Considere uma série de números naturais: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Se substituirmos todos os números naturais n nesta série algum número uma n, seguindo alguma lei, obtemos uma nova série de números:

uma 1 , uma 2 , uma 3, , uma n –1 , uma n , ,

abreviado e chamado sequência numérica. Valor uma né chamado de membro comum da sequência numérica. Normalmente a sequência numérica é dada por alguma fórmula uma n = f(n) que permite encontrar qualquer membro da sequência pelo seu número n; esta fórmula é chamada de fórmula do termo geral. Observe que nem sempre é possível especificar uma sequência numérica por uma fórmula de termo geral; às vezes, uma sequência é especificada descrevendo seus membros.

Por definição, uma sequência sempre contém um número infinito de elementos: quaisquer dois elementos diferentes dela diferem pelo menos em seus números, dos quais existem infinitos.

A sequência numérica é um caso especial de uma função. Uma sequência é uma função definida no conjunto dos números naturais e tomando valores no conjunto dos números reais, ou seja, uma função da forma f : N  R.

Subsequência
chamado aumentando(minguante), se para qualquer n  N
Essas sequências são chamadas estritamente monótono.

Às vezes é conveniente usar como números não todos os números naturais, mas apenas alguns deles (por exemplo, números naturais começando de algum número natural n 0). Para a numeração, também é possível usar não apenas números naturais, mas também outros números, por exemplo, n= 0, 1, 2,  (aqui, zero é adicionado ao conjunto dos números naturais como outro número). Nesses casos, especificando a sequência, indique quais valores os números assumem. n.

Se em alguma seqüência para qualquer n  N
então a sequência é chamada não decrescente(não crescente). Essas sequências são chamadas monótono.

Exemplo 1 . A sequência numérica 1, 2, 3, 4, 5, ... é uma série de números naturais e tem um termo comum uma n = n.

Exemplo 2 . A sequência numérica 2, 4, 6, 8, 10, ... é uma série de números pares e tem um termo comum uma n = 2n.

Exemplo 3 . 1,4, 1,41, 1,414, 1,4142, … é uma sequência numérica de valores aproximados com precisão crescente.

No último exemplo, é impossível dar uma fórmula para o termo comum da sequência.

Exemplo 4 . Escreva os 5 primeiros termos de uma sequência numérica pelo seu termo comum
. Calcular uma 1 é necessário na fórmula para o termo comum uma n ao invés de n substitua 1 para calcular uma 2 − 2, etc. Então temos:

Teste 6 . O membro comum da sequência 1, 2, 6, 24, 120,  é:

1)

2)

3)

4)

Teste 7 .
é:

1)

2)

3)

4)

Teste 8 . Membro Comum da Sequência
é:

1)

2)

3)

4)

Limite de sequência numérica

Considere uma sequência numérica cujo termo comum se aproxima de um certo número MAS com número de série crescente n. Nesse caso, diz-se que a sequência numérica tem um limite. Este conceito tem uma definição mais rigorosa.

Número MASé chamado de limite da sequência numérica
:

(1)

se para qualquer  > 0 existe tal número n 0 = n 0 (), dependendo de , que
no n > n 0 .

Essa definição significa que MAS existe um limite de uma sequência numérica se seu termo comum se aproxima indefinidamente MAS com o aumento n. Geometricamente, isso significa que para qualquer  > 0 pode-se encontrar tal número n 0, que, a partir de n > n 0 , todos os membros da sequência estão localizados dentro do intervalo ( MAS – , MAS+ ). Uma sequência que tem um limite é chamada convergente; por outro lado - divergente.

Uma sequência numérica pode ter apenas um limite (finito ou infinito) de um determinado sinal.

Exemplo 5 . Sequência harmônica tem o número 0 como limite. De fato, para qualquer intervalo (–; +) como um número N 0 pode ser qualquer número inteiro maior que . Então para todos n > n 0 > temos

Exemplo 6 . A sequência 2, 5, 2, 5,  é divergente. De fato, nenhum intervalo de comprimento menor que, por exemplo, um, pode conter todos os membros da sequência, a partir de algum número.

A sequência é chamada limitado se existe esse número M, o que
para todos n. Toda sequência convergente é limitada. Toda sequência monótona e limitada tem um limite. Toda sequência convergente tem um limite único.

Exemplo 7 . Subsequência
é crescente e limitado. Ela tem um limite
=e.

Número e chamado Número de Euler e é aproximadamente igual a 2,718 28.

Teste 9 . A sequência 1, 4, 9, 16,  é:

1) convergente;

2) divergente;

3) limitado;

Teste 10 . Subsequência
é:

1) convergente;

2) divergente;

3) limitado;

4) progressão aritmética;

5) progressão geométrica.

Teste 11 . Subsequência não é:

1) convergente;

2) divergente;

3) limitado;

4) harmônico.

Teste 12 . Limite da sequência dada pelo termo comum
igual.

A sequência numérica e seu limite são um dos problemas mais importantes da matemática ao longo da história da existência desta ciência. Conhecimentos constantemente atualizados, formulados novos teoremas e provas - tudo isso nos permite considerar este conceito a partir de novas posições e sob diferentes

Uma sequência numérica, de acordo com uma das definições mais comuns, é uma função matemática, cuja base é o conjunto de números naturais dispostos de acordo com um padrão ou outro.

Existem várias opções para criar sequências numéricas.

Em primeiro lugar, esta função pode ser especificada da maneira chamada "explícita", quando existe uma certa fórmula pela qual cada um de seus membros pode ser determinado simplesmente substituindo o número ordinal na sequência dada.

O segundo método é chamado de "recursivo". Sua essência reside no fato de que os primeiros membros da sequência numérica são fornecidos, bem como uma fórmula recursiva especial, com a ajuda da qual, conhecendo o membro anterior, você pode encontrar o próximo.

Finalmente, a maneira mais geral de especificar sequências é a assim chamada quando, sem muita dificuldade, não se pode apenas identificar um ou outro termo sob um determinado número de série, mas também, conhecendo vários termos consecutivos, chegar à fórmula geral desta função.

A sequência numérica pode ser crescente ou decrescente. No primeiro caso, cada termo subsequente é menor que o anterior e, no segundo, ao contrário, é maior.

Considerando este tópico, é impossível não tocar na questão dos limites das sequências. O limite de uma sequência é tal número quando para qualquer um, inclusive para um valor infinitamente pequeno, existe um número ordinal após o qual o desvio de membros sucessivos da sequência de um dado ponto em forma numérica torna-se menor que o valor especificado durante a sequência. formação desta função.

O conceito de limite de uma sequência numérica é usado ativamente ao realizar certos cálculos integrais e diferenciais.

As sequências matemáticas têm todo um conjunto de propriedades bastante interessantes.

Em primeiro lugar, qualquer sequência numérica é um exemplo de função matemática, portanto, as propriedades que são características das funções podem ser aplicadas com segurança às sequências. O exemplo mais marcante de tais propriedades é a disposição sobre séries aritméticas crescentes e decrescentes, que são unidas por um conceito comum - sequências monotônicas.

Em segundo lugar, há um grupo bastante grande de sequências que não podem ser classificadas como crescentes ou decrescentes - são sequências periódicas. Em matemática, são consideradas aquelas funções nas quais há um chamado período de duração, ou seja, a partir de um determinado momento (n), a seguinte igualdade começa a operar y n \u003d y n + T, onde T será o muito longo do período.

Berço. Fraldas. Choro.
Palavra. Etapa. Resfriado. Médico.
Correndo em volta. Brinquedos. Irmão.
Quintal. Balanço. Jardim da infância.
Escola. Deu. Troika. Cinco.
Bola. Etapa. Gesso. Cama.
Lutar. Sangue. Nariz quebrado.
Quintal. Amigos. Partido. Força.
Instituto. Primavera. arbustos.
Verão. Sessão. Caudas.
Cerveja. Vodka. Gim gelado.
Café. Sessão. Diploma.
Romantismo. Ame. Estrela.
Braços. Lábios. Noite sem dormir.
Casamento. Sogra. Sogro. Armadilha.
Argumento. Clube. Amigos. Xícara.
Casa. Trabalho. Casa. Uma família.
Sol. Verão. Neve. Inverno.
Filho. Fraldas. Berço.
Estresse. Amante. Cama.
O negócio. Dinheiro. Plano. Avral.
Televisão. Série de TV.
Casa de campo. Cerejas. Abobrinha.
Cabelo grisalho. Enxaqueca. Óculos.
Neto. Fraldas. Berço.
Estresse. Pressão. Cama.
Coração. Rins. Ossos. Médico.
Discursos. Caixão. Até a próxima. Choro.

sequência de vida

SEQUÊNCIA - (sequência), números ou elementos dispostos de forma organizada. As sequências podem ser finitas (com um número limitado de elementos) ou infinitas, como uma sequência completa de números naturais 1, 2, 3, 4 ….… …

Dicionário enciclopédico científico e técnico

Definição:Sequência numéricaé chamado numérico, dado no conjunto N de números naturais. Para sequências numéricas, geralmente em vez de f(n) Escreva um e denote a sequência assim: um ). Números uma 1 , uma 2 , …, um,… chamado elementos de sequência.

Normalmente, a sequência numérica é determinada pela configuração n-th elemento ou uma fórmula recursiva, segundo a qual cada próximo elemento é determinado através do anterior. Uma maneira descritiva de especificar uma sequência numérica também é possível. Por exemplo:

• Todos os membros da sequência são "1". Isso significa que estamos falando de uma sequência estacionária 1, 1, 1, …, 1, ….

• A sequência consiste em todos os números primos em ordem crescente. Assim, a sequência 2, 3, 5, 7, 11, … é dada. Com essa maneira de especificar a sequência neste exemplo, é difícil responder a que, digamos, o milésimo elemento da sequência é igual.

Com o método recorrente, é indicada uma fórmula que permite expressar nº membro da sequência através dos anteriores e especifique 1–2 membros iniciais da sequência.

• y 1 = 3; sn =y n-1 + 4 , E se n = 2, 3, 4,…

Aqui y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

• y 1 = 1; y 2 = 1; s n =y n-2 + y n-1 , E se n = 3, 4,…

Aqui: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Sequência expressa por fórmula recursiva sn =y n-1 + 4 também pode ser dado analiticamente: s n= y 1 +4*(n-1)

Verifique: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

Aqui não precisamos conhecer o membro anterior da sequência numérica para calcular o enésimo elemento, basta definir seu número e o valor do primeiro elemento.

Como podemos ver, esta forma de especificar uma sequência numérica é muito semelhante à forma analítica de especificar funções. Na verdade, uma sequência numérica é um tipo especial de função numérica, portanto, várias propriedades de funções também podem ser consideradas para sequências.

As sequências numéricas são um tópico muito interessante e informativo. Esse tópico é encontrado em tarefas de maior complexidade, que são oferecidas aos alunos pelos autores de materiais didáticos, nas tarefas de olimpíadas de matemática, exames de admissão em instituições de ensino superior e assim por diante. E se você quiser saber mais sobre os diferentes tipos de sequências numéricas, clique aqui. Bem, se tudo for claro e simples para você, mas tente responder.

Eva Hovhannisyan

Sequências numéricas. Abstrato.

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Instituição de ensino orçamentária municipal
"Escola secundária nº 31"
a cidade de Barnaul

Sequências numéricas

abstrato

Trabalho concluído:
Oganesyan Eva,
Aluno da 8ª série MBOU "Escola Secundária No. 31"
Supervisor:
Poleva Irina Alexandrovna,
professor de matemática MBOU "Escola Secundária No. 31"

Barnaul - 2014

Introdução…………………………………………………………………………2

Sequências numéricas.……………………………………………….3

Maneiras de definir sequências numéricas……………………………4

Desenvolvimento da doutrina das progressões………………………………………………..5

Propriedades de sequências numéricas……………………………………7

Progressão aritmética……………………………..................................... .............. 9

Progressão geométrica……………………………………………….10

Conclusão ……………………………………………………………… 11

Referências…………………………………………………………11

Introdução

Objetivo deste resumo– estudo dos conceitos básicos relacionados com as sequências numéricas, sua aplicação na prática.
Tarefas:

1. Estudar os aspectos históricos do desenvolvimento da doutrina das progressões;
2. Considerar formas de configuração e propriedades de sequências numéricas;
3. Aprenda sobre progressões aritméticas e geométricas.

Atualmente, as sequências numéricas são consideradas como casos especiais de uma função. A sequência numérica é uma função do argumento natural. O conceito de sequência numérica surgiu e se desenvolveu muito antes da criação da teoria da função. Aqui estão exemplos de sequências numéricas infinitas conhecidas na antiguidade:

1, 2, 3, 4, 5, … - sequência de números naturais.

2, 4, 6, 8, 10,… - uma sequência de números pares.

1, 3, 5, 7, 9,… - uma sequência de números ímpares.

1, 4, 9, 16, 25,… - sequência de quadrados de números naturais.

2, 3, 5, 7, 11… - uma sequência de números primos.

1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - sequência de recíprocos de números naturais.

O número de membros de cada uma dessas séries é infinito; as primeiras cinco sequências são monotonicamente crescentes, a última é monotonicamente decrescente. Todas as sequências listadas, exceto a 5ª, são dadas devido ao fato de que para cada uma delas é conhecido o termo comum, ou seja, a regra para se obter um termo com qualquer número. Para uma sequência de números primos, um termo comum é desconhecido, mas já no século III. BC e. o cientista alexandrino Eratóstenes indicou um método (embora muito complicado) para obter seu n-ésimo membro. Este método foi chamado de "peneira de Eratóstenes".

Progressões - tipos particulares de sequências numéricas - são encontradas nos monumentos do II milênio aC. e.

Sequências numéricas

Existem várias definições da sequência numérica.

Sequência numérica – é uma sequência de elementos de um espaço numérico (Wikipedia).

Sequência numérica – este é um conjunto de números numerados.

Uma função da forma y = f (x), xé chamada de função de argumento natural ousequência numéricae denotam y = f(n) ou

, , , …, A notação ().

Vamos escrever números pares positivos em ordem crescente. O primeiro desses números é 2, o segundo é 4, o terceiro é 6, o quarto é 8 e assim por diante, então obtemos a sequência: 2; quatro; 6; oito; dez….

Obviamente, o quinto lugar nesta sequência será o número 10, o décimo - 20, o centésimo - 200. Em geral, para qualquer número natural n, você pode especificar o número par positivo correspondente; é igual a 2n.

Vejamos outra sequência. Vamos escrever em ordem decrescente frações próprias com um numerador igual a 1:

; ; ; ; ; … .

Para qualquer número natural n, podemos especificar a fração correspondente; é igual a. Então, em sexto lugar deve estar uma fração, no trigésimo - , no milésimo - uma fração .

Os números que formam uma sequência são chamados de primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc., respectivamente. membros da sequência. Os membros de uma sequência geralmente são indicados por letras com subscritos indicando o número ordinal do membro. Por exemplo:, , etc. em geral, o termo da sequência com o número n, ou, como dizem, o enésimo membro da sequência, é denotado. A sequência em si é denotada por (). Uma sequência pode conter um número infinito de membros e um número finito. Neste caso, é chamado de final. Por exemplo: uma sequência de números de dois dígitos.10; onze; 12; 13; …; 98; 99

Métodos para especificar sequências numéricas

As sequências podem ser especificadas de várias maneiras.

Normalmente a sequência é mais apropriada para definirfórmula do seu enésimo termo comum, que permite encontrar qualquer membro da sequência, conhecendo seu número. Neste caso, diz-se que a sequência é dada analiticamente. Por exemplo: uma sequência de termos pares positivos=2n.

Uma tarefa: encontre a fórmula para o termo comum da sequência (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Solução. Escrevemos cada termo da sequência da seguinte forma:

n=1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

Como você pode ver, os termos da sequência são o produto de uma potência de dois multiplicada por números ímpares consecutivos, e dois é elevado a uma potência que é igual ao número do elemento em questão. Assim, concluímos que

Resposta: fórmula de termo comum:

Outra maneira de especificar uma sequência é especificar uma sequência usandorelação recorrente. Uma fórmula que expressa qualquer membro de uma sequência, começando com alguns até os anteriores (um ou mais), é chamada recorrente (da palavra latina recuro - retornar).

Nesse caso, um ou vários primeiros elementos da sequência são especificados e os demais são determinados de acordo com alguma regra.

Um exemplo de uma sequência dada recursivamente é a sequência de números de Fibonacci - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... , em que cada número subsequente, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. uns: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 e assim por diante. Esta sequência pode ser dada recursivamente:

N N, = 1.

Uma tarefa: subsequênciadado pela relação de recorrência+ , n N, = 4. Escreva os primeiros termos desta sequência.

Solução. Vamos encontrar o terceiro termo da sequência dada:

+ =

etc.

Quando as sequências são especificadas de forma recorrente, os cálculos são muito complicados, pois para encontrar elementos com números grandes, é necessário encontrar todos os membros anteriores da sequência especificada, por exemplo, para encontrarprecisamos encontrar todos os 499 membros anteriores.

Maneira descritivaA atribuição de uma sequência numérica consiste em explicar de quais elementos a sequência é construída.

Exemplo 1 . "Todos os membros da sequência são 1." Isso significa que estamos falando de uma sequência estacionária 1, 1, 1, …, 1, ….

Exemplo 2. "A sequência consiste em todos os números primos em ordem crescente." Assim, a sequência 2, 3, 5, 7, 11, … é dada. Com essa maneira de especificar a sequência neste exemplo, é difícil responder a que, digamos, o milésimo elemento da sequência é igual.

Além disso, uma sequência numérica pode ser dada por um simpleslistando seus membros.

Desenvolvimento da doutrina das progressões

A palavra progressão é de origem latina (progressio), significa literalmente “avançar” (como a palavra “progresso”) e é encontrada pela primeira vez pelo autor romano Boécio (séculos V-VI). , uma sequência de números naturais, seus quadrados e cubos. No final da Idade Média e no início dos tempos modernos, esse termo deixa de ser comumente usado. No século 17, por exemplo, J. Gregory usou o termo "séries" em vez de progressão, e outro matemático inglês proeminente, J. Wallis, usou o termo "progressões infinitas" para séries infinitas.

Atualmente, consideramos as progressões como casos especiais de sequências numéricas.

Informações teóricas relacionadas às progressões são encontradas pela primeira vez nos documentos da Grécia antiga que chegaram até nós.

No Psammite, Arquimedes pela primeira vez compara progressões aritméticas e geométricas:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

As progressões eram consideradas como uma continuação das proporções, razão pela qual os epítetos aritméticos e geométricos foram transferidos de proporções para progressões.

Essa visão das progressões foi preservada por muitos matemáticos dos séculos XVII e até XVIII. É assim que se deve explicar o fato de que o símbolo encontrado em Barrow, e depois em outros cientistas ingleses da época para denotar uma proporção geométrica contínua, passou a denotar uma progressão geométrica nos livros didáticos ingleses e franceses do século XVIII. Por analogia, passaram a designar uma progressão aritmética.

Uma das provas de Arquimedes, exposta na sua obra “A Quadratura da Parábola”, resume-se essencialmente à soma de uma progressão geométrica infinitamente decrescente.

Para resolver alguns problemas de geometria e mecânica, Arquimedes derivou a fórmula para a soma dos quadrados dos números naturais, embora tenha sido usada antes dele.

1/6n(n+1)(2n+1)

Algumas fórmulas relacionadas a progressões eram conhecidas por cientistas chineses e indianos. Assim, Aryabhatta (século V) conhecia as fórmulas para o termo comum, a soma de uma progressão aritmética, etc., Magavira (século IX) usou a fórmula: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) e outras séries mais complexas. No entanto, a regra para encontrar a soma dos termos de uma progressão aritmética arbitrária é encontrada pela primeira vez no Livro do Ábaco (1202) de Leonardo de Pisa. Em The Science of Numbers (1484), N. Shuke, como Arquimedes, compara a progressão aritmética com a geométrica e dá uma regra geral para somar qualquer progressão geométrica decrescente infinitamente pequena. A fórmula para somar uma progressão infinitamente decrescente era conhecida por P. Fermat e outros matemáticos do século XVII.

Problemas para progressões aritméticas (e geométricas) também são encontrados no antigo tratado chinês "Matemática em Nove Livros", que, no entanto, não contém instruções para o uso de qualquer fórmula de soma.

Os primeiros problemas de progressão que nos chegaram estão relacionados com as exigências da vida económica e da prática social, como a distribuição dos produtos, a divisão da herança, etc.

De uma tabuinha cuneiforme, podemos concluir que, observando a lua de lua nova a lua cheia, os babilônios chegaram à seguinte conclusão: nos primeiros cinco dias após a lua nova, o aumento da iluminação do disco lunar ocorre de acordo com o lei da progressão geométrica com denominador 2. Em outra tabuinha posterior, estamos falando sobre progressão geométrica de soma:

1+2+ +…+ . solução e resposta S=512+(512-1), os dados da placa sugerem que o autor utilizou a fórmula.

Sn= +( -1), mas ninguém sabe como ele o alcançou.

A soma de progressões geométricas e a compilação de problemas correspondentes que nem sempre atendem às necessidades práticas foram praticadas por muitos amantes da matemática ao longo da Idade Antiga e Média.

Propriedades da sequência numérica

Uma sequência numérica é um caso especial de uma função numérica e, portanto, algumas propriedades das funções (limitação, monotonicidade) também são consideradas para sequências.

Sequências limitadas

Subsequência () é chamado limitado de cima, que para qualquer número n, M.

Subsequência () é chamado delimitado por baixo, se existe tal número m, que para qualquer número n, m.

Subsequência () é chamado de limitado , se é limitado por cima e limitado por baixo, isto é, existe tal número M0 , que para qualquer número n , M.

Subsequência () é chamado ilimitado , se existe tal número M0 que existe um número n tal que, M.

Uma tarefa: explore a sequência = à limitação.

Solução. A sequência dada é limitada, pois para qualquer número natural n valem as seguintes desigualdades:

0 1,

Ou seja, a sequência é limitada de baixo por zero e, ao mesmo tempo, é limitada de cima por um e, portanto, também é limitada.

Resposta: a sequência é limitada - de baixo por zero e de cima por um.

Sequências crescentes e decrescentes

Subsequência () é chamado de crescente , se cada termo for maior que o anterior:

Por exemplo, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... é uma sequência crescente.

Subsequência () é chamado decrescente , se cada termo for menor que o anterior:

Por exemplo, 1; é uma sequência descendente.

Sequências crescentes e decrescentes são combinadas por um termo comum -sequências monotônicas. Vamos a mais alguns exemplos.

1; - esta sequência não é crescente nem decrescente (sequência não monotônica).

2n. Estamos falando da sequência 2, 4, 8, 16, 32, ... - uma sequência crescente.

Em geral, se a > 1, então a sequência= aumenta;

se 0 = diminuindo.

Progressão aritmética

Uma sequência numérica, cada membro da qual, a partir do segundo, é igual à soma do membro anterior e o mesmo número d, é chamadaprogressão aritmética, e o número d é a diferença de uma progressão aritmética.

Assim, uma progressão aritmética é uma sequência numérica

X, == + d, (n = 2, 3, 4, …; aed são dados números).

Exemplo 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... é uma progressão aritmética crescente, na qual= 1, d = 2.

Exemplo 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - uma progressão aritmética decrescente, na qual= 20, d = –3.

Exemplo 3. Considere uma sequência de números naturais que, quando divididos por quatro, têm resto 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21…

Cada um dos seus membros, a partir do segundo, obtém-se somando ao membro anterior o número 4. Esta sequência é um exemplo de progressão aritmética.

É fácil encontrar uma expressão explícita (fórmula)através de n. O valor do próximo elemento aumenta em d em relação ao anterior, assim, o valor do elemento n aumentará em (n - 1)d em relação ao primeiro membro da progressão aritmética, ou seja.

= + d (n – 1). Esta é a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética.

Esta é a fórmula da soma n membros de uma progressão aritmética.

A progressão aritmética é nomeada porque nela cada termo, exceto o primeiro, é igual à média aritmética dos dois adjacentes a ele - o anterior e o seguinte, de fato,

Progressão geométrica

Uma sequência numérica, cujos membros são todos diferentes de zero e cada membro, a partir do segundo, é obtido do membro anterior pela multiplicação pelo mesmo número q, é chamadoprogressão geométrica, e o número q é o denominador de uma progressão geométrica. Assim, uma progressão geométrica é uma sequência numérica (dado recursivamente pelas relações

B, = q (n = 2, 3, 4…; b e q são números).

Exemplo 1. 2, 6, 18, 54, ... - progressão geométrica crescente

2, q = 3.

Exemplo 2. 2, -2, 2, -2, ... é uma progressão geométrica= 2, q = –1.

Uma das propriedades óbvias de uma progressão geométrica é que, se uma sequência é uma progressão geométrica, então a sequência de quadrados, ou seja,; ;…-

é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a, e o denominador é.

A fórmula para o enésimo membro de uma progressão geométrica é:

A fórmula para a soma de n membros de uma progressão geométrica:

propriedade característicaprogressão geométrica: uma sequência numérica é uma progressão geométrica se e somente se o quadrado de cada um de seus termos, exceto o primeiro (e o último no caso de uma sequência finita), for igual ao produto dos termos anteriores e subsequentes,

Conclusão

As sequências numéricas têm sido estudadas por muitos cientistas por muitos séculos.Os primeiros problemas de progressão que nos chegaram estão relacionados com as exigências da vida económica e da prática social, como a distribuição dos produtos, a divisão da herança, etc. Eles são um dos conceitos-chave da matemática. No meu trabalho, tentei refletir os conceitos básicos associados às sequências numéricas, como defini-las, propriedades e considerei alguns deles. Separadamente, foram consideradas as progressões (aritméticas e geométricas) e descritos os conceitos básicos a elas associados.

Bibliografia

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1. "Matemática na escola", revista, 2002.
2. Serviços educacionais online Webmath.ru
3. Enciclopédia on-line de ciência popular universal "Krugosvet"

Vida y= f(x), x O N, Onde Né o conjunto de números naturais (ou uma função de um argumento natural), denotado y=f(n) ou y 1 ,y 2 ,…, s n,…. Valores y 1 ,y 2 ,y 3 ,… são chamados respectivamente o primeiro, segundo, terceiro, ... membros da sequência.

Por exemplo, para a função y= n 2 pode ser escrito:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…s n = n 2 ;…

Métodos para definir sequências. As sequências podem ser especificadas de várias maneiras, dentre as quais três são especialmente importantes: analítica, descritiva e recorrente.

1. Uma sequência é dada analiticamente se sua fórmula for dada n-º membro:

s n=f(n).

Exemplo. s n= 2n- 1 – sequência de números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Descritivo a maneira de especificar uma sequência numérica é explicando de quais elementos a sequência é construída.

Exemplo 1. "Todos os membros da sequência são iguais a 1." Isso significa que estamos falando de uma sequência estacionária 1, 1, 1, …, 1, ….

Exemplo 2. "A sequência consiste em todos os números primos em ordem crescente." Assim, a sequência 2, 3, 5, 7, 11, … é dada. Com essa maneira de especificar a sequência neste exemplo, é difícil responder a que, digamos, o milésimo elemento da sequência é igual.

3. A maneira recorrente de especificar uma sequência é que é indicada uma regra que permite calcular n-th membro da sequência, se seus membros anteriores forem conhecidos. O nome método recorrente vem da palavra latina recorrente- volte. Na maioria das vezes, nesses casos, é indicada uma fórmula que permite expressar nº membro da sequência através dos anteriores e especifique 1–2 membros iniciais da sequência.

Exemplo 1 y 1 = 3; s n = s n–1 + 4 se n = 2, 3, 4,….

Aqui y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Pode-se ver que a sequência obtida neste exemplo também pode ser especificada analiticamente: s n= 4n- 1.

Exemplo 2 y 1 = 1; y 2 = 1; s n = s n –2 + s n-1 se n = 3, 4,….

Aqui: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

A sequência composta neste exemplo é especialmente estudada em matemática porque possui várias propriedades e aplicações interessantes. É chamada de sequência de Fibonacci - em homenagem ao matemático italiano do século XIII. Definir a sequência de Fibonacci recursivamente é muito fácil, mas analiticamente é muito difícil. n O número de Fibonacci é expresso em termos de seu número ordinal pela fórmula a seguir.

À primeira vista, a fórmula de n O número de Fibonacci parece implausível, pois a fórmula que especifica a sequência de números naturais sozinha contém raízes quadradas, mas você pode verificar "manualmente" a validade dessa fórmula para os primeiros n.

Propriedades de sequências numéricas.

Uma sequência numérica é um caso especial de uma função numérica, portanto, várias propriedades de funções também são consideradas para sequências.

Definição . Subsequência ( s n} é chamado crescente se cada um de seus termos (exceto o primeiro) é maior que o anterior:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definição.Sequência ( s n} é chamado decrescente se cada um de seus termos (exceto o primeiro) for menor que o anterior:

y 1 > y 2 > y 3 > … > s n> s n +1 > … .

Sequências crescentes e decrescentes são unidas por um termo comum - sequências monotônicas.

Exemplo 1 y 1 = 1; s n= n 2 é uma sequência crescente.

Assim, o seguinte teorema é verdadeiro (uma propriedade característica de uma progressão aritmética). Uma sequência numérica é aritmética se e somente se cada um de seus membros, exceto o primeiro (e último no caso de uma sequência finita), for igual à média aritmética dos membros anteriores e subsequentes.

Exemplo. Em que valor x números 3 x + 2, 5x- 4 e 11 x+ 12 formam uma progressão aritmética finita?

De acordo com a propriedade característica, as expressões dadas devem satisfazer a relação

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Resolvendo esta equação dá x= –5,5. Com este valor x expressões dadas 3 x + 2, 5x- 4 e 11 x+ 12 levam, respectivamente, os valores -14,5, –31,5, –48,5. Esta é uma progressão aritmética, sua diferença é -17.

Progressão geométrica.

Uma sequência numérica, cujos membros são todos diferentes de zero e cada membro, a partir do segundo, é obtido do membro anterior pela multiplicação pelo mesmo número q, é chamado de progressão geométrica, e o número q- o denominador de uma progressão geométrica.

Assim, uma progressão geométrica é uma sequência numérica ( b n) dado recursivamente pelas relações

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b e q- números dados, b ≠ 0, q ≠ 0).

Exemplo 1. 2, 6, 18, 54, ... - progressão geométrica crescente b = 2, q = 3.

Exemplo 2. 2, -2, 2, -2, ... – progressão geométrica b= 2,q= –1.

Exemplo 3. 8, 8, 8, 8, … – progressão geométrica b= 8, q= 1.

Uma progressão geométrica é uma sequência crescente se b 1 > 0, q> 1, e decrescente se b 1 > 0, 0q

Uma das propriedades óbvias de uma progressão geométrica é que, se uma sequência é uma progressão geométrica, então a sequência de quadrados, ou seja,

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é igual a b 1 2 , e o denominador é q 2 .

Fórmula n-º termo de uma progressão geométrica tem a forma

b n= b 1 q n– 1 .

Você pode obter a fórmula para a soma dos termos de uma progressão geométrica finita.

Seja uma progressão geométrica finita

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

deixar S n - a soma de seus membros, ou seja,

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Aceita-se que q Nº 1. Para determinar S n um truque artificial é aplicado: algumas transformações geométricas da expressão são realizadas S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Nesse caminho, S n q= S n +b n q – b 1 e daí

Esta é a fórmula com umma n membros de uma progressão geométrica para o caso em que q≠ 1.

No q= 1 fórmula não pode ser derivada separadamente, é óbvio que neste caso S n= uma 1 n.

A progressão geométrica é nomeada porque nela cada termo, exceto o primeiro, é igual à média geométrica dos termos anteriores e subsequentes. Com efeito, desde

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

Consequentemente, b n 2= b n– 1 bn+ 1 e o seguinte teorema é verdadeiro (uma propriedade característica de uma progressão geométrica):

uma sequência numérica é uma progressão geométrica se e somente se o quadrado de cada um de seus termos, exceto o primeiro (e o último no caso de uma sequência finita), for igual ao produto dos termos anteriores e subsequentes.

Limite de sequência.

Seja uma sequência ( c n} = {1/n}. Essa sequência é chamada de harmônica, pois cada um de seus membros, a partir do segundo, é a média harmônica entre os membros anteriores e os subsequentes. Média geométrica dos números uma e b existe um número

Caso contrário, a sequência é chamada divergente.

Com base nesta definição, pode-se, por exemplo, provar a existência de um limite A=0 para a sequência harmônica ( c n} = {1/n). Seja ε um número positivo arbitrariamente pequeno. Consideramos a diferença

Existe tal N isso para todos n≥ N desigualdade 1 /N? Se tomado como N qualquer número natural maior que 1/ε , então para todos n ≥ N desigualdade 1 /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Às vezes é muito difícil provar a existência de um limite para uma determinada sequência. As sequências mais comuns são bem estudadas e estão listadas em livros de referência. Existem teoremas importantes que permitem concluir que uma dada sequência tem um limite (e até calculá-lo) com base em sequências já estudadas.

Teorema 1. Se uma sequência tem um limite, então ela é limitada.

Teorema 2. Se uma sequência é monótona e limitada, então ela tem um limite.

Teorema 3. Se a sequência ( um} tem um limite UMA, então as sequências ( posso}, {um+ c) e (| um|} tem limites cA, UMA +c, |UMA| respectivamente (aqui cé um número arbitrário).

Teorema 4. Se sequências ( um} e ( b n) tem limites iguais a UMA e B frigideira + qb n) tem um limite pA+ qB.

Teorema 5. Se sequências ( um) e ( b n) tem limites iguais a UMA e B respectivamente, então a sequência ( a n b n) tem um limite AB.

Teorema 6. Se sequências ( um} e ( b n) tem limites iguais a UMA e B respectivamente, e além bn ≠ 0 e B≠ 0, então a sequência ( a n / b n) tem um limite A/B.

Anna Chugainova