Para a=b=R a equação (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 descreve um círculo de raio R centrado no ponto O"(x_0,y_0) .

Equação paramétrica de uma elipse

Equação paramétrica de uma elipse no sistema de coordenadas canônicas tem a forma

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

De fato, substituindo essas expressões na equação (3.49), chegamos à identidade trigonométrica básica \cos^2t+\sin^2t=1 .

Exemplo 3.20. desenhar elipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 no sistema de coordenadas canônico Oxy. Encontre semieixos, distância focal, excentricidade, relação de aspecto, parâmetro focal, equações de diretriz.

Solução. Comparando a equação dada com a canônica, determinamos os semieixos: a=2 - o semieixo maior, b=1 - o semieixo menor da elipse. Construímos o retângulo principal com lados 2a=4,~2b=2 centrados na origem (Fig.3.39). Dada a simetria da elipse, nós a encaixamos no retângulo principal. Se necessário, determinamos as coordenadas de alguns pontos da elipse. Por exemplo, substituindo x = 1 na equação da elipse, obtemos

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Portanto, pontos com coordenadas \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pertencem a uma elipse.

Calcule a taxa de compressão k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); comprimento focal 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); excentricidade e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parâmetro focal p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Compomos as equações da diretriz: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Definição 7.1. O conjunto de todos os pontos no plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos F 1 e F 2 é uma constante dada é chamado elipse.

A definição de uma elipse dá a seguinte maneira de construí-la geometricamente. Fixamos dois pontos F 1 e F 2 no plano e denotamos um valor constante não negativo por 2a. Seja a distância entre os pontos F 1 e F 2 igual a 2c. Imagine que um fio inextensível de comprimento 2a seja fixado nos pontos F 1 e F 2, por exemplo, com o auxílio de duas agulhas. É claro que isso só é possível para a ≥ c. Puxando o fio com um lápis, desenhe uma linha, que será uma elipse (Fig. 7.1).

Assim, o conjunto descrito não é vazio se a ≥ c. Quando a = c, a elipse é um segmento com extremidades F 1 e F 2, e quando c = 0, ou seja. se os pontos fixos especificados na definição de uma elipse coincidem, é um círculo de raio a. Descartando esses casos degenerados, assumiremos ainda, como regra, que a > c > 0.

Os pontos fixos F 1 e F 2 na definição 7.1 da elipse (ver Fig. 7.1) são chamados truques de elipse, a distância entre eles, denotada por 2c, - comprimento focal, e os segmentos F 1 M e F 2 M, conectando um ponto arbitrário M na elipse com seus focos, - raios focais.

A forma da elipse é completamente determinada pela distância focal |F 1 F 2 | = 2с e parâmetro a, e sua posição no plano - por um par de pontos F 1 e F 2 .

Segue-se da definição de uma elipse que ela é simétrica em relação a uma linha reta que passa pelos focos F 1 e F 2, bem como em relação a uma linha reta que divide o segmento F 1 F 2 ao meio e é perpendicular a ele (Fig. 7.2, a). Essas linhas são chamadas eixos de elipse. O ponto O de sua interseção é o centro de simetria da elipse, e é chamado o centro da elipse, e os pontos de intersecção da elipse com os eixos de simetria (pontos A, B, C e D na Fig. 7.2, a) - os vértices da elipse.

O número a é chamado semi-eixo maior de uma elipse, e b = √ (a 2 - c 2) - seu semi-eixo menor. É fácil ver que para c > 0, o semieixo maior a é igual à distância do centro da elipse aos seus vértices que estão no mesmo eixo dos focos da elipse (vértices A e B na Fig. 7.2, a), e o semieixo menor b é igual à distância da elipse central aos seus outros dois vértices (vértices C e D na Fig. 7.2, a).

Equação da elipse. Considere uma elipse no plano com focos nos pontos F 1 e F 2 , eixo maior 2a. Seja 2c a distância focal, 2c = |F 1 F 2 |

Escolhemos um sistema de coordenadas retangulares Oxy no plano de modo que sua origem coincida com o centro da elipse e os focos estejam em abscissa(Fig. 7.2, b). Esse sistema de coordenadas é chamado canônico para a elipse em consideração, e as variáveis ​​correspondentes são canônico.

No sistema de coordenadas selecionado, os focos têm coordenadas F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Usando a fórmula da distância entre os pontos, escrevemos a condição |F 1 M| + |F 2 M| = 2a em coordenadas:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Esta equação é inconveniente porque contém dois radicais quadrados. Então vamos transformá-lo. Transferimos o segundo radical da equação (7.2) para o lado direito e o elevamos ao quadrado:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Depois de abrir os colchetes e reduzir os termos semelhantes, obtemos

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

onde ε = c/a. Repetimos a operação de quadratura para remover também o segundo radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ou, dado o valor do parâmetro inserido ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Como a 2 - c 2 = b 2 > 0, então

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7,4)

A Equação (7.4) é satisfeita pelas coordenadas de todos os pontos situados na elipse. Mas ao derivar esta equação, foram usadas transformações não equivalentes da equação original (7.2) - dois quadrados que removem radicais quadrados. Quadrar uma equação é uma transformação equivalente se ambos os lados contiverem quantidades com o mesmo sinal, mas não verificamos isso em nossas transformações.

Podemos não verificar a equivalência de transformações se considerarmos o seguinte. Um par de pontos F 1 e F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, no plano define uma família de elipses com focos nestes pontos. Cada ponto do plano, exceto os pontos do segmento F 1 F 2 , pertence a alguma elipse da família especificada. Nesse caso, duas elipses não se cruzam, pois a soma dos raios focais determina exclusivamente uma elipse específica. Assim, a família de elipses sem interseções descrita cobre todo o plano, exceto os pontos do segmento F 1 F 2 . Considere um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a equação (7.4) com um dado valor do parâmetro a. Esse conjunto pode ser distribuído entre várias elipses? Alguns dos pontos do conjunto pertencem a uma elipse com semi-eixo maior a. Seja um ponto neste conjunto situado sobre uma elipse com um semi-eixo maior a. Então as coordenadas deste ponto obedecem a equação

Essa. as equações (7.4) e (7.5) têm soluções comuns. No entanto, é fácil verificar que o sistema

para ã ≠ a não tem soluções. Para fazer isso, basta excluir, por exemplo, x da primeira equação:

que após transformações leva à equação

não tendo soluções para ã ≠ a, porque . Então, (7.4) é a equação de uma elipse com o semi-eixo maior a > 0 e o semi-eixo menor b = √ (a 2 - c 2) > 0. É chamado a equação canônica da elipse.

Visualização da elipse. O método geométrico de construção de uma elipse discutido acima dá uma ideia suficiente da aparência de uma elipse. Mas a forma de uma elipse também pode ser investigada com a ajuda de sua equação canônica (7.4). Por exemplo, considerando y ≥ 0, você pode expressar y em termos de x: y = b√(1 - x 2 /a 2) e, tendo examinado esta função, construir seu gráfico. Existe outra maneira de construir uma elipse. Um círculo de raio a centrado na origem do sistema de coordenadas canônicas da elipse (7.4) é descrito pela equação x 2 + y 2 = a 2 . Se for comprimido com o coeficiente a/b > 1 ao longo eixo y, você obtém uma curva descrita pela equação x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, ou seja, uma elipse.

Observação 7.1. Se o mesmo círculo é comprimido com o coeficiente a/b

Excentricidade da elipse. A razão entre a distância focal de uma elipse e seu eixo maior é chamada excentricidade da elipse e denotado por ε. Para uma elipse dada

equação canônica (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Se em (7.4) os parâmetros a e b estão relacionados pela desigualdade a

Para c = 0, quando a elipse se transforma em um círculo, e ε = 0. Em outros casos, 0

A equação (7.3) é equivalente à equação (7.4) porque as equações (7.4) e (7.2) são equivalentes. Portanto, (7.3) também é uma equação de elipse. Além disso, a relação (7.3) é interessante porque fornece uma fórmula simples sem radicais para o comprimento |F 2 M| um dos raios focais do ponto M(x; y) da elipse: |F 2 M| = a + εx.

Uma fórmula semelhante para o segundo raio focal pode ser obtida a partir de considerações de simetria ou pela repetição de cálculos nos quais, antes de quadrar a equação (7.2), o primeiro radical é transferido para o lado direito, e não o segundo. Então, para qualquer ponto M(x; y) na elipse (veja a Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7,6)

e cada uma dessas equações é uma equação de elipse.

Exemplo 7.1. Vamos encontrar a equação canônica de uma elipse com semi-eixo maior 5 e excentricidade 0,8 e construí-la.

Conhecendo o semieixo maior da elipse a = 5 e a excentricidade ε = 0,8, encontramos seu semieixo menor b. Como b \u003d √ (a 2 - c 2) e c \u003d εa \u003d 4, então b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Portanto, a equação canônica tem a forma x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Para construir uma elipse, é conveniente desenhar um retângulo centrado na origem do sistema de coordenadas canônicas, cujos lados são paralelos aos eixos de simetria da elipse e iguais ao seu eixos correspondentes (Fig. 7.4). Este retângulo cruza com

os eixos da elipse em seus vértices A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), e a própria elipse está inscrita nela. Na fig. 7.4 também mostra os focos F 1.2 (±4; 0) da elipse.

Propriedades geométricas de uma elipse. Vamos reescrever a primeira equação em (7.6) como |F 1 M| = (à/ε - x)ε. Observe que o valor de a / ε - x para a > c é positivo, pois o foco F 1 não pertence à elipse. Este valor é a distância até a linha vertical d: x = a/ε do ponto M(x; y) à esquerda desta linha. A equação da elipse pode ser escrita como

|F 1 M|/(à/ε - x) = ε

Isso significa que essa elipse consiste naqueles pontos M (x; y) do plano para os quais a razão entre o comprimento do raio focal F 1 M e a distância à linha reta d é um valor constante igual a ε (Fig. 7.5).

A linha d tem um "duplo" - uma linha vertical d", simétrica a d em relação ao centro da elipse, que é dada pela equação x \u003d -a / ε. Em relação a d", a elipse é descrito da mesma forma que em relação a d. Ambas as linhas d e d" são chamadas diretrizes de elipse. As diretrizes da elipse são perpendiculares ao eixo de simetria da elipse, no qual seus focos estão localizados, e são separados do centro da elipse por uma distância a / ε \u003d a 2 / c (veja a Fig. 7.5) .

A distância p da diretriz ao foco mais próximo é chamada parâmetro focal da elipse. Este parâmetro é igual a

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

A elipse tem outra propriedade geométrica importante: os raios focais F 1 M e F 2 M fazem ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M (Fig. 7.6).

Esta propriedade tem um significado físico claro. Se uma fonte de luz é colocada no foco F 1, então o feixe que emerge deste foco, após a reflexão da elipse, irá ao longo do segundo raio focal, pois após a reflexão estará no mesmo ângulo da curva que antes da reflexão . Assim, todos os raios que saem do foco F 1 serão concentrados no segundo foco F 2 e vice-versa. Com base nessa interpretação, essa propriedade é chamada de propriedade óptica de uma elipse.

Linhas de segunda ordem.
Elipse e sua equação canônica. Círculo

Após um estudo aprofundado linhas retas no plano continuamos a estudar a geometria do mundo bidimensional. As apostas são dobradas e convido você a visitar a pitoresca galeria de elipses, hipérboles, parábolas, que são representantes típicos de linhas de segunda ordem. O passeio já começou, e primeiro, uma breve informação sobre toda a exposição nos diferentes andares do museu:

O conceito de uma linha algébrica e sua ordem

Uma linha em um plano é chamada algébrico, se em sistema de coordenadas afins sua equação tem a forma , onde é um polinômio que consiste em termos da forma ( é um número real, são inteiros não negativos).

Como você pode ver, a equação de uma linha algébrica não contém senos, cossenos, logaritmos e outros beau monde funcionais. Apenas "x" e "y" em inteiro não negativo graus.

Ordem de linhaé igual ao valor máximo dos termos nele incluídos.

De acordo com o teorema correspondente, o conceito de linha algébrica, bem como sua ordem, não dependem da escolha sistema de coordenadas afins , portanto, para facilitar, consideramos que todos os cálculos subsequentes ocorrem em Coordenadas cartesianas .

Equação Geral a linha de segunda ordem tem a forma , onde são números reais arbitrários (é costume escrever com um multiplicador - "dois"), e os coeficientes não são simultaneamente iguais a zero.

Se , então a equação se simplifica para , e se os coeficientes não são simultaneamente iguais a zero, então isso é exatamente equação geral de uma linha reta "plana" , que representa linha de primeira ordem.

Muitos entenderam o significado dos novos termos, mas, no entanto, para assimilar 100% o material, enfiamos os dedos no soquete. Para determinar a ordem da linha, itere sobre todos os termos suas equações e para cada uma delas encontre soma de poderes variáveis ​​de entrada.

Por exemplo:

o termo contém "x" de 1º grau;
o termo contém "Y" até o 1º grau;
não há variáveis ​​no termo, então a soma de suas potências é zero.

Agora vamos descobrir por que a equação define a linha segundo ordem:

o termo contém "x" no 2º grau;
o termo tem a soma dos graus das variáveis: 1 + 1 = 2;
o termo contém "y" no 2º grau;
todos os outros termos - menor grau.

Valor máximo: 2

Se adicionarmos adicionalmente à nossa equação, digamos, , então ela já determinará linha de terceira ordem. É óbvio que a forma geral da equação de linha de 3ª ordem contém um “conjunto completo” de termos, cuja soma dos graus das variáveis ​​é igual a três:
, onde os coeficientes não são simultaneamente iguais a zero.

No caso de serem adicionados um ou mais termos adequados que contenham , então falaremos sobre linhas de 4ª ordem, etc

Teremos que lidar com linhas algébricas de 3ª, 4ª e ordens superiores mais de uma vez, em particular, ao nos familiarizarmos com sistema de coordenadas polares .

No entanto, voltemos à equação geral e recordemos suas variações escolares mais simples. Exemplos são a parábola, cuja equação pode ser facilmente reduzida a uma forma geral, e a hipérbole com uma equação equivalente. No entanto, nem tudo é tão suave ....

Uma desvantagem significativa da equação geral é que quase sempre não fica claro qual linha ela define. Mesmo no caso mais simples, você não perceberá imediatamente que isso é uma hipérbole. Tais layouts são bons apenas em um baile de máscaras, portanto, no curso da geometria analítica, um problema típico é considerado redução da equação da linha de 2ª ordem para a forma canônica .

Qual é a forma canônica de uma equação?

Esta é a forma padrão da equação geralmente aceita, quando em questão de segundos fica claro qual objeto geométrico ela define. Além disso, a forma canônica é muito conveniente para resolver muitos problemas práticos. Assim, por exemplo, de acordo com a equação canônica "plano" reto , em primeiro lugar, fica imediatamente claro que esta é uma linha reta e, em segundo lugar, o ponto pertencente a ela e o vetor de direção são simplesmente visíveis.

Obviamente, qualquer 1ª linha de pedido representa uma linha reta. No segundo andar, não há mais um zelador esperando por nós, mas uma companhia muito mais diversificada de nove estátuas:

Classificação de linhas de segunda ordem

Com a ajuda de um conjunto especial de ações, qualquer equação de linha de segunda ordem é reduzida a um dos seguintes tipos:

(e são números reais positivos)

1) é a equação canônica da elipse;

2) é a equação canônica da hipérbole;

3) é a equação canônica da parábola;

4) – imaginário elipse;

5) - um par de linhas que se cruzam;

6) - casal imaginário linhas de interseção (com o único ponto real de interseção na origem);

7) - um par de linhas paralelas;

8) - casal imaginário linhas paralelas;

9) é um par de linhas coincidentes.

Alguns leitores podem ter a impressão de que a lista está incompleta. Por exemplo, no parágrafo número 7, a equação define o par direto , paralela ao eixo, e surge a pergunta: onde está a equação que determina as retas paralelas ao eixo y? Responda não considerado cânone. As linhas retas representam o mesmo caso padrão girado em 90 graus, e uma entrada adicional na classificação é redundante, pois não traz nada de fundamentalmente novo.

Assim, existem nove e apenas nove tipos diferentes de linhas de 2ª ordem, mas na prática os mais comuns são elipse, hipérbole e parábola .

Vamos olhar para a elipse primeiro. Como de costume, concentro-me nos pontos que são de grande importância para a resolução de problemas e, se você precisar de uma derivação detalhada de fórmulas, provas de teoremas, consulte, por exemplo, o livro de Bazylev / Atanasyan ou Aleksandrov.

Elipse e sua equação canônica

Ortografia ... por favor, não repita os erros de alguns usuários do Yandex que estão interessados ​​em "como construir uma elipse", "a diferença entre uma elipse e uma oval" e "excentricidade de elebs".

A equação canônica de uma elipse tem a forma , onde são números reais positivos, e . Vou formular a definição de elipse mais tarde, mas por enquanto é hora de fazer uma pausa na conversa e resolver um problema comum:

Como construir uma elipse?

Sim, pegue e desenhe. A tarefa é comum, e uma parte significativa dos alunos não lida com muita competência com o desenho:

Exemplo 1

Construir uma elipse dada pela equação

Solução: primeiro trazemos a equação para a forma canônica:

Por que trazer? Uma das vantagens da equação canônica é que ela permite determinar instantaneamente vértices de elipse, que estão nos pontos . É fácil ver que as coordenadas de cada um desses pontos satisfazem a equação.

Nesse caso :


Segmento de linha chamado eixo principal elipse;
segmento de linha – eixo menor;
número chamado semi-eixo maior elipse;
número – semi-eixo menor.
em nosso exemplo: .

Para imaginar rapidamente como é esta ou aquela elipse, basta olhar para os valores de "a" e "be" de sua equação canônica.

Está tudo bem, arrumado e bonito, mas há uma ressalva: completei o desenho usando o programa. E você pode desenhar com qualquer aplicativo. No entanto, na dura realidade, um pedaço de papel quadriculado está sobre a mesa e os ratos dançam em torno de nossas mãos. Pessoas com talento artístico, é claro, podem argumentar, mas você também tem ratos (embora menores). Não é em vão que a humanidade inventou uma régua, um compasso, um transferidor e outros dispositivos simples para desenhar.

Por esta razão, é improvável que sejamos capazes de desenhar uma elipse com precisão, conhecendo apenas os vértices. Ainda tudo bem, se a elipse for pequena, por exemplo, com semieixos. Alternativamente, você pode reduzir a escala e, consequentemente, as dimensões do desenho. Mas, no caso geral, é altamente desejável encontrar pontos adicionais.

Existem duas abordagens para construir uma elipse - geométrica e algébrica. Não gosto de construir com compasso e régua por causa do algoritmo curto e da desordem significativa do desenho. Em caso de emergência, consulte o livro didático, mas na realidade é muito mais racional usar as ferramentas da álgebra. A partir da equação da elipse no rascunho, expressamos rapidamente:

A equação é então dividida em duas funções:
– define o arco superior da elipse;
– define o arco inferior da elipse.

A elipse dada pela equação canônica é simétrica em relação aos eixos coordenados, bem como em relação à origem. E isso é ótimo - a simetria é quase sempre um prenúncio de um brinde. Obviamente, é suficiente lidar com o 1º trimestre de coordenadas, então precisamos de uma função . Sugere encontrar pontos adicionais com abcissas . Acertamos três SMS na calculadora:

Obviamente, também é agradável que, se for cometido um erro grave nos cálculos, isso ficará imediatamente claro durante a construção.

Marque pontos no desenho (vermelho), pontos simétricos nos outros arcos (azul) e conecte cuidadosamente toda a empresa com uma linha:


É melhor desenhar o esboço inicial finamente e só então aplicar pressão no lápis. O resultado deve ser uma elipse bastante decente. A propósito, você gostaria de saber o que é essa curva?

Definição de uma elipse. Focos de elipse e excentricidade de elipse

Uma elipse é um caso especial de um oval. A palavra "oval" não deve ser entendida no sentido filisteu ("a criança desenhou um oval", etc.). Este é um termo matemático com uma formulação detalhada. O objetivo desta lição não é considerar a teoria das ovais e seus vários tipos, que praticamente não recebem atenção no curso padrão de geometria analítica. E, de acordo com as necessidades mais atuais, passamos imediatamente à definição estrita de uma elipse:

Elipse- este é o conjunto de todos os pontos do plano, a soma das distâncias a cada um dos quais de dois pontos dados, chamados truques elipse, é um valor constante, numericamente igual ao comprimento do eixo maior desta elipse: .
Neste caso, a distância entre os focos é menor que este valor: .

Agora ficará mais claro:

Imagine que o ponto azul "cavalga" em uma elipse. Então, não importa o ponto da elipse que tomamos, a soma dos comprimentos dos segmentos será sempre a mesma:

Vamos garantir que em nosso exemplo o valor da soma seja realmente igual a oito. Coloque mentalmente o ponto "em" no vértice direito da elipse, então: , que deveria ser verificado.

Outra maneira de desenhar uma elipse é baseada na definição de uma elipse. Matemática superior, às vezes, é a causa de tensão e estresse, então é hora de ter outra sessão de descarregamento. Por favor, pegue um pedaço de papel ou uma grande folha de papelão e prenda-o na mesa com dois pregos. Estes serão truques. Amarre um fio verde nas cabeças salientes dos pregos e puxe-o até o fim com um lápis. O pescoço do lápis estará em algum ponto, que pertence à elipse. Agora comece a guiar o lápis pela folha de papel, mantendo o fio verde bem esticado. Continue o processo até voltar ao ponto de partida... excelente... o desenho pode ser submetido para verificação do médico ao professor =)

Como encontrar o foco de uma elipse?

No exemplo acima, descrevi pontos de foco "prontos", e agora vamos aprender como extraí-los das profundezas da geometria.

Se a elipse é dada pela equação canônica , então seus focos têm coordenadas , Cadê distância de cada um dos focos ao centro de simetria da elipse.

Os cálculos são mais fáceis do que nabos cozidos no vapor:

! Com o significado "ce" é impossível identificar as coordenadas específicas dos truques! repito, isso é DISTANCE de cada foco ao centro(que no caso geral não precisa estar localizado exatamente na origem).
E, portanto, a distância entre os focos também não pode ser vinculada à posição canônica da elipse. Em outras palavras, a elipse pode ser movida para outro lugar e o valor permanecerá inalterado, enquanto os truques, é claro, mudarão suas coordenadas. Tenha isso em mente ao explorar mais o assunto.

A excentricidade de uma elipse e seu significado geométrico

A excentricidade de uma elipse é uma razão que pode assumir valores dentro de .

No nosso caso:

Vamos descobrir como a forma de uma elipse depende de sua excentricidade. Por esta corrigir os vértices esquerdo e direito da elipse considerada, ou seja, o valor do semi-eixo maior permanecerá constante. Então a fórmula da excentricidade terá a forma: .

Vamos começar a aproximar o valor da excentricidade à unidade. Isso só é possível se . O que isto significa? ... lembrando truques . Isso significa que os focos da elipse vão "dispersar" ao longo do eixo das abcissas até os vértices laterais. E, como “os segmentos verdes não são de borracha”, a elipse inevitavelmente começará a se achatar, transformando-se em uma salsicha cada vez mais fina enfiada no eixo.

Nesse caminho, quanto mais próxima a excentricidade da elipse estiver de um, mais oblonga será a elipse.

Agora vamos simular o processo oposto: os focos da elipse foram um em direção ao outro, aproximando-se do centro. Isso significa que o valor de "ce" está ficando menor e, consequentemente, a excentricidade tende a zero: .
Nesse caso, os “segmentos verdes”, ao contrário, “ficarão lotados” e começarão a “empurrar” a linha da elipse para cima e para baixo.

Nesse caminho, quanto mais próximo o valor da excentricidade estiver de zero, mais a elipse se parecerá... veja o caso limite, quando os focos são reunidos com sucesso na origem:

Um círculo é um caso especial de uma elipse

De fato, no caso da igualdade dos semieixos, a equação canônica da elipse toma a forma, que se transforma reflexivamente na conhecida equação do círculo da escola com o centro na origem do raio "a".

Na prática, a notação com a letra “falando” “er” é mais usada:. O raio é chamado de comprimento do segmento, enquanto cada ponto do círculo é removido do centro pela distância do raio.

Observe que a definição de uma elipse permanece completamente correta: os focos combinados e a soma dos comprimentos dos segmentos combinados para cada ponto no círculo é um valor constante. Como a distância entre os focos é a excentricidade de qualquer círculo é zero.

Um círculo é construído com facilidade e rapidez, basta armar-se com uma bússola. No entanto, às vezes é necessário descobrir as coordenadas de alguns de seus pontos, neste caso vamos pelo caminho familiar - trazemos a equação para a forma alegre de Matan:

é a função do semicírculo superior;
é a função do semicírculo inferior.

Então encontramos os valores desejados, diferenciável , integrar e fazer outras coisas boas.

O artigo, é claro, é apenas para referência, mas como alguém pode viver sem amor no mundo? Tarefa criativa para solução independente

Exemplo 2

Componha a equação canônica de uma elipse se um de seus focos e o semi-eixo menor são conhecidos (o centro está na origem). Encontre vértices, pontos adicionais e desenhe uma linha no desenho. Calcule a excentricidade.

Solução e desenho no final da lição

Vamos adicionar uma ação:

Girar e traduzir uma elipse

Voltemos à equação canônica da elipse, ou seja, à condição, cujo enigma atormenta mentes curiosas desde a primeira menção dessa curva. Aqui consideramos uma elipse , mas na prática não pode a equação ? Afinal, aqui, no entanto, parece ser uma elipse também!

Tal equação é rara, mas se encontra. E define uma elipse. Vamos dissipar o místico:

Como resultado da construção, nossa elipse nativa é obtida, girada em 90 graus. Aquilo é, - isto é entrada não canônica elipse . Registro!- a equação não especifica nenhuma outra elipse, pois não há pontos (focos) no eixo que satisfaçam a definição de uma elipse.