Exercício. Os pontos A (2,1), B (1,-2), C (-1,0) são os vértices do triângulo ABC.
a) Encontre as equações dos lados do triângulo ABC.
b) Encontre a equação de uma das medianas do triângulo ABC.
c) Encontre a equação de uma das alturas do triângulo ABC.
d) Encontre a equação de uma das bissetoras do triângulo ABC.
e) Encontre a área do triângulo ABC.

Solução Fazemos isso usando uma calculadora.
As coordenadas do triângulo são fornecidas: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Coordenadas vetoriais
Encontramos as coordenadas dos vetores usando a fórmula:
X = x j - x i ; Y = y j - y eu

Por exemplo, para o vetor AB

X = 1-2 = -1; S = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
CA(-3;-1)
AC(-2;2)
2) Módulos vetoriais

3) Ângulo entre linhas retas
O ângulo entre os vetores a 1 (X 1 ;Y 1), a 2 (X 2 ;Y 2) pode ser encontrado usando a fórmula:

onde a 1 a 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Encontre o ângulo entre os lados AB e AC

γ = arcos(0,6) = 53,13 0
4) Projeção vetorial
Projeção vetorial b para vetorizar a pode ser encontrado usando a fórmula:

Vamos encontrar a projeção do vetor AB no vetor AC

5) Área do triângulo



Solução


Usando a fórmula obtemos:

6) Divisão de um segmento nesta relação
O vetor raio r do ponto A, dividindo o segmento AB na razão AA:AB = m 1:m 2, é determinado pela fórmula:

As coordenadas do ponto A são encontradas usando as fórmulas:




Equação da mediana de um triângulo
Denotemos o meio do lado BC pela letra M. A seguir encontraremos as coordenadas do ponto M usando as fórmulas para dividir um segmento ao meio.


M(0;-1)
Encontramos a equação da mediana AM usando a fórmula da equação de uma linha reta que passa por dois pontos dados. A mediana AM passa pelos pontos A(2;1) e M(0;-1), portanto:

ou

ou
y = x -1 ou y -x +1 = 0
7) Equação de uma reta


Equação da linha AB

ou

ou
y = 3x -5 ou y -3x +5 = 0
Equação da linha AC

ou

ou
y = 1/3 x + 1/3 ou 3y -x - 1 = 0
Equação da linha BC

ou

ou
y = -x -1 ou y + x +1 = 0
8) Comprimento da altura do triângulo desenhado a partir do vértice A
A distância d do ponto M 1 (x 1 ;y 1) à linha reta Ax + By + C = 0 é igual ao valor absoluto da quantidade:

Encontre a distância entre o ponto A(2;1) e a linha BC (y + x +1 = 0)

9) Equação da altura através do vértice C
A reta que passa pelo ponto M 0 (x 0 ;y 0) e perpendicular à reta Ax + By + C = 0 possui vetor diretor (A;B) e, portanto, é representada pelas equações:


Esta equação pode ser encontrada de outra maneira. Para fazer isso, vamos encontrar a inclinação k 1 da reta AB.
Equação AB: y = 3x -5, ou seja, k 1 = 3
Vamos encontrar o coeficiente angular k da perpendicular a partir da condição de perpendicularidade de duas retas: k 1 *k = -1.
Substituindo a inclinação desta linha em vez de k 1, obtemos:
3k = -1, de onde k = -1/3
Como a perpendicular passa pelo ponto C(-1,0) e tem k = -1/3, procuraremos sua equação na forma: y-y 0 = k(x-x 0).
Substituindo x 0 = -1, k = -1/3, y 0 = 0 obtemos:
y-0 = -1/3 (x-(-1))
ou
y = -1/3 x - 1/3
Equação da bissetriz do triângulo
Vamos encontrar a bissetriz do ângulo A. Vamos denotar o ponto de intersecção da bissetriz com o lado BC como M.
Vamos usar a fórmula:

Equação AB: y -3x +5 = 0, equação AC: 3y -x - 1 = 0

^UMA ≈ 53 0
A bissetriz divide o ângulo ao meio, portanto o ângulo NAK ≈ 26,5 0
A inclinação de AB é igual a 3 (já que y -3x +5 = 0). O ângulo de inclinação é 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
A bissetriz passa pelo ponto A(2,1), usando a fórmula, temos:
y - y 0 = k(x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
ou
y=x-1
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Exemplo. As coordenadas dos vértices do triângulo ABC são dadas: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Obrigatório: 1) calcular o comprimento da lateral da aeronave; 2) crie uma equação para o lado BC; 3) encontre o ângulo interno do triângulo no vértice B; 4) compor uma equação para a altura AK desenhada a partir do vértice A; 5) encontrar as coordenadas do centro de gravidade de um triângulo homogêneo (pontos de intersecção de suas medianas); 6) faça um desenho em um sistema de coordenadas.

Exercício. As coordenadas dos vértices do triângulo ABC são dadas: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Obrigatório:

1. escreva uma equação para a mediana tirada do vértice B e calcule seu comprimento.
2. escreva uma equação para a altura desenhada a partir do vértice A e calcule seu comprimento.
3. encontre o cosseno do ângulo interno B do triângulo ABC.

Faça um desenho.

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Exemplo nº 3. Dados os vértices A(1;1), B(7;4), C(4;5) de um triângulo. Encontre: 1) o comprimento do lado AB; 2) ângulo interno A em radianos com precisão de 0,001. Faça um desenho.
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Exemplo nº 4. Dados os vértices A(1;1), B(7;4), C(4;5) de um triângulo. Encontre: 1) a equação da altura traçada através do vértice C; 2) a equação da mediana traçada pelo vértice C; 3) o ponto de intersecção das altitudes do triângulo; 4) o comprimento da altura abaixada do vértice C. Faça um desenho.
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Exemplo nº 5. Dados os vértices do triângulo ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Determine: 1) o comprimento do lado AB; 2) equação dos lados AB e AC e seus coeficientes angulares; 3) área do triângulo.

Encontramos as coordenadas dos vetores usando a fórmula: X = x j - x i ; Y = y j - y eu
aqui coordenadas X,Y do vetor; x i, y i - coordenadas do ponto A i; x j, y j - coordenadas do ponto A j
Por exemplo, para o vetor AB
X = x 2 - x 1 ; S = s 2 - s 1
X = 7-(-5) = 12; S = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Comprimento dos lados do triângulo
O comprimento do vetor a(X;Y) é expresso através de suas coordenadas pela fórmula:


Área de um triângulo
Sejam os pontos A 1 (x 1 ; y 1), A 2 (x 2 ; y 2), A 3 (x 3 ; y 3) os vértices do triângulo, então sua área é expressa pela fórmula:

No lado direito há um determinante de segunda ordem. A área de um triângulo é sempre positiva.
Solução. Tomando A como primeiro vértice, encontramos:

Usando a fórmula obtemos:

Equação de uma reta
Uma linha reta que passa pelos pontos A 1 (x 1 ; y 1) e A 2 (x 2 ; y 2) é representada pelas equações:

Equação da linha AB
Equação canônica da reta:

ou

ou
y = -3/4 x -15/4 ou 4y + 3x +15 = 0
A inclinação da linha reta AB é igual a k = -3/4
Equação da linha AC

ou

ou
y = 13/16 x + 65/16 ou 16y -13x - 65 = 0
A inclinação da linha reta AB é igual a k = 13/16

Exercício. As coordenadas dos vértices da pirâmide ABCD são fornecidas. Obrigatório:

1. Escreva os vetores no sistema ort e encontre os módulos desses vetores.
2. Encontre o ângulo entre os vetores.
3. Encontre a projeção de um vetor em um vetor.
4. Encontre a área da face ABC.
5. Encontre o volume da pirâmide ABCD.

Solução
Exemplo nº 1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Exemplo nº 2
A 1 (5,2,1), A 2 (-3,9,3), A 3 (-1,3,5), A 4 (-1,-5,2): Exemplo nº 3
A 1 (-1,0,2), A 2 (-2,0,6), A 3 (-3,1,2), A 4 (-1,2,4): Exemplo nº 4

Exercício. Encontre o ângulo agudo entre as linhas x + y -5 = 0 e x + 4y - 8 = 0.
Recomendações para solução. O problema é resolvido usando o ângulo de serviço entre duas retas.
Responder: 30,96º

Exemplo nº 1. As coordenadas dos pontos A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) são fornecidas. Encontre o comprimento da aresta A1A2. Crie uma equação para a aresta A1A4 e a face A1A2A3. Componha uma equação para a altura abaixada do ponto A4 ao plano A1A2A3. Encontre a área do triângulo A1A2A3. Encontre o volume da pirâmide triangular A1A2A3A4.

Encontramos as coordenadas dos vetores usando a fórmula: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z eu
aqui coordenadas X,Y,Z do vetor; x i, y i, z i - coordenadas do ponto A i; x j, y j, z j - coordenadas do ponto A j;
Então, para o vetor A 1 A 2 eles serão os seguintes:
X = x 2 - x 1 ; S = s 2 - s 1 ; Z = z 2 - z 1
X = 2-1; S = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
O comprimento do vetor a(X;Y;Z) é expresso através de suas coordenadas pela fórmula:

Problema 1. As coordenadas dos vértices do triângulo ABC são dadas: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Encontre: 1) o comprimento do lado AB; 2) equações dos lados AB e BC e seus coeficientes angulares; 3) ângulo B em radianos com precisão de dois dígitos; 4) equação da altura CD e seu comprimento; 5) a equação da mediana AE e as coordenadas do ponto K de intersecção desta mediana com a altura CD; 6) a equação de uma reta que passa pelo ponto K paralelo ao lado AB; 7) coordenadas do ponto M, localizado simetricamente ao ponto A em relação à reta CD.

Solução:

1. A distância d entre os pontos A(x 1 ,y 1) e B(x 2 ,y 2) é determinada pela fórmula

Aplicando (1), encontramos o comprimento do lado AB:

2. A equação da reta que passa pelos pontos A(x 1 ,y 1) e B(x 2 ,y 2) tem a forma

(2)

Substituindo as coordenadas dos pontos A e B em (2), obtemos a equação do lado AB:

Tendo resolvido a última equação para y, encontramos a equação do lado AB na forma de uma equação de linha reta com coeficiente angular:

onde

Substituindo as coordenadas dos pontos B e C em (2), obtemos a equação da reta BC:

Ou

3. Sabe-se que a tangente do ângulo entre duas retas, cujos coeficientes angulares são respectivamente iguais, é calculada pela fórmula

(3)

O ângulo B desejado é formado pelas retas AB e BC, cujos coeficientes angulares são encontrados: Aplicando (3), obtemos

Ou feliz.

4. A equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto em uma determinada direção tem a forma

(4)

A altura CD é perpendicular ao lado AB. Para encontrar a inclinação da altura CD, usamos a condição de perpendicularidade das retas. Desde então Substituindo em (4) as coordenadas do ponto C e o coeficiente angular de altura encontrado, obtemos

Para encontrar o comprimento da altura CD, primeiro determinamos as coordenadas do ponto D - o ponto de intersecção das retas AB e CD. Resolvendo o sistema juntos:

nós achamos aqueles. D(8;0).

Usando a fórmula (1) encontramos o comprimento da altura CD:

5. Para encontrar a equação da mediana AE, primeiro determinamos as coordenadas do ponto E, que é o meio do lado BC, usando as fórmulas para dividir um segmento em duas partes iguais:

(5)

Por isso,

Substituindo as coordenadas dos pontos A e E em (2), encontramos a equação da mediana:

Para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção da altura CD e da mediana AE, resolvemos juntos o sistema de equações

Nós achamos.

6. Como a reta desejada é paralela ao lado AB, seu coeficiente angular será igual ao coeficiente angular da reta AB. Substituindo em (4) as coordenadas do ponto K encontrado e o coeficiente angular obtemos

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Como a reta AB é perpendicular à reta CD, o ponto desejado M, localizado simetricamente ao ponto A em relação à reta CD, encontra-se na reta AB. Além disso, o ponto D é o ponto médio do segmento AM. Usando as fórmulas (5), encontramos as coordenadas do ponto desejado M:

O triângulo ABC, a altura CD, a mediana AE, a reta KF e o ponto M são construídos no sistema de coordenadas xOy da Fig. 1.

Tarefa 2. Crie uma equação para o lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a um determinado ponto A(4; 0) e a uma determinada reta x=1 são iguais a 2.

Solução:

No sistema de coordenadas xOy, construímos o ponto A(4;0) e a reta x = 1. Seja M(x;y) um ponto arbitrário da localização geométrica desejada dos pontos. Vamos abaixar a perpendicular MB até a reta dada x = 1 e determinar as coordenadas do ponto B. Como o ponto B está na reta dada, sua abscissa é igual a 1. A ordenada do ponto B é igual à ordenada do ponto M . Portanto, B(1;y) (Fig. 2).

De acordo com as condições do problema |MA|: |MV| = 2. Distâncias |MA| e |MB| encontramos na fórmula (1) do problema 1:

Elevando ao quadrado os lados esquerdo e direito, obtemos

ou

A equação resultante é uma hipérbole em que o semieixo real é a = 2 e o semieixo imaginário é

Vamos definir os focos de uma hipérbole. Para uma hipérbole, a igualdade é satisfeita. Portanto, e – truques de hipérbole. Como você pode ver, o ponto dado A(4;0) é o foco direito da hipérbole.

Vamos determinar a excentricidade da hipérbole resultante:

As equações das assíntotas da hipérbole têm a forma e. Portanto, ou e são assíntotas de uma hipérbole. Antes de construir uma hipérbole, construímos suas assíntotas.

Problema 3. Crie uma equação para o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto A(4; 3) e da linha reta y = 1. Reduza a equação resultante à sua forma mais simples.

Solução: Seja M(x; y) um dos pontos do lugar geométrico dos pontos desejado. Vamos deixar cair a perpendicular MB do ponto M para esta linha reta y = 1 (Fig. 3). Vamos determinar as coordenadas do ponto B. Obviamente, a abcissa do ponto B é igual à abcissa do ponto M, e a ordenada do ponto B é igual a 1, ou seja, B(x; 1). De acordo com as condições do problema |MA|=|MV|. Consequentemente, para qualquer ponto M(x;y) pertencente ao lugar geométrico dos pontos desejado, a seguinte igualdade é verdadeira:

A equação resultante define uma parábola com um vértice no ponto. Para trazer a equação da parábola à sua forma mais simples, vamos definir e y + 2 = Y, então a equação da parábola assume a forma:

Como aprender a resolver problemas de geometria analítica?
Problema típico com um triângulo em um plano

Esta lição foi criada na aproximação do equador entre a geometria do plano e a geometria do espaço. Neste momento há necessidade de sistematizar a informação acumulada e responder a uma questão muito importante: como aprender a resolver problemas de geometria analítica? A dificuldade é que você pode encontrar um número infinito de problemas de geometria, e nenhum livro conterá toda a multidão e variedade de exemplos. Não é derivada de uma função com cinco regras de diferenciação, uma tabela e diversas técnicas….

Existe uma solução! Não vou falar alto sobre o fato de ter desenvolvido algum tipo de técnica grandiosa, porém, na minha opinião, existe uma abordagem eficaz para o problema em questão, que permite até mesmo um manequim completo obter bons e excelentes resultados. Pelo menos o algoritmo geral para resolver problemas geométricos tomou forma com muita clareza na minha cabeça.

O QUE VOCÊ PRECISA SABER E PODER FAZER
para resolver com sucesso problemas de geometria?

Não há como escapar disso - para não apertar botões aleatoriamente com o nariz, você precisa dominar os fundamentos da geometria analítica. Portanto, se você acabou de começar a estudar geometria ou a esqueceu completamente, comece com a lição Vetores para manequins. Além de vetores e ações com eles, você precisa conhecer os conceitos básicos da geometria plana, em particular, equação de uma reta em um plano E . A geometria do espaço é apresentada em artigos Equação plana, Equações de uma linha no espaço, Problemas básicos em linha reta e plano e algumas outras lições. Linhas curvas e superfícies espaciais de segunda ordem ficam um pouco distantes e não há tantos problemas específicos com elas.

Suponhamos que o aluno já possua conhecimentos e habilidades básicas para resolver os problemas mais simples de geometria analítica. Mas acontece assim: você lê o enunciado do problema, e... você quer fechar tudo de uma vez, jogar no canto mais distante e esquecer, como um pesadelo. Além disso, isto não depende fundamentalmente do nível das suas qualificações: de vez em quando eu próprio me deparo com tarefas para as quais a solução não é óbvia. O que fazer nesses casos? Não há necessidade de ter medo de uma tarefa que você não entende!

Primeiramente, deve ser instalado - Este é um problema “plano” ou espacial? Por exemplo, se a condição inclui vetores com duas coordenadas, então, é claro, esta é a geometria de um plano. E se o professor carregou o ouvinte agradecido com uma pirâmide, então há claramente a geometria do espaço. Os resultados da primeira etapa já são bastante bons, pois conseguimos cortar uma enorme quantidade de informações desnecessárias para esta tarefa!

Segundo. A condição geralmente diz respeito a alguma figura geométrica. Na verdade, caminhe pelos corredores da sua universidade natal e você verá muitos rostos preocupados.

Em problemas “planos”, sem falar nos pontos e linhas óbvios, a figura mais popular é um triângulo. Iremos analisá-lo detalhadamente. Em seguida vem o paralelogramo, e muito menos comuns são o retângulo, o quadrado, o losango, o círculo e outras formas.

Em problemas espaciais, as mesmas figuras planas + os próprios planos e pirâmides triangulares comuns com paralelepípedos podem voar.

Pergunta dois - Você sabe tudo sobre essa figura? Suponha que a condição fale sobre um triângulo isósceles e você se lembre vagamente que tipo de triângulo é. Abrimos um livro escolar e lemos sobre um triângulo isósceles. O que fazer... o médico disse um losango, isso significa um losango. Geometria analítica é geometria analítica, mas o problema será resolvido pelas propriedades geométricas das próprias figuras, que conhecemos no currículo escolar. Se você não sabe qual é a soma dos ângulos de um triângulo, poderá sofrer por muito tempo.

Terceiro. SEMPRE tente seguir o desenho(em um rascunho/cópia finalizada/mentalmente), mesmo que isso não seja exigido pela condição. Nos problemas “planos”, o próprio Euclides mandava pegar uma régua e um lápis - e não apenas para entender o estado, mas também para fins de autoteste. Neste caso, a escala mais conveniente é 1 unidade = 1 cm (2 células de caderno). Não vamos falar sobre estudantes descuidados e matemáticos girando em seus túmulos - é quase impossível cometer um erro em tais problemas. Para tarefas espaciais, realizamos um desenho esquemático, que também ajudará na análise do estado.

Um desenho ou desenho esquemático geralmente permite que você veja imediatamente a maneira de resolver um problema. Claro, para isso você precisa conhecer os fundamentos da geometria e compreender as propriedades das formas geométricas (veja o parágrafo anterior).

Quarto. Desenvolvimento de um algoritmo de solução. Muitos problemas de geometria são de várias etapas, portanto a solução e seu design são muito convenientes para serem divididos em pontos. Freqüentemente, o algoritmo vem imediatamente à mente depois de ler a condição ou concluir o desenho. Em caso de dificuldades, começamos com a PERGUNTA da tarefa. Por exemplo, de acordo com a condição “você precisa construir uma linha reta...”. Aqui a questão mais lógica é: “O que é suficiente saber para construir esta linha reta?” Suponha que “conhecemos o ponto, precisamos conhecer o vetor de direção”. Fazemos a seguinte pergunta: “Como encontrar esse vetor de direção? Onde?" etc.

Às vezes há um “bug” - o problema não foi resolvido e pronto. Os motivos da parada podem ser os seguintes:

– Grave lacuna no conhecimento básico. Em outras palavras, você não sabe e/ou não vê alguma coisa muito simples.

– Ignorância das propriedades das figuras geométricas.

– A tarefa foi difícil. Sim, isso acontece. Não adianta cozinhar por horas e guardar lágrimas em um lenço. Peça conselhos ao seu professor, colegas ou faça uma pergunta no fórum. Além disso, é melhor tornar sua afirmação concreta - sobre aquela parte da solução que você não entende. Um grito na forma de “Como resolver o problema?” não parece muito bom... e, acima de tudo, para a sua própria reputação.

Estágio cinco. Nós decidimos-verificamos, decidimos-verificamos, decidimos-verificamos-damos uma resposta. É benéfico verificar cada ponto da tarefa imediatamente após ser concluído. Isso o ajudará a detectar o erro imediatamente. Naturalmente, ninguém proíbe resolver rapidamente todo o problema, mas existe o risco de reescrever tudo novamente (geralmente várias páginas).

Estas são, talvez, todas as principais considerações que devem ser seguidas na resolução de problemas.

A parte prática da aula é apresentada em geometria plana. Serão apenas dois exemplos, mas não parecerão suficientes =)

Vamos examinar o tópico do algoritmo que acabei de examinar em meu pequeno trabalho científico:

Exemplo 1

São dados três vértices de um paralelogramo. Encontre o topo.

Vamos começar a entender:

Passo um: É óbvio que estamos falando de um problema “plano”.

Passo dois: O problema trata de um paralelogramo. Todos se lembram dessa figura do paralelogramo? Não há necessidade de sorrir, muitas pessoas recebem a sua educação aos 30-40-50 anos ou mais de idade, por isso mesmo factos simples podem ser apagados da memória. A definição de paralelogramo é encontrada no Exemplo nº 3 da lição (não) dependência linear de vetores. Base de vetores.

Passo três: Vamos fazer um desenho no qual marcamos três vértices conhecidos. É engraçado que não seja difícil construir imediatamente o ponto desejado:

Construí-lo é, obviamente, bom, mas a solução deve ser formulada analiticamente.

Etapa quatro: Desenvolvimento de um algoritmo de solução. A primeira coisa que vem à mente é que um ponto pode ser encontrado como a intersecção de retas. Não conhecemos suas equações, então teremos que lidar com esta questão:

1) Os lados opostos são paralelos. Por pontos Vamos encontrar o vetor diretor desses lados. Este é o problema mais simples que foi discutido em aula. Vetores para manequins.

Observação: é mais correto dizer “a equação de uma reta contendo um lado”, mas aqui e mais adiante, por questões de brevidade, usarei as frases “equação de um lado”, “vetor de direção de um lado”, etc.

3) Os lados opostos são paralelos. Usando os pontos, encontramos o vetor diretor desses lados.

4) Vamos criar uma equação de uma reta usando um ponto e um vetor de direção

Nos parágrafos 1-2 e 3-4, resolvemos o mesmo problema duas vezes, aliás, foi discutido no exemplo nº 3 da lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião. Foi possível fazer um percurso mais longo - primeiro encontrar as equações das retas e só depois “retirar” delas os vetores de direção.

5) Agora as equações das retas são conhecidas. Resta compor e resolver o sistema de equações lineares correspondente (ver exemplos nº 4, 5 da mesma lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião).

O ponto foi encontrado.

A tarefa é bastante simples e a sua solução é óbvia, mas existe um caminho mais curto!

Segunda solução:

As diagonais de um paralelogramo são divididas ao meio pelo seu ponto de intersecção. Marquei o ponto, mas para não atrapalhar o desenho não desenhei as próprias diagonais.

Vamos compor a equação do lado ponto por ponto :

Para verificar, você deve substituir mentalmente ou em um rascunho as coordenadas de cada ponto na equação resultante. Agora vamos encontrar a inclinação. Para fazer isso, reescrevemos a equação geral na forma de uma equação com coeficiente de inclinação:

Assim, a inclinação é:

Da mesma forma, encontramos as equações dos lados. Não vejo muito sentido em descrever a mesma coisa, então darei imediatamente o resultado final:

2) Encontre o comprimento do lado. Este é o problema mais simples abordado em aula. Vetores para manequins. Para pontos usamos a fórmula:

Usando a mesma fórmula é fácil encontrar os comprimentos dos outros lados. A verificação pode ser feita muito rapidamente com uma régua comum.

Usamos a fórmula .

Vamos encontrar os vetores:

Por isso:

Aliás, ao longo do caminho encontramos os comprimentos dos lados.

Como resultado:

Bem, parece ser verdade; para ser convincente, você pode colocar um transferidor no canto.

Atenção! Não confunda o ângulo de um triângulo com o ângulo entre linhas retas. O ângulo de um triângulo pode ser obtuso, mas o ângulo entre linhas retas não (veja o último parágrafo do artigo Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião). No entanto, para encontrar o ângulo de um triângulo, você também pode usar as fórmulas da lição acima, mas o problema é que essas fórmulas sempre fornecem um ângulo agudo. Com a ajuda deles, resolvi esse problema no rascunho e obtive o resultado. E na cópia final eu teria que escrever desculpas adicionais, que.

4) Escreva uma equação para uma reta que passa por um ponto paralelo à reta.

Tarefa padrão discutida em detalhes no exemplo nº 2 da lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião. Da equação geral da reta Vamos retirar o vetor guia. Vamos criar uma equação de uma linha reta usando um ponto e um vetor de direção:

Como encontrar a altura de um triângulo?

5) Vamos criar uma equação para a altura e encontrar seu comprimento.

Não há como escapar de definições estritas, então você terá que roubar um livro escolar:

Altura do triângulo é chamada de perpendicular traçada do vértice do triângulo à linha que contém o lado oposto.

Ou seja, é necessário criar uma equação para uma perpendicular traçada do vértice ao lado. Esta tarefa é discutida nos exemplos nº 6, 7 da lição Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião. Da Eq. remova o vetor normal. Vamos compor a equação da altura usando um ponto e um vetor de direção:

Observe que não sabemos as coordenadas do ponto.

Às vezes, a equação da altura é encontrada a partir da razão dos coeficientes angulares das retas perpendiculares: . Neste caso, então: . Vamos compor a equação da altura usando um ponto e um coeficiente angular (veja o início da lição Equação de uma linha reta em um plano):

O comprimento da altura pode ser encontrado de duas maneiras.

Existe um caminho indireto:

a) encontrar – o ponto de intersecção da altura e do lado;
b) encontre o comprimento do segmento usando dois pontos conhecidos.

Mas na aula Os problemas mais simples com uma linha reta em um avião foi considerada uma fórmula conveniente para a distância de um ponto a uma linha. O ponto é conhecido: , a equação da reta também é conhecida: , Por isso:

6) Calcule a área do triângulo. No espaço, a área de um triângulo é tradicionalmente calculada usando produto vetorial de vetores, mas aqui temos um triângulo em um plano. Usamos a fórmula escolar:
– A área de um triângulo é igual à metade do produto de sua base pela sua altura.

Nesse caso:

Como encontrar a mediana de um triângulo?

7) Vamos criar uma equação para a mediana.

Mediana de um triângulo chamado de segmento que conecta o vértice de um triângulo ao meio do lado oposto.

a) Encontre o ponto - o meio do lado. Nós usamos fórmulas para as coordenadas do ponto médio de um segmento. As coordenadas das extremidades do segmento são conhecidas: , então as coordenadas do meio:

Por isso:

Vamos compor a equação da mediana ponto por ponto :

Para verificar a equação, você precisa substituir as coordenadas dos pontos nela.

8) Encontre o ponto de intersecção da altura e da mediana. Acho que todo mundo já aprendeu a realizar esse elemento da patinação artística sem cair: