Professor de física :

Ao resolver qualquer problema, podemos ir de duas maneiras: indutiva e dedutiva. O caminho indutivo implica a possibilidade de generalização ao analisar a solução de problemas particulares; pelo método dedutivo, podemos ir de princípios gerais a particulares.

Qual método é preferível no nosso caso?

Discuta a questão em duplas e dê sua opinião.

Assim, com base nos resultados da discussão, podemos concluir que neste caso precisamos usar o método indutivo; devemos obter técnicas comuns a qualquer oscilação, permitindo-nos descrever o estadosistema oscilatório em um momento arbitrário no tempo.

Portanto, começamos a discussão com um problema específico.

Tarefa 1.

A carga nas placas do capacitor varia de acordo com a lei:

pt+

Em que momentos durante o período a corrente no circuito excede o valor máximo? Qual a voltagem nessas horas? Que fração do máximo é nestes momentos de tempo? A capacitância do capacitor no circuito é de 2 microfarads.

Sugira um esquema para resolver o problema, tente encontrar diferentes abordagens para a solução. (O trabalho é feito em pares)

Então, vamos juntar os resultados de sua discussão. (As ideias propostas por várias duplas são coletadas no quadro, discutidas e, como resultado, formam-se duas abordagens para a resolução do problema: analítica e gráfica).

Quais ações são necessárias para implementar a solução analítica?

Professor de matemática:

Ao estudar as leis físicas que relacionam as mudanças de carga e corrente em um circuito, você chegou à conclusão de que

( t)= eu( t), portanto, é necessário lembrar como encontrar a derivada de uma função trigonométrica.
-Vamos relembrar as fórmulas para as derivadas de funções trigonométricas, a derivada de uma função complexa.
-Encontre as derivadas das seguintes funções (Slide número 6)

Professor de física:

Assim, as leis matemáticas da busca pela derivada de uma função trigonométrica complexa são aplicáveis ​​para resolver nosso problema.

Anote a equação para alterar você mesmo a força da corrente.

Apresente os resultados para uma discussão geral.

Assim, a equação para alterar a força da corrente é a seguinte:

i(t)= - 0,03πsen(πt+3π).

Usando o fato de que a intensidade da corrente no momento desejado é do valor máximo igual a 0,03π, compomos a equação

0,03πsen(πt+3π).

Professor de matemática:

Este tipo de equação é trigonométrica.

Que tipos de equações trigonométricas você conhece, quais são as maneiras de resolvê-las?
-Resolva você mesmo as equações propostas
(Slide número 8)

É possível resolver a equação do problema de maneira semelhante?

Professor de física:

- Vamos resolver nossa equação trigonométrica, encontrar os momentos de tempo necessários. (Um aluno é chamado ao quadro).

Para buscar a tensão no capacitor em um dado instante, é necessário obter a equação de dependênciavocê( t). Conhecendo a relação entre a carga do capacitor e a tensão, obtenha a equação e encontre o valor de tensão desejado. (As atribuições são realizadas independentemente na folha de inscrição).

Vamos compor um algoritmo de solução baseado nas possibilidades de análise matemática.

1. Anote as equações

mudanças na intensidade da corrente com o tempo, usando a relação matemática entre a mudança na carga e a intensidade da corrente.

2. Sabendo que a intensidade da corrente no momento desejado é 1/6 do valor máximo, compomos e resolvemos a equação trigonométrica e encontramos os pontos correspondentes no tempo.

3. Escreva a equação para a mudança na tensão e calcule-a nos pontos de tempo encontrados anteriormente.

Tal esquema de solução pode ser usado para analisar qualquer processo oscilatório.

Como sua lição de casa, você recebe a tarefa 2:

O ponto realiza oscilações harmônicas com período de 2 segundos, amplitude de 50 mm, a fase inicial é zero. Encontre a velocidade e a aceleração do ponto no instante em que o deslocamento do ponto da posição de equilíbrio é de 25 mm.

Vamos passar para o segundo método de resolver o problema original - gráfico.

Professor de matemática:

O que você precisa saber para traçar esta função?

Qual gráfico de função é o original?

Que transformações do gráfico precisam ser feitas para traçar a função

I (t)= - 0,03πsen(πt+3π)?

Como traçar os gráficos de função mostrados no slide número 10?

Professor de física:

Vamos usar o gráfico da função, que reflete as mudanças na carga e na intensidade da corrente ao longo do tempo (Slay No. 12. Quais informações sobre a condição do problema os gráficos sugerem? Responda você mesmo à pergunta do problema usando a folha de aplicação.

As respostas correspondem?

Qual método é preferido e por quê?

Existe outra solução? Pense sobre esta questão em casa.

O método indutivo é frequentemente usado quando é necessário analisar e comparar dados experimentais ou observacionais. Em uma das aulas anteriores, realizamos um trabalho de laboratório sobre o estudo da dependência do período de oscilação de um pêndulo matemático em seu comprimento. Como uma tarefa adicional, você plotou a posição de um pêndulo oscilante em função do tempox( t)=0,1 custo. Vamos usar este gráfico para responder às seguintes perguntas:

Em que parte do período um corpo fazendo oscilações harmônicas percorrerá o caminho:

da posição intermediária ao extremo

a primeira metade da viagem

segunda metade da viagem

É possível estimar esses intervalos de tempo experimentalmente?

Em que intervalo de tempo a velocidade do corpo é 2 vezes menor que a velocidade máxima?

Que métodos matemáticos devem ser usados ​​para responder às perguntas?

Aula de física para o 11º ano sobre o tema “Oscilações harmônicas. Amplitude, período, frequência. Fase de oscilação"

O objetivo da aula: apresentar aos alunos o conceito de oscilações harmônicas, as condições em que as oscilações são consideradas harmônicas, suas características, provar que as oscilações dos pêndulos matemáticos e de mola são harmônicas, derivar a fórmula para os períodos desses pêndulos, mostrar a impossibilidade de estudar física sem conhecimento de matemática, para mostrar que o cálculo diferencial e o conceito de derivada - são as ferramentas mais poderosas para estudar e pesquisar processos e fenômenos físicos.

Tipo de aula: uma lição para aprender novos conhecimentos.

Duração da aula: uma hora acadêmica.

Equipamento: pêndulo matemático e pêndulo de mola, fita de papel longa de 25 cm de largura, conta-gotas de tinta colorida, projetor multimídia com quadro branco e PC com pacote instaladoMicrosoft OfficeeUE GRAN1.

Estrutura da aula e tempo estimado

indicativo

gasto de tempo

EU. Organizando o tempo

1 minuto

ІІ.

7 minutos

3.1 Motivação da atividade educativa dos alunos (mensagens do tema, objetivo, tarefas da aula e motivação da atividade educativa dos alunos)

3.2 Percepção e consciência primária do novo material, compreensão das conexões e relações nos objetos de estudo

3.4 Resolução de problemas

30 minutos

(5 minutos +

15 minutos

2 minutos

8 minutos)

4.Resumindo a lição

( trabalho de casa e reflexão)

7 minutos

Epígrafe para a lição : "A ciência é una e indivisível"
Vladimir Ivanovich Vernadsky (1863-1945), acadêmicoAcademia RussaCiências , , cofundador e primeiro presidente .

Durante as aulas

EU. Organizando o tempo

ІІ. Verificação dos trabalhos de casa, reprodução e correção dos conhecimentos básicos dos alunos ( ODA frontal SO ).

1. Em que unidades são medidos os valores dos ângulos no SI? (SI

2. O que é chamado de 1 radiano? (φ== = rad = 360 0 ⇒ 1 rad = ≈

≈57,3 0)

3. O que é chamado de velocidade angular e quais são as unidades de sua medida no SI?

ω===2πυ ; (SI)

4. Como as coordenadas de um ponto mudam conforme ele se move ao longo de um círculo? (x=R=x máximo = x máximo ; y=R=y máximo y máximo )

5. O que é chamado de derivada de uma funçãof(x)? Qual é a fórmula da derivada?

( x )=

6. Qual é a derivada ((=)

((=)

X n (() ׳ = n )

nx ( ( nx ) ׳ = n )

7. Qual é o significado físico (mecânico) da derivada?

a) movimento uniforme:x=x ) + vt ( x ׳ ( t )=( X 0 + vt ) ׳ = v .

b) movimento uniformemente acelerado:x =x 0 + v 0 t + ( x ׳ ( t )= (X 0 + v 0 t +) ׳ = v 0 + no = v .

Conclusão nº 1 : A derivada І-ésima da coordenada do corpo em relação ao tempo é igual à velocidade do corpo.

dentro)(X ׳׳ ( t )= (X 0 + v 0 t +) ׳׳ =( v 0 + no ) ׳ =a

Conclusão nº 2 : І І A ª derivada da coordenada do corpo em relação ao tempo é igual à aceleração do corpo. Com movimento uniformeX ׳׳ ( t )= (X 0 + v 0 t ) ׳ =a=0 nenhuma aceleração.

III. Aprendendo novos materiais

3.1 Motivação da atividade educativa dos alunos (mensagens do tema, metas, objetivos da aula e a motivação das atividades educativas dos alunos -determinar junto com os alunos, prestar atenção ao significado da epígrafe, ao fato de que o material da aula como objeto de estudo será considerado não apenas do ponto de vista físico, mas também matemático (algébrico), onde matemática funciona como uma ferramenta).

3.2. Percepção e consciência primária de novo material, compreensão de conexões e relacionamentos nos objetos de estudo .

3.2.1. O que é chamado de oscilação? (periodicamente movimento repetitivo)

3.2.2. Quais são as características das oscilações (quais são as características das oscilações)? (coordenada, amplitude, velocidade, período, frequência)

3.2.3 Portanto, do ponto de vista matemático, que funções devem descrever as oscilações - lineares, não lineares (potência, logarítmica, trigonométricas (periódicas))? - logicamente, já que a hesitação é o queperiodicamente repete, portanto, periodicamente.

3.2.4. Das funções acima, quais são periódicas? (trigonométrico )

3.2.5. O que você sabe sobre funções trigonométricas periódicas? ()

3.2.6. O que você acha, durante as oscilações do pêndulo, como sua coordenada, velocidade e aceleração mudam - contínua ou abruptamente (discretamente)? (Mudança de posição, velocidade e aceleraçãocontinuamente )

3.2.7. E como é contínua, então qual das 4 funções trigonométricas () as grandezas que caracterizam qualquer processo oscilatório devem ser descritas? (ApenasPorquesão contínuos eter uma lacunamostrar gráficos ).

3.2.8. Definição de vibrações harmônicas.

A quantidade X (quantidade física) é considerada harmonicamente oscilante (variável) se a 2ª derivada desta quantidade for proporcional a esta quantidade x, tomada com o sinal oposto:

(*) X - diferença. eq. 2ª ordem (condição de harmoniaX )

3.2.9. Vamos provar que apenas equações do tipo:x=x máximo pecado ω t e x=x máximo porque ω t

satisfaz a equação (*): =(pecado ω t ) ’ = ω x máximo porque ω t .

=( ω x máximo porque ω t ) ’ = - ω 2 x máximo pecado ω t = - ω 2 x .

=( porque ω t) ’ =- ω x máximo pecados ω t.

=(- ω x máximo pecado ω t) ’ = - ω 2 x máximo código ω t=- ω 2 x. A PARTIR DE consequentemente :

Conclusão: tipo equaçõesx= x=x máximo pecado ω t pecado ω t e x=x máximo porque ω t sãoharmônico.

3.2.10. Características das equações harmônicas

x=x máximo pecado ω t

x=x máximo porque ω t , X máximo – amplitude de oscilação,ω t - fase de oscilações,

ω é a frequência de oscilação cíclica.

SI -rad, SI -rad / s, SI - m (se estamos falando de vibrações mecânicas)

Definição 1 : Amplitude vibrações harmônicasX máximo chamado o maior valor da quantidade flutuante, que está na frente do sinalpecado ouporque na equação das equações harmônicas.

Definição 2 : O período de oscilações harmônicas T é o tempo de uma oscilação

T = ; SI - de

Definição 3 : Frequência harmônicaυ chamado de número de oscilações por unidade de tempo.

υ = ; SI - de -1 ; Hz.

Definição 4 : Fase harmônicaφ chamada de grandeza física sob o signopecado ouporque na equação das equações harmônicas e que, para uma dada amplitude, determina unicamente o valor da grandeza oscilante.

φ = ω t ; SI- feliz.

3.2.11. Vamos provar que as oscilações dos pêndulos são harmônicas:

O verão: F ex = -kx = ma; ⇒ uma = - x ; Porque uma = x ” , então nós temos:

x ” = - x ⇒ primavera ω 2 = ⇒ ω = = ; OndeT = 2 π - fórmula para o período de oscilação de um pêndulo de mola.

b) matemática (uma carga suspensa em um fio sem peso e inextensível, cujas dimensões, comparadas com seu comprimento, podem ser desprezadas)

F equinodos =-mgsina φ = mãe ; ⇒ - gsin φ = uma = x ” ; Porque pecado φ = ⇒ - g = “ x = - ω 2 x ; ⇒ matemático o pêndulo oscila harmoniosamente. Porqueω 2 = ⇒ ω = = ; OndeT = 2 π - fórmula para o período de oscilação de um pêndulo matemático.

3.2.12. Experiência com tinteiro-pêndulo (caixa de areia).

Conclusão: A experiência confirma que o pêndulo oscila harmonicamente (porque o traço tem a forma de uma senóide).

3.3 Resumindo um breve resumo do estudo do material teórico.

3.4 Resolução de problemas

3.4.1 Tarefa Experimental: encontre experimentalmente o período de oscilação de um pêndulo de mola, seuX máximo , escreva a equação de suas oscilações e encontrev máximo euma máximo .(mola com rigidez 40 N/m, peso 400g)

T ≈ 0,67 s ⇒ υ == ≈ 1,5Hz ⇒ x \u003d 0,05 cos2 π 1,5 t = 0,05 porque 3 π t .

V= (t)= - 0,15 π pecado3 π t a=(t)=-0,45 π 2 cos3 π t

3.4.2 Tarefas nº 4.1.5 e 4.1.6 (Coleção de problemas em física, O.I. Gromtseva,

Exame, Moscou, 2015), p.67

3.4.3 Tarefas nº 4.2.1 e 4.3.1. - para alunos fracos;

№ 4.3.12 e nº 12.3.2 - para alunos médios e fortes.

4 .Resumindo a lição (trabalho de casa e reflexão).

4.1 D.z.§ 13,14,15, p. 65 (tarefas do USE nº A1, A3), p. 68 (tarefas de solução independente - duas tarefas à escolha do aluno).

4.2 Reflexão

.

O objetivo da lição: formar nos alunos uma ideia de oscilações harmônicas, como sobre mudanças harmônicas em coordenadas e outras grandezas físicas; introduzir o conceito de amplitude, período, frequência, frequência cíclica; obter uma fórmula para calcular o período de oscilações livres.

Durante as aulas

Verificando a lição de casa pelo método de pesquisa individual

1. Explique, usando o desenho, quais forças fazem o pêndulo matemático oscilar.

2. Obtenha a equação do movimento para o pêndulo da mola. no quadro-negro)

3. Obtenha a equação do movimento de um pêndulo matemático. (no quadro-negro)

Aprendendo novos materiais

1. Tendo estudado a dependência da aceleração na coordenada do corpo oscilante, encontramos Dependência da coordenada no tempo.

2. A aceleração é a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo.

À = – kx/m; x"= - kx/m; onde x" é a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo.

Se as oscilações são livres, então a coordenada x muda com o tempo, de modo que a segunda derivada da coordenada em relação ao tempo é diretamente proporcional à própria coordenada e oposta em sinal a ela.

3. Vibrações harmônicas

A coordenada x muda periodicamente ao longo do tempo. Conhecemos duas funções periódicas: seno e cosseno

À medida que o argumento aumenta de zero, o cosseno muda lentamente, aproximando-se de zero, suas mudanças ocorrem cada vez mais rápido.

Um pêndulo de mola, fora do equilíbrio, se comporta exatamente da mesma maneira. O seno e o cosseno têm a propriedade de que a segunda derivada dessas funções é proporcional às próprias funções, tomadas com o sinal oposto.

Com base nisso, pode-se argumentar que a coordenada de um corpo que realiza oscilações livres muda com o tempo de acordo com a lei dos cossenos ou senos.

Mudanças periódicas em uma quantidade física dependendo do tempo, ocorrendo de acordo com a lei do seno ou cosseno, são chamadas de oscilações harmônicas.

4. Amplitude de oscilação

O módulo do maior deslocamento do corpo a partir da posição de equilíbrio é chamado Amplitude vibrações harmônicas.

Amplitude - característica do movimento oscilatório; mostra como o corpo é deslocado da posição de equilíbrio.

5. Solução da equação de movimento descrevendo vibrações livres. Escrevemos a solução da equação; х“= – kx/m; — X= xm CITAÇÃO t; A primeira derivada terá a seguinte aparência: Xʹ= – QUOTE xm QUOTE ·t;

A segunda derivada será igual a: X“= – QUOTE xm QUOTE t = – k x/m; isto é, temos a equação original. A solução desta equação também será uma função; CITAR t

Da experiência temos

À= – k x/m a= – g x/L

Para pêndulo de mola para pêndulo matemático

DESIGNAR

Temos as equações do movimento

А= – ω02x Siga a mesma regularidade a= – ω02x

A ~x x~x“ x “= – ω02x – solução desta equação diferencial

É: X = xm CITAÇÃO . O gráfico de coordenadas versus tempo é Onda de cosseno. As oscilações harmônicas ocorrem de acordo com esta lei.

6. Período e frequência das oscilações harmônicas

Período é o tempo de uma oscilação.

LIÇÃO 24/02

Tema. Vibrações harmônicas

O objetivo da aula: familiarizar os alunos com o conceito de oscilações harmônicas.

Tipo de aula: aula aprendendo novo material.

PLANO DE AULA

Controle de conhecimento		1. Vibrações mecânicas. 2. Principais características das vibrações. 3. Vibrações livres. Condições para a ocorrência de oscilações livres
Demonstrações		1. Vibrações livres de uma carga sobre uma mola. 2. Gravação de movimento oscilatório
Aprendendo novos materiais		1. A equação do movimento oscilatório de uma carga sobre uma mola. 2. Vibrações harmônicas
Consolidação do material estudado		1. Questões qualitativas. 2. Aprenda a resolver problemas

ESTUDE O NOVO MATERIAL

Em muitos sistemas oscilatórios, com pequenos desvios da posição de equilíbrio, o módulo de força rotacional e, portanto, o módulo de aceleração, é diretamente proporcional ao módulo de deslocamento em relação à posição de equilíbrio.

Vamos mostrar que neste caso o deslocamento depende do tempo de acordo com a lei do cosseno (ou seno). Para tanto, analisamos as oscilações da carga na mola. Vamos escolher como origem o ponto onde o centro de massa da carga sobre a mola está na posição de equilíbrio (ver figura).

Se uma carga de massa m é deslocada da posição de equilíbrio por x (para a posição de equilíbrio x = 0), então a força elástica Fx = - kx atua sobre ela, onde k é a rigidez da mola (o sinal “-” significa que a força é direcionada a qualquer momento na direção oposta ao deslocamento).

De acordo com a segunda lei de Newton Fx = mah. Assim, a equação que descreve o movimento da carga tem a forma:

Denote ω2 = k/m. Então a equação do movimento da carga ficará assim:

Uma equação desse tipo é chamada de equação diferencial. A solução desta equação é a função:

Assim, para o deslocamento vertical da carga na mola a partir da posição de equilíbrio, ela oscilará livremente. A coordenada do centro de massa neste caso muda de acordo com a lei dos cossenos.

É possível verificar que as oscilações ocorrem de acordo com a lei do cosseno (ou seno) por experimento. É aconselhável que os alunos apresentem um registo do movimento oscilatório (ver figura).

Ø As oscilações em que o deslocamento depende do tempo de acordo com a lei do cosseno (ou seno) são chamadas de harmônicas.

Vibrações livres de uma carga em uma mola são um exemplo de vibrações harmônicas mecânicas.

Seja em algum ponto no tempo t 1 a coordenada da carga oscilante x 1 = xmax cosωt 1 . De acordo com a definição do período de oscilação, no tempo t 2 \u003d t 1 + T, a coordenada do corpo deve ser a mesma que no tempo t 1, ou seja, x2 \u003d x1:

O período da função cosωt é igual a 2, portanto, ωТ = 2, ou

Mas como T \u003d 1 / v, então ω \u003d 2 v, ou seja, a frequência de oscilação cíclica ω é o número de oscilações completas feitas em 2 segundos.

PERGUNTA AOS ALUNOS DURANTE A APRESENTAÇÃO DO NOVO MATERIAL

Primeiro nível

1. Dê exemplos de oscilações harmônicas.

2. O corpo realiza oscilações sem amortecimento. Quais das grandezas que caracterizam esse movimento são constantes e quais mudam?

Segundo nível

Como a força que atua sobre o corpo, sua aceleração e velocidade mudam durante a implementação de oscilações harmônicas?

CONFIGURAÇÃO DO MATERIAL ESTUDADO

1. Escreva a equação de uma oscilação harmônica se sua amplitude for 0,5 m e a frequência for 25 Hz.

2. As flutuações da carga na mola são descritas pela equação x \u003d 0,1 sen 0,5. Determine a amplitude, a frequência circular e a frequência de oscilação.