Em uma pirâmide triangular regular SABC R- meio da costela AB, S- topo.
Sabe-se que SR = 6, e a área da superfície lateral é 36 .
Encontre o comprimento do segmento BC.

Vamos fazer uma brincadeira. Em uma pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles.

Segmento de linha SR- a mediana rebaixada até a base e, portanto, a altura da face lateral.

A área da superfície lateral de uma pirâmide triangular regular é igual à soma das áreas
três lados iguais lado S = 3S ABS. Daqui S ABS = 36: 3 = 12- área do rosto.

A área de um triângulo é metade do produto de sua base vezes sua altura.
S ABS = 0,5 AB SR. Conhecendo a área e a altura, encontramos o lado da base AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4

Responda: 4

Você pode abordar o problema do outro lado. Deixe o lado da base AB = BC = a.
Em seguida, a área do rosto S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

A área de cada uma das três faces é 3a, a área de três faces é 9a.
De acordo com a condição do problema, a área da superfície lateral da pirâmide é 36.
lado S = 9a = 36.
Daqui a = 4.

No curso escolar de estereometria, as propriedades de várias figuras espaciais são estudadas. Uma delas é a pirâmide. Este artigo é dedicado à questão de como encontrar a área da superfície lateral de uma pirâmide. A questão de determinar esta área para uma pirâmide truncada também é divulgada.

O que é uma pirâmide?

Muitos, tendo ouvido a palavra "pirâmide", imediatamente imaginam as estruturas grandiosas do Egito Antigo. De fato, os túmulos de Quéops e Khafre são pirâmides quadrangulares regulares. No entanto, uma pirâmide também é um tetraedro, figuras com uma base cinco, seis, n-angular.

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Na geometria, o conceito de pirâmide é claramente definido. Esta figura é entendida como um objeto no espaço, que é formado como resultado da conexão de um determinado ponto com os vértices de um n-gon plano, onde n é um número inteiro. A figura abaixo mostra quatro pirâmides com diferentes números de cantos na base.

O ponto ao qual todos os vértices dos cantos da base estão conectados não está em seu plano. É chamado o topo da pirâmide. Se desenharmos uma perpendicular dela até a base, obteremos a altura. A figura em que a altura intercepta a base no centro geométrico é chamada de linha reta. Às vezes, uma pirâmide reta tem uma base regular, como um quadrado, um triângulo equilátero e assim por diante. Neste caso, é chamado de correto.

Ao calcular a área de superfície lateral da pirâmide, é conveniente trabalhar com números regulares.

Área de superfície da figura lateral

Como encontrar a área da superfície lateral de uma pirâmide? Isso pode ser entendido se introduzirmos a definição apropriada e considerarmos o desdobramento em um plano para esta figura.

Qualquer pirâmide é formada por faces, que são separadas umas das outras por arestas. A base é a face formada pelo n-gon. Todas as outras faces são triângulos. Existem n deles, e juntos eles formam a superfície lateral da figura.

Se cortarmos a superfície ao longo da borda lateral e a desdobrarmos em um plano, obteremos um desenvolvimento de pirâmide. Por exemplo, uma pirâmide hexagonal é mostrada abaixo.

Pode-se ver que a superfície lateral é formada por seis triângulos idênticos.

Agora não é difícil adivinhar como encontrar a área de superfície lateral da pirâmide. Para fazer isso, adicione as áreas de todos os triângulos. No caso de uma pirâmide regular n-gonal, cujo lado da base é igual a a, para a superfície considerada, podemos escrever a fórmula:

Aqui hb é o apótema da pirâmide. Ou seja, a altura do triângulo, abaixada do topo da figura para o lado da base. Se o apótema for desconhecido, então ele pode ser calculado, conhecendo os parâmetros do n-gon e o valor da altura h da figura.

Pirâmide truncada e sua superfície

Como você pode adivinhar pelo nome, uma pirâmide truncada pode ser obtida a partir de uma figura regular. Para fazer isso, corte o topo com um plano paralelo à base. A figura abaixo demonstra este processo para uma figura hexagonal.

Sua superfície lateral é a soma das áreas de trapézios isósceles idênticos. A fórmula para a área de superfície lateral de uma pirâmide truncada (correta) é:

Sb = hb*n*(a1 + a2)/2

Aqui hb é o apótema da figura, que é a altura do trapézio. Os valores a1 e a2 são os comprimentos das bases dos lados.

Cálculo da superfície lateral para uma pirâmide triangular

Vamos mostrar como encontrar a área da superfície lateral de uma pirâmide. Digamos que temos um triangular regular, vejamos o exemplo de um problema específico. Sabe-se que o lado da base, que é um triângulo equilátero, mede 10 cm e a altura da figura é 15 cm.

O desenvolvimento desta pirâmide é mostrado na figura. Para usar a fórmula para Sb, você deve primeiro encontrar o apótema hb. Considerando um triângulo retângulo dentro da pirâmide, construído sobre os lados hb e h, a igualdade pode ser escrita da seguinte forma:

hb = √(h2+a2/12)

Substituímos os dados e obtemos hb≈15,275 cm.

Agora você pode usar a fórmula para Sb:

Sb \u003d n * a * hb / 2 \u003d 3 * 10 * 15,275 / 2 \u003d 229,125 cm2

Observe que a base de uma pirâmide triangular, assim como sua face lateral, é formada por um triângulo. No entanto, este triângulo não é levado em consideração no cálculo da área Sb.

Pirâmide- uma das variedades de um poliedro formado por polígonos e triângulos que se encontram na base e são suas faces.

Além disso, no topo da pirâmide (ou seja, em um ponto), todas as faces são combinadas.

Para calcular a área da pirâmide, vale a pena determinar que sua superfície lateral consiste em vários triângulos. E podemos encontrar facilmente suas áreas usando

várias fórmulas. Dependendo de quais dados de triângulos conhecemos, estamos procurando por sua área.

Listamos algumas fórmulas com as quais você pode encontrar a área dos triângulos:

1. S = (a*h)/2 . Neste caso, sabemos a altura do triângulo h , que é abaixado para o lado uma .
2. S = a*b*senβ . Aqui os lados do triângulo uma , b , e o ângulo entre eles é β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Aqui os lados do triângulo a, b, c . O raio de um círculo inscrito em um triângulo é r .
4. S = (a*b*c)/4*R . O raio do círculo circunscrito ao redor do triângulo é R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Esta fórmula só deve ser aplicada se o triângulo for um triângulo retângulo.
6. S = (a²*√3)/4 . Aplicamos esta fórmula a um triângulo equilátero.

Somente depois de calcularmos as áreas de todos os triângulos que são as faces da nossa pirâmide, podemos calcular a área da superfície lateral. Para fazer isso, usaremos as fórmulas acima.

Para calcular a área da superfície lateral da pirâmide, não surgem dificuldades: você precisa descobrir a soma das áreas de todos os triângulos. Vamos expressar isso com a fórmula:

Sp = ΣSi

Aqui Si é a área do primeiro triângulo, e S P é a área da superfície lateral da pirâmide.

Vejamos um exemplo. Dada uma pirâmide regular, suas faces laterais são formadas por vários triângulos equiláteros,

« A geometria é a ferramenta mais poderosa para o refinamento de nossas faculdades mentais.».

Galileu Galilei.

e o quadrado é a base da pirâmide. Além disso, a borda da pirâmide tem um comprimento de 17 cm. Vamos encontrar a área da superfície lateral dessa pirâmide.

Raciocinamos assim: sabemos que as faces da pirâmide são triângulos, são equiláteros. Também sabemos qual é o comprimento da borda dessa pirâmide. Segue-se que todos os triângulos têm lados iguais, seu comprimento é 17 cm.

Para calcular a área de cada um desses triângulos, você pode usar a seguinte fórmula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Como sabemos que o quadrado está na base da pirâmide, temos quatro triângulos equiláteros. Isso significa que a área da superfície lateral da pirâmide pode ser facilmente calculada usando a seguinte fórmula: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Nossa resposta é a seguinte: 500,548 cm² - essa é a área da superfície lateral dessa pirâmide.

Antes de estudar questões sobre essa figura geométrica e suas propriedades, é necessário entender alguns termos. Quando uma pessoa ouve falar da pirâmide, ela imagina enormes edifícios no Egito. É assim que os mais simples se parecem. Mas eles vêm em diferentes tipos e formas, o que significa que a fórmula de cálculo para formas geométricas será diferente.

Tipos de figura

Pirâmide - figura geométrica, denotando e representando várias faces. Na verdade, este é o mesmo poliedro, na base do qual está um polígono, e nos lados existem triângulos que se conectam em um ponto - o vértice. A figura é de dois tipos principais:

• correto;
• truncado.

No primeiro caso, a base é um polígono regular. Aqui todas as superfícies laterais são iguais entre eles e a própria figura agradará aos olhos de um perfeccionista.

No segundo caso, existem duas bases - uma grande na parte inferior e uma pequena entre a parte superior, repetindo a forma da principal. Em outras palavras, uma pirâmide truncada é um poliedro com uma seção formada paralelamente à base.

Termos e notação

Termos básicos:

• Triângulo regular (equilátero) Uma figura com três ângulos idênticos e lados iguais. Neste caso, todos os ângulos são de 60 graus. A figura é a mais simples dos poliedros regulares. Se essa figura estiver na base, esse poliedro será chamado de triangular regular. Se a base for um quadrado, a pirâmide será chamada de pirâmide quadrangular regular.
• Vértice- o ponto mais alto onde as bordas se encontram. A altura do topo é formada por uma linha reta que emana do topo até a base da pirâmide.
• bordaé um dos planos do polígono. Pode ser na forma de um triângulo no caso de uma pirâmide triangular, ou na forma de um trapézio para uma pirâmide truncada.
• corte transversal- uma figura plana formada como resultado da dissecação. Não deve ser confundido com uma seção, pois uma seção também mostra o que está por trás da seção.
• Apótema- um segmento desenhado do topo da pirâmide até sua base. É também a altura da face onde está o segundo ponto de altura. Esta definição é válida apenas em relação a um poliedro regular. Por exemplo - se não for uma pirâmide truncada, a face será um triângulo. Nesse caso, a altura desse triângulo se tornará um apótema.

Fórmulas de área

Encontre a área da superfície lateral da pirâmide qualquer tipo pode ser feito de várias maneiras. Se a figura não for simétrica e for um polígono com lados diferentes, nesse caso é mais fácil calcular a área total da superfície através da totalidade de todas as superfícies. Em outras palavras, você precisa calcular a área de cada face da praia e somá-las.

Dependendo de quais parâmetros são conhecidos, fórmulas para calcular um quadrado, um trapézio, um quadrilátero arbitrário etc. podem ser necessárias. As próprias fórmulas em diferentes casos também será diferente.

No caso de uma figura regular, encontrar a área é muito mais fácil. É suficiente conhecer apenas alguns parâmetros-chave. Na maioria dos casos, os cálculos são necessários precisamente para esses números. Portanto, as fórmulas correspondentes serão dadas a seguir. Caso contrário, você teria que pintar tudo em várias páginas, o que só confundiria e confundiria.

Fórmula básica para cálculo a área de superfície lateral de uma pirâmide regular ficará assim:

S \u003d ½ Pa (P é o perímetro da base e é o apótema)

Vamos considerar um dos exemplos. O poliedro tem uma base com segmentos A1, A2, A3, A4, A5, e todos eles são iguais a 10 cm. Seja o apótema igual a 5 cm. Primeiro você precisa encontrar o perímetro. Como todas as cinco faces da base são iguais, elas podem ser encontradas da seguinte forma: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm. Em seguida, aplicamos a fórmula básica: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm ao quadrado .

Área de superfície lateral de uma pirâmide triangular regular o mais fácil de calcular. A fórmula fica assim:

S =½* ab *3, onde a é o apótema, b é a faceta da base. O fator de três aqui significa o número de faces da base, e a primeira parte é a área da superfície lateral. Considere um exemplo. Dada uma figura com apótema de 5 cm e face de base de 8 cm, calculamos: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm ao quadrado.

Área de superfície lateral de uma pirâmide truncadaé um pouco mais difícil de calcular. A fórmula fica assim: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, onde p_01 e p_02 são os perímetros das bases e é o apótema. Considere um exemplo. Suponha que, para uma figura quadrangular, as dimensões dos lados das bases sejam 3 e 6 cm, o apótema seja 4 cm.

Aqui, para começar, você deve encontrar os perímetros das bases: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm. Resta substituir os valores na fórmula principal e obter: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm ao quadrado.

Assim, é possível encontrar a área de superfície lateral de uma pirâmide regular de qualquer complexidade. Cuidado para não confundir esses cálculos com a área total de todo o poliedro. E se você ainda precisar fazer isso, basta calcular a área da maior base do poliedro e adicioná-la à área da superfície lateral do poliedro.

Vídeo

Para consolidar informações sobre como encontrar a área da superfície lateral de diferentes pirâmides, este vídeo o ajudará.

Ao se preparar para o exame de matemática, os alunos precisam sistematizar seus conhecimentos de álgebra e geometria. Gostaria de combinar todas as informações conhecidas, por exemplo, como calcular a área de uma pirâmide. Além disso, partindo da base e das faces laterais para toda a superfície. Se a situação é clara com as faces laterais, já que são triângulos, a base é sempre diferente.

O que fazer ao encontrar a área da base da pirâmide?

Pode ser absolutamente qualquer figura: de um triângulo arbitrário a um n-gon. E essa base, além da diferença no número de ângulos, pode ser uma figura regular ou incorreta. Nas tarefas USE de interesse dos escolares, existem apenas tarefas com os números corretos na base. Portanto, falaremos apenas sobre eles.

triângulo retângulo

Isso é equilátero. Aquele em que todos os lados são iguais e denotados pela letra "a". Nesse caso, a área da base da pirâmide é calculada pela fórmula:

S = (a 2 * √3) / 4.

Quadrado

A fórmula para calcular sua área é a mais simples, aqui "a" é o lado novamente:

n-gon regular arbitrário

O lado de um polígono tem a mesma designação. Para o número de cantos, a letra latina n é usada.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Como proceder no cálculo da superfície lateral e total?

Como a base é uma figura regular, todas as faces da pirâmide são iguais. Além disso, cada um deles é um triângulo isósceles, pois as arestas laterais são iguais. Então, para calcular a área lateral da pirâmide, você precisa de uma fórmula que consiste na soma de monômios idênticos. O número de termos é determinado pelo número de lados da base.

A área de um triângulo isósceles é calculada pela fórmula em que a metade do produto da base é multiplicada pela altura. Essa altura na pirâmide é chamada de apótema. Sua designação é "A". A fórmula geral para a área de superfície lateral é:

S \u003d ½ P * A, onde P é o perímetro da base da pirâmide.

Existem situações em que os lados da base não são conhecidos, mas são dadas as arestas laterais (c) e o ângulo plano em seu vértice (α). Então deve-se usar essa fórmula para calcular a área lateral da pirâmide:

S = n/2 * em 2 sen α .

Tarefa nº 1

Doença. Encontre a área total da pirâmide se sua base estiver com um lado de 4 cm e o apótema tiver um valor de √3 cm.

Solução. Você precisa começar calculando o perímetro da base. Como este é um triângulo regular, então P \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm. Como o apótema é conhecido, você pode calcular imediatamente a área de toda a superfície lateral: ½ * 12 * √3 = 6 √3cm2.

Para um triângulo na base, o seguinte valor de área será obtido: (4 2 * √3) / 4 \u003d 4√3 cm 2.

Para determinar a área inteira, você precisará somar os dois valores resultantes: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Responda. 10√3 cm2.

Tarefa nº 2

Doença. Existe uma pirâmide quadrangular regular. O comprimento do lado da base é de 7 mm, a borda lateral é de 16 mm. Você precisa conhecer sua área de superfície.

Solução. Como o poliedro é quadrangular e regular, sua base é um quadrado. Tendo aprendido as áreas da base e das faces laterais, será possível calcular a área da pirâmide. A fórmula para o quadrado é dada acima. E nas faces laterais, todos os lados do triângulo são conhecidos. Portanto, você pode usar a fórmula de Heron para calcular suas áreas.

Os primeiros cálculos são simples e levam a este número: 49 mm 2. Para o segundo valor, você precisará calcular o semiperímetro: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Agora você pode calcular a área de um triângulo isósceles: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm 2. Existem apenas quatro desses triângulos, portanto, ao calcular o número final, você precisará multiplicá-lo por 4.

Acontece: 49 + 4 * 54,644 \u003d 267,576 mm 2.

Responda. O valor desejado é 267,576 mm 2.

Tarefa nº 3

Doença. Para uma pirâmide quadrangular regular, você precisa calcular a área. Nela, o lado do quadrado é 6 cm e a altura é 4 cm.

Solução. A maneira mais fácil é usar a fórmula com o produto do perímetro e o apótema. O primeiro valor é fácil de encontrar. A segunda é um pouco mais difícil.

Teremos que lembrar do teorema de Pitágoras e considerar que Ele é formado pela altura da pirâmide e pelo apótema, que é a hipotenusa. A segunda perna é igual à metade do lado do quadrado, pois a altura do poliedro cai no meio.

O apótema desejado (a hipotenusa de um triângulo retângulo) é √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Agora você pode calcular o valor desejado: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (cm 2).

Responda. 96 cm2.

Tarefa nº 4

Doença. O lado correto de sua base é de 22 mm, as nervuras laterais são de 61 mm. Qual é a área da superfície lateral deste poliedro?

Solução. O raciocínio nele é o mesmo descrito no problema nº 2. Só que foi dada uma pirâmide com um quadrado na base, e agora é um hexágono.

Em primeiro lugar, a área da base é calculada usando a fórmula acima: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 cm2.

Agora você precisa descobrir o semiperímetro de um triângulo isósceles, que é uma face lateral. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm. Resta calcular a área de cada triângulo usando a fórmula de Heron e depois multiplicá-lo por seis e adicioná-lo ao que resultou no base.

Cálculos usando a fórmula de Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 cm 2. Cálculos que darão a área de superfície lateral: 660 * 6 \u003d 3960 cm 2. Resta somá-los para descobrir toda a superfície: 5217,47≈5217 cm 2.

Responda. Base - 726√3 cm 2, superfície lateral - 3960 cm 2, área total - 5217 cm 2.