uma função e encontrá-lo derivado:

E, finalmente, carregamos o resultado na fórmula:

Observe que, neste caso, acabou sendo mais racional dobro da integral de uma função par no curso da solução, em vez de discutir preliminarmente a simetria da figura em relação ao eixo y.

2) Encontre a área da superfície, que é obtida girando o arco "vermelho" em torno do eixo x. Todas as ações diferirão de fato por apenas um sinal. Vou desenhar a solução em um estilo diferente, que, claro, também tem direito à vida:

3) Assim, a área de superfície do toro:

Responda:

O problema pode ser resolvido de maneira geral - para calcular a área da superfície do toro obtido girando o círculo em torno do eixo das abcissas e obter a resposta . No entanto, para maior clareza e simplicidade, realizei a solução em números específicos.

Se você precisar calcular o volume do próprio donut, consulte o tutorial como referência rápida:

De acordo com a observação teórica, consideramos o semicírculo superior. É "desenhado" ao alterar o valor do parâmetro dentro (é fácil ver que neste intervalo), assim:

Responda:

Se resolvermos o problema em termos gerais, obtemos exatamente a fórmula escolar para a área de uma esfera, onde está o seu raio.

Algo dolorosamente simples problema, até senti vergonha .... Eu sugiro que você corrija esse bug =)

Exemplo 4

Calcule a área da superfície obtida pela rotação do primeiro arco da ciclóide em torno do eixo.

A tarefa é criativa. Tente deduzir ou intuir a fórmula para calcular a área da superfície obtida pela rotação de uma curva em torno do eixo y. E, é claro, a vantagem das equações paramétricas deve ser novamente observada - elas não precisam ser modificadas de alguma forma; não há necessidade de se preocupar em encontrar outros limites de integração.

O gráfico ciclóide pode ser visualizado na página Área e volume se a linha for definida parametricamente. A superfície de rotação será semelhante... nem sei com o que comparar... algo sobrenatural - arredondado com uma depressão pontiaguda no meio. Aqui, para o caso de rotação da ciclóide em torno do eixo, a associação instantaneamente veio à mente - uma bola de rugby oblonga.

Solução e resposta no final da lição.

Concluímos nossa fascinante revisão com um caso coordenadas polares. Sim, é uma revisão, se você olhar em livros didáticos sobre análise matemática (de Fikhtengolts, Bokhan, Piskunov e outros autores), poderá obter uma boa dúzia (ou até visivelmente mais) exemplos padrão, entre os quais é bem possível que você vai encontrar o problema que você precisa.

Como calcular a área de superfície de revolução,
se a linha é dada no sistema de coordenadas polares?

Se a curva estiver definida para coordenadas polares equação , e a função tem uma derivada contínua em um determinado intervalo, então a área da superfície obtida pela rotação desta curva em torno do eixo polar é calculada pela fórmula , onde estão os valores angulares correspondentes às extremidades da curva.

De acordo com o significado geométrico do problema, o integrando , e isso é alcançado somente se ( e são conhecidos como não negativos). Portanto, é necessário considerar os valores dos ângulos da faixa, ou seja, a curva deve ser localizada acima de eixo polar e suas extensões. Como você pode ver, a mesma história dos dois parágrafos anteriores.

Exemplo 5

Calcule a área da superfície formada pela rotação do cardióide em torno do eixo polar.

Solução: o gráfico desta curva pode ser visto no Exemplo 6 da lição sobre sistema de coordenadas polares. O cardióide é simétrico em relação ao eixo polar, então consideramos sua metade superior no gap (o que, na verdade, também se deve à observação acima).

A superfície de rotação será semelhante a um alvo.

A técnica de solução é padrão. Vamos encontrar a derivada em relação a "phi":

Componha e simplifique a raiz:

Espero com os supranumerários

Saudações, queridos alunos da Universidade Argemony!

Hoje continuaremos a estudar a materialização de objetos. Da última vez, giramos figuras planas e obtivemos corpos tridimensionais. Alguns deles são muito tentadores e úteis. Acho que muito do que o mago inventa pode ser usado no futuro.

Hoje vamos rodar as curvas. É claro que desta forma podemos obter algum tipo de objeto com bordas muito finas (um cone ou uma garrafa para poções, um vaso para flores, um copo para bebidas etc.), porque uma curva rotativa pode criar exatamente esses objetos . Em outras palavras, girando a curva, podemos obter algum tipo de superfície - fechada em todos os lados ou não. Por que agora eu me lembrava da xícara furada da qual Sir Shurf Lonley-Lockley bebia o tempo todo.

Portanto, criaremos uma tigela com vazamento e uma não perfurada e calcularemos a área da superfície criada. Eu acho que por algum motivo (em geral, a área da superfície) será necessária - bem, pelo menos para aplicar uma tinta mágica especial. E por outro lado, as áreas de artefatos mágicos podem ser necessárias para calcular as forças mágicas aplicadas a eles ou qualquer outra coisa. Aprenderemos como encontrá-lo e descobriremos onde aplicá-lo.

Assim, um pedaço de uma parábola pode nos dar a forma de uma tigela. Vamos pegar o mais simples y=x 2 no intervalo . Pode-se ver que quando ele gira em torno do eixo OY, apenas uma tigela é obtida. Sem fundo.

O feitiço para calcular a área de superfície de rotação é o seguinte:

Aqui |y| é a distância do eixo de rotação a qualquer ponto da curva que está girando. Como você sabe, a distância é uma perpendicular.
Um pouco mais difícil com o segundo elemento do feitiço: ds é o diferencial do arco. Essas palavras não nos dão nada, então não vamos nos incomodar, mas mudemos para a linguagem das fórmulas, onde esse diferencial é apresentado explicitamente para todos os casos conhecidos por nós:
- Sistema de coordenada cartesiana;
- registros da curva em forma paramétrica;
- sistema de coordenadas polares.

Para o nosso caso, a distância do eixo de rotação a qualquer ponto da curva é x. Consideramos a área da superfície da tigela furada resultante:

Para fazer uma tigela com fundo, você precisa pegar outra peça, mas com uma curva diferente: no intervalo, essa é a linha y=1.

É claro que ao girar em torno do eixo OY, o fundo da tigela será obtido na forma de um círculo de raio unitário. E sabemos como a área de um círculo é calculada (de acordo com a fórmula pi * r ^ 2. Para o nosso caso, a área do círculo será igual a pi), mas vamos calculá-la usando uma nova fórmula - para verificação.
A distância do eixo de rotação a qualquer ponto dessa parte da curva também é x.

Bem, nossos cálculos estão corretos, o que agrada.

E agora trabalho de casa.

1. Encontre a área da superfície obtida girando a polilinha ABC, onde A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), em torno do eixo OX.
Adendo. Registre todos os segmentos em forma paramétrica.
AB: x=1, y=t, 2≤t≤5
BC: x=t, y=2, 1≤t≤6
A propósito, como é o item resultante?

2. Bem, agora invente algo você mesmo. Três itens, eu acho, é o suficiente.

I. Volumes de corpos de revolução. Estude preliminarmente o capítulo XII, p°p° 197, 198, de acordo com o livro de G. M. Fikhtengol'ts* Analise em detalhes os exemplos dados na p° 198.

508. Calcule o volume do corpo formado pela rotação da elipse em torno do eixo x.

Nesse caminho,

530. Encontre a área da superfície formada pela rotação em torno do eixo Ox do arco da senóide y \u003d sin x do ponto X \u003d 0 até o ponto X \u003d It.

531. Calcule a área da superfície de um cone com altura h e raio r.

532. Calcule a área da superfície formada por

rotação do astroide x3 -) - y* - a3 em torno do eixo x.

533. Calcule a área da superfície formada pela inversão do laço da curva 18 y-x(6-x)r em torno do eixo x.

534. Encontre a superfície do toro produzida pela rotação do círculo X2 - j - (y-3)2 = 4 em torno do eixo x.

535. Calcule a área da superfície formada pela rotação do círculo X = um custo, y = asint em torno do eixo Ox.

536. Calcule a área da superfície formada pela rotação do laço da curva x = 9t2, y = St - 9t3 em torno do eixo Ox.

537. Encontre a área da superfície formada pela rotação do arco da curva x = e * sint, y = el cost em torno do eixo Ox

de t = 0 a t = -.

538. Mostre que a superfície produzida pela rotação do arco da ciclóide x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) em torno do eixo Oy, é igual a 16 u2 o2.

539. Encontre a superfície obtida pela rotação do cardióide em torno do eixo polar.

540. Encontre a área da superfície formada pela rotação da lemniscata em torno do eixo polar.