Na seção anterior, dedicada à análise do significado geométrico de uma integral definida, obtivemos várias fórmulas para calcular a área de um trapézio curvilíneo:
Yandex.RTB R-A-339285-1
S (G) = ∫ a b f (x) d x para uma função contínua e não negativa y = f (x) no segmento [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x para uma função contínua e não positiva y = f (x) no segmento [ a ; b] .
Essas fórmulas são aplicáveis para resolver problemas relativamente simples. Na verdade, muitas vezes temos que trabalhar com formas mais complexas. A esse respeito, dedicaremos esta seção à análise de algoritmos para calcular a área das figuras, que são limitadas por funções de forma explícita, ou seja, como y = f(x) ou x = g(y).
TeoremaSejam as funções y = f 1 (x) ey = f 2 (x) definidas e contínuas no segmento [ a ; b ] e f 1 (x) ≤ f 2 (x) para qualquer valor x de [ a ; b] . Em seguida, a fórmula para calcular a área de uma figura G limitada pelas linhas x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) e y \u003d f 2 (x) se parecerá com S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
Uma fórmula semelhante será aplicável para a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) e x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Prova
Analisaremos três casos para os quais a fórmula será válida.
No primeiro caso, levando em consideração a propriedade de aditividade da área, a soma das áreas da figura original G e do trapézio curvilíneo G 1 é igual à área da figura G 2 . Significa que
Portanto, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.
Podemos realizar a última transição usando a terceira propriedade da integral definida.
No segundo caso, a igualdade é verdadeira: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
A ilustração gráfica ficará assim:
Se ambas as funções são não-positivas, obtemos: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx. A ilustração gráfica ficará assim:
Passemos à consideração do caso geral quando y = f 1 (x) ey = f 2 (x) interceptam o eixo O x .
Vamos denotar os pontos de interseção como x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Esses pontos quebram o segmento [ a ; b] em n partes x i-1; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , onde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Consequentemente,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Podemos fazer a última transição usando a quinta propriedade da integral definida.
Vamos ilustrar o caso geral no gráfico.
A fórmula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x pode ser considerada provada.
E agora vamos passar para a análise de exemplos de cálculo da área de figuras que são limitadas pelas linhas y \u003d f (x) e x \u003d g (y) .
Considerando qualquer um dos exemplos, começaremos com a construção de um gráfico. A imagem nos permitirá representar formas complexas como combinações de formas mais simples. Se você está tendo problemas para plotar gráficos e figuras neles, você pode estudar a seção sobre funções elementares básicas, transformação geométrica de gráficos de funções, bem como plotar enquanto examina uma função.
Exemplo 1
É necessário determinar a área da figura, que é limitada pela parábola y \u003d - x 2 + 6 x - 5 e linhas retas y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Solução
Vamos traçar as linhas no gráfico no sistema de coordenadas cartesianas.
No intervalo [ 1 ; 4] o gráfico da parábola y = - x 2 + 6 x - 5 está localizado acima da reta y = - 1 3 x - 1 2 . Nesse sentido, para obter uma resposta, usamos a fórmula obtida anteriormente, bem como o método para calcular uma integral definida usando a fórmula de Newton-Leibniz:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Resposta: S (G) = 13
Vejamos um exemplo mais complexo.
Exemplo 2
É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelas linhas y = x + 2 , y = x , x = 7 .
Solução
Neste caso, temos apenas uma linha reta paralela ao eixo x. Isso é x = 7. Isso exige que encontremos o segundo limite de integração por nós mesmos.
Vamos construir um gráfico e colocar nele as linhas dadas na condição do problema.
Tendo um gráfico na frente de nossos olhos, podemos determinar facilmente que o limite inferior de integração será a abcissa do ponto de interseção do gráfico com uma linha reta y \u003d x e uma semiparábola y \u003d x + 2. Para encontrar a abcissa, usamos as igualdades:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Acontece que a abcissa do ponto de interseção é x = 2.
Chamamos sua atenção para o fato de que no exemplo geral do desenho, as linhas y = x + 2 , y = x se cruzam no ponto (2 ; 2) , de modo que tais cálculos detalhados podem parecer redundantes. Fornecemos uma solução tão detalhada aqui apenas porque em casos mais complexos a solução pode não ser tão óbvia. Isso significa que é melhor sempre calcular analiticamente as coordenadas da interseção das linhas.
No intervalo [ 2 ; 7 ] o gráfico da função y = x está localizado acima do gráfico da função y = x + 2 . Aplique a fórmula para calcular a área:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Resposta: S (G) = 59 6
Exemplo 3
É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelos gráficos das funções y \u003d 1 x e y \u003d - x 2 + 4 x - 2.
Solução
Vamos desenhar linhas no gráfico.
Vamos definir os limites de integração. Para fazer isso, determinamos as coordenadas dos pontos de interseção das linhas igualando as expressões 1 x e - x 2 + 4 x - 2 . Desde que x não seja igual a zero, a igualdade 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 se torna equivalente à equação do terceiro grau - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 com coeficientes inteiros . Você pode atualizar a memória do algoritmo para resolver tais equações consultando a seção “Solução de equações cúbicas”.
A raiz desta equação é x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Dividindo a expressão - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 pelo binômio x - 1, obtemos: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Podemos encontrar as raízes restantes da equação x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Encontramos um intervalo x ∈ 1; 3 + 13 2 , onde G é colocado acima da linha azul e abaixo da linha vermelha. Isso nos ajuda a determinar a área da forma:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Resposta: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exemplo 4
É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelas curvas y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 e o eixo x.
Solução
Vamos colocar todas as linhas no gráfico. Podemos obter o gráfico da função y = - log 2 x + 1 do gráfico y = log 2 x se o colocarmos simetricamente em torno do eixo x e o movermos uma unidade para cima. A equação do eixo x y \u003d 0.
Vamos denotar os pontos de interseção das linhas.
Como pode ser visto na figura, os gráficos das funções y \u003d x 3 e y \u003d 0 se cruzam no ponto (0; 0) . Isso ocorre porque x \u003d 0 é a única raiz real da equação x 3 \u003d 0.
x = 2 é a única raiz da equação - log 2 x + 1 = 0 , então os gráficos das funções y = - log 2 x + 1 e y = 0 se cruzam no ponto (2 ; 0) .
x = 1 é a única raiz da equação x 3 = - log 2 x + 1 . A esse respeito, os gráficos das funções y \u003d x 3 e y \u003d - log 2 x + 1 se cruzam no ponto (1; 1). A última afirmação pode não ser óbvia, mas a equação x 3 \u003d - log 2 x + 1 não pode ter mais de uma raiz, pois a função y \u003d x 3 é estritamente crescente e a função y \u003d - log 2 x + 1 é estritamente decrescente.
O próximo passo envolve várias opções.
Opção número 1
Podemos representar a figura G como a soma de dois trapézios curvilíneos localizados acima do eixo das abcissas, sendo o primeiro localizado abaixo da linha média no segmento x ∈ 0; 1 , e o segundo está abaixo da linha vermelha no segmento x ∈ 1 ; 2. Isto significa que a área será igual a S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Opção número 2
A figura G pode ser representada como a diferença de duas figuras, sendo a primeira localizada acima do eixo x e abaixo da linha azul no segmento x ∈ 0; 2 , e a segunda está entre as linhas vermelha e azul no segmento x ∈ 1 ; 2. Isso nos permite encontrar a área assim:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
Nesse caso, para encontrar a área, você terá que usar uma fórmula da forma S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. De fato, as linhas que delimitam a figura podem ser representadas como funções do argumento y.
Vamos resolver as equações y = x 3 e - log 2 x + 1 em relação a x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Obtemos a área necessária:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Resposta: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exemplo 5
É necessário calcular a área da figura, que é limitada pelas linhas y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Solução
Desenhe uma linha no gráfico com uma linha vermelha, dada pela função y = x . Desenhe a linha y = - 1 2 x + 4 em azul e marque a linha y = 2 3 x - 3 em preto.
Observe os pontos de interseção.
Encontre os pontos de interseção dos gráficos das funções y = x e y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i é a solução da equação x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 é a solução da equação ⇒ (4 ; 2) ponto de interseção i y = x e y = - 1 2 x + 4
Encontre o ponto de interseção dos gráficos das funções y = x e y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Verifique: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 é a solução para a equação ⇒ (9; 3) ponto e interseção y = x e y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 não é uma solução para a equação
Encontre o ponto de interseção das linhas y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) ponto de interseção y = - 1 2 x + 4 e y = 2 3 x - 3
Método número 1
Representamos a área da figura desejada como a soma das áreas de figuras individuais.
Então a área da figura é:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Método número 2
A área da figura original pode ser representada como a soma das outras duas figuras.
Em seguida, resolvemos a equação da linha para x e somente depois aplicamos a fórmula para calcular a área da figura.
y = x ⇒ x = y 2 linha vermelha y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 linha preta y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Então a área é:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Como você pode ver, os valores coincidem.
Resposta: S (G) = 11 3
Resultados
Para encontrar a área de uma figura que é limitada por linhas dadas, precisamos desenhar linhas em um plano, encontrar seus pontos de interseção e aplicar a fórmula para encontrar a área. Nesta seção, revisamos as opções mais comuns para tarefas.
Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter
Integral definida. Como calcular a área de uma figura
Agora nos voltamos para a consideração de aplicações do cálculo integral. Nesta lição, analisaremos uma tarefa típica e mais comum. Como usar uma integral definida para calcular a área de uma figura plana. Finalmente, aqueles que procuram significado na matemática superior - que eles o encontrem. Nunca se sabe. Na vida real, você terá que aproximar uma casa de verão com funções elementares e encontrar sua área usando uma determinada integral.
Para dominar o material com sucesso, você deve:
1) Compreender a integral indefinida pelo menos em um nível intermediário. Assim, os manequins devem primeiro ler a lição Não.
2) Ser capaz de aplicar a fórmula de Newton-Leibniz e calcular a integral definida. Você pode estabelecer relações amigáveis com certas integrais na página Integral definida. Exemplos de soluções.
De fato, para encontrar a área de uma figura, você não precisa de tanto conhecimento da integral indefinida e definida. A tarefa "calcular a área usando uma integral definida" sempre envolve a construção de um desenho, então seus conhecimentos e habilidades de desenho serão uma questão muito mais relevante. Nesse sentido, é útil refrescar a memória dos gráficos das principais funções elementares e, no mínimo, poder construir uma linha reta, uma parábola e uma hipérbole. Isso pode ser feito (muitos precisam) com a ajuda de material metodológico e um artigo sobre transformações geométricas de grafos.
Na verdade, todos estão familiarizados com o problema de encontrar a área usando uma integral definida desde a escola, e iremos um pouco à frente do currículo escolar. Este artigo pode não existir, mas o fato é que o problema ocorre em 99 casos em 100, quando um aluno é atormentado por uma torre odiada com entusiasmo para dominar um curso de matemática superior.
Os materiais deste workshop são apresentados de forma simples, detalhada e com um mínimo de teoria.
Vamos começar com um trapézio curvilíneo.
trapézio curvilíneo chamada de figura plana limitada pelo eixo , linhas retas , e o gráfico de uma função contínua em um segmento que não muda de sinal nesse intervalo. Seja esta figura localizada não menos abscissa:
Então a área de um trapézio curvilíneo é numericamente igual a uma certa integral. Qualquer integral definida (que existe) tem um significado geométrico muito bom. Na lição Integral definida. Exemplos de soluções Eu disse que uma integral definida é um número. E agora é hora de declarar outro fato útil. Do ponto de vista da geometria, a integral definida é a ÁREA.
Aquilo é, a integral definida (se existir) corresponde geometricamente à área de alguma figura. Por exemplo, considere a integral definida . O integrando define uma curva no plano que está localizado acima do eixo (quem desejar pode completar o desenho), e a própria integral definida é numericamente igual à área do trapézio curvilíneo correspondente.
Exemplo 1
Esta é uma declaração de tarefa típica. O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho. Além disso, o desenho deve ser construído CERTO.
Ao construir um blueprint, recomendo a seguinte ordem: primeiroé melhor construir todas as linhas (se houver) e apenas depois- parábolas, hipérboles, gráficos de outras funções. Gráficos de função são mais rentáveis para construir ponto por ponto, com a técnica de construção pontual pode ser encontrada no material de referência Gráficos e propriedades de funções elementares. Lá você também pode encontrar material muito útil em relação à nossa lição - como construir rapidamente uma parábola.
Neste problema, a solução pode ser assim.
Vamos fazer um desenho (note que a equação define o eixo):
Não vou eclodir um trapézio curvilíneo, é óbvio de que área estamos falando aqui. A solução continua assim:
No segmento, o gráfico da função está localizado sobre o eixo, é por isso:
Responda:
Quem tem dificuldade em calcular a integral definida e aplicar a fórmula de Newton-Leibniz 
, consulte a palestra Integral definida. Exemplos de soluções.
Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, "a olho" contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células obviamente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.
Exemplo 2
Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , e o eixo
Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.
O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo?
Exemplo 3
Calcule a área da figura delimitada por linhas e eixos de coordenadas.
Solução: Vamos fazer um desenho: 
Se o trapézio curvilíneo está localizado sob o eixo(ou pelo menos não mais alto dado eixo), então sua área pode ser encontrada pela fórmula:
Nesse caso: 
Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:
1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.
2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.
Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior e, portanto, dos problemas escolares mais simples, passamos para exemplos mais significativos.
Exemplo 4
Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas , .
Solução: Primeiro você precisa completar o desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados nos pontos de interseção das linhas. Vamos encontrar os pontos de intersecção da parábola e da linha. Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica. Resolvemos a equação:
Portanto, o limite inferior de integração , o limite superior de integração .
É melhor não usar esse método, se possível..
É muito mais lucrativo e rápido construir as linhas ponto a ponto, enquanto os limites da integração são descobertos “por si mesmos”. A técnica de construção ponto a ponto para vários gráficos é discutida em detalhes na ajuda Gráficos e propriedades de funções elementares. No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais). E também consideraremos esse exemplo.
Voltamos à nossa tarefa: é mais racional construir primeiro uma linha reta e só depois uma parábola. Vamos fazer um desenho: 
Repito que com a construção pontual, os limites da integração são mais frequentemente descobertos “automaticamente”.
E agora a fórmula de trabalho: Se houver alguma função contínua no intervalo maior ou igual alguma função contínua, então a área da figura limitada pelos gráficos dessas funções e linhas retas, pode ser encontrada pela fórmula: 
Aqui não é mais necessário pensar onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo e, grosso modo, importa qual gráfico está ACIMA(em relação a outro gráfico), e qual está ABAIXO.
No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de
A conclusão da solução pode ficar assim:
A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.
No segmento , de acordo com a fórmula correspondente:
Responda:
De fato, a fórmula escolar para a área de um trapézio curvilíneo no semiplano inferior (veja o exemplo simples nº 3) é um caso especial da fórmula 
. Como o eixo é dado pela equação , e o gráfico da função está localizado não mais alto eixos, então 
E agora alguns exemplos para uma solução independente
Exemplo 5
Exemplo 6
Encontre a área da figura delimitada pelas linhas , .
Ao resolver problemas para calcular a área usando uma determinada integral, às vezes acontece um incidente engraçado. O desenho foi feito corretamente, os cálculos estavam corretos, mas por desatenção... encontrou a área da figura errada, foi assim que seu servo obediente errou várias vezes. Aqui está um caso da vida real:
Exemplo 7
Calcule a área da figura delimitada pelas linhas , , , .
Solução: Vamos fazer um desenho primeiro: 
…Eh, o desenho ficou uma porcaria, mas tudo parece estar legível.
A figura cuja área precisamos encontrar está sombreada em azul.(olhe atentamente para a condição - como a figura é limitada!). Mas, na prática, devido à desatenção, ocorre frequentemente uma "falha", que você precisa encontrar a área da figura sombreada em verde!
Este exemplo também é útil porque nele a área da figura é calculada usando duas integrais definidas. Sério:
1) No segmento acima do eixo há um gráfico de linha reta;
2) No segmento acima do eixo há um gráfico de hipérbole.
É bastante óbvio que as áreas podem (e devem) ser adicionadas, portanto:
Responda:
Vamos passar para mais uma tarefa significativa.
Exemplo 8
Calcule a área de uma figura delimitada por linhas,
Vamos apresentar as equações em forma de "escola" e fazer um desenho ponto a ponto: 
Pode-se ver pelo desenho que nosso limite superior é “bom”: .
Mas qual é o limite inferior? É claro que isso não é um número inteiro, mas o quê? Pode ser ? Mas onde está a garantia de que o desenho é feito com perfeita precisão, pode ser que isso aconteça. Ou raiz. E se não acertarmos o gráfico?
Nesses casos, é preciso gastar mais tempo e refinar analiticamente os limites da integração.
Vamos encontrar os pontos de intersecção da linha e da parábola.
Para isso, resolvemos a equação: 
,
Sério, .
A solução adicional é trivial, o principal é não se confundir com substituições e sinais, os cálculos aqui não são os mais fáceis.
No segmento 
, de acordo com a fórmula correspondente: 
Responda: 
Bem, na conclusão da lição, vamos considerar duas tarefas mais difíceis.
Exemplo 9
Calcule a área da figura delimitada por linhas , ,
Solução: Desenhe esta figura no desenho. 
Caramba, esqueci de assinar o cronograma, e refazendo a foto, desculpe, não hotz. Não é um desenho, resumindo, hoje é o dia =)
Para a construção ponto a ponto, é necessário conhecer a aparência da senóide (e, em geral, é útil conhecer gráficos de todas as funções elementares), bem como alguns valores de seno, eles podem ser encontrados em tabela trigonométrica. Em alguns casos (como neste caso), é permitido construir um desenho esquemático, no qual gráficos e limites de integração devem ser exibidos em princípio corretamente.
Não há problemas com os limites de integração aqui, eles seguem diretamente da condição: - "x" muda de zero para "pi". Tomamos mais uma decisão:
No segmento, o gráfico da função está localizado acima do eixo, portanto:
Calculando a área de uma figura Este é talvez um dos problemas mais difíceis na teoria da área. Na geometria escolar, eles são ensinados a encontrar as áreas de formas geométricas básicas como, por exemplo, um triângulo, um losango, um retângulo, um trapézio, um círculo, etc. No entanto, muitas vezes é preciso lidar com o cálculo das áreas de figuras mais complexas. É na resolução de tais problemas que é muito conveniente usar o cálculo integral.
Definição.
trapézio curvilíneo alguma figura G é chamada, limitada pelas linhas y = f(x), y = 0, x = aex = b, e a função f(x) é contínua no segmento [a; b] e não muda seu sinal nele (Figura 1). A área de um trapézio curvilíneo pode ser denotada por S(G).
A integral definida ʃ a b f(x)dx para a função f(x), que é contínua e não negativa no segmento [a; b], e é a área do trapézio curvilíneo correspondente.
Ou seja, para encontrar a área da figura G, limitada pelas linhas y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a e x \u003d b, é necessário calcular a integral definida ʃ a b f (x) dx.
Nesse caminho, S(G) = ʃ a b f(x)dx.
Se a função y = f(x) não for positiva em [a; b], então a área do trapézio curvilíneo pode ser encontrada pela fórmula S(G) = -ʃ a b f(x)dx.
Exemplo 1
Calcule a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d x 3; y = 1; x = 2.
Solução.
As linhas dadas formam a figura ABC, que é mostrada pela hachura arroz. 2.
A área desejada é igual à diferença entre as áreas do trapézio curvilíneo DACE e o quadrado DABE.
Usando a fórmula S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), encontramos os limites de integração. Para fazer isso, resolvemos um sistema de duas equações:
(y \u003d x 3,
(y = 1.
Assim, temos x 1 \u003d 1 - o limite inferior e x \u003d 2 - o limite superior.
Então, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (unidades quadradas).
Resposta: 11/4 m² unidades
Exemplo 2
Calcule a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d √x; y = 2; x = 9.
Solução.
As linhas dadas formam a figura ABC, que é limitada de cima pelo gráfico da função
y \u003d √x, e abaixo do gráfico da função y \u003d 2. A figura resultante é mostrada hachurando em arroz. 3.
A área desejada é igual a S = ʃ a b (√x - 2). Vamos encontrar os limites de integração: b = 9, para encontrar a, resolvemos o sistema de duas equações:
(y = √x,
(y = 2.
Assim, temos que x = 4 = a é o limite inferior.
Então, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (unidades quadradas).
Resposta: S = 2 2/3 m². unidades
Exemplo 3
Calcule a área da figura delimitada pelas linhas y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.
Solução.
Vamos traçar a função y \u003d x 3 - 4x para x ≥ 0. Para fazer isso, encontramos a derivada y ':
y' = 3x 2 – 4, y' = 0 em х = ±2/√3 ≈ 1,1 são pontos críticos.
Se desenharmos os pontos críticos no eixo real e colocarmos os sinais da derivada, obtemos que a função diminui de zero a 2/√3 e aumenta de 2/√3 a mais infinito. Então x = 2/√3 é o ponto mínimo, o valor mínimo da função y é min = -16/(3√3) ≈ -3.
Vamos determinar os pontos de interseção do gráfico com os eixos coordenados:
se x \u003d 0, então y \u003d 0, o que significa que A (0; 0) é o ponto de interseção com o eixo Oy;
se y \u003d 0, então x 3 - 4x \u003d 0 ou x (x 2 - 4) \u003d 0, ou x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, de onde x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (não é adequado, porque x ≥ 0).
Os pontos A(0; 0) e B(2; 0) são os pontos de interseção do gráfico com o eixo Ox.
As linhas dadas formam a figura OAB, que é mostrada por hachura em arroz. quatro.
Como a função y \u003d x 3 - 4x assume (0; 2) um valor negativo, então
S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.
Temos: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, de onde S \u003d 4 metros quadrados. unidades
Resposta: S = 4 m². unidades
Exemplo 4
Encontre a área da figura limitada pela parábola y \u003d 2x 2 - 2x + 1, as linhas retas x \u003d 0, y \u003d 0 e a tangente a esta parábola no ponto com a abcissa x 0 \u003d 2.
Solução.
Primeiro, compomos a equação da tangente à parábola y \u003d 2x 2 - 2x + 1 no ponto com a abcissa x₀ \u003d 2.
Como a derivada y' = 4x - 2, então para x 0 = 2 obtemos k = y'(2) = 6.
Encontre a ordenada do ponto de toque: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.
Portanto, a equação tangente tem a forma: y - 5 \u003d 6 (x - 2) ou y \u003d 6x - 7.
Vamos construir uma figura delimitada por linhas:
y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.
Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parábola. Pontos de intersecção com os eixos coordenados: A(0; 1) - com o eixo Oy; com o eixo Ox - não há pontos de interseção, porque a equação 2x 2 - 2x + 1 = 0 não tem soluções (D< 0). Найдем вершину параболы:
x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;
y b \u003d 1/2, ou seja, o vértice do ponto da parábola B tem coordenadas B (1/2; 1/2).
Assim, a figura cuja área deve ser determinada é mostrada hachurando em arroz. 5.
Temos: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.
Encontre as coordenadas do ponto D a partir da condição:
6x - 7 = 0, ou seja x \u003d 7/6, depois DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.
Encontramos a área do triângulo DBC usando a fórmula S ADBC = 1/2 · DC · BC. Nesse caminho,
S ADBC = 1/2 5/6 5 = 25/12 sq. unidades
S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (unidades quadradas).
Finalmente, obtemos: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (unidades quadradas).
Resposta: S = 1 1/4 sq. unidades
Revisamos exemplos encontrar as áreas de figuras delimitadas por linhas dadas. Para resolver esses problemas com sucesso, você precisa ser capaz de construir linhas e gráficos de funções em um plano, encontrar os pontos de interseção das linhas, aplicar a fórmula para encontrar a área, o que implica a capacidade e as habilidades para calcular certas integrais.
site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.
Definição. A diferença F (b) - F (a) é chamada de integral da função f (x) no segmento [ a ; b ] e é denotado como segue: = F (b) - F (a) - a fórmula de Newton-Leibniz.
O significado geométrico da integral.
A área de um trapézio curvilíneo limitado por um gráfico positivo contínuo no intervalo [ a ; b ] da função f (x), o eixo Ox e as retas x=a e x=b:
Calculando áreas usando a integral.
1. A área da figura delimitada por um gráfico de negativo contínuo no intervalo [ a ; b ] da função f (x), o eixo Ox e as retas x=a e x=b:
2. A área de uma figura limitada por gráficos de funções contínuas f (x) e linhas retas x \u003d a, x \u003d b:
3. A área de uma figura limitada por gráficos de funções contínuas f (x) e:
4. A área de uma figura limitada por gráficos de funções contínuas f (x) e o eixo Ox:
Tarefas e testes sobre o tema "Integral. Calculando áreas usando a integral"
- Integrante
Lições: 4 Tarefas: 13 Testes: 1
- Calculando áreas usando integrais - Antiderivada e integral Grau 11
Lições: 1 Tarefas: 10 Testes: 1
- antiderivada - Antiderivada e integral Grau 11
Lições: 1 Tarefas: 11 Testes: 1
- Planimetria: cálculo de comprimentos e áreas
Tarefas: 7
- Cálculos e transformações - Preparação para o exame de matemática
Tarefas: 10
Antes de começar a calcular a área de uma figura delimitada por linhas dadas, tente desenhar essa figura em um sistema de coordenadas. Isso facilitará muito a solução do problema.
O estudo de materiais teóricos sobre este tópico oferece a oportunidade de dominar os conceitos de antiderivada e integral, aprender a relação entre eles, dominar a técnica mais simples de cálculo integral, aprender como aplicar a integral para calcular as áreas de figuras limitadas por função gráficos.
Exemplos.
1. Calcule a integral
Solução:
Responda: 0.
2. Encontre a área de uma figura delimitada por linhas
a) f(x) = 2 X – X 2 e eixo x
Solução: Gráfico da função f (x) \u003d 2x - x 2 parábola. Vértice: (1; 1).
Responda:(unidades quadradas).
