Galaeva Ekaterina, estudante do 11º ano da escola secundária MAOU nº 149, Nizhny Novgorod

O trabalho é de natureza aplicada e de pesquisa. Por uma questão de completude, foram consideradas as seguintes questões:

– Como as propriedades de uma função são refletidas ao resolver equações e desigualdades?

– Que equações e desigualdades são resolvidas através da definição das propriedades do domínio de definição, do conjunto de valores, da invariância?

– Qual é o algoritmo de solução?

- Foram consideradas as tarefas com o parâmetro proposto nos materiais KIM em preparação para o exame.

Em seu trabalho, Ekaterina explorou uma ampla gama de tarefas e as sistematizou de acordo com sua aparência.

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Resolva a inequação Solução. A função f (x) = aumenta monotonicamente em toda a reta real, e a função g (x) = diminui monotonicamente em todo o domínio de definição. Portanto, a desigualdade f (x) > g (x) é satisfeita se x >

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Aplicação de propriedades de função ao resolver equações e desigualdades Trabalho concluído: Galaeva Ekaterina MBOU escola secundária No. 149 do distrito de Moskovsky Alunos de 11 turmas "A" Supervisor: Fadeeva I. A. Professor de matemática

Orientações principais: Estudar as propriedades de uma função: monotonicidade, limite, domínio de definição e invariância Aprenda as principais declarações que são mais usadas na resolução de equações, desigualdades e sistemas Resolvendo problemas de materiais KIM para se preparar para o exame

Monotonicidade Uma função aumenta se um valor maior do argumento corresponder a um valor maior da função. A função é decrescente se o maior valor do argumento corresponder ao menor valor da função. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

Afirmação 1. Se a função y \u003d f (x) for monótona, então a equação f (x) \u003d c tem no máximo uma raiz. x =2 f(x) = - diminuindo monotonicamente, então não há outras soluções. Resposta: x=2

Afirmação 2. Se a função y \u003d f (x) for monotonicamente crescente e a função y \u003d g (x) for monotonicamente decrescente, então a equação f (x) \u003d g (x) tem no máximo uma raiz. 2 - x \u003d lg (x + 11) + 1 g (x) \u003d 2 - x está diminuindo monotonicamente, e a função f (x) \u003d log (x + 11) + 1 está aumentando monotonicamente no domínio, o que significa que a equação f (x ) = g (x) tem no máximo uma raiz. Por seleção, determinamos que x \u003d -1. A afirmação acima substancia a unicidade da solução.

a) f (x) ≤ g (x) se e somente se x ϵ (- ∞ ; x 0 ]; b) f (x) ≥ g (x) se e somente se x ϵ [x 0; +∞). O significado visual desta afirmação é óbvio. Afirmação 3. Se a função y \u003d f (x) está aumentando monotonicamente em toda a linha real, a função y \u003d g (x) está diminuindo monotonicamente em toda a linha real e f (x 0) \u003d g (x 0), então as seguintes afirmações são verdadeiras:

Resolva a inequação Solução. A função f (x) = aumenta monotonicamente em toda a reta real, e a função g (x) = diminui monotonicamente em todo o domínio de definição. Portanto, a desigualdade f (x) > g (x) é satisfeita se x > 2. Vamos adicionar o domínio da desigualdade. Assim, obtemos a resposta do sistema: (2; 5).

Afirmação 4. Se a função y \u003d f (x) é crescente monotonicamente, então as equações f (x) \u003d x e f (f (x)) \u003d x têm o mesmo conjunto de raízes, independentemente do número de investimentos. Consequência. Se n for um número natural e a função y \u003d f (x) for monotonicamente crescente, as equações f (x) \u003d x e n vezes terão o mesmo conjunto de raízes.

Resolva a equação. Resposta: Decisão. Para x ≥1, o lado direito da equação não é menor que 1, e o lado esquerdo é menor que 1. Portanto, se a equação tem raízes, então qualquer um deles é menor que 1. Para x ≤0, o lado direito lado da equação é não positivo, e o lado esquerdo é positivo, devido ao fato de que . Assim, qualquer raiz desta equação pertence ao intervalo (0; 1) Multiplicando ambos os lados desta equação por x, e dividindo o numerador e denominador do lado esquerdo por x, temos

Onde = . Denotando por t, onde t 0, obtemos a equação = t. Considere uma função f(t)= 1+ crescente em seu domínio de definição. A equação resultante pode ser escrita como f (f (f (f (t))))= t , e pelo corolário da afirmação 4, ela tem o mesmo conjunto de soluções que a equação f (t)= t , ou seja. equação 1 + = t, de onde. A única raiz positiva desta equação quadrática é . Então, onde, ou seja, , ou. Responda:

Afirmação 1. Se max f (x) = ce min g (x) = c, então a equação f (x) = g (x) tem o mesmo conjunto de soluções que o sistema Limite O valor máximo do lado esquerdo é 1 e o valor mínimo do lado direito 1 , o que significa que a solução da equação pode ser reduzida ao sistema de equações: , da segunda equação encontramos um possível candidato x=0 , e garantimos que é um solução da primeira equação. Resposta: x=1.

Resolva a equação Solução. Como sen3x≤1 e cos4x≤1, o lado esquerdo desta equação não excede 7. Pode ser igual a 7 se e somente se de onde onde k , n ϵ Z . Resta estabelecer se existem tais inteiros k e n para os quais o último sistema tem soluções. Resposta: Z

Em problemas com x desconhecido e parâmetro a, o domínio de definição é entendido como o conjunto de todos os pares ordenados de números (x ; a), cada um dos quais é tal que após a substituição dos valores correspondentes de x e a em todas as relações incluídos no problema, eles serão determinados. Exemplo 1. Para cada valor do parâmetro a, resolva a inequação Solução. Vamos encontrar o domínio de definição desta desigualdade. Daí fica claro que o sistema não tem soluções. Isso significa que o domínio de definição da desigualdade não contém nenhum par de números x e a e, portanto, a desigualdade não tem soluções. Resposta do escopo:

Invariância, ou seja a invariância de uma equação ou desigualdade em relação à substituição de uma variável por alguma expressão algébrica dessa variável. O exemplo mais simples de invariância é a paridade: se é uma função par, então a equação é invariante sob a mudança de x e – x, pois = 0. Invariância

Encontre as raízes da equação. Solução. Observe que o par é invariante sob substituição. Substituindo em igualdade, temos. Multiplicando ambos os lados desta igualdade por 2 e subtraindo a igualdade termo por termo da igualdade resultante, encontramos 3, de onde. Agora resta resolver a equação, de onde as raízes da equação são números. Responda: .

Encontre todos os valores de a para cada um dos quais a equação tem mais de três soluções diferentes. Resolvendo problemas com o parâmetro de propriedade Monotonicity

|x|= positivo X= |x|= Para que existam duas raízes, o numerador deve ser positivo. Portanto, quando as raízes da primeira e da segunda equações coincidem, o que não atende ao requisito da condição: a presença de mais de três raízes. Responda: .

Encontre todos os valores de a para cada um dos quais a equação tem duas raízes. Vamos transformar a equação na forma E considerar a função f(x)= definida e contínua em toda a reta real. O gráfico desta função é uma linha quebrada, consistindo de segmentos de linha e raios, cada ligação dos quais é parte de uma linha reta da forma y= kt+l . f(x)= Para qualquer expansão do módulo da primeira expressão, k não excede 8, então o aumento e diminuição da função f(x) dependerá da expansão do segundo módulo. Em x, f(x) diminuirá e, em x, aumentará. Ou seja, em x=3 a função terá o maior valor. Para que a equação tenha duas raízes, é necessário que f(3) Propriedade de monotonicidade

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Resposta: a

Encontre todos os valores do parâmetro a, para cada um dos quais, para qualquer valor real x, a desigualdade é satisfeita Vamos reescrever a desigualdade na forma, introduzir uma nova variável t = e considerar a função f (t) = , definida e contínua em toda a linha real. O gráfico desta função é uma linha quebrada, consistindo em segmentos de linha e semirretas, cada ligação dos quais é parte de uma linha reta, onde

Uma vez que, então t ϵ [-1; 1]. Devido ao decréscimo monotônico da função y = f (t), basta verificar a borda esquerda deste segmento. Z. A é verdadeiro, significa que só é possível se os números uev tiverem o mesmo sinal ou qualquer um deles for igual a zero. , = () () 0. Fatorando os trinômios quadrados, obtemos a desigualdade (, da qual encontramos que a ϵ (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞). Resposta: (-∞) ; -1]U(2)U)