• Sistemas m equações lineares com n desconhecido.
  Resolvendo um sistema de equações linearesé um conjunto de números ( x 1 , x 2 , …, x n), substituindo qual em cada uma das equações do sistema, obtém-se a igualdade correta.
  Onde aij, i = 1, …, m; j = 1, …, n são os coeficientes do sistema;
  b i , i = 1, …, m- membros gratuitos;
  x j , j = 1, …, n- desconhecido.
  O sistema acima pode ser escrito na forma matricial: A X = B,
  
  
  
  
  Onde ( UMA|B) é a matriz principal do sistema;
  UMA— matriz estendida do sistema;
  X— coluna de incógnitas;
  Bé uma coluna de membros livres.
  Se a matriz B não é uma matriz nula ∅, então esse sistema de equações lineares é chamado de não homogêneo.
  Se a matriz B= ∅, então esse sistema de equações lineares é chamado de homogêneo. Um sistema homogêneo sempre tem uma solução zero (trivial): x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Sistema conjunto de equações linearesé um sistema de equações lineares que tem solução.
  Sistema inconsistente de equações linearesé um sistema de equações lineares que não tem solução.
  Certo sistema de equações linearesé um sistema de equações lineares que tem uma única solução.
  Sistema indefinido de equações linearesé um sistema de equações lineares que tem um número infinito de soluções.
• Sistemas de n equações lineares com n incógnitas
  Se o número de incógnitas é igual ao número de equações, então a matriz é quadrada. O determinante da matriz é chamado de determinante principal do sistema de equações lineares e é denotado pelo símbolo Δ.
  Método Cramer para resolver sistemas n equações lineares com n desconhecido.
  Regra de Cramer.
  Se o principal determinante de um sistema de equações lineares não for igual a zero, então o sistema é consistente e definido, e a única solução é calculada usando as fórmulas de Cramer:
  onde Δ i são os determinantes obtidos a partir do determinante principal do sistema Δ substituindo euª coluna para a coluna de membros livres. .
• Sistemas de m equações lineares com n incógnitas
  Teorema de Kronecker-Cappelli.
  
  
  Para que este sistema de equações lineares seja consistente, é necessário e suficiente que o posto da matriz do sistema seja igual ao posto da matriz estendida do sistema, posto(Α) = posto(Α|B).
  Se um tocou(Α) ≠ tocou(Α|B), então o sistema obviamente não tem soluções.
  Se posto(Α) = posto(Α|B), então dois casos são possíveis:
  1) rang(Α) = n(para o número de incógnitas) - a solução é única e pode ser obtida pelas fórmulas de Cramer;
  2) classificação (Α)< n − existem infinitas soluções.
• Método de Gauss para resolver sistemas de equações lineares
  
  
  Vamos compor a matriz aumentada ( UMA|B) do sistema de coeficientes dado nos lados desconhecido e à direita.
  O método gaussiano ou método de eliminação de incógnitas consiste em reduzir a matriz aumentada ( UMA|B) com a ajuda de transformações elementares sobre suas linhas para uma forma diagonal (para uma forma triangular superior). Voltando ao sistema de equações, todas as incógnitas são determinadas.
  Transformações elementares em strings incluem o seguinte:
  1) trocando duas linhas;
  2) multiplicar uma string por um número diferente de 0;
  3) adicionar à string outra string multiplicada por um número arbitrário;
  4) descartando uma string nula.
  Uma matriz estendida reduzida a uma forma diagonal corresponde a um sistema linear equivalente ao dado, cuja solução não causa dificuldades. .
• Sistema de equações lineares homogéneas.
  O sistema homogêneo tem a forma:
  
  corresponde à equação matricial AX = 0.
  1) Um sistema homogêneo é sempre consistente, pois r(A) = r(A|B), há sempre uma solução zero (0, 0, …, 0).
  2) Para que um sistema homogêneo tenha uma solução diferente de zero, é necessário e suficiente que r = r(A)< n , que é equivalente a Δ = 0.
  3) Se r< n , então Δ = 0, então existem incógnitas livres c 1 , c 2 , …, c n-r, o sistema tem soluções não triviais, e existem infinitas delas.
  4) Solução geral X no r< n pode ser escrito na forma matricial da seguinte forma:
  X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  onde estão as soluções X 1 , X 2 , …, X n-r formam um sistema fundamental de soluções.
  5) O sistema fundamental de soluções pode ser obtido a partir da solução geral do sistema homogêneo:
  
  ,
  se assumirmos sequencialmente os valores dos parâmetros como (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
  Decomposição da solução geral em termos do sistema fundamental de soluçõesé um registro da solução geral como uma combinação linear de soluções pertencentes ao sistema fundamental.
  Teorema. Para que um sistema de equações lineares homogêneas tenha uma solução diferente de zero, é necessário e suficiente que Δ ≠ 0.
  Então, se o determinante for Δ ≠ 0, então o sistema tem uma solução única.
  Se Δ ≠ 0, então o sistema de equações lineares homogêneas tem um número infinito de soluções.
  Teorema. Para que um sistema homogêneo tenha uma solução diferente de zero, é necessário e suficiente que r(A)< n .
  Prova:
  1) r não pode ser mais n(a classificação da matriz não excede o número de colunas ou linhas);
  2) r< n , Porque E se r=n, então o principal determinante do sistema Δ ≠ 0, e, de acordo com as fórmulas de Cramer, existe uma única solução trivial x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, o que contradiz a condição. Significa, r(A)< n .
  Consequência. Para um sistema homogêneo n equações lineares com n desconhecidos tem uma solução diferente de zero, é necessário e suficiente que Δ = 0.

Um sistema de N equações algébricas lineares (SLAE) com incógnitas é dado, cujos coeficientes são os elementos da matriz , e os membros livres são os números

O primeiro índice ao lado dos coeficientes indica em qual equação o coeficiente está localizado e o segundo - em qual das incógnitas ele está localizado.

Se o determinante da matriz não for igual a zero

então o sistema de equações algébricas lineares tem uma única solução.

A solução de um sistema de equações algébricas lineares é um conjunto ordenado de números , que transforma cada uma das equações do sistema em uma igualdade correta.

Se os lados direitos de todas as equações do sistema são iguais a zero, então o sistema de equações é chamado de homogêneo. No caso em que alguns deles são diferentes de zero, não uniformes

Se um sistema de equações algébricas lineares tem pelo menos uma solução, ele é chamado de compatível, caso contrário é incompatível.

Se a solução do sistema é única, então o sistema de equações lineares é chamado definido. No caso em que a solução do sistema conjunto não é única, o sistema de equações é chamado indefinido.

Dois sistemas de equações lineares são chamados equivalentes (ou equivalentes) se todas as soluções de um sistema são soluções do segundo e vice-versa. Sistemas equivalentes (ou equivalentes) são obtidos usando transformações equivalentes.

Transformações equivalentes de SLAE

1) rearranjo de equações;

2) multiplicação (ou divisão) de equações por um número diferente de zero;

3) adicionar a alguma equação outra equação, multiplicada por um número arbitrário diferente de zero.

A solução SLAE pode ser encontrada de diferentes maneiras.

MÉTODO DE CRAME

TEOREMA DE CRAME. Se o determinante de um sistema de equações algébricas lineares com incógnitas é diferente de zero, então este sistema tem uma solução única, que é encontrada pelas fórmulas de Cramer:

são determinantes formados com a substituição da i-ésima coluna por uma coluna de membros livres.

Se , e pelo menos um de for diferente de zero, então SLAE não tem soluções. Se , então o SLAE tem muitas soluções. Considere exemplos usando o método de Cramer.

—————————————————————

Um sistema de três equações lineares com três incógnitas é dado. Resolva o sistema pelo método de Cramer

Encontre o determinante da matriz de coeficientes para incógnitas

Como , então o sistema de equações dado é consistente e tem uma única solução. Vamos calcular os determinantes:

Usando as fórmulas de Cramer, encontramos as incógnitas

Então a única solução do sistema.

Um sistema de quatro equações algébricas lineares é dado. Resolva o sistema pelo método de Cramer.

Vamos encontrar o determinante da matriz de coeficientes para as incógnitas. Para fazer isso, nós o expandimos pela primeira linha.

Encontre os componentes do determinante:

Substitua os valores encontrados no determinante

O determinante, portanto, o sistema de equações é consistente e tem solução única. Calculamos os determinantes usando as fórmulas de Cramer:

Vamos expandir cada um dos determinantes pela coluna em que há mais zeros.

Pelas fórmulas de Cramer encontramos

Solução do sistema

Este exemplo pode ser resolvido com uma calculadora matemática YukhymCALC. Um fragmento do programa e os resultados dos cálculos são mostrados abaixo.

——————————

MÉTODO C R A M E R

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= dez

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Ver materiais:

(jcomenta sobre)

No caso geral, a regra para computar determinantes da ª ordem é bastante complicada. Para determinantes de segunda e terceira ordem, existem formas racionais de calculá-los.

Cálculos de determinantes de segunda ordem

Para calcular o determinante da matriz de segunda ordem, é necessário subtrair o produto dos elementos da diagonal secundária do produto dos elementos da diagonal principal:

Exemplo

Exercício. Calcular determinante de segunda ordem

Solução.

Responda.

Métodos para calcular determinantes de terceira ordem

Existem regras para calcular determinantes de terceira ordem.

regra do triângulo

Esquematicamente, essa regra pode ser representada da seguinte forma:

O produto dos elementos do primeiro determinante que estão conectados por linhas é obtido com um sinal de mais; da mesma forma, para o segundo determinante, os produtos correspondentes são tomados com um sinal de menos, ou seja,

Exemplo

Exercício. Calcular determinante método do triângulo.

Solução.

Responda.

Regra de Sarrus

À direita do determinante, as duas primeiras colunas são somadas e os produtos dos elementos da diagonal principal e das diagonais paralelas a ela são tomados com um sinal de mais; e os produtos dos elementos da diagonal secundária e das diagonais paralelas a ela, com sinal negativo:

Exemplo

Exercício. Calcular determinante usando a regra de Sarrus.

Solução.

Responda.

Expansão de linha ou coluna do determinante

O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos da linha do determinante e seus complementos algébricos.

Normalmente, escolha a linha/coluna em que há zeros. A linha ou coluna na qual a decomposição é realizada será indicada por uma seta.

Exemplo

Exercício. Expandindo sobre a primeira linha, calcule o determinante

Solução.

Responda.

Este método permite reduzir o cálculo do determinante ao cálculo de um determinante de ordem inferior.

Exemplo

Exercício. Calcular determinante

Solução. Vamos realizar as seguintes transformações nas linhas do determinante: da segunda linha subtraímos os quatro primeiros e da terceira linha a primeira linha multiplicada por sete, como resultado, de acordo com as propriedades do determinante, obtemos um determinante igual ao dado.

O determinante é zero porque a segunda e a terceira linhas são proporcionais.

Responda.

Para calcular os determinantes de quarta ordem e acima, é usada a expansão em uma linha/coluna, ou a redução para uma forma triangular, ou usando o teorema de Laplace.

Decomposição do determinante em termos dos elementos de uma linha ou coluna

Exemplo

Exercício. Calcular determinante , decompondo-o pelos elementos de alguma linha ou de alguma coluna.

Solução. Vamos primeiro realizar transformações elementares nas linhas do determinante fazendo tantos zeros quanto possível em uma linha ou em uma coluna. Para fazer isso, primeiro subtraímos nove terços da primeira linha, cinco terços da segunda e três terços da quarta, obtemos:

Expandimos o determinante resultante pelos elementos da primeira coluna:

O determinante de terceira ordem resultante também é expandido pelos elementos da linha e da coluna, tendo obtido anteriormente zeros, por exemplo, na primeira coluna.

Para fazer isso, subtraímos duas segundas linhas da primeira linha e a segunda da terceira:

Responda.

Comente

Os últimos e penúltimos determinantes não puderam ser calculados, mas concluímos imediatamente que são iguais a zero, pois contêm linhas proporcionais.

Trazendo o determinante para uma forma triangular

Com a ajuda de transformações elementares em linhas ou colunas, o determinante é reduzido a uma forma triangular e, em seguida, seu valor, de acordo com as propriedades do determinante, é igual ao produto dos elementos na diagonal principal.

Exemplo

Exercício. Calcular determinante trazendo-o para uma forma triangular.

Solução. Primeiro, fazemos zeros na primeira coluna sob a diagonal principal.

4. Propriedades dos determinantes. Determinante do produto de matrizes.

Todas as transformações serão mais fáceis de realizar se o elemento for igual a 1. Para isso, trocaremos a primeira e a segunda colunas do determinante, o que, de acordo com as propriedades do determinante, fará com que ele mude de sinal para o oposto :

Em seguida, obtemos zeros na segunda coluna no lugar dos elementos sob a diagonal principal. E novamente, se o elemento diagonal for igual a , os cálculos serão mais simples. Para fazer isso, trocamos a segunda e a terceira linhas (e ao mesmo tempo mudamos para o sinal oposto do determinante):

Responda.

Teorema de Laplace

Exemplo

Exercício. Usando o teorema de Laplace, calcule o determinante

Solução. Escolhemos duas linhas neste determinante de quinta ordem - a segunda e a terceira, então obtemos (omitimos os termos iguais a zero):

Responda.

EQUAÇÕES LINEARES E DESIGUALDADES I

§ 31 O caso em que o determinante principal de um sistema de equações é igual a zero, e pelo menos um dos determinantes auxiliares é diferente de zero

Teorema.Se o principal determinante do sistema de equações

(1)

igual a zero, e pelo menos um dos determinantes auxiliares for diferente de zero, então o sistema é inconsistente.

Formalmente, a prova deste teorema não é difícil de obter por contradição. Vamos supor que o sistema de equações (1) tenha uma solução ( x 0 , y 0). Considerando que, conforme indicado no parágrafo anterior,

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

Mas por condição Δ = 0, e pelo menos um dos determinantes Δ x e Δ y diferente de zero. Assim, as igualdades (2) não podem ser válidas simultaneamente. O teorema foi provado.

No entanto, parece interessante esclarecer com mais detalhes por que o sistema de equações (1) é inconsistente no caso em consideração.

significa que os coeficientes das incógnitas no sistema de equações (1) são proporcionais. Deixe, por exemplo,

uma 1 = ka 2 , b 1 = kb 2 .

significa que os coeficientes no e os termos livres das equações do sistema (1) não são proporcionais. Porque o b 1 = kb 2, então c 1 =/= k 2 .

Portanto, o sistema de equações (1) pode ser escrito da seguinte forma:

Neste sistema, os coeficientes para as incógnitas são respectivamente proporcionais, mas os coeficientes para no (ou quando X ) e os termos livres não são proporcionais. Tal sistema é, obviamente, inconsistente. De fato, se ela tivesse uma solução ( x 0 , y 0), então as igualdades numéricas

k (uma 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1

uma 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .

Mas uma dessas igualdades contradiz a outra: afinal, c 1 =/= k 2 .

Consideramos apenas o caso em que Δ x =/= 0. Da mesma forma, podemos considerar o caso em que Δ y =/= 0."

O teorema provado pode ser formulado da seguinte maneira.

Se os coeficientes para as incógnitas X e no no sistema de equações (1) são proporcionais, e os coeficientes de qualquer uma dessas incógnitas e termos livres não são proporcionais, então esse sistema de equações é inconsistente.

É fácil, por exemplo, verificar se cada um desses sistemas será inconsistente:

O método de Cramer para resolver sistemas de equações lineares

Fórmulas de Cramer

O método de Cramer baseia-se no uso de determinantes na resolução de sistemas de equações lineares. Isso acelera muito o processo de solução.

O método de Cramer pode ser usado para resolver um sistema de tantas equações lineares quantas incógnitas em cada equação.

O método de Cramer. Aplicação para sistemas de equações lineares

Se o determinante do sistema não for igual a zero, então o método de Cramer pode ser usado na solução; se for igual a zero, então não pode. Além disso, o método de Cramer pode ser usado para resolver sistemas de equações lineares que possuem uma única solução.

Definição. O determinante, composto pelos coeficientes das incógnitas, é chamado de determinante do sistema e é denotado por (delta).

Determinantes

são obtidos substituindo os coeficientes nas incógnitas correspondentes por termos livres:

;

.

Teorema de Cramer. Se o determinante do sistema for diferente de zero, então o sistema de equações lineares tem uma única solução, e a incógnita é igual à razão dos determinantes. O denominador contém o determinante do sistema e o numerador contém o determinante obtido do determinante do sistema substituindo os coeficientes pelo desconhecido por termos livres. Este teorema vale para um sistema de equações lineares de qualquer ordem.

Exemplo 1 Resolva o sistema de equações lineares:

De acordo com Teorema de Cramer temos:

Então, a solução do sistema (2):

Três casos na resolução de sistemas de equações lineares

Como aparece de Teoremas de Cramer, ao resolver um sistema de equações lineares, três casos podem ocorrer:

Primeiro caso: o sistema de equações lineares tem uma única solução

(o sistema é consistente e definido)

*

Segundo caso: o sistema de equações lineares tem um número infinito de soluções

(o sistema é consistente e indeterminado)

**
,

Essa. os coeficientes das incógnitas e os termos livres são proporcionais.

Terceiro caso: o sistema de equações lineares não tem soluções

(sistema inconsistente)

Então o sistema m equações lineares com n variáveis ​​é chamado incompatível se não tiver soluções, e articulação se tiver pelo menos uma solução. Um sistema conjunto de equações que tem apenas uma solução é chamado certo, e mais de um incerto.

Exemplos de resolução de sistemas de equações lineares pelo método de Cramer

Deixe o sistema

.

Baseado no teorema de Cramer

………….
,

Onde
—

identificador do sistema. Os demais determinantes são obtidos substituindo a coluna pelos coeficientes da variável correspondente (desconhecida) com membros livres:

Exemplo 2

.

Portanto, o sistema é definitivo. Para encontrar sua solução, calculamos os determinantes

Pelas fórmulas de Cramer encontramos:

Então, (1; 0; -1) é a única solução para o sistema.

Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.

Se não houver variáveis ​​no sistema de equações lineares em uma ou mais equações, então no determinante os elementos correspondentes a elas são iguais a zero! Este é o próximo exemplo.

Exemplo 3 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:

.

Solução. Encontramos o determinante do sistema:

Observe atentamente o sistema de equações e o determinante do sistema e repita a resposta à pergunta em que casos um ou mais elementos do determinante são iguais a zero. Assim, o determinante não é igual a zero, portanto, o sistema é definido. Para encontrar sua solução, calculamos os determinantes para as incógnitas

Pelas fórmulas de Cramer encontramos:

Assim, a solução do sistema é (2; -1; 1).

Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.

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Como já mencionado, se o determinante do sistema for igual a zero, e os determinantes das incógnitas não forem iguais a zero, o sistema é inconsistente, ou seja, não tem soluções. Vamos ilustrar com o exemplo a seguir.

Exemplo 4 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:

Solução. Encontramos o determinante do sistema:

O determinante do sistema é igual a zero, portanto, o sistema de equações lineares ou é inconsistente e definido, ou inconsistente, ou seja, não tem soluções. Para esclarecer, calculamos os determinantes para as incógnitas

Os determinantes das incógnitas não são iguais a zero, portanto, o sistema é inconsistente, ou seja, não possui soluções.

Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.

Nos problemas de sistemas de equações lineares, também existem aqueles em que, além das letras que denotam variáveis, existem também outras letras. Essas letras representam algum número, na maioria das vezes um número real. Na prática, tais equações e sistemas de equações levam a problemas para encontrar as propriedades gerais de quaisquer fenômenos e objetos. Ou seja, você inventou algum novo material ou dispositivo, e para descrever suas propriedades, que são comuns independente do tamanho ou número de cópias, você precisa resolver um sistema de equações lineares, onde ao invés de alguns coeficientes para variáveis ​​existem letras. Você não precisa procurar muito para obter exemplos.

O próximo exemplo é para um problema semelhante, apenas o número de equações, variáveis ​​e letras que denotam algum número real aumenta.

Exemplo 6 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:

Solução. Encontramos o determinante do sistema:

Encontrando determinantes para incógnitas

Pelas fórmulas de Cramer encontramos:

,

,

.

E, finalmente, um sistema de quatro equações com quatro incógnitas.

Exemplo 7 Resolva o sistema de equações lineares pelo método de Cramer:

.

Atenção! Os métodos para calcular determinantes de quarta ordem não serão explicados aqui. Depois disso - para a seção apropriada do site. Mas haverá alguns comentários. Solução. Encontramos o determinante do sistema:

Um pequeno comentário. No determinante original, os elementos da quarta linha foram subtraídos dos elementos da segunda linha, os elementos da quarta linha multiplicados por 2 foram subtraídos dos elementos da terceira linha, os elementos da primeira linha multiplicados por 2 foram subtraído dos elementos da quarta linha. Encontrando determinantes para incógnitas

Para transformações do determinante com a quarta incógnita, os elementos da quarta linha foram subtraídos dos elementos da primeira linha.

Pelas fórmulas de Cramer encontramos:

Assim, a solução do sistema é (1; 1; -1; -1).

Para verificar as soluções dos sistemas de equações 3 X 3 e 4 X 4, você pode usar a calculadora online, o método de resolução Cramer.

Os mais atentos provavelmente notaram que o artigo não continha exemplos de resolução de sistemas indefinidos de equações lineares. E tudo porque é impossível resolver tais sistemas pelo método de Cramer, só podemos afirmar que o sistema é indefinido. As soluções de tais sistemas são dadas pelo método de Gauss.

Não tem tempo para se aprofundar na solução? Você pode encomendar um trabalho!

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O início do tópico "Álgebra Linear"

Determinantes

Neste artigo, vamos nos familiarizar com um conceito muito importante da seção de álgebra linear, que é chamado de determinante.

Gostaria de destacar logo um ponto importante: o conceito de determinante é válido apenas para matrizes quadradas (número de linhas = número de colunas), outras matrizes não o possuem.

Determinante de uma matriz quadrada(determinante) — característica numérica da matriz.

Designação dos determinantes: |A|, det A, ∆ UMA.

determinante A ordem "n" é chamada de soma algébrica de todos os produtos possíveis de seus elementos que satisfazem os seguintes requisitos:

1) Cada um desses produtos contém exatamente "n" elementos (ou seja, o determinante de segunda ordem é 2 elementos).

2) Em cada produto, há um representante de cada linha e de cada coluna como fator.

3) Quaisquer dois fatores em cada produto não podem pertencer à mesma linha ou coluna.

O sinal do produto é determinado pela ordem de alternância dos números das colunas, se os elementos do produto estiverem dispostos em ordem crescente dos números das linhas.

Considere alguns exemplos de encontrar o determinante de uma matriz:

Para uma matriz de primeira ordem (ou seja,

Equações lineares. Resolução de sistemas de equações lineares. O método de Cramer.

existe apenas 1 elemento), o determinante é igual a este elemento:

2. Considere uma matriz quadrada de segunda ordem:

3. Considere uma matriz quadrada de terceira ordem (3×3):

4. E agora considere exemplos com números reais:

Regra do triângulo.

A regra do triângulo é uma maneira de calcular o determinante de uma matriz, que envolve encontrá-lo de acordo com o seguinte esquema:

Como você já entendeu, o método foi chamado de regra do triângulo devido ao fato de que os elementos da matriz multiplicados formam triângulos peculiares.

Para entender melhor, vamos a um exemplo:

E agora considere o cálculo do determinante de uma matriz com números reais usando a regra do triângulo:

Para consolidar o material abordado, vamos resolver outro exemplo prático:

Propriedades dos determinantes:

1. Se os elementos de uma linha ou coluna são iguais a zero, então o determinante é igual a zero.

2. O determinante mudará de sinal se quaisquer 2 linhas ou colunas forem trocadas. Vejamos isso com um pequeno exemplo:

3. O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

4. O determinante é zero se os elementos de uma linha são iguais aos elementos correspondentes de outra linha (também para colunas). O exemplo mais simples dessa propriedade dos determinantes é:

5. O determinante é zero se suas 2 linhas são proporcionais (também para colunas). Exemplo (linha 1 e 2 são proporcionais):

6. O fator comum de uma linha (coluna) pode ser retirado do sinal do determinante.

7) O determinante não mudará se os elementos correspondentes de outra linha (coluna) forem somados aos elementos de qualquer linha (coluna), multiplicados pelo mesmo valor. Vejamos isso com um exemplo:

Adição menor e algébrica

Adição e subtração de matrizes por exemplos

Ações com matrizes

O conceito de "matriz"

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O determinante (também conhecido como determinante (determinante)) é encontrado apenas em matrizes quadradas. O determinante nada mais é do que um valor que combina todos os elementos de uma matriz, que é preservado na transposição de linhas ou colunas. Pode ser denotado como det(A), |A|, Δ(A), Δ, onde A pode ser tanto uma matriz quanto uma letra que a denota. Você pode encontrá-lo de diferentes maneiras:

Todos os métodos propostos acima serão analisados ​​em matrizes de tamanho três ou mais. O determinante de uma matriz bidimensional é encontrado usando três operações matemáticas elementares, portanto, encontrar o determinante de uma matriz bidimensional não cairá em nenhum dos métodos. Bem, exceto como uma adição, mas mais sobre isso mais tarde.

Encontre o determinante de uma matriz 2x2:

Para encontrar o determinante de nossa matriz, é necessário subtrair o produto dos números de uma diagonal da outra, ou seja,

Exemplos de encontrar o determinante de matrizes de segunda ordem

Decomposição de linha/coluna

Qualquer linha ou coluna na matriz é selecionada. Cada número na linha selecionada é multiplicado por (-1) i+j onde (i,j é o número da linha,coluna desse número) e multiplicado pelo determinante de segunda ordem composto pelos elementos restantes após a exclusão de i - linha e j - coluna. Vamos dar uma olhada na matriz

1. Selecione uma linha/coluna

Por exemplo, pegue a segunda linha.

Observação: Se não for indicado explicitamente com qual linha encontrar o determinante, escolha a linha que tem um zero. Haverá menos cálculos.

1. Compor uma expressão

Não é difícil determinar que o sinal de um número muda a cada duas vezes. Portanto, em vez de unidades, você pode ser guiado pela seguinte tabela:

1. Vamos mudar o sinal dos nossos números

1. Vamos encontrar os determinantes de nossas matrizes

1. Nós consideramos tudo

A solução pode ser escrita assim:

Exemplos de encontrar um determinante por expansão de linha/coluna:

Método de redução a uma forma triangular (usando transformações elementares)

O determinante é encontrado trazendo a matriz para uma forma triangular (degrau) e multiplicando os elementos na diagonal principal

Uma matriz triangular é uma matriz cujos elementos de um lado da diagonal são iguais a zero.

Ao construir uma matriz, lembre-se de três regras simples:

1. Cada vez que as cordas são trocadas, o determinante muda de sinal para o oposto.
2. Ao multiplicar/dividir uma string por um número diferente de zero, ela deve ser dividida (se multiplicada)/multiplicada (se dividida) por ela, ou realizar esta ação com o determinante resultante.
3. Ao adicionar uma string multiplicada por um número a outra string, o determinante não muda (a string multiplicada assume seu valor original).

Vamos tentar obter zeros na primeira coluna e depois na segunda.

Vamos dar uma olhada na nossa matriz:

Ta-a-ak. Para tornar os cálculos mais agradáveis, gostaria de ter o número mais próximo no topo. Você pode deixar, mas não precisa. Ok, temos um empate na segunda linha e quatro na primeira.

Vamos trocar essas duas linhas.

Trocamos as linhas, agora devemos mudar o sinal de uma linha, ou mudar o sinal do determinante no final.

Determinantes. Cálculo de determinantes (p. 2)

Faremos isso mais tarde.

Agora, para obter zero na primeira linha, multiplicamos a primeira linha por 2.

Subtraia a 1ª linha da segunda.

De acordo com nossa 3ª regra, retornamos a string original à posição inicial.

Agora vamos fazer um zero na 3ª linha. Podemos multiplicar a primeira linha por 1,5 e subtrair da terceira, mas trabalhar com frações traz pouco prazer. Portanto, vamos encontrar um número ao qual ambas as strings possam ser reduzidas - este é 6.

Multiplique a 3ª linha por 2.

Agora multiplicamos a 1ª linha por 3 e subtraímos da 3ª.

Vamos retornar nossa 1ª linha.

Não esqueça que multiplicamos a 3ª linha por 2, então vamos dividir o determinante por 2.

Existe uma coluna. Agora, para obter zeros na segunda - vamos esquecer a 1ª linha - trabalhamos com a 2ª linha. Multiplique a segunda linha por -3 e adicione-a à terceira.

Não se esqueça de retornar a segunda linha.

Assim, construímos uma matriz triangular. O que nos resta? E resta multiplicar os números na diagonal principal, o que faremos.

Bem, resta lembrar que devemos dividir nosso determinante por 2 e mudar o sinal.

Regra de Sarrus (Regra dos triângulos)

A regra de Sarrus aplica-se apenas a matrizes quadradas de terceira ordem.

O determinante é calculado somando as duas primeiras colunas à direita da matriz, multiplicando os elementos das diagonais da matriz e somando-os e subtraindo a soma das diagonais opostas. Subtraia o roxo das diagonais laranja.

A regra dos triângulos é a mesma, apenas a imagem é diferente.

Teorema de Laplace ver decomposição de linha/coluna

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MATRIZES, DETERMINANTES, SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

DEFINIÇÃO DE UMA MATRIZ. TIPOS DE MATRIZTamanho da matriz m× n chama-se totalidade m n números dispostos em uma mesa retangular de m linhas e n colunas. Esta tabela é geralmente colocada entre parênteses. Por exemplo, a matriz pode se parecer com:

Por brevidade, a matriz pode ser denotada por uma única letra maiúscula, por exemplo, MAS ou NO.Em geral, uma matriz de tamanho m× n escreva assim

.

Os números que compõem uma matriz são chamados elementos da matriz. É conveniente fornecer elementos da matriz com dois índices uma eu j: O primeiro indica o número da linha e o segundo indica o número da coluna. Por exemplo, uma 23 - o elemento está na 2ª linha, 3ª coluna. Se o número de linhas na matriz for igual ao número de colunas, a matriz será chamada quadrado, e o número de suas linhas ou colunas é chamado em ordem matrizes. Nos exemplos acima, a segunda matriz é quadrada - sua ordem é 3 e a quarta matriz - sua ordem é 1. Chama-se uma matriz em que o número de linhas não é igual ao número de colunas retangular. Nos exemplos, esta é a primeira matriz e a terceira. Existem também matrizes que possuem apenas uma linha ou uma coluna. Uma matriz que possui apenas uma linha é chamada matriz - linha(ou string), e uma matriz que tem apenas uma coluna, matriz - coluna.Matriz, cujos elementos são iguais a zero, é chamada nulo e é denotado por (0), ou simplesmente 0. Por exemplo,

.

diagonal principal Uma matriz quadrada é a diagonal que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito.

Uma matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero é chamada triangular matriz.

.

Uma matriz quadrada na qual todos os elementos, exceto talvez aqueles na diagonal principal, são iguais a zero, é chamada diagonal matriz. Por exemplo, ou . Uma matriz diagonal na qual todos os elementos diagonais são iguais a um é chamada solteiro matriz e é denotado pela letra E. Por exemplo, a matriz identidade de 3ª ordem tem a forma .AÇÕES EM MATRIZIgualdade de matriz. Duas matrizes UMA e B são ditos iguais se eles têm o mesmo número de linhas e colunas e seus elementos correspondentes são iguais uma eu j = b eu j. Então se e , então A=B, E se uma 11 = b 11 , uma 12 = b 12 , uma 21 = b 21 e uma 22 = b 22 .transposição. Considere uma matriz arbitrária UMA a partir de m linhas e n colunas. Pode ser associado com a seguinte matriz B a partir de n linhas e m colunas, onde cada linha é uma coluna da matriz UMA com o mesmo número (portanto, cada coluna é uma linha da matriz UMA com o mesmo número). Então se , então .Esta matriz B chamado transposto matriz UMA, e a passagem de UMA para transposição B.Assim, a transposição é a inversão dos papéis das linhas e colunas da matriz. Matriz transposta para matriz UMA, geralmente denotado UMA T.Conexão entre matriz UMA e sua transposta pode ser escrita como . Por exemplo. Encontre a matriz transposta para a dada. Adição de matriz. Deixe matrizes UMA e B consistem no mesmo número de linhas e no mesmo número de colunas, ou seja, tenho mesmos tamanhos. Então para somar as matrizes UMA e B precisa de elementos de matriz UMA adicionar elementos de matriz B parados nos mesmos lugares. Assim, a soma de duas matrizes UMA e B chamada matriz C, que é determinado pela regra, por exemplo,

Exemplos. Encontre a soma das matrizes: É fácil verificar que a adição de matrizes obedece às seguintes leis: comutativa A+B=B+A e associativo ( A+B)+C=UMA+(B+C).Multiplicando uma matriz por um número. Para multiplicar uma matriz UMA por número k preciso de cada elemento da matriz UMA multiplique por esse número. Então o produto da matriz UMA por número k existe uma nova matriz, que é determinada pela regra ou .Para quaisquer números uma e b e matrizes UMA e B igualdades são cumpridas: Exemplos. . Matriz C não pode ser encontrado, porque matrizes UMA e B têm tamanhos diferentes. Multiplicação da matriz. Esta operação é realizada de acordo com uma lei peculiar. Em primeiro lugar, notamos que os tamanhos dos fatores da matriz devem ser consistentes. Você pode multiplicar apenas as matrizes cujo número de colunas da primeira matriz corresponde ao número de linhas da segunda matriz (ou seja, o comprimento da primeira linha é igual à altura da segunda coluna). trabalhar matrizes UMA não é uma matriz B chamada de nova matriz C=AB, cujos elementos são compostos da seguinte forma:

Assim, por exemplo, para obter o produto (ou seja, na matriz C) o elemento na 1ª linha e 3ª coluna c 13 , você precisa pegar a 1ª linha na 1ª matriz, a 3ª coluna na 2ª e, em seguida, multiplicar os elementos da linha pelos elementos da coluna correspondentes e adicionar os produtos resultantes. E outros elementos da matriz produto são obtidos usando um produto similar das linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz. No caso geral, se multiplicarmos a matriz A = (um eu j ) Tamanho m× n para matriz B = (b eu j ) Tamanho n× p, então obtemos a matriz C Tamanho m× p, cujos elementos são calculados da seguinte forma: elemento c eu jé obtido como resultado do produto de elementos euª linha da matriz UMA sobre os elementos relevantes j-ésima coluna da matriz B e a sua adição Desta regra segue-se que sempre se pode multiplicar duas matrizes quadradas da mesma ordem, como resultado obtemos uma matriz quadrada da mesma ordem. Em particular, uma matriz quadrada sempre pode ser multiplicada por ela mesma, ou seja, quadrado. Outro caso importante é a multiplicação de uma matriz-linha por uma matriz-coluna, e a largura da primeira deve ser igual à altura da segunda, como resultado obtemos uma matriz de primeira ordem (ou seja, um elemento ). Sério,

.

Exemplos. Encontrar elementos c 12 , c 23 e c 21 matrizes C.

Encontre o produto de matrizes.

.
Achar AB e VA. Achar AB e VA. , BA– não faz sentido. Assim, esses exemplos simples mostram que as matrizes, em geral, não comutam entre si, ou seja, A∙B ≠ B∙A . Portanto, ao se multiplicar matrizes, deve-se monitorar cuidadosamente a ordem dos fatores, verificando-se que a multiplicação de matrizes obedece às leis associativas e distributivas, ou seja. (AB)C=A(BC) e (A+B)C=AC+BC.Também é fácil verificar que ao multiplicar uma matriz quadrada UMA para a matriz identidade E da mesma ordem, obtemos novamente a matriz UMA, além disso AE=EA=A.Podemos observar o seguinte fato curioso. Como é sabido, o produto de 2 números diferentes de zero não é igual a 0. Para matrizes, este pode não ser o caso, ou seja, o produto de 2 matrizes diferentes de zero pode ser igual à matriz zero. Por exemplo, E se , então

.

O CONCEITO DE DETERMINADORES Seja dada uma matriz de segunda ordem - uma matriz quadrada composta por duas linhas e duas colunas. Determinante de segunda ordem correspondente a esta matriz é o número obtido da seguinte forma: uma 11 uma 22 - uma 12 uma 21 .O determinante é indicado pelo símbolo .Então, para encontrar o determinante de segunda ordem, você precisa subtrair o produto dos elementos ao longo da segunda diagonal do produto dos elementos da diagonal principal. Exemplos. Calcular determinantes de segunda ordem.

Da mesma forma, podemos considerar uma matriz de terceira ordem e o determinante correspondente. Determinante de terceira ordem, correspondente a uma dada matriz quadrada de terceira ordem, é um número denotado e obtido da seguinte forma:

.

Assim, esta fórmula dá a expansão do determinante de terceira ordem em termos dos elementos da primeira linha uma 11 , uma 12 , uma 13 e reduz o cálculo do determinante de terceira ordem ao cálculo dos determinantes de segunda ordem. Exemplos. Calcule o determinante de terceira ordem.
. (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0. (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0. (x-4)(x-1)=0. x 1 = 4, x 2 = 1. Da mesma forma, podemos introduzir os conceitos de determinantes da quarta, quinta, etc. ordens, diminuindo sua ordem por expansão sobre os elementos da 1ª linha, enquanto os sinais "+" e "-" se alternam para os termos. Assim, diferentemente da matriz, que é uma tabela de números, o determinante é um número que é de uma certa forma alinhada matriz.

PROPRIEDADES DOS DETERMINADORES

Provaé realizado por verificação, ou seja, comparando ambas as partes da igualdade escrita. Calcule os determinantes à esquerda e à direita:

Ao permutar 2 linhas ou colunas, o determinante mudará de sinal para o oposto, mantendo o valor absoluto, ou seja, por exemplo,

Provaé realizado de forma semelhante à prova da propriedade 1 comparando ambas as partes. Vamos realizá-lo para o determinante de segunda ordem.

Para um determinante de terceira ordem, verifique você mesmo. De fato, se reorganizarmos as 2ª e 3ª linhas aqui, então, pela propriedade 2, esse determinante deve mudar de sinal, mas o próprio determinante não muda neste caso, ou seja, obter | UMA| = –|UMA| ou | UMA| = 0. Prova realizado por verificação, bem como a propriedade 1. (Independente)

Se todos os elementos de qualquer linha ou coluna de um determinante são iguais a zero, então o próprio determinante é igual a zero. (Prova - verificação). Se todos os elementos de qualquer linha ou coluna do determinante forem apresentados como a soma de 2 termos, então o determinante pode ser representado como a soma de 2 determinantes de acordo com a fórmula, por exemplo,

.

Prova- verificação, semelhante à propriedade 1.

Se a qualquer linha (ou coluna) do determinante adicionarmos os elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), multiplicados pelo mesmo número, o determinante não mudará seu valor. Por exemplo,

. Vamos provar essa igualdade usando as propriedades anteriores do determinante.
Essas propriedades dos determinantes são frequentemente usadas no cálculo de determinantes e em vários problemas. ADIÇÕES ALGEBRAICAS E MENORES Vamos ter um determinante de terceira ordem: .Menor correspondente a este elemento uma eu j O determinante de terceira ordem é chamado de determinante de segunda ordem obtido a partir do dado, excluindo a linha e a coluna na interseção do elemento dado, ou seja, eu-ésima linha e j-ésima coluna. Menores correspondentes a um determinado elemento uma eu j nós denotaremos M eu j .Por exemplo, menor M 12 correspondente ao elemento uma 12 , haverá um determinante , que se obtém eliminando a 1ª linha e a 2ª coluna do determinante dado. Assim, a fórmula que determina o determinante de terceira ordem mostra que este determinante é igual à soma dos produtos dos elementos da 1ª linha e o correspondente menores; enquanto o menor correspondente ao elemento uma 12 , é tomado com o sinal “–”, ou seja, pode ser escrito que Da mesma forma, podemos introduzir definições de menores para determinantes de segunda ordem e ordens superiores.Vamos introduzir mais um conceito. Adição algébrica elemento uma eu j determinante é chamado de seu menor M eu j, multiplicado por (–1) i+j . Complemento de elemento algébrico uma eu j denotado UMA eu j.Da definição obtemos que a relação entre o complemento algébrico de um elemento e seu menor é expressa pela igualdade UMA eu j= (–1) i+j M eu j . Por exemplo, Exemplo. Dado um determinante. Achar UMA 13 , UMA 21 , UMA 32 .

É fácil ver que usando complementos algébricos de elementos, a fórmula (1) pode ser escrita como De acordo com a propriedade 2 do determinante, temos: Vamos expandir o determinante obtido pelos elementos da 1ª linha.

.

Daqui Porque os determinantes de segunda ordem na fórmula (2) são os menores dos elementos uma 21 , uma 22 , uma 23 . Assim, , ou seja. obtivemos a decomposição do determinante pelos elementos da linha 2. Da mesma forma, pode-se obter a decomposição do determinante pelos elementos da terceira linha. Usando a propriedade 1 dos determinantes (na transposição), podemos mostrar que expansões semelhantes também são válidas para expansões em elementos de coluna, portanto, o seguinte teorema é verdadeiro. Teorema (sobre a expansão do determinante em uma determinada linha ou coluna). O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de qualquer uma de suas linhas (ou colunas) e seus complementos algébricos.Todas as opções acima são verdadeiras para determinantes de qualquer ordem superior. Exemplos.

Calcule o determinante usando suas propriedades. Antes de expandir o determinante sobre os elementos de qualquer linha, reduzindo-o a determinantes de terceira ordem, nós o transformamos usando a propriedade 7, tornando todos os elementos em qualquer linha ou coluna, exceto um, iguais a zero. Nesse caso, é conveniente considerar a 4ª coluna ou a 4ª linha:

MATRIZ INVERSA

O conceito de matriz inversa é introduzido apenas para matrizes quadradas.Se um UMAé uma matriz quadrada, então marcha ré para isso, uma matriz é uma matriz denotada UMA -1 e satisfazendo a condição. (Esta definição é introduzida por analogia com a multiplicação de números) O seguinte teorema é verdadeiro: Teorema. Para uma matriz quadrada UMA tem uma inversa, é necessário e suficiente que seu determinante seja diferente de zero. Prova:

Precisar. Deixe para a matriz UMA existe uma matriz inversa UMA -1 . Vamos mostrar que | UMA| ≠ 0.

Em primeiro lugar, notamos que podemos provar a seguinte propriedade dos determinantes . Suponha que | UMA| = 0. Então . Mas do outro lado . A contradição resultante prova que | UMA| ≠ 0. Vamos mostrar que neste caso a matriz inversa é a matriz , Onde UMA eu j complemento algébrico de um elemento uma eu j. Vamos encontrar AB=C. Observe que todos os elementos diagonais da matriz C será igual a 1. De fato, por exemplo,

Da mesma forma, pelo teorema da expansão do determinante em termos de elementos de linha, pode-se provar que c 22 = c 33 = 1. Além disso, todos os elementos fora da diagonal da matriz C são iguais a zero. Por exemplo,
Consequentemente, AB=E. Da mesma forma, pode-se mostrar que BA=E. É por isso B=A -1 .Assim, o teorema contém uma maneira de encontrar a matriz inversa. Se as condições do teorema forem satisfeitas, a matriz inversa da matriz é encontrada da seguinte forma

,

Onde UMA eu j- adições algébricas de elementos uma eu j dada matriz UMA.Então, para encontrar a matriz inversa, você precisa: Da mesma forma para matrizes de segunda ordem, a seguinte matriz será inversa .Exemplos. |UMA| = 2. Encontre os complementos algébricos dos elementos da matriz UMA. Exame: . De forma similar A∙A -1 = E. . Vamos calcular | UMA| = 4. Então . .

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Sistema de m equações lineares com n incógnitas chamado de sistema da forma

Onde uma eu j e b eu (eu=1,…,m; b=1,…,n) são alguns números conhecidos, e x 1 ,…,x n- desconhecido. Na notação dos coeficientes uma eu j primeiro índice eu denota o número da equação, e o segundo jé o número da incógnita em que esse coeficiente se encontra. Os coeficientes para as incógnitas serão escritos na forma de uma matriz , que chamaremos matriz do sistema.Números do lado direito das equações b 1 ,…,b m chamado membros livres. Agregar n números c 1 ,…,c n chamado decisão deste sistema, se cada equação do sistema se torna uma igualdade após a substituição de números nela c 1 ,…,c n em vez das incógnitas correspondentes x 1 ,…,x n.Nossa tarefa será encontrar soluções para o sistema. Neste caso, três situações podem surgir: Um sistema de equações lineares que tem pelo menos uma solução é chamado articulação. Caso contrário, ou seja se o sistema não tem soluções, então ele é chamado incompatível.Vamos considerar maneiras de encontrar soluções para o sistema. MÉTODO MATRIZ PARA RESOLVER SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES As matrizes permitem escrever brevemente um sistema de equações lineares. Seja um sistema de 3 equações com três incógnitas:

Considere a matriz do sistema e colunas de matriz de membros desconhecidos e livres Vamos encontrar o produto

Essa. como resultado do produto, obtemos os lados esquerdos das equações deste sistema. Então, usando a definição de igualdade de matrizes, esse sistema pode ser escrito como ou mais curto UMA∙X=B.Aqui matrizes UMA e B são conhecidos, e a matriz X desconhecido. Ela precisa ser encontrada, porque. seus elementos são a solução deste sistema. Essa equação é chamada equação matricial.Seja o determinante da matriz diferente de zero | UMA| ≠ 0. Então a equação da matriz é resolvida como segue. Multiplique ambos os lados da equação à esquerda pela matriz UMA -1 , o inverso da matriz UMA: . Porque o UMA -1 A=E e E∙X=X, então obtemos a solução da equação matricial na forma X=A -1 B .Observe que, como a matriz inversa pode ser encontrada apenas para matrizes quadradas, o método de matrizes só pode resolver os sistemas em que o número de equações é o mesmo que o número de incógnitas. No entanto, a notação matricial do sistema também é possível no caso em que o número de equações não é igual ao número de incógnitas, então a matriz UMA não é quadrado e, portanto, é impossível encontrar uma solução para o sistema na forma X=A -1 B.Exemplos. Resolver sistemas de equações. Vamos encontrar a matriz inversa da matriz UMA. , Nesse caminho, x = 3, y = – 1.
Então, X 1 =4,X 2 =3,X 3 =5. Expressamos a matriz necessária X da equação dada. Vamos encontrar a matriz MAS -1 . Exame: Da equação obtemos . Consequentemente, REGRA DE CRAME Considere um sistema de 3 equações lineares com três incógnitas:

Determinante de terceira ordem correspondente à matriz do sistema, ou seja, composto de coeficientes em incógnitas,

chamado determinante do sistema.Componha mais três determinantes da seguinte forma: substitua no determinante D sucessivamente 1, 2 e 3 colunas por uma coluna de membros livres

Então podemos provar o seguinte resultado. Teorema (regra de Cramer). Se o determinante do sistema é Δ ≠ 0, então o sistema em consideração tem uma e apenas uma solução, e

Prova. Então, considere um sistema de 3 equações com três incógnitas. Multiplique a 1ª equação do sistema pelo complemento algébrico UMA 11 elemento uma 11 , 2ª equação - em UMA 21 e 3º - em UMA 31 :

Vamos adicionar essas equações:

Considere cada um dos colchetes e o lado direito desta equação. Pelo teorema da expansão do determinante em função dos elementos da 1ª coluna

Da mesma forma, podemos mostrar que e . Finalmente, é fácil ver que Assim, obtemos a igualdade: .Conseqüentemente, .As igualdades e são derivadas de forma semelhante, das quais se segue o enunciado do teorema. Assim, notamos que se o determinante do sistema Δ ≠ 0, então o sistema tem uma única solução e vice-versa. Se o determinante do sistema for igual a zero, então o sistema tem um conjunto infinito de soluções ou não tem soluções, ou seja, incompatível. Exemplos. Resolver um sistema de equações
Então, X=1, no=2, z=3. O sistema tem uma solução única se Δ ≠ 0. . É por isso . MÉTODO GAUSS Os métodos considerados anteriormente podem ser usados ​​para resolver apenas aqueles sistemas em que o número de equações coincide com o número de incógnitas e o determinante do sistema deve ser diferente de zero. O método gaussiano é mais universal e adequado para sistemas com qualquer número de equações. Consiste na eliminação sucessiva de incógnitas das equações do sistema. Considere novamente um sistema de três equações com três incógnitas:

.

FILIAL KOSTROMA DA UNIVERSIDADE MILITAR DE PROTEÇÃO RCHB

Departamento de "Automação de comando e controle"

Somente para professores

"Eu aprovo"

Chefe de Departamento nº 9

Coronel YAKOVLEV A.B.

"____" ______________ 2004

Professor Associado A.I. Smirnova

"DETERMINADORES.

SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES"

PALESTRA № 2 / 1

Discutido na reunião do departamento nº 9

"____" ___________ 2004

Protocolo nº ___________

Kostroma, 2004.

Introdução

1. Determinantes de segunda e terceira ordem.

2. Propriedades dos determinantes. Teorema da decomposição.

3. Teorema de Cramer.

Conclusão

Literatura

1. V.E. Schneider et al., A Short Course in Higher Mathematics, Volume I, cap. 2, item 1.

2. V.S. Shchipachev, Matemática Superior, cap.10, p.2.

INTRODUÇÃO

A palestra trata dos determinantes de segunda e terceira ordens, suas propriedades. Assim como o teorema de Cramer, que permite resolver sistemas de equações lineares usando determinantes. Determinantes também são usados ​​posteriormente no tópico "Álgebra Vetorial" ao calcular o produto vetorial de vetores.

1ª questão de estudo QUALIFICADORES DO SEGUNDO E TERCEIRO

ORDEM

Considere uma tabela de quatro números da forma

Os números na tabela são indicados por uma letra com dois índices. O primeiro índice indica o número da linha, o segundo índice indica o número da coluna.

DEFINIÇÃO 1. Determinante de segunda ordem chamado expressão Gentil :

(1)

Números uma 11, …, uma 22 são chamados os elementos do determinante.

Diagonal formada por elementos uma 11 ; uma 22 é chamado de principal, e a diagonal formada pelos elementos uma 12 ; uma 21 - ao lado.

Assim, o determinante de segunda ordem é igual à diferença entre os produtos dos elementos das diagonais principal e secundária.

Observe que a resposta é um número.

EXEMPLOS. Calcular:

Considere agora uma tabela de nove números escritos em três linhas e três colunas:

DEFINIÇÃO 2. Determinante de terceira ordem é chamada de expressão da forma :

Elementos uma 11; uma 22 ; uma 33 - formam a diagonal principal.

Números uma 13; uma 22 ; uma 31 - forme uma diagonal lateral.

Vamos descrever, esquematicamente, como os termos com mais e menos são formados:

" + " " – "

Mais inclui: o produto dos elementos na diagonal principal, os outros dois termos são o produto dos elementos localizados nos vértices de triângulos com bases paralelas à diagonal principal.

Os termos com menos são formados da mesma maneira em relação à diagonal secundária.

Esta regra para calcular o determinante de terceira ordem é chamada

certo

EXEMPLOS. Calcule pela regra dos triângulos:

COMENTE. Determinantes também são chamados de determinantes.

2ª questão de estudo PROPRIEDADES DOS DETERMINADORES.

TEOREMA DA EXPANSÃO

Propriedade 1. O valor do determinante não mudará se suas linhas forem trocadas com as colunas correspondentes.

.

Expandindo ambos os determinantes, estamos convencidos da validade da igualdade.

A propriedade 1 define a igualdade de linhas e colunas do determinante. Portanto, todas as outras propriedades do determinante serão formuladas para linhas e colunas.

Propriedade 2. Quando duas linhas (ou colunas) são trocadas, o determinante muda de sinal para o oposto, preservando o valor absoluto .

.

Propriedade 3. Multiplicador comum de elementos de linha (ou coluna)pode ser retirado do sinal do determinante.

.

Propriedade 4. Se o determinante tem duas linhas (ou colunas) idênticas, então é igual a zero.

Esta propriedade pode ser comprovada por verificação direta, ou a propriedade 2 pode ser usada.

Denote o determinante por D. Quando duas primeiras e segundas linhas idênticas são trocadas, ele não mudará e, pela segunda propriedade, deve mudar de sinal, ou seja,

D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Propriedade 5. Se todos os elementos de alguma string (ou coluna)são zero, então o determinante é zero.

Esta propriedade pode ser considerada como um caso especial da propriedade 3 com

Propriedade 6. Se os elementos de duas linhas (ou colunas)determinante são proporcionais, então o determinante é zero.

.

Pode ser provado por verificação direta ou usando as propriedades 3 e 4.

Propriedade 7. O valor do determinante não muda se os elementos de qualquer linha (ou coluna) forem somados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), multiplicados pelo mesmo número.

.

Isso é comprovado por verificação direta.

O uso dessas propriedades pode, em alguns casos, facilitar o processo de cálculo de determinantes, principalmente de terceira ordem.

Para o que segue, precisamos dos conceitos de complemento menor e algébrico. Considere esses conceitos para definir a terceira ordem.

DEFINIÇÃO 3. Menor de um determinado elemento de um determinante de terceira ordem é chamado de determinante de segunda ordem obtido a partir de um determinado, excluindo a linha e a coluna na interseção do elemento dado.

Elemento menor uma eu j denotado M eu j. Então para o elemento uma 11 menores

É obtido excluindo a primeira linha e a primeira coluna no determinante de terceira ordem.

DEFINIÇÃO 4. Complemento algébrico do elemento determinante chame de menor multiplicado por (-1)k , Onde k - a soma dos números de linha e coluna na interseção dos quais o elemento fornecido está localizado.

Adição de elemento algébrico uma eu j denotado MAS eu j .

Nesse caminho, MAS eu j =

.

Vamos escrever os complementos algébricos para os elementos uma 11 e uma 12.

. .

É útil lembrar a regra: o complemento algébrico de um elemento de um determinante é igual ao seu menor com sinal um mais, se a soma dos números de linha e coluna em que o elemento está localizado, até, e com sinal menos se esta quantidade ímpar .

Resposta: O método de Cramer é baseado no uso de determinantes na resolução de sistemas de equações lineares. Isso acelera muito o processo de solução.

Definição. O determinante, composto pelos coeficientes das incógnitas, é chamado de determinante do sistema e é denotado por (delta).

Determinantes

são obtidos substituindo os coeficientes nas incógnitas correspondentes por termos livres:

;

.

Fórmulas de Cramer para encontrar incógnitas:

.

Encontrar os valores e só é possível se

Esta conclusão decorre do seguinte teorema.

Teorema de Cramer. Se o determinante do sistema for diferente de zero, então o sistema de equações lineares tem uma única solução, e a incógnita é igual à razão dos determinantes. O denominador contém o determinante do sistema e o numerador contém o determinante obtido do determinante do sistema substituindo os coeficientes pelo desconhecido por termos livres. Este teorema vale para um sistema de equações lineares de qualquer ordem.

Exemplo 1. Resolva um sistema de equações lineares:

Pelo teorema de Cramer, temos:

Então, a solução do sistema (2):
9.operações em conjuntos. Diagramas de Viena.

Os diagramas de Euler-Venn são representações geométricas de conjuntos. A construção do diagrama consiste na imagem de um grande retângulo representando o conjunto universal U, e dentro dele - círculos (ou alguma outra figura fechada) representando os conjuntos. As figuras devem se cruzar no caso mais geral exigido no problema e devem ser rotuladas de acordo. Pontos situados dentro de diferentes áreas do diagrama podem ser considerados como elementos dos conjuntos correspondentes. Com o diagrama construído, é possível sombrear certas áreas para indicar conjuntos recém-formados.

As operações de conjunto são consideradas para obter novos conjuntos de conjuntos existentes.

Definição. A união dos conjuntos A e B é um conjunto constituído por todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A, B (Fig. 1):

Definição. A intersecção dos conjuntos A e B é um conjunto constituído por todos aqueles e apenas aqueles elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B (Fig. 2):

Definição. A diferença dos conjuntos A e B é o conjunto de todos aqueles e somente aqueles elementos de A que não estão contidos em B (Fig. 3):

Definição. A diferença simétrica dos conjuntos A e B é o conjunto de elementos desses conjuntos que pertencem apenas ao conjunto A ou apenas ao conjunto B (Fig. 4):

11. display (função), domínio de definição, imagens de conjuntos durante a exibição, conjunto de valores de função e seu gráfico.

Resposta: Um mapeamento do conjunto E para o conjunto F, ou uma função definida em E com valores em F, é uma regra, ou lei f, que atribui um determinado elemento a cada elemento.

O elemento é chamado de elemento independente, ou argumento da função f, o elemento é chamado de valor da função f, ou imagem; o elemento é chamado de pré-imagem do elemento.

O mapeamento (função) é normalmente denotado pela letra f ou pelo símbolo , indicando que f mapeia o conjunto E para F. A notação também é usada, indicando que o elemento x corresponde ao elemento f(x). Às vezes é conveniente definir uma função por meio da igualdade, que contém a lei da correspondência. Por exemplo, você pode dizer que "a função f é definida pela igualdade". Se "y" é o nome geral dos elementos do conjunto F, ou seja, F = (y), então o mapeamento é escrito como uma igualdade y = f(x) e dizemos que esse mapeamento é dado explicitamente.

2. Imagem e imagem inversa de um conjunto sob um determinado mapeamento

Seja dado um mapeamento e um conjunto.

O conjunto de elementos de F, cada um dos quais é a imagem de pelo menos um elemento de D sob o mapeamento f, é chamado de imagem do conjunto D e é denotado por f(D).

Obviamente, .

Agora, seja dado o conjunto.

O conjunto de elementos tal que é chamado de imagem inversa do conjunto Y sob o mapeamento f e é denotado por f -1 (Y).

Se então . Se para cada conjunto f -1 (y) consiste em no máximo um elemento , então f é chamado de mapeamento um para um de E para F. No entanto, pode-se definir um mapeamento um para um f de um conjunto E a F

A exibição é chamada:

Injetiva (ou injeção, ou mapeamento um-para-um do conjunto E em F), se , ou se a equação f(x) = y tem no máximo uma solução;

Sobrejetiva (ou uma sobrejeção, ou um mapa de um conjunto E em F) se f(E) = F e se a equação f(x) = y tem pelo menos uma solução;

Uma bijetiva (ou uma bijeção, ou um mapeamento um-para-um de um conjunto E em F) se for injetiva e sobrejetiva, ou se a equação f(x) = y tiver uma e apenas uma solução.

3. Superposição de mapeamentos. Mapeamentos inversos, paramétricos e implícitos

1) Seja e . Como , o mapeamento g atribui um determinado elemento a cada elemento.

Assim, por meio da regra, a cada um é atribuído um elemento

Assim, define-se um novo mapeamento (ou uma nova função), que chamaremos de composição de mapeamentos, ou superposição de mapeamentos, ou mapeamento complexo.

2) Seja um mapeamento bijetivo e F = (y). Como f é bijetiva, cada uma corresponde a uma imagem unitária x, que denotamos por f -1 (y), e tal que f(x) = y. Assim, fica definido o mapeamento, que é chamado de inversa do mapeamento f, ou função inversa da função f.

Obviamente, o mapeamento f é inverso ao mapeamento f -1 . Portanto, os mapeamentos f e f -1 são chamados mutuamente inversos. Para eles, as relações

e pelo menos um desses mapeamentos, por exemplo, é bijetivo. Então há um mapeamento inverso e, portanto, .

Diz-se que um mapeamento definido dessa maneira é dado parametricamente com a ajuda de mapeamentos; de onde a variável é chamada de parâmetro.

4) Deixe o mapeamento ser definido no conjunto, onde o conjunto contém um elemento zero. Suponha que existam conjuntos tais que para cada equação fixa tenha uma única solução. Então, no conjunto E, pode-se definir um mapeamento que atribui a cada um o valor que, para o x especificado, é uma solução da equação.

Sobre o mapeamento assim definido

dizem que é dado implicitamente por meio da equação.

5) O mapeamento é chamado de extensão do mapeamento , e g é uma contração do mapeamento f se e .

A restrição de um mapeamento para um conjunto às vezes é indicada pelo símbolo .

6) Um gráfico de exibição é um conjunto

Está claro que .

12. funções monotônicas. Função inversa, teorema de existência. Funções y=arcsinx y=arcos x x propriedades e gráficos.

Resposta: Uma função monotônica é uma função cujo incremento não muda de sinal, ou seja, é sempre não negativo ou sempre não positivo. Se, além disso, o incremento não for igual a zero, a função é chamada estritamente monotônica.

Seja uma função f(x) definida no intervalo , cujos valores pertencem a algum segmento . Se um

então eles dizem que no segmento a função inversa da função f(x) é definida e denotada como segue: x=f (-1) (y).

Preste atenção na diferença entre esta definição e a definição do segmento que está sendo preenchido. por toda parte. Na definição de f (-1) (…) há um quantificador, ou seja, o valor de x, que garante a igualdade y=f(x), deve ser único, enquanto na definição do segmento a ser preenchido o quantificador é sólido, o que significa que pode haver vários valores de x que satisfaçam a igualdade y=f(x).

Normalmente, falando da função inversa, substitua x por y e y por x (x "y) e escreva y \u003d f (-1) (x). Obviamente, a função original f(x) e a função inversa f (-1) (x) satisfazem a relação

f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.

Os gráficos das funções original e inversa são obtidos um do outro por espelhamento em relação à bissetriz do primeiro quadrante.

Teorema. Seja a função f(x) definida, contínua e estritamente monotonicamente crescente (decrescente) no intervalo . Então a função inversa f (-1) (x) é definida no intervalo, que também é contínuo e estritamente crescente (decrescente) monotonicamente.

Prova.

Vamos provar o teorema para o caso em que f(x) é estritamente crescente monotonicamente.

1. Existência de uma função inversa.

Como, pela hipótese do teorema, f(x) é contínua, então, de acordo com o teorema anterior, o segmento está completamente preenchido. Significa que.

Vamos provar que x é único. De fato, se tomarmos x'>x, então será f(x')>f(x)=y e, portanto, f(x')>y. Se você pegar x''

2. Monotonicidade da função inversa.

Vamos fazer a substituição usual x "y e escrever y = f (-1) (x). Isso significa que x=f(y).

Seja x 1 > x 2 . Então:

y 1 \u003d f (-1) (x 1); x 1 = f(y 1)

y 2 \u003d f (-1) (x 2); x 2 \u003d f (y 2)

Qual é a relação entre y 1 e y 2 ? Vamos verificar as opções.

a) e 1 x2.

b) y 1 \u003d y 2? Mas então f(y 1)=f(y 2) e x 1 =x 2 , e tivemos x 1 >x 2 .

c) A única opção que resta é y 1 >y 2 , ou seja. Mas então f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), e isso significa que f (-1) (...) é estritamente crescente monotonicamente.

3. Continuidade da função inversa.

Porque os valores da função inversa preenchem completamente o segmento, então, de acordo com o teorema anterior, f(-1) (…) é contínua.<

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);">

y = arco seno x	y = arcos x
função inversa da função y = sin x, - / 2 x / 2	função inversa da função y = cos x, 0 x

<="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y = arctan x	y = arcctg x
função inversa da função y = tg x, - / 2< x < / 2	função inversa da função y = ctg x, 0< x <

13.Composição de funções. funções elementares. Funções y=arctg x , y = arcctg x, suas propriedades e gráficos.

Resposta: Em matemática, a composição de funções (superposição de funções) é a aplicação de uma função ao resultado de outra.

A composição das funções G e F é geralmente denotada por G∘F, o que significa a aplicação da função G ao resultado da função F.

Sejam F:X→Y e G:F(X)⊂Y→Z duas funções. Então sua composição é a função G∘F:X→Z definida pela igualdade:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X.

Funções elementares - funções que podem ser obtidas usando um número finito de operações aritméticas e composições das seguintes funções elementares básicas:

• algébrico:
• potência;
• racional.
• transcendente:
• exponencial e logarítmica;
• trigonométricas e trigonométricas inversas.

Cada função elementar pode ser definida por uma fórmula, ou seja, um conjunto de um número finito de símbolos correspondentes às operações utilizadas. Todas as funções elementares são contínuas em seu domínio de definição.

Às vezes, as funções elementares básicas também incluem funções hiperbólicas e hiperbólicas inversas, embora possam ser expressas em termos das funções elementares básicas listadas acima.

<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">

y > 0 para x R EXTREMA: Não Não LACUNAS DE MONOTONIDADE: aumenta em x R diminui em x R