Neste artigo, abordaremos em detalhes um dos principais conceitos da geometria - o conceito de linha reta em um plano. Primeiro, vamos definir os termos básicos e a notação. Em seguida, discutimos a posição relativa de uma linha e um ponto, bem como duas linhas em um plano, e fornecemos os axiomas necessários. Em conclusão, consideraremos maneiras de definir uma linha reta em um plano e fornecer ilustrações gráficas.

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Uma linha reta em um plano é um conceito.

Antes de dar o conceito de linha reta em um plano, deve-se entender claramente o que é um plano. Representação do avião permite obter, por exemplo, uma superfície plana da mesa ou a parede da casa. No entanto, deve-se ter em mente que as dimensões da mesa são limitadas e o plano se estende além desses limites até o infinito (como se tivéssemos uma mesa arbitrariamente grande).

Se pegarmos um lápis bem apontado e tocarmos seu núcleo na superfície da “mesa”, obteremos a imagem de um ponto. Então nós pegamos representação de um ponto em um plano.

Agora você pode ir para conceito de uma linha reta em um plano.

Vamos colocar na superfície da mesa (no avião) uma folha de papel limpo. Para traçar uma linha reta, precisamos pegar uma régua e traçar uma linha com um lápis até onde permitirem as dimensões da régua e da folha de papel utilizada. Deve-se notar que, desta forma, obtemos apenas uma parte da linha reta. Uma linha reta em sua totalidade, estendendo-se ao infinito, podemos apenas imaginar.

Posição mútua de uma linha e um ponto.

Você deve começar com um axioma: há pontos em toda linha reta e em todo plano.

Os pontos geralmente são indicados por letras latinas maiúsculas, por exemplo, pontos A e F. Por sua vez, as linhas retas são indicadas por minúsculas letras latinas, por exemplo, linhas retas a e d.

Possível duas opções para a posição relativa de uma linha e um ponto em um plano: ou o ponto está sobre uma linha (neste caso, diz-se também que a linha passa pelo ponto), ou o ponto não está sobre a linha (também se diz que o ponto não pertence à linha, ou a linha não passa pelo ponto).

Para indicar que um ponto pertence a uma determinada linha, o símbolo "" é usado. Por exemplo, se o ponto A estiver na linha a, você poderá escrever. Se o ponto A não pertencer à linha a, anote.

A seguinte afirmação é verdadeira: através de quaisquer dois pontos há apenas uma linha reta.

Esta afirmação é um axioma e deve ser aceita como um fato. Além disso, isso é bastante óbvio: marcamos dois pontos no papel, aplicamos uma régua sobre eles e traçamos uma linha reta. Uma linha reta passando por dois pontos dados (por exemplo, pelos pontos A e B) pode ser denotada por essas duas letras (no nosso caso, linha reta AB ou BA).

Deve-se entender que em uma linha reta dada em um plano, existem infinitos pontos diferentes, e todos esses pontos estão no mesmo plano. Esta afirmação é estabelecida pelo axioma: se dois pontos de uma linha estão em um determinado plano, então todos os pontos desta linha estão neste plano.

O conjunto de todos os pontos localizados entre dois pontos dados em uma linha reta, juntamente com esses pontos, é chamado linha reta ou simplesmente segmento. Os pontos que limitam o segmento são chamados de extremidades do segmento. Um segmento é denotado por duas letras correspondentes aos pontos das extremidades do segmento. Por exemplo, deixe os pontos A e B serem as extremidades de um segmento, então este segmento pode ser denotado AB ou BA. Observe que esta designação de um segmento é a mesma que a designação de uma linha reta. Para evitar confusão, recomendamos adicionar a palavra "segmento" ou "reta" à designação.

Para um breve registro de pertencer e não pertencer a um determinado ponto a um determinado segmento, todos os mesmos símbolos e são usados. Para mostrar que um segmento está ou não em uma linha reta, os símbolos e são usados, respectivamente. Por exemplo, se o segmento AB pertencer à linha a, você pode anotar brevemente.

Devemos também nos deter no caso em que três pontos diferentes pertencem à mesma linha. Neste caso, um, e apenas um ponto, situa-se entre os outros dois. Esta afirmação é outro axioma. Suponha que os pontos A, B e C estejam na mesma linha reta, e o ponto B esteja entre os pontos A e C. Então podemos dizer que os pontos A e C estão em lados opostos do ponto B. Você também pode dizer que os pontos B e C estão do mesmo lado do ponto A e os pontos A e B estão do mesmo lado do ponto C.

Para completar a imagem, notamos que qualquer ponto de uma linha reta divide essa linha reta em duas partes - duas feixe. Para este caso, é dado um axioma: um ponto arbitrário O, pertencente a uma linha, divide esta linha em dois raios, e quaisquer dois pontos de um raio estão do mesmo lado do ponto O, e quaisquer dois pontos de raios diferentes estão em lados opostos do ponto O.

Arranjo mútuo de linhas retas em um plano.

Agora vamos responder à pergunta: "Como duas linhas podem estar localizadas em um plano uma em relação à outra"?

Primeiro, duas linhas em um plano podem coincidir.

Isso é possível quando as linhas têm pelo menos dois pontos em comum. De fato, em virtude do axioma expresso no parágrafo anterior, uma única linha reta passa por dois pontos. Em outras palavras, se duas retas passam por dois pontos dados, então elas coincidem.

Em segundo lugar, duas retas em um plano podem Cruz.

Nesse caso, as retas têm um ponto comum, chamado de ponto de interseção das retas. A interseção de linhas é indicada pelo símbolo "", por exemplo, o registro significa que as linhas a e b se cruzam no ponto M. Linhas que se cruzam nos levam ao conceito de ângulo entre linhas que se cruzam. Separadamente, vale a pena considerar a localização de linhas retas em um plano quando o ângulo entre elas é de noventa graus. Neste caso, as linhas são chamadas perpendicular(recomendamos o artigo linhas perpendiculares, perpendicularidade das linhas). Se a linha a é perpendicular à linha b, então uma notação curta pode ser usada.

Terceiro, duas retas em um plano podem ser paralelas.

Do ponto de vista prático, é conveniente considerar uma reta em um plano juntamente com vetores. De particular importância são os vetores diferentes de zero situados em uma determinada linha ou em qualquer uma das linhas paralelas, eles são chamados vetores diretores da reta. O artigo vetor de direção de uma linha reta em um plano dá exemplos de vetores de direção e mostra opções para seu uso na resolução de problemas.

Você também deve prestar atenção aos vetores diferentes de zero situados em qualquer uma das linhas perpendiculares à dada. Esses vetores são chamados vetores normais da reta. O uso de vetores normais de uma linha reta é descrito no artigo vetor normal de uma linha reta em um plano.

Quando três ou mais linhas retas são dadas em um plano, há muitas opções diferentes para sua posição relativa. Todas as linhas podem ser paralelas, caso contrário, algumas ou todas elas se cruzam. Nesse caso, todas as linhas podem se cruzar em um único ponto (veja o artigo Lápis de linhas), ou podem ter diferentes pontos de interseção.

Não vamos nos alongar sobre isso em detalhes, mas citaremos vários fatos notáveis ​​e muito usados ​​sem comprovação:

• se duas linhas são paralelas a uma terceira linha, então elas são paralelas entre si;
• se duas retas são perpendiculares a uma terceira reta, então elas são paralelas entre si;
• se em um plano uma linha intercepta uma das duas linhas paralelas, ela também intercepta a segunda linha.

Métodos para definir uma linha reta em um plano.

Agora listaremos as principais maneiras pelas quais você pode definir uma linha específica no plano. Este conhecimento é muito útil do ponto de vista prático, pois nele se baseia a solução de tantos exemplos e problemas.

Primeiro, uma linha reta pode ser definida especificando dois pontos no plano.

De fato, pelo axioma considerado no primeiro parágrafo deste artigo, sabemos que uma linha reta passa por dois pontos e, além disso, apenas um.

Se as coordenadas de dois pontos incompatíveis forem indicadas em um sistema de coordenadas retangulares em um plano, é possível escrever a equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados.

Em segundo lugar, uma linha pode ser especificada especificando o ponto pelo qual ela passa e a linha à qual é paralela. Este método é válido, pois uma única reta passa por um dado ponto do plano, paralela a uma dada reta. A prova desse fato foi realizada nas aulas de geometria do ensino médio.

Se uma linha reta em um plano é definida dessa maneira em relação ao sistema de coordenadas cartesiano retangular introduzido, é possível compor sua equação. Isso está escrito no artigo a equação de uma reta que passa por um determinado ponto paralelo a uma reta dada.

Em terceiro lugar, uma linha pode ser definida especificando o ponto pelo qual ela passa e seu vetor de direção.

Se uma linha reta é dada em um sistema de coordenadas retangulares dessa maneira, é fácil compor sua equação canônica de uma linha reta em um plano e equações paramétricas de uma linha reta em um plano.

A quarta maneira de especificar uma linha é especificar o ponto pelo qual ela passa e a linha à qual é perpendicular. De fato, há apenas uma linha que passa por um determinado ponto do plano que é perpendicular à linha dada. Vamos deixar este fato sem provas.

Finalmente, uma linha no plano pode ser especificada especificando o ponto pelo qual ela passa e o vetor normal da linha.

Se as coordenadas de um ponto situado em uma determinada linha e as coordenadas do vetor normal da linha são conhecidas, então é possível escrever a equação geral da linha.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. Grades 7 - 9: um livro didático para instituições educacionais.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Livro didático para 10-11 séries do ensino médio.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matemática Superior. Volume um: elementos de álgebra linear e geometria analítica.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analítica.

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A propósito, a última desigualdade fala apenas do não paralelismo de seus vetores normais.

Se as retas são paralelas, então o sistema não tem solução. Analiticamente ficaria assim:

Mas se todas as três frações forem iguais, as linhas coincidem entre si e, portanto, o sistema tem um número infinito de soluções.

Ângulo entre duas linhas pode ser encontrado usando duas fórmulas.

Se as retas são dadas por equações gerais, então o ângulo entre elas coincide com o ângulo entre seus vetores normais. É calculado pela fórmula (6.9) da aula anterior. Para o nosso caso, ficará assim:

. (7.7)

Condição de linhas paralelas:

;

Condição perpendicular:

.

Se as linhas são dadas por equações com coeficientes de inclinação da forma:

e ,

então a tangente do ângulo entre eles é determinada pela fórmula:

. (7.8)

condição paralela:

Condição perpendicular:

.

Exemplo 7.4. Encontrar o ponto de intersecção das linhas e e o ângulo entre eles.

Soluções e. Vamos encontrar o ponto de interseção das retas resolvendo o sistema de equações pelo método de Cramer:

, , ,

O ângulo entre as linhas é definido como o ângulo entre seus vetores normais (2, 5) e (5, –2). Pela fórmula (7.7) temos:

.

O que esta resposta diz? As retas são perpendiculares, porque .

Exemplo 7.5. Em que valor dos parâmetros uma e b direto e : uma) se cruzam, b) são paralelos, dentro) Combine?

Soluções e. Duas linhas se cruzam se a condição for satisfeita. No nosso caso

.

As retas são paralelas se , ou seja

.

E, finalmente, duas linhas coincidem desde que , ou seja E se .

Exemplo 7.6. Dado um ponto e uma reta . Escrever equações de retas eu 1 e eu 2 passando pelo ponto UMA, e e .

Soluções e. Vamos fazer um esboço.

Arroz. 7.6

Inclinação da linha original eué igual a k= -2. Por condição, portanto . Pela fórmula (7.4) encontramos a equação da reta eu 1:

, ou .

Porque então . Então a equação da reta eu 2 ficará assim:

, ou .

7.4. Definição de uma curva de segunda ordem

Definição 7.1.Curva de segunda ordem chamada de linha definida por uma equação de segundo grau em relação às coordenadas atuais. Em geral, esta equação tem a forma:

onde estão todos os números MAS, NO, A PARTIR DE, etc são números reais e, além disso, pelo menos um dos números MAS, NO, A PARTIR DE- diferente de zero.

Antes da introdução do sistema de coordenadas cartesianas, todas as curvas eram descritas verbalmente, com base nas propriedades geométricas da curva em consideração. Então, a definição de um círculo fica assim:

Definição 7.2. Círculo – é o lugar geométrico dos pontos em um plano equidistantes de um determinado ponto, chamado centro.

equação do círculo, centrado no ponto ( uma,b) e raio R em coordenadas cartesianas, o que você conseguiu na escola é assim:

Se abrirmos os colchetes, obtemos uma equação semelhante à equação (7.9), na qual não há termo contendo o produto das coordenadas atuais e os coeficientes em potências maiores são iguais entre si.

A derivação de todas as equações de segunda ordem é semelhante à derivação das equações de linha reta e segue o mesmo algoritmo.

Derivamos a equação de uma parábola com base em sua definição.

7.5. Equação da parábola canônica

Definição 7.3. parábola é o lugar geométrico dos pontos de um plano que são equidistantes de um determinado ponto F chamado foco, e esta reta, chamada diretora.

Vamos denotar a distância do foco à diretriz como p. Este valor é chamado parâmetro parábolas.

1. Posicione o eixo x de modo que passe pelo foco, seja perpendicular à diretriz e tenha uma direção positiva da diretriz ao foco.

2. Coloque a origem das coordenadas no meio desta perpendicular. Então as coordenadas do ponto serão F(p/2, 0) e a equação da diretriz: .

3. Pegue o ponto atual na parábola M(x, y).

4. Por definição de parábola, a distância MN a partir do ponto Mà diretriz é igual à sua distância MF do foco: MF= MN. Como pode ser visto no desenho (Fig. 7.7), as coordenadas do ponto N(–p/2, y). Vamos encontrar essas distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos do parágrafo 1 da aula anterior.

, .

Igualando os lados direitos dessas expressões e elevando ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos:

,

ou após abreviaturas

. (7.11)

A equação (7.11) é chamada a equação canônica da parábola. Apenas os pontos situados na curva irão satisfazê-lo, e o resto não. Vamos estudar a forma de seu gráfico de acordo com a equação canônica.

Porque o y entra em uma potência par, então o eixo OH será o eixo de simetria, ou seja, um valor x corresponderá a dois valores Y- positivo e negativo. Porque o lado direito é não negativo no, então o esquerdo também. Porque Ré a distância entre o foco e a diretriz, que é sempre maior que zero, então x. Se um x=0, então no=0, ou seja a parábola passa pela origem. Com um aumento ilimitado x valor absoluto no também aumentará indefinidamente.

O gráfico da parábola definida pela equação (7.11) é mostrado na fig. 7.7.

Arroz. 7.7 fig. 7.8

O eixo de simetria da parábola é chamado de eixo focal, porque tem foco. Se o eixo focal da parábola for considerado o eixo y, sua equação assumirá a forma:

.

Seu desenho é mostrado na Fig. 7.8. Neste caso, o foco estará no ponto F(0, p/2), e a equação da diretriz terá a forma no = –R/2.

Assim, consideramos uma parábola, encontramos sua equação e mostramos possíveis localizações em relação à origem.

Se o vértice da parábola é deslocado até um ponto , então a equação canônica ficará assim:

.

Não trataremos da derivação de outras curvas de segunda ordem. Quem desejar pode encontrar todos os cálculos na literatura recomendada.

Limitamo-nos às suas definições e equações.

Em menos de um minuto, criei um novo arquivo Verdov e continuei em um tópico tão interessante. Você precisa captar os momentos do clima de trabalho, para que não haja introdução lírica. Vai ter surra prosaica =)

Os dois espaços retos podem:

1) mestiço;

2) intersectam-se no ponto ;

3) ser paralelo;

4) combinar.

O caso #1 é fundamentalmente diferente dos outros casos. Duas retas se interceptam se não estão no mesmo plano.. Levante um braço e estique o outro braço para a frente - aqui está um exemplo de linhas que se cruzam. Nos pontos 2-4, as linhas encontram-se necessariamente em um plano.

Como descobrir a posição relativa das linhas no espaço?

Considere dois espaços retos:

é uma reta dada por um ponto e um vetor diretor ;
é uma linha reta definida por um ponto e um vetor de direção .

Para um melhor entendimento, vamos fazer um desenho esquemático:

O desenho mostra linhas inclinadas como um exemplo.

Como lidar com essas linhas?

Como os pontos são conhecidos, é fácil encontrar o vetor.

Se direto cruzar, então os vetores não coplanar(ver lição Linear (não) dependência de vetores. base vetorial), o que significa que o determinante composto por suas coordenadas é diferente de zero. Ou, o que na verdade é o mesmo, será diferente de zero: .

Nos casos nº 2-4, nossa construção “cai” em um plano, enquanto os vetores coplanar, e o produto misto de vetores linearmente dependentes é igual a zero: .

Expandimos ainda mais o algoritmo. Vamos fingir que , portanto, as linhas se cruzam, ou são paralelas, ou coincidem.

Se os vetores de direção colinear, então as linhas são paralelas ou coincidem. Como prego final, proponho a seguinte técnica: pegamos qualquer ponto de uma reta e substituímos suas coordenadas na equação da segunda reta; se as coordenadas "se aproximaram", então as linhas coincidem, se "não se aproximaram", então as linhas são paralelas.

O curso do algoritmo é despretensioso, mas exemplos práticos ainda não interferem:

Exemplo 11

Descubra a posição relativa de duas linhas

Solução: como em muitos problemas de geometria, é conveniente organizar a solução ponto a ponto:

1) Extraímos pontos e vetores diretores das equações:

2) Encontre o vetor:

Assim, os vetores são coplanares, o que significa que as retas estão no mesmo plano e podem se cruzar, ser paralelas ou coincidir.

4) Verifique a colinearidade dos vetores de direção.

Vamos compor um sistema a partir das coordenadas correspondentes desses vetores:

A partir de todos A equação implica que , portanto, o sistema é consistente, as coordenadas correspondentes dos vetores são proporcionais e os vetores são colineares.

Conclusão: as linhas são paralelas ou coincidem.

5) Descubra se as retas têm pontos em comum. Vamos pegar um ponto pertencente à primeira reta e substituir suas coordenadas nas equações da reta:

Assim, as retas não têm pontos comuns, e nada lhes resta a não ser serem paralelas.

Responda:

Um exemplo interessante para resolver por conta própria:

Exemplo 12

Descubra a posição relativa das linhas

Este é um exemplo faça-você-mesmo. Observe que a segunda linha tem a letra como parâmetro. Logicamente. No caso geral, são duas linhas diferentes, então cada linha tem seu próprio parâmetro.

E, novamente, peço que você não pule exemplos, vou bater nas tarefas que proponho estão longe de ser aleatórias ;-)

Problemas com uma linha reta no espaço

Na parte final da lição, tentarei considerar Quantia máxima vários problemas com linhas espaciais. Nesse caso, a ordem inicial da história será respeitada: primeiro consideraremos problemas com linhas que se cruzam, depois com linhas que se cruzam e, no final, falaremos sobre linhas paralelas no espaço. No entanto, devo dizer que algumas das tarefas desta lição podem ser formuladas para vários casos de linhas retas ao mesmo tempo e, nesse sentido, a divisão da seção em parágrafos é um tanto arbitrária. Existem exemplos mais simples, existem exemplos mais complexos e esperamos que todos encontrem o que precisam.

linhas cruzadas

Lembro a você que as linhas se cruzam se não houver um plano em que ambas estejam. Quando eu estava pensando sobre a prática, uma tarefa monstruosa me veio à mente, e agora tenho o prazer de apresentar a sua atenção um dragão com quatro cabeças:

Exemplo 13

Dadas são linhas retas. Requeridos:

a) provar que as retas se cruzam;

b) encontre as equações da reta que passa pelo ponto perpendicular às retas dadas;

c) compor as equações de uma reta que contém perpendicular comum linhas que se cruzam;

d) encontre a distância entre as linhas.

Solução: A estrada será dominada pelo caminhante:

a) Provemos que as retas se interceptam. Vamos encontrar os pontos e os vetores diretores dessas retas:

Vamos encontrar o vetor:

Calcular produto misto de vetores:

Então os vetores não coplanar, o que significa que as linhas se cruzam, o que deveria ser provado.

Provavelmente, todo mundo percebeu há muito tempo que, para linhas de inclinação, o algoritmo de verificação acaba sendo o mais curto.

b) Vamos encontrar as equações da reta que passa pelo ponto e é perpendicular às retas. Vamos fazer um desenho esquemático:

Para variar, postei um direct POR linhas retas, veja como fica levemente apagada nos pontos de cruzamento. Cruzados? Sim, no caso geral, a linha "de" cruzará com as linhas originais. Embora não nos interesse neste momento, só precisamos construir uma linha perpendicular e pronto.

O que se sabe sobre o "de" direto? O ponto pertencente a ele é conhecido. O vetor de direção está faltando.

Por condição, a linha deve ser perpendicular às linhas, o que significa que seu vetor de direção será ortogonal aos vetores de direção. O motivo já familiar do Exemplo nº 9, vamos encontrar o produto vetorial:

Vamos compor as equações da reta "de" pelo ponto e pelo vetor diretor:

Preparar. Em princípio, pode-se mudar os sinais nos denominadores e escrever a resposta na forma , mas não há necessidade disso.

Para verificar, é necessário substituir as coordenadas do ponto nas equações obtidas da reta, então usando produto escalar de vetores certifique-se de que o vetor seja realmente ortogonal aos vetores de direção "pe um" e "pe dois".

Como encontrar as equações de uma reta contendo uma perpendicular comum?

c) Este problema é mais difícil. Recomendo que os leigos pulem este parágrafo, não quero esfriar sua sincera simpatia pela geometria analítica =) A propósito, talvez seja melhor para os leitores mais preparados esperarem também, o fato é que em termos de complexidade o exemplo deveria ser colocado por último no artigo, mas de acordo com a lógica de apresentação deveria estar localizado aqui.

Assim, é necessário encontrar as equações da reta, que contém a perpendicular comum das retas enviesadas.

é um segmento de reta que conecta as retas dadas e é perpendicular às retas dadas:

Aqui está o nosso homem bonito: - perpendicular comum de linhas que se cruzam. Ele é o único. Não há outro igual. Também precisamos compor as equações de uma reta que contém um determinado segmento.

O que se sabe sobre o "uh" direto? Seu vetor de direção é conhecido, encontrado no parágrafo anterior. Mas, infelizmente, não conhecemos um único ponto pertencente à linha reta "em", não conhecemos as extremidades dos pontos perpendiculares. Onde essa linha perpendicular intercepta as duas linhas originais? África, Antártica? Desde a revisão inicial e análise da condição, não está claro como resolver o problema .... Mas há um movimento complicado associado ao uso de equações paramétricas de uma linha reta.

Vamos tomar uma decisão ponto a ponto:

1) Vamos reescrever as equações da primeira reta na forma paramétrica:

Vamos considerar um ponto. Não sabemos as coordenadas. MAS. Se um ponto pertence a uma determinada linha, então suas coordenadas correspondem a , denote-o por . Então as coordenadas do ponto serão escritas como:

A vida está melhorando, uma incógnita - afinal, não três incógnitas.

2) A mesma indignação deve ser realizada no segundo ponto. Vamos reescrever as equações da segunda reta na forma paramétrica:

Se um ponto pertence a uma dada reta, então com um significado muito específico suas coordenadas devem satisfazer as equações paramétricas:

Ou:

3) O vetor , como o vetor encontrado anteriormente, será o vetor diretor da reta . Como compor um vetor de dois pontos foi considerado em tempos imemoriais na lição Vetores para manequins. Agora a diferença é que as coordenadas dos vetores são escritas com valores de parâmetros desconhecidos. E daí? Ninguém proíbe subtrair as coordenadas correspondentes do início do vetor das coordenadas do final do vetor.

Existem dois pontos: .

Encontrando um vetor:

4) Como os vetores diretores são colineares, então um vetor é expresso linearmente através do outro com algum coeficiente de proporcionalidade "lambda":

Ou coordenada:

Acabou sendo o mais comum sistema de equações lineares com três incógnitas , que é padrão solúvel, por exemplo, método de Cramer. Mas aqui há uma oportunidade de sair com pouco sangue, da terceira equação vamos expressar "lambda" e substituí-lo na primeira e na segunda equações:

Nesse caminho: , e "lambda" não precisamos. O fato de os valores dos parâmetros serem os mesmos é puro acaso.

5) O céu clareou completamente, substitua os valores encontrados para as nossas localizações:

O vetor de direção não é particularmente necessário, pois sua contraparte já foi encontrada.

Depois de uma longa viagem, é sempre interessante fazer uma checagem.

:

As igualdades corretas são obtidas.

Substitua as coordenadas do ponto nas equações :

As igualdades corretas são obtidas.

6) O acorde final: vamos compor as equações de uma reta para um ponto (você pode pegar) e um vetor diretor:

Em princípio, você pode pegar um ponto “bom” com coordenadas inteiras, mas isso é cosmético.

Como encontrar a distância entre linhas que se cruzam?

d) Cortamos a quarta cabeça do dragão.

Método um. Nem mesmo um caminho, mas um pequeno caso especial. A distância entre linhas que se cruzam é ​​igual ao comprimento de suas perpendiculares comuns: .

Pontos extremos da perpendicular comum encontrado no parágrafo anterior, e a tarefa é elementar:

Método dois. Na prática, na maioria das vezes, as extremidades da perpendicular comum são desconhecidas, então uma abordagem diferente é usada. Através de duas linhas que se cruzam, planos paralelos podem ser traçados, e a distância entre os planos dados é igual à distância entre as linhas dadas. Em particular, uma perpendicular comum se destaca entre esses planos.

No curso de geometria analítica, a partir das considerações acima, uma fórmula foi derivada para encontrar a distância entre as linhas de inclinação:
(em vez de nossos pontos "em um, dois" podemos tomar pontos arbitrários de linhas).

Produto misto de vetores já encontrado na alínea "a": .

Produto vetorial de vetores encontrado no parágrafo "ser": , calcule seu comprimento:

Nesse caminho:

Orgulhosamente coloque os troféus em uma linha:

Responda:
a) , portanto, as retas se intersectam, o que precisava ser provado;
b) ;
dentro) ;
G)

O que mais pode ser dito sobre linhas que se cruzam? Um ângulo é definido entre eles. Mas considere a fórmula do ângulo universal no próximo parágrafo:

Linhas retas que se cruzam necessariamente estão no mesmo plano:

O primeiro pensamento é apoiar-se no ponto de interseção com todas as suas forças. E imediatamente pensei, por que negar a si mesmo os desejos certos ?! Vamos pular nele agora mesmo!

Como encontrar o ponto de intersecção das linhas espaciais?

Exemplo 14

Encontrar o ponto de intersecção das linhas

Solução: Vamos reescrever as equações de retas na forma paramétrica:

Esta tarefa foi considerada em detalhes no Exemplo nº 7 desta lição (consulte Equações de uma linha reta no espaço). E as próprias retas, aliás, tirei do Exemplo nº 12. Não vou mentir, tenho preguiça de inventar novas.

A solução é padrão e já foi encontrada quando elaboramos as equações da perpendicular comum das linhas enviesadas.

O ponto de interseção das retas pertence à reta, portanto suas coordenadas satisfazem as equações paramétricas desta reta, e correspondem a um valor de parâmetro muito específico:

Mas o mesmo ponto pertence à segunda linha, portanto:

Igualamos as equações correspondentes e fazemos simplificações:

Obtém-se um sistema de três equações lineares com duas incógnitas. Se as linhas se cruzarem (como provado no Exemplo 12), então o sistema é necessariamente consistente e tem uma solução única. pode ser resolvido método Gauss, mas não vamos pecar com esse fetichismo de jardim de infância, vamos fazer mais fácil: da primeira equação expressamos “te zero” e substituímos na segunda e na terceira equações:

As duas últimas equações acabaram sendo essencialmente as mesmas, e segue-se delas que . Então:

Vamos substituir o valor encontrado do parâmetro nas equações:

Responda:

Para verificar, substituímos o valor encontrado do parâmetro nas equações:
As mesmas coordenadas foram obtidas conforme necessário para serem verificadas. Leitores meticulosos podem substituir as coordenadas do ponto nas equações canônicas originais das retas.

Aliás, foi possível fazer o contrário: encontrar o ponto através de “es zero”, e verificar através de “te zero”.

Um conhecido sinal matemático diz: onde se discute a interseção de linhas retas, sempre há um cheiro de perpendiculares.

Como construir uma linha de espaço perpendicular a um dado?

(as linhas se cruzam)

Exemplo 15

a) Componha as equações de uma reta que passa por um ponto perpendicular à reta (as linhas se cruzam).

b) Encontre a distância do ponto à reta.

Observação : cláusula "linhas se cruzam" - essencial. Através do ponto
é possível desenhar um número infinito de linhas perpendiculares que se cruzam com a linha "el". A única solução ocorre quando uma linha é traçada através de um determinado ponto perpendicular a dois linhas retas dadas (ver Exemplo nº 13, parágrafo "b").

a) Solução: Denote a linha desconhecida por . Vamos fazer um desenho esquemático:

O que se sabe sobre a linha? Por condição, um ponto é dado. Para compor as equações de uma reta, é necessário encontrar o vetor diretor. Como tal vetor, o vetor é bastante adequado e vamos lidar com isso. Mais precisamente, vamos pegar a extremidade desconhecida do vetor pela nuca.

1) Extrairemos seu vetor diretor das equações da reta "el" e reescreveremos as próprias equações na forma paramétrica:

Muitos adivinharam que agora pela terceira vez em uma aula o mágico tirará um cisne branco de seu chapéu. Considere um ponto com coordenadas desconhecidas. Desde o ponto , então suas coordenadas satisfazem as equações paramétricas da reta "el" e correspondem a um valor de parâmetro específico:

Ou em uma linha:

2) Por condição, as retas devem ser perpendiculares, portanto, seus vetores diretores são ortogonais. E se os vetores são ortogonais, então seus produto escalar igual a zero:

O que aconteceu? A equação linear mais simples com uma incógnita:

3) O valor do parâmetro é conhecido, vamos encontrar o ponto:

E o vetor de direção:
.

4) Vamos compor as equações da reta pelo ponto e pelo vetor diretor :

Os denominadores da proporção acabaram sendo fracionários, e esse é exatamente o caso quando é apropriado se livrar das frações. Vou apenas multiplicá-los por -2:

Responda:

Observação : um final mais rigoroso da solução é elaborado da seguinte forma: compomos as equações de uma reta por um ponto e um vetor de direção . De fato, se um vetor é um vetor diretor de uma linha reta, então o vetor colinear a ele também será naturalmente um vetor diretor dessa linha reta.

A verificação consiste em duas etapas:

1) verifique a ortogonalidade dos vetores diretores das linhas;

2) substituímos as coordenadas do ponto nas equações de cada reta, elas devem “encaixar” aqui e ali.

Houve muita conversa sobre ações típicas, então verifiquei um rascunho.

A propósito, esqueci outro modismo - construir um ponto "sue" simétrico ao ponto "en" em relação à linha reta "el". No entanto, existe um bom “análogo plano”, que pode ser encontrado no artigo Os problemas mais simples com uma linha reta em um plano. Aqui, toda a diferença estará na coordenada "Z" adicional.

Como encontrar a distância de um ponto a uma linha no espaço?

b) Solução: encontre a distância de um ponto a uma linha.

Método um. Esta distância é exatamente igual ao comprimento da perpendicular: . A solução é óbvia: se os pontos são conhecidos , então:

Método dois. Em problemas práticos, a base da perpendicular costuma ser um mistério, por isso é mais racional usar uma fórmula pronta.

A distância de um ponto a uma reta é expressa pela fórmula:
, onde é o vetor de direção da linha reta "el", e - arbitrário um ponto em uma determinada linha.

1) Das equações da reta obtemos o vetor de direção e o ponto mais acessível.

2) O ponto é conhecido pela condição, aguce o vetor:

3) Vamos encontrar produto vetorial e calcule seu comprimento:

4) Calcule o comprimento do vetor de direção:

5) Assim, a distância de um ponto a uma reta:

Este artigo é sobre linhas paralelas e sobre linhas paralelas. Primeiro, é dada a definição de linhas paralelas no plano e no espaço, é introduzida a notação, são dados exemplos e ilustrações gráficas de linhas paralelas. A seguir, são analisados ​​os sinais e as condições de paralelismo das retas. Em conclusão, são apresentadas soluções para problemas típicos de prova do paralelismo de retas, que são dados por algumas equações de uma reta em um sistema de coordenadas retangulares no plano e no espaço tridimensional.

Navegação da página.

Linhas paralelas - informações básicas.

Definição.

Duas retas em um plano são chamadas paralelo se não tiverem pontos comuns.

Definição.

Duas linhas em três dimensões são chamadas paralelo se estiverem no mesmo plano e não tiverem pontos em comum.

Observe que a cláusula "se elas estiverem no mesmo plano" na definição de linhas paralelas no espaço é muito importante. Vamos esclarecer este ponto: duas linhas retas no espaço tridimensional que não têm pontos comuns e não estão no mesmo plano não são paralelas, mas são distorcidas.

Aqui estão alguns exemplos de linhas paralelas. As bordas opostas da folha do caderno estão em linhas paralelas. As linhas retas ao longo das quais o plano da parede da casa intercepta os planos do teto e do piso são paralelas. Trilhos ferroviários em terreno plano também podem ser pensados ​​como linhas paralelas.

O símbolo "" é usado para denotar linhas paralelas. Ou seja, se as linhas a e b são paralelas, você pode escrever brevemente a b.

Observe que, se as linhas a e b são paralelas, podemos dizer que a linha a é paralela à linha b e também que a linha b é paralela à linha a.

Vamos expressar uma afirmação que desempenha um papel importante no estudo das retas paralelas no plano: por um ponto que não pertence a uma reta dada, passa a única reta paralela à dada. Essa afirmação é aceita como um fato (não pode ser provada com base nos axiomas conhecidos da planimetria) e é chamada de axioma das linhas paralelas.

Para o caso do espaço, o teorema é verdadeiro: por qualquer ponto do espaço que não esteja sobre uma reta dada, passa uma única reta paralela à dada. Este teorema pode ser facilmente provado usando o axioma das linhas paralelas dado acima (você pode encontrar sua prova no livro de geometria para as séries 10-11, listado no final do artigo na bibliografia).

Para o caso do espaço, o teorema é verdadeiro: por qualquer ponto do espaço que não esteja sobre uma reta dada, passa uma única reta paralela à dada. Este teorema é facilmente provado usando o axioma das linhas paralelas dado acima.

Paralelismo de linhas - sinais e condições de paralelismo.

Um sinal de linhas paralelasé uma condição suficiente para linhas paralelas, ou seja, tal condição, cujo cumprimento garante linhas paralelas. Em outras palavras, o cumprimento dessa condição é suficiente para afirmar o fato de que as linhas são paralelas.

Existem também condições necessárias e suficientes para linhas paralelas no plano e no espaço tridimensional.

Vamos explicar o significado da frase "condição necessária e suficiente para linhas paralelas".

Já lidamos com a condição suficiente para linhas paralelas. E qual é a "condição necessária para linhas paralelas"? Pelo nome "necessário" fica claro que o cumprimento dessa condição é necessário para que as linhas fiquem paralelas. Em outras palavras, se a condição necessária para linhas paralelas não for satisfeita, então as linhas não são paralelas. Nesse caminho, condição necessária e suficiente para que as retas sejam paralelasé uma condição, cujo cumprimento é necessário e suficiente para linhas paralelas. Ou seja, por um lado, é um sinal de linhas paralelas e, por outro lado, é uma propriedade que as linhas paralelas possuem.

Antes de estabelecer a condição necessária e suficiente para que as retas sejam paralelas, é útil relembrar algumas definições auxiliares.

linha secanteé uma reta que intercepta cada uma das duas retas não coincidentes dadas.

Na interseção de duas linhas de uma secante, são formadas oito não implantadas. O assim chamado deitado transversalmente, correspondendo e cantos unilaterais. Vamos mostrá-los no desenho.

Teorema.

Se duas linhas retas em um plano são cruzadas por uma secante, então, para seu paralelismo, é necessário e suficiente que os ângulos cruzados sejam iguais, ou os ângulos correspondentes sejam iguais, ou a soma dos ângulos de um lado seja igual a 180 graus .

Vamos mostrar uma ilustração gráfica desta condição necessária e suficiente para linhas paralelas no plano.

Você pode encontrar provas dessas condições para linhas paralelas em livros de geometria para as séries 7-9.

Observe que essas condições também podem ser usadas no espaço tridimensional - o principal é que as duas retas e a secante estejam no mesmo plano.

Aqui estão mais alguns teoremas que são freqüentemente usados ​​para provar o paralelismo de linhas.

Teorema.

Se duas retas em um plano são paralelas a uma terceira reta, então elas são paralelas. A prova dessa característica segue do axioma das retas paralelas.

Existe uma condição semelhante para linhas paralelas no espaço tridimensional.

Teorema.

Se duas linhas no espaço são paralelas a uma terceira linha, então elas são paralelas. A prova desta característica é considerada nas aulas de geometria do 10.º ano.

Vamos ilustrar os teoremas expressos.

Vamos dar mais um teorema que nos permite provar o paralelismo de retas no plano.

Teorema.

Se duas retas em um plano são perpendiculares a uma terceira reta, então elas são paralelas.

Existe um teorema semelhante para linhas no espaço.

Teorema.

Se duas linhas no espaço tridimensional são perpendiculares ao mesmo plano, então elas são paralelas.

Façamos desenhos correspondentes a esses teoremas.

Todos os teoremas formulados acima, sinais e condições necessárias e suficientes são perfeitamente adequados para provar o paralelismo de linhas retas por métodos de geometria. Isto é, para provar o paralelismo de duas retas dadas, é necessário mostrar que elas são paralelas à terceira reta, ou mostrar a igualdade dos ângulos cruzados, etc. Muitos desses problemas são resolvidos nas aulas de geometria no ensino médio. No entanto, deve-se notar que em muitos casos é conveniente usar o método das coordenadas para provar o paralelismo de linhas em um plano ou no espaço tridimensional. Vamos formular as condições necessárias e suficientes para o paralelismo de linhas que são dadas em um sistema de coordenadas retangulares.

Paralelismo de linhas em um sistema de coordenadas retangulares.

Nesta seção do artigo, formularemos condições necessárias e suficientes para linhas paralelas em um sistema de coordenadas retangulares, dependendo do tipo de equações que determinam essas retas, e também daremos soluções detalhadas para problemas típicos.

Vamos começar com a condição de paralelismo de duas retas no plano no sistema de coordenadas retangulares Oxy . Sua prova é baseada na definição do vetor diretor da reta e na definição do vetor normal da reta no plano.

Teorema.

Para que duas retas não coincidentes sejam paralelas em um plano, é necessário e suficiente que os vetores diretores dessas retas sejam colineares, ou os vetores normais dessas retas sejam colineares, ou o vetor diretor de uma reta seja perpendicular à normal vetor da segunda linha.

Obviamente, a condição de paralelismo de duas retas no plano se reduz a (vetores diretores de retas ou vetores normais de retas) ou a (vetor diretor de uma reta e vetor normal de segunda reta). Assim, se e são os vetores diretores das retas a e b, e e são os vetores normais das retas a e b, respectivamente, então a condição necessária e suficiente para as retas paralelas a e b pode ser escrita como , ou , ou , onde t é algum número real. Por sua vez, as coordenadas dos vetores diretores e (ou) normais das retas a e b são encontradas a partir das equações conhecidas das retas.

Em particular, se a linha a no sistema de coordenadas retangulares Oxy no plano define a equação geral da linha da forma , e a reta b - , então os vetores normais dessas retas têm coordenadas e respectivamente, e a condição de paralelismo das retas a e b será escrita como .

Se a reta a corresponde à equação da reta com o coeficiente de inclinação da forma . Portanto, se linhas retas em um plano em um sistema de coordenadas retangulares são paralelas e podem ser dadas por equações de linhas retas com coeficientes de inclinação, então os coeficientes de inclinação das linhas serão iguais. E vice-versa: se linhas retas não coincidentes em um plano em um sistema de coordenadas retangulares podem ser dadas pelas equações de uma linha reta com coeficientes de inclinação iguais, então essas linhas retas são paralelas.

Se a reta a e a reta b em um sistema de coordenadas retangulares definem as equações canônicas da reta no plano da forma e , ou equações paramétricas de uma reta em um plano da forma e respectivamente, então os vetores diretores dessas linhas têm coordenadas e , e a condição de paralelismo para as linhas aeb é escrita como .

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos.

Exemplo.

As linhas são paralelas? e ?

Solução.

Reescrevemos a equação de uma reta em segmentos na forma de uma equação geral de uma reta: . Agora podemos ver que é o vetor normal da reta , e é o vetor normal da reta. Esses vetores não são colineares, pois não existe um número real t para o qual a igualdade ( ). Consequentemente, a condição necessária e suficiente para o paralelismo das retas no plano não é satisfeita, portanto, as retas dadas não são paralelas.

Responda:

Não, as linhas não são paralelas.

Exemplo.

São retas e paralelas?

Solução.

Trazemos a equação canônica de uma reta para a equação de uma reta com inclinação: . Obviamente, as equações das retas e não são as mesmas (neste caso, as retas dadas seriam as mesmas) e as inclinações das retas são iguais, portanto, as retas originais são paralelas.

Agora vamos fazer duas equações:

Vejamos quando as retas d e d definidas por essas equações são paralelas em sentido amplo, quando coincidem, quando são paralelas em sentido próprio (ou seja, não têm um único ponto comum).

A resposta à primeira questão é obtida imediatamente: as retas d e d são paralelas em sentido amplo se e somente se seus vetores diretores são colineares, isto é, quando ocorre a proporção e, portanto, a proporção

Se esta proporção puder ser estendida à proporção

então as linhas coincidem: neste caso, todos os coeficientes de uma das duas equações (1), (Г) são obtidos a partir dos coeficientes da outra multiplicando por alguns e, portanto, as equações (1) e são equivalentes (qualquer ponto que satisfaz uma equação satisfaz a outra).

Inversamente, se duas linhas coincidem, então a proporção (3) vale.

Vamos provar isso primeiro no caso em que nossas linhas são paralelas ao eixo y. Então , e só precisamos provar a igualdade .

Mas a última igualdade (na qual decorre do fato de que ambas as linhas (coincidentes) interceptam o eixo das abscissas no mesmo ponto com as abscissas .

Agora deixe as primárias coincidentes não serem paralelas ao eixo y. Então eles a interceptam no mesmo ponto Q com a ordenada e temos a proporção , que, junto com a proporção (2) (expressando o paralelismo das linhas em sentido amplo) nos dá a proporção desejada (3).

Paralelismo no sentido próprio significa que há paralelismo no sentido amplo (ou seja, a condição (2) é satisfeita), mas não há coincidência (ou seja, não satisfeita). Isso significa que a proporção

ocorre, enquanto

A combinação de duas relações (2) e (4) é geralmente escrita como uma única fórmula:

Vamos resumir o que foi comprovado.

Teorema 1. Qualquer linha reta d em um plano equipado com um sistema de coordenadas afins é determinada por alguma equação de primeiro grau entre as coordenadas de seus pontos. Inversamente, qualquer equação do primeiro grau

é uma equação de alguma (única) linha d; além disso, todos os vetores colineares a esta linha, e somente eles satisfazem a equação homogênea