Encontre o numerador e o denominador. Uma fração consiste em dois números: o número acima da linha é chamado de numerador e o número abaixo da linha é chamado de denominador. O denominador indica o número total de partes em que um todo é dividido e o numerador é o número considerado de tais partes.
- Por exemplo, na fração ½, o numerador é 1 e o denominador é 2.
Determine o denominador. Se duas ou mais frações têm um denominador comum, tais frações têm o mesmo número abaixo da linha, ou seja, neste caso, algum inteiro é dividido no mesmo número de partes. Adicionar frações com denominador comum é muito fácil, pois o denominador da fração total será o mesmo das frações que estão sendo somadas. Por exemplo:
- As frações 3/5 e 2/5 têm denominador comum 5.
- As frações 3/8, 5/8, 17/8 têm um denominador comum 8.
Determine os numeradores. Para somar frações com denominador comum, some seus numeradores e escreva o resultado acima do denominador das frações somadas.
- As frações 3/5 e 2/5 têm numeradores 3 e 2.
- As frações 3/8, 5/8, 17/8 têm numeradores 3, 5, 17.
Some os numeradores. No problema 3/5 + 2/5 some os numeradores 3 + 2 = 5. No problema 3/8 + 5/8 + 17/8 some os numeradores 3 + 5 + 17 = 25.
Anote o total. Lembre-se de que ao adicionar frações com denominador comum, ele permanece inalterado - apenas os numeradores são adicionados.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Converta a fração, se necessário.Às vezes, uma fração pode ser escrita como um número inteiro em vez de uma fração comum ou decimal. Por exemplo, a fração 5/5 converte-se facilmente em 1, pois qualquer fração cujo numerador seja igual ao denominador é 1. Imagine uma torta cortada em três partes. Se você comer todas as três partes, você comerá a torta inteira (uma).
- Qualquer fração comum pode ser convertida em decimal; Para fazer isso, divida o numerador pelo denominador. Por exemplo, a fração 5/8 pode ser escrita assim: 5 ÷ 8 = 0,625.
Simplifique a fração se possível. Uma fração simplificada é uma fração cujo numerador e denominador não possuem um divisor comum.
- Por exemplo, considere a fração 3/6. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm um divisor comum igual a 3, ou seja, o numerador e o denominador são completamente divisíveis por 3. Portanto, a fração 3/6 pode ser escrita da seguinte forma: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.
Se necessário, converta a fração imprópria em uma fração mista (número misto). Para uma fração imprópria, o numerador é maior que o denominador, por exemplo, 25/8 (para uma fração própria, o numerador é menor que o denominador). Uma fração imprópria pode ser convertida em uma fração mista, que consiste em uma parte inteira (ou seja, um número inteiro) e uma parte fracionária (ou seja, uma fração própria). Para converter uma fração imprópria como 25/8 em um número misto, siga estas etapas:
- Divida o numerador da fração imprópria pelo seu denominador; anote o quociente incompleto (a resposta inteira). Em nosso exemplo: 25 ÷ 8 = 3 mais algum resto. NO este caso a resposta inteira é a parte inteira do número misto.
- Encontre o resto. Em nosso exemplo: 8 x 3 = 24; subtraia o resultado do numerador original: 25 - 24 \u003d 1, ou seja, o restante é 1. Nesse caso, o restante é o numerador da parte fracionária do número misto.
- Escreva uma fração mista. O denominador não muda (ou seja, é igual ao denominador da fração imprópria), então 25/8 = 3 1/8.
Somando frações com os mesmos denominadores
A adição de frações é de dois tipos:
- Somando frações com os mesmos denominadores
- Adicionando frações com denominadores diferentes
Vamos começar adicionando frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para adicionar frações com os mesmos denominadores, você precisa adicionar seus numeradores e deixar o denominador inalterado. Por exemplo, vamos adicionar as frações e . Adicionamos os numeradores e deixamos o denominador inalterado:
Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você adicionar pizza a pizza, você obtém pizza:
Exemplo 2 Adicione frações e .
A resposta é uma fração imprópria. Se o fim da tarefa chegar, é costume se livrar das frações impróprias. Para se livrar de uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela. No nosso caso, a parte inteira é alocada facilmente - dois dividido por dois é igual a um:
Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em duas partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, obterá uma pizza inteira:
Exemplo 3. Adicione frações e .
Novamente, adicione os numeradores e deixe o denominador inalterado:
Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você adicionar mais pizzas à pizza, você obterá pizzas:
Exemplo 4 Encontrar o valor de uma expressão 
Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Os numeradores devem ser somados e o denominador mantido inalterado:
Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza e adicionar mais pizzas, receberá 1 pizza inteira e mais pizzas.
Como você pode ver, adicionar frações com os mesmos denominadores não é difícil. Basta entender as seguintes regras:
- Para somar frações com o mesmo denominador, você precisa somar seus numeradores e deixar o denominador inalterado;
Adicionando frações com denominadores diferentes
Agora vamos aprender como somar frações com denominadores diferentes. Ao adicionar frações, os denominadores dessas frações devem ser os mesmos. Mas nem sempre são iguais.
Por exemplo, frações podem ser adicionadas porque têm os mesmos denominadores.
Mas frações não podem ser somadas de uma só vez, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).
Existem várias maneiras de reduzir frações ao mesmo denominador. Hoje consideraremos apenas um deles, pois o restante dos métodos pode parecer complicado para um iniciante.
A essência deste método está no fato de que o primeiro (LCM) dos denominadores de ambas as frações é procurado. Então o LCM é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido. Eles fazem o mesmo com a segunda fração - o NOC é dividido pelo denominador da segunda fração e o segundo fator adicional é obtido.
Em seguida, os numeradores e denominadores das frações são multiplicados por seus fatores adicionais. Como resultado dessas ações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações.
Exemplo 1. Adicione frações e
Em primeiro lugar, encontramos o mínimo múltiplo comum dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 2. O mínimo múltiplo comum desses números é 6
LCM (2 e 3) = 6
Agora de volta às frações e . Primeiro, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração e obtemos o primeiro fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 6 por 3, temos 2.
O número 2 resultante é o primeiro fator adicional. Escrevemos na primeira fração. Para fazer isso, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da fração e anotamos o fator adicional encontrado acima dela:
Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração e obtemos o segundo fator adicional. LCM é o número 6, e o denominador da segunda fração é o número 2. Divida 6 por 2, temos 3.
O número 3 resultante é o segundo fator adicional. Escrevemos na segunda fração. Novamente, fazemos uma pequena linha oblíqua acima da segunda fração e escrevemos o fator adicional encontrado acima dela:
Agora estamos todos prontos para adicionar. Resta multiplicar os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais:
Olhe atentamente para o que chegamos. Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como somar essas frações. Vamos completar este exemplo até o final:
Assim termina o exemplo. Para adicioná-lo acontece.
Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você adicionar pizzas a uma pizza, obterá uma pizza inteira e outro sexto de uma pizza:
A redução de frações ao mesmo denominador (comum) também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo as frações e para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas duas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza. A única diferença será que desta vez serão divididos em partes iguais (reduzidas ao mesmo denominador).
O primeiro desenho mostra uma fração (quatro peças de seis) e a segunda foto mostra uma fração (três peças de seis). Juntando essas peças, obtemos (sete peças de seis). Esta fração está incorreta, então destacamos a parte inteira nela. O resultado foi (uma pizza inteira e outra sexta pizza).
Observe que pintamos este exemplo com muitos detalhes. Nas instituições de ensino não é costume escrever de forma tão detalhada. Você precisa ser capaz de encontrar rapidamente o MMC de ambos os denominadores e fatores adicionais a eles, bem como multiplicar rapidamente os fatores adicionais encontrados por seus numeradores e denominadores. Enquanto na escola, teríamos que escrever este exemplo da seguinte forma:
Mas há também o outro lado da moeda. Se notas detalhadas não forem feitas nos primeiros estágios do estudo da matemática, então perguntas do tipo “De onde vem esse número?”, “Por que as frações de repente se transformam em frações completamente diferentes? «.
Para facilitar a adição de frações com denominadores diferentes, você pode usar as seguintes instruções passo a passo:
- Encontre o MMC dos denominadores das frações;
- Divida o MMC pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração;
- Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais;
- Adicione frações que tenham os mesmos denominadores;
- Se a resposta for uma fração imprópria, selecione sua parte inteira;
Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão 
.
Vamos usar as instruções acima.
Etapa 1. Encontre o MMC dos denominadores das frações
Encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Os denominadores das frações são os números 2, 3 e 4
Etapa 2. Divida o LCM pelo denominador de cada fração e obtenha um multiplicador adicional para cada fração
Divida o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 2. Divida 12 por 2, obtemos 6. Obtemos o primeiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a primeira fração:
Agora dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Obtemos o segundo fator adicional 4. Escrevemos sobre a segunda fração:
Agora dividimos o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 12, e o denominador da terceira fração é o número 4. Divida 12 por 4, obtemos 3. Obtemos o terceiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a terceira fração:
Etapa 3. Multiplique os numeradores e denominadores das frações por seus fatores adicionais
Multiplicamos os numeradores e denominadores pelos nossos fatores adicionais:
Etapa 4. Adicione frações que tenham os mesmos denominadores
Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). Resta adicionar essas frações. Adicionar:
A adição não coube em uma linha, então movemos a expressão restante para a próxima linha. Isso é permitido em matemática. Quando uma expressão não cabe em uma linha, ela é transportada para a próxima linha, sendo necessário colocar um sinal de igual (=) no final da primeira linha e no início de uma nova linha. O sinal de igual na segunda linha indica que esta é uma continuação da expressão que estava na primeira linha.
Etapa 5. Se a resposta for uma fração imprópria, selecione a parte inteira nela
Nossa resposta é uma fração imprópria. Devemos destacar toda a parte dela. Destacamos:
Obteve uma resposta
Subtração de frações com os mesmos denominadores
Existem dois tipos de subtração de fração:
- Subtração de frações com os mesmos denominadores
- Subtração de frações com denominadores diferentes
Primeiro, vamos aprender a subtrair frações com os mesmos denominadores. Tudo é simples aqui. Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador o mesmo.
Por exemplo, vamos encontrar o valor da expressão . Para resolver este exemplo, é necessário subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado. Vamos fazer isso:
Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em quatro partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:
Exemplo 2 Encontre o valor da expressão.
Novamente, do numerador da primeira fração, subtraia o numerador da segunda fração e deixe o denominador inalterado:
Este exemplo pode ser facilmente entendido se pensarmos em uma pizza dividida em três partes. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas:
Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão 
Este exemplo é resolvido exatamente da mesma maneira que os anteriores. Do numerador da primeira fração, você precisa subtrair os numeradores das frações restantes:
Como você pode ver, não há nada complicado em subtrair frações com os mesmos denominadores. Basta entender as seguintes regras:
- Para subtrair outra de uma fração, você precisa subtrair o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixar o denominador inalterado;
- Se a resposta for uma fração imprópria, você precisará selecionar a parte inteira nela.
Subtração de frações com denominadores diferentes
Por exemplo, uma fração pode ser subtraída de uma fração, pois essas frações têm os mesmos denominadores. Mas uma fração não pode ser subtraída de uma fração, porque essas frações têm denominadores diferentes. Nesses casos, as frações devem ser reduzidas ao mesmo denominador (comum).
O denominador comum é encontrado de acordo com o mesmo princípio que usamos ao somar frações com denominadores diferentes. Em primeiro lugar, encontre o MMC dos denominadores de ambas as frações. Então o MMC é dividido pelo denominador da primeira fração e o primeiro fator adicional é obtido, que é escrito sobre a primeira fração. Da mesma forma, o MMC é dividido pelo denominador da segunda fração e um segundo fator adicional é obtido, que é escrito sobre a segunda fração.
As frações são então multiplicadas por seus fatores adicionais. Como resultado dessas operações, frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações.
Exemplo 1 Encontre o valor de uma expressão:
Essas frações têm denominadores diferentes, então você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).
Primeiro, encontramos o MMC dos denominadores de ambas as frações. O denominador da primeira fração é o número 3, e o denominador da segunda fração é o número 4. O mínimo múltiplo comum desses números é 12
LCM (3 e 4) = 12
Agora de volta às frações e
Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador da primeira fração. LCM é o número 12, e o denominador da primeira fração é o número 3. Divida 12 por 3, obtemos 4. Escrevemos o quatro sobre a primeira fração:
Fazemos o mesmo com a segunda fração. Dividimos o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 12, e o denominador da segunda fração é o número 4. Divida 12 por 4, temos 3. Escreva um triplo sobre a segunda fração:
Agora estamos todos prontos para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:
Chegamos à conclusão de que frações com denominadores diferentes se transformam em frações com denominadores iguais. E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos completar este exemplo até o final:
Obteve uma resposta
Vamos tentar representar nossa solução usando uma imagem. Se você cortar pizzas de uma pizza, você recebe pizzas.
Esta é a versão detalhada da solução. Estando na escola, teríamos que resolver este exemplo de uma forma mais curta. Tal solução ficaria assim:
A redução de frações e a um denominador comum também pode ser representada usando uma imagem. Trazendo essas frações para um denominador comum, obtemos as frações e . Essas frações serão representadas pelas mesmas fatias de pizza, mas desta vez serão divididas nas mesmas frações (reduzidas ao mesmo denominador):
O primeiro desenho mostra uma fração (oito peças de doze), e a segunda foto mostra uma fração (três peças de doze). Ao cortar três pedaços de oito pedaços, obtemos cinco pedaços de doze. A fração descreve essas cinco peças.
Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão 
Essas frações têm denominadores diferentes, então primeiro você precisa trazê-las para o mesmo denominador (comum).
Encontre o MMC dos denominadores dessas frações.
Os denominadores das frações são os números 10, 3 e 5. O mínimo múltiplo comum desses números é 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Agora encontramos fatores adicionais para cada fração. Para fazer isso, dividimos o MMC pelo denominador de cada fração.
Vamos encontrar um fator adicional para a primeira fração. LCM é o número 30, e o denominador da primeira fração é o número 10. Divida 30 por 10, obtemos o primeiro fator adicional 3. Escrevemos sobre a primeira fração:
Agora encontramos um fator adicional para a segunda fração. Divida o MMC pelo denominador da segunda fração. LCM é o número 30, e o denominador da segunda fração é o número 3. Divida 30 por 3, obtemos o segundo fator adicional 10. Escrevemos sobre a segunda fração:
Agora encontramos um fator adicional para a terceira fração. Divida o MMC pelo denominador da terceira fração. LCM é o número 30, e o denominador da terceira fração é o número 5. Divida 30 por 5, obtemos o terceiro fator adicional 6. Escrevemos sobre a terceira fração:
Agora tudo está pronto para a subtração. Resta multiplicar as frações por seus fatores adicionais:
Chegamos à conclusão de que frações que tinham denominadores diferentes se transformavam em frações que tinham os mesmos denominadores (comuns). E já sabemos como subtrair tais frações. Vamos terminar este exemplo.
A continuação do exemplo não caberá em uma linha, então movemos a continuação para a próxima linha. Não se esqueça do sinal de igual (=) na nova linha:
A resposta acabou sendo uma fração correta, e tudo parece nos convém, mas é muito complicado e feio. Devemos facilitar. O que pode ser feito? Você pode reduzir essa fração.
Para reduzir uma fração, você precisa dividir seu numerador e denominador por (mdc) os números 20 e 30.
Então, encontramos o MDC dos números 20 e 30:
Agora voltamos ao nosso exemplo e dividimos o numerador e denominador da fração pelo MDC encontrado, ou seja, por 10
Obteve uma resposta
Multiplicando uma fração por um número
Para multiplicar uma fração por um número, você precisa multiplicar o numerador da fração dada por esse número e deixar o denominador o mesmo.
Exemplo 1. Multiplique a fração pelo número 1.
Multiplique o numerador da fração pelo número 1
A entrada pode ser entendida como demorando metade 1 vez. Por exemplo, se você pegar pizza 1 vez, você ganha pizza
Pelas leis da multiplicação, sabemos que se o multiplicando e o multiplicador forem trocados, o produto não mudará. Se a expressão for escrita como , o produto ainda será igual a . Novamente, a regra para multiplicar um inteiro e uma fração funciona:
Esta entrada pode ser entendida como tendo metade da unidade. Por exemplo, se houver 1 pizza inteira e levarmos metade, teremos pizza:
Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão
Multiplique o numerador da fração por 4
A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:
A expressão pode ser entendida como tendo dois quartos 4 vezes. Por exemplo, se você comer pizzas 4 vezes, você ganha duas pizzas inteiras.
E se trocarmos o multiplicando e o multiplicador em lugares, obtemos a expressão. Também será igual a 2. Esta expressão pode ser entendida como tirar duas pizzas de quatro pizzas inteiras:
Multiplicação de frações
Para multiplicar frações, você precisa multiplicar seus numeradores e denominadores. Se a resposta for uma fração imprópria, você precisa selecionar a parte inteira nela.
Exemplo 1 Encontre o valor da expressão.
Obteve uma resposta. É desejável reduzir esta fração. A fração pode ser reduzida em 2. Então a solução final terá a seguinte forma:
A expressão pode ser entendida como tirar uma pizza de meia pizza. Digamos que temos meia pizza:
Como tirar dois terços desta metade? Primeiro você precisa dividir essa metade em três partes iguais:
E pegue dois desses três pedaços:
Nós vamos pegar pizza. Lembre-se de como é uma pizza dividida em três partes:
Uma fatia desta pizza e as duas fatias que tiramos terão as mesmas dimensões:
Em outras palavras, estamos falando do mesmo tamanho de pizza. Portanto, o valor da expressão é
Exemplo 2. Encontrar o valor de uma expressão
Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:
A resposta é uma fração imprópria. Vamos pegar uma parte inteira:
Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão
Multiplique o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda fração e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda fração:
A resposta acabou sendo uma fração correta, mas será boa se for reduzida. Para reduzir essa fração, você precisa dividir o numerador e o denominador dessa fração pelo máximo divisor comum (MDC) dos números 105 e 450.
Então, vamos encontrar o MDC dos números 105 e 450:
Agora dividimos o numerador e o denominador de nossa resposta ao MDC que encontramos agora, ou seja, por 15
Representando um inteiro como uma fração
Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração. Por exemplo, o número 5 pode ser representado como . A partir disso, cinco não mudará seu significado, pois a expressão significa “o número cinco dividido por um”, e isso, como você sabe, é igual a cinco:
Números reversos
Agora vamos nos familiarizar com um tópico muito interessante em matemática. Chama-se "números reversos".
Definição. Reverter para númerouma é o número que, multiplicado poruma dá uma unidade.
Vamos substituir nesta definição em vez de uma variável uma número 5 e tente ler a definição:
Reverter para número 5 é o número que, multiplicado por 5 dá uma unidade.
É possível encontrar um número que, quando multiplicado por 5, dê um? Acontece que você pode. Vamos representar cinco como uma fração:
Em seguida, multiplique essa fração por ela mesma, apenas troque o numerador e o denominador. Em outras palavras, vamos multiplicar a fração por ela mesma, apenas invertida:
Qual será o resultado disso? Se continuarmos a resolver este exemplo, obtemos um:
Isso significa que o inverso do número 5 é o número, pois quando 5 é multiplicado por um, obtém-se um.
O recíproco também pode ser encontrado para qualquer outro inteiro.
Você também pode encontrar o recíproco para qualquer outra fração. Para fazer isso, basta virá-lo.
Divisão de uma fração por um número
Digamos que temos meia pizza:
Vamos dividi-lo igualmente entre dois. Quantas pizzas cada um receberá?
Pode-se ver que após dividir metade da pizza, foram obtidos dois pedaços iguais, cada um dos quais compõe uma pizza. Então todo mundo ganha uma pizza.
A divisão de frações é feita usando recíprocos. Os recíprocos permitem que você substitua a divisão pela multiplicação.
Para dividir uma fração por um número, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor.
Usando esta regra, vamos escrever a divisão da nossa metade da pizza em duas partes.
Então, você precisa dividir a fração pelo número 2. Aqui o dividendo é uma fração e o divisor é 2.
Para dividir uma fração pelo número 2, você precisa multiplicar essa fração pelo inverso do divisor 2. O inverso do divisor 2 é uma fração. Então você precisa multiplicar por
Seu filho trouxe lição de casa da escola e você não sabe como resolver? Então este mini tutorial é para você!
Como adicionar decimais
É mais conveniente adicionar frações decimais em uma coluna. Para adicionar decimais, você precisa seguir uma regra simples:
- O dígito deve estar abaixo do dígito, vírgula abaixo da vírgula.
Como você pode ver no exemplo, unidades inteiras estão abaixo umas das outras, décimos e centésimos estão um abaixo do outro. Agora somamos os números, ignorando a vírgula. O que fazer com uma vírgula? A vírgula é transferida para o local onde estava na descarga de números inteiros.
Adicionando frações com denominadores iguais
Para realizar a adição com denominador comum, você precisa manter o denominador inalterado, encontrar a soma dos numeradores e obter uma fração, que será o valor total.
Adicionando frações com denominadores diferentes encontrando um múltiplo comum
A primeira coisa a prestar atenção são os denominadores. Os denominadores são diferentes, quer um seja divisível pelo outro, quer sejam números primos. Primeiro você precisa trazer para um denominador comum, existem várias maneiras de fazer isso:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, para resolver este exemplo, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MLC) que será divisível por 2 denominadores. Para denotar o menor múltiplo de aeb - LCM (a; b). Neste exemplo LCM (3;4)=12. Verifique: 12:3=4; 12:4=3.
- Multiplicamos os fatores e realizamos a adição dos números resultantes, obtemos 13/12 - uma fração imprópria.
- Para converter uma fração imprópria em uma própria, dividimos o numerador pelo denominador, obtemos o inteiro 1, o resto 1 é o numerador e 12 é o denominador.
Adicionando frações usando multiplicação cruzada
Para somar frações com denominadores diferentes, existe outra forma de acordo com a fórmula “cruz a cruz”. Esta é uma maneira garantida de equalizar os denominadores, para isso você precisa multiplicar os numeradores pelo denominador de uma fração e vice-versa. Se você está apenas no estágio inicial de aprender frações, esse método é a maneira mais fácil e precisa de obter o resultado correto ao adicionar frações com denominadores diferentes.
Frações são números comuns, também podem ser somadas e subtraídas. Mas devido ao fato de que eles têm um denominador, regras mais complexas são necessárias aqui do que para números inteiros.
Considere o caso mais simples, quando há duas frações com os mesmos denominadores. Então:
Para somar frações com denominadores iguais, some seus numeradores e deixe o denominador inalterado.
Para subtrair frações com os mesmos denominadores, é necessário subtrair o numerador da segunda do numerador da primeira fração e novamente deixar o denominador inalterado.
Dentro de cada expressão, os denominadores das frações são iguais. Por definição de adição e subtração de frações, temos:
Como você pode ver, nada complicado: basta somar ou subtrair os numeradores - e pronto.
Mas mesmo em ações tão simples, as pessoas conseguem cometer erros. Na maioria das vezes eles esquecem que o denominador não muda. Por exemplo, ao adicioná-los, eles também começam a somar, e isso é fundamentalmente errado.
Livrar-se do mau hábito de somar denominadores é bastante simples. Tente fazer o mesmo ao subtrair. Como resultado, o denominador será zero e a fração (de repente!) perderá seu significado.
Portanto, lembre-se de uma vez por todas: ao somar e subtrair, o denominador não muda!
Além disso, muitas pessoas cometem erros ao adicionar várias frações negativas. Há confusão com os sinais: onde colocar um sinal de menos e onde - um sinal de mais.
Este problema também é muito fácil de resolver. Basta lembrar que o menos antes do sinal de fração sempre pode ser transferido para o numerador - e vice-versa. E, claro, não se esqueça de duas regras simples:
- Mais vezes menos dá menos;
- Duas negativas fazem uma afirmativa.
Vamos analisar tudo isso com exemplos específicos:
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:
No primeiro caso, tudo é simples e, no segundo, adicionaremos menos aos numeradores das frações:
E se os denominadores forem diferentes
Você não pode adicionar diretamente frações com denominadores diferentes. Pelo menos, este método é desconhecido para mim. No entanto, as frações originais sempre podem ser reescritas para que os denominadores se tornem os mesmos.
Há muitas maneiras de converter frações. Três deles são discutidos na lição "Trazendo frações para um denominador comum", então não vamos nos debruçar sobre eles aqui. Vejamos alguns exemplos:
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:
No primeiro caso, trazemos as frações para um denominador comum usando o método "cruzado". Na segunda, procuraremos o LCM. Observe que 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Os últimos fatores nessas expansões são iguais e os primeiros são coprimos. Portanto, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.
E se a fração tiver uma parte inteira
Posso lhe agradar: diferentes denominadores de frações não são o maior mal. Ocorrem muito mais erros quando a parte inteira é destacada em termos fracionários.
É claro que, para essas frações, existem algoritmos próprios de adição e subtração, mas são bastante complicados e exigem um longo estudo. Melhor usar o diagrama simples abaixo:
- Converta todas as frações contendo uma parte inteira para imprópria. Obtemos termos normais (mesmo que com denominadores diferentes), que são calculados de acordo com as regras discutidas acima;
- Na verdade, calcule a soma ou diferença das frações resultantes. Como resultado, praticamente encontraremos a resposta;
- Se isso for tudo o que foi necessário na tarefa, realizamos a transformação inversa, ou seja, nos livramos da fração imprópria, destacando a parte inteira nela.
As regras para mudar para frações impróprias e destacar a parte inteira são descritas em detalhes na lição "O que é uma fração numérica". Se você não se lembra, não se esqueça de repetir. Exemplos:
Uma tarefa. Encontre o valor da expressão:
Tudo é simples aqui. Os denominadores dentro de cada expressão são iguais, então resta converter todas as frações para impróprias e contar. Nós temos:
Para simplificar os cálculos, pulei algumas etapas óbvias nos últimos exemplos.
Uma pequena nota para os dois últimos exemplos, onde as frações com uma parte inteira destacada são subtraídas. O menos antes da segunda fração significa que é a fração inteira que é subtraída, e não apenas sua parte inteira.
Releia esta frase novamente, observe os exemplos e pense a respeito. É aqui que os iniciantes permitem Grande quantidade erros. Eles gostam de dar essas tarefas no trabalho de controle. Você também os encontrará repetidamente nos testes desta lição, que serão publicados em breve.
Resumo: Esquema Geral de Computação
Em conclusão, darei um algoritmo geral que o ajudará a encontrar a soma ou diferença de duas ou mais frações:
- Se uma parte inteira estiver destacada em uma ou mais frações, converta essas frações em impróprias;
- Traga todas as frações para um denominador comum de qualquer maneira conveniente para você (a menos, é claro, que os compiladores dos problemas tenham feito isso);
- Some ou subtraia os números resultantes de acordo com as regras de adição e subtração de frações com os mesmos denominadores;
- Reduza o resultado, se possível. Se a fração estiver incorreta, selecione a parte inteira.
Lembre-se de que é melhor destacar a parte inteira no final da tarefa, logo antes de escrever a resposta.
Considere a fração $\frac63$. Seu valor é 2, pois $\frac63 =6:3 = 2$. O que acontece se o numerador e o denominador forem multiplicados por 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Obviamente, o valor da fração não mudou, então $\frac(12)(6)$ também é igual a 2 como y. multiplique o numerador e o denominador por 3 e obtenha $\frac(18)(9)$, ou por 27 e obtenha $\frac(162)(81)$ ou por 101 e obtenha $\frac(606)(303)$. Em cada um desses casos, o valor da fração que obtemos dividindo o numerador pelo denominador é 2. Isso significa que não mudou.
O mesmo padrão é observado no caso de outras frações. Se o numerador e denominador da fração $\frac(120)(60)$ (igual a 2) for dividido por 2 (resultado de $\frac(60)(30)$), ou por 3 (resultado de $\ frac(40)(20) $), ou por 4 (o resultado de $\frac(30)(15)$) e assim por diante, então em cada caso o valor da fração permanece inalterado e igual a 2.
Esta regra também se aplica a frações que não são iguais. número inteiro.
Se o numerador e o denominador da fração $\frac(1)(3)$ forem multiplicados por 2, obtemos $\frac(2)(6)$, ou seja, o valor da fração não mudou. E, de fato, se você dividir o bolo em 3 partes e pegar uma delas, ou dividir em 6 partes e pegar 2 partes, terá a mesma quantidade de torta nos dois casos. Portanto, os números $\frac(1)(3)$ e $\frac(2)(6)$ são idênticos. Vamos formular uma regra geral.
O numerador e o denominador de qualquer fração podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número, e o valor da fração não muda.
Esta regra é muito útil. Por exemplo, permite em alguns casos, mas nem sempre, evitar operações com grandes números.
Por exemplo, podemos dividir o numerador e denominador da fração $\frac(126)(189)$ por 63 e obter a fração $\frac(2)(3)$ que é muito mais fácil de calcular. Mais um exemplo. Podemos dividir o numerador e o denominador da fração $\frac(155)(31)$ por 31 e obter a fração $\frac(5)(1)$ ou 5, já que 5:1=5.
Neste exemplo, encontramos pela primeira vez uma fração cujo denominador é 1. Essas frações desempenham um papel importante nos cálculos. Deve-se lembrar que qualquer número pode ser dividido por 1 e seu valor não será alterado. Ou seja, $\frac(273)(1)$ é igual a 273; $\frac(509993)(1)$ é igual a 509993 e assim por diante. Portanto, não precisamos dividir números por , pois todo número inteiro pode ser representado como uma fração com denominador 1.
Com essas frações, cujo denominador é igual a 1, você pode realizar as mesmas operações aritméticas que com todas as outras frações: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \vezes \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Você pode perguntar qual é a utilidade de representar um inteiro como uma fração, que terá uma unidade sob a barra, porque é mais conveniente trabalhar com um inteiro. Mas o fato é que a representação de um inteiro como fração nos dá a oportunidade de realizar várias ações de forma mais eficiente quando estamos lidando com números inteiros e fracionários ao mesmo tempo. Por exemplo, para aprender adicionar frações com denominadores diferentes. Suponha que precisamos adicionar $\frac(1)(3)$ e $\frac(1)(5)$.
Sabemos que você só pode somar frações cujos denominadores são iguais. Então, precisamos aprender como trazer frações para tal forma quando seus denominadores são iguais. Nesse caso, precisamos novamente do fato de que você pode multiplicar o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número sem alterar seu valor.
Primeiro, multiplicamos o numerador e o denominador da fração $\frac(1)(3)$ por 5. Obtemos $\frac(5)(15)$, o valor da fração não mudou. Em seguida, multiplicamos o numerador e denominador da fração $\frac(1)(5)$ por 3. Obtemos $\frac(3)(15)$, novamente o valor da fração não mudou. Portanto, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Agora vamos tentar aplicar este sistema à adição de números contendo partes inteiras e fracionárias.
Precisamos somar $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Primeiro, convertemos todos os termos em frações e obtemos: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Agora precisamos trazer todas as frações para um denominador comum, para isso multiplicamos o numerador e o denominador da primeira fração por 12, a segunda por 4 e a terceira por 3. Como resultado, obtemos $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, que é igual a $\frac(55)(12)$. Se você quer se livrar Fração imprópria, ele pode ser transformado em um número que consiste em um inteiro e uma parte fracionária: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ou $4\frac( 7)(12)$.
Todas as regras que permitem operações com frações, que acabamos de estudar, também são válidos no caso de números negativos. Assim, -1: 3 pode ser escrito como $\frac(-1)(3)$, e 1: (-3) como $\frac(1)(-3)$.
Como tanto a divisão de um número negativo por um número positivo quanto a divisão de um número positivo por um negativo resultam em números negativos, em ambos os casos obteremos a resposta na forma de um número negativo. Aquilo é
$(-1): 3 = \frac(1)(3)$ ou $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. O sinal de menos quando escrito desta forma refere-se à fração inteira como um todo, e não separadamente ao numerador ou denominador.
Por outro lado, (-1): (-3) pode ser escrito como $\frac(-1)(-3)$, e como dividir um número negativo por um número negativo dá um número positivo, então $\frac (-1 )(-3)$ pode ser escrito como $+\frac(1)(3)$.
A adição e subtração de frações negativas é realizada da mesma forma que a adição e subtração de frações positivas. Por exemplo, o que é $1- 1\frac13$? Vamos representar ambos os números como frações e obter $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Vamos reduzir as frações a um denominador comum e obter $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, ou seja, $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, ou $-\frac(1)(3)$.
