ANALISE MATEMÁTICA

Limite de função

Limite de sequência e função. Teoremas de limite

número constante uma chamado limite de sequência(x n ) se para qualquer número positivo arbitrariamente pequeno e existe um número N tal que todos os valores xn, para o qual n>N, satisfaz a desigualdade

êx n - a ê< e. (1.1)

Escreva da seguinte forma: ou x n ® a.

A desigualdade (1.1) é equivalente à dupla desigualdade

a-e< x n < a + e, (1.2)

o que significa que os pontos xn, a partir de algum número n>N, está dentro do intervalo (a-e, a+e), ou seja, cair em qualquer pequena e-vizinhança do ponto uma.

Uma sequência que tem um limite é chamada convergente, por outro lado - divergente.

O conceito de limite de uma função é uma generalização do conceito de limite de uma sequência, pois o limite de uma sequência pode ser considerado como o limite da função x n = f(n) de um argumento inteiro n.

Seja dada uma função f(x) e seja uma - ponto limite o domínio de definição desta função D(f), i.e. tal ponto, qualquer vizinhança que contém pontos do conjunto D(f) diferentes de uma. Ponto uma pode ou não pertencer ao conjunto D(f).

Definição 1. O número constante A é chamado limite de função f(x) no x®a se para qualquer sequência (x n ) de valores de argumentos tendendo a uma, as sequências correspondentes (f(x n)) têm o mesmo limite A.

Essa definição é chamada definindo o limite de uma função de acordo com Heine, ou " na linguagem das sequências”.

Definição 2. O número constante A é chamado limite de função f(x) no x®a se, dado um número positivo arbitrário e arbitrariamente pequeno e, pudermos encontrar d > 0 (dependendo de e) tal que para todo x, situado na vizinhança d do número uma, ou seja por x satisfazendo a desigualdade
0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.

Essa definição é chamada definindo o limite de uma função de acordo com Cauchy, ou “na língua e-d".

As definições 1 e 2 são equivalentes. Se a função f(x) como x ® a tem um limite igual a A, isso é escrito como

F(x) = A. (1,3)

No caso de a sequência (f(x n)) aumentar (ou diminuir) indefinidamente para qualquer método de aproximação x ao seu limite uma, então diremos que a função f(x) tem limite infinito, e escreva como:

F(x) = ¥ (f(x) = - ¥).

Uma variável (ou seja, uma sequência ou função) que tem zero como seu limite é chamada infinitamente pequeno.

Uma variável que tem um limite infinito é chamada infinitamente grande.

Para encontrar os limites na prática, os seguintes teoremas são usados.

Teorema 1. Se existem limites f(x)=A, g(x)=B, então

(f(x)+(g(x)) = A + B, (1,4)

F(x) g(x) = AB, (1,5)

F(x)/g(x) = A/B (B ¹ 0). (1.6)

Comente. Expressões da forma 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ são indefinidas, por exemplo, a razão de duas quantidades infinitesimais ou infinitamente grandes, e encontrar limites desse tipo é chamado de “divulgação de incerteza”.

Teorema 2.(f(x)) a = ( f(x)) a , onde a = const, (1.7)

Essa. é possível passar ao limite na base do grau em um expoente constante, em particular, ;

B f(x) =b A , onde b = const, f(x)=A; (1,8)

Log c f(x) = log c f(x), onde c = const. (1.9)

Teorema 3.= 1, = 1, a = const, a > 0,

(1 + a) 1/a = e, (1.11)

Onde e» 2,7 é a base do logaritmo natural. As fórmulas (1.10) e (1.11) são chamadas de primeiro e segundo limites notáveis.

Os corolários da fórmula (1.11) também são usados ​​na prática:

log c e, (1.12)

(a a - 1)/a = log a, (1,13)

((1 + a) m - 1)/a = m, (1,14)

em particular,

Se x® a e x > a, então escreva x® a+0. Se, em particular, a=0, então em vez do símbolo 0+0 escreva +0. Da mesma forma, se x®a e, além disso, x limite à direita e limite à esquerda da função f(x) no ponto um. Para a existência do limite da função f(x) como x®a é necessário e suficiente que = .

A função f(x) é chamada contínua em um ponto x 0 se

A condição (1.15) pode ser reescrita como:

isto é, a passagem ao limite sob o sinal de uma função é possível se ela for contínua em um dado ponto.

Se a igualdade (1.15) for violada, dizemos que no x = x função f(x) tem uma lacuna. Considere a função y = 1/x. O domínio desta função é o conjunto R, exceto para x = 0. O ponto x = 0 é um ponto limite do conjunto D(f), pois em qualquer uma de suas vizinhanças, ou seja, qualquer intervalo aberto contendo o ponto 0 contém pontos de D(f), mas ele próprio não pertence a este conjunto. O valor f(x o)= f(0) não está definido, então a função tem uma descontinuidade no ponto x o = 0.

A função f(x) é chamada contínua à direita em um ponto xo se

e contínua à esquerda em um ponto x o se

Continuidade de uma função em um ponto x oé equivalente à sua continuidade neste ponto tanto à direita como à esquerda.

Para que uma função seja contínua em um ponto x o, por exemplo, à direita, é necessário, em primeiro lugar, que haja um limite finito , e em segundo lugar, que esse limite seja igual a f(x o). Portanto, se pelo menos uma dessas duas condições não for atendida, a função terá uma lacuna.

1. Se existe e não é igual a f(x o), então eles dizem que função f(x) no ponto xo tem ruptura do primeiro tipo, ou pular.

2. Se ¥ é igual ou não existe, então eles dizem que em ponto x o a função tem uma descontinuidade do segundo tipo.

Por exemplo, a função y = ctg x em x® +0 tem um limite igual a +¥, o que significa que no ponto x=0 tem uma descontinuidade do segundo tipo. Função y = E(x) (parte inteira de x) em pontos com abcissas inteiras tem descontinuidades do primeiro tipo, ou saltos.

Uma função que é contínua em todos os pontos do intervalo é chamada contínuo dentro . Uma função contínua é representada por uma curva sólida.

Muitos problemas associados ao crescimento contínuo de alguma quantidade levam ao segundo limite notável. Tais tarefas, por exemplo, incluem: o crescimento da contribuição de acordo com a lei dos juros compostos, o crescimento da população do país, a decomposição de uma substância radioativa, a multiplicação de bactérias, etc.

Considerar exemplo de Ya. I. Perelman, que dá a interpretação do número e no problema dos juros compostos. Número e existe um limite e= . Nos bancos de poupança, o dinheiro dos juros é adicionado ao capital fixo anualmente. Se a conexão for feita com mais frequência, o capital crescerá mais rapidamente, pois uma grande quantidade está envolvida na formação de juros. Tomemos um exemplo puramente teórico e altamente simplificado. Deixe o banco colocar 100 den. unidades à taxa de 100% ao ano. Se o dinheiro com juros for adicionado ao capital fixo somente após um ano, então, a essa altura, 100 den. unidades vai se transformar em 200 den. Agora vamos ver no que 100 den vai se transformar. unidades, se juros são adicionados ao capital fixo a cada seis meses. Depois de meio ano 100 den. unidades crescerá em 100 × 1,5 = 150, e em mais seis meses - em 150 × 1,5 = 225 (unidades den.). Se a adesão for feita a cada 1/3 do ano, depois de um ano 100 den. unidades se transformará em 100 × (1 + 1/3) 3 "237 (unidades den.). Aumentaremos o prazo para adicionar dinheiro de juros para 0,1 ano, 0,01 ano, 0,001 ano e assim por diante. Em seguida, de 100 den. unidades um ano depois:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unidades den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unidades den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unidades den.).

Com uma redução ilimitada nos prazos de adesão, o capital acumulado não cresce indefinidamente, mas aproxima-se de um certo limite igual a aproximadamente 271. O capital colocado a 100% ao ano não pode aumentar mais de 2,71 vezes, mesmo que os juros acumulados fossem adicionado ao capital a cada segundo, porque

Exemplo 1 Usando a definição do limite de uma sequência numérica, prove que a sequência x n =(n-1)/n tem um limite igual a 1.

Solução. Precisamos provar que, qualquer que seja e > 0, há um número natural N para ele, tal que para todo n > N a desigualdade ½ x n -1 ½

Vamos tomar qualquer e > 0. Como ½ x n -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, então para encontrar N basta resolver a desigualdade 1/n 1/e e, portanto, N pode ser tomado como a parte inteira de 1/e, N = E(1/e). Provamos assim que x n = 1.

Exemplo 2. Encontre o limite da sequência dada pelo termo comum x n = .

Solução. Aplicamos o teorema do limite da soma e encontramos o limite de cada termo. Como n ®¥ o numerador e denominador de cada termo tende ao infinito, e não podemos aplicar diretamente o teorema do quociente limite. Portanto, primeiro transformamos xn, dividindo o numerador e denominador do primeiro termo por nº 2, e o segundo n. Então, aplicando o teorema do limite do quociente e o teorema do limite da soma, encontramos:

Exemplo 3. xn = . Encontre xn.

Solução. = .

Aqui usamos o teorema do limite de grau: o limite de um grau é igual ao grau do limite da base.

Exemplo 4. Achar ().

Solução.É impossível aplicar o teorema do limite da diferença, pois temos uma incerteza da forma ¥ - ¥. Vamos transformar a fórmula do termo geral:

Exemplo 5. Dada uma função f(x)=2 1/x . Prove que não existe.

Solução. Usamos a definição 1 do limite de uma função em termos de uma sequência. Tome uma sequência ( x n ) convergindo para 0, i.e. xn=0. Vamos mostrar que o valor f(x n)= se comporta de maneira diferente para diferentes sequências. Seja x n = 1/n. Obviamente, 1/n = 0, então = 2 n = +¥. Vamos escolher agora como xn uma sequência com um termo comum x n = -1/n, também tendendo a zero. = 2 - n = 1/2 n = 0. Portanto, 2 1/x não existe.

Exemplo 6. Prove que o pecado x não existe.

Solução. Seja x 1 , x 2 ,..., x n ,... uma sequência para a qual
xn = ¥. Como a sequência (f(x n)) = (sen x n ) se comporta para diferentes x n ®¥ ?

Se x n = pn, então sen x n = sen pn = 0 para todos n e senxn=0. Se
x n \u003d 2pn + p / 2, então sin x n \u003d sin (2pn + p / 2) \u003d sin p / 2 \u003d 1 para todos n e, portanto, sen x n = 1. Então sen x não existe.

Exemplo 7 Achar .

Solução. Temos: = 5 . Denote t = 5x. Para x®0 temos: t®0. Aplicando a fórmula (3.10), obtemos 5 .

Exemplo 8. Calcular .

Solução. Vamos denotar y=p-x. Então, como x®p, y®0, temos:

sin 3x \u003d sin 3 (p-y) \u003d sin (3p-3y) \u003d sin 3y.

sin 4x \u003d sin 4 (p-y) \u003d sin (4p-4y) \u003d - sin 4y.

Exemplo 9. Achar .

Solução. Denote arcsin x=t. Então x=sen te para x®0 t®0. = .

Exemplo 10. Encontre 1); 2); 3).

Solução.

1. Aplicando o Teorema 1 sobre o limite da diferença e o produto, encontramos o limite do denominador: .

O limite do denominador não é igual a zero, portanto, de acordo com o Teorema 1 sobre o limite do quociente, obtemos: = .

2. Aqui o numerador e o denominador tendem a zero, ou seja, existe uma incerteza da forma 0/0. O teorema do limite do quociente não é diretamente aplicável. Para “revelar a incerteza”, transformamos esta função. Dividindo o numerador e o denominador por x-2, obtemos para x ¹ 2 a igualdade:

Como (x + 1) ¹ 0, então, pelo teorema do limite do quociente, encontramos

3. O numerador e o denominador de x®¥ são funções infinitamente grandes. Portanto, o teorema do limite do quociente não é diretamente aplicável. Divida o numerador e o denominador por x2 e aplique o teorema do limite do quociente à função resultante:

Exemplo 11. Achar .

Solução. Aqui o numerador e o denominador tendem a zero: , x-9®0, ou seja. temos uma incerteza da forma .

Transformamos esta função multiplicando o numerador e denominador pelo quadrado incompleto da soma da expressão , obtemos

Exemplo 12. Achar .

Solução. = .

6.2. Aplicação de limites em cálculos econômicos

Juros compostos

Em cálculos práticos, porcentagens discretas são usadas principalmente, ou seja, juros acumulados para intervalos de tempo iguais fixos (ano, semestre, trimestre, etc.). O tempo é uma variável discreta. Em alguns casos, em provas e cálculos relacionados a processos contínuos, torna-se necessário o uso de porcentagens contínuas. Considere a fórmula dos juros compostos:

S = P(1 + i) n . (1,16)

Aqui P é o valor inicial, i é a taxa de juros (como fração decimal), S é o valor formado pelo final do prazo do empréstimo no final nº ano. O crescimento dos juros compostos é um processo que se desenvolve exponencialmente. A adição de juros acumulados ao valor que serviu de base para sua determinação é frequentemente chamada de capitalização de juros. Na prática financeira, muitas vezes eles enfrentam um problema que é o oposto de determinar o valor acumulado: para um determinado valor S, que deve ser pago após algum tempo n, é necessário determinar o valor do empréstimo recebido P. Nesse caso, dizemos que o valor S com desconto, e porcentagens na forma da diferença S - P são chamadas desconto. O valor P encontrado descontando S é chamado moderno, ou dado, valor S. Temos:

P = zP = = 0.

Assim, com prazos de pagamento muito longos, o valor presente deste último será extremamente insignificante.

Nas operações financeiras e de crédito práticas, raramente são utilizados processos contínuos de acumulação de dinheiro, isto é, de acumulação em períodos de tempo infinitamente pequenos. O crescimento contínuo é de importância muito maior na análise quantitativa financeira e econômica de objetos e fenômenos industriais e econômicos complexos, por exemplo, na seleção e justificação de decisões de investimento. A necessidade de utilizar accruals contínuos (ou percentuais contínuos) é determinada principalmente pelo fato de que muitos fenômenos econômicos são de natureza contínua, portanto, uma descrição analítica na forma de processos contínuos é mais adequada do que baseada em processos discretos. Generalizamos a fórmula de juros compostos para o caso em que os juros são cobrados m uma vez por ano:

S = P (1 + i/m) mn.

A quantidade acumulada em processos discretos é encontrada por esta fórmula, aqui m- o número de períodos de acumulação em um ano, eu- taxa anual ou nominal. O mais m, menores serão os intervalos de tempo entre os momentos de cálculo de interesse. No limite como m ®¥ temos:

`S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n .

Como (1 + i/m) m = e i , então `S = P e in .

Com um aumento contínuo dos juros, é usado um tipo especial de taxa de juros - força de crescimento, que caracteriza o aumento relativo da quantidade acumulada em um período de tempo infinitamente pequeno. Com capitalização contínua de juros, o valor acumulado é igual ao valor final, que depende do valor inicial, do período de competência e da taxa de juros nominal. Para distinguir entre taxas de juros contínuas e taxas de juros discretas, denotamos a primeira por d, então `S = Pe .

A força de crescimento d é a taxa de juros nominal em m®¥. O multiplicador é calculado usando um computador ou de acordo com as tabelas de funções.

Fluxos de pagamento. aluguel financeiro

Contratos, transações, operações comerciais e de produção e negócios geralmente não prevêem pagamentos únicos separados, mas muitos pagamentos e recebimentos distribuídos ao longo do tempo. Elementos individuais de tal série, e às vezes a série de pagamentos como um todo, são chamados de fluxo de pagamento. Os membros do fluxo de pagamento podem ser valores positivos (recibos) ou negativos (pagamentos). O fluxo de pagamentos, todos os membros dos quais são valores positivos, e os intervalos de tempo entre dois pagamentos sucessivos são constantes, é chamado aluguel financeiro. As anuidades são divididas em anuais e R- urgente, onde R caracteriza o número de pagamentos durante o ano. Estes são aluguéis discretos. Na prática financeira e econômica, também existem sequências de pagamentos que são feitos com tanta frequência que na prática podem ser considerados contínuos. Tais pagamentos são descritos por anuidades contínuas.

Exemplo 13 Suponha que no final de cada ano por quatro anos, 1 milhão de rublos sejam depositados no banco, os juros sejam acumulados no final do ano, a taxa seja de 5% ao ano. Neste caso, a primeira parcela passará para o valor de 10 6 ´ 1,05 3 ao final do período de anuidade, pois o valor correspondente está na conta há 3 anos, a segunda parcela aumentará para 10 6 ´ 1,05 2 , pois está na conta há 2 anos . A última parcela não paga juros. Assim, ao final do período de anuidade, as contribuições com juros corridos representam uma série de números: 10 6 ´ 1,05 3 ; 10 6 ´ 1,05 2 ; 10 6 ´ 1,05; 10 6. O valor acumulado ao final do período de anuidade será igual à soma dos integrantes desta série. Para resumir o que foi dito, derivamos a fórmula correspondente para o valor acumulado da anuidade anual. Denote: S - o valor acumulado da anuidade, R - o tamanho do membro da anuidade,
i - taxa de juros (fração decimal), n - prazo da anuidade (número de anos). Os sócios anuários vencerão juros por n - 1, n - 2,..., 2, 1 e 0 anos, e o valor acumulado dos sócios anuários será

R (1 + i) n - 1 , R (1 + i) n - 2 ,..., R (1 + i), R.

Vamos reescrever esta série na ordem inversa. É uma progressão geométrica com denominador (1+i) e o primeiro termo R. Vamos encontrar a soma dos termos da progressão. Obtemos: S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) =
= R´((1 + i) n - 1)/i. Denote S n; i = ((1 + i) n - 1)/ i e o chamará fator de acumulação de aluguel. Se forem cobrados juros m uma vez por ano, então S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), onde i é a taxa de juros nominal.

O valor a n; i = (1 - (1 + i) - n)/i é chamado fator de redução de aluguel. O coeficiente de redução de anuidade em n ®¥ mostra quantas vezes o valor presente da anuidade é maior que seu prazo:

Um; i \u003d (1 - (1 + i) - n) / i \u003d 1 / i.

Exemplo 14 Debaixo anuidade eternaé entendido como uma sequência de pagamentos, cujo número de membros não é limitado - é pago por um número infinito de anos. A anuidade perpétua não é uma abstração pura - na prática, são alguns tipos de empréstimos garantidos, uma avaliação da capacidade dos fundos de pensão de cumprir suas obrigações. Sediada
essência da anuidade perpétua, pode-se supor que seu valor acumulado
é igual a um valor infinitamente grande, o que é fácil de provar pela fórmula:
R´((1 + i) n - 1)/i ® ¥ como n ® ¥.

Coeficiente de redução de anuidade perpétua a n; i ® 1/i, sendo A = R/i, ou seja, o valor presente depende apenas do valor do prazo da anuidade e da taxa de juros aceita.

A matemática é a ciência que constrói o mundo. Tanto o cientista quanto o homem comum - ninguém pode prescindir dele. Primeiro, as crianças pequenas são ensinadas a contar, depois somar, subtrair, multiplicar e dividir, no ensino médio, as designações de letras entram em jogo, e no mais velho não podem mais ser dispensadas.

Mas hoje vamos falar sobre em que se baseia toda a matemática conhecida. Sobre a comunidade de números chamada "limites de sequência".

O que são sequências e onde está o seu limite?

O significado da palavra "sequência" não é difícil de interpretar. Esta é uma construção de coisas, onde alguém ou algo está localizado em uma determinada ordem ou fila. Por exemplo, a fila de ingressos para o zoológico é uma sequência. E só pode haver um! Se, por exemplo, você olhar para a fila para a loja, esta é uma sequência. E se uma pessoa de repente sai dessa fila, então essa é uma fila diferente, uma ordem diferente.

A palavra "limite" também é facilmente interpretada - este é o fim de algo. No entanto, em matemática, os limites das sequências são aqueles valores na reta numérica que uma sequência de números tende. Por que se esforça e não termina? É simples, a reta numérica não tem fim, e a maioria das sequências, como raios, tem apenas um começo e se parece com isso:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Portanto, a definição de uma sequência é uma função do argumento natural. Em palavras mais simples, é uma série de membros de algum conjunto.

Como uma sequência numérica é construída?

O exemplo mais simples de uma sequência numérica pode ser assim: 1, 2, 3, 4, …n…

Na maioria dos casos, para fins práticos, as sequências são construídas a partir de números, e cada próximo membro da série, vamos denotar por X, tem seu próprio nome. Por exemplo:

x 1 - o primeiro membro da sequência;

x 2 - o segundo membro da sequência;

x 3 - o terceiro membro;

x n é o enésimo membro.

Nos métodos práticos, a sequência é dada por uma fórmula geral na qual existe alguma variável. Por exemplo:

X n \u003d 3n, a própria série de números ficará assim:

Vale lembrar que na notação geral de sequências, você pode usar qualquer letra latina, e não apenas X. Por exemplo: y, z, k, etc.

Progressão aritmética como parte de sequências

Antes de procurar os limites das sequências, convém aprofundar o próprio conceito de tal série numérica, que todos encontraram quando estavam na classe média. Uma progressão aritmética é uma série de números em que a diferença entre termos adjacentes é constante.

Tarefa: “Deixe um 1 \u003d 15 e o passo da progressão da série numérica d \u003d 4. Construa os primeiros 4 membros desta linha"

Solução: a 1 = 15 (por condição) é o primeiro membro da progressão (série numérica).

e 2 = 15+4=19 é o segundo membro da progressão.

e 3 \u003d 19 + 4 \u003d 23 é o terceiro termo.

e 4 \u003d 23 + 4 \u003d 27 é o quarto termo.

No entanto, com este método é difícil atingir grandes valores, por exemplo, até 125. . Especialmente para esses casos, foi derivada uma fórmula conveniente para a prática: a n \u003d a 1 + d (n-1). Nesse caso, um 125 \u003d 15 + 4 (125-1) \u003d 511.

Tipos de sequência

A maioria das sequências são infinitas, vale a pena lembrar por toda a vida. Existem dois tipos interessantes de séries numéricas. A primeira é dada pela fórmula a n =(-1) n . Os matemáticos costumam se referir a essas sequências de pisca-pisca. Por quê? Vamos verificar seus números.

1, 1, -1 , 1, -1, 1, etc. Com este exemplo, fica claro que os números em sequências podem ser facilmente repetidos.

sequência fatorial. É fácil adivinhar que existe um fatorial na fórmula que define a sequência. Por exemplo: e n = (n+1)!

Então a sequência ficará assim:

e 2 \u003d 1x2x3 \u003d 6;

e 3 \u003d 1x2x3x4 \u003d 24, etc.

Uma sequência dada por uma progressão aritmética é chamada infinitamente decrescente se a desigualdade -1 for observada para todos os seus membros

e 3 \u003d - 1/8, etc.

Existe até uma sequência que consiste no mesmo número. Então, e n \u003d 6 consiste em um número infinito de seis.

Determinando o limite de uma sequência

Os limites de sequência existem há muito tempo na matemática. Claro, eles merecem seu próprio design competente. Então, hora de aprender a definição de limites de sequência. Primeiro, considere o limite para uma função linear em detalhes:

1. Todos os limites são abreviados como lim.
2. A entrada de limite consiste na abreviatura lim, alguma variável tendendo a um determinado número, zero ou infinito, assim como a própria função.

É fácil entender que a definição do limite de uma sequência pode ser formulada da seguinte forma: é um certo número, do qual todos os membros da sequência se aproximam infinitamente. Exemplo simples: e x = 4x+1. Então a própria sequência ficará assim.

5, 9, 13, 17, 21…x…

Assim, esta sequência aumentará indefinidamente, o que significa que seu limite é igual ao infinito como x→∞, e isso deve ser escrito da seguinte forma:

Se tomarmos uma sequência semelhante, mas x tende a 1, obtemos:

E a série de números ficará assim: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, etc. Cada vez você precisa substituir o número cada vez mais próximo de um (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Pode-se ver nesta série que o limite da função é cinco.

A partir desta parte, vale lembrar qual é o limite de uma sequência numérica, a definição e o método para resolver tarefas simples.

Notação geral para o limite de sequências

Tendo analisado o limite da sequência numérica, sua definição e exemplos, podemos avançar para um tópico mais complexo. Absolutamente todos os limites de sequências podem ser formulados por uma fórmula, que geralmente é analisada no primeiro semestre.

Então, o que significa esse conjunto de letras, módulos e sinais de desigualdade?

∀ é um quantificador universal, substituindo as frases “para todos”, “para tudo”, etc.

∃ é um quantificador de existência, neste caso significa que existe algum valor N pertencente ao conjunto dos números naturais.

Uma longa vara vertical seguindo N significa que o dado conjunto N é "tal que". Na prática, pode significar "tal que", "tal que", etc.

Para consolidar o material, leia a fórmula em voz alta.

Incerteza e certeza do limite

O método de encontrar o limite de sequências, discutido acima, embora simples de usar, não é tão racional na prática. Tente encontrar o limite para esta função:

Se substituirmos valores de x diferentes (aumentando a cada vez: 10, 100, 1000, etc.), obtemos ∞ no numerador, mas também ∞ no denominador. Acontece uma fração bastante estranha:

Mas é realmente assim? Calcular o limite da sequência numérica neste caso parece bastante fácil. Seria possível deixar tudo como está, porque a resposta está pronta, e foi recebida em termos razoáveis, mas existe outra forma específica para esses casos.

Primeiro, vamos encontrar o grau mais alto no numerador da fração - este é 1, já que x pode ser representado como x 1.

Agora vamos encontrar o grau mais alto no denominador. Também 1.

Divida o numerador e o denominador pela variável até o grau mais alto. Nesse caso, dividimos a fração por x 1.

Em seguida, vamos descobrir para qual valor cada termo que contém a variável tende. Neste caso, as frações são consideradas. Como x→∞, o valor de cada uma das frações tende a zero. Ao fazer um trabalho por escrito, vale a pena fazer as seguintes notas de rodapé:

Obtém-se a seguinte expressão:

É claro que as frações contendo x não se tornaram zeros! Mas seu valor é tão pequeno que é perfeitamente permitido não levá-lo em consideração nos cálculos. Na verdade, x nunca será igual a 0 neste caso, porque você não pode dividir por zero.

O que é um bairro?

Suponhamos que o professor tenha à sua disposição uma sequência complexa, dada, obviamente, por uma fórmula não menos complexa. O professor encontrou a resposta, mas será que ela se encaixa? Afinal, todas as pessoas cometem erros.

Auguste Cauchy surgiu com uma ótima maneira de provar os limites das sequências. Seu método foi chamado de operação de vizinhança.

Suponha que haja algum ponto a, sua vizinhança em ambas as direções na reta real é igual a ε ("épsilon"). Como a última variável é a distância, seu valor é sempre positivo.

Agora vamos definir alguma sequência x n e supor que o décimo membro da sequência (x 10) esteja incluído na vizinhança de a. Como escrever esse fato em linguagem matemática?

Suponha que x 10 esteja à direita do ponto a, então a distância x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Agora é hora de explicar na prática a fórmula mencionada acima. É justo chamar algum número a de ponto final de uma sequência se a desigualdade ε>0 vale para qualquer um de seus limites, e toda a vizinhança tem seu próprio número natural N, tal que todos os membros da sequência com números mais altos serão dentro da sequência |x n - a|< ε.

Com tal conhecimento, é fácil resolver os limites de uma sequência, provar ou refutar uma resposta pronta.

Teoremas

Teoremas sobre os limites das sequências são um componente importante da teoria, sem os quais a prática é impossível. Existem apenas quatro teoremas principais, lembrando quais, você pode facilitar significativamente o processo de resolver ou provar:

1. Unicidade do limite de uma sequência. Qualquer sequência pode ter apenas um limite ou não ter nenhum. O mesmo exemplo com uma fila que só pode ter uma extremidade.
2. Se uma série de números tiver um limite, a sequência desses números será limitada.
3. O limite da soma (diferença, produto) das sequências é igual à soma (diferença, produto) de seus limites.
4. O limite quociente de duas sequências é igual ao quociente dos limites se e somente se o denominador não se anular.

Prova de Sequência

Às vezes é necessário resolver um problema inverso, para provar um dado limite de uma sequência numérica. Vejamos um exemplo.

Prove que o limite da sequência dada pela fórmula é igual a zero.

De acordo com a regra acima, para qualquer sequência a desigualdade |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Vamos expressar n em termos de "épsilon" para mostrar a existência de um certo número e provar a existência de um limite de sequência.

Nesta fase, é importante lembrar que "epsilon" e "en" são números positivos e não iguais a zero. Agora você pode dar continuidade a outras transformações usando o conhecimento sobre desigualdades adquirido no ensino médio.

Daí resulta que n > -3 + 1/ε. Como vale lembrar que estamos falando de números naturais, o resultado pode ser arredondado colocando-o entre colchetes. Assim, provou-se que para qualquer valor da vizinhança “épsilon” do ponto a = 0, foi encontrado um valor tal que a desigualdade inicial é satisfeita. A partir disso, podemos afirmar com segurança que o número a é o limite da sequência dada. Q.E.D.

Com um método tão conveniente, você pode provar o limite de uma sequência numérica, por mais complicado que possa parecer à primeira vista. O principal é não entrar em pânico com a visão da tarefa.

Ou talvez ele não exista?

A existência de um limite de sequência não é necessária na prática. É fácil encontrar essas séries de números que realmente não têm fim. Por exemplo, o mesmo pisca-pisca x n = (-1) n . é óbvio que uma sequência consistindo de apenas dois dígitos repetindo ciclicamente não pode ter um limite.

A mesma história é repetida com sequências constituídas por um único número, fracionário, tendo no decorrer dos cálculos uma incerteza de qualquer ordem (0/0, ∞/∞, ∞/0, etc.). No entanto, deve ser lembrado que o cálculo incorreto também ocorre. Às vezes, verificar novamente sua própria solução o ajudará a encontrar o limite de sucessões.

sequência monotônica

Acima, consideramos vários exemplos de sequências, métodos para resolvê-los, e agora vamos tentar pegar um caso mais específico e chamá-lo de "sequência monótona".

Definição: é justo chamar qualquer sequência monotonicamente crescente se ela satisfaz a desigualdade estrita x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1.

Juntamente com essas duas condições, existem também desigualdades não estritas semelhantes. Assim, x n ≤ x n +1 (sequência não decrescente) e x n ≥ x n +1 (sequência não crescente).

Mas é mais fácil entender isso com exemplos.

A sequência dada pela fórmula x n \u003d 2 + n forma a seguinte série de números: 4, 5, 6, etc. Esta é uma sequência monotonicamente crescente.

E se pegarmos x n \u003d 1 / n, obtemos uma série: 1/3, ¼, 1/5, etc. Esta é uma sequência monotonicamente decrescente.

Limite da sequência convergente e limitada

Uma sequência limitada é uma sequência que tem um limite. Uma sequência convergente é uma série de números que tem um limite infinitesimal.

Assim, o limite de uma sequência limitada é qualquer número real ou complexo. Lembre-se que só pode haver um limite.

O limite de uma sequência convergente é uma quantidade infinitesimal (real ou complexa). Se você desenhar um diagrama de sequência, em um certo ponto ele irá, por assim dizer, convergir, tenderá a se transformar em um determinado valor. Daí o nome - sequência convergente.

Limite de sequência monotônica

Tal sequência pode ou não ter um limite. Primeiro, é útil entender quando é, a partir daqui você pode começar a provar a ausência de um limite.

Entre as sequências monotônicas, distinguem-se as convergentes e divergentes. Convergente - esta é uma sequência que é formada pelo conjunto x e tem um limite real ou complexo neste conjunto. Divergente - uma sequência que não tem limite em seu conjunto (nem real nem complexa).

Além disso, a sequência converge se seus limites superior e inferior convergem em uma representação geométrica.

O limite de uma sequência convergente pode, em muitos casos, ser igual a zero, pois qualquer sequência infinitesimal tem um limite conhecido (zero).

Qualquer que seja a sequência convergente que você tomar, elas são todas limitadas, mas longe de todas as sequências limitadas convergem.

A soma, diferença, produto de duas sequências convergentes também é uma sequência convergente. No entanto, o quociente também pode convergir se for definido!

Várias ações com limites

Limites de sequência são tão significativos (na maioria dos casos) quanto números e números: 1, 2, 15, 24, 362, etc. Acontece que algumas operações podem ser realizadas com limites.

Primeiro, assim como dígitos e números, os limites de qualquer sequência podem ser somados e subtraídos. Com base no terceiro teorema sobre os limites das sequências, a seguinte igualdade é verdadeira: o limite da soma das sequências é igual à soma de seus limites.

Em segundo lugar, com base no quarto teorema sobre os limites das sequências, a seguinte igualdade é verdadeira: o limite do produto do enésimo número de sequências é igual ao produto de seus limites. O mesmo vale para a divisão: o limite do quociente de duas sequências é igual ao quociente de seus limites, desde que o limite não seja igual a zero. Afinal, se o limite de sequências for igual a zero, a divisão por zero resultará, o que é impossível.

Propriedades do valor de sequência

Parece que o limite da sequência numérica já foi analisado com algum detalhe, mas frases como números “infinitamente pequenos” e “infinitamente grandes” são mencionadas mais de uma vez. Obviamente, se existe uma sequência 1/x, onde x→∞, então tal fração é infinitamente pequena, e se a mesma sequência, mas o limite tende a zero (x→0), então a fração se torna um valor infinitamente grande . E tais valores têm características próprias. As propriedades do limite de uma sequência com valores pequenos ou grandes arbitrários são as seguintes:

1. A soma de qualquer número de quantidades arbitrariamente pequenas também será uma quantidade pequena.
2. A soma de qualquer número de valores grandes será um valor infinitamente grande.
3. O produto de quantidades arbitrariamente pequenas é infinitamente pequeno.
4. O produto de números arbitrariamente grandes é uma quantidade infinitamente grande.
5. Se a sequência original tende a um número infinito, então a recíproca dela será infinitesimal e tenderá a zero.

Na verdade, calcular o limite de uma sequência não é uma tarefa tão difícil se você conhece um algoritmo simples. Mas os limites das sequências são um tema que exige atenção e perseverança máximas. Claro, é suficiente simplesmente entender a essência da solução de tais expressões. Começando pequeno, com o tempo, você pode alcançar grandes alturas.

Teorema 1. O limite da soma algébrica de duas, três e geralmente um certo número de funções é igual à soma algébrica dos limites dessas funções, ou seja,

Prova. Faremos a prova para dois termos, pois para qualquer número de termos ela é feita da mesma maneira. Deixe. Então f(x)=b+α(x) e g(x)=c+β(x), Onde α e β são funções infinitesimais. Consequentemente,

f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)).

Porque b+cé uma constante e α(x) + β(x)é uma função infinitesimal, então

Exemplo. Teorema 2. O limite do produto de dois, três e, em geral, um número finito de funções é igual ao produto dos limites dessas funções: Prova. Deixar . Consequentemente, f(x)=b+α(x) e g(x)=c+β(x) e fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).

Trabalhar bcé um valor constante. Função bβ + cα + αβ com base nas propriedades das funções infinitesimais, existe uma quantidade infinitesimal. É por isso

Consequência 1. O fator constante pode ser retirado do sinal de limite:

Consequência 2. O limite do grau é igual ao grau do limite: Exemplo. Teorema 3. O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções se o limite do denominador for diferente de zero, ou seja, Prova. Deixar . Consequentemente, f(x)=b+α(x) e g(x)=c+β(x), Onde α, β são infinitamente pequenos. Considere o quociente

Uma fração é uma função infinitesimal porque o numerador é uma função infinitesimal e o denominador tem um limite c2 ≠0.

Exemplos.

3. Considere. No x→1 o numerador da fração tende a 1, e o denominador tende a 0. Mas uma vez que, i.e. é uma função infinitesimal para x→ 1, então

Teorema 4. Sejam dadas três funções f(x), u(x) e v(x), satisfazendo as desigualdades u (x)≤f(x)≤v(x). Se as funções u(x) e v(x) tem o mesmo limite x→a(ou x→∞), então a função f(x) tende para o mesmo limite, ou seja, E se

Teorema 5. Se em x→a(ou x→∞) função y=f(x) assume valores não negativos y≥0 e tende ao limite b, então esse limite não pode ser negativo: b≥0.

Prova. A prova será feita por contradição. Vamos fingir que b<0 , então |y – b|≥|b| e, portanto, o módulo da diferença não tende a zero em x→a. Mas então y não vai ao limite b no x→a, o que contradiz a condição do teorema.

Teorema 6. Se duas funções f(x) e g(x) para todos os valores do argumento x satisfaça a desigualdade f(x)≥ g(x) e tem limites , então temos a desigualdade b≥c.

Prova. De acordo com o teorema f(x)-g(x) ≥0, portanto, pelo Teorema 5 , ou .

6. Divulgação de incertezas (0/0), ∞ -∞

EU. Incerteza.

Ao decompor o numerador em fatores, usamos a regra para dividir um polinômio por um polinômio por um “ângulo”. Desde o número x=1 é a raiz do polinômio x 3 – 6x2 + 11x– 6, então ao dividir temos

7. Limite de sequência . O conceito de logaritmo natural.

SEGUNDO LIMITE NOTÁVEL

O segundo limite notável serve para revelar a incerteza 1 ∞ e se parece com isso

Exemplos:

logaritmo básico e (e- um número transcendental aproximadamente igual a 2,718281828 ...) Logaritmo natural. Logaritmo natural de um número x denotado ln x. Logaritmos naturais são amplamente utilizados em cálculos de matemática, física e engenharia.

Os logaritmos são amplamente utilizados

base, chamada natural. Os logaritmos naturais são indicados pelo símbolo

O conceito de limite de uma função.

O conceito de continuidade de uma função está diretamente relacionado ao conceito de limite de uma função.

Um número A é chamado limite de uma função f em um ponto a, que é limitante para um conjunto E, se para qualquer vizinhança V(A) do ponto A existe uma vizinhança perfurada do ponto a tal que sua imagem sob o mapeamento f é um subconjunto da dada vizinhança V(A) do ponto A.

O limite da função f no ponto a, que é o limite do conjunto E, é denotado da seguinte forma: ou , se for possível omitir a menção ao conjunto E.

Uma vez que cada vizinhança pode ser associada à sua própria vizinhança regular (simétrica), a definição do limite pode ser formulada na linguagem -δ na forma usual em análise matemática:

O limite da função no ponto f no ponto a, que é o limite do conjunto E, está diretamente relacionado ao limite da sequência.

Consideraremos todas as possíveis sequências de pontos do conjunto E que têm o ponto a como seu limite, e as sequências correspondentes de valores de funções nos pontos da sequência. Se o limite da função função f no ponto a existir, então este limite será o limite de cada sequência.

O inverso também é verdadeiro: se todas as sequências convergem para o mesmo valor, então a função tem um limite igual ao valor dado.

número constante uma chamado limite sequências(x n ) se para qualquer número positivo arbitrariamente pequenoε > 0 existe um número N tal que todos os valores xn, para o qual n>N, satisfaz a desigualdade

|xn-a|< ε. (6.1)

Escreva da seguinte forma: ou x n → uma.

A desigualdade (6.1) é equivalente à dupla desigualdade

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

o que significa que os pontos xn, a partir de algum número n>N, está dentro do intervalo (a-ε, a + ε ), ou seja, cair em qualquer pequenoε - vizinhança do ponto uma.

Uma sequência que tem um limite é chamada convergente, por outro lado - divergente.

O conceito de limite de uma função é uma generalização do conceito de limite de uma sequência, pois o limite de uma sequência pode ser considerado como o limite da função x n = f(n) de um argumento inteiro n.

Seja dada uma função f(x) e seja uma - ponto limite o domínio de definição desta função D(f), i.e. tal ponto, qualquer vizinhança que contém pontos do conjunto D(f) diferentes de uma. Ponto uma pode ou não pertencer ao conjunto D(f).

Definição 1.O número constante A é chamado limite funções f(x) no x→a if para qualquer sequência (x n ) de valores de argumentos tendendo a uma, as sequências correspondentes (f(x n)) têm o mesmo limite A.

Essa definição é chamada definindo o limite de uma função de acordo com Heine, ou " na linguagem das sequências”.

Definição 2. O número constante A é chamado limite funções f(x) no x→a se, dado um número positivo arbitrariamente pequeno ε, pode-se encontrar tal δ>0 (dependendo de ε), que para todos x Deitandoε-vizinhanças de um número uma, ou seja por x satisfazendo a desigualdade
0 < x-a< ε , os valores da função f(x) estarão emε-vizinhança do número A, ou seja|f(x)-A|< ε.

Essa definição é chamada definindo o limite de uma função de acordo com Cauchy, ou “na linguagem ε - δ “.

As definições 1 e 2 são equivalentes. Se a função f(x) como x →um tem limite igual a A, isso é escrito como

. (6.3)

No caso de a sequência (f(x n)) aumentar (ou diminuir) indefinidamente para qualquer método de aproximação x ao seu limite uma, então diremos que a função f(x) tem limite infinito, e escreva como:

Uma variável (ou seja, uma sequência ou função) cujo limite é zero é chamada infinitamente pequeno.

Uma variável cujo limite é igual ao infinito é chamada infinitamente grande.

Para encontrar o limite na prática, use os seguintes teoremas.

Teorema 1 . Se todo limite existe

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Comente. Expressões como 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - são incertas, por exemplo, a razão de duas quantidades infinitesimais ou infinitamente grandes, e encontrar um limite desse tipo é chamado de “divulgação de incerteza”.

Teorema 2. (6.7)

Essa. é possível passar ao limite na base do grau em um expoente constante, em particular, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Onde e » 2.7 é a base do logaritmo natural. As fórmulas (6.10) e (6.11) são chamadas de primeira limite maravilhoso e o segundo limite notável.

Os corolários da fórmula (6.11) também são usados ​​na prática:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

nomeadamente o limite

Se x → a e ao mesmo tempo x > a, então escreva x→a + 0. Se, em particular, a = 0, então em vez do símbolo 0+0 escreve-se +0. Da mesma forma, se x→a e ao mesmo tempo x a-0. Números e são nomeados de acordo. limite certo e limite esquerdo funções f(x) no ponto uma. Para que o limite da função f(x) exista como x→a é necessário e suficiente para . A função f(x) é chamada contínuo no ponto x 0 se limite

. (6.15)

A condição (6.15) pode ser reescrita como:

,

isto é, a passagem ao limite sob o sinal de uma função é possível se ela for contínua em um dado ponto.

Se a igualdade (6.15) for violada, dizemos que no x = x função f(x) Tem Gap = Vão. Considere a função y = 1/x. O domínio desta função é o conjunto R, exceto para x = 0. O ponto x = 0 é um ponto limite do conjunto D(f), pois em qualquer uma de suas vizinhanças, ou seja, qualquer intervalo aberto contendo o ponto 0 contém pontos de D(f), mas ele próprio não pertence a este conjunto. O valor f(x o)= f(0) não está definido, então a função tem uma descontinuidade no ponto x o = 0.

A função f(x) é chamada contínua à direita em um ponto x o se limite

,

e contínua à esquerda em um ponto x o se limite

.

Continuidade de uma função em um ponto x oé equivalente à sua continuidade neste ponto tanto à direita como à esquerda.

Para que uma função seja contínua em um ponto x o, por exemplo, à direita, é necessário, em primeiro lugar, que haja um limite finito , e em segundo lugar, que esse limite seja igual a f(x o). Portanto, se pelo menos uma dessas duas condições não for atendida, a função terá uma lacuna.

1. Se o limite existe e não é igual a f(x o), então eles dizem que função f(x) no ponto xo tem ruptura do primeiro tipo, ou pular.

2. Se o limite for+∞ ou -∞ ou não existe, então dizemos que em ponto x o a função tem uma pausa segundo tipo.

Por exemplo, a função y = ctg x em x→ +0 tem um limite igual a +∞, portanto, no ponto x = 0 tem uma descontinuidade do segundo tipo. Função y = E(x) (parte inteira de x) em pontos com abcissas inteiras tem descontinuidades do primeiro tipo, ou saltos.

Uma função que é contínua em todos os pontos do intervalo é chamada contínuo dentro . Uma função contínua é representada por uma curva sólida.

Muitos problemas associados ao crescimento contínuo de alguma quantidade levam ao segundo limite notável. Tais tarefas, por exemplo, incluem: o crescimento da contribuição de acordo com a lei dos juros compostos, o crescimento da população do país, a decomposição de uma substância radioativa, a multiplicação de bactérias, etc.

Considerar exemplo de Ya. I. Perelman, que dá a interpretação do número e no problema dos juros compostos. Número e existe um limite . Nos bancos de poupança, o dinheiro dos juros é adicionado ao capital fixo anualmente. Se a conexão for feita com mais frequência, o capital crescerá mais rapidamente, pois uma grande quantidade está envolvida na formação de juros. Tomemos um exemplo puramente teórico e altamente simplificado. Deixe o banco colocar 100 den. unidades à taxa de 100% ao ano. Se o dinheiro com juros for adicionado ao capital fixo somente após um ano, então, a essa altura, 100 den. unidades vai se transformar em 200 den. Agora vamos ver no que 100 den vai se transformar. unidades, se juros são adicionados ao capital fixo a cada seis meses. Depois de meio ano 100 den. unidades crescer até 100× 1,5 \u003d 150 e depois de mais seis meses - em 150× 1,5 \u003d 225 (unidades den.). Se a adesão for feita a cada 1/3 do ano, depois de um ano 100 den. unidades transformar em 100× (1 +1/3) 3 » 237 (unidades den.). Aumentaremos o prazo para adicionar dinheiro de juros para 0,1 ano, 0,01 ano, 0,001 ano e assim por diante. Em seguida, de 100 den. unidades um ano depois:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unidades den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unidades den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unidades den.).

Com uma redução ilimitada nos prazos de adesão, o capital acumulado não cresce indefinidamente, mas aproxima-se de um certo limite igual a aproximadamente 271. O capital colocado a 100% ao ano não pode aumentar mais de 2,71 vezes, mesmo que os juros acumulados fossem adicionado ao capital a cada segundo porque o limite

Exemplo 3.1.Usando a definição do limite de uma sequência numérica, prove que a sequência x n =(n-1)/n tem um limite igual a 1.

Solução.Precisamos provar que seja o que forε > 0 tomamos, pois existe um número natural N tal que para todo n N a desigualdade|xn-1|< ε.

Tome qualquer e > 0. Desde ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, então para encontrar N basta resolver a desigualdade 1/n< e. Portanto, n>1/e e, portanto, N pode ser tomado como a parte inteira de 1/ e , N = E(1/e ). Provamos assim que o limite .

Exemplo 3.2 . Encontre o limite de uma sequência dada por um termo comum .

Solução.Aplique o teorema da soma limite e encontre o limite de cada termo. Para n→ ∞ o numerador e denominador de cada termo tende ao infinito, e não podemos aplicar diretamente o teorema do quociente limite. Portanto, primeiro transformamos xn, dividindo o numerador e denominador do primeiro termo por nº 2, e o segundo n. Então, aplicando o teorema do limite do quociente e o teorema do limite da soma, encontramos:

.

Exemplo 3.3. . Achar .

Solução. .

Aqui usamos o teorema do limite de grau: o limite de um grau é igual ao grau do limite da base.

Exemplo 3.4 . Achar ( ).

Solução.É impossível aplicar o teorema do limite da diferença, pois temos uma incerteza da forma ∞-∞ . Vamos transformar a fórmula do termo geral:

.

Exemplo 3.5 . Dada uma função f(x)=2 1/x . Prove que o limite não existe.

Solução.Usamos a definição 1 do limite de uma função em termos de uma sequência. Tome uma sequência ( x n ) convergindo para 0, i.e. Vamos mostrar que o valor f(x n)= se comporta de maneira diferente para diferentes sequências. Seja x n = 1/n. Obviamente, então o limite Vamos escolher agora como xn uma sequência com um termo comum x n = -1/n, também tendendo a zero. Portanto, não há limite.

Exemplo 3.6 . Prove que o limite não existe.

Solução.Seja x 1 , x 2 ,..., x n ,... uma sequência para a qual
. Como a sequência (f(x n)) = (sen x n ) se comporta para diferentes x n → ∞

Se x n \u003d p n, então sen x n \u003d sin p n = 0 para todos n e limite Se
xn=2 p n + p /2, então sen x n = sen(2 p n+ p /2) = sen p /2 = 1 para todos n e, portanto, o limite. Assim não existe.

Widget para calcular limites online

Na caixa superior, em vez de sin(x)/x, insira a função cujo limite você deseja encontrar. Na caixa inferior, digite o número para o qual x tende e clique no botão Calcular, obtenha o limite desejado. E se você clicar em Mostrar etapas no canto superior direito da janela de resultados, obterá uma solução detalhada.

Regras de entrada de função: sqrt(x) - raiz quadrada, cbrt(x) - raiz cúbica, exp(x) - expoente, ln(x) - logaritmo natural, sin(x) - seno, cos(x) - cosseno, tan (x) - tangente, cot(x) - cotangente, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Sinais: * multiplicação, / divisão, ^ exponenciação, em vez de infinidade Infinidade. Exemplo: a função é inserida como sqrt(tan(x/2)).

São dadas declarações dos principais teoremas e propriedades de sequências numéricas com limites. Contém a definição de uma sequência e seu limite. São consideradas operações aritméticas com sequências, propriedades relacionadas a desigualdades, critérios de convergência, propriedades de sequências infinitamente pequenas e infinitamente grandes.

Sequências

Sequência numérica chamada de lei (regra), segundo a qual, a cada número natural é atribuído um número.
O número é chamado de enésimo membro ou elemento da sequência.
No que se segue, vamos supor que os elementos da sequência são números reais.

limitado, se existe um número M tal que para todo real n .

cara superior as seqüências são chamadas o menor dos números que limitam a seqüência de cima. Ou seja, este é um número s para o qual para todo n e para qualquer , existe um elemento da sequência que excede s′ : .

face inferior sequências nomeiam o maior dos números que limitam a sequência a partir de baixo. Ou seja, este é um número i para o qual para todo n e para qualquer , existe um elemento da sequência que é menor que i : .

A borda superior também é chamada limite superior exato, e o limite inferior limite inferior preciso. Os conceitos de limites superiores e inferiores são válidos não apenas para sequências, mas também para quaisquer conjuntos de números reais.

Determinando o limite de uma sequência

O número a é chamado de limite da sequência, se para qualquer número positivo existe tal número natural N , dependendo de , que para todos os números naturais a desigualdade
.
O limite de uma sequência é denotado da seguinte forma:
.
Ou em.

Usando os símbolos lógicos de existência e universalidade, a definição do limite pode ser escrita da seguinte forma:
.

Intervalo aberto (a - ε, a + ε)é chamada de vizinhança ε do ponto a.

Uma sequência que tem um limite é chamada sequência convergente. Diz-se também que a sequência converge para um. Uma sequência que não tem limite é chamada divergente.

apontar um não é o limite da sequência, se existe tal que para qualquer n natural existe tal m natural >n, o que
.
.
Isso significa que você pode escolher tal ε - vizinhança do ponto a , fora do qual haverá um número infinito de elementos da sequência.

Propriedades de limites finitos de sequências

Propriedades básicas

Um ponto a é o limite de uma sequência se e somente se fora de qualquer vizinhança deste ponto é número finito de elementos sequências ou o conjunto vazio.

Se o número a não é o limite da sequência, então existe tal vizinhança do ponto a, fora do qual existe número infinito de elementos de sequência.

Teorema da unicidade para o limite de uma sequência numérica. Se uma sequência tem um limite, então ela é única.

Se uma sequência tem um limite finito, então ela limitado.

Se cada elemento da sequência é igual ao mesmo número C:, então esta sequência tem um limite igual ao número C.

Se a sequência adicione, solte ou altere os primeiros m elementos, isso não afetará sua convergência.

Provas de propriedades básicas dado na página
Propriedades básicas de limites finitos de sequências >>> .

Aritmética com limites

Sejam limites finitos e sequências e . E seja C uma constante, ou seja, um número dado. Então
;
;
;
, E se .
No caso do quociente, assume-se que para todo n .

Se então .

Provas de propriedades aritméticas dado na página
Propriedades aritméticas de limites finitos de sequências >>> .

Propriedades associadas a desigualdades

Se os elementos da sequência, a partir de algum número, satisfazem a desigualdade , então o limite a dessa sequência também satisfaz a desigualdade .

Se os elementos da sequência, a partir de algum número, pertencem a um intervalo fechado (segmento) , então o limite a também pertence a este intervalo: .

Se e e elementos de sequências, a partir de algum número, satisfazem a desigualdade , então .

Se e, a partir de algum número, , então .
Em particular, se, a partir de algum número, , então
se então ;
se então .

Se e , então .

Deixe e. Se um < b , então existe um número natural N tal que para todo n > N a desigualdade é satisfeita.

Provas de propriedades relacionadas a desigualdades dado na página
Propriedades de limites de sequência relacionados a >>> desigualdades.

Sequências infinitesimais e infinitesimais

Sequência infinitesimal

Subsequência é chamada de sequência infinitesimal se o limite for zero:
.

Soma e Diferença número finito de sequências infinitesimais é uma sequência infinitesimal.

Produto de uma sequência limitada para um infinitesimal é uma sequência infinitesimal.

Produto de um número finito seqüências infinitesimais é uma seqüência infinitesimal.

Para que uma sequência tenha um limite a , é necessário e suficiente que , onde é uma sequência infinitesimal.

Provas de propriedades de sequências infinitesimais dado na página
Sequências infinitamente pequenas - definição e propriedades >>> .

Sequência infinitamente grande

Subsequência é chamada de sequência infinita, se para qualquer número positivo existe tal número natural N , dependendo de , que para todos os números naturais a desigualdade
.
Neste caso, escreva
.
Ou em.
Dizem que tende ao infinito.

Se , a partir de algum número N , então
.
Se então
.

Se as sequências são infinitamente grandes, então a partir de algum número N, uma sequência é definida que é infinitamente pequena. Se for uma sequência infinitesimal com elementos diferentes de zero, então a sequência é infinitamente grande.

Se a sequência é infinitamente grande e a sequência é limitada, então
.

Se os valores absolutos dos elementos da sequência são limitados a partir de baixo por um número positivo () e são infinitamente pequenos com elementos diferentes de zero, então
.

Em detalhes definição de uma sequência infinitamente grande com exemplos dado na página
Definição de uma sequência infinitamente grande >>> .
Provas para propriedades de sequências infinitamente grandes dado na página
Propriedades de sequências infinitamente grandes >>> .

Critérios de Convergência de Sequência

Sequências monotônicas

A sequência é chamada estritamente crescente, se para todo n vale a seguinte desigualdade:
.
Assim, para estritamente decrescente sequência, vale a seguinte desigualdade:
.
Por não decrescente:
.
Por não crescente:
.

Segue-se que uma sequência estritamente crescente também é não decrescente. Uma sequência estritamente decrescente também é não crescente.

A sequência é chamada monótono se é não decrescente ou não crescente.

Uma sequência monotônica é limitada em pelo menos um lado por . Uma sequência não decrescente é limitada a partir de abaixo: . Uma sequência não crescente é limitada a partir de cima: .

Teorema de Weierstrass. Para que uma sequência não decrescente (não crescente) tenha um limite finito, é necessário e suficiente que ela seja limitada por cima (por baixo). Aqui M é algum número.

Uma vez que qualquer sequência não decrescente (não crescente) é limitada a partir de baixo (de cima), o teorema de Weierstrass pode ser reformulado da seguinte forma:

Para que uma sequência monótona tenha um limite finito, é necessário e suficiente que ela seja limitada: .

Sequência ilimitada monotônica tem um limite infinito, igual para sequências não decrescentes e não crescentes.

Prova do teorema de Weierstrass dado na página
Teorema de Weierstrass sobre o limite de uma sequência monótona >>> .

Critério de Cauchy para convergência de sequência

Condição Cauchy. Uma sequência satisfaz a condição de Cauchy se para qualquer existir um número natural tal que para todos os números naturais n e m que satisfaçam a condição, a desigualdade
.
As sequências que satisfazem a condição de Cauchy também são chamadas sequências fundamentais.

Critério de Cauchy para convergência de sequência. Para que uma sequência tenha um limite finito, é necessário e suficiente que ela satisfaça a condição de Cauchy.

Prova do Critério de Convergência de Cauchy dado na página
Critério de convergência de Cauchy para uma sequência >>> .

Subsequências

Teorema de Bolzano-Weierstrass. De qualquer sequência limitada, uma subsequência convergente pode ser distinguida. E de qualquer sequência ilimitada - uma subsequência infinitamente grande convergindo para ou para .

Prova do teorema de Bolzano-Weierstrass dado na página
Teorema de Bolzano–Weierstrass >>> .

Definições, teoremas e propriedades de subsequências e limites parciais são discutidos na página
Subsequências e limites parciais de sequências >>>.

Referências:
CM. Nikolsky. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Curso de análise matemática. Volume 1. Moscou, 2003.
V.A. Zorich. Analise matemática. Parte 1. Moscou, 1997.
V.A. Ilin, E. G. Pozniak. Fundamentos de análise matemática. Parte 1. Moscou, 2005.