KTEK
PCC de Economia e Contabilidade

15 exemplares, 2006

Introdução. quatro

O conceito de um derivado. 5

Derivados privados. onze

Pontos de inflexão. 16

Exercícios de solução. 17

Teste. vinte

Respostas aos exercícios.. 21

Literatura. 23

Introdução

f(x x, então chamado produto marginal; E se g(x) g(x) g′(x) chamado custo marginal.

Por exemplo, Deixe a função u=u(t) você enquanto trabalho t. ∆t=t 1 - t 0:

cf. =

z cf. no ∆t→ 0: .

custos de produção K x, para que possamos escrever K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Limite chamado

O conceito de derivação

A derivada da função no ponto x 0é chamado de limite da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento, desde que o incremento do argumento tenda a zero.

Notação de função derivada:

Este. por definição:

Algoritmo para encontrar a derivada:

Deixe a função y=f(x) contínuo no segmento , x

1. Encontre o incremento do argumento:

xé o novo valor do argumento

x0- valor inicial

2. Encontre o incremento da função:

f(x)é o novo valor da função

f(x0)- valor inicial da função

3. Encontre a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento:

4. Encontre o limite da razão encontrada em

Encontre a derivada da função com base na definição da derivada.

Solução:

Vamos dar X incremento Δx, então o novo valor da função será:

Vamos encontrar o incremento da função como a diferença entre os valores novo e inicial da função:

Encontre a razão entre o incremento da função e o incremento do argumento:

.

Vamos encontrar o limite desta razão desde que:

Portanto, pela definição da derivada: .

Encontrar a derivada de uma função é chamado diferenciação.

Função y=f(x) chamado diferenciável no intervalo (a;b) se tiver uma derivada em todos os pontos do intervalo.

Teorema Se a função é diferenciável em um dado ponto x 0, então ela é contínua nesse ponto.

A afirmação inversa não é verdadeira, porque existem funções que são contínuas em algum ponto, mas não são diferenciáveis ​​nesse ponto. Por exemplo, a função no ponto x 0 =0.

Encontrar derivadas de funções

1) .

2) .

Vamos realizar as transformações idênticas da função:

Derivados de ordens superiores

Derivada de segunda ordemé chamada derivada da primeira derivada. Denotado

derivada de ordem né chamada de derivada da derivada de (n-1)-ésima ordem.

Por exemplo,

Derivados parciais

derivativo privado uma função de várias variáveis ​​em relação a uma dessas variáveis ​​é chamada de derivada tomada em relação a essa variável, desde que todas as outras variáveis ​​permaneçam constantes.

Por exemplo, para a função derivadas parciais de primeira ordem serão iguais:

Máximo e mínimo de uma função

O valor do argumento no qual a função tem o maior valor é chamado ponto máximo.

O valor do argumento no qual a função tem o menor valor é chamado ponto mínimo.

O ponto máximo da função é o ponto limite da transição da função de crescente para decrescente, o ponto mínimo da função é o ponto limite da transição decrescente para crescente.

Função y=f(x) tem (local) máximo no ponto se para todos x

Função y=f(x) tem (local) mínimo no ponto se para todos X, suficientemente próximo de , a desigualdade

Os valores máximo e mínimo de uma função têm um nome comum extremos, e os pontos em que são alcançados são chamados pontos extremos.

Teorema (uma condição necessária para a existência de um extremo) Seja a função definida no intervalo e tenha o maior (menor) valor no ponto . Então, se uma derivada desta função existe em um ponto, então ela é igual a zero, ou seja, .

Prova:

Seja no ponto x 0 a função tem o maior valor, então para qualquer a seguinte desigualdade é verdadeira: .

Para qualquer ponto

Se x > x 0 , então , ou seja.

Se x< x 0 , то , т.е.

Porque existe , o que só é possível se forem iguais a zero, portanto, .

Consequência:

Se no ponto a função diferenciável assume o maior (menor) valor, então no ponto a tangente ao gráfico desta função é paralela ao eixo Ox.

Os pontos em que a primeira derivada é igual a zero ou não existe são chamados crítico - estes são possíveis pontos extremos.

Observe que, como a igualdade da primeira derivada a zero é apenas uma condição necessária para um extremo, é necessário investigar adicionalmente a questão da presença de um extremo em cada ponto de um possível extremo.

Teorema(condição suficiente para a existência de um extremo)

Deixe a função y = f(x) é contínua e diferenciável em alguma vizinhança do ponto x0. Se, ao passar por um ponto x0 da esquerda para a direita, a primeira derivada muda o sinal de mais para menos (de menos para mais), então no ponto x0 função y = f(x) tem um máximo (mínimo). Se a primeira derivada não muda de sinal, então esta função não tem um extremo no ponto x0.

Algoritmo para estudar uma função para um extremo:

1. Encontre a primeira derivada da função.

2. Iguale a primeira derivada a zero.

3. Resolva a equação. As raízes encontradas da equação são pontos críticos.

4. Coloque os pontos críticos encontrados no eixo numérico. Temos vários intervalos.

5. Determine o sinal da primeira derivada em cada um dos intervalos e indique os extremos da função.

6. Para construir um gráfico:

Ø determinar os valores da função nos pontos extremos

Ø encontre os pontos de intersecção com os eixos coordenados

Ø encontrar pontos adicionais

A lata tem a forma de um cilindro redondo de raio r e altura h. Supondo que uma quantidade claramente fixa de estanho seja usada para fazer uma lata, determine em que proporção entre r e h banco terá o maior volume.

A quantidade de estanho utilizada será igual à área de toda a superfície da lata, ou seja, . (1)

Desta igualdade encontramos:

Então o volume pode ser calculado pela fórmula: . O problema será reduzido a encontrar o máximo da função V(r). Encontre a primeira derivada desta função: . Igualando a primeira derivada a zero:

. Nós achamos: . (2)

Este ponto é o ponto máximo, porque a primeira derivada é positiva em e negativa em .

Vamos agora estabelecer em qual razão entre o raio e a altura o banco terá o maior volume. Para fazer isso, dividimos a igualdade (1) por r2 e use a relação (2) para S. Nós temos: . Assim, o maior volume terá um jarro cuja altura é igual ao diâmetro.

Às vezes é muito difícil estudar o sinal da primeira derivada à esquerda e à direita do possível ponto extremo, então você pode usar segunda condição extrema suficiente:

Teorema Deixe a função y = f(x) tem no ponto x0 extremo possível, a segunda derivada final. Então a função y = f(x) tem no ponto x0 máximo se , e o mínimo se .

Observação Este teorema não resolve o problema do extremo de uma função em um ponto se a segunda derivada da função no ponto dado for igual a zero ou não existir.

Pontos de inflexão

Os pontos da curva em que a convexidade se separa da concavidade são chamados pontos de inflexão.

Teorema (condição de ponto de inflexão necessária): Deixe o gráfico da função ter uma inflexão em um ponto e a função tem uma segunda derivada contínua no ponto x 0, então

Teorema (condição suficiente para o ponto de inflexão): Deixe a função ter uma segunda derivada em alguma vizinhança do ponto x 0 , que tem sinais diferentes à esquerda e à direita de x0. então o gráfico da função tem uma inflexão no ponto .

O algoritmo para encontrar pontos de inflexão:

1. Encontre a segunda derivada da função.

2. Iguale a segunda derivada a zero e resolva a equação: . Coloque as raízes resultantes em uma reta numérica. Temos vários intervalos.

3. Encontre o sinal da segunda derivada em cada um dos intervalos. Se os sinais da segunda derivada em dois intervalos adjacentes são diferentes, então temos um ponto de inflexão em um determinado valor da raiz, se os sinais são os mesmos, então não há pontos de inflexão.

4. Encontre as ordenadas dos pontos de inflexão.

Examine a curva para convexidade e concavidade. Encontre pontos de inflexão.

1) encontre a segunda derivada:

2) Resolva a inequação 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Resolva a desigualdade 2x>0 x>0 para x a curva é côncava

4) Encontre os pontos de inflexão, para os quais igualamos a segunda derivada a zero: 2x=0 x=0. Porque no ponto x=0 a segunda derivada tem sinais diferentes à esquerda e à direita, então x=0 é a abcissa do ponto de inflexão. Encontre a ordenada do ponto de inflexão:

(0;0) ponto de inflexão.

Exercícios para resolver

No. 1 Encontre as derivadas dessas funções, calcule o valor das derivadas para um determinado valor de argumento:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

#2 Encontre derivadas de funções complexas:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

Nº 3 Resolver problemas:

1. Encontre a inclinação da tangente desenhada para a parábola no ponto x=3.

2. Para a parábola y \u003d 3x 2 -x no ponto x \u003d 1, uma tangente e uma normal são desenhadas. Escreva suas equações.

3. Encontre as coordenadas do ponto no qual a tangente à parábola y=x 2 +3x-10 forma um ângulo de 135 0 com o eixo OX.

4. Componha a equação da tangente ao gráfico da função y \u003d 4x-x 2 no ponto de interseção com o eixo OX.

5. Em quais valores de x é a tangente ao gráfico da função y \u003d x 3 -x paralela à linha reta y \u003d x.

6. O ponto se move em linha reta de acordo com a lei S=2t 3 -3t 2 +4. encontre a aceleração e a velocidade do ponto no final do 3º segundo. Em que instante a aceleração será zero?

7. Quando a velocidade de um ponto se movendo de acordo com a lei S=t 2 -4t+5 é igual a zero?

#4 Explore funções usando a derivada:

1. Investigue a função y \u003d x 2 para monotonicidade

2. Encontre os intervalos de aumento e diminuição da função .

3. Encontre os intervalos de aumento e diminuição da função .

4. Explore a função máxima e mínima .

5. Explore a função para um extremo .

6. Investigue a função y \u003d x 3 para um extremo

7. Explore a função para um extremo .

8. Divida o número 24 em dois termos para que seu produto seja o maior.

9. De uma folha de papel, é necessário recortar um retângulo com área de​​​100 cm 2 para que o perímetro desse retângulo seja o menor. Quais devem ser os lados desse retângulo?

10. Investigue a função y=2x 3 -9x 2 +12x-15 para um extremo e construa seu gráfico.

11. Examine a curva quanto à concavidade e convexidade.

12. Encontre os intervalos de convexidade e concavidade da curva .

13. Encontre os pontos de inflexão das funções: a) ; b).

14. Explore a função e construa seu gráfico.

15. Explore a função e construa seu gráfico.

16. Função Explorar e plotá-lo.

17. Encontre o maior e o menor valor da função y \u003d x 2 -4x + 3 no segmento

Perguntas de teste e exemplos

1. Defina uma derivada.

2. O que é chamado de incremento do argumento? incremento de função?

3. Qual é o significado geométrico da derivada?

4. O que é chamado de diferenciação?

5. Liste as principais propriedades da derivada.

6. Que função é chamada de complexa? de volta?

7. Dê o conceito de derivada de segunda ordem.

8. Formule uma regra para diferenciar uma função complexa?

9. O corpo se move em linha reta de acordo com a lei S=S(t). O que pode ser dito sobre o movimento se:

5. A função está aumentando em algum intervalo. Segue-se disso que sua derivada é positiva nesse intervalo?

6. O que é chamado de extremos da função?

7. O maior valor da função em um certo intervalo coincide necessariamente com o valor da função no ponto máximo?

8. A função é definida em . O ponto x=a pode ser o ponto de extremo desta função?

10. A derivada da função no ponto x 0 é zero. Segue daqui que x 0 é o ponto extremo desta função?

Teste

1. Encontre as derivadas dessas funções:

a)	e)
b)	e)
Com)	h)
e)	e)

2. Escreva as equações das tangentes à parábola y=x 2 -2x-15: a) no ponto com a abcissa x=0; b) no ponto de intersecção da parábola com o eixo das abcissas.

3. Determine os intervalos de aumento e diminuição da função

4. Explore a função e plote-a

5. Encontre no instante t=0 a velocidade e a aceleração de um ponto que se move de acordo com a lei s =2e 3 t

Respostas dos exercícios

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (o resultado é obtido usando a fórmula para a derivada do quociente). Você pode resolver este exemplo de outra maneira:

5.

8. O produto será o maior se cada termo for igual a 12.

9. O perímetro do retângulo será menor se os lados do retângulo tiverem 10 cm cada, ou seja, recorte um quadrado.

17. No segmento, a função assume o maior valor, igual a 3 quando x=0 e o menor valor igual a -1 em x=2.

Literatura

1.	Vlasov V. G. Resumo de palestras sobre matemática superior, Moscou, Iris, 96
2.	Tarasov N. P. Curso de matemática superior para escolas técnicas, M., 87
3.	I.I.Valutse, G.D. Diligul Matemática para escolas técnicas, M., Ciências, 90g
4.	I.P.Matskevich, G.P.Svirid Matemática Superior, Minsk, Matemática Superior. Escola, 93
5.	V.S.Schipachev Fundamentos de Matemática Superior, M.Vyssh.shkola89
6.	V.S.Schipachev Matemática Superior, M.Vyssh.shkola 85g
7.	V.P. Minorsky Coleção de problemas em matemática superior, M. Nauka 67g
8.	O.N.Afanasyeva Coleção de problemas de matemática para escolas técnicas, M.Nauka 87g
9.	V.T.Lisichkin, I.L.Soloveichik Mathematics, M.Vyssh.shkola 91g
10.	N.V. Bogomolov Aulas práticas de matemática, M. Escola superior 90
11.	H.E. Krynsky Matemática para Economistas, M. Estatística 70g
12.	L.G.Korsakova Matemática Superior para Gerentes, Kaliningrado, KSU, 97.

FACULDADE ECONÔMICA E COMÉRCIO DE KALININGRAD

para o estudo do tema

"derivada de uma função"

para alunos da especialidade 080110 "Economia e Contabilidade", 080106 "Finanças",
080108 "Banking", 230103 "Sistemas automatizados de processamento e gerenciamento de informações"

Compilado por Fedorova E.A.

KALININGRADO

Revisores: Gorskaya Natalya Vladimirovna, Professora, Kaliningrado College of Trade and Economics

Neste manual, são considerados os conceitos básicos do cálculo diferencial: o conceito de derivada, propriedades das derivadas, aplicação em geometria analítica e mecânica, fórmulas básicas de diferenciação, exemplos que ilustram o material teórico. O manual é complementado com exercícios para trabalho independente, respostas para eles, perguntas e tarefas de amostra para controle intermediário do conhecimento são fornecidas. Destinado a alunos que frequentam a disciplina "Matemática" em estabelecimentos de ensino secundário especializado, cursando a tempo inteiro, a tempo parcial, ensino noturno, alunos externos ou com frequência gratuita.

KTEK
PCC de Economia e Contabilidade

15 exemplares, 2006

Introdução. quatro

Requisitos de conhecimento e habilidades.. 5

O conceito de um derivado. 5

O significado geométrico da derivada. 7

O significado mecânico da derivada. 7

Regras básicas de diferenciação. oito

Fórmulas para diferenciar funções básicas. 9

Derivada da função inversa. 9

Diferenciação de funções complexas. dez

Derivadas de ordens superiores. onze

Derivados privados. onze

Investigação de funções com a ajuda de derivadas. onze

Função crescente e decrescente. onze

O máximo e o mínimo de uma função. 13

Convexidade e concavidade de uma curva. quinze

Pontos de inflexão. 16

Esquema geral para o estudo de funções e plotagem. 17

Exercícios de solução. 17

Perguntas de teste e exemplos.. 20

Teste. vinte

Respostas aos exercícios.. 21

Literatura. 23

Introdução

A análise matemática dá uma série de conceitos fundamentais que um economista opera - esta é uma função, limite, derivada, integral, equação diferencial. Na pesquisa econômica, a terminologia específica é frequentemente usada para se referir a derivativos. Por exemplo, se f(x) é uma função de produção que expressa a dependência da produção de qualquer produto do custo do fator x, então chamado produto marginal; E se g(x)é uma função de custo, ou seja, função g(x) expressa a dependência dos custos totais no volume de produção x, então g′(x) chamado custo marginal.

Análise Marginal em Economia- um conjunto de métodos para estudar custos ou resultados variáveis ​​quando o volume de produção, consumo, etc. muda. com base na análise dos seus valores-limite.

Por exemplo, encontrar produtividade. Deixe a função u=u(t), expressando a quantidade de produtos produzidos você enquanto trabalho t. Vamos calcular a quantidade de bens produzidos durante o tempo ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Produtividade média do trabalhoé a razão entre a quantidade de produção produzida e o tempo gasto, ou seja, cf. =

Produtividade do trabalhador no momento t 0 é chamado de limite para o qual z cf. no ∆t→ 0: . O cálculo da produtividade do trabalho, portanto, é reduzido ao cálculo da derivada:

custos de produção K produtos homogêneos é uma função da quantidade de produtos x, para que possamos escrever K=K(x). Suponhamos que a quantidade de produção aumenta em ∆x. A quantidade de produção x+∆x corresponde aos custos de produção K(x+∆x). Portanto, o incremento na quantidade de produção ∆x corresponde ao aumento dos custos de produção ∆K=K(x+∆x)- K(x).

O incremento médio dos custos de produção é ∆K/∆x. Este é o incremento nos custos de produção por incremento unitário na quantidade produzida.

Limite chamado custo marginal de produção.

		Sobre companhia
Lista de guia Izofatova Nina Mitrofanovna - Diretora

A história da Faculdade de Comércio e Economia de Kaliningrado é uma página da história da região, escrita desde 1946. Desde então, mais de 25.000 especialistas se formaram na faculdade.

Desde 2004, a faculdade tornou-se uma plataforma experimental para o Instituto de Moscou para o Desenvolvimento da Educação Profissional Secundária sobre o tema "Divulgação da experiência europeia na criação e organização de Centros de Educação de Adultos e Centros de Educação Aberta na região". Por dez anos, ele é membro da Associação Russa de Marketing, tem o status de uma faculdade de orientação social. Este último foi atribuído ao colégio pela administração regional para o apoio constante a alunos, professores, pensionistas, militares e seus familiares em situação de vulnerabilidade social, professores e funcionários em situação de vulnerabilidade social.

O treinamento dos alunos da Faculdade de Comércio e Economia de Kaliningrado é realizado em cinco faculdades: tecnologia e serviços, gestão de marketing, direito, economia e contabilidade, formas não tradicionais de educação. O campo educacional da faculdade inclui dezesseis especialidades. Estes incluem tecnologia culinária, comércio de alimentos, comércio comercial, gestão, marketing, contabilidade jurídica, bancos, gestão de hospitalidade, finanças, turismo e muito mais.

A faculdade possui um Centro de Orientação Profissional e Treinamento de Candidatos. Na faculdade de formas não tradicionais de educação, você pode não apenas melhorar suas habilidades, mas também adquirir uma nova especialidade no trabalho. O atual Centro de Educação Aberta está focado em prestar assistência na formação profissional em mais de vinte especialidades. Aqui você pode melhorar suas habilidades, passar por reciclagem. Os métodos são muito diversos: jogos de negócios, treinamentos, seminários, exercícios, reuniões abertas, conferências, trabalhos de projeto, tudo isso permite que os alunos assimilem ao máximo o material proposto.

A cooperação com a Kaliningrad State University, Kaliningrado State Technical University, Baltic State Academy permite que a faculdade forme especialistas cujo conhecimento se torna capital e o principal recurso para o desenvolvimento econômico da região. Ao longo dos anos dessa interação, mais de duzentos egressos receberam o ensino superior em uma faculdade especial com um período de estudo reduzido. Todos eles são procurados pelo complexo econômico da região, muitos entraram na elite do corpo empresarial da região.

A Faculdade de Comércio e Economia de Kaliningrado estabeleceu comunicação e está cooperando ativamente com a Dinamarca, Suécia, Alemanha, Polônia e Finlândia. A equipe participa de projetos educacionais internacionais. A sua temática é diversa, incluindo temas tão importantes como "Assistência às autoridades de Kaliningrado no desenvolvimento de pequenas e médias empresas", "Assistência aos funcionários e membros desempregados das suas famílias na obtenção de especialidades civis para posterior emprego", " Formação de professores em andragogia e desenvolvimento de programas de formação em empreendedorismo "atividades em Kaliningrado" e afins.

Em 1999, no âmbito de um projeto internacional, graças aos esforços de Lidia Ivanovna Motolyanets, Diretora Adjunta de Assuntos Acadêmicos, foi criada uma firma de imitação - um modelo de empresa que reflete as atividades de uma organização comercial real, uma forma especializada eficaz de formação avançada para o pessoal a todos os níveis que trabalham no domínio das pequenas empresas.

A missão do coletivo - garantir uma educação que atenda às necessidades da sociedade e contribua para a formação de uma pessoa integral - está sendo plenamente implementada. Kaliningrado College of Trade and Economics significa profissionalismo, responsabilidade e prestígio.